Przykładowe rozwiązanie zadania projektowego z zakresu

Wytrzymałość
______________________________________________________________________________________________
materiałów
1
Przykład rozwiązania ćwiczenia domowego nr 1
Dla danej figury płaskiej wyznaczyć położenie osi głównych oraz wartości głównych środkowych
momentów bezwładności.
a
d
c
b
y
R
z
Rys. 1.1 Figura płaska
a = 20cm
Dane:
b = 60cm
c = 30cm
d = 60cm
R = 40cm
Dzielimy pole figury na: prostokąt o wymiarach 20x60 cm, trójkąt o wymiarach 30x60 oraz
ćwiartkę koła o promieniu 40cm. Pole figury wynosi:
A =
∑ Ai = 1200 + 900 + 1256.637 = 3356.637cm
2
i
gdzie
A1 = 20⋅ 60 = 1200cm
2
A2 =
1
2
⋅ 60⋅ 30 = 900cm
2
A3 = π⋅
40
4
2
= 1256.637cm
2
W przyjętym układzie YZ momenty statyczne wynoszą
Sy =
3
Ai⋅ zoi) = 1200⋅ 30 + 900⋅ 50 + 1256.637⋅ 76.977 = 177732.146⋅ cm
(
∑
i
Sz =
3
Ai⋅ yoi) = 1200⋅ 10 + 900⋅ 40 + 1256.637⋅ 56.977 = 119599.406⋅ cm
(
∑
i
Współrzędne środków ciężkości figur składowych obliczono jak niżej
20
= 10cm
2
1
yo2 = 20 + ⋅ 60 = 40cm
3
4 40
yo3 = 20 + 60 − 40 + ⋅
= 56.977cm
3 π
yo1 =
60
= 30cm
2
1
zo2 = 60 − ⋅ 30 = 50cm
3
4 40
zo3 = 60 + ⋅
= 76.977cm
3 π
zo1 =
______________________________________________________________________________________________
2005-10-08
Politechnika Częstochowska Wydział Budownictwa
Dr inż.S.Labocha
Wytrzymałość
______________________________________________________________________________________________
materiałów
2
Współrzędne środka ciężkości całej figury
yo =
Sz
A
119599.406
= 35.631cm
3356.637
=
zo =
Sy
=
A
177732.146
= 52.949cm
3356.637
56.977
40
10
76.977
76.977
50
52.949
30
y
yo
35.631
z
zo
Rys. 1.2 Położenie środka ciężkości
Momenty bezwładności względem osi YZ oraz momenty odśrodkowe figur składowych
20⋅ 60
4
Iy1 =
= 1440000cm
3
60⋅ 20
4
Iz1 =
= 160000cm
3
60⋅ 30
2
4
Iy2 =
+ 900⋅ 50 = 2295000cm
36
30⋅ 60
2
4
Iz2 =
+ 900⋅ 40 = 1620000cm
36
3
3
3
3
 π − 4  + 1256.637⋅ 76.9772 = 7586639.339cm4

 16 9⋅ π 
Iy3 = 40 ⋅ 
4
 π − 4  + 1256.637⋅ 56.9772 = 4220008.285cm4

 16 9⋅ π 
Iz3 = 40 ⋅ 
4
Iyz1 = 1200⋅ 30⋅ 10 = 360000cm
4
60 ⋅ 30
4
Iyz2 =
+ 900⋅ 50⋅ 40 = 1845000cm
72
2
2
 1 − 4  + 1256.637⋅ 76.977⋅ 56.977 = 5469341.588cm4

 8 9π 
Iyz3 = 40 ⋅ 
4
______________________________________________________________________________________________
2005-10-08
Politechnika Częstochowska Wydział Budownictwa
Dr inż.S.Labocha
Wytrzymałość
______________________________________________________________________________________________
materiałów
3
Momenty bezwładności całej figury względem osi YZ
Iy = 1440000 + 2295000 + 7586639.339 = 11321639.339cm
Iz = 160000 + 1620000 + 4220008.285 = 6000008.285cm
4
4
Iyz = 360000 + 1845000 + 5469341.588 = 7674341.588cm
4
Momenty bezwładności względem osi centralnych równoległych do osi YZ
Iyo = Iy − A⋅ zo = 11321639.339 − 3356.637⋅ 52.949 = 1910983.255⋅ cm
2
2
Izo = Iz − A⋅ yo = 6000008.285 − 3356.637⋅ 35.631 = 1738528.822⋅ cm
2
2
4
4
Iyozo = Iyz − A⋅ yo⋅ zo = 7674341.588 − 3356.637⋅ 35.631⋅ 52.949 = 1341623.559cm
4
Położenie osi głównych
tg 2ϕ o =
2⋅ Iyozo
Izo − Iyo
=
2⋅ 1341623.559
= −15.559
1738528.822 − 1910983.255
stąd
2ϕ o = −86.32 °
Kąt ϕo mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ϕ o = −43.16 °
52.949
35.631
y
yg
4 3 .1
65
yo
z
zg
zo
Rys. 1.3 Układ osi głównych
______________________________________________________________________________________________
2005-10-08
Politechnika Częstochowska Wydział Budownictwa
Dr inż.S.Labocha
Wytrzymałość
______________________________________________________________________________________________
materiałów
4
Momenty bezwładności względem środkowych osi głównych
Imax , min =
Iyo + Izo
2
 Iyo − Izo 
2
± 
 + Iyozo
 2 
2
gdzie poszczególne składniki przyjmują wartości
Iyo + Izo
2
=
1910983.255 + 1738528.822
4
= 1824756.038cm
2
 Iyo − Izo 
2

 + Iyozo = ....
 2 
2
1910983.255 − 1738528.822 
2
4
.... = 
 + ( 1341623.559) = 1344391.649cm
2


2
Imax = Iyg = 1824756.038 + 1344391.649 = 3169147.687cm
Imin = Izg = 1824756.038 − 1344391.649 = 480364.389cm
4
4
Kontrola niezmienników
Iyo + Izo = Iyg + Izg
Iyo + Izo = 1910983.255 + 1738528.822 = 3649512.077cm
Iyg + Izg = 3169147.687 + 480364.389 = 3649512.076cm
Błąd względny
Iyg + Izg − ( Iyo + Izo)
Iyo + Izo
=
4
4
3649512.076 − 3649512.077
= 0%
3649512.077
Iyo⋅ Izo − Iyozo = Iyg⋅ Izg
2
Iyo⋅ Izo − Iyozo = 1910983.255⋅ 1738528.822 − 1341623.559 = 1522345693113.05cm
2
2
Iyg⋅ Izg = 3169147.687⋅ 480364.389 = 1522345692316.52⋅ cm
8
8
Błąd względny
Iyo⋅ Izo − Iyozo − Iyg⋅ Izg
2
Iyo⋅ Izo − Iyozo
2
=
1522345693113.05 − 1522345692316.52
−8
= 5.232 × 10 % ≈ 0
1522345693113.05
______________________________________________________________________________________________
2005-10-08
Politechnika Częstochowska Wydział Budownictwa
Dr inż.S.Labocha