KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ

KONKURS MATEMATYCZNY
DLA UCZNIÓW SZKÓŁ
GIMNAZJALNYCH
Zadania II etapu – finał
Czas rozwiązania 60 minut
POWODZENIA !
1. Pan i pies znajdują się w odległości 1 km od domu. Pan porusza się z prędkością
km
km
4
, a pies z prędkością 20
. Pies biegnie do domu, wraca do pana, znów biegnie
h
h
do domu, wraca, aż do momentu, gdy razem znajdą się w domu.
a) Jaką drogę pokona pies do momentu, kiedy razem z panem znajdą się
w domu?
(2p)
b) Jaką drogę pokona pan do momentu pierwszego spotkania z psem? (5p)
2. Do ponumerowania stron książki użyto 6921 cyfr. Ile stron zawiera ta książka? (5p)
3. Oblicz pole trójkąta prostokątnego wiedząc, że odcinek łączący środek
przeciwprostokątnej z wierzchołkiem kąta prostego ma długość 2,5 cm, natomiast
promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość 1 cm.
(5p)
ROZWIĄZANIA ZADAŃ
Zadanie 1.
Oznaczmy: V1 – prędkość pana
V2 – prędkość psa
S- droga
t - czas
1 km 1
= h . W tym czasie
km 4
4
h
km
km 1
pies poruszający się z prędkością V2 = 20
pokona drogę S = 20 ⋅ h = 5 km
h
h 4
Odpowiedź do a) Pies pokona drogę 5km.
a) Ze wzoru S = V ⋅ t , obliczamy czas dojścia pana do domu t1 =
b) Pies pokona drogę 1 km do domu z prędkością V2 = 20
t=
km
w czasie
h
1 km
1
=
h.
km 20
20
h
W tym samym czasie pan przejdzie drogę S = 4
km 1
1
⋅ h = km , więc do domu
5
h 20
pozostało mu 0,8 km.
Pan
0,2 km
Pies
Sx
0,8 - Sx
Miejsce spotkania pana i psa
Oznaczmy: Sx – droga pokonana przez pana do momentu pierwszego spotkania z psem
0,8 – Sx - droga pokonana przez psa do momentu spotkania
Sx
0,8 − s x
=
. Rozwiązując powyższe
Czasy poruszania się psa i pana są takie same, więc
km
km
4
20
h
h
2
równanie otrzymujemy S x = km . Łączna droga pokonana przez pana do momentu
15
1
2
1
pierwszego spotkania z psem: S = km + km = km
5
15
3
Zadanie 2.
Ilość cyfr potrzebnych do ponumerowania stron od 1 do 9
1*9 cyfr =
9 cyfr
Ilość cyfr potrzebnych do ponumerowania stron od 10 do 99
2* 90 cyfr = 180 cyfr
Ilość cyfr potrzebnych do ponumerowania stron od 100 do 999
3*900 cyfr = 2700 cyfr
Ilość cyfr potrzebnych do ponumerowania stron od 1000 do 1999 4*1000 cyfr = 4000 cyfr
Daje to razem 6889 cyfr. Z treści zadania wynika, że użyto 6921 cyfr, a więc musimy jeszcze
użyć 6921-6889=32 cyfr. Ponieważ numerujemy już strony od 2000, więc 32 cyframi
ponumerujemy jeszcze 8 stron. Tak więc książka ma 1999+8=2007 stron.
Odp. Książka ma 20007 stron.
Zadanie 3.
Ponieważ środkowa z wierzchołka kąta
A
prostego jest równa 2,5 cm, więc
przeciwprostokatna tego trójkąta jest
G
równa 5 cm.
D
Ponieważ okrąg jest wpisany w trójkąt
O
prostokątny, więc ze wzoru
F
1
r = (a + b − c ) , gdzie a,b są
2
C
B
przyprostokątnymi trójkąta prostokątnego,
E
c – przeciwprostokątna, r- promień okręgu
wpisanego w ten trójkąt, otrzymujemy
1
1 = (a + b − 5) , stąd a + b = 7
2
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy: a 2 + b 2 = 5 2 . Przekształcając ten wzór otrzymujemy:
(a + b )2 − 2ab = 25 , 7 2 − 2ab = 25 , 2ab = 24 , 2ab = 24 , 1 ab = 6
2
2
Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi 6cm .