4 - Scarab

LINIE TRANSMISYJNE TEM
(Repetytorium)
Andrzej Karwowski
Niniejszy dokument, zawierający przypomnienie i – być może – niewielkie rozszerzenie wiadomości z teorii linii długiej, zamyka komplet materiałów pomocniczych do wykładu z pól
fal elektromagnetycznych wyznaczając tym samym zakres materiaşu obowiązującego do egzaminu.
Spis treści
1 Wprowadzenie
3
2 Elementy teorii linii TEM
2.1 Równania wiążące prąd i napięcie. Parametry jednostkowe linii
2.2 Ogólne rozwiązania równań opisujących linię . . . . . . . . . .
2.3 Fale w linii. Parametry falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Zjawiska falowe w linii o skończonej długości . . . . . . . . .
2.4.1 Współczynnik odbicia. Dopasowanie falowe linii . . . .
2.4.2 Rozkłady prądu i napięcia . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Fala stojąca. Współczynnik fali stojącej . . . . . . . . .
2.4.4 Impedancja wejściowa linii . . . . . . . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
5
6
9
9
10
11
13
Rozdział 1
Wprowadzenie
Rzeczywisty obwód elektryczny można uznać za obwód o stałych skupionych, jeżeli prędkość
zmian dowolnej wielkości elektrycznej w obwodzie jest na tyle mała, że zmiana tej wielkości w czasie rozchodzenia się fali elektromagnetycznej w dowolnym kierunku obwodu jest
dostatecznie mała w porównaniu z całkowitą zmianą tej wielkości w warunkach analizy. W
przypadku periodycznych przebiegów elektrycznych oznacza to, że fala elektromagnetyczna
zdąży przebiec wzdłuż całego obwodu w czasie znacznie krótszym od okresu przebiegu. Tego
rodzaju procesy periodyczne nazywa się procesami kwazistacjonarnymi. Przebiegi elektryczne w obwodzie można uważać za kwazistacjonarne, gdy największy wymiar liniowy obwodu
jest znacznie mniejszy od długości fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w ośrodku, w
którym znajduje się obwód. W praktyce zwykle przyjmuje się, że przebieg periodyczny jest
kwazistacjonarny w obwodzie, którego największy wymiar liniowy jest mniejszy od 0.1λ,
gdzie λ oznacza długośc fali. Jeśli warunek ten nie jest spełniony, to obwód nie może być
traktowany jako obwód o parametrach skupionych, w analizie zaś trzeba uwzględniać fakt, że
parametry elektryczne obwodu (pojemność, indukcyjność, itd.) są rozłożone wzdłuż obwodu.
Inaczej mówiąc analizę obwodu można prowadzić tylko metodami teorii pola elektromagnetycznego. Zauważmy, że wraz ze wzrostem częstotliwości warunek kwazistacjonarności jest,
praktycznie rzecz biorąc, coraz trudniej spełnić. Przykładowo, obwód, którego największy
wymiar liniowy wynosi 10 cm, spełnia warunek kwazistacjonarności w zakresie częstotliwości aż do około 300 MHz. Natomiast w pasmie 12 GHz (telewizja satelitarna) warunek ten
spełniają obwody, których największy wymiar jest nie większy niż 2.5 mm.
W zastosowaniach ważną rolę odgrywają struktury, dla których warunek kwasistacjonarności nie jest spełniony tylko w odniesieniu do jednego wymiaru liniowego, tj. długości.
Oczywiście, należy je – ogólnie – traktować jako struktury o parametrach rozłożonych ze
wszystkimi tego konsekwencjami. Można jednak przyjąć, że parametry są rozłożone tylko w
jednym kierunku, tzn. wzdłuż struktury, co pozwala prowadzić analizę metodami teorii obwodów. Przykładem takich struktur są linie kablowe o torach współosiowych lub symetrycznych
wykorzystywane w telekomunikacji do przesyłania sygnałów ze źródła do odległego odbiornika. Na gruncie teorii pola elektromagnetycznego można wykazać, że fala elektromagnetyczna
rozchodząca się w torach bezstratnych jest falą TEM. Z tego powodu struktury, o których mowa wyżej, będziemy dalej nazywać liniami TEM albo – nawiązując do terminologii przyjętej
w teorii obwodów – liniami długimi.
3
Rozdział 2
Elementy teorii linii TEM
2.1 Równania wiążące prąd i napięcie. Parametry jednostkowe linii
Równania wiążące zespolone amplitudy U (z) i I(z) napięcia i prądu, odpowiednio, w dowolnym przekroju linii (patrz Rys. 2.1) w stanie ustalonym przy pobudzeniu sinusoidalnym mają
postać
dU (z)
= (R + jωL)I(z)
(2.1)
dz
dI(z)
−
= (G + jωC)U (z)
(2.2)
dz
Występujące w równaniach (2.1) parametry R, L, G i C nazywane są parametrami jednostkowymi linii
−
- jednostkowa rezystancja R
(Ω/m)
- jednostkowa indukcyjność L (H/m),
- jednostkowa konduktancja (upływność) (S/m),
- jednostkowa pojemność (F/m)
Obrazowo rzecz ujmując parametry jednostkowe określają gęstość, z jaką rezystancja, indukcyjność, upływność i pojemność są rozłożone wzdłuż linii. Wartości tych parametrów zależą
od geometrii linii i od właściwości elektrycznych ośrodka zapełniającego przestrzeń między
przewodami linii. Można wykazać, że parametry jednostkowe linii wypełnionej materiałem o
przenikalności elektrycznej , przenikalności magnetycznej µ i konduktywności σ są powiązane zależnościami
G
σ
=
C
LC = µ
Rys. 2.1. Schemat odcinka linii obciążonej impedancją Z L
4
(2.3)
(2.4)
Zależności te są bardzo ważne i użyteczne. Z jednej strony, wiążą one jednostkowe parametry
linii z parametrami wypełniającego ją ośrodka, z drugiej zaś – umożliwiają wyznaczenie
jednostkowej indukcyjności i konduktancji linii, gdy znana jest jej pojemność jednostkowa.
Jest to pożyteczne spostrzeżenie, ponieważ obliczanie pojemności jest zazwyczaj łatwiejsze
niż obliczanie indukcyjności.
2.2 Ogólne rozwiązania równań opisujących linię
Różniczkując względem zmiennej z pierwsze równanie układu (2.1) i podstawiając do otrzymanego wyniku drugie równanie otrzymujemy
d2 U (z)
− (R + jωL)(G + jωC)U (z) = 0 .
dz 2
(2.5)
Z kolei eliminując w analogiczny sposób z układu (2.1) napięcie U (z) dochodzimy do równania
d2 I(z)
− (R + jωL)(G + jωC)I(z) = 0 .
(2.6)
dz 2
Po wprowadzeniu oznaczenia
γ = α + jβ =
q
(R + jωL)(G + jωC) ,
(2.7)
równania (2.5) i (2.6) przyjmują postać
d2 U (z)
− γ 2 U (z) = 0
dz 2
d2 I(z)
− γ 2 I(z) = 0
dz 2
(2.8)
Ogólne rozwiązania tych równań mają postać
U (z) = U + (z) + U − (z) = U0+ e−γz + U0− eγz
I(z) = I + (z) + I − (z) = I0+ e−γz + I0− eγz
(2.9)
gdzie U0+ , U0− , I0+ i I0− są stałymi całkowania. Ponieważ (2.9) mają być rozwiązaniami układu (2.1), tj. układu dwóch równń różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, z których
każde może mieć tylko jedną stałą całkowania, więc tylko dwie spośród stałych U 0+ , U0− , I0+
i I0− mogą być niezależne. Rzeczywiście, po zróżniczkowaniu względem z wyrażeń (2.9) i
podstawieniu otrzymanych wyników do równań (2.1) otrzymujemy po elementarnych przekształceniach
γ
U0+ =
I+
(2.10)
G + jωC 0
γ
U0− = −
I0−
(2.11)
G + jωC
skąd wynika, że
U0−
I0−
=− +
U0+
I0
5
(2.12)
i
U0+
U0−
γ
=
−
.
− =
+
I0
I0
G + jωC
(2.13)
Wprowadzając oznaczenie
γ
R + jωL
Z0 =
=
=
G + jωC
γ
s
R + jωL
G + jωC
(2.14)
przepisujemy (2.13) jako
U0+
U0−
=
−
= Z0 ,
(2.15)
I0+
I0−
łącząc zaś (2.14), (2.10) i (2.11) z rozwiązaniami (2.9) przekształcamy te ostatnie do postaci
U (z) = U0+ e−γz + U0− eγz
i
1 h + −γz
I(z) =
U0 e
− U0− eγz
Z0
(2.16)
Stałe U0+ i U0− można wyznaczyć z warunków granicznych na zaciskach linii, tzn. z warunków
pobudzenia i obciążenia linii.
2.3 Fale w linii. Parametry falowe
Weźmy pod uwagę składnik
U + (z) = U0+ e−γz
(2.17)
rozwiązania (2.9) równania dla napięcia w linii. Uwzględniając (2.7) możemy przepisać (2.17)
jako
U + (z) = U0+ e−αz e−jβz
(2.18)
Przebieg czasowo-przestrzenny napięcia U + otrzymamy mnożąc wyrażenie po prawej stronie (2.18) przez exp(jωt) i biorąc część urojoną wyniku. Otrzymujemy w ten sposób
h
i
u(z, t) = |U0+ |e−αz sin ωt − βz + arg U0+ .
(2.19)
Ze wzoru tego wynika, że przesunięcia fazy napięcia na drodze z jest równe βz. Współczynnik
β można więc interpretować jako przesunięcie fazy przypadające na jednostkę długości, co
uzasadnia nazwanie β współczynnikiem fazy albo przesuwnością falową. Na podstawie wzoru
(2.19) można wyznaczyć prędkość v przemieszczania się wzdłuż linii punktów o tej samej
fazie, tzn. prędkość fazową. Stałą fazę mają punkty, dla których
ωt − βz + arg U0+ = const .
(2.20)
Po zróżniczkowaniu obu stron tego równania względem czasu otrzymujemy
ω−β
dz
=0,
dt
gdzie dz/dt jest właśnie poszukiwaną prędkością.
Ostatecznie mamy więc
ω
v= .
β
6
(2.21)
(2.22)
Parametry jednostkowe linii są nieujemne; na podstawie wzoru (2.7) nietrudno zatem
stwierdzić, że
π
0 ¬ arg γ ¬
(2.23)
2
skąd wynika, że
α­0
i
β­0
(2.24)
Ponieważ α jest dodatnie, więc amplituda napięcia danego wzorem (2.17) maleje eksponencjalnie ze wzrostem współrzędnej z. Współczynnik α decyduje zatem o tłumieniu napięcia
wzdłuż linii. Z tego powodu nazywamy go współczynnikiem tłumienia lub tłumiennością falową linii. Ma on sens tłumienia przypadającego na jednostkę długości linii. Współczynnik γ
dany wzorem (2.7) nazywa się współczynnikiem propagacji albo tamownością falową linii.
Rozważania powyżej wskazują na to, że przebieg określony zależnością (2.19) można
interpretować jako tłumioną falę napięcia rozchodzącą się wzdłuż linii z prędkością v. Falę
tę przyjęto nazywać falą padającą (zakładamy, że współrzędna z wzrasta w kierunku od
początku linii do jej końca). Analogicznie można zinterpretować drugi składnik rozwiązania
równania dla napięcia w linii, tzn. składnik z dodatnim wykładnikiem eksponenty. Mamy
tutaj również do czynienia z falą tłumioną, lecz rozchodzącą się w przeciwnym kierunku,
tj. w kierunku malejącej współrzędnej z. Falę tę nazywamy falą odbitą (napięcia). Napięcie
U (z) (patrz (2.9)) w dowolnym przekroju linii jest więc sumą fal padającej, U + (z), i odbitej
U − (z), a stałe całkowania U0+ i U0− mają sens, odpowiednio, zespolonych amplitud tych fal na
początku linii. Zaznaczmy w tym miejscu, że chociaż pojęcie ‘fala’ odnosi się do przebiegów
czasowo-przestrzennych, będziemy je tutaj często odnosić także do samych tylko amplitud
zespolonych odpowiednich przebiegów.
Długość λ fali w linii można wyznaczyć dzieląc predkość fazową v przez częstotliwość f
rozchodzącego się przebiegu
v
(2.25)
λ= ,
f
skąd po uwzględnieniu zależności (2.22) otrzymujemy
λ=
2π
.
β
(2.26)
Wszystkie rozważania tego rozdziału można powtórzyć dla rozwiązania opisującego prąd
w linii, interpretując składniki tego rozwiązania (patrz (2.9)) jako falę padającą i falę odbitą (prądu), odpowiednio. Ponieważ w wyrażeniach opisujących padające i odbite fale prądu
i napięcia występuje, w wykładniku eksponenty, ten sam współczynnik γ, więc nietrudno
stwierdzić, że wszystkie te fale rozchodzą się w linii z tą samą prędkością v i są w tym
samym stopniu tłumione.
Ze wzorów (2.9), (2.14) i (2.15) wynika, że w każdym poprzecznym przekroju linii stosunek zespolonych amplitud napięcia i prądu fali padającej jest wielkością stałą i równą Z 0 .
Dotyczy to również wziętego ze znakiem minus stosunku zespolonych amplitud napięcia i
prądu fali odbitej. Parametr Z0 , związany z parametrami jednostkowymi linii wzorem (2.14)
i mający wymiar impedancji, będziemy nazywać impedancją charakterystyczną linii.
Wszystkie parametry charakteryzujące linię, o których mowa w tym paragrafie, określa
się wspólnym mianem parametrów falowych linii. Ich wartości zależą od parametrów jednostkowych linii i częstotliwości roboczej. Ogólne wzory na parametry falowe są, niestety,
dość skomplikowane, mało przejrzyste i przez to mało przydatne w rutynowych obliczeniach.
7
Przykładowo, obliczenie tłumienności i przesuwności linii wymaga rozdzielenia wyrażenia po
prawej stronie wzoru (2.7) na część rzeczywistą i urojoną, po czym otrzymujemy
α, β =
s
1q 2
1
[R + (ωL)2 ] [G2 + (ωC)2 ] ± (R G − ω 2 LC) ,
2
2
(2.27)
gdzie znak plus bierzemy przy obliczaniu parametru α, natomiast znak minus – przy obliczaniu
β.
W celu uzyskania lepszego wglądu w zjawiska falowe w linii TEM rozważymy szczególny
przypadek linii bezstratnej.
Linia bezstratna (R = 0, G = 0)
Kładąc R = 0 i G = 0 we wzorze (2.7) otrzymujemy
√
γ = α + jβ = jω LC ,
(2.28)
co oznacza, że
(2.29)
α=0
√
β = ω LC
(2.30)
Prędkość fazowa fali w linii
1
ω
=√
.
β
LC
Biorć pod uwagę związek (2.4) otrzymujemy
(2.31)
v=
1
v=√ ,
µ
(2.32)
a zakładając, że linię wypełnia materiał niemagnetyczny (µr = 1)
c
v=√ ,
r
(2.33)
√
gdzie c = 1/ µ0 0 jest prędkością światła w wolnej przestrzeni, to znaczy w próżni.
Ze wzorów (2.33) i (2.25) wynika, że długość fali w linii
λ0
λ= √ ,
r
(2.34)
gdzie λ0 = c/f oznacza długość fali w wolnej przestrzeni.
Impedancja charakterystyczna linii
Z0 = R0 + jX0 =
s
L
,
C
(2.35)
skąd wynika
s
L
C
X0 = 0 .
R0 =
8
(2.36)
(2.37)
2.4 Zjawiska falowe w linii o skończonej długości
2.4.1 Współczynnik odbicia. Dopasowanie falowe linii
Rozważmy odcinek jednorodnej linii przesyłowej o długości l i parametrach falowych γ i Z 0 .
Załóżmy, że w przekroju z = 0 linię zasila generator o napięciu źródłowym U g i impedancji
wewnętrznej Zg . W przekroju z = l linia jest zakończona obciążeniem impedancyjnym Z L ,
to znaczy
U (z) UL
=
= ZL .
(2.38)
I(z) z=l
IL
Kładąc z = l w równaniach (2.16) otrzymujemy
UL = U0+ e−γl + U0− eγl ,
IL =
i
1 h + −γl
U0 e − U0− eγl .
Z0
(2.39)
(2.40)
Rozwiązując te równania ze względu na U0+ i U0− z uwzględnieniem warunku granicznego
(2.38) otrzymujemy
1
(2.41)
U0+ = (UL + IL Z0 ) eγl ,
2
1
U0− = (UL − IL Z0 ) e−γl .
(2.42)
2
Zauważmy, że stosunek zespolonych amplitud fal napięcia odbitej i padającej na końcu linii
U − (l)
U0− eγl
UL − I L Z0
ZL − Z 0
=
=
=
= ΓL ,
+
U + (l)
U0 e−γl
UL + I L Z0
ZL + Z 0
(2.43)
gdzie
ΓL =
ZL − Z 0
= |ΓL |ejθL
ZL + Z 0
(2.44)
nazywa się napięciowym współczynnikiem odbicia na końcu linii, tzn. przy obciążeniu Z L .
Analizując wyrażenie po prawej stronie (2.44) nietrudno stwierdzić, że
0 ¬ |ΓL | ¬ 1 .
(2.45)
Moduł współczynnika odbicia linii przyjmuje największą wartość, równą 1, gdy linia jest na
końcu zwarta (ZL = 0) lub rozwarta (ZL = ∞). Jeżeli natomiast impedancja obciążenia linii
jest równa impedancji charakterystycznej linii (ZL = Z0 ), to współczynnik odbicia na końcu
linii przyjmuje wartość równą zeru.
Stosunek zespolonych amplitud fal odbitej i padającej można obliczać w dowolnym przekroju linii. Można zatem mówić o współczynniku odbicia w dowolnym przekroju
Γ = Γ(z) =
U − (z)
U0− eγz
(UL − IL Z0 ) e−γ(l−z)
=
=
U + (z)
U0+ e−γz
(UL + IL Z0 ) eγ(l−z) .
(2.46)
Po uwzględnieniu warunku granicznego (2.38) oraz wzoru (2.44) otrzymujemy
Γ = ΓL e−2γ(l−z) = |ΓL |e−2α(l−z) ej[θL −2β(l−z)] .
9
(2.47)
Ze wzoru tego wynika, że jeśli napięciowy współczynnik odbicia na końcu linii, Γ L , jest
równy zeru, to równy zeru jest także współczynnik odbicia w dowolnym przekroju linii. W
linii nie występuje zatem fala odbita, a napięcie w dowolnym przekroju jest równe napięciu fali
padającej. Taki stan nazywamy stanem dopasowania falowego linii. Warunkiem dopasowania
falowego jest
ZL = Z 0 ,
(2.48)
a obciążenie spełniające ten warunek nazywamy dopasowanym falowo do linii. W praktyce z
reguły bardzo dba się o to, by linie pracowały w stanie dopasowania falowego.
Ze wzoru (2.47) wynika także, że moduł współczynnika odbicia w dowolnym przekroju
linii bezstratnej (α = 0) jest taki sam jak moduł współczynnika odbicia na końcu linii. Natomiast w linii stratnej (nawet bardzo mało stratnej) moduł współczynnika odbicia w dowolnym
przekroju linii jest zawsze mniejszy od modułu tego współczynnika na końcu linii. Nietrudno
to objaśnić: wystarczy zauważyć, że amplituda fali odbitej od obciążenia i przemieszczającej
się w kierunku zacisków wejściowych linii maleje na skutek tłumienia. Można stąd również
wywnioskować, że w linii nieskończenie długiej fala odbita nie występuje; taka hipotetyczna
linia jest więc zawsze dopasowana falowo.
Na podstawie zależności (2.12) stwierdzamy, że współczynnik odbicia dla prądu, zdefiniowany jako stosunek zespolonych amplitud fal prądu odbitej i padającej, różni się tylko znakiem
od napięciowego współczynnika odbicia. Z tego powodu dalej będziemy się posługiwać – bez
utraty ogólności – tylko współczynnikiem odbicia zdefiniowanym dla napięcia.
2.4.2 Rozkłady prądu i napięcia
Po połączeniu (2.9) i (2.12) z (2.38) oraz (2.41) i (2.42) dochodzimy do następujących wyrażeń
opisujących rozkład napięcia i prądu wzdłuż linii w funkcji odległości z 0 = l − z mierzonej
od końca linii
h
0
U (z 0 ) = U0+ e−γl eγz + ΓL e−γz
I(z 0 ) =
0
i
(2.49)
i
U0+ −γl h γz 0
0
e
e − ΓL e−γz ,
Z0
(2.50)
gdzie U0+ jest dane wzorem (2.41). Jeśli we wzorach (2.49) i (2.50) rozwiniemy współczynnik
odbicia ΓL według (2.44) i odpowiednio pogrupujemy składniki z mnożnikami eksponencjalnymi, to otrzymamy
U (z 0 ) = UL cosh γz 0 + Z0 IL sinh γz 0 ,
UL
I(z 0 ) = IL cosh γz 0 +
sinh γz 0 .
Z0
(2.51)
(2.52)
Dla linii bezstratnej wzory (2.49) i (2.50) przyjmują, odpowiednio, postać
h
0
0
i
U (z 0 ) = U0+ e−jβl ejβz + ΓL e−jβz ,
U0+ −jβl h jβz 0
0
i
(2.53)
− ΓL e−jβz ,
(2.54)
U (z 0 ) = UL cos βz 0 + jZ0 IL sin βz 0 ,
UL
I(z 0 ) = IL cos βz 0 + j
sin βz 0 .
Z0
(2.55)
I(z 0 ) =
natomiast wzory (2.51) i (2.52)
R0
e
e
10
(2.56)
2.4.3 Fala stojąca. Współczynnik fali stojącej
Weźmy pod uwagę linię bezstratną i zbadajmy rozkłady amplitudy napięcia |U (z 0 )| i prądu
|I(z 0 )| w linii. Amplitudę napięcia obliczymy korzystając z zależności
|U (z 0 )| =
q
(2.57)
U (z 0 ) U ∗ (z 0 ),
w której gwiazdka oznacza wielkość zespoloną sprzężoną. Podstawiając (2.53) do (2.57) otrzymujemy po elementarnych przekształceniach i uporządkowaniu składników
q
|U (z 0 )| = |U0+ | 1 + |ΓL |2 + 2|ΓL | cos(2βz 0 − θL ).
(2.58)
W analogiczny sposób otrzymujemy rozkład amplitudy prądu w linii
|U0+ | q
|I(z )| =
1 + |ΓL |2 − 2|ΓL | cos(2βz 0 − θL ).
R0
0
(2.59)
Ze wzoru (2.58) wynika, że amplituda napięcia zmienia się wzdłuż linii osiągając na
przemian lokalne minima i maksima. Amplituda napięcia przyjmuje największe wartości
|U |max = |U0+ |(1 + |ΓL |)
(2.60)
w punktach, których współrzędna z 0 spełnia warunek
2βz 0 − θL = 2nπ
(n = 0, 1, 2, . . .),
(2.61)
natomiast wartości najmniejsze
|U |min = |U0+ |(1 − |ΓL |)
(2.62)
w punktach
2βz 0 − θL = (2n + 1)π
(n = 0, 1, 2, . . .).
(2.63)
Podobnie zmienia się amplituda prądu wzdłuż linii (patrz (2.59)) oscylując między wartościami
|I|max
|U0+ |
=
(1 + |ΓL |)
R0
i
|I|min
|U0+ |
=
(1 − |ΓL |).
R0
(2.64)
Minima prądu występują w tych przekrojach linii, w których napięcie przyjmuje wartość największą, natomiast maksima prądu – tam, gdzie napięcie jest najmniejsze. Z warunków (2.61)
i (2.63) wynika, że dwa kolejne lokalne minima (albo maksima) rozkładu amplitudy napięcia
leżą w odległości równej połowie długości fali w linii, a przedziela je leżące pośrodku lokalne
maksimum (albo minimum, odpowiednio). Położenie lokalnych ekstremów rozkładów (2.58)
i (2.59) nie zmienia się w czasie, co uzasadnia nazwanie tych rozkładów falami stojącymi.
W linii bezstratnej zwartej na końcu (|ΓL | = 1, θL = −π) mamy
|U (z 0 )| = 2|U0+ || sin βz 0 |
i
|I(z 0 )| = 2
|U0+ |
| cos βz 0 | ,
R0
(2.65)
|U0+ |
| sin βz 0 | .
R0
(2.66)
natomiast w linii rozwartej (|ΓL | = 1, θL = 0)
|U (z 0 )| = 2|U0+ || cos βz 0 |
i
11
|I(z 0 )| = 2
W linii dopasowanej falowo (|ΓL | = 0)
|U (z 0 )| = |U0+ |
i
|I(z 0 )| =
|U0+ |
,
R0
(2.67)
co oznacza, że amplituda napięcia (prądu) w linii bezstratnej nie zmienia się wzdłuż linii i
jest równa amplitudzie napięcia (prądu) fali padającej na zaciskach wejściowych linii.
‘Falujące’ rozkłady amplitudy napięcia i prądu są wynikiem nakładania się fal padającej i
odbitej; w tych przekrojach linii, gdzie obie fale mają fazy zgodne, ich amplitudy dodają się,
natomiast tam, gdzie fale padająca i odbita spotykają się w przeciwfazie, amplitudy odejmują
się. Parametrem, który charakteryzuje stopień nierównomierności rozkładu amplitudy napięcia
w linii, jest bezwymiarowy współczynnik fali stojącej (wfs) zdefiniowany jako stosunek sumy
amplitud fal padającej i odbitej do różnicy amplitud tych fal w wybranym przekroju linii
ρ(z 0 ) =
|U + (z 0 )| + |U − (z 0 )|
.
|U + (z 0 )| − |U − (z 0 )|
(2.68)
W linii bezstratnej amplitudy fal padającej i odbitej nie zmieniają się wzdłuż linii, skutkiem
czego współczynnik fali stojącej ma wartość stałą, tzn. nie zależy od współrzędnej mierzonej
wzdłuż linii. Biorąc pod uwagę, że w dowolnym przekroju linii bezstratnej
|U − (z 0 )|
= |ΓL | ,
|U + (z 0 )|
(2.69)
możemy przekształcić wzór definicyjny (2.68) do postaci
ρ=
1 + |ΓL |
,
1 − |ΓL |
(2.70)
ρ−1
.
ρ+1
(2.71)
albo
|ΓL | =
Ze wzorów (2.60), (2.62) i (2.70) wynika, że
ρ=
|U |max
.
|U |min
(2.72)
Współczynnik fali stojącej jest liczbą dodatnią i może przyjmować wartości z przedziału
[1, ∞). W szczególności mamy
ΓL = 0
ΓL = −1
ΓL = +1
ρ=1
ρ→∞
ρ→∞
gdy ZL = Z0 (dopasowanie falowe)
gdy ZL = 0 (linia zwarta)
gdy ZL → ∞ (linia rozwarta)
Przejdźmy teraz do analizy linii stratnej. Po podstawieniu (2.49) do (2.57) dochodzimy do
następującego wyrażenia opisującego rozkład amplitudy napięcia w linii:
0
q
|U (z 0 )| = |U0+ |e−α(l−z ) 1 + |ΓL |2 e−4αz 0 + 2|ΓL |e−2αz 0 cos(θL − 2βz 0 ) .
12
(2.73)
Z kolei obliczając moduł wyrażenia po prawej stronie (2.50) otrzymujemy
|I(z 0 )| =
|U0+ | −α(l−z 0 ) q
e
1 + |ΓL |2 e−4αz 0 − 2|ΓL |e−2αz 0 cos(θL − 2βz 0 ) .
|Z0 |
(2.74)
W warunkach dopasowania falowego linii (ΓL = 0) wyrażenia (2.73) i (2.74) przyjmują,
odpowiednio, postać
0
|U (z )| =
0
|U0+ |e−α(l−z )
i
|U0+ | −α(l−z 0 )
|I(z )| =
e
.
R0
0
(2.75)
Jak widać, amplitudy napięcia i prądu w linii stratnej dopasowanej falowo maleją monotonicznie w miarę oddalania się od zacisków wejściowych. Niedopasowanie linii stratnej ma
podobne konsekwencje, jak niedopasowanie linii bezstratnej: w linii pojawia się fala odbita,
która przemieszczając się od obciążenia w kierunku zacisków wejściowych linii, ‘nakłada się’
na falę padającą biegnącą w stronę obciążenia. W rezultacie w linii powstają ‘falujące’ rozkłady napięcia i prądu opisane zależnościami (2.73) i (2.74). O ile w linii bezstratnej wahanie
funkcji |U (z 0 )| i |I(z 0 )| nie zmienia się wzdłuż linii, to w linii ze stratami wahanie tych funkcji zmniejsza się w miarę oddalania się od obciążenia, tj. w miare wzrostu współrzędnej z 0 .
W linii o małych stratach lokalne ekstrema rozkładów napięcia i prądu występują w pobliżu
punktów spełniających warunki (2.61) i (2.63).
Podobnie jak w linii bezstratnej, miarą nierównomierności rozkładów amplitudy napięcia i
prądu w linii stratnej jest współczynnik fali stojącej. Na podstawie wzoru definicyjnego (2.68)
i przy uwzględnieniu, że w linii stratnej
|U − (z 0 )|
0
−2αz 0
=
|Γ(z
)|
=
|Γ
|e
,
L
|U + (z 0 )|
(2.76)
otrzymujemy
0
1 + |ΓL |e−2αz
.
ρ(z ) =
1 − |ΓL |e−2αz 0
(2.77)
0
Jak widać, współczynnik fali stojącej w linii stratnej jest funkcją odległości (tutaj mierzonej
od obciążenia).
Współczynnik fali stojącej, na równi ze współczynnikiem odbicia, charakteryzuje stopień
dopasowania obciążenia do linii. W praktyce chętniej posługujemy się współczynnikiem fali
stojącej, ponieważ jest on łatwiej dostępny pomiarowo niż współczynnik odbicia. Ponieważ
pomiar wfs jest najczęściej wykonywany na zaciskach wejściowych linii warto w tym miejscu
zwrócić uwagę na następującą ważną okoliczność. Ze wzoru (2.77) wynika, że wfs na zaciskach
wejściowych linii stratnej jest zawsze mniejszy niż wfs na końcu linii. Jeśli więc nie weźmiemy
stosownych poprawek na straty w linii, to ocena stopnia dopasowania linii na podstawie wyniku
pomiaru wfs na zaciskach wejściowych linii zawsze wypadnie korzystniej niż właściwa ocena
na podstawie wyniku pomiaru wfs tuż przy obciążeniu linii.
2.4.4 Impedancja wejściowa linii
Obliczmy stosunek zespolonych amplitud napięcia i prądu w przekroju linii w odległości z 0
od jej końca. Na podstawie wzorów (2.49) i (2.50) otrzymujemy
0
1 + ΓL e−2γz
U (z 0 )
Z(z ) =
= Z0
.
I(z 0 )
1 − ΓL e−2γz 0
0
13
(2.78)
Jeśli wyjdziemy ze wzorów (2.51) i (2.52), to przy uwzględnieniu warunku granicznego (2.38)
otrzymamy
ZL + Z0 tanh γz 0
U (z 0 )
0
Z(z ) =
= Z0
.
(2.79)
I(z 0 )
Z0 + ZL tanh γz 0
Wielkość Z(z 0 ) ma sens impedancji widzianej z hipotetycznych zacisków w przekroju z 0 , gdy
patrzymy z tych zacisków w stronę obciążenia linii. Inaczej rzecz ujmując można powiedzieć,
że jest to impedancja, którą można zastąpić odcinek linii (wraz z jej obciążeniem) na prawo od
z 0 . Dla z 0 = l impedancja dana wzorem (2.78) albo (2.79) nabiera sens impedancji wejściowej
Zi linii. Mamy zatem
1 + ΓL e−2γl
Zi = Z 0
(2.80)
.
1 − ΓL e−2γl
albo
Zi = Z 0
ZL + Z0 tanh γl
.
Z0 + ZL tanh γl
(2.81)
W zastosowaniach często mamy do czynienia z liniami w trzech szczególnych stanach obciążenia, mianowicie dopasowania falowego, zwarcia i rozwarcia. W warunkach dopasowania
falowego (ZL = Z0 )
Zi = Z 0 .
(2.82)
Impedancja wejściowa linii dopasowanej falowo jest więc równa impedancji charakterystycznej
linii i nie zależy od długości linii.
Impedancja wejściowa linii zwartej na końcu (ZL = 0)
Zi0 = Z0 tanh γl ,
(2.83)
natomiast impedancja wejściowa linii rozwartej (ZL = ∞)
Zi∞ = Z0 coth γl .
(2.84)
Ze wzorów (2.83) i (2.84) wynika, że
Z0 =
q
Zi0 Zi∞ .
(2.85)
Zależność ta sugeruje sposób pomiaru impedancji charakterystycznej Z 0 linii o nieznanych
parametrach. W celu wyznaczenia tej impedancji wystarczy zmierzyć impedancję wejściową
odcinka linii rozwartej i powtórzyć pomiar dla tego samego odcinka linii w stanie zwarcia.
Poszukiwana impedancja charakterystyczna jest średnią geometryczną wyników obu pomiarów.
Dla linii bezstratnej wzór (2.80) przyjmuje postać
1 + ΓL e−j2βl
Zi = R 0
,
1 − ΓL e−j2βl
(2.86)
natomiast wzór (2.81)
Zi = R 0
ZL + jZ0 tan βl
.
Z0 + jZL tan βl
(2.87)
Impedancja wejściowa linii bezstratnej dopasowanej falowo jest – podobnie jak impedancja
wejściowa dopasowanej linii stratnej – równa impedancji charakterystycznej linii niezależnie
od długości tej ostatniej. Dla linii bezstratnej zwartej na końcu wzór (2.83) przyjmuje postać
Zi0 = jR0 tan βl ,
14
(2.88)
natomiast wzór (2.84) dla linii rozwartej
Zi∞ = −jR0 cot βl .
(2.89)
Obok trzech dyskutowanych wyżej szczególnych przypadków obciążenia linii (zwarcie,
rozwarcie, dopasowanie falowe) warto również zwrócić uwagę na linie o dwóch szczególych
długościach, tzn. linię półfalową i linię ćwierćfalową. Jeśli fizyczna długość l odcinka linii
bezstratnej jest równa połowie długości fali (w linii), to βl = π i wzór (2.87) upraszcza się
do postaci
Zi = ZL gdy l = λ/2
(2.90)
Jak widać, impedancja na zaciskach wejściowych linii półfalowej jest równa impedancji obciążenia linii. Można powiedzieć, że półfalowy odcinek linii jest transformatorem impedancji
o przekładni równej 1. Ogólnie, właściwość tę ma każda linia o długości równej całkowitej
wielokrotności połowy długości fali.
Jeśli długość l jest równa ćwiartce długości fali, to βl = π/2, tg(βl) → ∞ i w rezultacie
Zi =
R02
ZL
(2.91)
albo zamiennie
Zi ZL = R02
gdy l = λ/4
(2.92)
Ogólnie, zależność (2.92) jest słuszna dla linii o długości równej nieparzystej wielokrotności
ćwiartek długości fali. Ćwierćfalowe odcinki linii są powszechnie wykorzystywane w technice
mikrofalowej jako transformatory impedancji (tzw. transformatory ćwierćfalowe).
15