z zadania

Firma produkująca płatki śniadaniowe rozważa wypuszczenie na rynek nowego produktu. Ma to być mieszanka
pszenicy, ryżu i kukurydzy. Normy zawartości przedstawia tabela:
Dane
Pszenica
Ryż
Kukurydza
Zawartość
w opak. 12 oz
Białko (g/oz)
4
2
2 min. 27g
Węglowodany (g/oz)
20
25
21 min. 240g
Kalorie /oz
90
110
100 Max. 1260cal
Koszt /oz
$0,03
$0,05
$0,02
Należy zminimalizować koszt mieszanki przy założeniu zachowania norm.
Zapisz model matematyczny (wyszczególnij zmienne, podaj ich jednostki, zapisz funkcję celu, zapisz
ograniczenia). Sprowadź model do postaci standardowej.
Zakład dziewiarski wyspecjalizował się w produkcji 2 wyrobów wełnianych. Wąskim gardłem procesu
produkcji są maszyny R1 i R2. W tablicy poniżej podano normy pracy poszczególnych maszyn, przy produkcji
w1 oraz w2 i ich zdolności produkcyjne.
Maszyna Liczba godzin pracy
Max. ilość czasu
maszyny na jednostkę pracy w ciągu
produkcji
dnia
W1
W2
R1
2
1
12
R2
2
2
20
Ustalić dzienny plan produkcji zapewniający max łączny przychód z jej sprzedaży (cena zbytu W1 wynosi 50zł,
a W2 – 75 zł), z tym, że ich uwarunkowania rynkowe dyktują by ilość produkcji W1była 2,5 razy większa niż
produkcji W2.
1.
Zbudować model matematyczny.
2.
Rozwiązać zadanie za pomocą algorytmu sympleks
Dla danych z zadania pierwszego naszkicować:
obszar rozwiązań dopuszczalnych,
graficzną reprezentację funkcji celu,
skomentować gdzie należy szukać rozwiązania optymalnego,
wyznaczyć współrzędne (wartości zmiennych w wierzchołkach) wierzchołków,
wyznaczyć wartość funkcji celu dla poszczególnych wierzchołków.
Pyt.1. Podać warunki jakie musi spełniać model matematyczny dla możliwości rozwiązywania metodami
programowania liniowego.
Pyt. 2. Ile zmiennych bazowych mają kolejne rozwiązania dopuszczalne odpowiadające wierzchołkom bazowym
(podać zależność ogólną i liczbę zmiennych bazowych z w zadaniu 1).
Sprowadzić model z zadań powyżej do postaci standardowej wyznaczyć wartości wszystkich zmiennych
w poszczególnych wierzchołkach obszaru rozwiązań dopuszczalnych. Dla każdego z wierzchołków wskazać
zmienne bazowe.
Poniżej podany jest następujący problem maksymalizacyjny:
Zmaksymalizować :
2 x1  3x 2
przy ograniczeniach :
6 x1  4 x 2  36
2 x1  4 x 2  26
x1 , x 2  0
a) naszkicować zbiór rozwiązań dopuszczalnych problemu oraz funkcję celu.
b) wyznaczyć wierzchołki bazowe problemu
c) wyznaczyć wartości funkcji celu dla wierzchołków bazowych, wskazać rozwiązanie optymalne
Poniżej podany jest następujący problem:
Zmaksymalizować :
2 x1  3x2
przy ograniczeniach :
3x1  5 x2  16
5 x1  2 x2  14
x1 , x2  0




naszkicować zbiór rozwiązań dopuszczalnych problemu oraz funkcję celu.
wyznaczyć wierzchołki bazowe problemu
wyznaczyć wartości funkcji celu dla wierzchołków bazowych
wskazać rozwiązanie optymalne
Poniżej podany jest następujący problem maksymalizacyjny:
Zmaksymalizować :
x1  2 x 2
przy ograniczeniach :
x1  x 2  10
2 x1  x 2  4
x1 , x 2  0
d) naszkicować zbiór rozwiązań dopuszczalnych problemu oraz funkcję celu.
e) wyznaczyć wierzchołki bazowe problemu
f) wyznaczyć wartości funkcji celu dla wierzchołków bazowych, wskazać rozwiązanie optymalne.
Tworzenie modeli problemów programowania liniowego
Rolnik posiada 20ha ziemi. Chce ja przeznaczyć pod uprawę ziemniaków i jęczmienia, jako paszy dla
planowanej hodowli tuczników. Jeden tucznik w okresie tuczu zjada 6q ziemniaków i 5q jęczmienia i wymaga
10 roboczogodzin obsługi. Uprawa hektara ziemniaków wymaga 100 roboczogodzin i daje plon 200q. Uprawa
hektara jęczmienia wymaga 20 roboczogodzin i daje plon 40q. Zasób robocizny rolnika wynosi 1800
roboczogodzin. Zysk ze sprzedaży jednego tucznika wynosi 250zł. Celem rolnika jest osiągniecie
maksymalnego zysku ze sprzedaży tuczników.
Zbudować model liniowy (wyszczególnić zmienne, podać ich jednostki, zapisać ograniczenia, zdefiniować
funkcję celu)
(ograniczenia tego problemu wynikają z posiadanych „mocy-zasobów” i zapotrzebowania ;-) )
..........................................  20
..........................................  1800
.......................  .......................
.......................  .......................
ziemia pod uprawę
ilość roboczogodzin
zapotrzebowanie a produkcja ziemniaków
zapotrzebowanie a produkcja jęczmienia
Punkt usługowy dostał zamówienie na wycięcie szyb do 300 jednakowych okien, z tym że na jedno okno
wchodzą 2 szyby typu e1 oraz 3 szyby typu e2 . Szyby wycina się z jednakowych płyt szklanych i można je
wycinać trzema sposobami. Liczby szyb i odpad powstały w procesie wycinania przedstawiono w tablicy
poniżej.
Sposoby cięcia
Szyby
płyt
typu
I
II
III
E1
6
4
3
E2
0
4
6
0,6 1,6 1,2
Odpad
[kg]
Zapisać model matematyczny minimalizacji odpadu powstałego z cięcia.
Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby
w1 i w2 . W procesie produkcji zużywane są środki produkcyjne ś1 ,
ś2 które są limitowane. Limity wynoszą odpowiednio 96000 i 80000. Nakłady limitowanych środków na
jednostkową produkcję w1 i w2 przedstawia tabela:
w1
w2
16
24
ś1
10
16
ś2
Wiadomo ponadto, że ograniczone zdolności produkcyjne nie pozwalają produkować więcej w1 , w2 niż
odpowiednio: 3000 i 4000 szt. Należy też przyjąć że optymalne proporcje wielkości produkcji w1 do w2 mają
się jak 2:3. Jednostkowe zyski ze sprzedaży wynoszą odpowiedni0 20 i 30. Zbuduj model matematyczny zadania
maksymalizacji zysku z produkcji wyrobów.
Zbuduj model matematyczny do zadania minimalizacji odpadu. Do produkcji prętów stalowych
o długości 0,9m, 1,8m oraz 2,9m używa się belek czterometrowych Na jeden komplet prętów składają się 3
drążki o długości 0,9m, 3 drążki o długości 1,8m i 2 drążki o długości 2,9m. Jak zrealizować zamówienie na 250
kompletów prętów, aby odpad był jak najmniejszy? Rozważ sytuację gdy nadprodukcję potraktujemy jako
odpad (zmodyfikuj odpowiednio funkcję celu).
Dany jest problem
Zmaksymalizować :
2 x1  3x2
przy ograniczeniach :
6 x1  4 x2  36
2 x1  4 x2  26
x1 , x2  0
zapisać funkcję celu w postaci standardowej, zapisać ograniczenia w postaci standardowej, zapisać pierwszą
tabelkę algorytmu sympleks, wskazać zmienną która do bazy wejdzie, wskazać zmienną która z bazy wyjdzie,
skonstruować drugą tabelkę.
Dany jest problem
Zmaksymalizować :
x1  2 x 2
przy ograniczeniach :
x1  x 2  10
2 x1  x 2  4
zapisać zadanie w postaci standardowej, rozwiązać zadanie algorytmem sympleks (opisać kolejne
przekształcenia), podać optymalną wartość funkcji celu.
Dany jest problem
Zmaksymalizować :
2 x1  3x2
przy ograniczeniach :
6 x1  4 x2  36
2 x1  4 x2  26
x1 , x2  0
zapisać funkcję celu w postaci standardowej, zapisać ograniczenia w postaci standardowej, zapisać pierwszą
tabelkę algorytmu sympleks, wskazać zmienną która do bazy wejdzie, wskazać zmienną która z bazy wyjdzie,
skonstruować drugą tabelkę.
Firma produkuje telewizory, magnetofony i kolumny głośnikowe (zarabiając odpowiednio: 70$, 60$, 35$)
używając standardowych części magazynowych: zasilaczy, głośników, obudów, itp. Dostawy części są
ograniczone i musimy określić najbardziej zyskowny zestaw produktów. Zapasy odpowiednio: Obudów,
Kineskopów, Głośników, Zasilaczy, Podzespołów to odpowiednio: 400, 200, 760, 400, 540. Zużycie materiałów
(odpowiednio) przedstawia tabela:
Telewizor Magnetofon Kolum
ny
y
y
1
1
2
1
2
1
0
2
1
1
0
0
1
0
1
a) Zbuduj model matematyczny b) zapisz zadanie w postaci standardowej c) zapisz dwie pierwsze tabelki
algorytmu sympleks (opisz dokładnie kroki jakie wykonałeś, skomentuj czy otrzymane rozwiązanie jest
optymalne).
Dany jest problem
Zmaksymalizować :
4 x1  8 x 2
przy ograniczeniach :
6 x1  4 x 2  36
3x1  6 x 2  24
x1 , x 2  0
a)
zapisać funkcję celu w postaci standardowej, zapisać ograniczenia w postaci standardowej, zapisać
pierwszą tabelkę algorytmu sympleks, wskazać zmienną która do bazy wejdzie, wskazać zmienną która z
bazy wyjdzie, skonstruować drugą tabelkę.
b) rozwiązać zadanie metodą graficzną (naszkicować zbiór rozwiązań dopuszczalnych ,wyznaczyć
współrzędne wierzchołków bazowych, narysować funkcję celu, wskazać rozwiązanie optymalne).
Dany jest problem
Zmaksymalizować :
60 x1  50 x 2
przy ograniczeniach :
4 x1  10 x 2  80
2 x1  x 2  80
3x1  3x 2  54
x1 , x 2  0
zapisać funkcję celu w postaci standardowej, zapisać ograniczenia w postaci standardowej, zapisać pierwszą
tabelkę algorytmu sympleks, wskazać zmienną która do bazy wejdzie, wskazać zmienną która z bazy wyjdzie,
skonstruować drugą tabelkę.
Zad.1. Dany jest problem:
2 x1  3x2
Zmaksymalizować :
przy ograniczeniach :
6 x1  4 x2  36
2 x1  4 x2  26
x1 , x2 - calkowite
W pierwszym kroku algorytmu „dziel i ograniczaj” otrzymano rozwiązanie problemu postaci x1  2,5 ,
x2  5,25 , wymagane jest rozwiązanie dwóch następujących podproblemów (uzupełnij):
Zmaksymalizować :
2 x1  3x2
Zmaksymalizować :
2 x1  3x2
przy ograniczeniach :
...............
przy ograniczeniach :
...............
...............
...............
Zagadnienia transportowe
Trzy magazyny M1, M2 i M3 zaopatrują w mąkę 4 piekarnie : P1, P2 , P3 , P4. Jednostkowe koszty transportu
(w zł za tonę), oferowane miesięcznie wielkości dostaw Ai (w tonach) oraz miesięczne zaopatrzenie piekarń Bj
(w tonach) podaje tabela poniżej.
Ai
Magazyn
Piekarnie
P1
P2
P3
P4
M1
50
40
50
20
70
M2
40
80
70
30
50
M3
60
40
70
80 zł
80
Bj
40
60
50
50
200
Opracować dopuszczalny plan przewozów. Zapisać odpowiedni model programowania liniowego. Oraz
pierwszą i drugą tabelkę algorytmu zmodyfikowanej dystrybucji.(opisać przekształcenia).
W pewnej miejscowości w dwóch punktach A i B istnieje konieczność wprowadzenia dodatkowych linii
komunikacyjnych. W punkcie A potrzeba 5 autobusów w punkcie B –7. Autobusy mogą dojechać z garaży
G1,G2,G3 w ilości odpowiednio:4, 3, 5. Jak rozdzielić autobusy między punkty docelowe aby zminimalizować
przebieg. Zapisz model matematyczny zadania. Podaj rozwiązanie dopuszczalne wyznaczone metodą „rogu
północno-zachodniego”, rozwiąż zadanie według algorytmu zmodyfikowanej dystrybucji (opisz kolejne
przekształcenia, podaj wykorzystywane wzory). Podaj optymalną wartość funkcji celu.
Minimalizujemy koszty przewozu towarów z zakładów produkcyjnych do centrów handlowych, nie
przekraczając wielkości podaży dostępnej z każdej fabryki (Pomorze, Dln. Śląsk, Tatry) i zaspokajając popyt
każdego centrum handlowego (Katowice, Bydgoszcz, ...).
Katowice
Bydgoszcz
Wrocław
Gdańsk
Warszawa
Podaż
Pomorze
10
8
6
5
4
310
Dln. Śląsk
6
5
4
3
6
260
Tatry
3
4
5
5
9
280
Popyt
180
80
200
160
230
Zapisz model matematyczny zadania. Podaj rozwiązanie dopuszczalne wyznaczone metodą „rogu północnozachodniego”, zapisz dwie pierwsze tabele algorytmu zmodyfikowanej dystrybucji (opisz dokładnie kolejne
przekształcenia, podaj wykorzystywane wzory).
Pewna firma posiada zakłady w miastach A B C. Do których ma być dostarczany surowiec z trzech magazynów
m1, m2, m3. Zapotrzebowanie zakładów wynosi odpowiednio 50, 150 i 300 [t]. magazyny mogą dostarczyć
odpowiednio: 100, 200 i 200 [t] surowca. Koszt przewiezienia tony z m1 do zakładu A, B, C wynosi
odpowiednio 4, 2 i 8. Podobnie koszt przewozu z magazynów m2 i m3 do zakładów A, B, C wynosi: 5, 1 i 9
oraz 7, 6 i 3.
Rozwiązać zadanie jako zagadnienie transportowe. Zapisać model matematyczny zadania.
Pewna firma posiada zakłady w miastach Leeds i Cardiff. Dostarczają one towary do magazynów w Manchester,
Birmingham i Londynie. Koszty transportu między miastami przedstawiono w tabeli.
Zakład w Leeds produkuje w ciągu roku 800 ton towarów, w Cardiff 500 ton. Magazyn w Manchester mieści
400t, w Birmingham 600, w Londynie 300. Jak transportować towary aby zminimalizować koszty przewozów.
Problem rozdziału 1:1
Do produkcji pewnego towaru firma musi zatrudnić czterech pracowników, do: przygotowania surowców(A),
nadzoru metalizacji(B), nadzoru drukowania etykiet(C) oraz kontroli jakości(D). Po przeprowadzeniu testów
oszacowano średni czas w minutach jaki zajmuje wykonanie poszczególnych czynności każdemu z
pracowników, a następnie podano go w tablicy.
Zapisz model matematyczny zadania. Zakładając specjalizację, oznaczającą, że każdy z pracowników będzie
wykonywać tylko jedną czynność, określić optymalny przydział z punktu widzenia minimalizacji łącznego czasu
(opisz poszczególne kroki algorytmu). Podaj minimalny czas wynikający z optymalnego przydziału.
Pracownicy
1
2
3
4
Czas niezbędny przy wykonywaniu czynności
A
B
C
D
60
86
84
108
72
96
72
96
60
72
96
84
48
72
84
96
Do produkcji CD oraz DVD firma musi zatrudnić czterech pracowników, do: przygotowania surowców(1),
nadzoru metalizacji(2), nadzoru drukowania etykiet(3) oraz kontroli jakości(4). Po przeprowadzeniu testów
oszacowano średni czas w minutach jaki zajmuje wykonanie poszczególnych czynności każdemu z
pracowników, a następnie podano go w tablicy.
Pracownicy
1
2
3
4
Czas niezbędny przy wykonywaniu
czynności
1
2
3
4
840
960
480
720
960
840
600
720
840
1080
600
860
720
960
720
960
Zakładając specjalizację, oznaczającą, że każdy z pracowników będzie wykonywać tylko jedną czynność,
określić optymalny przydział z punktu widzenia minimalizacji łącznego czasu. Podaj minimalny czas
wynikający z optymalnego przydziału.
Cztery sekretarki należy przydzielić do prowadzenia czterech różnych prac biurowych (A B C D). Znany jest
czas, jaki zajmuje tym sekretarkom wykonywanie poszczególnych prac. Zapisz model matematyczny zadania.
Określić optymalny przydział z punktu widzenia minimalizacji łącznego czasu wykonywania prac (Opisz
poszczególne kroki algorytmu). Podaj minimalny czas wynikający z tego przydziału.
Sekretarki
A
B
C
D
42
36
48
30
1
44
42
42
30
2
48
36
42
24
3
48
48
36
36
4
Maksymalizacja przepływu w sieciach
W kwadratach zaznaczono przepustowości krawędzi. Po przecinku podano wartości przykładowego przepływu.
Czy przedstawiony na rysunku przepływ (ile on wynosi?) jest przepływem poprawnie zdefiniowanym? (podaj
uzasadnienie)
Określić maksymalny przepływ dla podanej poniżej sieci transportowej.
Zbudować model programowania liniowego.
W tabeli przedstawiono przepustowości krawędzi. Narysuj sieć transportową, wyznacz jej maksymalny
przepływ. Wyznacz przepływ dopuszczalny generujący przepływ maksymalny. Zbuduj model programowania
liniowego.
s
a
b
c
s
-
a
5
3
b
8
-
c
9
4
-
t
6
7
Na rysunku przedstawiono przepustowości krawędzi. Określić maksymalny przepływ dla podanej poniżej sieci
transportowej.
Zbudować model programowania liniowego.
Problem minimalnego drzewa rozpinającego
Wyznacz minimalne drzewo rozpinające dla grafu
Dla grafu poniżej, podać zbiór krawędzi należących do minimalnego drzewa rozpinającego.
Podać zbiór krawędzi należących do minimalnego drzewa rozpinającego.
Dla grafu poniżej zapisać model programowania liniowego (dla wyznaczania minimalnego drzewa
rozpinającego).
Podać zbiór krawędzi należących do minimalnego drzewa rozpinającego.
Podać zbiór krawędzi należących do minimalnego drzewa rozpinającego. Zapisać odpowiedni model
programowania liniowego.
Metoda CPM/PERT
Dana jest sieć czynności i zdarzeń pewnego przedsięwzięcia.
Stosując metodę CPM, wyznacz:
 Termin ukończenia przedsięwzięcia,
 Ścieżkę krytyczną,
 Narysuj harmonogram przedsięwzięcia.
czynność
AB
AC
BG
BE
CB
CD
CF
DE
EG
FD
FG
DODATKOWE
ograniczenia
kolejnościowe
CD,FD
CD,FD
czas
trwania
1
3
8
4
2
1
3
2
1
3
3
Jest dana sieć czynności i zdarzeń pewnego przedsięwzięcia. Stosując metodę CPM, wyznacz scieżkę krytyczną,
oblicz luzy zdarzeń i rezerwy czasu czynności. Mając wszystkie informacje, narysuj harmonogram
przedsięwzięcia.
Mając dane o czasach poszczególnych czynnościach przedsięwzięcia. Narysować graf czynności z czynnościami
na krawędziach. Określić oczekiwany najkrótszy czas trwania przedsięwzięcia oraz prawdopodobieństwo
dotrzymania terminu dyrektywnego równego 30 dni. Przyjmując że wcześniej wyznaczona ścieżka krytyczna
przechodzi przez 1-4-5-6-7-8.
aij mij bij
1-2
1
2
3
1-3
3
5
7
1-4
1
4
7
2-5
2
3
4
2-7
1
5
9
3-5
3
6
9
3-6
1
2
3
4-5
5 10 15
5-6
2
8
14
5-7
1
2
3
6-7
6
6
6
6-8
4
5
6
7-8
4
4
4
Gdzie: aij- czas trwania czynności optymistyczny bij- pesymistyczny mij – najbardziej prawdopodobny
Dana jest sieć czynności i zdarzeń pewnego przedsięwzięcia.
Stosując metodę CPM, wyznacz:
 Termin ukończenia przedsięwzięcia,
 Ścieżkę krytyczną,
Czynność
i-j
1-2
1-3
2-4
2-5
3-5
4-5
4-6
5-6
Czas
ti-j
6
2
4
7
12
2
5
7