W9_Reakcje_dynamiczne
Transkrypt
W9_Reakcje_dynamiczne
WYKŁAD 9 WYZNACZANIE SIŁ REAKCJI PŁYNU NA CIAŁA METODĄ CAŁKOWEGO BILANSU PĘDU CAŁKOWA POSTAĆ ZASADY ZMIENNOŚCI PĘDU (RUCH STACJONARNY) W Wykładzie nr 3 pojawiła się całkowa postać Zasady Zmienności Pędu zapisana dla obszaru kontrolnego. Zapiszmy ją w następującej formie ( t υ) dV (υ) (υ n) dS σ dS f dV n Załóżmy, że ruch płynu w obszarze Ω jest stacjonarny oraz, że zewnętrzne pole sił objętościowych można zaniedbać. Powyższa równość całkowa uprości się wówczas do postaci σ d S ( υ)n d S strumien pędu przez brzeg obszaru Otrzymaliśmy całkową formę ZZP dla ustalonego ruchu płynu. Zauważmy, że powyższa równość zawiera wyłącznie całki po brzegu obszaru Ω! Lewa strona równości określa całkowitą siłę powierzchniową działającą na płyn, który aktualnie przebywa w obszarze Ω. 1/12 Brzeg obszaru można podzielić na dwie części: „płynną” (przez nią płyn wpływa lub wypływa do obszaru) i „materialną”, tj. będącą powierzchnią ciał znajdujących się w kontakcie z płynem. Typowe sytuacje przedstawiono na poniższych schematach. Należy zwrócić uwagę na zwrot wersora normalnego n. Formuła całkowa ZZP może być zatem zapisana następująco n σ dS body ( υ)n dS σ dS fluid fluid n F gdzie F jest wektorem siły reakcji płynu na ciało. Jeżeli założymy, że materialna część powierzchni jest dla płynu nieprzenikalna to składowa normalna prędkości na tej 0. powierzchni jest równa zeru: n body body fluid n body n 2/12 Ostatecznie, otrzymujemy całkową formułę dla siły reakcji (dynamicznej) płynu na ciało w postaci F ( υ)n dS fluid σ dS fluid Otrzymany wzór jest słuszny dla dowolnego płynu (ściśliwego, nieściśliwego, lepkiego, idealnego). Załóżmy teraz, że płyn jest nieściśliwym płynem newtonowskim. Wiemy już, że jednostkowa siła powierzchniowa (naprężenia) dane są z tym płynie wzorem σ p n 2 Dn Po podstawieniu, otrzymujemy następujący wzór na siłę reakcji F F fluid ( υ)n dS fluid p n dS 2 Dn dS fluid 3/12 Ostatnia całka jest zwykle trudna do policzenia. Niekiedy, możemy wykorzystać swobodę wyboru obszaru w celu zapewnienia, że udział tej całki w całym wzorze będzie zaniedbywalnie mały. W prostych zadaniach inżynierskich („akademickich”) będziemy zakładać, że całka ta jest do pominięcia. Oczywiście, składnik z lepkością znika tożsamościowo, jeśli posługujemy się modelem płynu idealnego. Uproszczona formuła dla siły reakcji dynamicznej ma zatem postać F ( υ)n dS fluid p n dS fluid Jeżeli powierzchnia fluid jest powierzchnią zamkniętą to modyfikacja ciśnienia o dowolną stała wartość pa jest dopuszczalna, bowiem nie zmienia wartości siły. Wynika to z następującej równości fluid pa n dS pa n dS 0 (dlaczego?) fluid 4/12 Formuła przyjmuje postać F fluid ( υ)n dS ( p pa ) n dS fluid Zwykle, użycie jej w takiej formie prowadzi do pewnego uproszczenia obliczeń. Typowym przypadkiem jest obliczanie reakcji od swobodnego strumienia cieczy (vide Ćwiczenia) W niektórych przypadkach odjęcie od ciśnienia stałej odpowiadającej wartości ciśnienia w otoczeniu jest niezbędnym warunkiem wyznaczenia poprawnej wartości reakcji dynamicznej „netto” (bez składnika napory statycznego). 5/12 Przykład (abstrakcyjny): W obszarze kontrolnym znajduje się pewne urządzenie przepływowe, które rozdziela wpadający strumień cieczy na dwa – jak na schemacie. Należy obliczyć składowe reakcji dynamicznej na to urządzenie. Ponieważ przepływ odbywa się wyłącznie przez wlot i wyloty oraz ciśnienie na wylotach jest równe ciśnieniu otoczenia pa, możemy przyjąć, że S1 S2 S3 Wlot S1: n e1 [1, 0] , υ QA e1 [ QA , 0] , n υ n QA S (υ)n dS S ( p p ) n dS a 1 1 [ ( QA )2 A pn A]e1 ( Q2 A pn A)e1 pn 6/12 Wylot S2: n e1 [1, 0] , υ 1Q 4 1A 2 e1 [ 2QA , 0] , n υ n 2QA Q 2 1 ( υ ) dS ( p p ) n dS ( n a 2 A ) 2 Ae1 S2 S2 1 8 Q2 A 0 e1 Wylot S3: n e2 [0, 1] , υ 3Q 4 1A 2 3Q e2 [0, 3Q ] , υ n n 2A 2A S (υ)n dS S ( p p ) n dS a 3 3 2 1 ( 3Q ) 2A 2 Ae2 9 8 Q2 A e2 0 Finalnie, siła reakcji dana jest wzorem: Q2 Q2 Q2 9 1 F ( A pn A)e1 8 A e1 8 A e2 Q2 Q2 7 9 ( 8 A pn A )e1 ( 8 A )e2 F1 F2 7/12 NAPRĘŻENIA A WIROWOŚĆ W PŁYNIE Wyprowadzimy eleganckie formuły dla naprężeń na powierzchni ciała i siły aero/hydrodynamicznej. Przy okazji, zobaczymy związek pomiędzy tymi wielkościami a wirowością płynu. Punktem wyjścia jest ogólna formuła dla siły powierzchniowej w płynie F σ dS Ξ n dS . Wykorzystamy związek reologiczny w płynie newtonowskim Ξ p I 2 D p I 2 υ 2 R gradient prędkosci Ponieważ to . tensor obrotu Rn 21 n ( υ) 21 n ω σ Ξ n p n 2 υ n n ω. 8/12 Zachodzi następujące twierdzenie: Jeżeli υ 0 (płyn nieściśliwy) i υ 0 to υ n n ω 0 . Dowód: Ponieważ υ 0 to powierzchnia jest izopowierzchnią dla wszystkich składowych pola prędkości (są one na niej równe zeru), zatem gradienty tych wielkości muszą być polami wektorowymi prostopadłymi do brzegu . Wobec tego, możemy napisać równości j j n 0 j nk , k 1, 2, 3 xk prawdziwe dla pewnych liczb rzeczywistych j (j = 1, 2, 3). Następnie, w notacji indeksowej mamy równości n ω ijk n j k ei , υ n i xj n j ei 9/12 Po podstawieniu otrzymujemy υ n n ω ( x j i ijk k ) n j ei ( x j i ijkk x ) n j ei x j i ( i j i j ) x n j ei ( x j i xi j x j i ) n j ei x j n j ei ( x j n j x j ni ) ei ( j ni n j j n j ni ) ei 0 i i j υ0 zgodnie z tezą twierdzenia. █ Otrzymaną równość możemy wykorzystać we wzorze na wektor naprężeń, który uprości się do postaci σ p n n ω Zauważmy, że p n n 0 i (n ω) n 0 co oznacza, że pierwszy składnik opisuje naprężenia normalne, a drugi – naprężenia styczne na powierzchni . 10/12 Siła działająca na ciało może być zatem obliczona ze wzoru ( p n n ω) dS F Ciekawe, że powyższy wzór można wyprowadzić bez założenia, że prędkość punktów brzegu jest równa zeru!. W rzeczy samej, podstawienie wyrażenia na naprężenia daje F σ dS p n dS 2 υ n dS n ω dS . Mamy jednak υ n d S tensorowy wariant GGO Div (υ) d x υ d x Laplasian prędkosci ( υ ) d x ( υ ) d x ω d x 0 ω GGO dla rotacji n ω d S 11/12 Mamy zatem wzór F p n dS 2 n ω dS n ω dS ( p n n ω) dS Zauważmy, że wyprowadzona wcześniej formuła dla naprężeń bez założenia zerowania prędkości brzegowej nie obowiązuje. Wynika z tego, że dodatkowy składnik w „hipotetycznej” formule opisującej rozkład naprężeń na ruchomym brzegu nie daje udziału do całkowitej siły aerodynamicznej. 12/12