ETR 2014/2015 1. Matematyczne modele ryzyka. Przyk lady 1 § 1

ETR 2014/2015
§ 1.
1. Matematyczne modele ryzyka. Przyklady
1
Matematyczne modele ryzyka. Przyklady
Określenie ryzyka
Ryzyko w sensie potocznym to pewne zagrożenie zależne od wielu przypadkowych
czynników. W matematyce, ryzyko jest reprezentowane (najcześciej) przez nieujemna
‘
‘
zmienna losowa:
‘
‘
ryzyko = nieujemna zmienna losowa.
Przyklad
Rozważamy ryzyko szkody materialnej posiadacza samochodu w określonym przedziale
czasowym, np. jednego roku. Ryzyko bedzie reprezentować zmienna losowa
‘
X - laczna wartość szkód w roku.
‘
Możemy konstruować rozmaite opisy (modele) takiego ryzyka. Przyklady:
Model (a):
N - liczba szkod w danym roku,
Y - wartośc każdej pojedyńczej szkody.
X =N ·Y.
Model (b):
N - liczba szkod w danym roku,
Y1 , Y2 , ... - wartości kolejnych szkód,
X = Y1 + ... + YN suma losowej ilości ryzyk.
Model (c):
Yi - wartość szkody w i-tym dniu roku, i = 1, 2, ..., 365,
X = Y1 + ... + Y365 suma ustalonej ilości ryzyk.
itd.
Podstawowe problemy teorii ryzyka
1.
2.
3.
4.
Jaki wybrać model ryzyka?
Jaki rozklad ma ryzyko?
Jakie sa parametry rozkladu ryzyka?
‘
Jaka podjać decyzje na podstawie parametrów ryzyka?
‘
‘
‘
Klasyczne modele ryzyka
Do klasycznych modeli ryzyka zaliczamy tzw. ryzyka pojedyńcze oraz ryzyka laczne
bedace sumami ustalonej lub losowej dlugości innych ryzyk.
‘ ‘
ETR 2014/2015
1. Matematyczne modele ryzyka. Przyklady
2
Ryzyka pojedyńcze
Ryzyko pojedyńcze, to ryzyko, które może wygenerować co najwyżej jedno zagrożenie,
np. strate lub jej brak z jednej umowy (ubezpieczeniowej, kredytowej, itp). Opisuje je
‘
zmienna losowa X określona wzorem:
X =N ·Y,
N - zmienna losowa o wartościach 0 - brak szkody i 1 - szkoda,
Y - zmienna losowa, wartość zaistnialej szkody.
Ryzyka laczne portfelowe
‘
Ryzyko laczne portfelowe, to suma ustalonej liczby n ryzyk, np. portfel n = 1000 polis
‘
ubezpieczeniowych. Opisuje je zmienna losowa X określona wzorem:
X = Y1 + ... + Yn ,
Y1 , ..., Yn - wartości szkód z poszczególnych polis.
Ryzyka laczne kolektywne
‘
Ryzyko laczne kolektywne, to suma losowej liczby ryzyk, np. laczna wartość szkód
‘
‘
pożarowych w danym okresie. Opisuje je zmienna losowa X określona wzorem:
X = Y1 + ... + YN ,
Y1 , Y2 , ... - wartości kolejnych szkód,
N - liczba szkód w danym okresie.
Przyklad (ryzyko ubezpieczenia bagażu)
Umowa ubezpieczeniowa określa wyplate odszkodowania w wysokości 1000 zl w przypadku zagubienia jednej walizki. Wiadomo ponadto, że: prawdopodobieństwo zagubienia bagażu wynosi wynosi 1/100. Jaka powinna być sprawiedliwa cena (netto) umowy
ubezpieczeniowej, jeśli turysta podróżuje z dwiema walizkami?
Rozwiazanie 1
‘
1. Tworzymy model ryzyka: Y1 - odszkodowanie za walizke nr 1, Y2 - odszkodowanie
za walizke nr 2, X = Y1 + Y2 calkowite odszkodowanie. Na podstawie zalożeń przyjmujemy: zmienne losowe Y1 i Y2 sa niezależne i maja jednakowe rozklady:
‘
‘
P (Yi = 1000) = 1/100, P (Yi = 0) = 99/100, i = 1, 2.
2. Wyznaczamy rozklad ryzyka. Ryzyko X przyjmuje wartości: 0, 1000, 2000. Mamy:
P (X = 0) = P (Y1 + Y2 = 0) = P (Y1 = 0, Y2 = 0) = P (Y1 = 0) · P (Y2 = 0) =
(99/100)2 = 0, 9801,
P (X = 1000) = P ((Y1 = 1000 ∧ Y2 = 0) ∨ (Y1 = 0 ∧ Y2 = 1000) = P (Y1 =
1000∧Y2 = 0)+P (Y1 = 0∧Y2 = 1000) = (1/100)·(99/100)+(99/100)·(1/100) =
2 · (99/10000) = 99/5000 = 0, 0198,
ETR 2014/2015
1. Matematyczne modele ryzyka. Przyklady
3
P (X = 2000) = P (Y1 + Y2 = 2000) = P (Y1 = 1000 ∧ Y2 = 1000) = P (Y1 =
1000) · P (Y2 = 1000) = 1/100 · 1/100 = 0, 0001.
Cena p umowy bedzie sprawiedliwa, jeśli X − p ma zerowa wartość oczekiwana. Mamy
‘
‘
‘
E(X − p) = 0 ⇔ E(X) − p = 0 ⇔ p = E(X),
E(X) = 0 · 0, 9801 + 1000 · 0, 0198 + 2000 · 0, 0001 = 19, 8 + 0, 2 = 20.
Zatem sprawiedliwa cena (netto) umowy to p = 20 zl.
Rozwiazanie 2
‘
1. Tworzymy model ryzyka: X = N · Y , gdzie: N - liczba utraconych walizek, Y odszkodowanie za jedna walizke. Przyjmujemy:
‘
‘
P (N = 1) = 1/100 = 0, 01,
P (N = 2) = 1/100 · 1/100 = 0, 0001,
P (N = 0) = 1 − 1/100 − 1/10000 = 1 − 0, 0101 = 0, 9899;
P (Y = 0) = P (N = 0) = 0, 9899,
P (Y = 1000) = P (N = 1 ∨ N = 2)
zdarzenia rozlaczne
‘
= P (N = 1) + P (N = 2) = 0, 01 + 0, 0001 = 0, 0101.
Zmienne losowe N i Y sa zależne (bo np. Y = 0 implikuje N = 0)!
‘
2. Wyznaczamy rozklad ryzyka. Ryzyko X przyjmuje wartości: 0, 1000, 2000. Mamy:
P (X = 0) = P (N · Y = 0) = P (N = 0 ∨ Y = 0) = P (N = 0) = 0, 9899,
P (X = 1000) = P (N · Y = 1000) = P (N = 1 ∧ Y = 1000)
= P (N = 1) · P (Y = 1000|N = 1) = 1/100 · 1 = 0, 01,
na podstawie wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe P (A|B) = P (A ∩ B)/P (B).
Dalej, postepujac podobnie mamy:
‘
‘
P (X = 2000) = P (N · Y = 2000) = P (N = 2 ∧ Y = 1000)
= P (N = 2) · P (Y = 1000|N = 2) = 0, 0001 · 1 = 0, 0001.
Tak jak poprzednio przyjmujemy, że sprawiedliwa cena (netto) jest wartość oczekiwana
‘
‘
ryzyka X. Mamy:
E(X) = 0 · 0, 9899 + 1000 · 0, 01 + 2000 · 0, 0001
= 10 + 0, 20 = 10, 20.
Zatem sprawiedliwa cena (netto) umowy to p = 10, 20 zl.
Mamy problem!
Który model jest wlaściwy, który lepiej pasuje do rzeczywistości?