Pomiar pola elektrostatycznego w soczewce kwadrupolowej

Pomiar pola elektrostatycznego w soczewce kwadrupolowej

Laboratorium Podstaw Miernictwa
Andrzej Daniluk
Wiaczesław Szamow
Ćwiczenie M8
POMIAR POLA ELEKTROSTATYCZNEGO W
SOCZEWCE KWADRUPOLOWEJ
opr. tech. Mirosław Maś
Krystyna Ługowska
Uniwersytet Przyrodniczo - Humanistyczny
Siedlce 2012
1. Wstęp
W ćwiczeniu wyznacza się przebieg linii ekwipotencjalnych i linii sił pola
elektrostatycznej soczewki kwadrupolowej. Badane pole elektrostatyczne jest kształtowane
przez dwie pary elektrod hiperbolicznych, zanurzonych symetrycznie w wannie
elektrolitycznej. Jako elektrolit w wannie służy zwykła woda. W skład zestawu
laboratoryjnego wchodzą:
1. generator napięcia zmiennego RC typ PO-18
2. woltomierz lampowy B4-2 z sondą pomiarową
3. wanna elektrolityczna z 4-ma elektrodami i siatką kartezjańska o podziałce milimetrowej
formatu A3
4. przewód koncentryczny z gniazdkami BNC i dwoma wtykami banankowymi i dwa
przewody zwykłe
5. linijka pomiarowa
6. zlewka i denaturat do przemywania wanny.
UWAGA: Do ćwiczenia należy przynieść własny arkusz papieru milimetrowego formatu
A3
Obowiązuje znajomość następujących zagadnień teoretycznych:
pojęcie wektora i skalara, postać kartezjańska wektora
iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy wektorów
prawo Coulomba
wektor natężenia pola elektrycznego
potencjał elektryczny, napięcie
związek między potencjałem i natężeniem pola
linie sił pola i powierzchnie ekwipotencjalne
natężenie i gęstość prądu elektrycznego
prawo Ohma w formie wektorowej, przewodność właściwa
2
2. Pole elektrostatyczne
Pole elektrostatyczne należy do najprostszych i najlepiej poznanych pól wektorowych
w fizyce. Powstaje ono wokół nieruchomych ładunków elektrycznych i zależy od ich
wielkości, znaku i rozmieszczenia. Natężenie pola może zmieniać się od punktu do punktu.
Umieśćmy w dowolnym punkcie P o współrzędnych kartezjańskich (x, y, z) dodatni ładunek
próbny q 0 . Ładunek q 0 powinien być na tyle mały, aby nie zniekształcić obserwowanego
pola elektrostatycznego. Siła F ( P ) z jaką pole działa na ładunek q 0 jest proporcjonalna do
wielkości ładunku q 0 i wielkości pola w badanym punkcie P. Dzieląc siłę przez ładunek
dostajemy wielkość wektorową:

E ( p)

F ( p)
(1)
qo
zwaną wektorem natężenia elektrycznego. Wektor E ( P ) określa wielkość i kierunek pola
elektrostatycznego w punkcie P. Jego jednostką w układzie SI jest [N/C].
Podczas przesuwania ładunku elektrycznego w polu elektrostatycznym wykonuje się
pracę. Praca ta jest proporcjonalna do przesuwanego ładunku elektrycznego i nie zależy od
kształtu drogi łączącej punkty pomiędzy którymi przesuwamy ładunek. Dlatego też każdemu
punktowi pola elektrostatycznego można przyporządkować funkcję skalarną zwaną
potencjałem elektrycznym:
(P)
W (P,
)
(2)
qo
gdzie W ( P , ) oznacza pracę wykonaną przy przeniesieniu ładunku q 0 z punktu P do
nieskończoności. Jednostką potencjału w układzie SI jest wielkość [J/C]=[V] zwana
woltem. Potencjał elektryczny jest określony z dokładnością do stałej addytywnej związanej z
wyborem punktu odniesienia względem którego określamy potencjał. We wzorze (2)
punktem odniesienia jest punkt
. W technice przyjmuje się najczęściej jako punkt
odniesienia ziemię lub obudowę przyrządu.
Oczywiście wektor natężenia elektrycznego E i potencjał elektryczny
są ze sobą
związane, gdy opisują to samo pole elektrostatyczne. Ten związek wyprowadza się
następująco. Przesuńmy ładunek dodatni od punktu o niższym potencjale do punktu o
wyższym potencjale. Przy nieskończenie małym przesunięciu d r wykonamy nieskończenie małą pracę:
dW
q0d
, gdzie dW
3
F dr
q0 E d r
Znak minus pojawia się, bo działamy siłą F przeciwnie do kierunku wektora natężenia E .
Kropka oznacza iloczyn skalarny wektorów. Różniczka zupełna potencjału wyraża się
wzorem:
dx
d
dy
x
dz
y
dr
z
Wielkość wektorową
nazywa się gradientem funkcji , a sam symbol
Składowe gradientu są pochodnymi cząstkowymi 1-go rzędu funkcji:
,
nablą.
,
x
y
z
Gradient stosuje się do analizy pól skalarnych. Kierunek gradientu wskazuje kierunek
maksymalnego wzrostu funkcji. Wartość gradientu określa szybkość wzrostu funkcji w
kierunku jej maksymalnego wzrostu. Przez porównanie różniczek dostajemy związek łączący
wektor natężenia elektrycznego i potencjał elektryczny.

E
(3)
Szczególnie prostym polem elektrycznym jest pole jednorodne, tj. pole którego wektor E ma
wszędzie taki sam kierunek, wartość i zwrot. Pole jednorodne powstaje np. wewnątrz
kondensatora płaskiego (patrz Rys. 2). Pokazać, że wówczas wzór (3), upraszcza się do
postaci:
U
E
(4)
l
gdzie : U – różnica potencjałów między okładkami kondensatora
l - odległość między okładkami.
Jak widać wartość wektora natężenia elektrycznego wygodniej jest zapisywać w jednostkach
[V/m] niż [N/C] (pokaż, że V/m = N/C). Występującą w gradiencie nablę:
,
,
x
y
z
można traktować samodzielnie jako wektorowy operator różniczkowy. Działając formalnie
nablą poprzez iloczyn skalarny 
lub iloczyn wektorowy
na wektor natężenia
elektrycznego otrzymujemy dwie ważne wielkości:

E

E
Ex
Ey
Ez
x
y
z
Ez
Ey
y
z
,
Ex
Ez
z
x
4
,
Ey
Ex
x
y
Wzory te wynikają z postaci kartezjańskiej iloczynu skalarnego a b i iloczynu wektorowego
a
b , w których wektor a zastępujemy operatorem
a wektor b wektorem E . Wielkość

E jest skalarem i nazywa się dywergencją lub źródłowością pola elektrycznego. Można
pokazać, korzystając z elektrycznego prawa Gaussa w formie całkowej, że:

E
gdzie:
(5)
- gęstość objętościowa ładunku elektrycznego
- przenikalność dielektryczna ośrodka, w którym występuje pole
elektryczne
Równanie (5) jest matematycznym zapisem faktu, że pole elektrostatyczne jest polem
źródłowym, a źródłami tego pola są ładunki elektryczne. Istotnie, dywergencja (czyli
źródłowość) wektora E jest różna od zera tylko w punktach, w których znajdują się ładunki.
E 0 bo
W obszarze swobodnym od ładunków
0.

Wielkość
E jest wektorem i nazywa się rotacją lub wirowością pola
elektrostatycznego. Uwzględniając (3) i fakt, że rotacja gradientu jest zawsze zerem

O ) dostajemy:
(

O

E
(6)
Równanie (6) jest prawdziwe w całej przestrzeni, w tym i w miejscach gdzie znajdują się
ładunki. Pola, których rotacja jest wszędzie zerowa nazywamy polami bezwirowymi lub
potencjalnymi, ponieważ dają się wyrazić za pomocą gradientu pewnej funkcji skalarnej
zwanej potencjałem. Równania (5) i (6) są podstawowymi prawami elektrostatyki zapisanymi
w formie różniczkowej. Są one matematyczną formą faktów, że każde pole elektrostatyczne
jest jednocześ- nie i źródłowe i bezwirowe.
3. Powierzchnie ekwipotencjalne i linie sił pola elektrostatycznego
Ścisłe rozwiązywanie równań (5) i (6) jest możliwe tylko dla pól o bardzo prostej
geometrii. Geometrię pól elektrostatycznych ilustruje się rysując ich powierzchnie
ekwipotencjalne i linie sił pola. Takie podejście pozwala uniknąć skomplikowanych
rachunków, gdy wystarcza jakościowy opis problemu. Powierzchnią ekwipotencjalną
nazywamy zbiór wszystkich punktów, w których potencjał pola przyjmuje stałą wielkość:
x, y, z
c
Linia siły pola elektrostatycznego jest to krzywa, która w każdym swoim punkcie jest styczna
do wektora natężenia E . Nietrudno pokazać, że linie siły są prostopadłe do powierzchni
ekwipotencjalnych (patrz Rys 1).
5
Rys 1
Istotnie, ponieważ na powierzchni ekwipotencjalnej potencjał się nie zmienia, to:
d

E dr
0
Przemieszczenie d r jest tu styczne do powierzchni ekwipotencjalnej, a iloczyn skalarny
E d r się zeruje, gdy wektor E jest prostopadły do wektora d r .
Linie sił pola elektrostatycznego, z uwagi na jego źródłowość i bezwirowość, nie mogą być
liniami zamkniętymi i zaczynają się w ładunkach dodatnich a kończą w ładunkach ujemnych.
Linie sił będziemy tu rysować linią ciągłą a linie ekwipotencjalne linią przerywaną.
Przykład 1. W jednorodnym polu elektrostatycznym wektor natężenia elektrycznego ma
wszędzie taki sam kierunek, wartość i zwrot. Takie pole powstaje np. między naładowanymi
okładkami kondensatora płaskiego.
Rys. 2
6
Przykład 2. Pole wokół ładunku punktowego posiada symetrię sferyczną i maleje z
kwadratem odległości od ładunku.
Rys. 3
Na lewym rysunku linie sił rozpoczynają się w ładunku dodatnim, a kończą w
nieskończoności - na prawym rysunku linie pola rozpoczynają się w nieskończoności, a
kończą w ładunku ujemnym .
Przykład 3.
Dipol rzeczywisty to układ dwóch ładunków punktowych +q i –q
umieszczonych dostatecznie blisko siebie.
Rys. 4
Jak widać pole dipola posiada jedną oś symetrii obrotowej i jedną płaszczyznę antysymetrii.
Oprócz ładunków elektrycznych, pole elektrostatyczne mogą formować ciała, których
wypadkowy ładunek jest zerowy. Ich wpływ na pole zależy od geometrii i przewodności tych
ciał. Najsilniej oddziaływają z polem elektrostatycznym obiekty wykonane z metalu tzw.
7
przewodniki. Potencjał przewodnika doskonałego, t.j. przewodnika o nieskończonej
przewodności, jest taki sam w każdym punkcie przewodnika.
Rys. 5
W przeciwnym razie różnica potencjałów wzbudzałaby nieskończenie duży prąd w
przewodniku, a to jest niemożliwe. Zatem powierzchnia przewodnika doskonałego jest
powierzchnią ekwipotencjalną, a wewnątrz przewodnika pole elektrostatyczne znika. Inaczej
mówiąc, przewodnik doskonały całkowicie wypiera pole elektrostatyczne z objętości, którą
on zajmuje. Oczywiście, na zewnątrz linie pola elektrostatycznego są prostopadłe do
powierzchni przewodnika. Podobna sytuacja zachodzi również wtedy, gdy przewodnik
doskonały jest wstępnie naładowany i posiada ładunek wypadkowy. Przewodność elektryczna
metali jest na tyle duża, że można z dobrym przybliżeniem traktować je jako przewodniki
doskonałe.
4. Elektrostatyczna soczewka kwadrupolowa
Soczewki elektrostatyczne to układy przewodników, które głównie służą do sterowania
wiązkami cząstek naładowanych. Najprostszą taką soczewką jest soczewka kwadrupolowa,
która składa się z 4-ech przewodników (elektrod) spolaryzowanych jak na Rys. 6.
Rys. 6
Elektrody soczewki są wzajemnie równoległe, lecz ich przekroje nie muszą być kołowe.
Poniżej ukazano przekrój poprzeczny soczewki kwadrupolowej o elektrodach, których
obwiednie są hiperbolami. Przy w pełni syme- trycznym rozmieszczeniu elektrod pole
elektrostatyczne soczewki kwadrupolowej ma 2 płaszczyzny symetrii i 2 płaszczyzny
8
antysymetrii. Na Rys.7 płaszczyzny symetrii przechodzą przez oś x lub przez oś y odpowiednio, a płaszczyzny antysymetrii przez asymptoty hiperbol. Rzeczywista soczewka
elektrostatyczna posiada skończoną długość (grubość). Niezależnie od długości soczewki
kwadrupolowej pole elektrostatyczne w jej środku 0 ( a ściślej wzdłuż osi soczewki) jest
zerowe.
Rys. 7
Z dobrym przybliżeniem można przyjąć, że w strefie przyosiowej natężenie pola rośnie

proporcjonalnie do odległości od osi soczewki. Kierunek wektora E zmienia się od punktu
do punktu i przykładowo na osi x i y jest jak na Rys. 7. Niech wiązka elektronów biegnie
wzdłuż osi soczewki. Działanie soczewki kwadrupolowej na wiązkę elektronów ukazuje Rys.
8.
Rys. 8.
9
Jak widać, elektrony ogniskują się w płaszczyźnie zawierającej elektrody o polaryzacji
ujemnej. Natomiast w płaszczyźnie zawierające elektrody dodatnio spolaryzowane elektrony
są rozpraszane. Wskutek tego wiązka elektronów o przekroju kołowym po przejściu przez
soczewkę kwadrupolową ma przekrój eliptyczny. Oddziaływanie soczewki na elektrony
zależy od potencjału jej elektrod i czasu przelotu elektronów przez soczewkę. Przy krótkim
oddziaływaniu ogniskowe soczewki kwadrupolowej (o symetrii jak na Rys. 7) w płaszczyźnie
skupiającej i w płaszczyźnie rozpraszającej są równe co do wartości i różnią się tylko
znakiem.
f
p
R
2
L
gdzie :
(7)
- potencjał elektronów wpadających do soczewki
L – długość soczewki
R – odległość elektrod odpowiedniej pary od osi soczewki.
p
Elektrostatyczne soczewki kwadrupolowe stosuje się głównie w mikro- skopach
elektronowych, spektrometrach masowych i w systemach transportu cząstek naładowanych w
akceleratorach. Służą one do formowania i sterowania wiązkami elektronów, protonów i
innych cząstek naładowanych. Nietypowym przykładem zastosowania soczewki
kwadrupolowej jest molekularny zegar amoniakalny. Pomiar czasu opiera się tu o niezwykle
stabilne drgania atomu azotu N w cząsteczce amoniaku NH3. Soczewka kwadrupolowa służy
w zegarze jako separator tj. rozdziela ona wzbudzone i niewzbudzone cząsteczki amoniaku.
5. Układ pomiarowy i przebieg pomiarów
Badaną soczewkę kwadrupolową stanowią 2 pary elektrod o profilu hiperbolicznym,
które symetrycznie rozmieszcza się w wannie elektrolitycznej jak na Rys. 9.
Rys. 9.
Pod przezroczystym dnem wanny powinien być podłożonony arkusz A3 papieru
milimetrowego z narysowanym układem współrzędnych. Jest on potrzebny do określania
położenia punktów, w których mierzymy potencjał pola elektrostaty- cznego soczewki. Przy
rozmieszczeniu elektrod jak na Rys. 9 pole posiada dwie płaszczyzny symetrii i żadnej
płaszczyzny antysymetrii. Płaszczyzny symetrii pola przechodzą przez osie układu
współrzędnych i są prostopadłe do dna wanny. Potencjał punktów pola mierzymy
10
woltomierzem lampowym o dużej oporności wejściowej. Aby jego wskazania były
prawidłowe, oporność właści- wa ośrodka wypełniającego przestrzeń między elektrodami nie
może być zbyt wielka. Dlatego wannę wypełniamy wodą, która jako słaby elektrolit
przewodzi prądy o gęstości powierzchniowej:
j
E
Przewodność właściwa
i głębokość wody powinna być wszędzie taka sama, aby obecność
wody w wannie nie zmieniała rozkładu potencjałów pola soczewki.
a. Kontrola zestawu pomiarowego
Rozpoznaj przyrządy pomiarowe wchodzące w skład zestawu laboratoryjnego. Włącz
woltomierz lampowy, a jego przełącznik zakresów ПРЕДЕЛЫ ustaw w pozycji 15V.
Dotykając sondą pomiarową gniazdko „masa” wyzeruj woltomierz pokrętłem УСТАНОВКА
НУЛЯ.
b. Przygotowanie wykresu
Narysuj układ współrzędnych na środku arkusza A3 papieru milimetrowego. Osie
układu powinny przechodzić przez linie główne podziałki arkusza. Arkusz należy dopasować
nożyczkami do wymiarów dna wanny tak, aby układ współrzędnych na arkuszu pokrył się z
osiami symetrii wanny. Na arkuszu, ułożonym na dnie wanny umieść symetrycznie elektrody
jak na Rys. 9 i następnie odrysuj ich kontury. Przygotowany w ten sposób arkusz służy do
wykreślania krzywych ekwipotencjalnych i linii sił pola soczewki.
c. Przygotowanie układu pomiarowego
Zmierz grubość elektrod i przetrzyj szmatką nasączoną denaturatem dno wanny.
Zanieczyszczenia w wannie elektrolitycznej mogą zmieniać rozkład potencjałów pola. Ułóż
elektrody na dnie wanny i połącz je w pary przewodami z wtykami bananowymi. Przewodem
koncentrycznym połącz lewe gniazdko generatora RC z wanną tak, aby przewód czerwony
zasilał parę elektrod na osi X a przewód biały parę elektrod na osi Y. Pierwszy przewód
doprowadza wyższy potencjał, a drugi potencjał zerowy tj. masę układu. Po wykonaniu
opisanych czynności wypełnij wodą połowę głębokości wanny i wannę wypoziomuj.
UWAGA: Prowadzący zajęcia sprawdza układ pomiarowy i włącza generator RC ustawiając
jego napięcie na 15V.
d. Przebieg pomiarów
Przy pomocy sondy pomiarowej wyznacz położenia punktów o potencjale 7,5V zarówno
w części centralnej jak i narożach wanny. Naszkicuj ołówkiem na przygotowanym arkuszu A3
przebieg obu linii ekwipotencjalnych o potencjale 7,5V. W podobny sposób wyznacz
położenie punktów o potencjałach: 9V, 3V, 2V i 1V. Na końcu zmierz odległości między
elektrodami w każdej parze.
UWAGA: Niektóre styki w wannie elektrolitycznej mogą wadliwie kontaktować, a elektrody
mogą się przemieszczać. Dlatego, co pewien czas należy kontrolować potencjały i położenie
elektrod soczewki.
11
6. Opracowanie wyników
1. Wykreśl na przygotowanym papierze arkuszu A3 różnymi kolorami linie ekwipotencjalne
i linie sił pola elektrostatycznego.
2. Wskaż miejsca, w których pole soczewki jest minimalne i maksymalne. Oszacuj
minimalne i maksymalne natężenie pola, jeśli napięcie między parami elektrod wynosi
15V.
3. Oblicz ogniskowe soczewki w płaszczyźnie skupiającej i rozpraszającej przyjmując, że
potencjał wiązki elektronów p = 100V. Oszacuj błędy popełnione przy wyznaczaniu
wielkości w punktach 2 i 3.
4. Potencjał pola nieskończenie długiej soczewki kwadrupolowej o symetrii jak na Rys. 7
wyraża się wzorem:
( x, y )
R
2
(x
2
2
y )
Stosując wzór (3) pokaż, że wartość natężenia pola takiej soczewki jest dokładnie
proporcjonalna do odległości od osi soczewki.
LITERATURA:
[1] E.M.Purcell, Elektryczność i magnetyzm, PWN, Warszawa 1974,
[2] E.Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów, PWN, Warszawa 1976
[3] H.Szymański, A.Mulak, A.Duda, A.Romanowski, Optyka elektronowa,
WNT, Warszawa 1984.
12