Wzór Laplace`a - Instytut Fizyki

Instytut Fizyki
RUCH FALOWY
Włodzimierz Salejda
Notatki do wykładów z fizyki dla studentów
Wydziału PPT PWr
Rok ak. 2005/2006, semestr letni.
Notatki są opublikowane w Internecie na stronie domowej autora
http://www.if.pwr.wroc.pl/˜wsalejda,
z której można pobrać skompresowane pliki fale− ps.zip lub fale− pdf.zip z notatkami zapisanymi
w formatach PS lub PDF.
Pliki rozpakować należy za pomocą programów: pkunzip, InfoZip, WinZip itp.
Bezpłatne przeglądarki do plików postscriptowych (o rozszerzeniu .ps) oraz zapisanych
w formacie Portable Document File (o rozszerzeniu .pdf ) są dostępne w Internecie na stronie z notatkami.
Wrocław, luty 2006
Spis treści
1. Wprowadzenie
3
2. Fale sprężyste
2.1. Prędkości stowarzyszone z ruchem falowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
8
3. Równanie fali monochromatycznej
9
3.1. Prędkość fazowa fali monochromatycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2. Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w dowolnym kierunku . . . . . . . . . . . 12
4. Równanie falowe
4.1. Proste wyprowadzenie . . . . . . . . . . .
4.2. Liniowe równanie falowe . . . . . . . . . .
4.3. Prędkość impulsu poprzecznego w strunie .
4.4. Jednowymiarowa fala podłużna w pręcie .
4.5. Dodatek I . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
14
16
17
20
5. Energia fali sprężystej
21
5.1. Dodatek II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2. Przechodzenie fal sprężystych przez granicę ośrodków . . . . . . . . . . . . . . . 25
6. Fale akustyczne
6.1. Wzór Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Zależności fazowe w fali głosowej . . . . . . . . .
6.3. Średnia wartość kwadratu ciśnienia akustycznego
6.4. Przenoszenie pędu przez fale akustyczne . . . . .
6.5. Akustyczny efekt Dopplera . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
30
31
35
37
38
7. Interferencja fal
7.1. Interferencja fal monochromatycznych .
7.2. Fale stojące na strunie . . . . . . . . .
7.3. Źródła dźwięków . . . . . . . . . . . .
7.4. Dudnienia . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Rezonans . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
39
40
42
43
44
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8. Prędkość grupowa i modulacja fal
44
8.1. Modulacja amplitudowa fal radiowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.2. O przekazie obrazu telewizyjnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.3. Prędkość grupowa a prędkość fazowa – dyspersja fal . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9. Fale nieliniowe
49
9.1. Fale uderzeniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
9.2. Solitony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2
Rzeczywistość to nie cecha, którą można wykryć papierkiem
lakmusowym.
Stephen W. Hawking1
1.
Wprowadzenie
Wszechświat, w tym także ta jego część, w którym istnieje cywilizacja ziemska, wypełniają różnego typu fale. Przestrzeń kosmiczną wypełnia między innymi promieniowanie reliktowe, będące swego rodzaju echem okrzyku nowonarodzonego Wszechświata, który wydał tenże
w momencie, gdy był jeszcze bardzo bardzo młodym bo miał zaledwie 105 lat2.
Atmosferę ziemską wypełnia promieniowanie elektromagnetyczne (tj. fale elektromagnetyczne o różnych długościach) emitowane przez Słońce, anteny radiowe, telewizyjne i nadajniki satelitarne umieszczone na orbitach okołoziemskich. Ogólnoświatowa sieć komputerowa
Internet, zapis dźwięku i obrazów na dyskach kompaktowych, urządzenia audiowizualne oraz
multimedialne, telekomunikacja (naziemna i satelitarna) – wszystko to funkcjonuje dzięki określonym procesom falowym.
Skorupę ziemską od czasu do czasu nawiedzają trzesienia. Powierzchnię mórz i oceanów
pokrywają fale morskie wzbudzane wiatrem3. Przedmiot, który wrzucono do spokojnego jeziora
lub stawu (albo rozlewiska w dorzeczu Odry podczas powodzi tysiąclecia z lipcu 1997 roku) jest
żródłem fal rozchodzących się koliście po powierzchni wody.
Specyficzny typ zjawiska falowego, które pozwalam sobie nazwać fan–falą można obserwować
na stadionach. Publiczność tam zgromadzona4 wzbudza fan–falę wstając z krzeseł i siadając
na nie w odpowiednich chwilach czasu5 . W tym przypadku mamy do czynienia z impulsem
falowym biegnącym w ośrodku, którym jest publiczność.
Sala wykładowa, w której się obecnie znajdujemy jest wypełniona falami akustycznymi,
których źrodłem jest, m.in. wykładowca. Każdy z obecnych tutaj słuchaczy staje się także
źródłem fali akustycznej, jeśli zadaje pytanie lub rozpoczyna pogawędkę z sąsiadką lub sąsiadem. Powiem więcej, jeśli nawet żadna z obecnych na tej sali osób chwilowo nie rozmawia, to
i tak jest ona źródłem promieniowania cieplnego, ponieważ każde ciało o temperaturze bezwzględnej większej od zera absolutnego emituje promieniowanie cieplne (tj. promieniowanie
elektromagnetyczne).
Innym rodzajem ruchu falowego jest fala materii6, która towarzyszy zgodnie z hipotezę de
Broglie’a (dualizm falowo-korposkularny) każdemu ciału o pędzie p 6= 0, a jej długość λmaterii
wynosi7 λmaterii = h/p, gdzie h = 6,62 · 10−34 J·s jest stałą Plancka.
Stephen Hawking8 w swej wersji kosmologii kwantowej, dotyczącej Wielkiego Wybuch, posługuje się funkcją falową Wszechświata9 .
1
Cytat pochodzi z książki: S.W. Hawking, R. Penrose, Natura czasu i przestrzeni, Wydawnictwo Zysk i S-ka,
Poznań 1996.
2
Wiek Wszechświata jest szacowany na od 1010 do 2.0 · 1010 lat.)
3
Fale morskie wzbudzane przez trzęsienia ziemskie noszą nazwę tsunami.
4
Widzowie, to w zdecydowanej większości fani danej dziedziny sportu. Stąd też wywodzi się stosowana przeze
mnie nazwa fan–fali.
5
Jak oszacować prędkość fan–fali?
6
Nazywana jest także falą prawdopodobieństwa.
7
Na szczęście Matka Natura nie wyposażyła człowieka w narządy, za pomocą których widzialne byłoby
promieniowanie cieplne lub też fala materii stowarzyszona z człowiekiem lub innymi obiektami. Nie jest to
niezbędne do podtrzymywania podstawowych funkcji organizmów żywych.
8
Patrz rozdział 5 książki cytowanej w pierwszej stopce.
9
W tym sensie, być może sami jesteśmy pewną formą ruchu falowego?
3
Przykłady ruchu falowego i zjawisk mających charakter falowy można by tutaj mnożyć
i wyliczać dalej10. My zajmiemy się podstawowymi właściwościami ruchu falowego (fali), które
z punktu widzenia nauk inżynierskich i fizyki są najistotniejsze.
Fala to pojęcie abstrakcyjne. Pod pojęciem fali będziemy rozumieli dalej rozchodzenie się zaburzenia ośrodka (lub pola) od jednego do innego punktu ośrodka (pola). Precyzyjne określenie
fali podamy w dalszym ciągu wykładu. Rozchodzeniu się zaburzenia towarzyszy przekazywanie
ruchu11 w jaki wprawiane są cząsteczki ośrodka, do których fala dociera. W tym kontekscie,
znane typy ruchów falowych przyjęto dzielić na dwie duże grupy, którymi są:
I. Fale sprężyste (patrz rozdział 2) zwane także falami mechanicznymi – fale te będą
przedmiotem naszego szczególnego zainteresowania;
II. Fale elektromagnetyczne – tym falom poświęcimy nieco uwagi po zapoznaniu się
z równaniami Maxwella.
Fale sprężyste swoją nazwę zawdzięczają temu, że rozchodzą się, tj. istnieją tylko w ośrodkach sprężstych, natomiast fale elektromagnetyczne mogą się rozchodzić także w próżni. Propagacja fal elektromagnetycznych (grawitacyjnych) jest związana z rozchodzeniem się zaburzeń
pola elektromagnetycznego (grawitacyjnego). W tym sensie do rozchodzenia się fal elektromagnetycznych (grawitacyjnych) nie jest wymagane istnienie ośrodka sprężystego12 .
Dobrym przykładem ruchu falowego z pierwszej grupy jest dźwięk (fale akustyczne). Natomiast do drugiej grupy zaliczamy, m.in., światło, fale radiowe i telewizyjne, promieniowanie
X.
Dodajmy, że fale rozchodzą się ze skończoną prędkością i że towarzyszy im przekaz energii
oraz pędu (patrz rozdział 5).
Ruch falowy jest działem fizyki, w którym manifestuje się wyraźnie jedność i uniwersalność
praw przyrody, ponieważ do opisu fal będziemy:
stosowali dynamikę Newtona (patrz rozdział 4),
odwoływali się do własności sprężystych ciał (patrz rozważania dotyczące rozchodzenia
się fal sprężystych w rozdziale 4),
posługiwali się termodynamiką (patrz rozdziały 6 dotyczące wzoru Laplace’a i fal uderzeniowych (patrz rozdział 9.2)).
Będziemy mówili głównie o falach liniowych, które spełniają zasadę superpozycji (patrz
podrozdział Interferencja fal) . Omówimy także krótko fale nieliniowe, których dobrym reprezentantem są solitony (patrz rozdział 9.2).
10
Nie jest ruchem falowym tzw. fala w wojsku.
Zazwyczaj jest to ruch harmoniczny tłumiony.
12
Zagadnienie to ma swoją długą historię związaną z postulatem istnienia hipotetycznego eteru, tj. wyimaginowanego ośrodka, w którym rozchodzą się fale elektromagnetyczne. Tego typu problemy były rozpatrywane
i szeroko dyskutowane na przełomie XIX i XX wieku. Sformułowanie przez Einsteina szczególnej teorii względności położyło kres tego typu spekulacjom. Jednakże pojęcia próżni nie należy utożsamiać z absolutnie pustą
przestrzenią będącą tutaj synonimem absolutnie niczego, ponieważ próżnia z punktu widzenia fizyki kwantowej
ma swoją wewnętrzną strukturę (jest to przecież fragment czterowymiarowej czasoprzestrzeni), którą przyjdzie
nam jeszcze dokładnie poznać. Zamiast próżni, mówimy w tym przypadku o polu jako o ośrodku, w którym
propagują się fale.
11
4
W miarę jak odkrywamy kolejne fundamentalne zasady fizyki,
okazuje się, że mają one coraz mniej wspólnego z naszym życiem.
Steven Weinberg13
2.
Fale sprężyste
Wszystkie rodzaje fal sprężystych rozchodzą się (mówimy, że propagują się) w ośrodku wykazującym sprężystość objętości lub sprężystość postaci (kształtu). Wymienione tutaj rodzaje
sprężystości wykazują gazy, ciecze i ciała stałe14 . Płyny wykazują jedynie sprężystość objętości
natomiast ciała stałe sprężystość objętości i sprężystość postaci15 .
Zadanie 1. Wyjaśnić własności sprężystości płynów i ciał stałych.
Z właściwością tą mamy do czynienia wówczas, gdy próbujemy zmienić objętość płynu
lub ciała stałego albo też kształt ciała stałego. Czynimy to zazwyczaj w określony sposób, tj.
ściskamy płyn lub ciało stałe lub odkształcamy ciało stałe (rozciągając, ściskając, skręcając lub
zginając je). Wtedy to zaczynają odgrywać rolę przyciągające lub odpychające oddziaływania
między cząsteczkami ośrodka, które przeciwdziałają jego odkształceniu. Po ustaniu działania
zewnętrznej siły powodującej odkształcenie, ośrodek powraca do początkowej objętości lub
kształtu. Właściwość tę przyjęto nazywać sprężystością ośrodka16 .
Istnieją odpowiednie charakterystyki ilościowe opisujące sprężystość, które krótko przedstawiamy poniżej.
Jeśli miara σ zewnętrznego oddziaływania na dany układ fizyczny jest dostatecznie mała,
to wartość odkształcenia ε ośrodka sprężystego jest proporcjonlna do σ, tj.
ε = κ · σ,
(1)
gdzie κ — współczynnik sprężystości ośrodka — jest miarą właściwości sprężystych danego
ośrodka. Miarą oddziaływania zewnętrznego σ jest zazwyczaj naprężenie (zwane, w przypadku
płynów, ciśnieniem), zaś miarą odkształcenia ośrodka sprężystego ε jest względna deformacja
(wielkość bezwymiarowa).
Ośrodek sprężysty spełniający (1) będziemy określali mianem liniowego.
Zadanie 2. Jaki jest wymiar współczynnika κ?
Ostatnią zależność stosuje się zazwyczaj w następującej postaci:
1
σ = · ε = K · ε,
(2)
κ
gdzie K jest modułem sprężystości17, który będąc odwrotnością współczynnika sprężystości jest
także miarą właściwości sprężystych ośrodka.
Zadanie 3. Jaki jest wymiar współczynnika K?
Zastanówmy się, jak powiązać sprężystość ciał z falami sprężystymi. W tym celu odwołajmy
się do doświadczeń myślowych.
13
Cytat pochodzi z książki: Steven Weinberg, Sen o teorii ostatecznej, Wydawnictwo Alkazar Sp z.o.o.,
Warszawa 1994.
14
Przypomnijmy, że gazy i ciecze przyjęto, w naukach inżynierskich, nazywać płynami. Natomiast w fizyce
ciecze i ciała stałego (takie jak: ciała amorficzne (szkła, stopy, polikryształy), kryształy (np. kryształek soli
kuchennej lub kwarcu, ciekłe kryształy) przyjęto określać mianem materii skondensowanej.
15
Termin sprężystość oznacza tutaj właściwość fizyczną polegającą na dążeniu danego ośrodka do zachowania
swej początkowej objętości lub postaci (kształtu) po ustaniu działania powodującego odkształcenie.
16
Zauważmy, że można w tym kontekscie mówić o pewnego rodzaju pamięci dotyczącej kształtu lub objętości
rozpatrywanego ośrodka.
∆l
σ
F
17
Dobrym tego przykładem jest prawo Hooke’a:
=
=
, gdzie E – moduł Younga, F – wartość
l0
E
E·S
zewnętrznej siły przyłożonej do pręta o długości początkowej l0 i polu przekroju poprzecznego S, ∆l – wydłużenie
pręta pod działaniem F .
5
1. Wyobraźmy sobie metalowy pręt o długości L, masie M i polu przekroju poprzecznego S0 ,
którego prawy koniec jest zamocowany natomiast lewy nie. Abstrahując od efektów związanych
z polem grawitacyjnym (tj. zaniedbujemy strzałkę ugięcia swobodnego końca), stan równowagi pręta odpowiada idealnie poziomemu położeniu zamocowanego jednostronnie pręta. Podzielmy nasz pręt na N identycznych części (fragmentów) każda o długości ∆x = L/N i masie ∆m = M/N . Jeśli początek osi OX umieścimy w nieruchomionym lewym końcu pręta,
to położenie Xn środka masy n–tego fragmentu określa związek Xn = (n − 1/2) · ∆x, gdzie
n = 1, 2, 3, . . ., N (dlaczego?). Jeśli stan równowagi zaburzymy przez energiczne uderzenie metalowym młotkiem w niezamocowany koniec pręta w kierunku równoległym do jego osi, to spowodujemy lokalne odkształcenie objętości pierwszego fragmentu pręta (o masie ∆m i objętości
∆V = ∆x · S0 ), którego środek jest położony w odległości X1 = ∆x/2 od lewego końca pręta.
Po uderzeniu odkształcony fragment pręta powraca do stanu równowagi, ponieważ działają,
wspomniane wcześniej, siły oddziaływań międzycząsteczkowych odpowiedzialne za własności
sprężyste materiału pręta. Rozszerzający się pierwszy fragment pręta ściska sąsiadujący z nim
po prawej stronie identyczny fragment położony w odległości X2 = 3·∆x/2 od jego lewego końca.
Ten z kolei, będąc ośrodkiem sprężystym, rozszerzając się odkształca następny fragment pręta
położony w odległości X3 = 5 · ∆x/2 od jego lewego końca. W ten sposób zostaje odkształcony
trzeci fragment pręta, który rozszerzając się odkształca czwarty itd. W efekcie otrzymujemy rozchodzenie się odkształcenia (zaburzenia) stanu równowagi wzdłuż pręta, które nazywamy falą
sprężystą. Dodajmy jeszcze, że z propagacją odkształcenia wzdłuż pręta związany jest przekaz
energii mechanicznej oraz pędu pomiędzy różnymi punktami pręta. W czasie uderzenia młotkiem lewego końca pręta zostaje mu przekazana określona ilość energii mechanicznej, na którą
składa się energia kinetyczna (w ruch drgający wprawiona została masa zawarta w pierwszym
fragmencie pręta) oraz energia potencjalna (objętość pierwszego fragmentu została odkształcona). Ta porcja (kwant) energii mechanicznej propaguje się wzdłuż pręta w miarę tego jak
(w opisany wyżej sposób) są odkształcane jego kolejne fragmenty.
2. Wyobraźmy sobie nieskończenie długi poziomy sznur, którego prawy koniec jest zamocowany
na stałe, zaś lewy początkowo spoczywa nieruchomo. Stan ten jest stanem równowagi sznurka.
Jeśli teraz jego swobodny koniec zostanie wprawienie w ruch harmoniczny prosty, to lokalne
zaburzenie położenia fragmentów sznurka znajdujących się w pobliżu jego lewego końca zacznie
się propagować wzdłuż sznurka (ośrodka) w postaci ciągu garbów i dolin. To co zaobserwujemy
jest jednowymiarową falą sprężystą biegnącej wzdłuż sznurka, której żródło znajduje się na
jednym z jego końców. Podobnie jak poprzednio warto zauważyć, że z propagacją lokalnego
zaburzenia związany jest przekaz energii mechanicznej (i pędu) pomiędzy różnymi fragmentami
sznurka.
3. Weźmy pod uwagę tekturowy poziomy cylinder o długości L, wypełniony powietrzem i otwarty
na obu końcach. W stanie równowagi ciśnienie powietrza w każdym punkcie wewnątrz cylindra jest takie samo. W celu przeanalizowania ruchu falowego w rozpatrywanym przypadku
podzielmy objętość cylindra na N identycznych fragmentów o długości ∆x = L/N . Jeśli (tak
jak poprzednio) początek osi OX umieścimy w lewym końcu cylindra, to położenie Xn środka
n–tego fragmentu określa związek Xn = (n − 1/2) · ∆x, gdzie n = 1, 2, 3, . . ., N . Zaburzmy
teraz stan równowagi powietrza w cylindrze przez przysunięcie jego lewego końca do kamertonu
i krótkie uderzenie w jego widełki (ten sam efekt uzyskamy przysuwając lewy koniec cylindra
do ust i wydając krótki dźwięk). Źródło dźwięku spowoduje lokalną zmianę objętości pierwszego fragmentu ∆V = ∆x · S0 objętości cylindra, którego środek jest położony w odległości
X1 = ∆x/2 od lewego końca cylindra. Odkształcony fragment powietrza jest ośrodkiem sprężystym więc rozpręża się co powoduje ściśnięcie sąsiadującego z nim po prawej stronie fragmentu
objętości położonego w odległości X2 = 3·∆x/2 od lewego końca cylindra. Ten z kolei rozszerzając się odkształca następny fragment objętości powietrza położony w odległości X3 = 5 · ∆x/2
od jego lewego cylindra. W ten sposób zostaje odkształcony trzeci fragment objętości, który
rozprężając się spręża czwarty fragment objętości itd. W efekcie otrzymujemy rozchodzenie się
odkształcenia objętości powietrza znajdującego się wewnątrz tekturowego cylindra, które nazywamy falą akustyczną (lub krócej dźwiękiem). Z propagacją odkształcenia objętości wzdłuż osi
6
cylindra związany jest przekaz energii mechanicznej pomiędzy różnymi punktami powietrza wypełniającego cylinder. W czasie wydawania dźwięku pierwszemu fragmentowi powietrza zostaje
przekazana określona ilość energii mechanicznej, na którą składa się energia kinetyczna (w ruch
drgający wprawiona została masa powietrza zawarta w pierwszym fragmencie) oraz energia
potencjalna (objętość powietrza pierwszego fragmentu została ściśnięta). Ta porcja energii mechanicznej (i jak zobaczymy także pędu) propaguje się wzdłuż osi cylindra w miarę tego jak są
odkształcane (sprężane i rozprężane) kolejne fragmenty objętości powietrza wewnątrz cylindra.
W ten sposób rozchodzą się fale dźwiękowe w sali wykładowej. Drgania strun głosowych wykładowcy powodują lokalne (tj. w punktach znajdujących się w pobliżu wykładowcy) zaburzenia
równowagowego ciśnienia atmosferycznego powietrza w sali wykładowej. Dzięki sprężystości objętości zaburzenia to rozchodzą się od punktów ośrodka położonych w pobliżu osoby mówiącej
do punktów coraz bardziej od niej odległych.
Na podstawie tych przykładów widzimy, że propagacja fal sprężystych wymaga:
(1) Istnienia materialnego ośrodka sprężystego, którego stan równowagi podlega zaburzeniu.
(2) Źródła zaburzenia będącego źródłem fali.
(3) Fizycznego mechanizmu, za pomocą którego sąsiadujące ze sobą części ośrodka mogą
oddziaływać na siebie. W naszym przypadku jest to sprężystość ośrodka.
Przytoczone wyżej przykłady miały na celu zilustrowanie podstawowych właściwości fal
sprężystych, które składają się na dość abstrakcyjne pojęcie fali w sensie jaki używany jest
w naukach inżynierskich oraz w fizyce.
Po tym obszernym wprowadzeniu podajemy definicję fali sprężystej.
—————————————————————————————————Definicja fali sprężystej18
Falą sprężystą nazywamy proces rozchodzenie się w ośrodku sprężystym
zaburzenia stanu równowagi tego ośrodka, któremu towarzyszy przekazywanie energii pomiędzy różnymi punktami ośrodka.
—————————————————————————————————Stan równowagi ośrodka, o którym mowa w powyższej definicji, oznacza tutaj taki stan
ośrodka sprężystego, w którym nie obserwuje się żadnych przepływów jakiejkolwiek wielkości
fizycznej (np. masy, ładunku, energii, pędu) pomiędzy dwoma różnymi punktami tego ośrodka19 .
Fale sprężyste dzieli się na fale podłużne i poprzeczne. Podstawą tej klasyfikacji jest
geometryczna relacja w jakiej pozostają do siebie kierunek rozchodzenia się fali oraz kierunek
drgań cząsteczek (fragmentów) ośrodka sprężystego. Jeśli więc kierunki te są prostopadłe, to
mówimy, że fala jest poprzeczna. Fale elektromagnetyczne są tego typu. Szarpnięta struna jest
ośrodkiem, w którym rozchodzą się fale poprzeczne. Innym przykładem są fale torsyjne w pręcie.
Jeśli kierunki te są równoległe, to mówimy, że fala jest podłużna. Takimi są fale głosowe,
z którymi związane są lokalne zgęszczenia i rozrzedzenia powietrza. Towarzyszą temu lokalne
zmiany ciśnienia powietrza. Falą podłużną są także lokalne zgęszczenie odległości pomiędzy
zwojami rozciągniętej sprężyny propagujące się wzdłuż osi sprężyny.
W ciałach stałych mogą się rozchodzić oba typy fal. Natomiast w płynach tylko fale podłużne.
Zadanie 4. Uzasadnić prawdziwość dwóch ostatnich zdań.
18
Inna definicja posługującą się pojęciem pola fizycznego jest następująca: Falą nazywamy propagujące się
ze skończoną prędkością zaburzenie pola fizycznego (rozumianego jako wielkość fizyczna charakteryzująca stan
równowagi ośrodka), któremu towarzyszy transport energii.
19
W gazach, z uwagi na ustawiczny ruch cieplny molekuł, w stanach równowagi obserwujemy stały przepływ jego cząsteczek wzdłuż dowolnego kierunku. Tym niemniej wypadkowa liczba cząsteczek przepływających
tam i z powrotem w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię ustawioną prostopadle do danego
kierunku jest równa zeru.
7
Niektóre fale występujące w naturze nie są ani poprzeczne ani podłużne. Przykładem służą
fale rozchodzące się po powierzchni dostatecznie głębokiej wody. Torem ruchu cząsteczek wody
znajdujących się na powierzchni jest okrąg.
Innym rodzajem fal są tzw. paczki falowe oraz impulsy falowe (czego dobrym przykładem
jest pojedynczy impuls rozchodzący się wzdłuż naciągniętego sznurka).
2.1.
Prędkości stowarzyszone z ruchem falowym
Rozpatrując ruch biegnącej fali monochromatycznej powinniśmy zdawać sobie sprawę z tego,
że poszczególne fragmenty ośrodka sprężystego, które podlegają odkształceniom, drgają (zazwyczaj harmonicznie)20 wokół swoich ustalonych położeń równowagi i nie propagują się razem
z falą biegnącą w ośrodku! To co my obserwujemy jako falę stanowi relacje w jakich pozostają
ze sobą fazy drgań poszczególnych części ośrodka sprężystego.
Z każdą falą sprężystej stowarzyszone są trzy rodzaje prędkości. Są one powiązane ze sobą
określonymi zależnościami matematycznymi i odnoszą się do całkowicie odmiennych zjawisk
fizycznych towarzyszących propagacji fali sprężystej.
1. Prędkość cząstek – jest to prędkość chwilowa v (np. drgań harmonicznych) ruchu
cząsteczek (punktów) ośrodka sprężystego wokół ustalonych położeń równowagi; źródłem
tego ruchu jest rozchodząca się fala.
2. Prędkość fazowa (falowa) – jest to prędkość c z jaką przemieszcza się w ośrodku
powierzchnia stałej fazy (np. garby lub doliny fali biegnącej w sznurku z przykładu 2)
drgań cząsteczek ośrodka.
Pod pojęciem powierzchni fazowej rozumiemy tutaj miejsce geometryczne punktów ośrodka sprężystego, w których faza drgań cząstek ośrodka jest taka sama.
Pojęcie to omawiamy szczegółowo w dalszej części wykładu.
Powierzchnia stałej fazy może przyjmować różne kształty. My będziemy się dalej zajmowali sprężystymi falami płaskimi, tj. takimi dla których powierzchnia stałej fazy jest
płaszczyzną. Jeśli obserwujemy ruch falowy w postaci rozchodzącego się ciągu garbów
i dolin, to w rzeczywistości obserwujemy ruch oddzielnych oscylatorów harmonicznych
(cząstek) ośrodka i w szczególności wszystkich tych oscylatorów leżących w jednej płaszczyżnie ośrodka, które w danym momencie obserwacji mają tę samą wartość fazy (innymi
słowy, wychylenie punktów ośrodka, należących do tej płaszczyzny, z położeń równowagi jest takie samo). Dobrym przykładem fali płaskiej może służyć powierzchnia wody
z umieszczonym na niej długim poziomym prętem wykonującycm ruch harmoniczny prosty. Pręt, będąc źródlęm fali wytwarza, na powierzchni wody fale płaskie biegnące od
pręta po całej powierzchni wody w naczyniu. Punkty leżące jednocześnie na powierzchni
wody i płaszczyźnie pionowej do powierzchni wody i równoległej do pręta tworzą w danej
chwili płaszczyznę fazową, ponieważ cząstki ośrodka (na powierzchni wody) mają takie
samo wychylenie, tj. fazę drgań.
3. Prędkość grupowa – jest to prędkość vgr pakietu (grupy, paczki) fal (patrz poniżej).
Ma ona duże znaczenie dla ruchu falowego ponieważ jest to prędkość z jaką przenoszona
jest przez falę sprężystą energia. Fale z jakimi mamy zazwyczaj do czynienia są złożone
z fal monochromatycznych, które są najprostrzym typem fal płaskich (patrz następny
podrozdział).
20
Dobrym tego przykładem jest nieskończony naciągnięty sznur opisany wyżej, w którym falę wzbudza źródło
umieszczone na jednym z jego końców.
8
Mówiąc w ogromnym, zapewne nieco mylącym skrócie, uważam, iż to nieznajomość fundamentalnych praw fizyki uniemożliwia nam zrozumienie pojęcia umysłu w kategorich fizycznych i logicznych.
Roger Penrose21
3.
Równanie fali monochromatycznej
Rozpatrzmy jednowymiarową poprzeczną falę płaską rozchodzącą się w nieskończonej strunie (tj. sprężystej nici) położonej wzdłuż dodatniego kierunku osi OX. Źródło fali, umieszczone
w początku układu odniesienia, wykonuje drgania harmoniczne proste
y(x = 0, t) = A cos(ω · t + α0 ),
(3)
y(x, t) = A cos(ω(t − t1) + α0 ) = A cos [ω(t − x/c) + α0] ,
(4)
2π
gdzie y – wychylenie punktów struny w pobliżu x = 0, A – amplituda drgań, ω =
– częstość
T
kołowa drgań, T – okres drgań, α0 – faza początkowa drgań. Wielkość Φ = ω · t + α0 będziemy
dalej nazywali fazą drgań.
Zapytajmy o wartość wychylenie y(x, t) punktów ośrodka odległych od źródła fali o x
w chwili czasu t. Aby odpowiedzieć na to pytanie załóżmy, że powierzchnia stałej fazy biegnie wzdłuż nici z prędkością fazową 0hch∞22 . Cząstki ośrodka odległe o x od źródła zaczną
x
potrzebnym do tego, aby fala (płaszczyzna fazowa) przebyła
drgać po upływie czasu t1 =
c
odległość x. Zatem szukane wychylenie wynosi
gdzie założono, że w ośrodku nie występuje pochłanianie energii przenoszonej przez falę (amplituda A nie ulega zmianie). Otrzymany wzór nosi nazwę równania fali monochromatycznej.
Jego interpretacja jest następująca: zależność (4) określa wartość wychylenia punktów
ośrodka znajdujących się w punkcie odległym o x od źródła w chwili czasu t.
Dodajmy, że wychylenie y(x, t) jest spowodowane dotarciem do tego punktu fali.
Równaniu (4) zazwyczaj nadaje się inną równoważną postać:
2π
y(x, t) = A cos
(t − x/c) + α0 .
(5)
T
Wprowadzimy obecnie ważne dla ruchu falowego wielkości.
Długością λ fali23 nazywamy odległość między dwoma różnymi i najbliższymi
punktami ośrodka drgającymi (w tej samej chwili czasu) z fazami różniącymi się
o 2π.
Częstością kołową ω fali nazywamy wielkość
2π
ω=
.
(6)
T
Liczbą falową k fali o długości fali λ nazywamy wielkość
2π
k=
.
(7)
λ
21
Cytat pochodzi z książki: Roger Penrose, Nowy umysł cesarza, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa
1995.
22
Oznacza to, że prędkość ta jest skończona.
23
Inna definicja ma postać: Długością fali nazywamy odległość λ, którą przebywa fala w ośrodku sprężystym
w czasie T .
9
Częstotliwością fali f o okresie T nazywamy wielkość
1
f= .
(8)
T
Jednostką częstotliwości jest Hz, którego wymiar jest równy s−1 .
Zadanie 5. Wyznaczyć wymiary ω, k, f.
Jak wynika bezpośrednio z tej definicji różnica faz pomiędzy dwoma punktami ośrodka
powinna spełniać związek
2π
2π(x2 − x1)
2π
2π =
(t − x1/c) + α0 −
(t − x2 /c) + α0 =
T
T
T ·c
skąd
x2 − x1
λ
=
,
(9)
T ·c
T ·c
zatem
λ = c · T,
(10)
czego należało oczekiwać zgodnie z alternatywną definicją wielkości λ.
λ
Zadanie 6. Pokazać, że wielkość c := zwana prędkością fazową fali (patrz poniżej) wynosi
T
ω
c= .
k
Za pomocą długości fali λ równaniu fali (5) można nadać inne postacie:
x
t
−
+ α0 ,
(11)
y(x, t) = A cos 2π
T
T ·c
t
x
y(x, t) = A cos 2π
−
+ α0 ,
(12)
T
λ
y(x, t) = A cos [ω · t − k · x + α0 ] ,
(13)
2π
ω
gdzie posłużono się wielkością k =
= , zwaną liczbą falową, która określa liczbę długości
λ
c
fali mieszczących się na odcinku o długości 2π.
Zadanie 7. Zweryfikować poprawność ostatniej relacji.
Zadanie 8. Kosinusosidalna fala rozchodzi się wzdłuż osi OX. Jej amplituda wynosi A = 0, 01
m, długość λ = 0, 4 m, a częstotliwość f = 8 Hz. Poprzeczne wychylenie punktów ośrodka
sprężystego dla t = 0 i x = 0 wynosi 0, 01 m. Wyznaczyć wektor falowy k, okres T , częstość
kołową ω i prędkość c tej fali. Określić wartość α0 oraz podać równanie fali.
3.1.
Prędkość fazowa fali monochromatycznej
Faza Φ fali monochromatycznej (13) wynosi
Φ = ω · t − k · x + α0.
Prędkość fazowa c jest zdefinicji równa pochodnej
dx
c=
.
dt
Jej wartość wyznaczamy z warunku
Φ(x, t) = ω · t − k · x + α0 = const,
skąd, po obliczeniu różniczki zupełnej obu stron, otrzymujemy
dΦ = d(const) = 0 = ω · dt − k · dx.
Zatem
c :=
dx
ω
λ
= =
dt
k
T
(14)
(15)
(16)
(17)
.
10
Warto zauważyć, że obliczana w ten sposób wartość c jest dodatnia. Interpretujemy to jako
falę rozchodzącą się w dodatnim kierunku osi OX.
Równanie fali
y(x, t) = A cos [ω · t + k · x + α0 ] ,
(18)
y(x, t) = A0 exp(−γt) cos(ωt − kx + α0 ),
(19)
jak łatwo się o tym przekonać bezpośrednim rachunkiem, opisuje falę rozchodzącą się w ujemω
nym kierunku osi OX, ponieważ jej prędkość falowa c = − h0.
k
Zadanie 9. Sprawdzić ostatni wynik samodzielnie.
∂ 2y
∂y
oraz przyspieszenie ay = 2 cząsteZadanie 10. Wyznaczyć prędkość poprzeczną vy =
∂t
∂t
czek ośrodka dla x = const fali (13). Ile wynoszą wartości maksymalne wyznaczonych wielkości?
Dla jakich chwil czasu vy oraz ay przyjmują wartości ekstremalne? Czy spełniona jest relacja:
ay = −ω 2 y
Zadanie 11. Fala biegnąca w sznurze ma postać y(x, t) = 0, 35m sin(10πt − 3πx + π/4). Ile
wynosi prędkość c i jaki jest kierunek rozchodzenia się tej fali? Jakie jest wychylenie punktów
ośrodka dla t = 0 i x = 0, 10 m? Ile wynosi długość i częstość tej fali? Ile wynosi maksymalna
wartość prędkości poprzecznej?
Na zakończenie tego podrozdziału podamy jeszcze kilka użytecznych wyrażeń.
Równanie jednowymiarowej fali płaskiej tłumionej ma postać
gdzie γ – współczynnik pochłaniania fali przez ośrodek sprężysty. Podane wyrażenie uwzględnia
tłumienie fali monochromatycznej, za które odpowiada rozpraszanie (mówimy także dysypacja)
energii fali (patrz dalej) w ośrodku sprężystym. Zmiejszanie się energii płaskiej fali monochromatycznej – co przejawia się jako malenie amplitudy drgań fali – jest spowodowane pochłanianiem przez cząsteczki ośrodka energii fali oraz innymi procesami termodynamicznymi, którym
towarzyszy zamiana energii fali w ciepło.
Równanie fali sferycznej (bez uwzględniania pochłaniania), nazywanej tak z uwagi na sferyczny kształt powierzchni fazowych, ma postać
A0
u(r, t) = A(r) cos(ωt − kr + α0 ) =
cos(ωt − kr + α0 ).
(20)
r
Przytoczoną tutaj zależność A(r) amplitudy od odległości jest stosunkowo łatwo zrozumieć,
jeśli zauważyć, że całkowita moc energii przechodzącej przez jednostkę powierzchni ustawionej
w odległości r od źródło fali sferycznej jest proporcjonalna do A2(r). Całkowita moc fali emitowanej przez źródło fali sferycznej nie zależy od r i w odległości r od źródła jest proporcjonalna
1
do A2 · 4πr2 . Ponieważ A2 · 4πr2 = const, więc A(r) ∼ .
r
Innym rodzajem równania fali może być zależność typu
A
y(x, t) =
,
(21)
(B · x − D · t)2 + E
gdzie A, B, C, D stałe i dodatnie współczynniki liczbowe (jakie są ich wymiary?), które opisuje
propagowanie się (w prawo) pojedynczego impulsu (garbu) w ośrodku sprężystym, o czym
możemy się przekonać sporządzając wykresy zależności y(x, t) dla kolejnych chwil czasu (np.
dla t = 0, 1, 2, . . .). Dodajmy, że y ma wymiar metra.
Zadanie 12. Narysować wykres (21) jako funkcji x dla wybranych chwil czasu. Co przedstawiają otrzymane wykresy?
Zadanie 13. Wyznaczyć wymiary wielkośći A, B, D, E występujących w (21)
Zadanie 14. Wyznaczyć prędkość rozchodzenia się impulsu (21).
Zadanie 15. Jaki obiekt falowy opisuje równanie
A
y(x, t) =
.
(22)
(B · x + D · t)2 + E
11
3.2.
Równanie fali płaskiej rozchodzącej się w dowolnym
kierunku
Znajdziemy obecnie równanie fali płaskiej rozchodzącej się w dowolnym kierunku, tj. której
kierunek propagacji tworzy kąty (α, β, γ) odpowiednio z osiami OX, OY, OZ kartezjanskiego
układu współrzędnych.
Niechaj źródłem fali będzie wykonująca ruch harmoniczny prosty u0 = A cos(ω · t + α0 )
płaszczyzna P0 przechodząca przez początek układu współrzędnych. Rozpatrzmy płaską powierzchnię P1 stałej fazy odległą od źródła o d. Drgania punktów tej płaszczyzny są opóźnione
w czasie o τ = l/c w stosunku do drgań punktów płaszczyzny P0. Zatem zależność od czasu
wychylenia tych punktów opisuje równanie
u = A cos[ω(t − d/c) + α0 ] = A cos(ω · t − k · l + α0 ).
Wyrazimy teraz odległość l za pomocą współrzędnych punktów należących do płaszczyzny P1 .
Wprowadźmy w tym celu jednostkowy wektor n̂, który jest prostopadły do płaszczyzny P1 .
Z rysunku widać, że iloczyn skalarny wektora wodzącego r dowolnego punktu płaszczyzny P1
oraz wektora n̂ wynosi
r · n̂ = r cos(φ) = l.
Po podstawieniu tego wyniku do przedostatniego wyrażenia otrzymujemy
u = A cos(ω · t − k · n̂ · r + α0 ).
(23)
2π
. Jest więc liczbą falową k i jest jednocześnie prostopadły
Wektor n̂ · k ma długość równą
λ
do płaszczyzny stałej fazy P1. Dlatego nazywany jest wektorem falowym. Zatem
u(r, t) = A cos(ω · t − k · r + α0 )
(24)
opisuje zależność wychylenia z położenia równowagi dowolnego punktu odległego od początku
układu o r i należącego do płaszczyzny P1 w chwili czasu t. Jest więc poszukiwanym przez
nas równaniem fali płaskiej rozchodzącej się w dowolnym kierunku wyznaczonym przez wektor
falowy k. Ponieważ iloczyn skalarny k · r = kx x + ky y + kz z, więc
u(r, t) = A cos(ω · t − kx x − ky y − kz z + α0 ),
(25)
gdzie
2π
2π
2π
kx =
cos(α), ky =
cos(β), kz =
cos(γ).
λ
λ
λ
Relacja (25) określa zależność wychylenia z położenia równowagi dowolnego punktu o współrzędnych (x, y, z) należącego do płaszczyzny P1 w chwili czasu t.
Zauważmy, że dla kx = k, ky = kz = 0 otrzymane wyniki opisują propagację fali płaskiej
wzdłuż osi OX (patrz równanie (13) w poprzednim rozdziale).
Równanie fali często zapisujemy w postaci zespolonej
u = ℜ [A exp[i(ω · t − k · r + α0 )]] ,
(26)
symbol ℜ oznacza część rzeczywistą liczby zespolonej A exp[i(ω · t − k · r + α0 )] = A cos(ω · t −
k · r + α0) + i · A · sin(ω · t − k · r + α0), gdzie skorzystano z wzoru Eulera
exp(iz) = cos(z) + i sin(z).
(27)
Jeśli wprowadzić zespoloną amplitudę Â = A · exp(iα0), to równanie fali płskiej można
zapisać w postaci
h
i
(28)
u = ℜ Â exp[i(ω · t − k · r)] .
12
Fraktal jest sposobem widzenia nieskończoności okiem duszy.
James Gleick24
4.
Równanie falowe
Równanie fali (13) jest rozwiązaniem pewnego równania zwanego równaniem falowym.
Przystąpimy obecnie do jego wyprowadzenia. Najpierw przedstawimy bardzo uproszczony sposób otrzymywania tego równania posługująć się równaniem (13). Następnie wyprowadzimy je
w kilku prostych przypadkach posłygując się drugą zasadą dynamiki.
4.1.
Proste wyprowadzenie
W celu wyprowadzenia równania falowego wyznaczymy odpowiednie pochodne cząstkowe rówania płaskiej fali monochromatycznej (25) i następnie wskażemy na pewne zależności
pomiędzy nimi.
Różniczkujemy dwukrotnie wyrażenie (25) względem zmiennych x, y, z oraz t. W rezultacie
otrzymujemy
∂ 2u
= −kx2 A cos[ω · t − k · r + α0 ] = −kx2 u,
2
∂x
∂ 2u
= −ky2A cos[ω · t − k · r + α0 ] = −ky2u,
2
∂y
∂ 2u
= −kz2A cos[ω · t − k · r + α0 ] = −kz2u,
2
∂z
∂ 2u
= −ω 2A cos[ω · t − k · r + α0 ] = −ω 2 u.
∂t2
Dodajmy stronami pochodne cząstkowe względem zmiennych przestrzennych. Wtedy
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
+
+
= △u = −(kx2 + ky2 + kz2 ) · u = −k 2 · u,
(29)
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
gdzie wprowadzono operator Laplace’a, zwany krótko laplasjanem
∂2
∂2
∂2
△u =
+
+
.
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Zauważmy ponadto, że wyrażenie na pochodną cząstkową względem czasu
1 ∂ 2u
u=− 2 2.
ω ∂t
Po podstawieniu tego wyrażenia do (29) otrzymujemy poszukiwaną postać równania falowego
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
1 ∂ 2u
1 ∂ 2u
2
△u =
+
+
=
−k
·
−
=
,
(30)
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
ω 2 ∂t2
c2 ∂t2
ω
gdzie wykorzystano związek c = .
k
Zadanie 16. Pokazać, że ((6) ÷ (8)) spełniają jednowymiarowe równanie falowe (30), w którym k = kx , ky = kz = 0 i c = ω/k.
!
24
Cytat pochodzi z książki: James Gleick, Chaos, Wydawnictwo Zysk i S–ka Wydawnictwo, Poznań 1996.
13
4.2.
Liniowe równanie falowe
Wyprowadzimy obecnie równanie jednowymiarowej fali poprzecznej (dla takiej fali kx 6=
0, ky = kz = 0) poruszającej się wzdłuż struny.
Niechaj struna poddana będzie działaniu stałej siły naciągu N = const. Liniowa gęstość
m
ρl =
= const (o wymiarze kg/m) masy struny, gdzie m i l są masą i długością struny.
l
Jeden (lewy) koniec struny umieszczono w początku układu odniesienia, którego oś OY jest
równoległa do kierunku wychyleń z położenia równowagi punktów struny.
Rozpatrzmy równanie ruchu masys
∆m struny położonej pomiędzy punktami struny o współ
∆y 2
rzędnych x i x + ∆x, długości ∆s = 1 +
∆x ≃ ∆x25 i masie ∆m = ρl · ∆x26. Niechaj
∆x
y(x, t) będzie wychyleniem tak wybranego fragmentu masy struny z położenia równowagi wywołanego rozchodzeniem się fali. Sformułujemy obecnie równanie ruchu masy ∆m. Z drugiej
zasady dynamiki Newtona wynika, że
∂ 2u
∆m · ay = ρl ∆x 2 = Fy ,
(31)
∂t
gdzie ay jest y–kową składową przyspieszenia masy ∆m, a Fy jest składową wypadkowej siły
w kierunku OY. Wartość siły Fy wynosi (patrz rysunek)
Fy = F (x + ∆x) − F (x) = N sin[Θ(x + ∆x, t)] − F sin[Θ(x, t)] ≃
≃ N tan[Θ(x + ∆x, t)] − N tan[Θ(x, t)]
∂y
∂ 2y
∂y
−
≃ N · ∆x 2 .
Fy ≃ N
∂x x+∆x
∂x x
∂x
∂y
Ostatnia równość została otrzymana w wyniki rozwinięcia pochodnej
w punkcie
∂x x+∆x
x + ∆x, co prowadzi do
!
∂y
∂y
∂ 2y
≃
+
∆x + O(∆x)2 .
∂x x+∆x
∂x x
∂x2 x
Dodajmy, że nasze rozważania przeprowadziliśmy przy założeniu o małości odkształceń ∆y
poprzecznych struny, co pozwala stosować przybliżenia typu
∂y
Θ(x, t) ≃ sin[Θ(x, t)] ≃ tan[Θ(x, t)] =
.
∂x
Po podstawieniu przedostatniego związku do (31) otrzymujemy
∂ 2y
∂ 2y
ρl ∆x · 2 = N · 2
∂t
∂x
Temu rezultatowi nadamy obecnie postać poszukiwanego jednowymiarowego równania falowego
2 2
∂ 2y
1 ∂ 2y
1 ∂ y
= 2 =
,
(32)
2
N
∂x
∂t
c ∂t2
ρl
s
N
gdzie c =
jest prędkością fazową jednowymiarowej fali poprzecznej rozchodzącej się wzdłuż
ρl
struny.
N
Zadanie 17. Pokazać, że wymiarem
jest m2/s2 .
ρl
∂ 2y
Jak widzimy równanie falowe (32) wiąże ze sobą przyspiesznie oscylatora harmonicznego 2
∂t
∂ 2y
z drugą pochodną przemieszczenia, tj. 2 . Współczynnikiem proporcjonalności jest czynnik c2 .
∂x
Po której ze stron równania falowego on występuje łatwo ustalić za pomocą analizy wymiarowej.
25
Zakładamy więc, że ∆y ≪ ∆x.
Zauważmy, że symbol △ oznacza laplasjan, a ∆ jest literą grecką stosowaną tutaj do oznaczenia małych
wielkości lub ich przyrostów.
26
14
Przedstawione wyprowadzenie równania falowego pozwala wyznaczyć bezpośrednim rachunkiem wartość prędkości c fazowej fali. Nie jest to możliwe w podejściu zaprezentowanym w trakcie prostego wyprowadzenia równania falowego. Jak widzimy prędkość fali c zależy jedynie
od właściwości ośrodka sprężystego.
Zadanie 18. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że równanie fali kosinusoidalnej y(x, t) =
A cos[ωt − kx], gdzie ω/c = k = 2π/λ jest rozwiązaniem (32).
Na przykładzie fali (13) z φ = 0 można prześledzić wszystkie podstawowe właściwości ruchu
falowego.
1. Prędkość fazowa jest równa c = ω/k, co pozostawiam do samodzielnego obliczenia.
2. Prędkość cząstek ośrodka w punkcie x i chwili czasu t wynosi
v(x, t) = ∂y/∂t = −Aω sin(ωt − kx).
3. Jak pokażemy, dalej względne odkształcenie ε(x) elementu ośrodka o długości ∆x w punkcie x zależy od x i od t i wynosi (dla ∆x → 0)
∂y
ε(x, t) =
= Ak sin(ωt − kx).
∂x
Zadanie 19. Pokazać, że ε(x, t) jest wielkością bezwymiarową.
Zatem
∂y
ω ∂y
∂y
=−
= −c
= −cε(x, t),
v=
∂t
k ∂x
∂x
co oznacza, że prędkość cząsteczek ośrodka v jest proporcjonalna do wartości ε(x, t).
4. Cząstki ośrodka nie przemieszczają się wraz z falą. Drgają one wokół swoich położeń
równowagi. Łatwo się o tym przekonać licząc wartość średnią hv(x)i prędkości v(x, t) po
Z
1 T
czasie t = T , gdzie T jest okresem fali. Wtedy hv(x)i =
−Aω sin(ωt − kx)dt = 0,
T 0
ponieważ obliczamy w ten sposób całkę z funkcji okresowej po przedziale równym jej
okresowi.
1ZT
−Aω sin(ωt − kx)dt =
Zadanie 20. Pokazać bezpośrednim rachunkiem, że hv(x)i =
T 0
0.
Zadanie 21. Narysować na jednym rysunku, dla ustalonego t = const, następujące zależności:
∂y(x, t)
(1) y(x, t); (2) v(x, t); (3) ε(x, t); (4) Wartości poprzecznej siły −N
pochodzącej od fali
∂x
i działającej na cząstki ośrodka położone w pobliżu punktu x, jeśli y(x, t) = A cos[ωt − kx].
Jeśli zamiast struny ośrodkiem, w którym rozchodzi się jednowymiarowa fala poprzeczna
byłby pręt o polu przekroju poprzecznego S i trójwymiarowej gęstości masy ρ (o wymiarze
kg/m3 ), to analogiczne do przedstawionego wyżej rozumowanie prowadzi do rówania falowego
2 2
∂ 2y
1 ∂ 2y
1 ∂ y
=
=
,
(33)
N ∂t2
∂x2
c ∂t2
Sρ
s
N
gdzie c =
jest prędkością fazową jednowymiarowej fali poprzecznej rozchodzącej się wzdłuż
Sρ
pręta. Jak widzimy uwzględnienie skończonej grubości pręta prowadzi do prostej zamiany ρl →
ρ · S (porównaj (32) i (33)) co jest konsekwencją tego, że w przypadku pręta ∆m = ρ · S · ∆x.
Rozwiązaniem równania falowego (32) jest każda funkcja27 f postaci
f (−) (x, t) = f(x − c · t),
lub
f (+) (x, t) = f(x + c · t).
27
Dostatecznie regularna, tj. posiadająca pochodne cząstkowe drugiego rzędu względem zmiennej czasowej
i przestrzennej
15
Zadanie 22. Sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że funkcje f (±) są rozwiązaniami jednowymiarowego równania falowego (32).
Zadanie 23. Pokazać, że wyprowadzone wcześniej przez nas postacie równania fali (patrz
równania (6÷8)) są także rozwiązaniami równania falowego (32).
Zadanie 24. Pokazać, że jeśli zastąpimy funkcję cos występującą w wyprowadzonych wcześniej równaniach fali (6÷8)) przez funkcję sin, to tak otrzymana funkcja jest także rozwiązaniem
równania falowego (32).
Zadanie 25. Do pionowej ściany przymocowany jest za jeden koniec cienki sznurek, na
którego drugim końcu przewieszonym przez bloczek wisi ciężarek o masie mc = 20kg. Długość
sznurka l = 5 m, a jego masa msz = 0.2 kg. Wyznaczyć prędkość c fali poprzecznej w tym
sznurku.
Zadanie 26. Czy można wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego g w warunkach z zadania poprzedniego, jeśli znamy: czas τ przelotu fali poprzecznej od początku do końca sznurka,
l, msz i mc ?
Zadanie 27. Pokazać, że funkcje: (A) y(x, t) = ln[b(x − ct)], (B) y(x, t) = exp[b(x − ct)],
(C) y(x, t) = x2 + c2 t2, (D) y(x, t) = sin(x) cos(ωt) są rozwiązaniami równania falowego. Czy
funkcje (C) i (D) są postaci f(x + ct) + g(x − ct)28?
4.3.
Prędkość impulsu poprzecznego w strunie
Wyprowadzenie prędkości fali zaprezentowane powyżej można nieco uprościć. Przedstawiamy to poniżej dla poprzecznego impulsu rozchodzącego się wzdłuż struny.
Niechaj, tak jak poprzednio, mały odcinek struny o długości ∆l tworzy, pod wpływem
biegnącego w ośrodku impulsu falowego, wycinek koła o promieniu R (patrz rysunek). W układzie odniesienia poruszającym się z impulsem (jego prędkość jest stała) odcinek ∆l porusza się pod wpływem siły wypadkowej Fwyp = 2F sin(Θ) ≃ 2F Θ. Mały segment ma masę
∆m = ρl · ∆l ≃ 2ρl RΘ (patrz rysunek). Zgodnie z drugą zasadą dynamiki wartość siły dośrodkowej
∆mc2
2ρl RΘc2
Fd =
=
= 2F Θ.
(34)
R
R
Rozwiązanie tego równania względem c daje
s
F
.
(35)
ρl
Jest to więc ten sam wynik, ale otrzymany bez założenia o jakimkolwiek kształcie impulsu
rozchodzącego się w ośrodku.
Zadanie 28. Dwa impulsy, rozchodzące się po tej samej strunie, są opisywane równaniami
0.05
y1 (x, t) =
,
(30x − 45t)2 + 2
c=
y2 (x, t) =
−0.05
.
(30x + 45t − 33)2 + 2
W którym kierunku porusza się każdy z nich? Po upływie jakiego czasu oba impulsy zniosą się
wzajemnie (możemy mówić o anihilacji impulsów)? W którym miejscu ośrodka to się zdarzy?
Zadanie 29. Falę poruszająca się wzdłuż osi OX opisuje równanie
y(x, t) = 2, 0 exp[−(x + 10t)2 ],
gdzie y, x w metrach, a t w sekundach. Określić kierunek rozchodzenia się fali oraz jej prędkość
c.
28
W przypadku (C) mamy y(x, t) = (1/2)[(x + ct)2 + (x − ct)2 ]. W przypadku (D) należy zauważyć, że jeśli
ma być spełniona równość 1/2 sin(x) cos(ωt) = (1/2)[sin[(a + b)/2] cos[(a − b)/2] = sin(a) + cos(b), to powinny
zachodzić związki x = (a + b)/2 i ct = (a − b)/2 skąd wyznaczamy a = x + ct oraz b = x − ct
16
4.4.
Jednowymiarowa fala podłużna w pręcie
Niechaj wzdłuż jednorodnego pręta o długości L, powierzchni przekroju poprzecznego S
i gęstości ρ = const (bo pręt z założenia jest jednorodny) rozchodzi się fala podłużna równolegle
do osi poziomo ułożonego pręta.
Jeden (lewy) koniec pręta umieszczono w początku układu odniesienia. Oś pręta jest równoległa do osi OX. Przesunięcie u(x, t) (równolegle do osi pręta i osi OX) fragmentu masy
∆m = ρS∆x pręta położonego wokół punktu o współrzędnej x zależy od czasu t oraz x (bo
jest ono wywołane rozchodzeniem się fali podłużnej). Jeśli punkty pręta o współrzędnej x mają
w chwili t wychylenia określone za pomocą u(x, t), to punkty pręta znajdujące się w położeniu
x + ∆x mają wychylenia u(x + ∆x, t) 6= u(x, t), przy czym u(x + ∆x, t) ≃ u(x, t) + ∆u. Oznacza to, że objętość fragmentu masy ∆m doznaje odkształcenia sprężystego, którego wartość
∆u
bezwzględna wynosi ∆u zaś względne wydłużenie ε jest równe ε =
. Zauważmy, że wartość
∆x
ε jest funkcją czasu oraz współrzędnej przestrzennej x, ponieważ od tych wielkości zależy ∆u.
Dla dostatecznie małych wartości ∆x możemy przyjąć, że
∂u(x, t)
.
(36)
ε(x, t) =
∂x
Jak wiemy względna deformacja ε(x, t) 6= 0 świadczy o tym, że w punkcie pręta o współrzędnej x działa naprężenie σ(x, t), którego wartość jest związana z ε(x, t) prawem Hooke’a
∂u(x, t)
,
(37)
∂x
gdzie E jest modułem Younga materiału pręta.
Zauważmy w tym miejscu, że jeśli u(x, t) = u0 cos(ωt − kx + α0 ) (zakładamy, że biegnąca
fala podłużna ma postać monochromatycznej fali płaskiej, zwanej także falą sinusoidalna albo
∂u
= −ku0 sin(ωt − kx + α0). Oznacza to, że w danej chwili czasu t
kosinusoidalną), to ε =
∂x
względne odkształcenie ε(x, t) oraz naprężenie σ(x, t) zależą od x. W punktach ośrodka, dla
których wychylenia u(x, t) są ekstremalne mamy ε0(x, t) = σ0(x, t) = 0 (dlaczego?). Tam gdzie
wychylenia u(x, t) są równe zeru obserwujemy maksymalne wartości bezwzlędne odkształceń
εmax,min (x, t) i naprężeń σmax,min (x, t) (dlaczego?). Przy czym dodatnie (rozciąganie) i ujemne
(ściskanie) wartości odkształceń εmax oraz εmin występują na przemian. Swiadczy to o tym, że
poprzecna fala składa się z ciągu zgęszczeń i rozrzedzeń ośrodka w którym się rozchodzi.
Napiszemy obecnie równanie ruchu fragmentu ∆m pręta położonego w pobliżu punktu x
poruszającego się pod wpływem rozchodzącej się w pręcie fali. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki
∂ 2u
∂ 2u
∆m · 2 = ρ · S · ∆x · 2 = S · [σ(x + ∆x + u + ∆u) − σ(x + u)] ,
(38)
∂t
∂t
gdzie σ(x + ∆x + u + ∆u) i σ(x + u) są wartościami naprężeń w odpowiednich punktach pręta
określonych argumentami funkcji σ.
W celu uproszczenia dalszego zapisu i toku rozumowania przyjmiemy dodatkowe założenia:
σ(x, t) = Eε = E
σ(x + ∆x + u + ∆) ≃ σ(x + ∆x), σ(x + u) ≃ σ(x)
(39)
σ(x + ∆x + u + ∆u) − σ(x + u) ≃ σ(x + ∆x) − σ(x)
(40)
które – jak to pokazujemy w podrozdziale następnym – nie wpływają na końcowy wynik29.
Wtedy
oraz zgodnie z prawem Hooke’a (37)
∂u
.
σ(x) = E
∂x x
(41)
29
Jest to spowodowane tym, że w odpowiednie wyrażenia wchodzi różnica σ(x + ∆x + u + ∆) − σ(x + u) oraz
spełniona jest nierówność u(x, t) ≪ ∆x.
17
Równanie ruchu (38) przyjmuje obecnie postać
∂ 2u
ρ∆x · S · 2 = S · (σ(x + ∆x) − σ(x)).
∂t
Ostatnią równość, po uwzględnieniu (41), zapiszemy w następujący sposób
 
∂u
∂u
−

∂ 2u
∂
∂u
∂ 2u
∂x x+∆x
∂x x 


ρ · S · 2 = S · lim E
=S
E
= S · E · 2,

∆x→0 
∂t
∆x
∂x
∂x
∂x
(42)
które po stosownych uproszczeniach30 jest równaniem falowym dla poprzecznej fali w pręcie
ρ ∂ 2u
∂ 2u
=
.
(43)
∂x2
E ∂t2
Jak wynika z postaci tego równania prędkość fal podłużnych w pręcie wynosi
s
E
.
(44)
ρ
Poniżej w tabeli podajemy wartości c(||) w prętach dla wybranych materiałów.
Materiał c(||)
Materiał
c(||)
m/s
m/s
Pb
1200
Cyna
2730
Mosiądz 3300
Cu
3710
Cynk
3810
Szkło flint
4000
Ni
4780
Al
5040
Fe
5100 kwarc topiony 5370
Bardzo podobne rozważania można przeprowadzić w przypadku propagowania się wzdłuż
rozpatrywanego pręta skręcenia (fal torsyjnych). Jeśli oznaczymy przez φ(x, t) kąt skręcenia
przekroju znajdującego się w położeniu x w chwili czasu t, to równanie falowe opisujące propagację poprzecznej fali odkształceń φ(x, t) ma postać
∂ 2φ
ρ ∂ 2φ
=
.
(45)
∂x2
G ∂t2
Jak stąd wynika prędkość fal poprzecznych w pręcie wynosi
c
(||)
=
s
G
,
(46)
ρ
gdzie G jest modułem skręcania (ścinania lub sztywności)31. Moduły G oraz E są ze sobą
związane relacją
E
,
(47)
G=
2(1 + µ)
gdzie µ jest współczynnikiem Poissona. Jeśli pręt o średnicy d poddany jest rozciąganiu (ściskaniu), to jego długość początkowa l zmienia się o ∆l, zaś d o ∆d. Współczynnik Poissona
określa związek:
∆d
µ= d .
(48)
∆l
l
Pokazuje się, że współczynnik Poissona spełnia nierówność
c
(⊥)
=
0hµh0, 5.
(49)
30
Założyliśmy jednorodność pręta więc E nie może zależeć od x lub t.
Jeśli do górnej płaszczyzny ciała stałego w kształcie sześcianu przyłożymy stycznie do tej ściany naprężenie
σ|| , to górna płaszczyzna zostanie odchylona od pionu o kąt γ, taki że γ = χ · σ, gdzie χ jest współczynnikiem
ścinania, skręcania lub sztywności. Modułe ścinania G = 1/χ
31
18
Zatem GhE.
Zadanie 30. Uzasadnić ostatnią nierówność.
Poniższa tabela podaje wartości odpowiednich współczynników, które omówiliśmy wcześniej.
Ciało
E
G
µ
2
12
2
10 N/m
10 N/m
Al
0,071
0,027
0,34
Pb
0,017
0,006
0,45
Cu
0,100
0,048
0,34
Mosiądz
0,100
0,035
0,33
Stal
0,217
0,083
0,30
Szkło
0,05÷0,083
0,027
0,30
Al
0,071
0,027
0,34
Wyprowadzone powyżej równania falowe mogą być zastosowane do rozchodzenia się fal
poprzecznych i podłużnych w ciałach stałych. Odpowiednie równania falowe wyprowadza się
rozpatrując fragment ośrodka sprężystego (ciała stałego) w kształcie walca i dalsze rozważania
są analogiczne do przeprowadzonych tutaj dla przypadku fal rozchodzących się wzdłuż pręta.
Poniżej podajemy wartości prędkości fal sprężystych w cialćh stałych:
Prędkość fali podłużnej w ciele stałym (w nieskończonym ośrodku)
12
c(||) =
v
u
u
t
E(1 − µ)
.
ρ(1 + µ)(1 − 2µ)
(50)
Prędkość fali poprzecznej w ciele stałym (w nieskończonym ośrodku)
c
(⊥)
=
s
G
=
ρ
s
E
.
2ρ(1 + µ)
(51)
Jak widzimy c(||) ≥ c(⊥) oraz
1−µ
.
1 − 2µ
Zadanie 31. Wyprowadzić ostatnią równość korzystając z podanych wcześnie związków.
Przedstawione zależności obserwuje się m.in. podczas trzęsień Ziemi, kiedy to sejsmografy
rejestrują najpierw dobiegające doń z epicentrum fale podłużne (tzw. primary waves), a po nich
dopiero docierają fale poprzeczne (tzw. secondary waves). Różnica pomiędzy czasami odbioru
przez sejsmografy obu typów fal służy do określenia odległości od sejsmografu do epicentrum.
Zadanie 32. Wyjaśnij poprawność takiego rozumowania.
Analiza rozchodzenia się fal w objętości Ziemi pokazała, że fale poprzeczne nie przenikają
przez jądro Ziemi. Świadczy to o tym, że wnętrze Ziemi (jego jądro) jest płynne.
Zadanie 33. Wyznaczyć prędkość dźwięku w rtęci, dla której moduł ściśliwości objętościowej
jest równy 2, 8 · 1010 N/m2 i gęstość 13.600 kg/m3 .
Zadanie 34. Gęstość aluminium wynosi ρAl = 2, 7 · 103 kg/m3 , a prędkość fali podłużnej
v = 5100 m/s. Ile wynosi moduł Younga dla aluminium?
Zadanie 35. Poprzeczna fala biegnie z prędkością v = 30 m/s w strunie poddanej naprężeniu
N = 10 N. Dla jakiej wartości N prędkość tej fali będzie równa 60 m/s?
Zadanie 36. Wahadło matematyczne składa się z kulki o masie M wiszącej na cienkim
sztywnym pręcie masy m ≪ M i długości L. Wyznaczyć prędkość poprzecznych fal w pręcie
wahadła, jeśli jego okres drgań wynosi T .
Zadanie 37. Stalowy drut o długości Ls jest połączony z miedzianym drutem o długości Lm .
Oba tworzą jeden pręt o długości L = Ls + Lm . Przekrój każdego drutu jest taki sam, a jego
powierzchnia jest równa S. Druty rozciąga siła N. Jak długo biegnie podłużna (poprzeczna)
fala sprężysta od jednego do drugiego końca drutu?
c
(||)
=c
(⊥)
s
19
Zadanie 38. Fala sinusoidalna biegnie wzdłuż sznurka. Źródło fali wykonuje n pełnych drgań
w ciągu czasu tn . Ponadto, dane maksimum fali (garb) przebywa odległość s w czasie ts . Ile
wynosi długość tej fali?
Zadanie 39. Dwie fale sinusoidalne:
y1 (x, t) = 4,0 sin(3,0x − 20t),
y2 (x, t) = 8,0 cos(3,0x − 20t)
rozchodzą się jednocześnie w ośrodku sprężystym. Pokazać, że wypadkowa fala y(x, t) =
y1 (x, t) + y2(x, t) jest także falą sinusoidalną oraz obliczyć jej fazę oraz amplitudę. Ws-ka.
Skorzystać z zależności trygonometrycznej A sin(α + β) = A[sin(α) cos(β) + sin(β) cos(α)],
gdzie α = 3, 0x − 20t Następnie wyznaczyć takie A oraz β, aby spełniona była równość
y(x, t) = A sin(α + β).
Zadanie 40. Nietoperz jest w stanie dokonać detekcji małego obiektu (insekta) o rozmiarze liniowym porównywalnym z długością fali emitowanej przez nietoperza32. Ile wynosi ten
rozmiar liniowy, jeśli nietoperz emituje ultradźwięki o częstości 50, 0 kHz, a prędkość dźwięku
w powietrzu vd ≃ 340 m/s?
Zadanie 41. Napisać równanie fali sinusoidalnej (tj. jawną zależność y(x, t)) biegnącej wzdłuż
sznura w ujemnym kierunku osi OX, jeśli jej amplituda A = 4, 0 cm, λ = 100, 0 cm, f = 4, 0
Hz gdy: (a) y(0, t) = 0 dla t = 0; (b) y(x, 0) = 0 dla x = 20, 0 cm.
Zadanie 42. Fala poprzeczna w strunie ma postać y(x, t) = (0, 20)m sin π(x/10 + 5t). (A)
Określić prędkość poprzeczną i przyspieszenie struny dla t = 0, 5 s dla punktów położonych
w x = 2 m. (B) Ile wynoszą długość λ, okres T , częstość f, częstość kołowa ω, wektor falowy k
prędkość fazowa c tej fali?
4.5.
Dodatek I
W tym podrozdziale wyprowadzamy równanie fali poprzecznej rozchodzącej się w pręcie bez
upraszczającego założenia (39).
Wartości pochodnych cząstkowych występujących w (41) obliczamy korzystając z następującej
relacji (jest to obcięty szereg Taylora)
∂u
∂x
≃
x+∆
∂u
∂x
∂
+
∂x
x
∂u
∂x
∆ + . . .. ≃
x
∂u
∂x
+
x
∂ 2u
∂x2
!
∆.
x
Na podstawie tej zależności otrzymujemy
∂u
∂x
∂u
∂x
∂u
∂x
=
x+∆x+u+∆u
∂u
∂x
∂2u
∂x2
+
x
!
(∆x + u + ∆u),
x
gdzie rozwinięcie Taylora przeprowadzono wokół punktu x zaś ∆ = ∆x + u + ∆u oraz
=
x+u
∂u
∂x
+
x
∂2u
∂x2
!
u,
x
gdzie rozwinięcie Taylora przeprowadzono wokół punktu x zaś ∆ = u. Różnica dwóch ostatnich
wyrażen jest równa
−
x+∆x+u+∆u
∂u
∂x
≃
x+u
∂2u
∂x2
!
(∆x + ∆u) ≃
x
∂ 2u
∂x2
!
∆x,
x
!
∂2u
ponieważ ∆u ≪ ∆x (dlatego człon
∆u może być w naszych rozważaniach pominięty).
∂x2 x
Po uwzględnieniu powyższych zależności równanie ruchu (42) przyjmuje prostą postać
ρ · S∆x ·
∂ 2u
∂ 2u
=
S
·
E
·
,
∂t2
∂x2
32
Nietoperz nie widzi mniejszych obiektów, ponieważ ultradźwięki się na nich uginają i interferują zamazując
całkowicie obraz tego przedmiotu. Podobnie za pomocą fali świetlnej o długości λ jesteśmy, w zasadzie, w stanie
widzieć przedmioty o rozmiarach liniowych rzędu λ.
20
które po stosownych uproszczeniach jest równaniem falowym dla poprzecznej fali w pręcie
∂ 2u
ρ ∂ 2u
=
.
∂x2
E ∂t2
, otrzymanym poprzednio po przyjęciu upraszczającego założenia (39).
(52)
W nauce istnieje uświęcony obyczajem sposób ustalania, czy
teoria jest słuszna. Jest to mianowicie eksperyment.
Mówiąc ściśle, eksperyment może jedynie wykazać, że teoria
jest błędna, nigdy nie możemy być absolutnie pewni, że jest
ona słuszna.
Ian Stewart33
5.
Energia fali sprężystej
Zajmiemy się obecnie charakterystyką ilościową energii przenoszonej przez fale sprężyste.
Niechaj w ośrodku sprężystym rozchodzi się monochromatyczna fala płaska, która powoduje
wychylenie
u(x, t) = A0 cos(ωt − kx + α0 ),
cząstek ośrodka w pobliży punktu x w chwili czasu t. Fala ta powoduje:
(53)
1. Drgania harmoniczne cząstek ośrodka wokół położeń równowagi, o czym możemy się
przekonać kładąc w (53) x = x1 = const. Wtedy u(x, t) = A0 cos(ωt − kx1 + α0 ) =
A0 cos(ωt + α1 ), gdzie α1 = −kx1 + α0 = const, co jest równaniem drgań harmonicznych prostych. Z ruchem tym związana jest energia kinetyczna Ek , której warość jest
proporcjonalna do kwadratu prędkości chwilowej v = ∂u/∂t cząstek ośrodka.
2. Odkształcenia sprężyste fragmentów ośrodka o objętości ∆V . Z tym typem odkształcenia
związana jest potencjalna energia odkształcenia sprężystego Epot, którego wartość jest
proporcjonalna do kwadratu względnego odkształcenia34 ε(x, t) = ∂u/∂x.
Rozpatrzmy fragment ośrodka sprężystego o objętości ∆V , gęstości masy ρ, masie ∆m =
ρ · ∆V , na tyle mały, że v = ∂u/∂t = v(t) i odkształcenie względne ε(x, t) = ∂u/∂x = ε(t) są
funkcjami jedynie zmiennej t35. Całkowita energia mechaniczna skoncentrowana w wyróżnionym
elemencie ośrodka wynosi
∆Emech(x, t) = ∆Ekin(x, t) + ∆Epot(x, t),
(54)
gdzie
∆mv 2(x, t)
∆Ekin(x, t) =
=
2
i
ρ∆V
∂u(x, t)
∂t
2
!2
(55)
!2
∂u(x, t)
E · ∆V ·
2
E · ∆V · ε (x, t)
∂x
∆Epot(x, t) =
=
.
(56)
2
2
Postaramy się uzasadnić drugi związek. Rozważmy fragment ośrodka w kształcie walca o
polu podstawy S i długości ∆x. Zakładamy, że fala sprężysta (53) rozchodzi się równolegle
do jego osi. Wartość odkształcenia punktów należących do lewej podstawy wynosi u(x, t),
33
Cytat pochodzi z książki: Ian Stewart, Czy Bóg gra w kości? Nowa matematyka chaosu, Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa 1994.
34
Tę zależność wyprowadzamy poniżej.
35
Z uwagi na to, że ∆V = S · ∆x i ∆x → 0, funkcje v(x, t) oraz ε(x, t) na odcinku (x, x + ∆x) nie zależą od
zmiennej x.
21
a punktów do prawej u(x + ∆x, t). Wypadkowe odkształcenie pola wychyleń na odcinku (x, x +
∂u(x, t)
∆x) wynosi ∆u(x, t) = u(x + ∆x, t) − u(x, t) ≃
∆x = ε(x, t) · ∆x. Z prawa Hooke’a
∂x
(patrz równanie (41)) odkształcenie ε(x, t) jest związane z naprężeniem σ(x, t) zależnością
∆u
F
σ =
= Eε = E
. Zatem, wartość siły Fmax przyłożonej do całego fragmentu ośrodka
S
∆x
sprężystego poddanego odkształceniu ε wynosi Fmax (ε) = ESε.
Obliczymy obecnie wartość pracy potrzebnej na to, aby rozpatrywany fragment ośrodka
odkształcić o ∆u. W tym celu wprowadzimy zmienną z o wymiarze odległości, która przyjmuje
wartości z przedziału h0, ∆ui. Następnie wyobraźmy sobie, że fragment objętości ∆V = S · ∆x
rozciągamy w kierunku osi OX siłą zewnętrzną F (z) = E · S · z/∆x36. Pod jej działaniem,
wyróżniony fragment wydłuża się o z metrów. Maksymalne wydłużenie z = ∆u i Fmax = F (z =
∆u) = E ·S ·∆u/∆x. Policzymy obecnie wartość pracy W jaką wykonuje siła F (z) = E ·S ·z/∆x,
w trakcie stopniowego odkształcania od z = 0 do z = ∆u fragmentu ośrodka o objętości ∆V 37
ośrodka. Jej wartość jest równa
Z ∆u
ES(∆u)2
1
1
1
z
W =
ES
dz =
= Eε2 S · ∆x = Eε2 ∆V = ρ · c2 ε2 ∆V,
(57)
∆x
2∆x
2
2
2
0
∂u(x, t) 2
E
∆u
gdzie skorzystano z tego, że ε(x, t) = lim∆x→0
=
, c =
i ∆V = ∆x · S.
∆x
∂x
ρ
Pokazaliśmy w ten sposób słuszność wzoru (56).
Policzymy obecnie odpowiednie pochodne
∂u
= −Aω sin(ωt − kx + α0 )
∂t
∂u
= kω sin(ωt − kx + α0)
∂x
i podstawmy je do (54),(55),(56). W rezultacie otrzymujemy
ρ · ∆V A2 2
(ω + k 2 c2 ) sin2 (ωt − kx + α0 ) =
∆Emech(x, t) =
2
= ρ · ∆V A2ω 2 sin2 (ωt − kx + α0),
tj.
∆Emech(x, t) = ρ · ∆V · v 2(x, t).
(58)
Zadanie 43. Wyprowadzić zależność (58).
Wprowadzimy obecnie dodatkowe wielkości i pojęcia:
średniej energii mechanicznej h∆Emech (x, t)i zgromadzonej w objętości ośrodka ∆V wokół
punktu x,
dh∆Emech (x, t)i
średniej mocy h∆W i =
,
dt
chwilowej intensywności fali I oraz intensywności średniej hIi,
chwilowej gęstości ρE energii mechanicznej fali sprężystej,
średniej gęstości hρE i energii mechanicznej fali sprężystej.
—————————————————————————————————Definicja średniej energii mechanicznej h∆Emech (x, t)i
Średnia energia mechaniczna h∆Emech (x, t)i jest równa
1ZT
1ZT
h∆Emech (x, t)i :=
∆Emech(x, t)dt =
[∆Ekin(x, t) + ∆Epot(x, t)]dt.
T 0
T 0
36
(59)
Dodajmy, że wartość siły F (z) (patrz rysunek) zmienia się liniowo na odcinku h0, ∆ui od zera do maksymalnej wartości równej Fmax (z = ∆u) = ES∆u/∆x powodującej całkowite odkształcenie ∆u wyróżnionego
fragmentu, położonego pomiędzy x i (x + ∆x).
37
Jak widzimy z ∈ h0, ∆ui.
22
—————————————————————————————————Ostatnią równość można zapisać w postaci
1ZT
1ZT
h∆Emech (x, t)i =
∆Ekin(x, t)dt +
∆Epot(x, t)dt =
T 0
T 0
= h∆Ekin(x, t)i + h∆Epot (x, t)i.
(60)
Ponieważ h∆Epot(x, t)i = h∆Ekin (x, t)i (patrz Dodatek II), więc
(max)
h∆Emech (x, t)i = 2h∆Ekin(x, t)i = ∆Ekin (x, t)
(max)
(patrz Dodatek II), gdzie ∆Ekin (x, t) jest maksymalną wartością energii kinetycznej drgań
(max)
cząsteczek ośrodka w objętości ∆V . Wartość ∆Ekin (x, t) jest łatwo obliczyć ponieważ
∂y
∆m
(max)
∂t
∆Ekin (x, t) =
2
Zatem
2
max
1
1
= (ρS∆x)(ωvmax)2 = (ρS∆x)(ωA)2.
2
2
1
h∆Emech (x, t)i = (ρS∆x)(ωA)2.
2
—————————————————————————————————-
(61)
(62)
Definicja średniej mocy h∆W i fali sprężystej
Średnia moc h∆W i jest równa
dh∆Emech (x, t)i
h∆W i :=
.
dt
—————————————————————————————————-
(63)
Po podstawieniu (62) otrzymujemy38
1
∆x
1
2
h∆W i = ρS · (ω · A) · lim
= ρS · c(ω · A)2 ,
(64)
∆t→0 ∆t
2
2
dx
jest prędkością fazową fali monochromatycznej.
gdzie c =
dt
Zauważmy, że moc h∆W i określa ilość energii jaka jest transferowana pomiędzy fragmentami
ośrodka sprężystego o rozmiarach ∆V = ∆x · S położonych pomiędzy punktami ośrodka x
i x + ∆x.
Zadanie 44. Struna ma gęstość liniową masy ρl = 0, 03 kg/m i jest naciągnięta siłą N =
100, 0 N. Jaką moc musi wytwarzać źródło fali umieszczone na jednym końcu struny, aby
wygenerować w niej falę sinusoidalną o częstości f = 100 Hz i amplitudzie A = 0.01 m?
—————————————————————————————————Definicja chwilowej i średniej intensywności fali sprężystej
Chwilową intensywnością fali nazywamy wielkość
∆W
I(x, t)) :=
= ρ · c · (v(x, t))2.
S⊥
—————————————————————————————————-
(65)
Drugą równość w relacji (65) napisano po skorzystaniu z równania (58) i uwzględnieniu
tego, że ∆V = S⊥ ∆x.
—————————————————————————————————38
Wielkość ∆W określana jest również mianem strumienia energii fali sprężystej.
23
Średnią intensywnością fali39 hIi nazywamy wielkość
1
h∆W i
hIi :=
= ρ · c · (ω · A)2.
S⊥
2
—————————————————————————————————-
(66)
Zadanie 45. Jakie są wymiary I(x, t) i hIi?
—————————————————————————————————Definicja chwilowej gęstości energii fali sprężystej
Gęstością chwilową ρE (x, t) energii mechanicznej fali sprężystej nazywamy wielkość
∆Emech (x, t)
ρE (x, t) = lim
= ρ · A2 ω 2 sin2(ωt − kx + α0 ) = ρ · v 2(x, t).
(67)
∆→0
∆V
—————————————————————————————————Definicja średniej wartości gęstości energii mechanicznej fali sprężystej
Średnią wartością gęstości energii mechanicznej fali sprężystej hρE i nazywamy
wielkość
Z
Z
1 T
1 T
1
hρE i :=
ρE dt =
ρ · A2 ω 2 sin2 (ωt − kx + α0 ) = ρ · A2ω 2 = ρhv 2(x, t)i.(68)
T 0
T 0
2
—————————————————————————————————1
W powyższym wyrażeniu wykorzystano związek hsin2 (ωt − kx + α0 )i = .
2
—————————————————————————————————1 − cos(2x)
, to
2
1 − cos[2(ωt − kx + α0 )]
dt =
2
Uzasadnienie ostatniego związku. Ponieważ sin2 (x) =
hsin2 (ωt − kx + α0 )i =
1
T
Z
0
T
1
cos[2(ωt − kx + α0 )]
1
1
−
dt = ,
2 T 0
2
2
gdyż ostatnia całka jest całką po obszarze równym podwojonemu okresowi funkcji podcałkowej i dlatego jest równa zeru.
R
Bezpośrednie obliczenie tej całki polega, jak łatwo zauważyć, na policzeniu 0T cos[2(2πt/T +β0 )]dt,
gdzie β0 = −kx + α0 . Wartość tej całki jest proporcjonalna do
=
Z
T
sin[2(2πt/T + β0 )]|T0 = sin(4π + β0 ) − sin(β0 ) = 0,
tj. do całki z funkcji okresowej po przedziale, którego długość jest równa jej okresowi.
————————————————————————
Zauważmy, że intensywność chwilowa I(x, t) jest związana z chwilową wartością gęstości
energii zależnością
I(x, t) = ρE (x, t) · c,
(69)
2
ponieważ, jak wynika z wzoru (65), I(x, t) = ρ · v (x, t) · c co z uwagi na (67) prowadzi do
relacji (69).
Intensywność hIi określa szybkość z jaką energia fali sprężystej jest transportowana przez
jednostkową powierzchnię ustawioną prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali. Innymi
słowy hIi określa ilość energii transmitowanej w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię
ustawioną prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali.
Jak widzimy ρE (x, t) oraz I(x, t) zależą od miejsca i czasu, natomiast h∆Emechi, h∆W i, hIi
oraz hρE i nie są funkcjami tych zmiennych.
39
Wielkość hIi określana jest również mianem gęstości strumienia energii fali sprężystej.
24
Tak więc ośrodek sprężysty, w którym rozchodzi się fala posiada dodatkową ilość energii,
której średnia gęstość hρE i (patrz (68)) jest proporcjonalna do gęstości ośrodka ρ, kwadratu
ω 2 częstości oraz kwadratu A2 amplitudy. Ta ilość energii jest przekazywana przez falę różnym
punktom ośrodka sprężystego. Ponadto, z relacji (66) wynika, że w ośrodku sprężystym jest
transportowana energia pomiędzy punktami tego ośrodka. Ilość energii przekazywanej określa intensywność hIi, która jest proporcjonalna do hρE i i prędkości fali c. I to stanowi sens
stwierdzenia, że z falą sprężystą związane jest przenoszenie energii mechanicznej.
Wyprowadzony tutaj, dla podłużnej fali płaskiej monochromatycznej, związek (68) jest
słuszny także dla innych fal (np. poprzecznych, sferycznych, tłumionych).
5.1.
Dodatek II
W tym dodatku uzasadnimy zależności h∆Ekin(x, t)i = h∆Epot(x, t)i oraz h∆Ekin (x, t)i =
h∆Ekin(x, t)(max)i w nieco prostrzy sposób. Skorzystaliśmy z nich wyprowadzając związki (61)
i (62).
Ponieważ każdy z fragmentów ośrodka sprężystego, do którego dociera fala monochromatyczna (53) wykonuje drgania harmoniczne proste, to średnia wartość energii kinetycznej
h∆Ekini = h∆Epot i. Ten związek jest spełniony np. dla układu zawierającego masę m podwieszoną do sprężyny o współczynniku sprężystości k i wykonującej drgania harmoniczne proste
opisywane równaniem
y(t) = y0 cos(ωt).
Zadanie 46. Pokazać, że w ruchu harmonicznym prostym, jaki wykonuje ciało o masie m
podwieszone do sprężyny o współczynniku sprężystości k, spełnione są relacje
Z
Z
1 T
1 T 2
1
hEkin i =
[m(dy/dt)2/2]dt = hEpot i =
[ky /2]dt = ky02.
T 0
T 0
4
Energia całkowita Emech takiego układu jest stała (tj. nie zależy od czasu) i wynosi hEmech i =
(max)
(max)
hEkin i + hEpot i = 2hEkin i = 2hEpot i = Ekin = Epot = ky02 /2. Jak widzimy hEmech i =
(max)
(max)
Ekin = Epot = ky02/2.
Wykorzystamy te związki do uzasadnienia wzorów stosowanych w poprzednim podrozdziale.
(max)
Energia mechaniczna fali zgromadzona we fragmencie ∆V jest równa h∆Emech i = ∆Ekin ,
(max)
gdzie ∆Ekin jest maksymalną energią kinetyczną fragmentu ∆V . Ta maksymalna wartość
wynosi
1
1
(max)
∆Emech = ∆m(∂y/∂t)2max = ∆x · S · ρ(ωA)2,
2
2
co jest równaniem (62).
Zadanie 47. Naciągnięty sznurek ma masę m = 0.20 kg i długość L = 4 m. Jaką moc należy
dostarczać sznurkowi aby propagowała się w nim sinusoidalna fala o amplitudzie A = 0, 08 m,
długości fali λ = 0.6 m i prędkości v = 40 m/s?
5.2.
Przechodzenie fal sprężystych przez granicę ośrodków
Podczas przechodzenia fal sprężystych przez granicę dwóch różnych ośrodków sprężystych
na ich granicy obserwujemy zjawiska odbicia i transmisji (tj. przechodzenia przez granicę) fal
sprężystych.
Dla światła przechodzącego przez granicę ośrodków spełnione jest prawo odbicia (prawo
Snelliusa)
sin(Θ1 )
c1
= ,
(70)
sin(Θ2 )
c2
gdzie Θ1 jest kątem padania, Θ2 kątem załamania, c1 prędkością światła w pierwszym ośrodku
(z niego światło wychodzi), c2 prędkością światła w drugim ośrodku (do niego światło wchodzi).
25
Ponadto, kąt odbicia jest równy kątowi padania Θ′ = Θ1 .
Oba prawa (załamania i odbicia) są prostą konsekwencją zasady Fermaty, zgodnie z którą
światło rozchodzi się pomiędzy dwoma punktami A i B po takiej drodze, aby czas ruchu światła
Z B
dl
tA→B =
= minimum.
(71)
A c
Problem. Wyprowadzić prawa odbicie i załamania z zasady Fermata (71).
Rozpatrzymy obecnie zależności energetyczne dla fali poprzecznej biegnącej w strunie zbudowanej z dwóch różnych materiałów.
W tym celu wprowadzimy najpierw pojęcie oporu falowego Z struny, który definiujemy
w następujący sposób:
Siła poprzeczna
F⊥
Z=
=
.
(72)
Poprzeczna prędkość
v⊥
Symbole ⊥ zostały użyte dla podkreślenia poprzecznego charakteru ruch fali poprzecznej.
Każdy ośrodek sprężysty, w którym rozchodzi się fala charakteryzuje określony opór falowy Z (patrz formuła (72)), który jest miarą oporów jakie stawia ośrodek biegnącej w nim
fali sprężystej. W rozpatrywanym przypadku jest to stosunek wartości siły prostopadłej, jaką
należy przyłożyć do struny, aby wprowadzić jej fragment w ruch, którego miarą jest prędkość v⊥ cząsteczek struny w kierunku także prostopadłym do struny. Ponadto, jeśli w ośrodku
nie występują straty energii, to Z jest liczbą rzeczywistą.
kg
Zauważmy, że wymiarem Z jest
.
s
Wyznaczymy obecnie Z dla struny. W tym celu rozpatrzymy biegnącą w strunie falę poprzeczną, której źródło znajduje się na lewym końcu struny. Siła harmoniczna poprzeczna
w stosunku do struny przyłożona do jej lewego końca jest zależna od czasu i ma postać
F⊥ (t) = F0 exp(iωt) (patrz rysunek). Poprzeczna siła zewnętrzna jest równoważona przez składową pionową siły naciągu N, tj.
∂y
F0 exp(iωt) = −N sin(Θ) ≃ −N tan(Θ) = −N ,
∂x
gdzie założono, że Θ jest małym kątem. Dla fali biegnącej y(x, t) = A exp[i(ωt − kx)]. W lewym
końcu struny x = 0 i
∂y
= i · k · N · A exp[i(ωt − kx)]x=0.
∂x x=0
Z tej równości wynika, że
F0
F0 c
F0 exp iωt = ikNA exp iωt → A =
=
ikN
iω N
i
F0 c
exp[i(ωt − kx)],
y(x, t) =
iω N
gdzie wykorzystano związek c = ω/k.
Prędkość poprzeczna
∂y
c
v⊥ =
= F0 exp[i(ω · t − k · x)].
∂t
N
Zatem wartość Z⊥ wynosi
F0 exp(iωt)
F0 exp(iωt)
N
Z⊥ =
=
=
= c · ρ0 ,
(73)
c
v⊥ (t, x = 0)
c
F0 exp[i(ω · t − k · 0)]
N
bo N = ρ0 · c2 .
Obecnie zajmiemy się odbiciem i przechodzeniem fali przez granicę ośrodków. W tym celu
wyobraźmy sobie strunę złożoną z dwóch różnych ośrodków o oporach falowych Z1 = ρ1 v1 oraz
Z2 = ρ2 v2 połączonych ze sobą na stałe. Zakładamy, że naciąg N jest taki sam w obu częściach
struny. Prędkość fali poprzecznej w jednej części struny v12 = N/ρ1 , a w drugiej v22 = N/ρ2 .
26
Zauważmy, że z równości naciągu wynika związek
v12ρ1 = v22ρ2 .
Niecahj fala padającą na granicę ośrodków ma postać
yi (x, t) = Ai exp[i(ωt − k1 x)],
fala odbita od granicy ośrodków (propaguje się ona w ujemnym kierunku osi OX) będzie postaci
yr (x, t) = Br exp[i(ωt + k1 x)],
zaś fala (transmitowaną), która przeszła przez granicę ośrodków przyjmujemy w postaci
yt (x, t) = At exp[i(ωt − k2 x)].
Spróbujemy wyznaczyć amplitudowe współczynniki, które definiujemy w następujący sposób:
At
Amplitudowym współczynnik transmisji nazywamy wielkość
.
Ai
Br
Amplitudowym współczynnik odbicia nazywamy wielkość
.
Ai
W celu ich wyznaczenia posłużymy się warunkami, które fala powinna spełniać na granicy
ośrodków.
1. Warunek geometryczny: w dowolnej chwili czasu wychylenia po lewej i prawej stronie
granicy powinny być równe. Jeśli początek układu umieścimy na granicy ośrodków, to
matematycznym wyrazem warunku geometrycznego jest związek
yt = yi + yr ,
(74)
innymi słowy, wychylenie jest ciągłą funkcją zmiennej x. Z tego równania wynika (dla x =
0)
Ai + Br = At
(75)
∂y
jest ciągła w punk∂x
cie x = 040 . Matematycznym wyrazem warunku dynamicznego dla x = 0 jest równość:
2. Warunek dynamiczny: Poprzeczna siła N sin(Θ) ≃ N tan(Θ) ≃ N
N
∂(yi + yr )
∂x
!
x=0
∂yt
=N
∂t
,
(76)
x=0
z którego wynika, że
−Nk1 Ai + Nk1 Br = −Nk2 At .
Z uwagi na to, że N = v12ρ1 = v22ρ2 oraz ω = k1 v1 = k2 v2, otrzymujemy
ω
ω
ω
−N Ai + N Br = −N At
v1
v1
v2
oraz
Z1 (Ai − Br ) = Z2 At.
(77)
Powyższe równania (tj. wyrażenia (75) i (77)) zapisujemy jako układ równań
Ai + Br
= At
,
Z1 (Ai − Br ) = Z2 At
którego rozwiązaniem jest:
— amplitudowy współczynnik odbicia
Br
Z1 − Z2
=
Ai
Z1 + Z2
i
(
40
(78)
(79)
Gdyby ten warunek nie był spełniony, to skończona wartość siły przyłożona do nieskończenie małej masy
spowodowałaby nieskończone jego przyspieszenie czego nie obserwujemy.
27
— amplitudowy współczynnik transmisji
2Z1
At
=
(80)
Ai
Z1 + Z2
Jak widzimy oba wyznaczone współczynniki nie zależa od częstości ω fali sprężystej i są
funkcjami jedynie oporów falowych ośrodków.
Wartość Z2 = ∞ oznacza, że struna jest zamocowana na stałe w punkcie x = 0 (punkty po
prawej stronie x = 0 nie wykonują drgań). Wtedy, Br /Ai = −1.0 i At /Ai = 0. Fala padająca
jest całkowicie odbijana, a jej faza zmienia się o π, tj.
yr (x, t) = −A1 exp[i(ωt + kx)] = A1 exp[i(ωt + kx − π)].
Jeśli Z2 = 0, co oznacza, że punkt x = 0 struna są swobodne. Wtedy, Br /Ai = 1.0
i At/Ai = 2. To tłumaczy efekt klaśnięcia bata.
Współczynnik odbicie i transmisja energii otrzymamy odwołując się do wyrażen określających energię przenoszoną przez falę. wiemy, że ilość energii ∆Emech fali sprężystej zgromadzona
na długości ∆l struny o masie ∆m = ρl · ∆l jest równa
1
∆Emech = ρl · ∆l · ω 2 · A2 .
(81)
2
Jednostką tak określonej energii jest dżul. Gęstość liniowa tej energii
1
∆Emech
ρl (E) =
== ρl · ω 2 · A2
∆l
2
Dodajmy, że jednostką ρl (E) jest dżul/m.
Policzymy obecnie ile energii jest transportowanych przez dany punkt struny w czasie ∆t.
Prędkość fali wynosi c. Przez dany punkt, o współrzędnej x, transportowana jest w czasie ∆t
energia mechaniczna zawarta na długości struny ∆t · c na lewo od tego punktu41, której wartość
wynosi
∆E = ρl (E) · ∆t · c.
Tak więc w jednostce czasu przez dany punkt struny transportowana jest ilość energii równa
1
1
W = ∆E/∆t = ρl (E) · c = ρl · c · ω 2 · A2 = Zω 2A2 .
2
2
Jak łatwo sprawdzić jednostką W jest dżul/s=wat, a więc W jest mocą fali sprężystej.
Zastosujemy otrzymany związek do granicy ośrodków w naszej strunie. Ponieważ moc docierająca do granicy ośrodków musi być równa mocy energii odpływającej więc
1
1
1
Z1 ω 2 Br2 + Z2 ω 2 A2t = Z1 ω 2 A2i .
(82)
2
2
2
Wprowadzimy kolejne wielkości.
Współczynnikiem odbicia R energii fali sprężystej na granicy ośrodków nazywamy wielkość
Moc energii odbitej
R=
.
(83)
Moc energii padającej
Współczynnikiem transmisji N energii fali sprężystej na granicy ośrodków nazywamy wielkość
Moc energii transmitowanej
N =
.
(84)
Moc energii padającej
W oparciu o przeprowadzone wcześniej rozważania otrzymujemy
Z1 Br2
Br 2
Z1 − Z2 2
R=
=
=
Z1A21
A1
Z1 + Z2
i
Z2 A2t
4Z1 Z2
N =
=
.
2
Z1 A1
(Z1 + Z2 )2
41
Zakładamy, że fala biegnie w dodatnim kierunku osi OX.
28
Jak widzimy, odbicie od granicy ośrodków nie wystąpi, jeśli Z1 = Z2 .
Zadanie 62. Korzystając z relacji (82) pokazać, że T + R = 1.
Czy można tak połączyć dwie różne struny o oporach falowych Z1 = ρ1 V1 i Z3 = ρ3 V3
za pomocą trzeciej struny o długości l2 i oporze falowym Z2 = ρ2V2 w taki sposób aby fala
przechodziła z pierwszego do trzeciego ośrodka bez odbicia? Jest to możliwe pod warunkiem,
√
λ2
że Z2 = Z1 Z3 i l2 = .
4
Podobne rozważania można przeprowadzić w przypadku fali akustycznej padającej pod
kątem α na granicę ośrodków. Wtedy część fali odbija się od granicy ośrodków, a część załamuje
się pod kątem β. Jak pokazują szczegółowe rachunki
R=
Z1 cos(β) − Z2 cos(α)
Z1 cos(β) + Z2 cos(α)
!2
(85)
i
4Z1 Z2 cos(α) cos(β)
.
(86)
(Z1 cos(β) + Z2 cos(α))2
Jak widzimy, odbicie od granicy ośrodków nie wystąpi, jeśli Z1 cos(β) = Z2 cos(α).
Zadanie 63. Korzystając z relacji (85) i (86) pokazać, że T +R = 1 także dla fali akustycznej
padającej pod kątem α na granicę ośrodków sprężystych.
N =
Będę się starał wykazać, że najważniejszą cechą, jakiej można
oczekiwać u dobrze prosperującego genu, jest bezwględny egoizm. Egoizm genu prowadzi na ogół do egoizmu w zachowaniach osobniczych.
Richard Dawkins42
6.
Fale akustyczne
Fale akustyczne to podłużne fale sprężyste. Są jednym z najczęściej spotykanych fal (oprócz
światła) w życiu codziennym człowieka. Rozchodzą się w każdym materialnym ośrodku sprężystym. Ich prędkość zależy od własności sprężystych ośrodka. Podczas propagowania się
w ośrodku wprawiają w ruch drgający cząsteczki ośrodka. Przejawia się to jako powstanie
lokalnych zmian gęstości i ciśnienia ośrodka wzdłuż kierunku ruchu fali. Zmiany te tworzą ciąg
lokalnych obszarów zgęszczenia i rozrzedzenia ośrodka sprężystego. Jeśli w ośrodku rozchodzi
się kosinu– lub sinusosidalna fala płaska, to cząstki ośrodka wykonują ruch prosty harmoniczny.
Oznacza to, że ciśnienie zmienia się także kosinu- lub sinusoidalnie.
Fale akustyczne dzielimy, w zależności od ich częstości, na:
1. Infradźwięki – to fale akustyczne o częstościach 0hf ≤ 20 Hz.
2. Fale dźwiękowe (dźwięk) – to fale akustyczne o częstościach 20 ≤ f ≤ 20 kHz.
3. Ultradźwięki – to fale akustyczne o częstościach większych od 20 kHz.
Infra– i ultradźwięki nie są słyszalne przez ucho przeciętnego człowieka43.
Zajmiemy się obecnie prędkością rozchodzenia się fali akustycznej w powietrzu (ogólniej
w gazie) i wyprowadzimy klasyczny wynik, zwany wzorem Laplace’a, który określa prędkość fal
głosowych w powietrzu.
42
Cytat pochodzi z książki: Richard Dawkins, Samolubny gen, Wydawnictwo Prószyński i S–ka, Warszawa
1996.
43
Historia zna przykłady ludzi, którzy odbierali (i odbierają) ultradźwięki.
29
6.1.
Wzór Laplace’a
Rozprzestrzenianie się fal dźwiękowej w powietrzu to nic innego jak propagowanie się w tym
ośrodku lokalnych zgęszczeń i rozrzedzeń powietrza. Rozchodząca się fala powoduje lokalne
zmiany ciśnienia p(x, t) powietrza, którego wartość wynosi
p(r, t) = pr + ∆p(r, t),
(87)
gdzie pr – ciśnienie równowagowe (nie zależy od miejsca i czasu ), a ∆p(r, t) – dodatkowe
ciśnienie pochodzące od fali głosowej.
W celu wyznaczenia wartości prędkości fali głosowej w powietrzu postąpimy podobnie jak
w przypadku obliczania prędkości fali sprężystej rozchodzącej się w pręcie.
Weźmy pod uwagę objętość ∆V powietrza zajmowaną przez walec o powierzchni podstawy S
i długości ∆x, którego lewa podstawa jest umieszczona w x, a prawa podstawa w x+∆x. Niechaj
fala głosowa rozchodzi się wzdłuż osi walca. Równanie ruchu masy powietrza wewnątrz walca
ma postać
∂ 2u
ρ0 · S · ∆x 2 = S · [p(x, t) − p(x + ∆x, t)],
(88)
∂t
gdzie ρ0 jest średnią (równowagową) gęstością powietrza, zaś u(x, t) jest przesunięciem cząstek
powietrza wypełniających walec znajdujący się wokół punktu x ośrodka.
Zadanie 48. Wyjaśnić sens fizyczny związku (88).
Dla dostatecznie małych wartości ∆x możemy napisać
!
∂ 2u
p(x + ∆x) − p(x)
∂p
ρ · S 2 = −S · lim
= −S ,
(89)
∆x→0
∂t
∆x
∂x
∂p
? Musimy najpierw zdać sobie sprawę z tego, że prędkość fali głosowej
Jak policzyć pochodną
∂x
jest na tyle duża, że docierając do określonego miejsca powietrza nie powoduje ona wymiany
ciepła między danym fragmentem ośrodka, a przylegającymi do niego innymi częściami ośrodka.
Dlatego mówimy, że propagacja dźwięku jest procesem adiabatycznym.
Przypominujmy, że równanie adiabaty ma postać
p · V κ = const,
gdzie V = S · ∆x. Policzmy różniczką zupełną równania adiabaty (90)
(90)
∆p · V κ + κ · V κ−1 · p · ∆V = 0,
(91)
skąd otrzymujemy
∆V
∆p = −κ · p
.
(92)
V
Następnie zauważmy, że objętość równowagowa naszego fragmentu objętości V = S · ∆x,
natomiast ∆V = S · ∆u, ponieważ fala powoduje zmianą liniowych rozmiarów objętości V
o wartość ∆u = u(x + ∆x, t) − u(x, t). Zatem
∆u
∆p = −κ · p
(93)
∆x
i dla nieskończenie małych przyrostów możemy napisać
∂u
∂p = −κ · p .
(94)
∂x
Po podstawieniu ostatniego wyniku do (89) otrzymujemy
∂u
∂ 2u
1 ∂ κ · p ∂x
κ · p ∂ 2u
1 ∂ 2u
=
=
=
.
(95)
∂x2
ρ
∂x
ρ ∂t2
(c(||))2 ∂t2
Zatem prędkość fali głosowej w atmosferze jest dana wyrażeniem zwanym wzorem Laplace’a
c(||) =
s
κ·P
=
ρ
s
Epow
,
ρ
(96)
30
gdzie Epow = κ · p jest modułem ściśliwości powietrza.
Zadanie 49. Korzystając z równania gazu doskonałego pV = nRT , gdzie (n = m/µ) i µ jest
masą sjednego mola tego gazu, pokazać, że prędkość dźwięku w gazie doskonałym jest równa
κRT
vd =
.
µ
Korzystając z wyników ostatniego zadania można związać prędkość dźwięku z prędkością charakteryzującą ruch termiczny cząsteczek gazu idealnego. Możnas pokazać, że średnia
8RT
. Zatem vd =
termiczna prędkość hvterm i ruchu cząsteczek gazu wynosi hvterm i =
πµ
r
κπ
hvterm i
. Ponieważ dla powietrza κ = 1, 4, to vd ≃ 0, 75hvterm i. Prędkość dźwięku jest
8
więc rzędu prędkości ruchu termicznego cząsteczek powietrza (w ogólności gazu).
W poniższej tabeli podajemy wartości prędkości dźwięku c(||) przy ciśnieniu atmosferycznym
w wymienionych ośrodkach sprężystych.
Materiał
Temp. (o C) c(||) (m/s)
Materiał
Temp. (o C) c(||) m/s
Powietrze
0
331,8
Powietrze
20
343,8
Powietrze
-20
319,3
Powietrze
100
387,2
Cl
0
206
He
0
971
H
0
1286
Deuter
0
890
O2
0
317
H2 O
25
1493
Para wodna
0
401
Alkohol metylowy
20
1190
Gliceryna
20
1923
Lód
1322
Al
5100
Cu
3560
Zadanie 50. Wyznaczyć prędkość dźwięku w powietrzu, jeśli κ = 7/5, P = 1, 013 · 105 Pa
i ρ = 1, 29 kg/m3 .
Zadanie 51. Wyznaczyć prędkość dźwięku w powietrzu, jeśli κ = 7/5, µ = 29 · 10−3 kg/mol,
R = 8, 31 dżul/(mol·K)Pa i ρ = 1, 29 kg/m3 .
Dodajmy jeszcze, że częstości fali f = 16 Hz odpowiada długość równa około 21 metrów.
Natomiast fali o częstości f = 20 kHz odpowiada długość równa około 0,012 metra (12 milimetrów).
Zadanie 52. Uzasadnić, bezpośrednim rachunkiem, podane wyżej wartości długości fal odpowiadające granicom słyszalności ucha ludzkiego.
6.2.
Zależności fazowe w fali głosowej
Obecnie przeanalizujemy nieco dokładniej proces rozchodzenia się fali dźwiękowej w ośrodku
sprężystym. Oznaczmy przez V0 = ∆V wyróżnioną objętość ośrodka położoną w odległości x od
źródła fali, w którym równowagowe wartości ciśnienia i gęstości wynoszą, odpowiednio, P0 i ρ0 .
Zauważmy, że wprowadzone wielkości P0 i ρ0 charakteryzują stan równowagi termodynamicznej
ośrodka. Jeśli do tego fragmentu ośrodka dociera fala akustyczna, to przejawia się to w ten
sposób, że chwilowe wartości wymienionych wielkości zależą od czasu:
P (t) = P0 + p(t), V (t) = V0 + V(t), ρ(t) = ρ0 + ρg (t),
(97)
gdzie p(t), V(t) i ρg (t) są dodatkowym ciśnieniem, zmianą objętości i zmianą gęstości wywołaną
falą akustyczną.
Wprowadzimy następujące oznaczenia (dotyczące względnych zmian odpowiednich wielkości):
V
ρg
ε(t) = , s(t) = .
(98)
V0
ρ0
W gazach typowe maksymalne wartości wielkości ε oraz s są małe i wynoszą ε ≃ s ≃
−3
10 . Przykładowo, jeszcze słyszalny przez ucho dźwięk o częstości 103 Hz rozchodzącym się
31
w powietrzu (w warunkach normalnych) powoduje zmiany lokalne ciśnienia p, którego wartość
jest rzędu 10−5 Pa, co stanowi 10−10 ciśnienia atmosferycznego.
Pokażemy teraz, że ε ≃ −s. W tym celu zauważmy, że podczas rozchodzenia się fali masa
ośrodka w objętości V nie zmienia się. Zatem
ρ0 V0 = ρ(t)V (t) = ρ0 (1 + s) · V0 (1 + ε) = ρ0 V0 (1 + s + ε + s2 ε2 ) ≃ ρ0 V0 (1 + s + ε),
skąd wynika, że
ε ≃ −s.
(99)
Własności sprężyste ośrodka, jak wiemy, charakteryzujemy za pomocą modułu ściśliwości
zmiana ciśnienia
K=
,
względna zmiana objętości
którego wartość wynosi
∆p
K=−
.
(100)
∆V
V
W rozpatrywanym przypadku
p(x, t)
K=−
= κP.
(101)
ε(x, t)
Warto podkreślić, że K zależy od typu procesu termodynamicznego, któremu podlega powietrze podczas przechodzenia przezeń fali dźwiękowej. Procesy te powinny być odwracalnymi,
ponieważ tylko wtedy nie zachodzi pochłanianie energii fali sprężystej przez ośrodek. Oznacza to, że w trakcie propagacji fali możemy zaniedbać dyfuzję, lepkość i przewodnictwo cieplne
ośrodka sprężystego. Jeśli więc procesy prowadzące do wzrostu entropii nie występują, to proces
termodynamiczny, któremu podlega każdy fragment ośrodka do którego dociera fala akustyczna
może być traktowany jako proces adiabatyczny. Wtedy K jest adiabatycznym modułem ściśliwości, którego wartość wyznaczyliśmy poprzednio (patrz poprzedni podrozdział).
Fala akustyczna wprowadza do ośrodka małe zaburzenia, ponieważ |ε| ≪ 1 i |s| ≪ 1.
Zatem procesy termodynamiczne związane z rozchodzeniem się fali akustycznej są odwracalne
co między innymi oznacza, że nie zachodzi pochłanianie energii fali akustycznej.
W przypadku dużych zaburzeń stanu równowagi ośrodka sytuacja wygląda inaczej. Z uwagi
na duże wartości |ε| i |s| w gazie tworzą się lokalne obszary o podwyższonej temperaturze (tam,
gdzie ciśnienie w ośrodku jest duże) co powoduje odpływ energii z wyróżnionego fragmentu
ośrodka. Wówczas mamy do czynienia z przewodnictwem cieplnym. Ponadto, mogą powstawać
lokalne gradienty prędkości (w obszarach, gdzie prędkość cząsteczek ośrodka różni się znacznie).
To z kolei prowadzi do dyfuzji i strat energii z uwagi na lepkość (tarcie wewnętrzne pomiędzy
cząsteczkami ośrodka; patrz podrozdział poświęcony falom nieliniowym, gdzie omawiamy fale
uderzeniowe). My ograniczamy nasze rozważania do przypadków, gdy |ε| ≪ 1 i |s| ≪ 1.
Zadanie 53. Fala akustyczna biegnąca przez powietrze powoduje na swej drodze lokalne
zmiany ciśnienia akustycznego dane wyrażeniem p(x, t) = 1, 27P a sin π(x − 340t) (w jednostkach SI). Wyznaczyć: (a) amplitudę ciśnienia akustycznego, (b) częstość (c) długość (d)
prędkość tej fali w powietrzu.
Oznaczmy przez
u(x, t) = u0 exp[i(ωt − kx)]
(102)
równanie fali akustycznej biegnącej w dodatnim kierunku osi OX.
Wtedy
1. Prędkość podłużna cząstek ośrodka
∂u
ut(x, t) =
= iωu(x, t).
∂t
Prędkość tę możemy zapisać w postaci
ut(x, t) = ωu0 exp[i(ωt − kx + π/2)],
32
gdzie wykorzystano wzór Eulera (27).
2. Odkształcenie względne
∂u
V
=
= −iku(x, t) = ku0 exp[i(ωt − kx − π/2)].
∂x
V
3. Względna zmiana gęstości ośrodka sprężystego
ρd
= −ε = iku(x, t) = ku0 exp[i(ωt − kx + π/2)],
s=
ρ
ε=
gdzie skorzystano z relacji (99).
4. Dodatkowe ciśnienie, zwane jest ciśnieniem akustycznym, jest równe
p(x, t) = −Kε = Ks = Kk exp[i(ωt − kx + π/2)],
gdzie skorzystano z wyrażenia (101).
Z otrzymanych wyników możemy wyciągnąć następujące wnioski. Podczas rozchodzenia się
fali dźwiękowej w ośrodku:
Prędkość cząsteczek ośrodka ut(x, t), względna zmiana gęstości s(x, t) = ρd /ρ oraz ciśnienie akustyczne p(x, t) wyprzedzają w fazie o π/2 wychylenia u(x, t) cząsteczek ośrodka.
∂u
Pochodna
oraz względna zmiana objętości ε(x, t) są opóźnione w fazie o π/2 względem
∂x
u(x, t). Ilustruje to odpowiedni rysunek.
Jak widzimy, w przypadku fali biegnącej w dodatnim kierunku osi OX, wartości u = 0 przy
maksymalnej dodatniej wartości prędkości ut odpowiada dodatnia maksymalna wartość p =
pmax , P = P0 + pmax ciśnienia akustycznego (ściskanie) oraz maksymalne gęstość s = smax , ρ =
ρ0 (1 + smax) i minimalna wartość objętości ε = −εmax, V = V0 (1 − εmax ).
Zadanie 54. Pokazać, że w przypadku fali akustycznej u(x, t) = u0 exp[i(ωt+kx)] rozchodzącej się w ujemnym kierunku osi OX spełnione są relacje: ut = ∂u/∂t = ω exp[i(ωt + kx + π/2)],
ε(x, t) = ∂u/∂x = k exp[i(ωt + kx + π/2)] = −s, p(x, t) = Ks(x, t) = K exp[i(ωt + kx − π/2)].
Sporządzić odpowiednie wykresy.
W przypadku fali biegnącej w ujemnym kierunku osi OX, wartości u = 0 przy maksymalnej
dodatniej wartości prędkości ut odpowiada ujemna maksymalna wartość p = −pmax , P = P0 −
pmax dodatkowego ciśnienia (rozrzedzenie) oraz minimalna gęstość s = smax , ρ = ρ0 (1 − smax )
i maksymalna wartość objętości ε = εmax , V = V0 (1 + εmax ).
Zajmiemy się jeszcze zjawiskiem transportowania energii przez falę akustyczną postaci44
u(x, t) = u0 cos(ωt − kx).
W elemencie ∆V = S∆x ośrodka sprężystego (w którym rozchodzi się fala akustyczna)
zgromadzona jest energia kinetyczna w ilości (patrz formuła (55))
1
∂u 2 1
= ρ0 S∆xu2t
∆Ekin(x, t) = ρ0 S∆x
2
∂t
2
Średnia wartość tej energii (patrz równiez wzory (59) i (60))
Z
1 T 1
h∆Ekin(x, t)i =
ρ0 S∆xu2t dt,
T 0 2
która z uwagi na
wynosi
ut = −ωu0 sin(ωt − kx)
h∆Ekin(x, t)i =
44
1
T
Z
0
T
1
ρ0 S∆x[−ωu0 sin(ωt − kx)]2dt.
2
Jest to część rzeczywista wzoru (102).
33
Ponieważ średnia wartość funkcji [sin2 (ωt − kx)] po podanym przedziale jest równa 1/2 (patrz
uzasadnienie zawarte poniżej wzoru (68)), to
1
1
(max) 2
h∆Ekin(x, t)i = ρ0 S∆xω 2u20 = ρ0 · S · ∆x · (ut
) ,
(103)
4
4
gdzie
(max)
ut
= ω · u0
jest maksymalmą wartością prędkości ut cząsteczek ośrodka.
Ilość energii potencjalnej zgromadzonej w objętości ∆V = S · ∆x jest dana wyrażeniem
∆Epot(x) = −
Z
pdV.
Zgęszczenie ośrodka wyraża się wzorem
R
dV
V
s=
= ,
V0
V0
R
gdzie dV = V jest małą zmianą wartości objętości fragmentu ośrodka o objętości V0 = ∆V =
S∆x. Zatem
dV = −V0 ds,
co po uwzględnieniu związku
p = Ks
daje
1
1
Ks′V0 ds′ = Ks2 S∆x = Kε2S∆x,
2
2
0
gdzie zastosowano relację ε = −s. Skorzystajmy również z tego, że
∂u
ε=
= ku0 sin(ωt − kx).
∂x
Wtedy chwilowa wartość energii potencjalnej
1
1
∆Epot(x, t) = ·K·[ku0 sin(ωt−kx)]2 ·S ·∆x = ·K·k 2 ·∆x·S ·u20 ·[sin(ωt−kx)]2.(104)
2
2
Stąd możeny policzyć średnią ilość energii potencjalnej zgromadzonej w objętości V0 = S∆x
Z
1 T 1
h∆Epot(x)i =
· S · ∆x · K · (k · u0)2 · [sin(ωt − kx)]2dt.
T 0 2
Ponieważ średnia wartość funkcji [sin2 (ωt − kx)] po podanym przedziale jest równa 1/2, to
1
h∆Epot(x)i = S∆xKk 2u20.
4
Ostatecznie, z uwagi na związek
ω2
K
c2 = 2 = ,
k
ρ0
2
2
tj. k K = ρ0 ω otrzymujemy
1
1
(max) 2
h∆Epot(x)i = ρ0 · S · ∆x · ω 2 · u20 = ρ0 · S · ∆x · (ut
)
(105)
4
4
Jak widzimy średnie energie dane formułami (103) oraz (105) są sobie równe.
Ponadto, w objętości ∆V ośrodka sprężystego jest zgromadzona średnia wartość energii
mechanicznej równa
1
1
(max) 2
h∆Emech (x)i = h∆Ekin(x)i+h∆Epot(x)i = ρ0 ·S·∆x·ω 2·u20 = ρ0 ·S·∆x·(ut
) (106)
2
2
Dodajmy, że rozkład (czasowy i przestrzenny) wartości energii mechanicznej w ośrodku
sprężystym, w którym rozchodzi się płaska fala akustyczna w dodatnim kierunku osi OX opisuje
funkcja
1
∆Emech(x, t) = ∆Ekin(x, t) + ∆Epot(x, t) = 2 · ρ0 · ∆x · S · u2t = ρ0 · ∆x · S · u2t (x, t),(107)
2
∆Epot(x) = −
Z
pdV =
Z
s
34
co ilustruje kolejny rysunek. Jak widzimy dany element objętości ∆V ośrodka uzyskuje jednocześnie maksymalne (minimalne) wartości energii potencjalnej i kinetycznej45.
Związki energetyczne w polu fali akustycznej opisuje się wielkością zwaną intensywnością46
fali akustycznej
h∆Wmech i
h∆Emechi
hIi :=
=
,
(108)
S⊥
∆t · S⊥
gdzie S⊥ = S jest powierzchnią ustawioną prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali.
Jak widzimy wielkość ta jest równa
1
(max) 2
ρ0 · S · ∆x · (ut
) · u20
1
h∆Emechi
hIi =
= 4
= · ρ0 · u20 · ω 2 · c,
(109)
∆t · S⊥
∆t · S
2
W
gdzie skorzystano z relacji (105) Jednostką intensywności jest 2 .
m
6.3.
Średnia wartość kwadratu ciśnienia akustycznego
Znajdziemy obecnie związek pomiędzy intensywnością hIi oraz średnia wartością hp2 i kwadratu ciśnienia akustycznego p.
Dla rozpatrywanej fali akustycznej u(x, t) = u0 cos(ωt − kx) spełniona jest relacja
∂u
1 ∂u
=−
,
(110)
∂x
c ∂t
ω
gdzie c = . Ponadto, ciśnienie akustyczne jest związane z u(x, t) zależnością (patrz (68))
k
p(x, t) = K · s = −K(∂u/∂x).
Z uwagi na związek (110) otrzymujemy
K ∂u
∂u
p(x, t) = −K(∂u/∂x) =
=c·ρ
,
c ∂t
∂t
skąd
∂u
1
=
p(x, t).
∂t
ρ0 · c
Przypomnijmy, że (patrz wzór (104))
1
∂u 2
∆Ekin(x, t) = ρ0 S∆x
,
2
∂t
więc, po uwzględnieniu relacji (111), otrzymujemy
2
1
1
∆Ekin(x, t) = ρ0 S∆x
p(x, t)
2
ρ0 · c
i intensywność hIi fali akustycznej wynosi
2
1
hρ0 S⊥ ∆x
p(x, t) i
2h∆Ekin(x, t)i
hp2 (x, t)i
ρ0 · c
hIi =
=
=
.
∆tS⊥
S∆t
ρ0 · c
Jak widzimy średnia wartość kwadratu ciśnienia akustycznego hp2 (x, t)i jest równa
(ρ0 u0 ωc)2
2
hp (x, t)i = ρ0 chIi =
,
2
(111)
(112)
(113)
∂u
1 ∂u
Jest to konsekwencją związku
=−
, który pokazuje, że odkształcenie względne jest proporcjonalne
∂x
c ∂t
do prędkości ruchu cząsteczek ośrodka ut . Jest więc inaczej niż w przypadku drgań harmonicznych masy m połączonej do sprężyny o współczynniku sprężystości k, gdzie maksymalne wartości energii kinetycznej i potencjalnej
są osiągane w różnych chwilach czasu.
46
Wielkość tę nazywa się także gęstością strumienia energii Φ definiowanego jako Φ = dW/dt
45
35
a pierwiastek ze średniej wartość kwadratu ciśnienia jest równy
q
ρ0 u0 ωc
(114)
hp2 (x, t)i = √ .
2
W poniższej tabeli podano typowe wartości natężeń oraz średnich kwadratowych ciśnienia
akustycznego w powietrzu przy ciśnieniu atmosferycznym i temperaturze 20o C. Wtedy to
ρ0 c ≃ 418 kg/(m2 s).
Źródło
dźwięku
Odleg.
od źród.
(m)
Poziom
ciśn.
akust. (dB)
Natężenie
dźwięku
W/m2
Średnie
kwadrat.
ciśn. N/m2
1
1
0
40
70 ÷ 80
1012
10−8
10−5 ÷ 10−4
2 · 10−5
2 · 10−3
0, 06 ÷ 0, 2
10
100
10−2
2
5
≥ 120
≥1
≥ 20
Próg słyszlności
dla f = 1000 Hz
Cicha rozmowa
Głośna rozmowa
Fortissimo ork.
symfonicz.
Huk silnika
odrzutowego
W akustyce oprócz wymienionych tutaj wielkości obiektywnych, którymi są: natężenie
dźwięku I (patrz wzór (112)) oraz średnie wartość kwadratu ciśnienia akustycznego hp(x, t)i =
q
hp2 (x, t)i (patrz wzór (114)) używa się jeszcze innych wielkości. Jedną z nich jest tzw. poziom
ciśnienia akustycznego L
hp(f)i
L(f) := 2 · k · log
hp0 i
!
= log
hI(f)i
,
hIi0
(115)
gdzie hp(f)i jest średnim ciśnieniem kwadratowym badanego dźwięku o częstości f, a hp0 i jest
średnim ciśnieniem kwadratowym odpowiadającym progowi słyszalności dźwięku o częstości f;
hI0 i = 10−12 W/m2 jest natężeniem dźwięku o częstości f = 103 Hz jeszcze słyszalnego uchem
człowieka.
Jeśli k = 1, to L podajemy w belach (B); jeśli k = 10 to L podajemy w decybelach (dB).
Przykładowo dla f = 103 Hz, hp0 i = 2.0 · 105 Pa i próg bólu przy tej częstości odpowiada
hp(f = 1000)i ≃ 200 Pa i L ≃ 140 dB.
Przedziałowi wartości Lf od 0 (wtedy hIi = hI0i = 10−12 W/m2 ) do
130 dBq (wtedy
q
hIi = 1013 · 10−12 = 10 W/m2 ) odpowiadają wartości amplitud ciśnienia hp2 i = 2hIiρ0 c
z przedziału od 3, 0 · 10−5 Pa (około 2, 0 · 10−7 mm Hg) do 100 Pa (około 1 mm Hg).
Zadanie 55. Obliczyć podane wartości amplitud ciśnienia dla powietrza, dla którego ρ0 c ≃
418 kg/(m2s).
Dokonamy jeszcze oszacowania wartości amplitudy drgań oraz prędkości cząsteczek powietrza wywołanych falą akustyczną. Amplituda drgań wynosi
u0
pmax c
1 pmax
=
=
.
λ
κpωλ
2πκ p
pmax
Ponieważ κ ≃ 1, 5, to 2πκ ≃ 10. Przy poziomie hIi = 130 dB stosunek
= 10−3 , a dla hIi =
p
pmax
60 dB stosunek
= 10−7 . Długości słyszalnych fal akustycznych mieszczą się w przedziale
p
od 21 metrów (f = 20 kHz) do 17 mm (f = 16 Hz). Tak więc dla hIi = 60 dB amplituda drgań
u0 ≃ 10−4 mm dla najdłuższych fal; dla najkrótszych fal mamy u0 ≃ 10−7 mm. Przy hIi = 130
dB u0 ≃ 2 mm dla najdłuższych fal akustycznych słyszalnych uchem człowieka.
Dla fali harmonicznej prędkość v jest równa iloczynowi u0 · ω. Zatem
u0 ω
vmax
1 pmax
pmax
=
=
≃
.
λ·ω
c
κ p
p
36
vmax
nie zależy od długości fali. Tak więc dla fali o hIi = 130 dB
c
amplituda prędkości stanowi około 340 · 10−3 = 0, 34 m/s. Jeśli hIi = 60 dB, to amplituda
prędkości jest rzędu 0, 10 mm/s.
Zauważmy, że wartość
6.4.
Przenoszenie pędu przez fale akustyczne
Pokażemy, że fale akustyczne przenoszą nie tylko energię ale również pęd. Wyprowadzimy
także zależność pomiędzy ilością przenoszonej energii i przenoszonego pędu przez falę akustyczną.
W tym celu przypomnijmy, że chwilowa wartość gęstości energii (patrz wzór (67)) fali
sprężystej wynosi
ρE (x, t) = ρ · v 2(x, t).
Chwilowa gęstość masy powietrza (płynu) wynosi (patrz również (68))
ρ = ρ0 + ρg .
Chwilowa gęstość pędu ρpęd(x, t), tj. ilość pędu zawarta w jednostce objętości ośrodka
sprężystego jest równa
ρpęd(x, t) := (ρ0 + ρg ) · v(x, t).
(116)
Z uwagi na relację (68) wartość ρg wynosi
v
(117)
ρg = ρ0 · s = ρ0 · (−ε) = ρ0 ,
c
gdzie wykorzystano związek (110).
Średnia wartość gęstości pędu jest równa
ρ0 hv 2 (x, t)i
hρpęd(x, t)i := hρ0 · v(x, t)i + hρg · v(x, t)i =
,
(118)
c
gdzie skorzystano z tego, że hv(x, t)i = 0.
Porównując zależności (68) oraz (118) otrzymujemy
hρE (x, t)i
hρpęd(x, t)i =
.
(119)
c
Zadanie 56. Jaki jest wymiar hρpęd i?
Ostatni związek jest bardzo istotny i może być przepisany w nieco innej postaci. Niechaj
∆V = S⊥ · ∆x, będzie objętością ośrodka sprężystego, gdzie S⊥ jest powierzchnią ustawioną
prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali, który jest równoległy do osi OX zaś ∆x = c · ∆t
jest odległością przebytą przez falę w czasie ∆t. Wtedy ilość energii mechanicznej ∆Emech
zgromadzonej w tej objętości jest związana z ilością pędu ∆Πpęd w niej zawartą następującą
zależnością
∆Emech
.
(120)
∆Πpęd =
c
Tak więc, jeśli fala przenosi energię E, to fala ta przenosi także pęd Π w ilości47
E
Π= .
(121)
c
Na tej podstawie możemy więc twierdzić, że padające na daną powierzchnię fala przekazuje
jej pęd.
Ponieważ pochodna pędu po czasie jest równa sile, tj.
dΠ
W
Ffali =
=
,
(122)
dt
c
gdzie W jest mocą fali, to fala oddziaływuje na powierzchnię, na którą pada siłą daną wzorem (122).
47
Wzór ten przypomina relatywistyczną relację dla fotonów: Π =
37
E
, gdzie Π i E są pędem i energią fotonu.
c
Dzieląc wartość Ffali przez wartość powierzchni S⊥ (na którą fala pada) otrzymujemy wartość
ciśnienia z jakim fala działa na powierzchnię
Ffali
hIi
pfali =
=
,
(123)
S⊥
c
co oznacza, że znając intensywność fali hIi możemy policzyć wartość ciśnienia fali na powierzchni obiektu S⊥ , na którą fala pada (lub który oświetla, jeśli falą tą jest światło).
Dodajmy, że podane wyżej związki odnoszą się do wszystkich rodzajów fal, w tym także dla
światła.
6.5.
Akustyczny efekt Dopplera
Częstość fali akustycznej zależy od prędkości względnych źródła i odbiornika tych fal.
Z życia codziennego wiemy, że jeśli źródło i odbiornik zbliżają (oddalają) się do siebie, to
częstość odbieranej fali jest większa (mniejsza) od częstości emitowanej przez źródło.
Zjawisko to nosi nazwę akustycznego efektu Dopplera.
Rozpatrzymy kilka przypadków.
1. Obserwator ruchomy, źródło spoczywa.
1.1 Odbiornik zbliża się do źródła z prędkością vo. Oznacza to, że prędkość fali względem
układu związanego z obserwatorem wynosi c + vo. Zatem częstość odbieranej przez niego
fali dźwiękowej jest równa
c + vo
f′ =
.
(124)
λ
Ponieważ f = c/λ, więc
vo
′
(125)
f =f 1+ .
c
1.2 Odbiornik oddala się od źródła z prędkością vo. Prędkość fali względem układu związanego z obserwatorem wynosi c − vo. Zatem częstość odbieranej przez niego fali dźwiękowej
jest równa
c − vo
f′ =
.
(126)
λ
Zatem
vo
f′ = f 1 −
(127)
c
2. Obserwator nieruchomy, żródło porusza się.
2.1 Źródło zbliża się do spoczywającego odbiornika. Z uwagi na ruch źródła długość fali
odbieranej jest mniejsza o wartość ∆λ = vź · T = vź/f. Zatem długość odbieranej fali
i
λ′ = λ − ∆λ = λ − vź/f
(128)
c
c
f
=
=
(129)
vź .
λ − vź /f
c/f − vź/f
1−
c
Jak widzimy, obecnie częstość odbieranego dźwięku rośnie.
2.2 Źródło oddala się od spoczywającego odbiornika. Z uwagi na ruch źródła dłudość fali
odbieranej jest większa o wartość ∆λ = vź · T = vź /f i długość odbieranej fali
f′ =
λ′ = λ + ∆λ = λ + vź/f.
(130)
Zatem
f′ =
c
c
f
=
=
vź .
λ + vź/f
c/f + vź/f
1+
c
38
(131)
Jak widzimy, częstość odbieranego dźwięku jest mniejsza od częstości f źrodła.
Podsumowaniem wszystkich powyższych wzorów jest
c±v
f′ = f
,
(132)
c ∓ vź
gdzie znak górny (tj. +vo i −vź) dotyczy zbliżania się, zaś znak dolny (tj. −vo i +vź ) dotyczy
oddalania się odpowiednich obiektów.
Jak widzimy, przy zbliżaniu (oddalaniu) się źródła lub odbiornika częstość odbieranej fali
akustycznej rośnie (maleje).
Zadanie 57. Lokomotywa porusza się z prędkością vź = 40 m/s i wydaje gwizd o częstości
f = 500 Hz. Obliczyć częstość odbieranej fali przez nieruchomego obserwatora. Przyjąć, że
c = 343 m/s. (Odp. 566 Hz.)
Zadanie 58. Rozwiązać poprzednie zadanie dla obserwatora będącego w pociągu poruszającym się ku lokomotywie z prędkością vo = 35 m/s. (Odp. 623, 7 Hz.)
Czarne dziury to egzotyka. Coś może tam wejść, ale nie może
wyjść. Zniekształcają przestrzeń i czas. Są zwłokami pozostałymi po największym znanym akcie przemocy i same powodują
przemoc.
Clifford A. Pickover48
7.
Interferencja fal
Zajmiemy się obecnie zjawiskami, które można obserwować w ośrodku sprężystym, jeśli rozchodzą się w nim jednocześnie dwie fale. W takich sytuacjach mamy do czynienia z nakładaniem
się fal sprężystych. Zjawisko to nazywamy interferencją fal. W tym rozdziale będziemy mówili
o interferencji fal liniowych w ośrodkach liniowych49.
Fale liniowe spełniają zasadę superpozycji
Rwyp (r, t) = R1(r, t) + R2 (r, t),
(133)
zgodnie z którą zaburzenie wypadkowe Rwyp (r, t) w danej chwili czasu t punktów ośrodka
o współrzędnej przestrzennej r jest sumą wektorową zaburzeń docierających do tego punktu
ośrodka.
7.1.
Interferencja fal monochromatycznych
Niechaj w ośrodku liniowym (np. strunie) rozchodzą się dwie identyczne płaskie fale sinusoidalne w kierunku dodatnim osi OX, których równania fali mają postać:
y1 (x, t) = A0 sin(kx − ωt)
i
(134)
y2 (x, t) = A0 sin(kx − ωt − φ).
(135)
Wychylenie wypadkowe w punkcie ośrodka o współrzędnej x w chwili czasu t, zgodnie z zasadą
superpozycji (133), jest równe
y = y1 + y2 = A0[sin(kx − ωt) + sin(kx − ωt − φ)],
48
(136)
Cytat pochodzi z książki: Clifford A. Pickover, Czarne dziury, Wydawnictwo Amber Sp. z.o.o, Warszawa
1997.
49
W takim ośrodku siła przywracająca (odtwarzająca) stan równowagi jest proporcjonalna do odkształcenia
ośrodka. Ośrodki sprężyste spełniające prawo Hooke’a są tego najlepszym przykładem.
39
które, po skorzystaniu z odpowiedniego wzoru trygonometrycznego50, otrzymujemy
y = 2A0 cos(φ/2) sin[kx − ωt − φ/2].
(137)
Wypadkowa fala (137) jest także falą sinusoidalną identyczną z falami interferującymi, której
amplituda Awyp = 2A0 cos(φ/2), a wypadkowa faza jest równa φ/2.
Jeśli cos(φ/2) = 1, tj. φ/2 = n · π, to wypadkowa amplituda |Awyp | = 2A0 . Ma to miejsce
wówczas, gdy różnica faz fali
φ = n · 2 · π, n = 0, 1, 2, . . .
(138)
Mówimy wtedy, że fale interferują konstruktywnie. Oznacza to, że garby (doliny) nakładają
się w fazie jeden na drugi.
Jeśli [cos(φ/2)] = 0, tj. φ/2 = (2n + 1) · π/2, to wypadkowa amplituda |Awyp | = 0. Ma to
miejsce wówczas, gdy różnica faz fali
φ = (2n + 1) · π, n = 0, 1, 2, . . .
(139)
Mówimy, że fale interferują destruktywnie. W tym przypadku fale wygaszają się, ponieważ
garb jednej trafia na dolinę drugiej.
Przykładem tego jest nakładanie się fal biegnących po zamocowanej dwustronnie strunie.
Nałożenie się dwóch przeciwbieżnych fal y1 = A0 sin(kx − ωt) oraz y1 = A0 sin(kx + ωt) daje
w rezultacie falę wypadkową
y(x, t) = 2A0 sin(kx) cos(ωt),
nazywaną falą stojącą. Maksymalna amplituda tej fali wynosi ±2A0. Takie wartości przyjmuje
ona dla
(2n + 1)π
kx =
, n = 1, 2, . . . ,
2
2π
co z uwagi na związek k =
prowadzi do
λ
(2n + 1)λ
, n = 1, 2, . . .
x(s)
n =
4
Punkty x(a)
n wyznaczają położenia tzw. strzałek, a więc miejsc na strunie, w których amplituda
jest maksymalna.
Położenia x(w)
węzłów, w których amplituda jest równa zeru, określają związki
n
kx = n · π, n = 0, 1, 2, . . . ,
2π
co z uwagi na związek k =
prowadzi do
λ
nλ
x(w)
, n = 0, 1, 2, . . .
n =
2
Zadanie 59. Ile wynosi odległość pomiędzy kolejnymi węzłami lub strzałkami fali stojącej?
W jakiej odległości są rozłożone kolejne węzły i strzałki fali stojącej?
Zadanie 60. Dwie fale y1 = 5, 0 cos(6, 0x−8, 0t) i y2 = 7, 0 cos(20, 0x−4, 0t), gdzie y i x jest
dane w centymetrach, a t w sekundach, interferują ze sobą. Wyznaczyć wychylenie w punkcie
x = 2, 0 i chwili czasu t = 4.
Zadanie 61. Dwie fale harmoniczne mają postacie: y1 = (6, 0 m) sin(πx/15− πt/0, 005) oraz
y2 = (6, 0 m) sin(πx/15 − πt/0, 005 − φ). Ile wynosi amplituda fali wypadkowej jeśli φ = π/6
rad? Dla jakiej wartości φ amplituda fali wypadkowej będzie maksymalna?
7.2.
Fale stojące na strunie
Weźmy pod uwagę strunę o długości L zamocowaną obustronnie. Rozpatrzmy najprostrzy
przypadek rozchodzenia się w niej dwóch fal monochromatycznych w dodatnim i ujemnym
kierunku osi OX. W dowolnym punkcie struny wychylenie wynosi
y(x, t) = A exp[i(ωt − kx)] + B exp[i(ωt + kx)],
50
sin(α) + sin(β) = 2 sin[(α + β)/2] cos[(α − β)/2]
40
przy czym y(x = 0, t) = y(x = L, t) = 0 (warunki brzegowe). Z warunku y(x = 0, t) = 0
wynika, że 0 = (A + B) exp(iωt) co prowadzi do związku A = −B. Jest to zgodne z naszymi
wynikami dotyczącymi zachowania się fal sprężystych, gdy Z2 = ∞ (końce struny odpowiadają
ośrodkowi z nieskończonym oporem falowym). Równanie fali przyjmie postać
y(x, t) = A exp(iωt)[exp(−ikx) + exp(ikx)] = −2iA exp(iωt)sin(kx).
Drugi warunek brzegowy wymaga, aby
sin(kL) = sin(ω · L/c) = 0,
co jest spełnione o ile
kL = ωL/c = n · π,
gdzie n = 1, 2, 3, . . . .
Zatem
ωn = 2πfn =
lub
nπc
L
(140)
c
nc
=
,
(141)
2L
λn
co można przepisać w następujący sposób:
λn
2L
L=n
→ λn =
.
(142)
2
n
Wyznaczone wyżej częstości fn wzorem (141) oraz długości λn formułą (142) są nazywane
normalnymi modami drgań struny zwanymi także drganiami własnymi.
Podstawowym drganiem (harmoniką podstawową) nazywamy modę własną z n = 1.
Jeśli ni1, to na strunie są miejsca, w których dla dowolnego t wychylenie y = 0. Punkty te
noszą nazwę węzłów n–tego drgania własnego. Ma to miejsce dla tych punktów na strunie, dla
których
fn =
sin(nπx/L) = 0,
tj. dla
nπx(w)
= jπ,
L
gdzie j = 0, 1, 2, . . . , n. Tak więc węzły n–tego drgania własnego są położone w punktach
o współrzędnych
L
(w)
xj = · j,
n
gdzie j = 0, 1, 2, . . . , n.
Ponadto, całkowite wychylenie punktów struny w pobliżu x wykonującej n–te drganie własne wynosi
yn (x, t) = −i2A[cos(ωn t) + isin(ωn t)] sin(ωn x/c)] =
= [An cos(ωn t) + Bn sin(ωn t)] sin(ωn x/c)],
gdzie An , Bn są liczbami zespolonymi.
Zadanie 64. Ile wynosi energia przenoszona przez stojącą falę w strunie zamocowanej obustronnie?
Ze wzoru (142) wynika, że długość fali n–tego drgania normalnego wynosi
2L
, n = 1, 2, 3, . . . ,
(143)
λn =
n
zaś częstość tych drgań
c
nc
fn =
=
.
(144)
λn
2L
41
Ponieważ c =
s
N
, gdzie N – naciąg struny, a ρl jej gęstość liniowa, więc
ρl
s
n N
fn =
, n = 1, 2, . . .
(145)
2L ρl
Jak widzimy najniższa częstość drgań struny wynosi
1 q
f1 =
N/ρl
2L
, gdzie f1 to częstość tonu podstawowego struny. Inne częstości drgań normalnych są jego
wielokrotnością ponieważ fn = n · f1 .
Jeśli struna zostanie odkształcona w taki sposób, że jej kształt odpowiada n–tej harmonice,
to będzie ona wydawała dźwięk (zwany tonem) o częstości fn .
Jeśli jednak strunę odkształcimy dowolnie, to będzie wydawała dźwięk będący złożeniem
jej wszystkich harmonik.
Jak widzimy, częstość fn można zmieniać poprzez zmianę długości struny L lub też poprzez
zmianę jej naciągu N 51 . Zmianę naciągu wykonuje stroiciel (w przypadku fortepianu lub pianina
koncertowego) lub wykonawca muzyki gitarowej w celu dostrojenia instrumentu muzycznego.
7.3.
Źródła dźwięków
Omówimy krótko najprostsze źródła dźwięków. Na wstępie zauważmy, że jeśli strunę zastąpimy zamkniętą z obu stron tubą, to fale stojące wzbudzane w słupie powietrza w niej zawartym
będą miały prędkość dźwięku c, a długość i częstość tonów podstawowych (drgań normalnych)
będą takie same, jak analogiczne wielkości w przypadku fal stojących w strunie zamocowanej
na obu końcach, tj.
2L
λ(tuby)
=
, n = 1, 2, 3, . . . ,
(146)
n
n
fn(tuby)
n
=
2L
s
κP
, n = 1, 2, . . .
ρ
(147)
Oznacza to, że częstość n(> 1)–tego drgania normalnego jest całkowitą wielokrotnością częstości
tonu podstawowego f1.
Zadanie 65. Jakie częstości i długości fal stojących wykazuje tuba otwarta obustronnie? Czy
takie same długości drgań normalnych posiada swobodny pręt?
Zadanie 66. Ile wynosi ciśnienie akustyczne w strzałkach a ile w węzłach stojącej fali akustycznej?
Jeśli pręt o długości L, zamiast na obu końcach, jest zamocowany tylko na jednym końcuu, to posługując się pojęciami strzałki i węzłów możemy określić długość drgań normalnych
(tj. fal stojących) takiego układu. Warunki brzegowe wymagają, aby jeden z węzłów był zawsze umiejscowiony w zamocowanym końcu. Natomiast strzałka powinna zawsze tworzyć się
na niezamocowanym końcu. Zatem
(2n + 1)λ
L=
, n = 1, 2, . . . .
(148)
4
Zadanie 67. Uzasadnić ostatnią równość.
Z tego równania otrzymujemy długości drgań normalnych (fal stojących) rozpatrywanego
układu
4L
λn =
, n = 1, 2, , 3, . . .
(149)
(2n + 1)
51
Te krótkie rozważania można by tutaj nazwać podstawami fizyki instrumentów muzycznych.
42
i odpowiadające im częstości tych fal52
(2n + 1)
c
fn =
=
c,
(150)
λn
4L
Jeśli strunę zastąpimy tubą (pudłem rezonasowym) jednostronnie zamkniętym, to fale stojące wzbudzane w słupie powietrza w niej zawartym będą miały prędkość dźwięku c, a długość
i częstość tonów podstawowych (drgań normalnych) będą takie same jak analogiczne wielkości
w przypadku fal stojących w strunie zamocowanej na jednym końcu, tj.
4L
λn(tuby) =
, n = 1, 2, 3, . . . ,
(151)
(2n + 1)
fn(tuby)
(2n + 1)
=
4L
s
κP
, n = 1, 2, . . .
ρ
(152)
Oznacza to, że częstość n(> 1)–tego drgania normalnego jest nieparzystą wielokrotnością częstości tonu podstawowego f1 .
Jeśli pręt o długości L, zamiast na końcach, jest zamocowany pośrodku, to posługując
się pojęciami strzałki i węzłów możemy określić długość drgań normalnych takiego układu.
Warunki brzegowe wymagają, aby jeden z węzłów był umiejscowiony zawsze w środku pręta,
natomiast strzałki tworzą się na jego końcach. Zatem ton podstawowy ma długość
λ1 = 2L,
(153)
zaś n–ty ton ma długość
2L
4L
=
, n = 1, 2, 3, . . . .
(154)
λn =
2(2n + 1)
2n + 1
Ile wynoszą, w tym przypadku, częstości drgań podstawowych? Odpowiedzi na to pytanie
powinien udzielić sobie samodzielnie Czytelnik.
7.4.
Dudnienia
Zajmiemy się obecnie interferencją fal akustycznych, która ma miejsce w czasie (poprzednio
omówiliśmy przykłady interferencji przestrzennej). Wyobraźmy sobie, że do naszego ucha docierają z dwóch różnych źródeł fale akustyczne, których częstości różnią się niewiele. Nasze uszy
będą odbierały w takim przypadku okresowe wzmocnienia i osłabienia, które przyjęto nazywać
dudnieniami.
Opiszmy to zjawisko ilościowo. Niechaj interferują ze sobą fale53 sinusoidalne
y1 = A0 sin(2πf1t) oraz y2 = A0 sin(2πf2 t).
(155)
Z zasady superpozycji (133) otrzymujemy
y = y1 + y2 = A0[cos 2πf1 t + cos 2πf2 t]
oraz
f1 − f2
f1 + f2
y = 2A0 cos 2πt
cos 2πt
t .
2
2
Oznacza to więc, że wypadkowa częstość fali jest równa fw = (f1 + f2 )/2, zaś amplituda zależy
od czasu jak
f1 − f2
A(t) = 2A0 cos 2π
.
(156)
2
mλ
, m = 1, 3, 5, . . .., tj. λn = 4L/m. Drganie
4
c
c
podstawowe ma fale o długości λ1 = 4L. Częstości fal stojących wynoszą fm = c/λm = m
= m = mf1 , tj.
4L
4l
częstość drgań normalnych jest obecnie nieparzystą wielokrotnością tonu podstawowego f1 = c/(4L).
53
Pomijamy zależność od x.
52
Wyprowadzone związki często zapisuje się w postaci L =
43
Tak więc częstość zmian amplitudy jest równa (f1 − f2)/2. Ponieważ w ciągu jednego okresu
A2 (t) wykazuje dwa maksima, to częstotliwość dudnień wynosi
fd = |f1 − f2 |.
(157)
Zadanie 68. Wyznaczyć fw oraz fd jeśli nakładają się dwie fale o częstościach f1 = 438 Hz
i f2 = 442 Hz.
7.5.
Rezonans
W układach mechanicznych, o których mówiliśmy do tej pory, można obserwować zjawisku
resonansu, jeśli zewnętrzne zaburzenie będzie zmienne w czasie, a częstość tych zmian bliska
jednej z częstości drgań własnych układu. W takiej sytuacji mówimy o zjawiska rezonansu
częstości.
Można to zjawisko obserwować w wielu sytuacjach. Śpiewak (śpiewaczka) o dużej sile głosu,
na skutek resonsu, może powodować pękanie szklanych ścianek kieliszków lub szklanek.
Jeśli do zamocowanej jednostronnie struny dołączyć drgającą harmonicznie żyletkę, to przy
zmianie częstości drgań tejże żyletki możemy obserwować rezonans częstości, który przejawia się
w tym, że jeśli częstość ruchu harmonicznego żyletki staje się równa częstości drgań normalnych,
to struna zaczyna intensywnie drgać (wówczas wykonuje jeden z dopuszczalnych typów drgań
normalnych).
Podobne zjawisko obserwujemy w układzie złożonym z kilku wahadeł matematycznych podwieszonych na jednym pręcie. Wprawienie jednego z nich w ruch powoduje drgania innych.
Największe wychylenia można obserwować dla wahadła (początkowo spoczywającego), którego
długość jest najbardziej zbliżona do długości wahadła wprawionego w ruch jako pierwsze.
Penrose wykazał, że jeśli siły grawitacyjne wywierane przez
materię we Wszechświecie były zawsze i wszędzie przyciągające i jeśli we Wszechświecie jest dostatecznie dużo materii, to
oddziaływanie grawitacyjne sprawia, że przedłużenie wszystkich promieni świetlnych wstecz aż do nieskończoności jest
niemożliwe.
John D. Barrow54
8.
Prędkość grupowa i modulacja fal
Do tej pory rozpatrywaliśmy głównie fale monochromatyczne typu y(x, t) = y0 cos(ωt − kx).
Wyjątkiem był podrozdział dotyczący dudnień, które powstają w wyniku nakładania się dwóch
fal o niewiele różniących się częstościach.
Tutaj zajmiemy się innym typem dudnień jakie powstają w wyniku nakładania się dużej
liczby (większej niż dwie) fal monochromatycznych o niewiele różniących się częstościach. Wytworzony w ten sposób obiekt nazywamy paczką fal, pakietem fal lub grupą fal. Pokażemy,
że prędkość z jaką poruszają się takie obiekty jest prędkością grupową vgr , którą zdefiniujemy
i omówimy dość szczegółowo. Uzasadnimy, że prędkość grupowa jest prędkością z jaką przenoszona jest przez falę energia.
Za pomocą fali monochromatycznej nie można przekazać żadnej informacji55. W celu jej
wykorzystania do przenoszenia informacji musimy fale modulować, tj. coś w niej zmieniać
54
Cytat pochodzi z książki: John D. Barrow, Początek Wszechświata, Wydawnictwo CIS, Warszawa 1995.
Biegnąca fala o jednej częstości wytwarza w punkcie do którego dociera zawsze ten sam, cyklicznie powtarzający się efekt, którym jest ruch harmoniczny cząsteczek ośrodka.
55
44
w taki sposób, aby odbiorca był w stanie zmiany te odczytać (w procesie demodulacji).
Modulować można amplitudę56, częstość57 lub fazę fali. W takich przypadkach źrodło fali
nie wykonuje prostego ruchu harmonicznego, który jak wiemy jest źródłem fal sinusoidalnych. Generator fali zmodulowanej (np. nadawcze anteny radiowe lub telewizyjne) wytwarza
drgania, których zaburzenie y(t) = f(t) nie jest drganiem harmonicznym lecz superpozycją fal
typu
yampl(ω, t) = A(ω) cos[ωt + φ(ω)],
gdzie A(ω) i φ(ω) są, odpowiednio, amplitudą i fazą fali składającej się na f(t)58 .
W celu zrozumienia podstawowych właściwości paczki fal zajmiemy się superpozycją dwóch
fal kosinusoidalnych. Niechaj w x = 0 umieszczony będzie generator (antena) emitujący w półprzestrzeń h0, ∞i dwie fale kosinusoidalne
y1 (t) = A cos(ω1 t), y2 (t) = A cos(ω2 t).
(158)
Złożenie tych dwóch fal w źródle jest równoważne drganiu
y(t) = Amod(t) cos(ωśr t),
(159)
Amod(t) = 2A cos(ωmod t),
(160)
gdzie
|ω1 − ω2 |
ω1 + ω2
, ωśr =
.
(161)
2
2
Zadanie 69. Wyprowadzić powyżej podane związki.
Jeżeli |ω1 − ω2 | ≪ ω1 i |ω1 − ω2 | ≪ ω2 , to ωmod jest o wiele mniejsza od wartości średniej
ωśr , tj. ωmod ≪ ωśr . Jak widzimy formuła (159) opisuje drgania prawie(kwazi)harmoniczne
z amplitudą Amod zależną od czasu z częstością modulacji proporcjonalną do ωmod . Generator
jest więc źródłem dudnień.
Obliczymy obecnie wartość zaburzenia y(x, t) w punkcie x ośrodka, do którego dotrze zmodulowany sygnał generatora. Podobne do powyższych przekształcenia prowadzą do
ωmod =
gdzie
y(x, t) = Amod (x, t) cos(ωmod t − kśr x),
(162)
ω1 − ω2
(163)
2
k1 − k2
kmod =
(164)
2
ω1 + ω2
ωśr =
(165)
2
k1 + k2
kśr =
.
(166)
2
Zadanie 70. Wyprowadzić zależności (162 ÷ 166).
Z jaką prędkością rozchodzi się w ośrodku modulacja amplitudy? Jest to pytanie dotyczące
prędkości propagowania się w ośrodku stałej fazy amplitudy, która jest równa
ωmod =
φampl = ωmod t − kmod x.
Z warunku φampl = const otrzymujemy59
dφampl = 0 = ωmod dt − kmod dx,
56
Symbol AM na odbiornikach radiowych o tym świadczy.
Producenci odbiorników radiowych używają symbolu FM do wskazania tego typu modulacji.
58
Podkreślmy, że f(t) jest sumą yampl (ω, t). Sumowanie przebiega po różnych ω. W tym sensie f(t) jest grupą
(zbiorem) różnych fal.
59
Obliczamy różniczkę zupełną φampl .
57
45
z którego wynika szukana prędkość rozchodzenia się stałej amplitudy
dx
ωmod
ω1 − ω2
= vmod =
=
.
dt ampl
kmod
k1 − k2
Wprowadzimy obecnie pojęcie związku dyspersyjnego.
(167)
Związkiem dyspersyjnym nazywamy zależność pomiędzy częstością kołową ω
i wektorem falowym fali, co zapisujemy w postaci ω(k).
Jeśli w danym ośrodku ω(k) = const · k, to mówimy, że dyspersja jest liniowa.
Zauważmy, że wszystkie rozpatrzone do tej pory fale sprężyste były falami wykazującymi
liniową dyspersję60.
Rozpatrzymy dokładniej prędkość vmod. Jeśli ω(k), to ω1 = ω(k1 ), ω2 = ω(k2 ). Niechaj
k2 = k1 + ∆k. Rozwiniemy ω2 = ω(k2 ) na szereg Taylora wokół punktu k1
dω
ω(k2 ) = ω(k1 ) +
∆k + . . . .
dk k=k1
Po podstawieniu tego związku do wzoru (167) otrzymujemy
dω
vmod = vgr =
.
(168)
dk
Prędkość vmod będziemy nazywali prędkością grupową i oznaczali symbolem vgr .
Jak widzimy prędkość rozchodzenia się stałej amplitudy vmod = vgr. Zauważmy jeszcze, że
wyznaczona prędkość grupowa vgr jest prędkością rozchodzenia się w ośrodku energii stowarzyszonej z falą, ponieważ ilość energii transportowanej przez falę jest proporcjonalna do kwadratu
jej amplitudy Amod (patrz relacja (62)).
8.1.
Modulacja amplitudowa fal radiowych
Jako przykład modulacji omówimy krótko fale radiowe o modulowanej amplitudzie AM61.
Napięcie wyjściowe anteny radiowej ma określoną częstość zwaną częstością nośną (odpowiada to wartości ωśr w przypadku składania dwóch fal monochromatycznych), a jego amplituda
jest zmodulowana i ma postać
Amod(t) = A0 +
X
A(ωmod) cos[wmodt + φ(ωmod )].
(169)
ωmod
Przy czym różnica amplitud Amod(t) − A0 jest proporcjonalna do ciśnienia fali towarzyszączej
mowie, tj. dźwiękowi, którego źródłem jest osoba mówiąca (na to ciśnienie czuły jest mikrofon).
Częstości ωmod leżą w zakresie częstości fal akustycznych, tj. od 20 Hz do 20 kHz. Napięcie
całkowite przyłożone do anteny ma więc postać
U(t) = Amod(t) cos(ωśr t) =
X
= A0 cos(ωśr t) +
A(ωmod ) cos[ωmod t + φ(ωmod )] cos(ωśr t),
ωmod
które można przepisać jako
U(t) = A0 cos(ωśr t) +
+
1 X
A(ωmod) cos[(ωmod + ωśr )t + φ(ωmod )]+
2 ωmod
1 X
A(ωmod) cos[(ωśr − ωmod )t − φ(ωmod )].
2 ωmod
60
Przykładowo, dla fal poprzecznych rozchodzących się w strunie ω = k ·
61
Ten typ modulacji jest wykorzystywany na falach długich.
46
(170)
p
N/ρ.
Zadanie 71. Wyprowadzić wzór (170).
Napięcie przyłożone do anteny jest więc złożeniem kilku drgań, którymi są:
1. Drgania harmoniczne o częstości ωśr = 2πfśr zwanej częstością nośną; jest to częstość na
której nadaje dana radiostacja.
2. Suma drgań harmonicznych
1 X
A(ωmod ) cos[(ωmod + ωśr )t + φ(ωmod )]
2 ωmod
zwanych górnym pasmem bocznym.
3. Suma drgań harmonicznych
1 X
A(ωmod ) cos[(ωśr − ωmod )t − φ(ωmod)]
2 ωmod
zwanych dolnym pasmem bocznym.
Napięcie U(t) jest więc superpozycją składowych harmonicznych o częstościach kątowych
spełniających nierówności
max
max
ωśr − ωmod
≤ ω ≤ ωśr + ωmod
,
(171)
max
max
fśr − fmod
≤ f ≤ fśr + fmod
.
(172)
co można zapisać dla częstości w postaci
Wartość
max
∆f = fmax − fmin = 2fmod
nazywamy szerokością pasma. Zatem jedna radiostacja zajmuje w widmie fal radiowych przemax
max
max
dział hfśr − fmod
, fśr + fmod
i. Dla fal akustycznych fmod
= 20 kHz. W rzeczywistości, na mocy
max
odpowiednich umów, fmod = 5 kHz i w sygnale podawanym na antenę znajdują się częstości
z przedziału hfśr − 5 kHz, fśr + 5 kHzi.
Napięcie podawane na antenę radiową, która emituje biegnące fale elektromagnetyczne
i ma postać (170). Fale te są superpozycją składowych fal harmonicznych zajmujących określony
wyżej przedział częstości.
W przypadku fali AM o częstości nośnej fśr = 103 kHz, pasmo częstości radiowych rozciąga
się od 995 kHz do 1005 kHz. Jak widzimy częstość nośna jest o wiele większa od częstości
modulacji.
8.2.
O przekazie obrazu telewizyjnego
Ekran telewizyjny stanowi prostokątną siatkę złożoną z pikseli (inaczej plamek). Pojedynczy
1
piksel jest odwiedzany przez wiązkę elektronową co
sekundy. Typowy ekran posiada około
30
25 · 104 plamek. Wynika stąd, że w ciągu jednej sekundy nadajnik telewizyjny musi wysłać
około N = 30 · 25 · 104 ≃ 107 impulsów. Zatem częstość napięcia w antenie telewizyjnej musi
być równa co najmniej 107 Hz= 10 MHz. Jeśli przyjąć, że częstość telewizyjnych fal nośnych
mieści się w granicach od 50 do 200 MHz, to w podanym zakresie może się zmieścić jedynie 15
kanałów telewizyjnych. W rzeczywistości szerokość pasma może być zmniejszona o połowę, co
oznacza, że liczba kanałów jest dwukrotnie większa.
Gdyby zastosować, jako nośnik, fale widzialne, których częstości mieszczą się w granicach
2 · 1014
4, 6 ÷ 6, 6 · 108 MHz, to liczba kanałów staje się astronomiczna i osiąga wartość
= 4 · 107
5 · 106
kanałów.
47
8.3.
Prędkość grupowa a prędkość fazowa – dyspersja fal
Pokazywaliśmy niejednokrotnie, że
ω = c · k.
Z definicji prędkości grupowej (patrz wzór (168)) wynika, że
dc
dω
=c+k .
dk
dk
2π
2π
Z uwagi na to, że k =
więc dk = − 2 dλ i
λ
λ
vgr =
(173)
dc
.
(174)
dλ
Jak widzimy prędkość rozchodzenia się energii fali zależy od długości fali. Otrzymane formuły (173), (174) opisują dyspersję fali.
Prędkość fazowa i grupowa są sobie równe pod warunkiem, że prędkość fazowa c nie zależy
dc
= 0.
od wektora falowego k, tj.
dk
W wysokich warstwach atmosfery (w tzw. jonosferze) zależność dyspersyjna ma postać
vgr = c − λ
ω 2 = ωp2 + c2 k 2 ,
dla ωiωp = 2 · 107 Hz; c – prędkość światła. Z tego związku wynika, ze
2ω
dω
= 2c2 k,
dk
zatem
ω
k
Ostatecznie
vf =
dω
dk
s
c2 +
= cvg = vf vg = c2 .
ωp2
≥c
k2
i
c
vg = c
vf
!
≤ c.
Widzimy, że prędkość fazowa takich fal jest zawsze większa od prędkości światła. Natomiast
prędkość grupowa jest nie większa od c.
Inny przykład dotyczy fal powierzchniowych rozchodzących się po powierzchni wody (dostatecznie głębokiej wody), dla których
ω 2 = gk +
N 3
k ,
ρ
gdzie g – przyspieszenie ziemskie, ρ – gęstość wody, N = 72·10−7 N/m – napięcie powierzchniowe
wody.
Zadanie 72. Wyznaczyć prędkość fazową i prędkość grupową dla fal powierzchniowych na
wodzie.
Dane dotyczące fal powierzchniowych na głębokich wodach.
48
λ
f
cm
0,10
0,25
0,5
1.0
2.0
8.0
16.0
100.0
400.0
1600.0
3200.0
6400.0
Hz
675
172
62,5
24,7
11,6
4,52
4,14
1,25
0,625
0,313
0,221
0,156
c
vgr
cm/s cm/s
67,5 101,4
43,0 63,7
31,2 44,4
24,7 30,7
23,2 21,4
36,2 19,6
50,3 25,8
125
62,5
250
125
500
250
708
354
1000 500
vgr
c
1,50
1,48
1,42
1,24
0,92
0,54
0,51
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
Zadanie 73. Przypuśćmy, że jesteś na rozpalonej plaży i sprawdziłeś (jak?), że na sekundę
do brzegu przybywa 12 fal na minutę. Oznacza to, że częstość fal f ≃ 0, 2 Hz. Wyznaczyć
przybliżoną wartość długości tych fal na otwartym morzu. Jaką odległość przebyła ta fala
w ciągu godziny poprzedzającej moment jej zetknięcia się z plażą? Skorzystać z powyższej
tabeli.
Dodajmy, że paczka falowa rozmywa (rozpływa) się po upływie dostatecznie długiego czasu.
Dzieje się tak wskutek dyspersji, ponieważ fale monochromatyczne tworzące paczkę poruszają
się z różnymi prędkościami (patrz wzór (174)). Oznacza to, że jedne fale z paczki fal uciekają
do przodu (są to te, których prędkość grupowa vgr jest największa), a inne pozostają w tyle.
Skoro rozszerzanie się Wszechświata jest faktem, w przeszłości musiał on wyglądać zupełnie inaczej niż obecnie.
Igor Nowikow62
9.
Fale nieliniowe
Fale akustyczne słyszalne uchem powodują w powietrzu stosunkowo małe wahania ciśnienia
atmosferycznego. Ich wartości nie przekraczają tysięcznych części ciśnienia atmosferycznego.
Ponadto, prędkość tych fal nie zależy ani od częstości ani też od amplitudy fal akustycznych.
W wielu sytuacjach mamy do czynienia z silnym (mówimy nieliniowym) zaburzeniem stanu
równowagi ośrodka, kiedy to rozchodzą się w nim tzw. fale nieliniowe. Prędkość takich fal
zależy zarówno od długości (wykazują one dyspersję) jak i od amplitudy fali63.
Poniżej omówimy krótko dwa typy fal nieliniowych zwanych falami uderzeniowymi oraz
pojedyńczymi falami zwanymi także solitonami.
9.1.
Fale uderzeniowe
Typowym tego przykładem są fale powstające w czasie eksplozji ładunku wybuchowego
62
Cytat pochodzi z książki: Igor Nowikow, Czarne dziury i Wszechświat, Wydawnictwo Prószyński i S–ka,
Warszawa 1995.
63
Dlatego nazywamy je falami nieliniowymi
49
(atomowego, termojądrowego64 ), zgromadzonego w nadmiarze w pomieszczeniu gazu ziemnego
lub podczas ruchu w powietrzu samolotów ponaddźwiękowych.
Jeśli obiekt porusza się w ośrodku z prędkością vo większą od prędkości dźwięku c, to powoduje powstanie fali uderzeniowej. Dobrym przykładem takiego obiektu jest kaczka poruszająca
się dostatecznie szybko po powierzchni stawu. Za ogonem kaczki tworzy się fala uderzeniowa
w kształcie litery V, która powstaje wskutek tego, że prędkość kaczki jest większa od prędkości
fal na powierzchni wody. Podobny efekt możemy obserwować, gdy statek płynie dostatecznie
szybko po rzece. Towarzyszy temu także fala uderzeniowa rozchodząca się w kształcie litery V
po powierzchni wody65 . Warto w tym miejscu dodać, że huk wystrzału lub eksplozji rozchodzie
się w powietrzu znacznie szybciej niż odgłos komendy: Ognia!.
Fala uderzeniowa to bardzo złożone zjawisko. Z frontem tej fali związana jest skokowa
zmiana gęstości, temperatury i ciśnienia. Gęstość powietrza nie może wzrosnąć powyżej pewnej
skończonej wartości. Natomiast wartości temperatury i ciśnienia mogą być ogromne. Przykładowo, podczas skoku ciśnienia o 100 atmosfer temperatura frontu fali rośnie do 3500◦ C.
W takiej temperaturze część molekuł powietrza rozpada się na atomy (dotyczy to cząsteczek
O2 ) co wywoduje określone reakcje chemiczne. Przy jeszcze wyższych temperaturach powstaje
silne świecenie (błysk wybuchu). Apokaliptyczna fala uderzeniowa (ognista kula jaśniejsza od
tysiąca słońc) towarzyszy wybuchowi bomby jądrowej.
Kolosalnie silna powietrzna fala uderzeniowa towarzyszyła ponadźwiękowemu ruchowi oraz
upadkowi (30 czerwca 1908 roku) meteorytu tunguskiego. Tuż przed jego upadkiem obserwowano, w przeciągu kilku sekund, oślepiająco jasną kulę. Momentowi uderzenia w Ziemię
towarzyszył ogłuszający wybuch słyszalny na odległościach powyżej tysiąca kilometrów66.
Świecenie meteorytów oraz sztucznych sputników Ziemi wchodzących w jej atmosfere tłumaczymy powstawaniem fali uderzeniowej. W tym drugim przypadku działa ona jak spadochron
i zapewnia wyhamowanie sputnika w górnych warstwach atmosfery67.
Opiszemy krótko propagację fali uderzeniowej w atmosferze. W tym celu rozpatrzymy obiekt
poruszający się na wysokości H nad powierzchnią Ziemi z prędkością naddźwiękową. Ruchowi
temu towarzyszy fala uderzeniowa (shock wave) w kształcie stożka.
Stosunkowo proste rozważania prowadzą do wniosku, że połowa kąta Θu rozwarcia stożka
fali uderzeniowej spełnia związek
sin(Θu ) =
c
1
=
,
vo
LMacha
(175)
vo
= LMacha nazywany jest liczbą Macha.
c
Samolot poruszający się z prędkością ponaddźwiękową jest źródłem zazwyczaj dwóch stożków ponaddźwiękowych związanych z dwoma falami uderzeniowymi, jakie generują w powietrzu
dziób samolotu oraz jego skrzydła i ogon. Takie fale uderzeniowe niosą ze sobą ogromną ilość
energii i są w stanie nawet burzyć budynki znajdujące się na powierzchni Ziemi (jeśli samolot
leci nisko).
gdzie stosunek
64
◦
W momencie eksplozji tej bomy ciśnienie w strefie reakcji osiąga wartości 1010 atmosfer, a temperatura 107
C.
65
Jest to w rzeczywistości grupa fal, o czym mówiliśmy wcześniej.
Falę powietrzną wywołaną tym wybuchem zarejestrowano w Anglii. Siła wybuchu odpowiadała wybuchowi
ładunku jądrowego o sile kilku megaton.
67
Historia II wojny światowej zna przypadek cudownego uratowania się rosyjskiego lotnika, którego spadochron
nie otworzył się i śmierć wydawała się być nieunikniona. Jednak w ostatnim momencie, poprzedzającym upadek,
pod lotnikiem wybuchła bomba lotnicza, której fala uderzeniowa wyhamowała jego prędkość i uratowała mu
życie.
66
50
9.2.
Solitony
Do tej pory omawialiśmy liniowe fale lub liniowe paczki falowe68.
Okazuje się, że jeśli amplituda fali jest dostatecznie duża i fala ulega dyspersji69, to w ośrodku
sprężystych mogą rozchodzić się zlokalizowane (tj. skoncentrowane (skupione) w ograniczonym
obszarze ośrodka) zaburzenia stanu równowagi ośrodka, które nazywamy solitonami.
Solitony są falami nieliniowymi, które wykazują właściwości typowe dla cząstek, ponieważ
zderzając się ze sobą zachowują się jak sprężyste kule70. Ta właściwość jest na tyle interesująca, że solitony stały się w latach 70– i 80–tych obiektem71 ogromnego zainteresowania nauk
podstawowych i stosowanych.
Po raz pierwszy solitony zaobserwował na powierzchni wody kanału żeglugowego i opisał
w 1834 roku angielski inżynier, budowniczego statków z epoki wiktoriańskiej Scott Russel. Oto
fragment jego opisu dotyczący obserwacji ruch barek i wody w kanale wodnym.
Śledziłem ruch barki, którą szybko ciągnęła po wąskim kanale para koni, gdy nieoczekiwanie
barka zatrzymała się; ale masa wody, którą wprawiła w ruch barka, nie zatrzymała się. Zamiast
tego woda zebrała się u dziobu barki w stanie szalonego ruchu i potem nieoczekiwanie zostawiła
ją w tyle tocząc się do przodu z dużą prędkością i przyjmując postać dużego pojedynczego wzniesienia, tj. okrągłego, gładkiego i wyraźnie zaznaczonego wodnego wzgórza, które kontynuowało
swój ruch wzdłuż kanału, wcale nie zmieniając swojego kształtu ani nie zmniejszając prędkości.
Podążyłem za nim i kiedy go dogoniłem on tak jak poprzednio toczył się naprzód z prędkością
około 8 lub 10 mil na godzinę zachowując swój początkowy kształt wzniesienia o długości około
13 stóp i wysokości od jednej do półtora stopy. Jego wysokość stopniowo malała, i po jednej lub
dwóch milach pogoni straciłem go w zakolach kanału. W ten sposób w sierpniu 1834 roku po
raz pierwszy przyszło mi zetknąć się z niezwykłym i pięknym zjawiskiem, które nazwałem falą
translacji;. . .
Russel ustalił kilka podstawowych właściwości odkrytych fal nieliniowych:
1. Prędkość i kształt fali nieliniowej pozostaje niezmienny w czasie.
2. Prędkość fali
q zależy od głębokości kanału h oraz od wysokości fali A (tj. jej amplitudy):
v(h, A) = g(h + A), gdzie g – przyspieszenie ziemskie i Ahh/3.
3. Dostatecznie duże fale rozpadają się na dwie mniejsze, z których jedna porusza się z większą prędkością od drugiej.
4. Obserwowano tylko fale o kształcie wzniesienia (garbu) powierzchni wody.
5. Fale translacji zderzały się ze sobą przenikając jedna przez drugą bez zauważalnych zmian
kształtu (wyglądało to tak jakby zderzały się sprężyście dwie cząstki).
Okazuję się, że istnienie tych fal, które dzisiaj nazywamy solitonami72 jest konsekwencją
zrównoważenia się dwóch przeciwstawnych efektów (mechanizmów), którymi są:
1. Nieliniowość — powoduje wzrost wysokości i zwężenie się fali nieliniowej; efekt ten determinuje zachowanie się fal morskich, które najpierw rosną (wtedy obserwujemy, że wysokość i szerokość fali morskiej rośnie), a potem załamują się i przelewają się z hukiem (w
postaci bałwanów morskich) na powierzchni morza.
2. Dyspersja — dąży do uczynienia fali bardziej łagodną i rozmytą; przypomnijmy, że fala
nieliniowa jest zbiorem różnych fal (o różnych długościach), a więc o innych prędkościach
co sprzyja rozmywaniu się tej fali (patrz wzór (174)).
68
Uwaga ta nie dotyczy fal uderzeniowych.
Wtedy prędkość grupowa takiej fali zależy od amplitudy oraz od długości fali.
70
Pokazali to numerycznie w 1965 roku N.J. Zabusky i M.D. Kruskal.
71
Zainteresowanie nimi trwa do dzisiaj.
72
Termin powstał w 1965 roku. Pierwotnie zaproponowano nazwę solitron (bardzo podobną do elektron), ale
z uwagi na to, że na rynku amerykanskim istniała firma o nazwie Solitron, zgubiono jedną literkę i przyjęto
ostatecznie nazwę soliton.
69
51
Obecnie pod pojęciem solitonu rozumie się każdą zlokalizowaną nieliniową falę, która oddziaływuje z dowolnymi zaburzeniami lokalnymi ośrodka i odtwarza swoją pierwotną postać.
Matematyczne podstawy fal nieliniowych podali holenderscy matematycy Diderick Johannes
Korteweg i Gustaf de Vries, którzy sformułowali równanie, zwane równaniem Kortiewieg–de
Vries’a (w skrócie KdV) opisujące fale Russela
!
3 2 h2 ∂ 2y
∂ y+ y +
4h
6 ∂x2
∂y
+ v0
= 0.
(176)
∂t
∂x
Jego rozwiązanie, opisujące soliton KdV, ma postać
A
(177)
y(x, t) =
x − vt ,
cosh2
l
gdzie
q
4 h2
v = v0[1 + (A/2h)], i l2 =
v
=
gh.
(178)
0
3 A2
Dodajmy, że A – amplituda fali, h – głębokość kanału i A < h/3.
Jak widzimy równanie (176) jest nieliniowym równaniem różniczkowym (ponieważ występuje w nim człon y 2 ), które ma bardzo specyficzne rozwiązanie dane formułą (177). Podane
rozwiązanie ma charakter zlokalizowanego zaburzenia stanu ośrodka (można mówić o impulsie),
które rozchodzi się w ośrodku zachowując swój kształt z prędkością zależną od amplitudy fali
(patrz relacje (177) i (178)).
Badania fal nieliniowych doprowadziły do bardzo interesująch rezultatów. Poniżej przedstawiamy wybrane wyniki.
Fale nieliniowe:
1. Opisują rozchodzenie się impulsów elektrycznych w komórkach układu nerwowego człowieka i zwierząt.
2. Dają poprawny opis fal przypływowych w rzekach, zwanych także ścianami wodnymi,
do których okresowo wlewa się woda mórz i oceanów wywołana falami przypływów. Odnosi się to także do przemieszczania się fal powodziowych w rzekach. Pokazano, że prędkość vs ruchu ściany wody, tj. lokalnej różnicy poziomów h1ih0 wody w rzece jest równa
vs =
s
gh1 (h0 + h1 )
.
2h0
√
Dla h1 > h0 mamy vs > v0 = gh0 co oznacza, że ściana wody porusza się po rzece
szybciej niż jakakolwiek fala powierzchniowa w rzece o głębokości h0.
3. Mają zastosowanie do oceanicznych solitonów zwanych tsunami. Takie nieliniowe fale
tworzą sie najczęściej podczas podwodnego trzęsienia Ziemi. Powstają wówczas oceaniczne tsunami mające √
długości dochodzące do 500 km i wysokości h = 10 m. Prędkość
tsunami jest rzędu v ≃ g · h, co dla h = 1 km daje prędkość rzędu 100 m/s. Fale te
stają się szczególnie niebezpieczne przy podchodzeniu do brzegów. Wtedy ich prędkość
maleje, wysokość rośnie73 zaś długość maleje74.
Największe spustoszenia i ofiary ponoszą kraje nadmorskie.
W szczególności Japonia i Chile. W 1896 roku tsunami dosięgło brzegów Japonii. Miało
wysokość 30 m. Zginęło około 30 tys. ludzi.
W dniu 28 grudnia 1908 roku na południu Włoch miało miejsce katastrofalne trzęsienie ziemi. Zginęło ponad 82 tys. ludzi. Część z nich na skutek ogromnych fal wodnych
73
Można pokazać, że wysokość A tsunami zależy od głębokości h jak L2 /h, gdzie L jest rzędu kilkudziesięciu
metrów.
74
Można pokazać, że długość l tsunami zależy od głębokości h jak h2 /L. Podane w dwóch ostatnich stopkach
oszacowania są słuszne dla L < h
52
(tsunami) wywołanych trzęsieniem ziemi. Wybuch wulkanu Krakatau w 1883 roku spowodował powstanie tsunami o wysokości 45 m, które dotarły do brzegów Indonezji. Liczba
ofiar sięgnęła 36 tys. osób75 .
Oceany są naturalnym środowiskiem, w którym powstają, żyją i zanikają różne typy fal
nieliniowych, których badania są prowadzone przez instytuty naukowe krajów nadmorskich.
W dniu 26 stycznia 2004 roku w wybrzeża południowo-wschodniej Azji uderzyło potężne
tsunami wywołane trzęsieniem dna morskiego. Zginęło około 290 tys. ludzi, a ucierpiało
w przybliżeniu 5 mln.
Więcej w Internecie na m.in. następujących stronach:
http://pl.wikipedia.org/wiki/Tsunami,
http://www.ess.washington.edu/tsunami/index.html,
http://en.wikipedia.org/wiki/2004− Indian− Ocean− earthquake,
http://www.pmel.noaa.gov/tsunami/,
http://www.digitalglobe.com/tsunami− gallery.html,
http://www.asiantsunamivideos.com/.
4. Są pożyteczne do interpretacji grupy fal, jakie powstają na głębokich wodach pod wpływem wiatrów. Stabilne grupy fal, zwane grupowymi solitonami, zawierają od 14 do 20
grzbietów fal, z których najwyższe (tj. najsilniejsze) mają numery od 7 do 9. Jest to znana
marynarzom morskim reguła, zgodnie z którą, najwyższe fale w grupie fal morskich mają
numery od 7 do 9.
5. Mogą być wykorzystywane do przesyłania sygnałów w światłowodach. W 1988 roku
w laboratoriach firmy Bell (USA) skonstruowano solitonowy telegraf.
75
Z godnie z jedną hipotez, wybuch podwodnego wulkanu na Morzu Egejskim, wywołał tsunami, które
zniszczyło Atlantydę.
53