Wyznaczanie reakcji strumienia cieczy na płaską płytkę

Ćwiczenie 9
Wyznaczanie reakcji strumienia cieczy na płaską płytkę
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest doświadczalne określenie reakcji wywieranej przez strumień
wody na płaską płytkę, a następnie porównanie wyników doświadczenia z wartością
reakcji uzyskaną na drodze teoretyczno-obliczeniowej.
2. Wyznaczanie siły reakcji hydrodynamicznej w oparciu o zasadę zmiany pędu
Siłę, z jaką strumień cieczy działa na przeszkodę ustawioną w linii jego działania
nazywamy reakcją hydrodynamiczną, która jest sumą geometryczną elementarnych
reakcji wywieranych przez poszczególne cząstki poruszającej się masy ciekłej.
RozwaŜmy strumień cieczy napływający stycznie na zakrzywioną nieruchomą
ścianę w sposób przedstawiony schematycznie na rysunku 1. Wprowadźmy
następujące załoŜenia:
- ruch cieczy jest ustalony,
- rozkład prędkości w poprzecznym przekroju strumienia jest jednorodny,
- strumień porusza się w ośrodku nie wywierającym wpływu na przebieg zjawiska,
- pomija się siły tarcia pomiędzy spływającym strumieniem a powierzchnią ściany,
- pomija się siły cięŜkości działające na elementy cieczy strumienia.
Przy powyŜszych załoŜeniach prędkość strumienia wzdłuŜ ściany nie ulega zmianie,
co ująć moŜna zapisem (rys. 1):
r
r
r
U 0 = U1 = U
Rys. 1. Reakcja strumienia na stycznie zakrzywioną nieruchomą ścianę
r
Jedyną siłą zewnętrzną wywołującą zmianę pędu jest siła oddziaływania P
zakrzywionej płyty i zachodzi wówczas następująca równość:
r
r
R = −P
79
Z zasady zmiany ilości ruchu (zmiany pędu) wynika, Ŝe dla cieczy o gęstości ρ i
strumieniu objętości Q zmiana pędu między przekrojami kontrolnymi 0 − 0 i 1 − 1
będzie wynosiła:
r
r
r
r
R = − P = ρ Q U 0 − U1
(1)
Wyprowadzenie związku (1) zostało przedstawione w dodatku do ćwiczenia.
Równanie wektorowe (1) moŜe być zapisane w postaci dwóch równań skalarnych na
składowe siły reakcji w przyjętym układzie współrzędnych (rys. 1):
Rx = ρ Q (U 0 x − U1x )
(2)
R y = ρ Q (U 0 y − U1 y )
(
)
Zgodnie z rysunkiem 1 składowe prędkości dla przekrojów kontrolnych wynoszą
odpowiednio:
U 0 x = U ; U1x = U cosϑ
U 0 y = 0; U1 y = U sin ϑ
co prowadzi do następujących zapisów składowych reakcji:
Rx = ρQ U (1 − cos ϑ )
(3)
R y = − ρ Q U sinϑ
Moduł reakcji wypadkowej wynosi:
R = R x2 + R y2 = 2 ρ Q U sin
ϑ
.
(4)
2
W przypadku, gdy strumień uderza w płaską płytę ustawioną prostopadle do osi
strumienia (rys. 2), odpowiednie składowe prędkości zapisać moŜna następująco:
Rys. 2. Reakcja strumienia przy napływie na płaską płytę ustawioną prostopadle
U 0 x = U ; U 1x = 0
U 0 y = 0; U 1 y = U
co po wykorzystaniu związków
hydrodynamicznej strumienia:
(2)
pozwala
Rx = ρ QU
R y = −ρ QU
80
określić
składowe
reakcji
(5)
Ale poniewaŜ strumień po uderzeniu w płytę rozdziela się promieniowo symetrycznie
względem osi x, więc elementarne składowe poprzeczne siły hydrodynamicznej
znoszą się i wypadkowa poprzeczna równa się zeru:
Ry = 0
wówczas moduł reakcji wypadkowej równy jest jej składowej poziomej:
R = Rx = ρ Q U
(6)
3. Opis stanowiska pomiarowego
Schemat stanowiska badawczego słuŜącego do wyznaczania reakcji strumienia
przedstawiono na rysunku 3. Płyta 1 pod wpływem reakcji strumienia cieczy
wypływającej z dyszy 3 przemieszcza się, przy czym układ prętów 4 zapewnia
utrzymanie prostopadłego połoŜenia płyty względem napływającego strumienia
cieczy. Wielkość odchylenia prętów moŜna odczytać za pomocą wskaźnika 5, a
strumień objętości cieczy mierzony rotametrem 8 moŜna zmieniać przy pomocy
zaworu 7.
Rys. 3. Schemat stanowiska pomiarowego
4. Wyznaczanie siły reakcji hydrodynamicznej w oparciu o zasadę prac
przygotowanych
Siły działające na badany układ zaznaczono schematycznie na rysunku 4, zaś w
obliczeniach wykorzystana zostanie zasada prac przygotowanych [2], stosowana
często w klasycznej mechanice ciała stałego, zgodnie z którą:
warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu materialnego jest, aby
suma prac przygotowanych wszystkich sił czynnych i reakcji więzów przy dowolnym
przemieszczeniu przygotowanym układu była równa zeru, co moŜna zapisać
równaniem:
n
∑ Pi ⋅ δri = 0
i =1
Reakcji strumienia cieczy R przeciwdziałają siły cięŜkości m·g elementów ruchomych,
które moŜna przyłoŜyć w ich środkach cięŜkości (dla uproszczenia pomijamy siły
reakcji więzów). Elementarne przesunięcia prętów o kąt δα pod wpływem
oddziaływania strumienia cieczy powodują przesunięcie ich środków cięŜkości.
81
Przesunięcia przygotowane sił w kierunkach ich działania (zgodnie z rysunkiem 4)
wynoszą odpowiednio:
- dla siły cięŜkości odpowiadającej prętom pionowym (mpr · g):
l
δ y1 = − δα ⋅ sin α
2
- dla siły cięŜkości płytki z ramką (mp + mr)g:
δ y2 = −lδα ⋅ sin α
-
dla siły reakcji R:
δ x = l δα ⋅ cos α
Rys. 4. Schemat działania sił na elementy ruchome stanowiska
Równanie bilansu prac przygotowawczych, pomijając siły tarcia, wynosi:
l
R ⋅ lδα ⋅ cos α = 2m pr g δα ⋅ sin α + m p + mr g ⋅ lδα ⋅ sin α ,
2
co po uproszczeniu prowadzi do zaleŜności:
R = m pr + m p + mr g ⋅ tgα
(
(
)
)
(7)
gdzie:
mpr = 0.017 kg - masa prętów,
mp = 0.122 kg - masa płytki,
mr = 0.094 kg - masa ramki,
g = 9.81 m/s2
- przyspieszenie ziemskie,
α - kąt wychylenia układu.
Dla wyŜej podanych wartości mas poszczególnych elementów układu moŜna określić
wielkość siły R, która jest wyłącznie funkcją kąta α według zaleŜności:
Robl = 2,28 tgα ,
82
N
(8)
5. Metodyka pomiarów
Przed przystąpieniem do ćwiczenia naleŜy sprawdzić, czy układ prętów wychyla
się swobodnie. Pomiar naleŜy przeprowadzić dla dziewięciu ustalonych przez
prowadzącego wartości wychylenia płytki notując kaŜdorazowo w tabeli pomiarowej
wartość strumienia objętości wody odpowiadającą ustalonemu kątowi wychylenia.
Cały cykl pomiarowy powtórzyć naleŜy trzykrotnie, biorąc do dalszych obliczeń
średnią wartość strumienia wody dla kaŜdego z ustalonych wychyleń kątowych.
6. Metodyka obliczeń
Na podstawie danych pomiarowych uzyskanych w trakcie doświadczenia przy
wszystkich dziewięciu połoŜeniach płytki, obliczamy wartości siły reakcji ze wzoru
(8). Rezultat powyŜszych obliczeń porównać naleŜy z wielkościami obliczonymi
według zaleŜności (6), którą moŜna przekształcić do wygodniejszej postaci:
4ρ Q 2
R = ρ QU =
, N
(9)
πd 2
gdzie:
Q - uśredniony strumień objętości wody, m3/s,
ρ - masa właściwa wody, kg/m3,
d - średnica otworu dyszy (dla omawianego stanowiska d = 0,005 m).
Porównując reakcje R obliczone dwoma omawianymi metodami określić naleŜy
względną róŜnicę ich wartości, która wynosi:
R − Robl
ε=
100, %
(10)
Robl
Sprawozdanie z ćwiczenia naleŜy uzupełnić analizą wyników i własnymi
spostrzeŜeniami.
Literatura
1. Bukowski J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1969
2. Leyko J.: Mechanika ogólna, PWN, Warszawa 1976
3. Prosnak W.J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa 1970
83
Tabela pomiarowo-obliczeniowa
Lp.
α
tgα
o
-
Q
1
2
l/min
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
84
Q
R
Robl
ε
m3/s
N
N
%
Dodatek B
do ćwiczenia nr 9
Wyznaczanie siły reakcji hydrodynamicznej strumienia cieczy napływającego
stycznie na zakrzywioną nieruchomą ściankę
Zasada zachowania pędu w mechanice płynów dla przypadku przepływu płynu
doskonałego (tzn. przy pominięciu napręŜeń stycznych) moŜe być zapisana w postaci
równania:
r
r
r
(B1)
∫∫ ρ UU n + p n dS = ∫∫∫ ρ FdV
(
)
S
gdzie:
r
U
S
Un
-
V
wektor prędkości,
powierzchnia kontrolna ograniczająca wydzieloną część płynu,
składowa wektora prędkości normalna do powierzchni kontrolnej,
definiowana jako:
r r r r
r r
U n = U • n = U n cos U , n
( )
p
r
n
-
V
-
ciśnienie,
jednostkowy wektor normalny do powierzchni kontrolnej, skierowany na
zewnątrz objętości płynu,
objętość płynu ograniczona powierzchnią kontrolną S.
W przypadku przepływu gazów, a takŜe przepływu cieczy w przewodach poziomych
lub nieznaczne pochylonych moŜna - bez popełnienia większego błędu - pominąć siły
masowe (grawitacyjne) i wówczas równanie (B1) przyjmie postać:
r
r
ρ
U
(B2)
∫∫ U n + p n dS = 0
(
)
S
W przypadku stycznego napływu swobodnego strumienia cieczy na wygiętą
powierzchnię ciała stałego, powierzchnię kontrolną S (patrz rys. B1) moŜna podzielić
na powierzchnie składowe:
powierzchnie S0 i S1 okrywające się z przekrojami poprzecznymi strugi na
wlocie i na wylocie wygiętej powierzchni ciała,
powierzchnię swobodną strugi Sa,
powierzchnię styku strugi i ciała Sc.
Rys. B1. Definicja objętości kontrolnej płynu
85
Dla tak zdefiniowanej powierzchni kontrolnej zasada zmiany pędu (B2) przyjmuje
następującą postać:
r
r
r
r
ρ
U
U
dS
+
ρ
U
U
dS
+
ρ
U
U
dS
+
ρ
U
U nc dS c +
n0
n1
na
a ∫∫
0 ∫∫
1 ∫∫
∫∫
S0
S1
Sa
Sc
r
r
r
r
+ ∫∫ p a n0 dS 0 + ∫∫ p a n1 dS1 + ∫∫ p a na dS a + ∫∫ p c nc dS c = 0
S0
S1
Sa
(B2)
Sc
gdzie ciśnienia pod znakami całek są ciśnieniami bezwzględnymi. PoniewaŜ
rozpatrujemy oddziaływanie strugi swobodnej to na powierzchniach kontrolnych S0, S1
i Sa, a takŜe pod powierzchnią ciała panuje ciśnienia pa, więc występujące na
powierzchni Sc nadciśnienie jest róŜnicą
p = pc – pa
(B3)
Struga cieczy oddziałuje na powierzchnię ciała stałego (powierzchnię kontrolną Sc) z
r
siłą reakcji hydrodynamicznej R , równą co do wartości lecz przeciwnie skierowaną do
r
siły oddziaływania P , i jest wypadkową elementarnych sił ciśnieniowych od
nadciśnienia p występującego na powierzchni Sc:
r
r
r
R = − P = ∫∫ p nc dS c
(B4)
Sc
Wykorzystując wyraŜenia (B3) i (B4), ostatnią całkę równania (B2) moŜna
przekształcić do postaci:
r
r
r
r
p
n
dS
=
(
p
+
p
)
n
dS
=
p
n
dS
+
R
(B5)
c
c
c
a
c
c
a
c
c
∫∫
∫∫
∫∫
Sc
Sc
Sc
PoniewaŜ składowe normalne prędkości Un na powierzchni prądu Sa i na powierzchni
Sc (równieŜ będącą linią prądu) równe są zero, zatem przez powierzchnie te nie
odbywa się wymiana pędu:
r
r
ρ
U
U
dS
=
ρ
U
(B6)
na
a
∫∫
∫∫ U nc dS c = 0
Sa
Sc
Zakładając, Ŝe strumień jest jednorodny w przekrojach S0 i S1, dwie pierwsze całki
równania (B2) moŜemy napisać w postaci:
r
r
ρ
ρ
U
U
dS
=
−
Q
U
U n0 < 0
0
∫∫ 0 n0 0
(
S0
r
r
∫∫ ρU1U n1 dS1 = ρ Q U1
)
(U n
1
>0
)
(B7)
S1
gdzie: Q = U n0 S 0 = U n1 S1 - strumień objętościowy strugi.
Wykorzystując powyŜsze uproszczenia, wyraŜenie (B2) moŜna zatem przepisać w
postaci:
r
r
r
r
− ρ Q U 0 + ρ Q U1 + pa
(B8)
∫∫ ndS + R = 0
S0 + S1 + S a + Sc
Całka w powyŜszym równaniu jest równa zeru jako całka normalnej jednostkowej
wzdłuŜ powierzchni zamkniętej, ostatecznie więc równanie (B8) moŜna zapisać:
86
r
r
r
− ρ Q U 0 + ρ Q U1 + R = 0
(B9)
Stąd wyraŜenie na reakcję hydrodynamiczna strugi przyjmie ostateczną postać:
r
r
r
R = ρ Q U 0 − U1
(B10)
(
)
Literatura
1. Prosnak W., J.: Mechanika płynów, tom 1, PWN, Warszawa 1970
87