Zestaw do domu nr 6 1) Niech σq : Mq → Mq, σq bj2j := bq−1−j2j, Mq

Zestaw do domu nr 6
1) Niech
σq : Mq → Mq , σq
q−1
X
j=0
bj 2j :=
q−1
X
bq−1−j 2j , Mq := {0, 1, . . . , 2q − 1}
j=0
oznacza odwzorowanie odwracania bitów. Pokaż, że ma ono następujące
własności:
P
Pq−1
j
q−1−j
(i) σq ( q−1
,
j=0 bj 2 ) =
j=0 bj 2
r
q−1−r
(ii) σq (2 + k) = σq (k) + 2
, 0 6 k 6 2r , 0 6 r 6 q − 1,
−1
(iii) σq = σq ,
(iv) σq (k) = σq+1 (2k), k ∈ Mq , q ∈ N,
(v) 2q + σq (k) = σq+1 (2k + 1), k ∈ Mq , q ∈ N.
2) Niech x1 , x2 , . . . , x2n będą liczbami rzeczywistymi. Pokazać, że funkcja
2n
Y
x − xj
sin
t(x) :=
2
j=1
jest wielomianem trygonometrycznym
n
a0 X
+ (aj cos jx + bj sin jx)
2
j=1
o współczynnikach rzeczywistych.
3) Pokazać, że wielomian trygonometryczny T z zadania 1 zestawu 6
wyraża się wzorem
2n
X
yj
T (x) =
tj (x),
j=0 tj (xj )
przy czym
2n
Y
x − xj
sin
.
tj (x) :=
2
k=0
k6=j
1