Mechanika Klasyczna wg. W.I.Arnolda.

Mechanika Klasyczna wg. W.I.Arnolda.
Plan.
Poni»ej jest lista cz¦±ci ksi¡»ki, które b¦d¡ przerabiane na spotkaniach.
Uwagi.
Cho¢ pierwsza ksi¡»ki traktuje o mechanice w sformuªowaniu Newtona, co nie pokrywa si¦ z planem
kursu Mechanika klasyczna profesora Bizonia, to wprowadzone jest w niej kilka kluczowych dla
caªej ksi¡»ki koncepcji, dlatego te» jej cz¦±¢ znalazªa si¦ w planie spotka«.
Gwiazdk¡ (*) oznaczone s¡ paragrafy których tre±¢ mo»na w caªo±ci, albo w wi¦kszo±ci, pomin¡¢
bez szkody dla dalszej cz¦±ci ksi¡»ki, jednak ze wzgl¦du na ciekawy materiaª warto rozwa»y¢ ich
przerobienie w caªo±ci.
Plan mo»e ulec zmianie w czasie trwania spotka«.
Je»eli kto± chce zgªosi¢ zastrze»enie do tego planu prosz¦ pisa¢ na adres [email protected]
Roz. I. Fakty do±wiadczalne.
1. Zasada wzgl¦dno±ci i przyczynowo±ci.
2. Grupa Galileusz i równania Newtona.
Roz. II. Badanie równa« ruchu.
4. Ukªady o jednym stopniu swobody.
5. Ukªady o dwóch stopniach swobody.
11*. Rozumowanie oparte na podobie«stwie.
Roz. III. Zasada wariacyjna (caªo±¢).
12. Rachunek wariacyjny.
13. Równanie Lagrange'a.
14. Przeksztaªcenie Legendre'a.
15. Równania Hamiltona.
16. Twierdzenie Liouville'a.
Roz. IV. Mechanika Lagrange'a na rozmaito±ciach.
17. Wi¦zy holonomiczne.
18. Rozmaito±ci ró»niczkowalne.
1
19. Ukªady dynamiczne Lagrange'a.
20. Twierdzenie E. Noether.
Roz. V. Drgania.
22. Linearyzacja.
23. Maªe drgania.
24*. O zachowaniu si¦ cz¦sto±ci wªasnych.
25*. Rezonans parametryczny.
Roz. VII. Formy ró»niczkowe (caªo±¢).
32. Formy zewn¦trzne.
33. Iloczyn zewn¦trzny.
34. Formy ró»niczkowe.
35. Caªkowanie form ró»niczkowych.
36. Ró»niczkowanie zewn¦trzne.
Roz. VIII. Rozmaito±ci symplektyczne.
37. Struktura symplektyczna na rozmaito±ci.
38. Hamiltonowskie potoki fazowe i ich niezmienniki caªkowe.
39. Algebry Liego pól wektorowych.
40. Algebra Liego pól Hamiltona.
41. Geometria symplektyczna.
42*. Rezonans parametryczny w ukªadach o wielu stopniach swobody.
43. Atlas symplektyczny.
Roz. IX. Formalizm kanoniczny.
44*. Niezmiennik caªkowy Poincarégo-Cartana.
45. Konsekwencje twierdzenia o niezmienniku caªkowym Poincarégo-Cartana.
46*. Zasada Huygensa.
47*. Metoda Jacobiego-Hamiltona caªkowania równa« kanonicznych Hamiltona.
48. Funkcje tworz¡ce.
Roz. IX. Wprowadzenie do teorii zaburze«.
49*. Ukªady caªkowalne.
50*. Wspóªrz¦dne dziaªanie-k¡t.
51*. U±rednianie.
2
52*. U±rednianie zaburze«
Uzupeªnienia.
5*. Ukªady dynamiczne wykazuj¡ce symetri¦.
8*. Teoria zaburze« dla ruchów prawie okresowych i twierdzenie Koªmogorowa.
12*. Osobliwo±ci Lagrange'a.
Na co nam jeszcze starczy siª ;). O ile w ogóle tu dotrzemy. . .
Bibliograa.
Poni»sza lista zawiera pozycje skierowane zarówno dla osób, które chc¡ przeczyta¢ szersze opracowanie
niektórych zagadnie«, jak i tych które chc¡ pozna¢, w jaki sposób mo»na uogólni¢ omawiane zagadnienia.
Niestety, dla wszystkich omawianych problemów nie udaªo si¦ znale¹¢ zadowalaj¡cej literatury, pewnych
za± wartych uwagi pozycji nie umieszczono na niej, jako maªo adekwatnych do tre±ci spotka«.
BWMiI Biblioteka Wydziaªu Matematyki i Informatyki.
Cykl W. Arnolda. Ksi¡»ki te optymalnie byªoby czyta¢ w podanej poni»ej kolejno±ci, st¡d obecno±¢ tu
omawianego na spotkaniach dzieªa.
Równania ró»niczkowe zwyczajne
Metody matematyczne mechaniki klasycznej
Teoria równa« ró»niczkowych
(RRZ), BWMiI.
(MMMK), BWMiI.
(TRR), BWMiI.
Podstawy matematyczne.
L. Schwartz,
Kurs analizy matematycznej, tom I
(LSI), wi¦kszo±¢ bibliotek np. NKFu. Ksi¡»ka
trudna, ale zawiera dowód chyba ka»dego twierdzenia z analizy jakie b¦dzie potrzebne.
A. Herdegen,
Algebra liniowa i geometria
1
(AH). Gªównie twierdzenia o formach kwadratowych .
Struktura czasoprzestrzeni mechaniki Newtona.
W. Kopczy«ski, A. Trautman,
Czasoprzestrze« i grawitacja
(KT), biblioteki FAISu, NKFu etc.
Dobra, krótka i trudna pozycja, jedna z niewielu które zajmuj¡ si¦ tym tematem.
Mechanika klasyczna.
E. T. Whittaker,
Dynamika analityczna (ETW), biblioteka NKFu. Wiekowa, lecz wci¡» warta uwagi
pozycja.
R. Abraham, J. E. Marsden,
Foundations of Mechanics, Second Edition
library.caltech.edu/25029/
(FoM2),
http://authors.
. Monumentalne dzieªo staraj¡ce si¦ z peªn¡ ±cisªo±ci¡ przedstawi¢
mechanik¦ za pomoc¡ metod wspóªczesnej matematyki.
Równania ró»niczkowe zwyczajne.
W. Walter,
Ordinary dierential equations
(WWODEs), Springer Link. Rozs¡dny, wspóªczesny wy-
kªad podstaw teorii ODEs.
1
Jedyn¡ inn¡ pozycj¡, która o ile wiem zawiera dowody potrzebnych twierdze«, jest ksi¡»ka Wykªady z algebry liniowej
I. M. Gelfanda.
3
E. Hairer, S. P. Nørsett, G. Warner,
Solving Ordinary Dierential Equations
(SODEs), Springer
Link. Monumentalne dzieªo o tym jak analitycznie, a przede wszystkim numerycznie rozwi¡za¢
dane równanie.
Rachunek wariacyjny.
Rachunek wariacyjny
I. M. Gelfand, S. V. Fomin,
(GF), wi¦kszo±¢ bibliotek, np. NKFu i FAISu.
Standardowy wykªad klasycznych osi¡gni¦¢ rachunku wariacyjnego.
J. Jost, X. Li-Jost,
Calculus of Variations
(JLJ), BWMiI. Podr¦cznik zawieraj¡cy wprowadzenie
do wspóªczesnych metod w rachunku wariacyjnym.
M. Giaquinta, St. Hildebrandt,
Calculus of Variations
(GHCoV), Springer Link. Monograa stara-
j¡ca si¦ da¢ mo»liwie wyczerpuj¡cy opis wspóªczesnych metod.
Geometria ró»niczkowa.
J. Gancarzewicz,
Zarys wspóªczesnej geometrii ró»niczkowej
(ZWGR). Abstrakcyjna, dªuga i niepo-
zbawiona sporych bª¦dów, jednak bardzo dobra pozycja dla ±rednio zaawansowanych.
R. Sulanke, P. Wintgen,
Geometria ró»niczkowa i teoria wi¡zek
(SW), BWMiI. Pozycja wprowa-
dzaj¡ca, zawieraj¡ca dobre wprowadzenie do teorii to»samo±ci geometryczno-caªkowych na rozmaito±ciach.
Teoria form.
L. Schwartz,
Kurs analizy matematycznej, tom II
(LSII), BWMiI. Bez znajomo±ci teorii caªki
z I tomu, prawie nie do zrozumienia.
S. G. Krantz, H. R. Parks,
Geometric Integration Theory
(GIT), Springer Link. Zawiera wprowa-
dzenie do teorii pr¡dów, pozwalaj¡cej rozwa»a¢ formy o warto±ciach w dystrybucjach.
Geometria symplektyczna i mechanika.
P. Libermann, Ch.-M. Marle,
Symplectic Geometry and Analytical Mechanics
(SGAM), BWMiI,
Springer Link. Wykªad geometrii syplektycznej ilustrowany zastosowaniami w mechanice.
Ukªady nieholonomiczne.
J. I. Nejmark, N. A. Fufajew,
Dynamika ukªadów nieholonomicznych (DUN), Allegro2 . Podstawowe,
w dobry sposób staro±wieckie, dzieªo w tej dziedzinie.
E. Massa, E. Paganim
A new look at classical mechanics of constrained systems
https://eudml.org/doc/76747
(EMEP),
. Nowoczesna próba zmierzenia si¦ z zagadnieniem wi¦zów nieho-
lonomicnzych. Do±¢ trudna pozycja.
H. Geiges
Contact geometry
math/0307242
(HGCM), arXiv:math/0307242v2 [math.SG]
http://arxiv.org/abs/
. Mo»na tu znale¹¢ dobre, jak na ten dziaª matematyki, wprowadzenie w teori¦
rozmaito±ci kontaktowych, podstaw¦ matematycznego opisu ukªadów nieholonomicznych.
Geometria ró»niczkowa poza mechanik¡.
G. Svetlichny,
Preparation for Gauge Theory
org/abs/math-ph/9902027
(PGT), arXiv:math-ph/9902027v3
http://arxiv.
. Czasami troch¦ zbyt zwi¦zªy, lecz merytorycznie bardzo dobry, wy-
kªad na temat zastosowania geometrii ró»niczkowej, i pochodnych dziaªów matematyki, do opisu
klasycznych teorii pola z cechowaniem, takich jak elektrodynamika, czy pola Yanga-Millesa.
2
Prostszy sposób nie jest znany.
4
Wa»ne:
Dla prawdziwego matematyka, jest du»o wa»niejsze by wiedzie¢ jakie problemy nie zostaªy
wci¡» rozwi¡zane i gdzie znane obecnie metody okazaªy si¦ niewystarczaj¡ce, ni» pami¦ta¢
wszystkie liczby których iloczyny udaªo si¦ do tej pory uzyska¢, czy orientowa¢ si¦ w ocenianie
literatury stworzonej na przestrzeni ostatnich 20 tysi¦cy lat.
W. Arnold w przedmowie do ksi¡»ki Arnold's Problems, Springer Link, tªumaczenie swobodne.
Zauwa»yli±my bowiem, »e dla pocz¡tkuj¡cych sªuchaczy du»¡ przeszkod¦ w zdobywaniu tej
nauki stanowi¡ dzieªa ró»nych teologów: ju» to dlatego, »e s¡ nadmiernie przeªadowane bezu»ytecznymi zagadnieniami, artykuªami i dowodami, ju» to dlatego, »e zagadnienia, z jakimi
owi pocz¡tkuj¡cy winni koniecznie si¦ zapozna¢, nie s¡ podane systematycznie: wedªug uporz¡dkowanej kolejno±ci nauk czy traktatów, ale omawiane s¡ albo w zwi¡zku z komentowaniem
dzieª, albo z okazji dysputy; ju» to wreszcie dlatego, »e cz¦ste waªkowanie tego samego budziªo
w ich umysªach nud¦ i zam¦t.
Ufni w pomoc Bo»¡ i staraj¡c si¦ unikn¡¢ tych i podobnych niedoci¡gni¦¢, b¦dziemy usiªowali
krótko i jasno - o ile na to sama rzecz pozwoli - wyªo»y¢ wszystko, co zakresem swoim obejmuje
nauka ±wi¦ta.
‘w. Tomasz z Akwinu we wst¦pie do
1.pdf.
Sumy Teologicznej, http://www.katedra.uksw.edu.pl/suma/suma_
5