Komputerowa symulacja układów automatycznej regulacji w

Transkrypt

KOMPUTEROWA SYMULACJA
UKŁADÓW AUTOMATYCZNEJ REGULACJI
W ŚRODOWISKU MATLAB/Simulink
Barbara ŁYSAKOWSKA, Grzegorz MZYK
WROCŁAW 2005
Opiniodawcy
Stanisław Bańka
Danuta Rutkowska
Korekta
Alina Kaczak
Opracowanie komputerowe w systemie LaTeX
Grzegorz Mzyk
Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej
Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław
3
Spis rzeczy
1. Wprowadzenie
1.1. Zawartość i struktura podrecznika
˛
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Istota i cele symulacji komputerowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Środowisko programowe MATLAB — podstawy
2.1. Informacje wstepne
˛
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Środowisko pakietu MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Linia poleceń, komunikacja z systemem operacyjnym .
2.2.2. Definiowanie i modyfikacja zmiennych, obszar roboczy
2.2.3. Operacje na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4. Funkcje algebry numerycznej w programie MATLAB .
2.3. Tworzenie i uruchamianie M -skryptów . . . . . . . . . . . . .
2.4. Funkcje pakietu Control System Toolbox . . . . . . . . . . . .
2.5. Nakładka graficzna Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Edytor graficzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Źródła sygnałów (Sources) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3. Rejestratory sygnałów (Sinks) . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4. Elementy i bloki liniowe z czasem ciagłym
˛
(Linear ) . .
2.5.5. Elementy nieliniowe (Nonlinear ) . . . . . . . . . . . .
2.5.6. Systemy z czasem dyskretnym (Discrete) . . . . . . .
2.5.7. Widoczność danych w programie MATLAB . . . . . .
2.6. Korzystanie z funkcji HELP . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3. Charakterystyki czasowe obiektów z czasem ciagłym
˛
3.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Zakres tematyczny ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Liniowe równanie różniczkowe, transformacja Laplace’a . . . .
3.2.2. Opis liniowego systemu dynamicznego z czasem ciagłym
˛
w przestrzeni stanów, systemy wielowymiarowe . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Sterowalność, osiagalność
˛
i obserwowalność . . . . . . . . . . .
3.3. Badania komputerowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Wyznaczanie charakterystyk czasowych . . . . . . . . . . . . .
7
7
8
11
11
11
12
12
13
13
14
15
16
17
20
21
21
22
23
24
24
25
25
26
26
27
29
30
30
4
3.3.2. Identyfikacja parametrów typowych członów liniowych .
3.3.3. Numeryczny rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
3.3.4. Testowanie sterowalności i obserwowalności systemu . .
3.3.5. Przykładowe odpowiedzi skokowe . . . . . . . . . . . . .
3.4. Przykłady praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Ładowanie kondensatora w układach RC i CR . . . . . .
3.4.2. Zbiornik z ciecza˛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3. Termometr jako układ inercyjny pierwszego rzedu
˛
. . .
3.5. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
33
33
33
36
36
38
39
40
4. Systemy o złożonej strukturze i ich stabilność
4.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Zarys tematyczny ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Struktura szeregowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Struktura równoległa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3. Struktura szeregowo-równoległa . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4. Struktura ze sprze˛ żeniem zwrotnym . . . . . . . . . . .
4.2.5. Badanie stabilności systemów ze sprze˛ żeniem zwrotnym
4.2.6. Określanie stabilności systemów za pomoca˛ MATLAB .
4.3. Badania komputerowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Detekcja rzedu
˛ inercyjności . . . . . . . . . . . . . . . .
˛ astatyzmu . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3. Badanie stabilności układów złożonych . . . . . . . . . .
4.3.4. Struktury regulatorów P, PI i PID . . . . . . . . . . . .
4.3.5. Funkcje pakietu MATLAB do budowania struktur . . .
4.4. Przykład praktyczny — wzmacniacz operacyjny . . . . . . . . .
4.5. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
41
42
42
43
44
45
48
51
53
53
54
55
58
59
59
61
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
63
63
63
63
65
66
67
68
68
68
70
70
72
5. Charakterystyki czestotliwościowe
˛
obiektów dynamicznych
5.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Zakres tematyczny ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Odpowiedź systemu liniowego na pobudzenie sinusoidalne
5.2.2. Transmitancja widmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Charakterystyki czestotliwościowe
˛
. . . . . . . . . . . . .
5.2.4. Zapas amplitudy i zapas fazy . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Program ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Komputerowe badanie charakterystyk . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1. Wyznaczanie charakterystyk amplitudowo-fazowych . . .
5.4.2. Wyznaczanie charakterystyk Bodego . . . . . . . . . . . .
5.4.3. Wyznaczanie gestości
˛
widmowej mocy sygnału . . . . . .
5.5. Przykład praktyczny — głowica radiowa . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
6. Liniowe układy automatycznej regulacji z czasem ciagłym
˛
6.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Własności UAR w stanie ustalonym . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2. Program ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3. Badania komputerowe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Kryteria jakości regulacji — dobór nastaw . . . . . . . . . . .
6.3.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2. Program ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3. Badania komputerowe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4. Przybliżona analiza układów nieliniowych . . . . . . .
6.4. Przykłady praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1. Sterowanie reczne
˛
napełnianiem zbiornika . . . . . . .
6.4.2. Układ Automatycznej Regulacji Czestotliwości
˛
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
75
75
78
78
82
87
93
93
97
99
102
108
108
109
7. Układy automatyki z czasem dyskretnym
7.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1. Równanie różnicowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2. Transformacja Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3. Transmitancja systemu z czasem dyskretnym . . . . . . . . . .
7.1.4. Transmitancja widmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.5. Standardowe pobudzenia dyskretne . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.6. Stabilność układów z czasem dyskretnym . . . . . . . . . . . .
7.1.7. Ekstrapolator i impulsator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.8. System pobudzany procesem losowym . . . . . . . . . . . . . .
7.1.9. Identyfikacja liniowych systemów dynamicznych z czasem dyskretnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Program ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Badania komputerowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1. Wyznaczanie odpowiedzi impulsowych, transformacja Z . . . .
7.3.2. Identyfikacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3. Przykładowe wyniki symulacji komputerowej . . . . . . . . . .
7.3.4. Badanie stabilności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.5. Systemy złożone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.6. Analiza korelacyjna procesu wyjściowego . . . . . . . . . . . . .
7.4. Przykład praktyczny — filtracja dźwieku
˛
. . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
111
111
112
113
114
114
115
117
118
Literatura
131
Indeks
133
119
123
124
124
124
126
126
126
129
129
129
6
7
1. Wprowadzenie
1.1. Zawartość i struktura podrecznika
˛
Podrecznik
˛
jest adresowany do osób studiujacych
˛
na kierunkach politechnicznych zwiazanych
˛
z automatyka˛ i robotyka,
˛ elektronika˛ i telekomunikacja˛
oraz informatyka.
˛ Od czytelnika wymaga sie˛ znajomości podstaw automatyki
w zakresie: transformacji Laplace’a, charakterystyk czasowych i czestotliwo˛
ściowych liniowych członów dynamicznych, kryteriów stabilności systemów
liniowych, analizy układów ze sprze˛ żeniem zwrotnym, właściwości układów
regulacji typu P, PI i PID, a także transformacji Z oraz opisu i analizy systemów z czasem dyskretnym. W celu uzupełnienia wiedzy teoretycznej ze
wskazanego zakresu, szczególnie polecana jest monografia [5]. Celem podrecz˛
nika jest pomoc w rozwinieciu
˛
umiejetności
˛
w zakresie zastosowania teoretycznych podstaw automatyki w zagadnieniach praktycznych przez komputerowa˛
symulacje˛ wybranych procesów dynamicznych. Aby rozważania nie były prowadzone w oderwaniu od zjawisk rzeczywistych, zagadnienia teoretyczne sa˛
przeplatane mniej formalnymi przykładami zastosowania teorii systemów liniowych.
Ksia˛żka składa sie˛ z sześciu rozdziałów. Każdy z nich może być traktowany jako materiał dydaktyczny do jednego lub kilku ćwiczeń komputerowych
(laboratoryjnych).
Rozdział 2 jest krótkim kursem obsługi środowiska programowego
MATLAB, w zakresie analizy, symulacji i graficznej reprezentacji prostych systemów automatyki. Pakiet ten wybrano ze wzgledu
˛ na prostote˛ obsługi oraz
powszechne zastosowanie w inżynierskich badaniach Układów Automatycznej
Regulacji (UAR). Rozdziały 3—6 poświecone
˛
sa˛ analizie systemów liniowych
z czasem ciagłym,
˛
badaniu charakterystyk, analizie stabilności, nastawianiu
regulatorów. Rozdział 7 dotyczy opisu i analizy stabilności liniowych prostych
i złożonych systemów z czasem dyskretnym. Rozpatruje sie˛ także zagadnienie
8
1. Wprowadzenie
przejścia procesu losowego przez liniowy system dynamiczny oraz identyfikacje˛
jego parametrów metoda˛ najmniejszych kwadratów. Materiał do każdego ćwiczenia rozpoczyna sie˛ od obszernego wstepu
˛
teoretycznego. Nastepnie
˛
przedstawiony jest plan badań, sposób ich realizacji komputerowej i przykładowe
wyniki eksperymentów. Podane sa˛ również ćwiczenia symulacyjne i obliczeniowe oraz proste przykłady praktyczne z różnych dziedzin, np. fizyki, elektroniki, mechaniki.
Autorzy pragna˛ serdecznie podziekować
˛
Panu prof. dr hab. inż. Zygmuntowi Hasiewiczowi, autorowi pierwszego zestawu ćwiczeń laboratoryjnych
z Podstaw Automatyki, na bazie którego mogli rozwinać
˛ i udoskonalić ich
zakres tematyczny, wprowadzajac
˛ jednocześnie komputerowa˛ implementacje˛
w środowisku MATLAB.
1.2. Istota i cele symulacji komputerowej
W celu podkreślenia znaczenia symulacji komputerowej rzeczywistych zjawisk dynamicznych omówiono kolejne fazy projektowania układu automatycznej regulacji na przykładzie sterowania poziomem wody w jeziorze. Pierwszym
krokiem jest zdefiniowanie obiektu sterowania i ustalenie sygnału wyjściowego
y(t) obiektu, jako celu sterowania, czyli takiej jego cechy fizycznej, która˛ należy sterować. Określa sie˛ również sygnał wejściowy u(t) — wielkość fizyczna˛
majac
˛ a˛ zasadniczy wpływ na y(t), np. obiekt — jezioro z zapora˛ na rzece,
y(t) — poziom wody w jeziorze w chwili t, u(t) — położenie zasuwy w zaporze
w chwili t.
z (t )
u (t )
OBIEKT
y (t )
Rys. 1.1. Graficzna reprezentacja obiektu regulacji
Na obiekt oddziałuja˛ również inne wielkości z(t) — zwane zakłóceniami,
trudne lub zbyt kosztowne w analizie, czesto
˛
o charakterze przypadkowym
(np. opady deszczu, parowanie). Dla obiektu z rysunku 1.1 poszukuje sie˛
możliwie najlepszej formuły matematycznej F (wzoru, funkcjonału) opisujacej
˛
zależność y(t) od u(t)
y(t) ≈ F(u(t − τ )), gdzie τ = 0, ..., ∞
1.2. Istota i cele symulacji komputerowej
9
Tabela 1.1. Wyniki do rankingu
Liczba dni: τ
Liczba punktów zawodnika A: uA
Liczba punktów zawodnika B: uB
7
1
1
14
2
1
21
1
2
Obiekt identyfikuje sie,
˛ korzystajac
˛ z teoretycznych praw fizyki oraz zgromadzonych eksperymentalnie wartości pomiarów u(t) i y(t). W pracy ograniczamy sie˛ do obiektów liniowych (spełniajacych
˛
zasade˛ superpozycji), działajacych
˛
bez zakłóceń z(t).
Zasada superpozycji mówi, że w systemie liniowym odpowiedź na sume˛
dwóch dowolnych pobudzeń jest zawsze taka sama, jak suma odpowiedzi na
każde z tych pobudzeń z osobna, tzn. jeżeli system liniowy przetwarza
u1 (t) → y1 (t) oraz u2 (t) → y2 (t), to u1 (t) + u2 (t) → y1 (t) + y2 (t).
Rt
Przykładowo, system całkujacy
˛ sygnał wejściowy: y(t) = 0 u(t)dt jest liniowy
(liniowość całki) i dynamiczny (wyjście zależy od historii wejścia), system natomiast opisany równaniem y(t) = |u(t)| jest nieliniowy (kontrprzykład: dla
u1 (t) = 1(t) i u2 (t) = −1(t), |u1 (t) + u2 (t)| = 0, a |u1 (t)| + |u2 (t)| = 2 · 1(t))
i statyczny. W systemach liniowych F jest splotem sygnału wejściowego u(t)
z pewna˛ funkcja˛ wagowa˛ k(t) — charakterystyka˛ czasowa˛ obiektu, która˛ w toku
dalszych rozważań nad opisem układów automatyki nazwiemy odpowiedzia˛
impulsowa˛
Z ∞
u(t − τ )k(τ )dτ .
y(t) =
0
Splot jest pojeciem
˛
kluczowym, a jego zrozumienie jest niezbedne
˛
w dalszych badaniach. Wytłumaczymy jego dyskretna˛ wersje˛ na podstawie prostego systemu rankingu zawodników sportowych. Celem jest określenie, który
z dwóch zawodników (A czy B) jest aktualnie w lepszej formie, na podstawie ostatnio zdobytych wyników w zawodach. W tym celu ustala sie˛ pewna˛
funkcje˛ wagowa˛ k(τ ), preferujac
˛ a˛ ostatnio zdobyte wyniki, np. k(τ ) = τ1 ,
gdzie τ oznacza liczbe˛ (całkowita)
˛ dni, które upłyneły
˛ od zdobycia punktów
przez danego zawodnika. Nastepnie
˛
dla każdego zawodnika splata sie˛ procesy
zdobytych przez nich punktów uA i uB (patrz tabela) z wagami k(τ ), tzn.
yA = 1 ·
1
1
1
+2·
+1· ,
7
14
21
yB = 1 ·
1
1
1
+1·
+2· .
7
14
21
Ponieważ yA > yB , przyjmuje sie,
˛ że zawodnik A jest aktualnie lepszy.
10
1. Wprowadzenie
u(t)
MODEL
OBIEKTU
y(t )
-
ε (t)
A
yzad
Rys. 1.2. Symulowany Układ Automatycznej Regulacji (UAR)
Celem identyfikacji jest znalezienie charakterystyki k(τ ) obiektu. Dalsze
badania prowadzi sie˛ nie na obiekcie rzeczywistym, lecz na modelu komputerowym otrzymanym w wyniku identyfikacji. Umożliwia to obniżenie kosztów,
podnosi poziom bezpieczeństwa, przyspiesza badania. Sterowanie w układzie
zamknietym
˛
ma na celu takie ustawianie wejścia obiektu u(t), aby jego wyjście
y(t) możliwie szybko i dokładnie przyjmowało żadan
˛
a˛ przez nas wartość yzad .
Regulacja automatyczna polega na wprowadzeniu elementu realizujacego
˛
algorytm A, który na podstawie różnicy ε(t) = yzad − y(t) wyznaczy odpowiednie
sterowanie u(t) (tzw. sygnał regulacji). Element realizujacy
˛ algorytm sterowania A bedziemy
˛
nazywać regulatorem, a cały zamkniety
˛ układ — Układem
Automatycznej Regulacji (UAR). Wszystkie kolejne etapy wdrożenia stanowia˛ całościowy proces symulacji komputerowej UAR, za pomoca˛ przydatnego
w obliczeniach technicznych środowiska MATLAB. Układ Automatycznej Regulacji nazywamy liniowym, gdy zarówno obiekt, jak i regulator sa˛ liniowe.
Ostatni etap projektu (wdrożenie) wia˛że sie˛ z zainstalowaniem czujników,
przetworników, odpowiednio zaprogramowanych sterowników mikroprocesorowych i elementów wykonawczych (np. siłowników) na rzeczywistym obiekcie.
11
2. Środowisko programowe
MATLAB — podstawy
2.1. Informacje wstepne
˛
Niniejszy rozdział jest wprowadzeniem do programu MATLAB, w zakresie
potrzebnym do symulacji liniowych systemów dynamicznych z czasem ciagłym
˛
i z czasem dyskretnym. Jest niezbedn
˛ a˛ instrukcja,
˛ umożliwiajac
˛ a˛ przeprowadzenie ćwiczeń laboratoryjnych z zakresu teoretycznych podstaw automatyki
na uczelniach technicznych. Proponowany plan ćwiczeń oraz dodatkowe informacje sa˛ udostepnione
˛
na stronie WWW http://diuna.ict.pwr.wroc.pl/grmz.
Zakłada sie˛ nastepuj
˛ ace
˛ minimalne wymagania dotyczace
˛ sprzetu
˛ i oprogramowania komputerowego:
• pamieć
˛ RAM: 64 MB lub wieksza;
˛
• system operacyjny: Windows 95/98 lub nowszy;
• zainstalowany MATLAB w wersji 5.2 (lub nowszej), z pakietem Control
System Toolbox oraz nakładka˛ graficzna˛ Simulink.
Działanie wszystkich symulacji i skryptów zostało także przetestowane
w programie MATLAB w wersji 6.5.
2.2. Środowisko pakietu MATLAB
Pełna instalacja programu MATLAB (łacznie
˛
z Control System Toolbox
i Simulink ) znajduje sie˛ w folderze c:\matlab i zajmuje około 400 MB pamieci
˛
dyskowej dla wersji 5.2 oraz około 1 GB dla wersji 6.5. Plikiem uruchomieniowym jest c:\matlab\bin\matlab.exe (ikona na pulpicie).
12
2.2.1. Linia poleceń, komunikacja z systemem operacyjnym
Uruchomienie c:\matlab\bin\matlab.exe powoduje otwarcie okna z linia˛
poleceń (ang. command line), pokazanego na rysunku 2.1. Każde polecenie jest wykonywane po jego wpisaniu za znakiem zachety
˛ >> i naciśnieciu
˛
klawisza ENTER.
Rys. 2.1. Okno poleceń
Do przykładowych poleceń należa:
˛
pwd — wyświetla aktualny katalog (ang. print working directory);
cd nowykat — zmienia bieżacy
˛ katalog na nowykat;
who — wyświetla liste˛ wszystkich zmiennych zdefiniowanych w przestrzeni
roboczej;
clear — czyści przestrzeń robocza˛ (wartości i etykiety wszystkich zmiennych
zostaja˛ wykasowane).
Przestrzeń robocza˛ (wszystkie zmienne i ich wartości, ang. WorkSpace)
można zapisać w pliku z rozszerzeniem *.mat, wydajac
˛ z menu /File polecenie /SaveWorkspaceAs. Analogicznie, możliwe jest otwarcie zapamietanego
˛
środowiska poprzez wydanie polecenia /File/LoadWorkspace.
2.2.2. Definiowanie i modyfikacja zmiennych, obszar roboczy
Zdefiniowanie nowej zmiennej, lub modyfikacja już istniejacej
˛
nastepuje
˛
przez proste przypisanie jej wartości, np. polecenie
x = 8; — definiuje zmienna˛ o nazwie x (jeśli wcześniej taka nie istniała)
i nadaje jej wartość 8, średnik na końcu wyłacza
˛
tzw. echo.
Aktualna˛ wartość zmiennej można odczytać wpisujac
˛ jej nazw˛e (bez średnika), czyli polecenie
x — powoduje wyświetlenie wartości 8.
Dla skalarów dostepne
˛
sa˛ operatory: *, /, +, — i ^(potegowanie).
˛
2.2. Środowisko pakietu MATLAB
13
2.2.3. Operacje na macierzach
Należy mieć świadomość, że środowisko MATLAB (skrót od ang. Matrix
Laboratory) w całości jest oparty na macierzach. Wszelkie sygnały (ich dyskretne odpowiedniki) sa˛ przechowywane właśnie jako macierze (ewentualnie
wektory jako macierze jednokolumnowe). Macierz definiuje sie˛ korzystajac
˛
z nawiasów kwadratowych [ ], znaku przecinka lub spacji, jako separatora elementów w danym wierszu oraz·średnika
¸ jako separatora wierszy, np. polecenie
1 2
definiujace
˛ macierz A postaci
wyglada
˛ nastepuj
˛ aco
˛
3 4
A=[1,2;3,4]
Do poszczególnych elementów macierzy odwołujemy sie˛ przez nawiasy okra˛
głe, np.
A(i,j)— oznacza element w i-tym wierszu i j-tej kolumnie macierzy A, może
on stanowić tzw. lvalue, czyli oprócz wyświetlenia zawartości komórki macierzy dopuszczalne jest przypisanie jej określonej wartości, np.
A(1,2)=8
Macierz można także definiować blokami, np. polecenie
B=[A,A]
·
¸
1 2 1 2
utworzy macierz B postaci
.
3 4 3 4
Sekwencje uporzadkowane
˛
(np. kolejne elementy ciagu
˛ arytmetycznego)
uzyskuje sie˛ przez konwencje˛ zapisu£ wyrażenia macierzowego
min:[krok]:max,
¤
np. symbol 1:3:10 oznacza wektor 1 4 7 10 , a polecenie
·
¸
1 2 3
C=[1:3;1:2:5] — definiuje macierz C postaci
.
1 3 5
W rozumieniu operacji macierzowych według Cauchy’ego dostepne
˛
sa˛ operatory *, +, — oraz ^. Natomiast mnożenie i dzielenie tablic (ang. array) wykonuje sie˛ z użyciem operatorów tablicowych .* (kropka-gwiazdka) i ./ (kropkaslash).
2.2.4. Funkcje algebry numerycznej w programie MATLAB
Przedstawiono nazwy najcześciej
˛
używanych procedur numerycznej algebry liniowej:
eye(n) — definiowanie macierzy jednostkowej o rozmiarach n × n;
zeros(n,m) — definiowanie macierzy zerowej o rozmiarach n × m;
ones(n,m) — definiowanie macierzy o rozmiarach n × m zbudowanej z samych jedynek;
14
det(A) — obliczanie wyznacznika macierzy kwadratowej A;
inv (A) — wyznaczanie macierzy odwrotnej do A: A−1 ; równoważna postać
polecenia to: A^(-1);
trace(A) — obliczanie śladu macierzy A (sumy elementów na głównej przekatnej);
˛
lu(A) — wyznaczanie rozkładu LU (na iloczyn dwóch macierzy trójkatnych)
˛
macierzy A;
chol (A) — wyznaczanie rozkładu Cholesky’ego macierzy A (patrz np. [9]);
svd (A) — wyznaczanie rozkładu wzgledem
˛
wartości szczególnych macierzy
A (tzw. rozkład SVD, [9]);
eig(A) — wyznaczanie wartości własnych macierzy A;
rand(n,m) — generacja macierzy losowej o rozmiarach n × m i elementach
z rozkładu jednostajnego U [0, 1];
randn(n,m) — generacja macierzy losowej o rozmiarach n × m i elementach
z rozkładu normalnego N (0, 1);
plot() — rysowanie wykresów na płaszczyźnie;
plot3 () — rysowanie wykresów trójwymiarowych;
stem() — rysowanie przebiegów z czasem dyskretnym;
roots() — numeryczne znajdowanie pierwiastków wielomianu;
residue() — rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste;
rlocus() — znajdowanie pierwiastków układu zamknietego.
˛
2.3. Tworzenie i uruchamianie M -skryptów
Ciag
˛ poleceń programu MATLAB można umieścić w osobnym pliku tekstowym (skrypcie) z rozszerzeniem *.m. W tym celu należy wybrać z menu
/File polecenie /New/M-file, co spowoduje otwarcie okna edytora pokazanego
na rysunku 2.2. Dostepne
˛
sa˛ oczywiście instrukcje warunkowe (if ...) oraz
iteracyjne (while, for ). Przykładowy skrypt może mieć postać:
%Sekwencyjne wypełnienie wektora liczbami losowymi
for i=1:10
W(i)=i^2
end
Znak % służy do wstawiania komentarzy. Uruchomienie skryptu polega na
wybraniu z menu edytora /Tools, polecenia /Run. Gdy istnieje plik z rozszerzeniem *.mdl o tej samej nazwie, wówczas nastepuje
˛
jego otwarcie. Możliwe
jest również uruchomienie przez wpisanie nazwy M-skryptu w linii poleceń
MATLAB. Wymaga to ustawienia odpowiedniej ścieżki dostepu
˛
do zbioru
2.4. Funkcje pakietu Control System Toolbox
15
Rys. 2.2. Edytor skryptów tekstowych
dyskowego. Można to uczynić na dwa sposoby: korzystajac
˛ z polecenia cd,
lub zapisujac
˛ ścieżk˛e w zbiorze dostepnych
˛
lokalizacji (menu /File/SetPath).
2.4. Funkcje pakietu Control System Toolbox
Specjalistyczne zestawy dodatkowych funkcji systemu MATLAB umieszczone sa˛ w tzw. Toolbox -ach (ang. pudełka z narzedziami,
˛
nazywane przybornikami) sa˛ dodatkowymi, specjalistycznymi zestawami funkcji MATLAB a. Niektóre z nich nie sa˛ zawarte w licencji podstawowej oprogramowania i należy je
zakupić. Pakiet Control System Toolbox to dodatkowy, tematyczny przybornik
funkcji, dotyczacy
˛ analizy i sterowania systemów dynamicznych. Jego obsługa
nie wymaga żadnych dodatkowych umiejetności
˛
od użytkownika w zakresie obsługi oprogramowania. Definiowanie systemu liniowego, którego transmitancja
jest funkcja˛ wymierna˛ zmiennej zespolonej s, opiera sie˛ na utworzeniu dwóch
wektorów wierszowych, zawierajacych
˛
odpowiednio współczynniki wielomianu
licznika i mianownika transmitancji. Definicje˛ rozpoczyna sie˛ od wpółczynnika przy najwyższej potedze
˛
do wyrazu wolnego, np. systemowi całkujacemu
˛
o transmitancji 1/s odpowiadaja˛ wektory [1] (licznik) i [1, 0] (mianownik).
Odsyłamy także do wzoru (3.10). Istnieje zestaw funkcji, które, na podstawie
wspomnianych wektorów, komputerowo symuluja˛ działanie systemu. Przykładem może być funkcja tf () (ang. transfer function — funkcja przejścia). Do
najcześciej
˛
wykorzystywanych funkcji zawartych w pakiecie Control System
Toolbox należa:
˛
bode(sys) — wyznaczanie charakterystyk Bodego systemu sys;
feedback (sys1,sys2 ) — tworzenie systemu złożonego (sys1 z ujemnym (domyślnie) sprze˛ żeniem zwrotnym sys2 );
16
freqresp(sys,w ) — wyznaczanie odpowiedzi systemu sys w dziedzinie czesto˛
tliwości (Re(K(jω)),Im(K(jω))) dla wartości pulsacji zadanych w wektorze w ;
gensig(typ,okres) — generacja standardowych sygnałów, np. dla ustawień
typ=’sin’, okres=1 — funkcja generuje fale˛ sinusoidalna˛ o okresie 1s;
impulse(sys) — wyznaczanie odpowiedzi impulsowej systemu sys;
kalman() — projektowanie filtru Kalmana;
lsim(sys,u,t) — symulacja liniowego systemu sys przy dowolnym pobudzeniu zawartym w wektorze u, (t — wektor czasu);
ltiview (typ,sys) — wykreślanie charakterystyki typu typ (np. ’step’, ’impulse’, ’nyquist’ ) systemu sys;
parallel (sys1,sys2 ) — połaczenie
˛
równoległe systemów sys1 i sys2 ;
step(sys) — wyznaczanie odpowiedzi systemu sys na skok jednostkowy;
series(sys1,sys2 ) — połaczenie
˛
szeregowe systemów sys1 i sys2 ;
ss(A,B,C,D) — tworzenie systemu liniowego na podstawie opisu w przestrzeni stanów (ang. state space): x0 = Ax + Bu, y = Cx + Du;
ss2tf (L,M ) — konwersja w kierunku odwrotnym do funkcji ss();
tf (L,M ) — tworzenie systemu na podstawie wektorów współczynników transmitancji, licznika L i mianownika M transmitancji operatorowej K(s);
rlocus(L,M ) — przedstawienie na płaszczyźnie (Re K(jω), Im K(jω)) pierwiastków układu zamknietego.
˛
Inne ważne polecenia MATLAB bed
˛ a˛ sukcesywnie podawane wraz z koniecznościa˛ ich zastosowania w kolejnych M -plikach w dalszych rozdziałach
podrecznika.
˛
2.5. Nakładka graficzna Simulink
Nakładka Simulink ułatwia tworzenie schematów graficznych połaczeń
˛
modeli i ich reprezentacji graficznych oraz zwalnia użytkownika w znacznym stopniu ze znajomości składni funkcji pakietu Control System Toolbox. Uruchomienie nakładki odbywa sie˛ poleceniem simulink, co powoduje otwarcie okna
zawierajacego
˛
zbiór przyborników (rys. 2.3). Oprócz niego otwiera sie˛ także
„czyste” okno edytora graficznego modeli (rys. 2.4).
Dostepne
˛
w Simulink u modele graficzne sa˛ pogrupowane nastepuj
˛ aco:
˛
• Sources — modele źródeł sygnałów (generatory);
• Sinks — modele odbiorników sygnałów i urzadzeń
˛
pomiarowych (rejestratorów);
• Discrete — modele liniowych obiektów dynamicznych z czasem dyskretnym;
17
Rys. 2.3. Przyborniki nakładki graficznej Simulink
• Linear — modele liniowych obiektów dynamicznych z czasem ciagłym;
˛
• Nonlinear — statyczne elementy o charakterystykach nieliniowych
(również z histereza);
˛
• Connections — bloki wspomagajace
˛ konstruowanie skomplikowanych
struktur połaczeń;
˛
• Blocksets&Toolboxes — dodatkowe bloki i biblioteki, ich zawartość zależy
od zainstalowanej wersji programu.
2.5.1. Edytor graficzny
Budowa graficznych schematów blokowych odbywa sie˛ na zasadzie „przeciagania
˛
myszka”
˛ bloków z zasobników do okna edytora graficznego (rys. 2.4).
Schemat (zbiór odpowiednio połaczonych
˛
generatorów, modeli obiektów i re-
Rys. 2.4. Graficzny edytor modeli (schematów blokowych symulacji)
18
jestratorów) można zapisać w pliku z rozszerzeniem *.mdl. Połaczenia
˛
mie˛
dzy poszczególnymi blokami nastepuj
˛ a˛ również przez „przeciaganie”.
˛
Wezły
˛
połaczeniowe
˛
uzyskujemy, przytrzymujac
˛ klawisz Ctrl. Symulacje˛ gotowego
modelu dynamicznego uruchamia sie˛ poleceniem Ctrl+T (/Start w menu /Simulation). Okno ustawień parametrów symulacji (rys. 2.5) wywołuje sie˛ poleceniem Ctrl+E (/Parameters w menu /Simulation).
Rys. 2.5. Parametry symulacji komputerowej
Właściwości i parametry elementów zawartych w schemacie zmienia sie˛
po dwukrotnym kliknieciu
˛
na poszczególne obiekty schematu symulacji (patrz
przykłady na rys. 2.6—2.8).
Na rysunku 2.6 przedstawiono okno ustawień parametrów sygnału skokowego. Znaczenie ustawień jest nastepuj
˛ ace:
˛
• Step time = 1 — moment, w którym nastepuje
˛
skok wartości wyjściowej
bloku Step;
• Initial value = 0 — wartość poczatkowa
˛
(przed skokiem);
• F inal value = 1 — wartość końcowa (po skoku).
Takie ustawienia powoduja˛ zatem symulacje˛ sygnału wejściowego typu
1(t − 1), tzn. skoku jednostkowego z opóźnieniem τ = 1.
Na rysunku 2.7 parametrami sa˛ współczynniki wielomianów licznika
i mianownika transmitancji symulowanego systemu z czasem ciagłym:
˛
19
Rys. 2.6. Właściwości bloku źródłowego sygnału skoku jednostkowego STEP
Rys. 2.7. Właściwości bloku liniowego Transfer Function
• N umerator = [1] — licznik transmitancji, o postaci: 1;
• Denominator = [1 2] — mianownik transmitancji, o postaci: s + 2.
Sygnał wyjściowy obiektu trafia do bloku typu TO FILE (rys. 2.8),
w którym:
• F ilename — oznacza nazw˛e pliku dyskowego, do którego zostanie on
skierowany;
• V ariable name — nazwa zmiennej, za pomoca˛ której bedzie
˛
on w danym
pliku identyfikowany;
• Sample time — czas próbkowania (−1: ustawienie domyślne).
Zmienne zawarte w tym zbiorze (*.mat) można potem załadować do obszaru roboczego środowiska MATLAB (patrz punkt 2.2.1.).
20
Rys. 2.8. Właściwości rejestratora To File
2.5.2. Źródła sygnałów (Sources)
Ze wzgledu
˛ na ćwiczenia laboratoryjne z podstaw automatyki najbardziej
przydatne sa˛ nastepuj
˛ ace
˛ bloki generujace
˛ sygnały (rys. 2.9):
Rys. 2.9. Bloki generujace
˛ sygnały wejściowe
21
pulse — impulsy Diraca [5];
step — skok jednostkowy;
ramp — sygnał liniowo narastajacy;
˛
sine wave — sinusoida o stałej amplitudzie i czestotliwości;
˛
from file — sygnał (wektor) zawarty w wyspecyfikowanym pliku;
random number — generator liczb pseudolosowych;
from workspace — źródło danych oparte na zmiennej obszaru roboczego.
2.5.3. Rejestratory sygnałów (Sinks)
Wśród bloków rejestrujacych
˛
(rys. 2.10) wykorzystywać bedziemy
˛
nastepu˛
jace:
˛
scope — rejestrator jednowymiarowy (w dziedzinie czasu);
xy graph — rejestrator dwuwymiarowy na płaszczyźnie XY;
display — urzadzenie
˛
pomiarowe z wyświetlaczem cyfrowym;
to file — zapis do pliku dyskowego;
to workspace — zapis do nazwanej zmiennej w przestrzeni roboczej.
Rys. 2.10. Bloki odbiorcze — rejestrujace
˛ sygnały
2.5.4. Elementy i bloki liniowe z czasem ciagłym
˛
(Linear)
Spośród modeli zasobnika Linear (rys. 2.11), podstawowym układem automatyki jest blok Tranfer Function opisany już szczegółowo w punkcie 2.5.1,
a także bloki:
22
Gain — wzmacniacz liniowy (bezinercyjny), którego parametrem jest wzmocnienie;
Sum — w˛ezeł sumacyjny o dowolnej liczbie wejść i dowolnej kombinacji
znaków (np. ustawienie + + +− oznacza sumator czterowejściowy z jednym
wejściem ujemnym (negatywnym));
Integrator — idealny (bezinercyjny) element całkujacy
˛ o transmitancji 1/s,
(przypadek szczególny bloku Transfer Fcn);
State-Space — system liniowy o opisie w przestrzeni stanów;
Derivative — idealny element różniczkujacy
˛ (o transmitancji s).
Rys. 2.11. Modele liniowe z czasem ciagłym
˛
2.5.5. Elementy nieliniowe (Nonlinear)
Mimo że podrecznik
˛
opisuje systemy liniowe, to jednak ich analiza komputerowa może w pewnych wypadkach wymagać znajomości bloków o charakterystyce nieliniowej (np. technika kreślenia charakterystyk czestotliwościowych,
˛
obiekty liniowe z regulatorami typu przekaźnik dwupołożeniowy). W szczególności zasobnik Nonlinear (rys. 2.12) zawiera nastepuj
˛ ace
˛ bloki:
Transport Delay — opóźnienie w dziedzinie czasu, z możliwościa˛ ustawienia
warunku poczatkowego;
˛
23
Fcn — realizacja dowolnej formuły matematycznej (domyślna nazwa sygnału wejściowego: u);
Matlab Fcn — realizacja dowolnej funkcji (skryptu) MATLAB a.
Rys. 2.12. Modele nieliniowe
2.5.6. Systemy z czasem dyskretnym (Discrete)
Na rysunku 2.13 przedstawiono dostepne
˛
symulatory obiektów z czasem
dyskretnym. Wśród nich należy wyróżnić:
Unit Delay — dyskretny element opóźniajacy;
˛
Discrete-Time Integrator — dyskretny element całkujacy;
˛
Discrete Filter — liniowy filtr autoregresyjny;
Discrete Transfer Fcn — element opisany za pomoca˛ dowolnej transmitancji
dyskretnej.
24
Rys. 2.13. Modele z czasem dyskretnym
2.5.7. Widoczność danych w programie MATLAB
Wartości wszystkich zmiennych załadowanych do środowiska MATLAB sa˛
widoczne w Simulink u, wartości zaś wszystkich zmiennych Simulink a sa˛ widoczne w oknie ścieżki poleceń MATLAB.
2.6. Korzystanie z funkcji HELP
W przypadku nieznajomości działania instrukcji, można uzyskać pomoc,
przez wydanie w oknie głównym MATLAB polecenia help nazwa_funkcji lub
korzystać z lokalnych zbiorów w formacie HTML, wybierajac
˛ polecenie /HelpDesk z menu /Help.
25
3. Charakterystyki czasowe
obiektów z czasem ciagłym
˛
3.1. Wprowadzenie
W ćwiczeniu bada sie˛ odpowiedzi czasowe typowych pojedynczych lub szeregowo połaczonych,
˛
liniowych układów dynamicznych z czasem ciagłym,
˛
na
standardowe pobudzenia typu: funkcja impulsowa (wywodzaca
˛ sie˛ z impulsu
Diraca), skok jednostkowy i sinusoida. Dla ustalonego typu funkcji wejścia
(np. funkcji impulsowej) należy wyznaczyć odpowiedzi dla układów o transmitancjach ogólnej postaci
K(s) =
L(s)
,
M (s)
(3.1)
gdzie licznik i mianownik sa˛ wielomianami zmiennej zespolonej s = α + jβ
o stopniach odpowiednio l i m (zakłada sie,
˛ że l 6 m)
L(s) = bl sl + ... + b1 s + b0 , M (s) = am sm + ... + a1 s + a0 .
Taki iloraz dwóch wielomianów nazywa sie˛ funkcja˛ wymierna˛ zmiennej s. Wyznaczenie odpowiedzi impulsowej bedzie
˛
polegało na rozkładzie Y (s) na sume˛
ułamków prostych i obliczeniu odwrotnej transformaty Laplace’a. Otrzymane
wyniki należy porównać z uzyskanymi z użyciem pakietu MATLAB, a wyznaczone odpowiedzi impulsowe k(t), odpowiadajace
˛ różnym K(s) — zilustrować
graficznie. Na podstawie wykresów szacuje sie˛ założone w symulacji komputerowej parametry (zakładajac
˛ ich nieznajomość), takie jak: stałe czasowe
T , wzmocnienia k, opóźnienia τ , wartości pulsacji ω itp. Dla wejścia typu
u(t) = sin ωt można wyznaczyć wzmocnienie amplitudy i przesuniecie
˛
fazowe
w stanie ustalonym. Wyniki badań komputerowych porównuje sie˛ z wynikami
analizy teoretycznej.
26
˛
3.2. Zakres tematyczny ćwiczenia
3.2.1. Liniowe równanie różniczkowe, transformacja Laplace’a
Jak powiedziano we wprowadzeniu, system liniowy splata sygnał wejściowy
z funkcja˛ wagowa˛ k(t) (odpowiedzia˛ impulsowa).
˛ Jest ona odpowiedzia˛ na impuls Diraca, przy zerowych warunkach poczatkowych.
˛
Funkcja k(t) w pełni
charakteryzuje właściwości systemu liniowego. Jest to konsekwencja˛ bogactwa
informacji, jaka˛ daje nieskończenie strome zbocze (skok wartości) pobudzenia
(i w konsewencji nieograniczone pasmo czestotliwości
˛
sygnału). Sygnały takie nazywa sie˛ ustawicznie pobudzajacymi
˛
dowolnego rzedu.
˛
Należy do nich
również skok jednostkowy [15], [16].
Stacjonarne, liniowe układy dynamiczne z czasem ciagłym
˛
maja˛ swoja˛ reprezentacje˛ matematyczna˛ w postaci liniowego równania różniczkowego typu
wejście u — wyjście y (SISO — single input — single output)
dm y(t)
dm−1 y(t)
dy(t)
+ a0 y(t)
+
a
+ ... + a1
m−1
dtm
dtm−1
dt
dl u(t)
dl−1 u(t)
du(t)
+ b0 u(t),
+
b
+ ... + b1
= bl
l−1
l
l−1
dt
dt
dt
am
(3.2)
gdzie l 6 m. Liczbe˛ m nazywa sie˛ rzedem
˛
równania różniczkowego (3.2) przy
˛ że
założeniu, że am 6= 0. W ćwiczeniu zakłada sie,
dl−1 u(t)
du(t)
/t=(0−) = ... =
/
= 0.
dt
dtl−1 t=(0−)
Wartości wyjścia systemu i jego kolejnych pochodnych w chwili t = 0 nazywa
sie˛ warunkiem poczatkowym.
˛
Mówimy, że jest on zerowy (ozn. W P = 0) jeśli
u(0−) =
dy(t)
dm−1 y(t)
/t=(0−) = ... =
/
= 0.
(3.3)
dt
dtm−1 t=(0−)
W teorii podstaw automatyki stosuje sie˛ opis liniowego systemu dynamicznego, reprezentujacy
˛ jego strukture,
˛ oparty na transmitancji operatorowej
K(s). Opis ten (patrz rys. 3.1) otrzymuje sie˛ przez zastosowanie transformaty
Laplace’a do obu stron równania (3.2), zakładajac
˛ zerowy warunek poczat˛
kowy.
Transmitancja K(s) jest funkcja˛ zmiennej zespolonej s = α + jβ i ma
postać
y(0−) =
K(s) ,
bl sl + bl−1 sl−1 + ... + b1 s + b0
Y (s)
=
.
U (s)
am sm + bm−1 sm−1 + ... + a1 s + a0
(3.4)
u (t ) =ˆ U ( s )
27
K (s)
Y ( s ) =ˆ y (t )
Rys. 3.1. Reprezentacja struktury układu automatyki
Transmitancja (3.4) umożliwia otrzymanie dynamicznego przebiegu wyjścia
y(t)=Y
b (s) = K(s)U (s),
jeżeli znany jest przebieg sygnału wejściowego u(t).
Uwaga. Oznaczenie =
b jest uproszczonym zapisem zarówno przejścia do transformaty Laplace’a, jak również przejścia do odwrotnej transformaty Laplace’a, np. u(t)=U
b (s) oznacza, że U (s) = ${u(t)} oraz U(s)=u(t),
b
że u(t) =
−1
$ {U (s)}.
3.2.2. Opis liniowego systemu dynamicznego z czasem ciagłym
˛
w przestrzeni stanów, systemy wielowymiarowe
Zarówno sygnał wejściowy, jak i wyjściowy układu liniowego moga˛ być
wielowymiarowe (MIMO — multiple input — multiple output)



u1 (t)
 u2 (t) 
,
u(t) = 
 ...

up (t)

y1 (t)
 y2 (t) 
.
y(t) = 
 ...

yq (t)
Duże znaczenie ma opis zachowania sie˛ systemu liniowego z użyciem
tzw. zmiennych stanu x1 (t), ..., xr (t) zawartych w wektorze stanu [5], [7], [14]


x1 (t)
 x2 (t) 
.
x(t) = 
 ...

xr (t)
Wielkości x1 (t), ..., xr (t) maja˛ najcześciej
˛
konkretne znaczenie fizyczne określajace
˛ stan, w którym system sie˛ znajduje (np. systemem może być lecacy
˛
˛ na jakiej sie˛ znajduje, x2 (t) — jego predkości
˛
a,
˛
samolot, x1 (t) — wysokościa,
x3 (t) — azymutem, x4 (t) — poziomem paliwa w chwili t itp.).
28
˛
System liniowy opisuje w przestrzeni stanów (ang. state space) układ równań
½ 0
x (t) = Ax(t) + Bu(t)
(3.5)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
gdzie A jest stała˛ macierza˛ o wymiarach r×r, B i D — macierzami o wymiarach
r × p, a C — macierza˛ o wymiarach q × r.
Dla uproszczenia ograniczymy sie˛ do układów ściśle właściwych, czyli takich, w których D = 0. System opisany układem równań (3.5) jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy
A leża˛ wewnatrz
˛
okregu
˛
jednostkowego. Wtedy wektor Ax(t) jest w sensie
euklidesowym krótszy od wektora x(t) [9]. W przypadku skalarnym oznacza
to A ∈ (−1, 1). Po zastosowaniu przekształcenia Laplace’a do równań (3.5),
przy zerowych warunkach poczatkowych,
˛
otrzymuje sie˛ zwiazek
˛
miedzy
˛
macierza˛ transmitancji K(s) systemu liniowego a macierzami A, B i C w opisie
w przestrzeni stanów
K(s) = C(sI − A)−1 B.
Macierz K(s) ma wymiary q × p, a jej elementami sa˛ funkcje wymierne
zmiennej zespolonej s


K1,1 (s) K1,2 (s) ... K1,p (s)
 K2,1 (s) K2,2 (s) ... ...

.
(3.6)
K(s) = 
 ...

...
... ...
... Kq,p (s)
Kq,1 (s) ...
Przy zerowych warunkach poczatkowych
˛
zachodza˛ zależności
Y(s) = K(s)U(s);
Yi (s) =
p
X
Ki,j (s)Uj (s);
i = 1, 2, ..., q,
j=1
gdzie


U1 (s)

 U2 (s) 
 oraz Y(s) = 
U(s) = 

 ...

Up (s)


Y1 (s)
Y2 (s) 
.

...
Yq (s)
(3.7)
Funkcja przejścia Ki,j (s) jest zatem transmitancja,
˛ określajac
˛ a˛ wpływ
j-tego wejścia układu na i-te wyjście.
29
3.2.3. Sterowalność, osiagalność
˛
i obserwowalność
Ze wzgledu
˛ na zachowanie sie˛ układów dynamicznych w układach regulacji
automatycznej najistotniejsze sa˛ właściwości sterowalności i obserwowalności.
Definicja 1. Układ nazywamy sterowalnym, jeżeli istnieje ograniczone przedziałami ciagłe
˛ sterowanie u(t) przeprowadzajace
˛ ten układ z dowolnego stanu
poczatkowego
˛
x(t0 ) do dowolnego stanu końcowego x(tk ) w chwili t = tk ,
w skończonym czasie, 0 6 tk − t0 6 ∞ [15].
Definicja 2. Układ nazywamy obserwowalnym, jeżeli przy dowolnym sterowaniu u(t) istnieje skończona chwila tk , po której, na podstawie sygnałów (wektorowych) u(t) i y(t) w przedziale czasu od t0 do tk , można wyznaczyć stan
˛
t0 [15].
układu x(t0 ) w dowolnej chwili poczatkowej
Definicja 3. Układ nazywamy osiagalnym,
˛
jeżeli dla dowolnego stanu docelowego xf istnieje skończona chwila tf > 0 oraz sterowanie u(t) w przedziale
[0, tf ] takie, że gdy x(0) = 0, wówczas x(tf ) = xf [7].
Dane właściwości maja˛ zasadnicze znaczenie w teorii sterowania. Jeżeli
stwierdzimy, że system jest sterowalny, oznacza to, iż można skutecznie doprowadzić go w skończonym czasie do dowolnego stanu zadanego; sensowne
jest wówczas projektowanie układu sterowania. Jeśli natomiast system jest
obserwowalny, to na podstawie obserwacji jego sygnału wejściowego i wyjścia
w skończonym czasie, można ustalić jego stan poczatkowy,
˛
co z kolei decyduje
o jego identyfikowalności. O sterowalności i obserwowalności systemu liniowego
rozstrzygaja˛ twierdzenia.
Twierdzenie 1. Układ jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz
S = [B, AB, A2 B, ... An−1 B]
(3.8)
jest pełnego rzedu
˛ [15].
Twierdzenie 2. Układ jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz
T
T
W = [CT , CT AT , CT A2 , ... CT An−1 ]
jest pełnego rzedu
˛ [15].
(3.9)
30
˛
3.3. Badania komputerowe
3.3.1. Wyznaczanie charakterystyk czasowych
W ćwiczeniu należy obliczyć analitycznie, a nastepnie
˛
wyznaczyć komputerowo odpowiedzi impulsowe k(t), odpowiedzi skokowe λ(t) i (dodatkowo) na
pobudzenie typu u(t) = sin ωt dla układów o transmitancjach:
K1 (s) = k — proporcjonalny (bezinercyjny);
k
— inercyjny pierwszego rzedu;
˛
K2 (s) =
Ts + 1
k
K3 (s) =
— inercyjny drugiego rzedu;
˛
(T1 s + 1)(T2 s + 1)
k
K4 (s) = 2
— oscylacyjny drugiego rzedu;
˛
s + as + b
k
K5 (s) =
— całkujacy
˛ z inercja;
˛
s(T s + 1)
ks
K6 (s) =
˛ z inercja;
˛
— różniczkujacy
Ts + 1
K7 (s) = e−sτ — opóźniajacy;
˛
K8 (s) =
ke−sτ
— opóźniajacy
˛ z inercja.
˛
Ts + 1
Przykładowy schemat do wykonania badań w Simulink u, przy pobudzeniu
u(t) = 1(t), przedstawia rysunek 3.2. W celu uzyskania charakterystyk czasowych nie w formie graficznej, lecz w formie ciagów
˛
liczbowych, należy zamienić
elementy rejestrujace
˛ typu Scope na rejestratory zmiennych do pliku (To File)
lub do zmiennych w przestrzeni roboczej (To Workspace). Dla każdego z symulowanych układów należy powtórzyć badanie przy zmianie jednego z parametrów (np. k, T, P, a...) w stosunku do układu oryginalnego oraz zaobserwować
wpływ poszczególnych parametrów na postać odpowiedzi skokowych.
Całość badań należy powtórzyć dla pobudzenia u(t) = δ(t). W tym celu
należy zamienić blok Step na układ przybliżajacy
˛ delte˛ Diraca, przedstawiony
na rys. 3.3, stosujac
˛ układ różniczkujacy
˛ i inercje˛ o małej stałej czasowej d.
Istnieje również gotowa funkcja MATLAB o nazwie impulse().
Przy wyznaczaniu odpowiedzi układów na pobudzenie sinusoidalne należy
użyć bloku źródłowego o nazwie SineWave, dostepnego
˛
w grupie Sources.
31
Rys. 3.2. Badanie odpowiedzi różnych układów dynamicznych na skok jednostkowy
3.3.2. Identyfikacja parametrów typowych członów liniowych
Gdy mamy do dyspozycji komplet charakterystyk wyznaczonych w punkcie
3.3.1, wówczas zakładamy, że parametry systemów sa˛ nieznane (np. uznajemy,
że charakterystyki pochodza˛ z badań nad rzeczywistymi systemami). Znamy
jedynie:
• postać odpowiedzi skokowej λ(t) lub impulsowej k(t);
• strukture˛ transmitancji, np. K(s) = k/(T s + 1);
należy wówczas wyznaczyć (zidentyfikować) nieznane parametry systemu
(np. k i T — rys. 3.4).
Identyfikacja parametrów polega na znalezieniu charakterystycznych punktów w odpowiedzi skokowej i impulsowej. Może to czesto
˛
wymagać określenia
stycznej do danej charakterystyki. Proponuje sie˛ nastepuj
˛ ace
˛ dwie metody:
32
˛
Rys. 3.3. Generator impulsu Diraca
Rys. 3.4. Wyznaczanie parametrów elementu inercyjnego pierwszego rzedu
˛
• metoda graficzna — polegajaca
˛ na wykreśleniu charakterystyki w dużej
skali, recznemu
˛
wykreśleniu stycznej i znalezieniu odpowiednich punktów;
• metoda numeryczna — aby wyznaczyć styczna,
˛ np. do charakterystyki
skokowej λ(t) w punkcie t0 , odczytujemy z charakterystyki wyznaczonej
˛
w postaci numerycznej wartości w dwóch punktach: t0 i t0 + ∆t. Nastepnie obliczamy parametry m i c linii prostej y = mt + c przechodzacej
˛
przez
˛
na definicje˛ pochodnej,
punkty (t0 , λ(t0 )) i (t0 + ∆t, λ(t0 + ∆t)). Ze wzgledu
wartość ∆t powinna być możliwie mała, bliska zeru. W praktyce musi ona
jednak przekraczać wartość dokładności reprezentacji liczb w komputerze.
W przypadku niektórych systemów wyższego rzedu
˛ istnieje potrzeba znalezienia tzw. punktu przegiecia
˛
charakterystyki, należy w tym celu numerycznie
zróżniczkować te˛ charakterystyk˛e po czasie i znaleźć chwile˛ t0 , w której nastepuje
˛
zmiana znaku pochodnej.
33
3.3.3. Numeryczny rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste
Środowisko MATLAB umożliwia rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste (znajdowanie residuów). Niech w naszym przypadku
K(s) =
2s3 + 5s2 + 3s + 6
.
s3 + 6s2 + 11s + 6
(3.10)
Skrypt dokonujacy
˛ rozkładu ma nastepuj
˛ ac
˛ a˛ postać:
licznik=[2 5 3 6];
mianownik=[1 6 11 6];
[r,p,k]=residue(licznik,mianownik)
Wynikami działania skryptu sa˛




−6
−3
r =  −4  p =  −2  k = 2;
3
−1
co interpretuje sie˛ nastepuj
˛ aco
˛
K(s) =
−4
3
−6
+
+
+ 2.
s+3 s+2 s+1
Umożliwia to natychmiastowe obliczenie odpowiedzi impulsowej
k(t) = −6e−3t + −4e−2t + 3e−t + 2δ(t).
3.3.4. Testowanie sterowalności i obserwowalności systemu
Należy zdefiniować system liniowy z czasem ciagłym
˛
na podstawie współczynników znanej transmitancji K(s) i korzytajac
˛ z funkcji ss() przekształcić
go do opisu w przestrzeni stanów. Zbudować odpowiednie macierze sterowalności i obserwowalności podane w twierdzeniach 1 i 2. Za pomoca˛ funkcji det()
lub rank() określić ich rzedy.
˛
3.3.5. Przykładowe odpowiedzi skokowe
Na rysunkach 3.5 i 3.6 przedstawiono uzyskana˛ w MATLAB odpowiedź
1
skokowa˛ układu o transmitancji K(s) = s2 +as+1
dla parametru a równego
odpowiednio 1 i −0, 1.
34
˛
Rys. 3.5. Odpowiedź skokowa dla a = 1
Rys. 3.6. Odpowiedź skokowa dla a = −0, 1
Rys. 3.7. Odpowiedź skokowa układu o transmitancji KI (s)
Rys. 3.8. Odpowiedź skokowa układu o transmitancji KD (s)
35
36
˛
Z kolei na rysunkach 3.7 i 3.8 przedstawiono odpowiedzi skokowe układu
całkujacego
˛
z inercja˛
KI (s) =
1
;
s(3s + 1)
oraz układu różniczkujacego
˛
z inercja˛
KD (s) =
s
.
s+1
3.4. Przykłady praktyczne
3.4.1. Ładowanie kondensatora w układach RC i CR
Jako przykład praktyczny opiszemy zjawisko ładowania kondensatora
o pojemności C, ze źródła napiecia
˛
stałego U, przez rezystor R (rys. 3.9).
R
C
u(t)
y(t)
Rys. 3.9. Czwórnik RC jako układ inercyjny pierwszego rzedu
˛
Zakładamy, że podanie napiecia
˛
wejściowego U nastepuje
˛
w chwili t = 0
u(t) = U · 1(t)
oraz zerowy warunek poczatkowy,
˛
tzn. że napiecie
˛
na kondensatorze y(t)
w chwili t = 0 ma wartość
y(0) = 0.
Opierajac
˛ sie˛ na podstawowych prawach elektrotechniki (prad
˛ ładowania kondensatora jest równy pradowi
˛
płynacemy
˛
przez rezystor — I prawo Kirchhoffa),
otrzymujemy nastepuj
˛ acy
˛ opis układu dynamicznego
C
u(t) − y(t)
d
y(t) =
,
dt
R
(3.11)
37
który jest liniowym równaniem różniczkowym pierwszego rzedu.
˛
Po przekształceniu wzoru (3.11) do postaci
RC
d
y(t) + y(t) = u(t)
dt
(3.12)
i zastosowaniu do (3.12) obustronnej transformacji Laplace’a
Y (s)(RCs + 1) = U (s),
otrzymujemy transmitancje˛ systemu
K(s) =
1
Y (s)
=
,
U (s)
Ts + 1
gdzie T = RC. Układ z rysunku 3.9 zachowuje sie˛ zatem jak człon inercyjny
pierwszego rzedu,
˛
o stałej czasowej zależnej od przyjetych
˛
wartości rezystancji
i pojemności. Jego charakterystyki czasowe można zatem z powodzeniem badać nie na rzeczywistym układzie elektrycznym, lecz na modelu (patrz
punkt 3.3.1)
Y (s) =
1
U (s)
Ts + 1
Na podstawie przebiegu napiecia
˛
na kondensatorze nie można zidentyfikować wartości pojemności C i rezystancji R, można jedynie określić ich iloczyn RC = T . Wzmocnienie układu w stanie ustalonym wynosi K(0) = 1,
co oznacza, iż
lim y(t) = U.
t→∞
W układzie przedstawionym na rysunku 3.10, sygnałem wyjściowym jest napiecie
˛
na rezystorze.
C
u(t)
R
y(t)
Rys. 3.10. Czwórnik CR jako rzeczywisty układ różniczkujacy
˛
38
˛
Układ opisuje równanie
C
d
y(t)
uc (t) =
,
dt
R
gdzie uc (t) jest napieciem
˛
na kondensatorze, równym uc (t) = u(t) − y(t). Stad
˛
¶
µ
d
d
y(t)
u(t) − y(t) =
C
dt
dt
R
i po zastosowaniu obustronnej transformacji Laplace’a
RC(sU (s) − sY (s)) = Y (s),
jego transmitancja ma postać
K(s) = RCs
1
.
RCs + 1
Czwórnik CR z rysunku 3.10 realizuje różniczkowanie z inercja.
˛ Model układu
jest nastepuj
˛ acy
˛ (patrz symulacje w 3.3.1.)
Y (s) =
1
1
U (s), gdzie Ti = T = RC.
Ti s T s + 1
3.4.2. Zbiornik z ciecza˛
Na rysunku 3.11 przedstawiono wyidealizowany układ napełniania pojemnika o stałym przekroju poziomym p.
Jako sygnał wejściowy u(t) traktujemy przepływ przez zawór. Jego jednostka˛ niech bedzie
˛
[umax m3 /s], który w istocie określa położenie kurka, gdzie
˛
przepływ przez zawór przy jego całkowiumax jest parametrem określajacym
tym otwarciu, np. umax = 0, 001 oznacza maksymalny przepływ 1[dm3 /s].
Sygnałem wyjściowym jest wysokość poziomu cieczy. Warunkiem poczatko˛
wym jest poziom cieczy w zbiorniku w chwili t = 0. Niech bedzie
˛
on zerowy,
tzn. y(0) = 0 (zbiornik pusty). Jest oczywiste, że ilość cieczy znajdujaca
˛ sie˛
w zbiorniku w chwili t jest równa ilości cieczy, która przepłyneła
˛ przez zawór
od chwili poczatkowej
˛
do chwili t, czyli
Z t
u(t)dt,
py(t) =
0
a zatem
1
pY (s) = U (s).
s
39
u(t)
y(t)
p
Rys. 3.11. Zbiornik z ciecza˛ jako układ całkujacy
˛
Stad
˛
K(s) =
1
1
Y (s)
=
=
, gdzie Ti = p
U (s)
ps
Ti s
i układ ten jest układem całkujacym,
˛
gdzie p decyduje o szybkości całkowania, tzn. im wiekszy
˛
przekrój zbiornika, tym wolniejsze narastanie poziomu
cieczy. Liniowość systemu rozpatrywanego w powyższym przykładzie wynika
z tego, że p = const. Nie należy jednak nabrać przekonania, iż rzeczywiste
procesy przepływu i gromadzenia cieczy przy prostej geometrii zbiorników sa˛
procesami liniowymi. Nieliniowe zachowanie sie˛ procesu może wynikać choćby
z wystepowania
˛
odpływów (skończona objetość
˛
zbiorników).
3.4.3. Termometr jako układ inercyjny pierwszego rzedu
˛
Niech wielkościa˛ wyjściowa˛ bedzie
˛
długość słupka rteci
˛ y(t) w tradycyjnym
termometrze lekarskim. Jest ona proporcjonalna z pewnym współczynnikiem
w (w ograniczonym zakresie) do temperatury rteci
˛ ϑHg (t)
y(t) = wϑHg (t).
W chwili t = 0 rteć
˛ znajduje sie˛ w temperaturze pokojowej (np. ϑHg (0) =
ϑpok = 20 ◦ C). Pobudzenie układu polega na umieszczeniu bańki termometru
w temperaturze ciała, np. ϑc = 36, 6 ◦ C. Rteć
˛ nagrzewa sie˛ zgodnie z zasada,
˛ iż szybkość zmian ϑHg (t) jest proporcjonalna do różnicy temperatur ϑc i
40
˛
ϑHg (t) (poczatkowo
˛
szybko, później coraz wolniej), co opisuje liniowe równanie
różniczkowe pierwszego rzedu
˛
dϑHg (t)
= T (ϑc − ϑHg (t)).
dt
zatem
y(t) = yc (1 − e−t/T ),
˛ ϑHg (t) = ϑc („kogdzie yc jest wskazaniem termometru w temperaturze rteci
niec pomiaru”), a stała czasowa T zależy od konstrukcji termometru (np. objetości
˛
bańki, grubości szkła). Typowe wartości stałej czasowej T termometrów
lekarskich zawieraja˛ sie˛ w granicach od kilku do kilkudziesieciu
˛
sekund.
3.5. Podsumowanie
Celem badań przeprowadzonych w ćwiczeniu było poznanie komputerowych technik w zagadnieniach:
• identyfikacji struktury i parametrów liniowych systemów dynamicznych
z czasem ciagłym
˛
na podstawie jego odpowiedzi czasowych (impulsowej k(t),
skokowej λ(t) i na pobudzenie sinusoidalne);
• metod komputerowej symulacji systemów o zadanym opisie;
• komputerowej weryfikacji właściwości obserwowalności, sterowalności
i osiagalności
˛
systemów;
• numerycznego rozkładu funkcji wymiernych na ułamki proste;
• wyznaczania standardowych odpowiedzi czasowych obiektów.
41
4. Systemy o złożonej
strukturze i ich stabilność
4.1. Wprowadzenie
Rzeczywiste systemy czesto
˛
składaja˛ sie˛ z mniejszych, połaczonych
˛
i przez
to współzależnych, prostych obiektów. Dlatego istotna jest ich reprezentacja za
pomoca˛ modeli odzwierciedlajacych
˛
rzeczywiste struktury połaczeń.
˛
Pojedyncze układy dynamiczne moga˛ tworzyć struktury o różnym stopniu złożoności.
Najbardziej powszechne sa˛ połaczenia
˛
szeregowe, równoległe, szeregowo-równoległe i ze sprze˛ żeniem zwrotnym, majace
˛ podstawowe znaczenie przy tworzeniu bardziej złożonych struktur systemów. Stad
˛ wywodzi sie,
˛ fundamentalny
w automatyce, złożony system dynamiczny zwany Układem Automatycznej
Regulacji (UAR). Jest on złożona˛ struktura˛ szeregowa˛ (najcześciej
˛
składajac
˛ a˛
sie˛ z dwóch pojedynczych układów), zawierajac
˛ a˛ dodatkowo petl
˛ e˛ ujemnego
sprze˛ żenia zwrotnego. Przez pojecie
˛ regulacja określa sie˛ sterowanie w układzie
zamknietym,
˛
który jest zdolny automatycznie kontrolować swoje zachowanie
i utrzymywać sie˛ w określonym stanie, zwanym celem sterowania. Najcześciej
˛
celem sterowania jest utrzymywanie (regulacja) wartości wyjścia obiektu (sygnału y(t)) na tym samym poziomie jak sygnał zadajacy
˛ y0 (t), zwany wejściem
odniesienia.
Intuicyjny opis struktury Układu Automatycznej Regulacji i funkcji pełnionych przez jego elementy wprowadzono już w rozdziale 1. Zainteresowanym
polecane sa˛ szczególnie prace [1] i [15].
Matematycznym opisem złożonej struktury systemu dynamicznego z czasem ciagłym
˛
jest transmitancja operatorowa, zwana transmitancja˛ systemu
złożonego lub transmitancja˛ wypadkowa˛ (zastepcz
˛
a).
˛
42
4. Systemy o złożonej strukturze i ich stabilno´sć
4.2. Zarys tematyczny ćwiczenia
Rozważmy pojedynczy liniowy układ dynamiczny (rys. 3.1), opisany transmitancja˛ operatorowa˛
K(s) ,
L(s)
Y (s)
=
(przy założeniu realizowalności stL(s) 6 stM (s))
U (s)
M (s)
Z pojedynczych układów składa sie˛ połaczenia
˛
szeregowe, równoległe oraz
szeregowo-równoległe.
4.2.1. Struktura szeregowa
Transmitancja szeregowego systemu złożonego (rys. 4.1) o wejściu u(t) oraz
wyjściu y(t) przy zerowym warunku poczatkowym
˛
y(0−) =
dp y(t)
dy(t)
/t=(0−) = ... =
/
= 0,
dt
dtp t=(0−)
gdzie p = stM1 (s) + stM2 (s) − 1 jest nastepuj
˛ aca:
˛
K(s) ,
u (t ) =ˆ U ( s)
Y (s)
= K1 (s) · K2 (s)
U (s)
K1 ( s)
K 2 ( s)
y (t ) =ˆ Y ( s )
Rys. 4.1. Połaczenie
˛
szeregowe systemów
Przykład
Pojedyncze systemy inercyjne wyższego rzedu
˛ (m > 3) czesto
˛
aproksymuje
sie˛ struktura˛ szeregowego połaczenia
˛
układu inercyjnego pierwszego rzedu
˛
z układem opóźniajacym
˛
o τ > 0 (rys. 4.2), czyli można aproksymować
K(s) =
k
k
≈
e−sτ ,
(sT1 + 1)(sT2 + 1)...(sTm + 1)
Ts + 1
gdzie opóźnienie τ oraz stała czasowa T , wyrażajace
˛ inercje˛ układu, sa˛ dobierane w sposób najlepiej przybliżajacy
˛ przebieg odpowiedzi układu inercyjnego
m-tego rzedu
˛ (np. według reguły Padé [3]).
u(t )
43
k
sT + 1
e− sτ
y(t )
Rys. 4.2. Układ przybliżajacy
˛ strukture˛ elementu wieloinercyjnego modelem
inercyjnym pierwszego rzedu
˛ z opóźnieniem
4.2.2. Struktura równoległa
Transmitancja równoległego systemu złożonego (rys. 4.3) o wejściu u(t)
oraz wyjściu y(t) jest nastepuj
˛ aca:
˛
K(s) ,
u(t )
Y (s)
= K1 (s) + K2 (s).
U (s)
K1 ( s)
K 2 (s)
y1 (t )
+
y (t ) = y1 (t ) + y2 (t )
+
y2 (t )
˛
równoległe systemów
Przykład
Transmitancja opisujaca
˛ strukture˛ idealnego regulatora PID ma postać
∗
(s) = k1 +
KPID
k2
+ k3 s.
s
Jest to zapis matematyczny nie uwzgledniaj
˛
acy
˛ w sposób jawny współczynnika proporcjonalności kp , stałych Ti oraz Td , a także inercyjności działania
rzeczywistych elementów różniczkujacych
˛
i całkujacych
˛
w regulatorach PID
∗ (s)
(patrz przykł. w punkcie 4.2.3). Przez to uproszczenie transmitancja KPID
reprezentuje strukture˛ równoległa˛ (bez interakcji nastaw), przedstawiona˛ na
rysunku 4.4.
44
k1
+
u(t )
1
k2
s
y(t )
+
+
k3 ⋅ s
Rys. 4.4. Struktura idealnego (bezinercyjnego) regulatora PID
4.2.3. Struktura szeregowo-równoległa
Strukture˛ połaczenia
˛
szeregowo-równoległego przedstawiono na rysunku 4.5.
u(t )
K2 ( s)
+
K1 (s)
K3 (s)
y(t )
+
˛
szeregowo-równoległe
Transmitancja takiego systemu złożonego jest postaci
K(s) ,
Y (s)
= K1 (s) · (K2 (s) + K3 (s)) .
U (s)
Przykład
Uwzgledniwszy
˛
transmitancje˛ operatorowa˛ rzeczywistego regulatora PID
(jego możliwa˛ techniczna˛ realizacje,
˛ z uwzglednieniem
˛
inercji „pasożytniczej”
˛ eciu
˛
współczynelementu różniczkujacego,
˛
o stałej czasowej Tp ) i po wyciagni
nika proporcjonalności kp przed nawias, otrzymuje sie˛ zapis
¶
µ
Td s
1
+
,
KPID (s) = kp 1 +
Ti s Tp s + 1
co ilustruje struktura przedstawiona na rysunku 4.6. Bardziej złożona struktura regulatora wyodrebnia
˛
w sposób bezpośredni trzy podstawowe parametry
(tzw. nastawy) regulatora PID: kp — współczynnik wzmocnienia (lub tzw. zakres proporcjonalności liczony jako k1p 100%), Ti — stała całkowania (tzw. czas
45
zdwojenia), Td — stała różniczkowania (tzw. czas wyprzedzenia). Zagadnienie
to zostanie omówione szerzej w rozdziale 6, [1][12].
1
u(t )
+
1
Ti s
kp
Td ⋅ s
+
1
Tp s + 1
y(t )
+
Rys. 4.6. Rzeczywisty regulator PID
4.2.4. Struktura ze sprze˛ żeniem zwrotnym
Układ Automatycznej Regulacji (UAR) jest najważniejszym złożonym systemem w automatyce, zamknietym
˛
za pomoca˛ petli
˛
ujemnego sprze˛ żenia
zwrotnego. Jego struktura zapewnia regulacje˛ sygnału wyjściowego obiektu —
y(t) i w konsekwencji sygnału wejściowego na regulator, czyli sygnału błedu
˛
(tzw. uchyb ε(t) = y(t)−y0 (t)). Strukture˛ UAR przedstawiono na rysunku 4.7.
y 0 (t )
ε (t )
+
_
K R (s)
u (t )
KO (s)
y (t )
y (t )
Rys. 4.7. Schemat układu automatycznej regulacji (UAR)
Transmitancje KR (s) i KO (s) opisuja˛ strukture˛ regulatora oraz obiektu.
Wymaga sie,
˛ aby sygnał wyjściowy obiektu jak najszybciej i najdokładniej
nada˛żał za wartościa˛ zadana˛ (żadanym
˛
ustawieniem) y0 (t). W praktyce naj˛ Tak wyglada
˛ podcześciej
˛
y0 jest w pewnych odcinkach czasu wartościa˛ stała.
stawowe zadanie automatycznej regulacji, czyli sterowania obiektem w układzie zamknietym.
˛
Regulator jest najcześciej
˛
typu PID o znanej transmitancji,
z możliwościa˛ ustawienia parametrów kp , Ti i Td , natomiast transmitancje˛
obiektu KO (s) próbuje sie˛ określać na podstawie pomiarów w wyniku procesu identyfikacji, zakładajac,
˛ że jest on rzeczywiście liniowy i stacjonarny
(współczynniki wielomianów L(s) i M (s) nie zmieniaja˛ sie˛ w czasie). Dla
zapewnienia wymaganej wartości sygnału y(t) jest ona nieustanie porównywana z wartościa˛ zadana˛ y0 (t) — założonym celem sterowania. Idealna byłaby
46
sytuacja (niemożliwa do osiagni
˛ ecia
˛
w praktyce), w której dla każdego y0 (t)
zachodzi
y(t) = y0 (t).
(4.1)
Jest to niemożliwe z kilku powodów. Ze wzgledu
˛
na własności obiektu wymaganie (4.1) może w istocie oznaczać wymaganie nieskończonych wartości
sterowań u(t). Pojawiaja˛ sie˛ także zakłócenia odchylajace
˛ wartości sygnału
˛
zakłócewyjścia y(t) od pożadanej,
˛
docelowej wartości y0 (t) (sa˛ to najcześciej
nia addytywne, tzn. dodajace
˛ sie˛ do wartości wyjściowej y(t)). Istota automatycznej regulacji polega na tym, że system nie stara sie˛ ewentualnych
zakłóceń mierzyć (poznawać ich wartości w każdej chwili), tylko niweluje ich
wpływ przez ciagłe
˛
porównywanie y(t) do y0 (t). W ten sposób powstaje najważniejszy sygnał systemu UAR — bład
˛ (uchyb) regulacji ε(t) = y0 (t) − y(t).
Z sygnału ε(t) korzysta regulator, którego podstawowym zadaniem jest wytworzenie takiego sterowania u(t), aby utrzymywać uchyb ε(t) na jak najniższym
poziomie. W niniejszym rozdziale przedstawiono analize˛ transmitancji zastep˛
˛
zwanego Układem Automatycznej Regulacji
czej KZ (s) systemu zamknietego,
(UAR) (rys. 4.7).
Gdy system jest otwarty, czyli nie została utworzona petla
˛ ujemnego sprze˛
żenia zwrotnego, wówczas transformata uchybu E(s) (tzn. E(s) =
b ε(t)) jest
tożsama z wejściem Y0 (s), a transmitancje˛ Kotw (s) oblicza sie˛ jak dla systemu
szeregowego
Kotw (s) =
Y (s)
= KR (s)KO (s),
E(s)
stad
˛
Y (s) = KR (s)Ko (s)E(s) = Kotw (s)E(s).
(4.2)
Po zamknieciu
˛
petli
˛ wzór (4.2) oczywiście dalej obowiazuje,
˛
natomiast
transformata uchybu powstaje nastepuj
˛ aco
˛
E(s) = Y (s) − Y0 (s),
stad
˛
Y0 (s) = E(s) + Y (s).
47
ε (t )
ε (t )
y0 (t ) +
_
y(t )
KO (s)
u(t)
KR (s)
Rys. 4.8. Układ Automatycznej Regulacji z sygnałem uchybu jako wyjściem
Zamkniety
˛ Układ Automatycznej Regulacji ma transmitancje˛ zastepcz
˛
a˛
równa˛ ilorazowi transformat odpowiednich sygnałów wejściowych i wyjściowych (W P = 0)
KZ (s) ,
Kotw (s)E(s)
Kotw (s)
Y (s)
=
=
.
Y0 (s)
E(s) + Kotw (s)E(s)
1 + Kotw (s)
(4.3)
Postulat (4.1) oznacza zatem żadanie,
˛
aby
KZ (s) = 1, tzn. Kotw (s) = ∞
lub równoważnie, aby odpowiedź układu zamknietego
˛
na skok jednostkowy
wartości zadanej była identyczna ze skokiem jednostkowym
λZ (t) = 1(t),
co w praktyce jest niemożliwe. Jakość regulacji określa sie˛ zatem na podstawie przebiegu sygnału błedu
˛ ε(t). Im jest on „mniejszy”, tym lepiej. Powstaje
jednak problem jak porównać dwie funkcje (np. ε1 (t) i ε2 (t)). Każda˛ miare˛
(funkcje˛ o wartościach nieujemnych, spełniajac
˛ a˛ „warunek trójkata”
˛ R [9]), która
∞
funkcji czasu ε(t) przyporzadkowuje
˛
liczbe˛ rzeczywista˛ q (np. q = 0 |ε(t)| dt),
nazywać bedziemy
˛
wskaźnikiem jakości regulacji. Ze wzgledu
˛ na istotność sygnału ε(t), schemat z rysunku 4.7 przedstawia sie˛ w zmodyfikowanej graficznie
(odwróconej) postaci (rys. 4.8) z sygnałem uchybu na wyjściu UAR.
Przez traktowanie ε(t) jako wyjścia systemu złożonego, definiuje sie˛
tzw. transmitancje˛ uchybowa:
˛
KE (s) ,
E(s)
.
Y0 (s)
Jej znajomość umożliwia wyznaczenie przebiegu czasowego błedu
˛ regulacji
(czyli jego dynamiki), przy dowolnym przebiegu sygnału zadajacego
˛
ε(t)=E(s)
b
= KE (s)Y0 (s).
48
Wzór na transmitancje˛ uchybowa˛ KE (s), w zależności od transmitancji
˛ aco
˛
obiektu KO (s) i regulatora KR (s), otrzymuje sie˛ nastepuj
E(s) = Y0 (s) − Y (s),
Y (s) = KR (s)KO (s)E(s) = Kotw (s)E(s),
stad
˛
KE (s) =
E(s)
1
E(s)
=
=
.
E(s) + Y (s)
E(s) + Kotw (s)E(s)
1 + Kotw (s)
(4.4)
Otrzymaliśmy inna˛ transmitancje˛ tego samego układu zamknietego,
˛
przez
traktowanie jako jego wyjście — sygnał uchybu. Gdy znamy KE (s), można
obliczyć sygnał błedu
˛ ε(t) wprost ze wzoru:
E(s) =
1
Y0 (s).
1 + Kotw (s)
Należy zauważyć, że obie transmitancje układu zamknietego,
˛
KZ (s) oraz
KE (s), (inne, gdyż inne sygnały sa˛ traktowane jako wyjściowe) maja˛ identyczne mianowniki (patrz wzory (4.3) i (4.4)), co ma fundamentalne znaczenie
w analizie stabilności Układu Automatycznej Regulacji.
4.2.5. Badanie stabilności systemów ze sprze˛ żeniem zwrotnym
Podstawowa˛ właściwościa,
˛ jaka˛ powinien spełniać każdy system automatyki jest stabilność. Intuicyjne pojecie
˛
stabilności mówi, że gdy podamy na
wejście systemu dowolny sygnał ograniczony, wówczas na jego wyjściu y(t)
otrzymamy również sygnał ograniczony (definicja według Laplace’a). Równoważna, formalna definicja stabilności jest nastepuj
˛ aca:
˛
Definicja 4. System nazywamy stabilnym (asymptotycznie), je´sli przy dowolnym warunku poczatkowym
˛
i zerowym pobudzeniu zachodzi:
lim y(t) = 0.
t→∞
Dla systemu stabilnego
Z
0
∞
|k(t)| dt < ∞,
a także granica limt→∞ λ(t) istnieje i jest skończona.
49
Do zasady tej należy podejść nieco inaczej przy określaniu stabilności UAR.
W tak złożonym systemie najważniejszym sygnałem jest bład
˛ dynamiczny ε(t),
a wiec
˛ to jego ograniczoność bedzie
˛
przede wszystkim wymagana. Natomiast
na wejście całego UAR podaje sie˛ sygnał zadajacy
˛ y0 (t), którego wartość określa realizacje˛ celu sterowania obiektem. W układach liniowych technicznie
realizowalnych, gdzie podstawowym opisem struktury układu (prostego i złożonego) jest transmitancja operatorowa
K(s) ,
L(s)
bl sl + ... + b1 s + b0
Y (s)
=
=
,
U (s)
M (s)
am sm + ... + a1 s + a0
musza˛ być spełnione nastepuj
˛ ace
˛ warunki:
am 6= 0, najcześciej
˛
am = 1,
l 6 m,
oraz wszystkie warunki poczatkowe
˛
zerowe.
O stabilności systemu otwartego, jak i zamknietego
˛
decyduje mianownik
transmitancji zastepczej,
˛
odpowiednio Motw (s) i MZ (s). Zauważmy dodatkowo, że ponieważ
KE (s) =
1
1
Motw (s)
=
,
=
L
(s)
o
tw
1 + Kotw (s)
Lotw (s) + Motw (s)
1 + Mo tw (s)
wiec
˛ mianownik transmitancji każdego systemu zamknietego
˛
jest suma˛ licznika i mianownika transmitancji systemu otwartego.
Przykład
Po zamknieciu
˛
petli
˛ ujemnego sprze˛ żenia zwrotnego w systemie o trans˛
ma postać
mitancji Kotw (s) = 1/(s + 1) mianownik transmitancji zastepczej
MZ (s) = s + 2.
Przyjmujemy M (s) = 0 i otrzymujemy tzw. równanie charakterystyczne
systemu automatyki. Ma ono m rozwiazań
˛
(pierwiastków) zespolonych s1 , ...
..., sm (sk = Re sk + j Im sk ), gdzie m jest stopniem mianownika transmitancji.
Pierwiastki mianownika M (s) nazywa sie˛ czesto
˛
biegunami transmitancji
K(s).
Można zatem dokonać przekształcenia równania charakterystycznego
M (s) = am sm + ... + a1 s + a0 = am (s − s1 )(s − s2 )...(s − sm ) = 0.
Stabilność systemu (otwartego i zamknietego)
˛
jest ściśle zwiazana
˛
z położeniem jego biegunów s1 , ..., sm na płaszczyźnie zespolonej (Re s, Im s).
50
O zwiazku
˛
miedzy
˛
transmitancja,
˛ a stabilnościa˛ systemu rozstrzygaja˛ poniższe
twierdzenia [5]:
Twierdzenie 3 (stabilność). Liniowy system dynamiczny z czasem ciagłym
˛
jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny jego
transmitancji leża˛ w lewej półpłaszczy´znie płaszczyzny zespolonej (Re s, Im s),
tzn. ich cze˛´sci rzeczywiste sa˛ ujemne:
Re s1 < 0, Re s2 < 0, ... Re sm < 0.
(4.5)
Twierdzenie 4 (granica stabilności). System jest na granicy stabilno´sci wtedy
i tylko wtedy, gdy
Re s1 6 0, Re s2 6 0, ... Re sm 6 0;
przy czym bieguny transmitancji, dla których zachodza˛ równo´sci, sa˛ co najwyżej jednokrotne.
Lemat 1. Jeżeli sk = Re sk + j Im sk jest biegunem transmitancji K(s) (tzn.
M (sk ) = 0), to jego warto´sć sprze˛żona s∗k = Re sk − j Im sk również jest
biegunem K(s).
Lemat 1 mówi, że pierwiastki sa˛ położone symetrycznie wzgledem
˛
osi rzeczywistej Im s = 0 (sa˛ parami sprze˛ żone).
Przykład
Gdy stopień mianownika wynosi m = 2, wtedy istnieja˛ nastepuj
˛ ace
˛ możliwości położenia biegunów:
— dwa różne bieguny rzeczywiste;
— dwa równe bieguny rzeczywiste (mówimy „biegun o krotności dwa”);
— dwa bieguny nie leżace
˛ na osi rzeczywistej, ale położone symetrycznie,
tzn. jeden jest sprze˛ żeniem drugiego.
Bieguny transmitancji układów z czasem ciagłym,
˛
które nie sa˛ rzeczywiste, wprowadzaja˛ oscylacje w odpowiedzi skokowej. Własności odpowiedzi
skokowej λ(t) w zależności od położenia biegunów dla przykładu zestawiono
w tabeli:
λ(t)
Re s1 < 0 i Re s2 < 0
Re s1 > 0 lub Re s2 > 0
s1 , s2 ∈ R
brak oscylacji, stabilność
brak oscylacji, λ(t) → ∞
s1 , s2 ∈
/R
osylacje gasnace
˛
oscylacje niegasnace
˛
51
Badanie stabilności układu opiera sie˛ zatem na sprawdzeniu położenia biegunów jego transmitancji. Analityczne rozwiazanie
˛
równania charakterystycznego M (s) = 0 jest możliwe tylko przy m 6 4. Możliwe jest jednak sprawdzenie, czy warunek (4.5) jest spełniony, bez konieczności znajdowania s1 , ..., sm .
Do tego celu służa˛ tzw. kryteria stabilności, np. Routha—Hurwitza, Hurwitza, Michajłowa i Nyquista, które sa˛ znane z literatury [1], [5], [7], [11], [15].
Omówimy je wyłacznie
˛
w kontekście przydatności w analizie numerycznej środowiska MATLAB.
4.2.6. Określanie stabilności systemów za pomoca˛ MATLAB
Za pomoca˛ odpowiednich poleceń MATLAB można określić numerycznie
położenie wszystkich pierwiastków równania charakterystycznego MZ (s) = 0,
czyli biegunów transmitancji KZ (s) układu regulacji automatycznej. Jest to
sprawdzanie stabilności Układu Automatycznej Regulacji wprost z podstawowego twierdzenia o stabilności liniowych systemów ciagłych.
˛
W stosunku do
metody bezpośredniej, pewien postep
˛ wnosza˛ kryteria algebraiczne badania
stabilności, stanowiace
˛ warunki nałożone na współczynniki równania charakterystycznego. Można zauważyć, że w układzie regulacji bardzo istotne znaczenie ma współczynnik wzmocnienia otwartego układu regulacji. Przedstawmy
transmitancje˛ układu otwartego w postaci
0
Kotw (s) = K · Kotw (s),
gdzie K jest liczba˛ dodatnia˛ określajac
˛ a˛ wzmocnienie w petli
˛ układu regulacji
(K = kp kO ). Wtedy równanie charakterystyczne układu zamknietego
˛
można
zapisać jako
0
0
1 + K · Kotw (s) = 0, czyli Kotw (s) = −
1
.
K
Zależność ta jest punktem wyjścia dla dwóch metod oceny właściwości
układu zamknietego
˛
(w tym przede wszystkim jego stabilności): metody Nyquista i metody linii pierwiastkowych.
Metoda Nyquista badania stabilności jest metoda˛ czestotliwościow
˛
a,
˛
przez co można ja˛ sprawdzać doświadczalnie (bez znajomości parametrów
transmitancji systemu). W najprostszym i najcześciej
˛
spotykanym przypadku,
kiedy układ otwarty jest stabilny, w celu oceny stabilności układu zamknie˛
tego wymagane jest tylko wykreślenie charakterystyki amplitudowo-fazowej
(w skrócie: a—f) układu otwartego w układzie współrzednych
˛
(Re Kotw (jω),
Im Kotw (jω)).
52
Charakterystyk˛e te˛ można wyznaczyć komputerowo poleceniem nyquist()
w MATLAB. Wniosek z podstawowego kryterium stabilności Nyquista jest
nastepuj
˛ acy:
˛
układ zamkniety
˛ otrzymany z charakterystyki stabilnego układu
otwartego jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka a—f układu
otwartego nie obejmuje punktu (−1, j0). W przypadku gdy system otwarty
nie jest stabilny, odsyłamy do pełnego omówienia kryterium Nyquista w mono0
grafii [5]. Zauważmy, że przyjecie
˛ Kotw (jω) = K · Kotw (jω) powoduje dogodna˛
interpretacje˛ wykresu Nyquista: charakterystyka a—f układu o transmitancji
0
Kotw (jω) nie powinna obejmować punktu −1/K. Interpretacje˛ kryterium Ny0
quista przy założeniu Kotw (jω) = −1/K przedstawiono na rys. 4.9.
Rys. 4.9. System zamkniety
˛ stabilny przy K = K1 , niestabilny przy K = K2
Linia pierwiastkowa jest to miejsce geometryczne (na płaszczyźnie zespolonej) pierwiastków równania charakterystycznego układu zamknietego
˛
regulacji, otrzymane przy uzmiennianiu jednego z parametrów (najcześciej
˛
współczynnika wzmocnienia) układu otwartego [14], [15]. Metoda ta nie jest obecnie
powszechnie stosowana, chociaż daje wiele informacji o właściwościach układu,
ponieważ bieguny transmitancji określaja˛ ściśle zachowanie sie˛ układu (rys.
4.10). W MATLAB można łatwo przedstawić interpretacje˛ krytycznego przypadku kryterium Nyquista i linii pierwiastkowych, czyli określić parametry
układu zamknietego
˛
bed
˛ acego
˛
na granicy stabilności.
53
Rys. 4.10. Parametry zamknietego
˛
układu regulacji na granicy stabilności według
kryterium Nyquista oraz kryterium linii pierwiastkowych
˛
inercyjności
Należy wyznaczyć odpowiedź skokowa˛ systemu szeregowego (rys. 4.11a),
złożonego z ustalonej liczby n elementów inercyjnych pierwszego rzedu:
˛
Ki (s) =
ki
, (i = 1, ..., n).
Ti s + 1
Nastepnie
˛
wyznaczyć komputerowo odpowiedź skokowa˛ systemu złożonego.
Zakładamy, że rzad
˛ inercyjności n systemu złożonego jest nieznany, korzystamy
jedynie z jego odpowiedzi skokowej i wyznaczamy n. W tym celu można dokonać wielokrotnego komputerowego różniczkowania sygnału odpowiedzi skokowej λ(t) i wykorzystać teoretyczna˛ właściwość [5],[15]
λ0 (0) = λ(2) (0) = ... = λ(n−1) (0) = 0 oraz λ(n) (0) 6= 0.
Pierwsza, niezerujaca
˛ sie˛ pochodna odpowiedzi skokowej w chwili t = 0,
mówi o rzedzie
˛
inercyjności układu.
54
Rys. 4.11. Struktura szeregowa, równoległa i ze sprze˛ żeniem zwrotnym
˛
astatyzmu
Detekcja rzedu
˛ astatyzmu polega na wyznaczeniu odpowiedzi skokowej systemu szeregowego złożonego z ustalonej liczby n elementów całkujacych
˛
Kl (s) =
1
, (l = 1, ..., n).
Tl s
Nastepnie
˛
wyznacza sie˛ komputerowo odpowiedź skokowa˛ systemu złożonego. Zakładamy, że rzad
˛ astatyzmu n systemu złożonego jest nieznany, korzystamy jedynie z jego odpowiedzi skokowej i wyznaczamy n. W tym celu
dokonujemy wielokrotnego komputerowego różniczkowania sygnału λ(t) i wykorzystujemy właściwość [15]
λ0 (t) = λ(2) (t) = ... = λ(n) (t) = 0 oraz λ(n+1) (t) 6= 0.
55
Nastepnym
˛
zadaniem bedzie
˛
utworzenie systemu o strukturze równoległoszeregowej, zbudowanego z połaczonych
˛
równolegle dwóch gałezi,
˛
zawierajacych
˛
podsystemy astatyczne rzedów
˛
odpowiednio: n1 i n2 . Należy zbadać
rzad
˛ astatyzmu całego systemu złożonego.
4.3.3. Badanie stabilności układów złożonych
Korzystajac
˛ ze znanych kryteriów, zbadać stabilność układu drugiego rzedu
˛
K(s) =
as2
k
+ bs + c
Wyznaczyć zakresy wartości parametrów a, b i c , dla których system jest:
• stabilny;
• oscylacyjny.
Wszystkie możliwości zilustrować wynikami symulacji komputerowych
(odpowiednimi charakterystykami skokowymi).
Pierwiastki zespolone wielomianu dowolnego stopnia można wyznaczyć numerycznie za pomoca˛ funkcji MATLAB o nazwie roots(a), gdzie a jest wektorem zawierajacym
˛
współczynniki badanego wielomianu. Chodzi o położenie
pierwiastków równania charakterystycznegoM (s) = 0, lub MZ (s) = 0, na płaszczyźnie zespolonej.
Stabilność systemów ze sprzeżeniem
˛
zwrotnym
Za pomoca˛ znanych kryteriów (np. Hurwitza, Nyquista) zbadać stabilność układu po zamknieciu
˛
petli
˛ ujemnego sprze˛ żenia zwrotnego (rys. 4.11c).
Proponowany obiekt:
Kotw (s) =
k
.
(s + 1)3
Wyznaczyć transmitancje˛ zastepcz
˛
a˛ systemu zamknietego
˛
oraz wykresy charakterystyk czasowych, gdy system ten jest stabilny i niestabilny.
Po podstawieniu za s + 1 = w i rozwiazaniu
˛
ze wzgledu
˛
na w równania
charakterystycznego układu zamknietego
˛
w3 + k = 0,
otrzymujemy
w1 =
√
3
kejπ ,
w2 =
√
3
kejπ/3 ,
w3 =
√
3
ke−jπ/3 ,
56
czyli pierwiastki
√
3
s1 = kejπ − 1,
s2 =
√
3
kejπ/3 − 1,
s3 =
√
3
ke−jπ/3 − 1.
Położenie biegunów transmitancji systemu zamknietego
˛
si przy k zmieniajacym
˛
sie˛ w zakresie 0, ..., ∞ przedstawiono na rysunku 4.12.
Najlepiej jest oceniać stabilność UAR na podstawie stabilności układu
otwartego o transmitancji Kotw (s) = KR (s)KO (s). Ocena opiera sie˛ na spostrzeżeniu, że w mianowniku transmitancji wszystkich typów układów zamknie˛
tych wystepuje
˛
wyrażenie 1 + Kotw (s). Po przyrównaniu do zera, zależność:
1 + Kotw (s) = 0,
można uważać za równanie charakterystyczne układu zamknietego.
˛
Stad
˛ wynika, że wartości zmiennej zespolonej s, dla których równanie to jest spełnione, sa˛ biegunami układu zamknietego.
˛
Należy zbadać, czy wszystkie te
bieguny leża˛ w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s (za pomoca˛ poleceń MATLAB rlocus() oraz rlocfind () wystepuj
˛ acych
˛
zawsze razem), ponieważ wówczas zamkniety
˛ układ regulacji bedzie
˛
stabilny. Po napisaniu prostego
skryptu w MATLAB należy wykreślić na płaszczyźnie (Re s, Im s) wszystkie
bieguny układu zamknietego,
˛
a oprócz tego pokazać jego zachowanie i zapas
bezpieczeństwa, przy zmianie parametrów układu. Dotyczy to przede wszystkim parametrów regulatora, ponieważ parametry obiektu (jego wzmocnienie,
stałe czasowe i opóźnienia) sa˛ zazwyczaj ustalone. Pokażemy teraz kolejny
przykład M -skryptu, który oblicza krytyczna˛ wartość współczynnika wzmocnienia regulatora proporcjonalnego kp,kryt. o transmitancji KR (s) = kp , dla
której układ bedzie
˛
na granicy stabilności (rys. 4.12).
%Obliczenie kp,kryt dla obiektu o transmitancji
%K(s)=ko/(sT+1)^3 i regulatora
%proporcjonalnego KR(s)=kp
clear
%Dane
clc
T1=10;T2=10;T3=10;k0=1;
%Licznik i mianownik układu otwartego
L=k0;
M1=[T1 1]; M2=[T2 1]; M3=[T3 1];
M0=conv(M2,M1);
M=conv(M0,M3);
57
rlocus(L,M);
[K,bieguny]=rlocfind(L,M);
k=round(K)
MZ=[T1*T2*T3 T1*T2+T1*T3+T2*T3 T1+T2+T3 1+k];
t=1:0.1:200;
step(k,MZ,t);
Rys. 4.12. Położenie biegunów transmitancji systemu zamknietego
˛
według kryterium
linii pierwiastkowych
Polecenia MATLAB wprowadzone w tym skrypcie:
conv(a,b) — iloczyn dwóch wielomianów;
rlocus(L,M) — pokazuje pierwiastki równania M (s) + kp L(s) = 0
L(s)
(1 + kp M(s)
= 0) w zależności od kp ;
rlocfind(L,M) — pozwala wybrać współrzedne
˛
żadanego
˛
bieguna;
round(A) — funkcja zaokraglaj
˛
aca
˛ do najbliższej liczby całkowitej.
Dwie ostatnie linie M -skryptu pozwalaja˛ wykreślić odpowiedź skokowa˛
UAR, dla uprzednio wyliczonej krytycznej wartości współczynnika wzmocnienia, który zaokraglony
˛
do liczby całkowitej wynosi kp,kryt = 8. W tym przypadku odpowiedź skokowa bedzie
˛
wykresem oscylacji niegasnacych,
˛
których
okres Tosc można odczytać wprost z niego. Wartość Tosc jest parametrem
58
potrzebnym do nastawiania bezpiecznego przebiegu stanów przejściowych w
Układzie Automatycznej Regulacji (według jednej z reguł Zieglera—Nicholsa,
mówimy o tym w punkcie 6.3).
Przykład
Dany skrypt stanowi przykład symulacji systemu, który po zamknieciu
˛
jest
strukturalnie niestabilny.
W Układzie Automatycznej Regulacji (UAR), gdzie KR (s) = sT1 i (regulator
10
typu I) oraz KO (s) = s(1+T
s)2 , T = 10, określić parametr Ti dla którego UAR
bedzie
˛
stabilny. Narysować jego odpowiedź skokowa.
˛
%Dane
T=10;
Ti= %parametr
%Wspolczynniki transmitancji ukladu otwartego
L=10;
M1=[0 1 0];
M2=[0 Ti 0];
M3=[T*T 2*T 1];
M0=conv(M2,M1);
M=conv(M0,M3);
%Wspolczynniki transmitancji ukladu zamknietego
LZ=[0 0 0 0 10];
MZ=[T*T+Ti 2*T*Ti Ti 0 10];
t=1:100;
step(LZ,MZ,t);
grid
Nie można znaleźć parametru regulatora Ti , dla którego system zamkniety
˛
byłby stabilny. Jest to spowodowane podwójnym zerowym biegunem, wystepu˛
jacym
˛
w transmitancji układu otwartego. Przykładowa˛ odpowiedź skokowa˛
(dla Ti = 10) przedstawiono na rysunku 4.13.
4.3.4. Struktury regulatorów P, PI i PID
Kolejnym zadaniem komputerowej symulacji jest obserwacja wpływu nastaw regulatorów typu P, PI i PID na ich odpowiedzi skokowe oraz wyjaśnienie
potrzeby stosowania każdej z gałezi
˛ regulatora w procesie regulacji.
4.4. Przykład praktyczny — wzmacniacz operacyjny
59
Rys. 4.13. Odpowiedź zamknietego
˛
układu niestabilnego (strukturalnie)
4.3.5. Funkcje pakietu MATLAB do budowania struktur
Do konstrukcji złożonych systemów automatyki można użyć standardowych funkcji pakietu Control System Toolbox o nazwach series(), parallel ()
i feedback (). Skrypt tworzy wszystkie konfiguracje połaczeń
˛
dwóch identycz1
.
nych elementów prostych o transmitancjach K(s) = s+1
sys1=tf([1],[1 1]);
sys2=tf([1],[1 1]);
%%tworzenie systemu szeregowego
sysser=series(s1,s2)
%%tworzenie systemu równoległego
syspar=parallel(s1,s2)
%%połaczenie
˛
systemu s1 z systemem s2 w petli
˛ sprze˛żenia zwrotnego
sysfeed=feedback(s1,s2)
4.4. Przykład praktyczny — wzmacniacz operacyjny
Jako przykład zastosowania sprze˛ żeń zwrotnych w praktyce omówimy działanie typowego wzmacniacza operacyjnego, realizowanego np. przez powszechnie znany hybrydowy układ scalony ULY7741.
Model idealnego wzmacniacza operacyjnego (rys. 4.15) posiada dwa wejścia — pozytywne i przesuwajace
˛ faze˛ o π i spełnia nastepuj
˛ ace
˛ postulaty:
60
Rys. 4.14. Struktura regulatorów P, PI i PID
• nieskończone wzmocnienie K i liniowość w pełnym zakresie wejścia;
• nieskończone pasmo przenoszenia (brak inercji);
• nieskończona impedancja wejściowa (zerowe prady
˛ wejściowe);
• zerowa impedancja wyjściowa.
W praktyce wymagania te sa˛ ograniczone przez skończone napiecie
˛
zasilania, wystepowanie
˛
„pasożytniczych” pojemności w układzie i nieliniowa˛ nature˛
zjawisk opisujacych
˛
tranzystory. Układ z dołaczonymi
˛
rezystorami (rys. 4.16)
można opisać nastepuj
˛ aco
˛
y(t) = ku(t) − k
R1
y(t),
R1 + R2
4.5. Podsumowanie
61
K
+
Rys. 4.15. Model wzmacniacza operacyjnego.
a wzmocnienie układu ma postać
k
y(t)
=
1
u(t)
1 + k R1R+R
2
k≈∞
=
R1 + R2
R2
=1+
.
R1
R1
R2
R1
+
y(t)
u(t)
Rys. 4.16. Układ wzmacniacza o wzmocnieniu 1 + R2 /R1
Wzmacniacz operacyjny jest zatem blokiem uniwersalnym, na bazie którego, poprzez dobór prostych i tanich elementów sprze˛ żenia zwrotnego, można
wpływać na właściwości układu złożonego, tj. wzmocnienie, pasmo przenoszenia itp. Zmieniajac
˛ wartość R2 , regulujemy wzmocnienie układu z rysunku
4.16. Gdy natomiast stosujemy pojemności w petli
˛ sprze˛ żenia zwrotnego,
można również, na bazie wzmacniacza operacyjnego, skonstruować elementy
różniczkujace
˛ lub całkujace.
˛
Analize˛ takich przypadków pozostawiamy czytelnikowi.
4.5. Podsumowanie
Ćwiczenie miało na celu poznanie nastepuj
˛ acych
˛
zagadnień zwiazanych
˛
z symulacja˛ komputerowa˛ systemów o złożonej strukturze:
• wyznaczanie operatorowych transmitancji zastepczych
˛
systemów o typowych strukturach połaczeń;
˛
• istota Układu Automatycznej Regulacji (UAR) i różne konwencje jego
przedstawiania;
62
• badanie stabilności systemów złożonych na podstawie typowych przykładów;
• komputerowa implementacja kryteriów stabilności systemów z czasem
ciagłym
˛
w środowisku MATLAB;
• detekcja rzedu
˛ inercyjności i astatyzmu systemów złożonych;
• budowa regulatorów P, PI i PID za pomoca˛ standardowych obiektów
liniowych dostepnych
˛
w nakładce graficznej Simulink.
63
5. Charakterystyki
czestotliwościowe
˛
obiektów
dynamicznych
5.1. Wprowadzenie
W rozdziale bada sie˛ podstawowe układy liniowe w dziedzinie czestotliwo˛
ści. Utworzone charakterystyki amplitudowo-fazowe (a—f) i Bodego opisuja˛
jednoznacznie zachowanie i cechy dynamiczne tych układów. Analiza układów
w dziedzinie czestotliwości
˛
znajduje powszechne zastosowanie w teorii przetwarzania sygnałów, przede wszystkim w zagadnieniach telekomunikacyjnych.
5.2.1. Odpowiedź systemu liniowego na pobudzenie sinusoidalne
Załóżmy, że system liniowy o transmitancji K(s) = L(s)/M (s) jest pobudzany sygnałem sinusoidalnym u(t) = sin ωt o stałej pulsacji. Transformata
Laplace’a jego odpowiedzi ma wtedy postać
Y (s) =
Q(s)
W (s)
L(s)
U (s) +
+
,
M (s)
M (s) M (s)
(5.1)
˛
z typem sygnału
gdzie U (s) = ω/(s2 + ω2 ), składnik Q(s)/M (s) jest zwiazany
wejściowego i wystepuje
˛
zawsze, natomiast W (s)/M (s) pochodzi od niezerowego warunku poczatkowego.
˛
Zakładajac,
˛ że zajmujemy sie˛ systemem asymptotycznie stabilnym i chcac
˛ wyznaczyć składowa˛ ustalona˛ wyjścia, niech warunek poczatkowy
˛
bedzie
˛
zerowy W (s) = 0. Rozkładamy dwa pierwsze składniki
64
5. Charakterystyki czestotliwo´
˛
sciowe obiektów dynamicznych
w (5.1) na ułamki proste
Q(s)
αs + β
(αs + β)M (s) + Q(s)(s2 + ω 2 )
L(s)
ω
Q(s)
+
=
=
+
s2 + ω 2 M (s) M (s)
s2 + ω2 M (s)
(s2 + ω 2 )M (s)
(5.2)
i mnożymy skrajne strony równania (5.2) przez (s2 + ω 2 )M (s), otrzymujemy
ωL(s) + (s2 + ω 2 )Q(s) = (αs + β)M (s) + Q(s)(s2 + ω 2 ).
(5.3)
Po podstawieniu teraz do równania (5.3) kolejno s = jω oraz s = −jω, otrzymujemy układ dwóch równań liniowych:
(
L(jω)
= β + jωα
ω M(jω)
L(−jω)
= β − jωα
ω M(−jω)
z dwiema niewiadomymi α i β. Dodanie, a nastepnie
˛
odjecie
˛
tych równań
stronami i skorzystanie z faktu, iż K(jω)+K(−jω) = 2 Re K(jω) oraz K(jω)−
K(−jω) = 2j Im K(jω) prowadzi do rozwiazania
˛
α = Im K(jω);
β = ω Re K(jω);
stad
˛
Im K(jω) · s + Re K(jω) · ω
= |K(jω)|
Yust (s) =
s2 + ω 2
Im K(jω)
|K(jω)|
Re K(jω)
|K(jω)|
s2 + ω 2
·s+
·ω
.
Odpowiedź asymptotycznie stabilnego systemu liniowego o transmitancji
K(s), pobudzanego sygnałem sinusoidalnym u(t) = sin ωt, ma zatem w stanie
ustalonym postać
yust (t) = A sin(ωt + ϕ),
(5.4)
czyli jest również sinusoida,
˛ o pulsacji ω — identycznej jak pulsacja sygnału wejściowego. Wzmocnienie amplitudy A oraz wprowadzone przesuniecie
˛
fazowe
ϕ sa˛ zależne od ω, odpowiednio
A(ω) = |K(jω)| ,
ϕ(ω) = arg K(jω).
(5.5)
65
5.2.2. Transmitancja widmowa
Funkcja zespolona K(jω) we wzorze (5.5) oznacza transmitancje˛ widmowa˛
systemu zdefiniowana˛ nastepuj
˛ aco
˛
K(jω) , K(s)s=jω
Podobnie jak każda˛ liczbe˛ zespolona˛ transmitancje˛ widmowa˛ K(jω) można
przedstawić w różnych (wzajemnie równoważnych) postaciach, np.:
• algebraicznej
K(jω) = Re K(jω) + j Im K(jω) = P (ω) + jQ(ω);
• wykładniczej
K(jω) = |K(jω)| ej arg K(jω) = A(ω)ejϕ(ω) .
Zwiazek
˛
miedzy
˛
P (ω) i Q(ω) a A(ω) i ϕ(ω) jest nastepuj
˛ acy
˛ [1]:
p
A(ω) =
P 2 (ω) + Q2 (ω);
Q(ω)
;
ϕ(ω) = arctan
P (ω)
P (ω) = A(ω) cos ϕ(ω);
Q(ω) = A(ω) sin ϕ(ω).
Zależność (5.4) określa ceche˛ charakterystyczna˛ systemów liniowych, które
w przeciwieństwie do systemów nieliniowych nie wprowadzaja˛ tzw. wyższych
harmonicznych.
Odpowiedź (w stanie ustalonym) systemu liniowego na dowolna˛ kombinacje˛
liniowa˛ N sygnałów sinusoidalnych
u(t) =
N
X
ai sin(ωi t + φi ),
i=1
przy znajomości transmitancji widmowej K(jω) uzyskuje sie˛ wprost, jako
yust (t) =
N
X
Ai ai sin(ω i t + φi + ϕi ),
i=1
gdzie Ai = |K(jω i )| oraz ϕi = arg K(jω i ). Fakt ten uzasadnia celowość wyznaczenia charakterystyki K(jω) w funkcji pulsacji ω ∈ [0, ∞).
66
˛
Rys. 5.1. Charakterystyka amplitudowo-fazowa systemu K(s) =
1
s+1
5.2.3. Charakterystyki czestotliwościowe
˛
Już na poczatku
˛
wystepuje
˛
techniczny problem zwiazany
˛
z graficzna˛ prezentacja˛ funkcji ω 7−→ K(jω). Ponieważ K(jω) jest zespolone, jej wykres leży
w przestrzeni trójwymiarowej o osiach (ω, Re K(jω), Im K(jω)).
Najcześciej
˛
spotykane sa˛ dwie konwencje reprezentacji:
• Charakterystyka amplitudowo-fazowa (a-f) — rzut trójwymiarowej krzywej w przestrzeni (ω, Re K(jω), Im K(jω)), gdzie ω ∈ [0, ∞), na płaszczyzne˛
(Re K(jω), Im K(jω)). Zaleta˛ takiej reprezentacji jest możliwość odczytania
z wykresu zarówno modułu A, jak i argumentu ϕ transmitancji K(jω) systemu. Przykładowa˛ charakterystyk˛e a-f przedstawiono na rysunku 5.1.
Gdy nie znamy transmitancji K(s), wówczas tylko na podstawie współrzed˛
nych wybranego punktu P = (Re K(jω 0 ), Im K(jω 0 )) na płaszczyźnie nie
ma możliwości ustalenia konkretnej pulsacji ω0 , która˛ ten punkt reprezentuje. Rozwiazaniem
˛
(nie zawsze satysfakcjonujacym)
˛
może być umieszczanie
dodatkowych etykiet w wybranych punktach charakterystyki.
• Charakterystyki Bodego — wzmocnienie amplitudy A i przesuniecie
˛
fazy
ϕ w funkcji pulsacji ω przedstawiono na dwóch osobnych wykresach. Osie
odcietych,
˛
reprezentujace
˛ pulsacje˛ ω, sa˛ przy tym wyskalowane logarytmicznie.
Przedział odpowiadajacy
˛ 10-krotnemu wzrostowi pulsacji nazywa sie˛ dekada.
˛
Wzmocnienie amplitudy wyraża sie˛ w decybelach
W = 20 log A(ω),
dB.
67
Ułatwia to wyznaczanie charakterystyk zastepczych
˛
przy analizie systemów
połaczonych
˛
szeregowo, przez proste sumowanie. Przykładowe charakterystyki
Bodego pokazano na rysunku 5.2.
Rys. 5.2. Charakterystyki Bodego systemu o transmitancji K(s) = 1/(s + 1)
Można wykazać [5], że wzmocnienie W systemu inercyjnego m-tego rzedu
˛
zmniejsza sie˛ o 20 m decybeli na dekade˛ (właściwość te˛ obserwuje sie˛ przy dużych pulsacjach, przy których dominujace
˛ znaczenie ma składnik mianownika
K(jω) z najwyższa˛ poteg
˛ a˛ ω). Wartość W = 0 dB (odpowiadajaca
˛ A = 1)
jest granica˛ miedzy
˛
wzmocnieniem a tłumieniem.
5.2.4. Zapas amplitudy i zapas fazy
Ważnymi wielkościami, stanowiacymi
˛
intuicyjna˛ miare˛ „odległości” systemu
od obszaru niestabilności po zamknieciu
˛
petli
˛ ujemnego sprze˛ żenia zwrotnego,
sa˛ (rys. 5.3 i 5.4):
• zapas amplitudy (ang. Gm — gain margin) — odwrotność wzmocnienia
|K(jω A )| dla pulsacji ω A , przy której arg K(jω A ) = −π;
• zapas fazy (ang. Pm — phase margin) — brakujace
˛ do π przesuniecie
˛
fazowe: π − arg K(jω F ) przy pulsacji ω F , dla której |K(jωF )| = 1.
Na rysynku 5.3 przedstawiono przykład ilustrujacy
˛ wynik działania funkcji
MATLAB margin(), zastosowanej do wyznaczenia zapasu amplitudy i fazy
3
dla systemu o transmitancji K(s) = (s+1)
3 . Na rysunku 5.4 zobrazowano te
wielkości na charakterystyce amplitudowo-fazowej.
68
˛
Rys. 5.3. Zapas amplitudy i zapas fazy (charakterystyka Bodego)
5.3. Program ćwiczenia
W ćwiczeniu należy wyznaczyć charakterystyki czestotliwościowe
˛
systemów wymienionych w punkcie 3.3. Na podstawie charakterystyk amplitudowofazowych i charakterystyk Bodego dokonać próby detekcji rzedu
˛
inercyjności
i oszacowania parametrów systemu. Wyznaczyć zapas amplitudy i fazy systemów. Dla systemów o oscylacyjnej odpowiedzi skokowej zaobserwować zjawisko rezonansu. Zbadać zależność czestotliwości
˛
rezonansowej od parametrów
systemu.
5.4. Komputerowe badanie charakterystyk
5.4.1. Wyznaczanie charakterystyk amplitudowo-fazowych
Istnieja˛ dwa sposoby wykreślenia charakterystyki amplitudowo-fazowej systemu o transmitancji K(s) za pomoca˛ programu MATLAB.
Pierwszy sposób wymaga znajomości (wyprowadzenia) postaci analitycznej (wzoru) cześci
˛
rzeczywistej i urojonej K(jω). Przykładowo, dla systemu
69
Rys. 5.4. Zapas amplitudy i zapas fazy (charakterystyka a—f)
inercyjnego pierwszego rzedu
˛ o transmitancji K(s) = k/(T s + 1) otrzymujemy
K(jω) =
k (1 − jωT )
k
=
;
1 + jωT
(1 + jωT ) (1 − jωT )
a zatem
Re K(jω) =
k
−kωT
oraz Im K(jω) =
.
1 + ω2T 2
1 + ω2T 2
(5.6)
Metoda opiera sie˛ na zbudowaniu bloków realizujacych
˛
formuły (5.6) i wysterowanie ich przez dowolna˛ zmienna˛ MATLAB (symulujac
˛ a˛ różne wartości
ω), zmieniajac
˛ a˛ sie˛ w zakresie 0, ..., ∞ (np. przebieg liniowo narastajacy,
˛ ang.
Ramp). Na rysunku 5.5 przyjeto
˛ k = 1 i T = 1. Etykieta u jest domyślna˛
nazwa˛ sygnału wejściowego bloku nieliniowego typu Fcn.
Wartości wyjściowe bloków, wyznaczajace
˛ cześć
˛ rzeczywista˛ i urojona,
˛ rejestrowane sa˛ na rejestratorze dwuwymiarowym XYGraph.
Drugi sposób — bardziej uniwersalny — opiera sie˛ na użyciu funkcji freqresp() i nie wymaga żadnych wstepnych
˛
obliczeń symbolicznych, co w wypadku bardziej złożonych systemów może być trudne. Podano przykład skryptu
wyznaczajacego
˛
charakterystyk˛e amplitudowo-fazowa˛ systemu o transmitancji
K(s) = k/(s + 1)3 .
70
˛
Rys. 5.5. Wyznaczanie charakterystyk amplitudowo-fazowych przy znajomości
postaci analitycznej Re K(jω) i Im K(jω)
k=4;
sys=tf([k],[1 3 3 1]); %zdefiniowanie systemu liniowego
w=0:0.01:10; %warto´sci pulsacji dla których należy wyznaczyć K(jw)
r=freqresp(sys,w); %wyznaczenie K(jw) systemu przy pulsacjach w
for i=1:1001 %zabieg techniczny (konwersja)
rr(i)=r(1,1,i); end; %zabieg techniczny (konwersja)
plot(rr,’rx’); %rysowanie ch-ki (czerwone krzyżyki)
grid on; %siatka skalujaca
˛ na wykresie
hold on; %mozliwo´sć umieszczenia wielu wykresów w jednym oknie
Przykładowe charakterystyki amplitudowo-fazowe systemów przedstawiaja˛
rysunki 5.6 i 5.7.
5.4.2. Wyznaczanie charakterystyk Bodego
Do kreślenia pary charakterystyk Bodego służy funkcja bode(). Przykład
1
jej użycia dla systemu o transmitancji K(s) = s2 +as+1
przedstawia skrypt.
a=1;
sys=tf([1],[1 a 1]); %zdefiniowanie systemu liniowego
bode(sys)
5.4.3. Wyznaczanie gestości
˛
widmowej mocy sygnału
W nowszych wersjach pakietu MATLAB możliwa jest analiza gestości
˛
widmowej mocy sygnału. Służy do tego blok Power Spectral Density zasobnika
Simulink Extras (pod warunkiem jego zainstalowania) w nakładce Simulink.
Rys. 5.6. Charakterystyka a-f systemu K(s) =
71
k
(s+1)3
przy k = 4 i k = 8
Rys. 5.7. Charakterystyka amplitudowo-fazowa systemu o transmitancji
1
K(s) = T s+1
dla stałych czasowych T = 1 (krzyżyki) oraz T = 10 (kółka)
72
˛
5.5. Przykład praktyczny — głowica radiowa
Zbadamy zachowanie sie,
˛ w stanie ustalonym, czwórnika złożonego z trzech
elementów liniowych — rezystora o rezystancji R, kondensatora o pojemności
C i cewki o indukcyjności L (rys. 5.8), pobudzanego napieciem
˛
wejściowym
u(t) = sin ωt.
R
u(t)
L
C
y(t)
Rys. 5.8. Układ RLC
Reaktancje rezystora, kondensatora i cewki wynosza˛ odpowiednio:
XR (ω) = R,
1
,
XC (ω) =
jωC
XL (ω) = jωL.
Zastepcza
˛
reaktancja połaczonych
˛
równolegle L i C ma postać
XLC (ω) =
L
XL (ω)XC (ω)
C
=
XL (ω) + XC (ω)
j(ωL −
1 .
ωC )
Wzmocnienie amplitudy A = |K(jω)| całego układu (czwórnika) zależy
zatem od pulsacji w nastepuj
˛ acy
˛ sposób
A=
|XLC (ω)|
,
|R + XLC (ω)|
a ponieważ wartość XLC (ω) jest czysto urojona, to A 6 1. Wartość maksy˛
gdy |XLC (ω)| = ∞.
malna wzmocnienia amplitudy (Amax = 1) jest osiagana,
Sytuacja taka wystepuje
˛
wówczas, gdy
ωL =
1
,
ωC
5.5. Przykład praktyczny — głowica radiowa
73
czyli przy pulsacji (tzw. rezonansowej) sygnału wejściowego
1
ω rez = √
.
LC
Na podstawie praw elektrotechniki
L=
εS
z 2 µp
oraz C =
,
l
d
stwierdzamy, że wartość pulsacji rezonansowej ωrez zależy od liczby zwojów indukcyjności z, przenikalności magnetycznej rdzenia cewki µ, rozmiarów rdzenia — przekroju p i długości l, a także odległości i powierzchni okładek kondensatora S i d oraz stałej elektrycznej ε izolatora, który je rozdziela. W stanie
ustalonym układ RLC pełni wiec
˛ role˛ filtru środkowozaporowego, co jest wykorzystywane we wszelkiego rodzaju głowicach radiowych. Zmiana pojemności
C lub indukcyjności L umożliwia dostrajanie sie˛ do różnych czestotliwości
˛
nadajników. Rezystancja obcia˛żenia wyjścia tego układu wynosi ∞. Pomija
sie˛ rezystancje˛ cewki.
74
75
6. Liniowe układy
automatycznej regulacji
z czasem ciagłym
˛
6.1. Wprowadzenie
Układ Automatycznej Regulacji (UAR) jest podstawowym systemem automatyki i składa sie˛ z obiektu regulacji i regulatora, o transmitancjach odpowiednio KO (s) i KR (s). Jego struktura, przedstawiona w rozdziale 4, umożliwia
powstanie uchybu regulacji ε(t) = y0 (t) − y(t), jako sygnału wejścia na regulator. Transmitancja regulatora KR (s) zawsze podlega wyborowi, natomiast
transmitancja obiektu KO (s) jest ustalona i może być nieznana (należy ja˛
wówczas określić w procesie identyfikacji). Po zdjeciu
˛
charakterystyki czasowej rzeczywistego obiektu, klasyfikuje sie˛ go do jednej z opisanych kategorii.
Liniowe układy regulacji można podzielić na dwa typy:
• z obiektami o cechach inercyjnych wysokiego rzedu;
˛
• z obiektami o cechach całkujacych
˛
z inercja˛ (astatycznych).
Różne cechy dynamiczne obu typów obiektów regulacji należy zidentyfikować w oddzielnym postepowaniu,
˛
ale ich znajomość jest bardzo ważna, ponieważ wymagaja˛ innych algorytmów doboru nastaw (zwanych w literaturze
pierwsza˛ i druga˛ metoda˛ Zieglera—Nicholsa) [14]. Transmitancja inercyjnego
obiektu rzeczywistego rzedu
˛ m ≥ 3 ma postać
KO1 (s) =
k
.
(T1 s + 1)(T2 s + 1)...(Tm s + 1)
W celu ustalenia algorytmu regulacji takim obiektem buduje sie˛ jego model uproszczony (aproksymujacy).
˛
Inercyjność wysokiego i nieznanego rzedu
˛
m > 3 aproksymuje sie˛ układem opóźniajacym
˛
o τ , połaczonym
˛
szeregowo
76
˛
z elementem inercyjnym pierwszego rzedu
˛
o wzmocnieniu k i stałej czasowej
TZ (można to zrobić według tzw. reguły Padé [3]). Transmitancja układu
przybliżonego ma postać
(1)
Kapr
(s) =
ke−sτ
.
TZ s + 1
Ważny jest również dodatkowy parametr a (rys. 6.1), stosowany w doborze nastaw regulatorów (co zostanie przedstawione później). Charakterystyka
skokowa λ(t) obiektu rzeczywistego może zostać wykreślona w wyniku symulacji komputerowej. W ten sposób otrzymamy parametry zastepcze
˛
(τ , TZ , a)
transmitancji aproksymujacej
˛ obiekt, które wejda˛ do algorytmu regulacji i reguł doboru odpowiednich regulatorów oraz ich nastaw [3].
Rys. 6.1. Wyznaczanie parametrów τ , TZ i a na podstawie odpowiedzi skokowej
układu inercyjnego
W praktyce, bardzo czesto
˛
obiekt inercyjny współpracuje z elementem całkujacym,
˛
którym może być np. silnik wykonawczy. Transmitancja operatorowa idealnego elementu całkujacego
˛
ma postać K(s) = k/s. Dołaczenie
˛
wykonawczego elementu całkujacego
˛
do obiektu inercyjnego powoduje, że tworzy
sie˛ połaczenie
˛
szeregowe i całość ma właściwości całkujace
˛ (biegun transmitancji w punkcie s = 0). Transmitancja tak powstałego rzeczywistego obiektu
6.1. Wprowadzenie
77
Rys. 6.2. Wyznaczanie parametrów τ , TZ i a na podstawie odpowiedzi skokowej
układu całkujacego
˛
z inercja˛
całkujacego
˛
z inercja,
˛ jako drugiego typu obiektów, może być nastepuj
˛ aca
˛
KO2 (s) =
k
.
s(T1 s + 1)(T2 s + 1)...(Tm s + 1)
Pojedynczy zerowy biegun transmitancji świadczy o pojedynczym elemencie całkujacym
˛
(wielokrotne bieguny zerowe najcześciej
˛
wprowadzaja˛ strukturalna˛ niestabilność do układu). Dodatkowo, inercyjność obiektu nie powinna
być wysokiego rzedu
˛
(m 6 3). W tym przypadku przyjmuje sie˛ model aproksymujacy
˛ o transmitancji zastepczej
˛
(2)
Kapr
(s) =
ke−sτ
,
s
gdzie k = 1/TZ .
Aby uzyskać parametry zastepcze
˛
(aproksymujace)
˛
takiego obiektu, które
wejda˛ do algorytmu regulacji, trzeba również je zidentyfikować w procesie
komputerowej symulacji jego odpowiedzi λ(t) na skok jednostkowy. Metode˛
wyznaczania parametrów τ i TZ ilustruje rysunek 6.2.
W przypadku aproksymacji obiektów z cechami całkujacymi
˛
wyznacza sie˛
również dodatkowy parametr a (liczony bezwzglednie),
˛
który ma duże znacze-
78
˛
Tabela 6.1. Zgrubne nastawy regulatorów
Typ regulatora
P
PI
PID
kp
1/a
0, 9/a
1, 2/a
Ti
—
3τ
2τ
Td
—
—
τ /2
nie w procesie ustalania orientacyjnych wartości nastaw regulatorów w Układzie Automatycznej Regulacji (nie precyzuja˛ one żadnego kryterium jakości
regulacji). Orientacyjne wartości nastaw parametrów regulatorów dla układu
z obiektem inercyjnym i obiektem całkujacym
˛
przedstawiono w tabeli 6.1 [3].
Parametry nastaw regulatorów z tabeli 6.1 sa˛ obliczane w wyniku oszacowania graficznych przebiegów odpowiedzi skokowych typowych obiektów regulacji i moga˛ służyć tylko do orientacyjnych, wstepnych
˛
pomiarów. W literaturze znane sa˛ algorytmy regulacji oparte na szacunkach doświadczalnych
i obliczeniach symbolicznych lub numerycznych. Wszystkie algorytmy regulacji wywodza˛ sie˛ jednak z inżynierskich (doświadczalnych) reguł doboru nastaw
zaproponowanych przez Zieglera i Nicholsa (1942 r. i lata późniejsze), znanych
pod nazwa˛ I i II metody Zieglera—Nicholsa [14].
6.2. Własności UAR w stanie ustalonym
6.2.1. Wprowadzenie
W pracy systemu automatycznej regulacji, przy ustalonym wejściowym sy˛ wielkości ustagnale zadajacym
˛
y0 (t) = 1(t), dokładność regulacji określaja:
lone uchybów i uchyby przejściowe (dynamiczne). Uchyb dynamiczny określa
dokładność regulacji systemu w stanie przejściowym, jego wartość poczatkow
˛
a˛
oznaczymy jako
εp , lim ε(t),
t→0
natomiast uchyb ustalony oblicza sie˛ z zależności
εust , lim ε(t).
t→∞
W stabilnym Układzie Automatycznej Regulacji, dla sygnału zadajacego
˛
y0 (t) = 1(t) te granice istnieja.
˛ Oznacza to, że w stabilnym układzie można badać wielkość błedu
˛ w stanie ustalonym i bedzie
˛
on zawsze ograniczony.
Od jego wielkości zależy jeden z podstawowych warunków jakości regulacji.
Całościowo, jakość regulacji można oceniać na podstawie trzech warunków [5]
6.2. Własno´sci UAR w stanie ustalonym
79
• zapasu stabilności;
• małej wartości uchybu w stanie ustalonym;
• dużej szybkości regulacji.
Podane warunki wnosza˛ zwykle przeciwstawne wymagania i przyjmuje sie˛
rozwiazania
˛
kompromisowe.
Aby badać komputerowo przebieg sygnału błedu
˛ ε(t), należy przede wszystkim utworzyć odpowiedni układ z sygnałem ε(t) jako jego sygnałem wyjściowym (rys. 6.3). W rezultacie powstanie specjalna transmitancja układu
zamknietego,
˛
zwana transmitancja˛ uchybowa˛ (mówiliśmy o tym również
w rozdz. 4):
KE (s) ,
1
E(s)
=
,
Y0 (s)
1 + Kotw (s)
gdzie Kotw (s) = KR (s)KO (s).
Y0 (s) +
E(s)
E(s)
_
Y (s)
otwarcie UAR
KO (s)
U ( s)
KR (s)
Rys. 6.3. Układ Automatycznej Regulacji z sygnałem uchybu ε(t) — jako wyjściem
Z transmitancji uchybowej KE (s) wyprowadza sie˛ sygnał błedu
˛ E(s)=ε(t),
b
którego różne przebiegi czasowe można ogladać
˛
na wykresach programu MATLAB/Simulink. Obliczmy wartość εust przy założeniu, że y0 (t) = 1(t),
a także wybrany został regulator KR (s) (określone sa˛ parametry (kp , Ti , Td )),
oraz znana jest postać transmitancji systemu otwartego Kotw (s). Na podstawie twierdzenia Abela [5]
εust , lim ε(t) = lim sE(s) = lim sKE (s)Y0 (s) = lim s
t→∞
s→0
s→0
s→0
1
Y0 (s).
1 + KR (s)KO (s)
Postuluje sie,
˛ aby
|εust | < εmax < ∞,
gdzie εmax jest skończone, może nia˛ być np. wartość |εust | , która wystapiłaby
˛
w układzie zamknietym
˛
bez regulatora [4]. Jak widać z zależności, wielkość
˛
y0 (t),
εust zależy od parametrów regulatora i wejściowego sygnału zadajacego
80
˛
przy czym transmitancja KO (s) jest stała. Jeśli założymy, że y0 (t) = 1(t),
to o jakości regulacji w stanie ustalonym bedzie
˛
decydować transmitancja
˛
szeregowego.
Kotw (s) = KR (s)KO (s), czyli struktura całego bloku połaczenia
Regulacja statyczna i astatyczna
Układ Automatycznej Regulacji (UAR), w którym Kotw (s) nie ma bieguna
w punkcie s = 0 nazywamy statycznym [5], [15]. Jeśli ponadto układ otwarty
jest stabilny, to jego wzmocnienie w stanie ustalonym wynosi Kotw (0). Rozumowanie takie prowadzi do wniosku, że otwarty system regulacji (statycznej )
nie ma właściwości całkujacych,
˛
natomiast po zamknieciu
˛
sygnał błedu
˛ w sta˛
różny od zera. Wynika to z nastepuj
˛ acej
˛ właściwości:
nie ustalonym εust bedzie
Jeśli y0 (t) = 1(t), to w statycznym, stabilnym UAR
εust = lim ε(t) =
t→∞
1
6= 0.
1 + Kotw (0)
Przypomnijmy dla porzadku,
˛
czym jest pojecie
˛ wzmocnienia w stanie ustalonym, ponieważ jego wartość decyduje o cechach układu regulacji.
Definicja 5. Je´sli granica limt→∞ λ(t) istnieje, to nazywamy ja˛ wzmocnieniem układu w stanie ustalonym.
Wzmocnienie w stanie ustalonym jest obliczane w naszym przypadku tylko
dla systemu otwartego. Wyprowadzimy je wprost z definicji, pamietaj
˛ ac,
˛ że
wejściem jest y0 (t), a wyjściem — sygnał y(t)
lim y(t) = lim sY (s) = lim sKotw (s)Y0 (s) =
t→∞
s→0
s→0
1
= lim sKotw (s) = lim Kotw (s) = Kotw (0)
s→0
s s→0
Rozważymy teraz przypadek regulacji astatycznej. Załóżmy, że Kotw (s)
ma pojedynczy biegun w punkcie s = 0. Układ otwarty jest wiec
˛ niestabilny
(lub na granicy stabilności [5]). Gdy zerowych biegunów jest wiecej,
˛
to ich
liczba określa tzw. rzad
˛ astatyzmu [15]. Astatyczny Układ Automatycznej
Regulacji nie ma charakterystyki statycznej, a ma nastepuj
˛ ac
˛ a˛ właściwość:
Jeśli y0 (t) = 1(t), to w astatycznym, stabilnym UAR
εust = lim ε(t) = 0.
t→∞
81
Można to łatwo wykazać z twierdzenia Abela [5], ponieważ
1
lim ε(t) = lim sE(s) = lim sKE (s)Y0 (s) = lim sKE (s) =
t→∞
s→0
s→0
s→0
·
¸ s
1
1
= lim KE (s) = lim
=
= 0.
s→0
s→0 1 + Kotw (s)
1+∞
W rozważanym przypadku Kotw (0) = ∞, ponieważ zawiera zerowy biegun.
Stad
˛ układ astatyczny automatycznej regulacji (oczywiście jeżeli jest stabilny)
zapewnia zerowy bład
˛ regulacji w stanie ustalonym. Jest to pożadana
˛
cecha
regulacji układu. Należy jednak pamietać,
˛
że w takim systemie, po otwarciu
petli
˛ sprze˛ żenia zwrotnego, jest on niestabilny. Poza tym można wykazać, że
np. astatyzm rzedu
˛
drugiego, tzn. podwójny biegun transmitancji Kotw (s)
najcześciej
˛
powoduje niestabilność strukturalna˛ systemu zamknietego
˛
(system
zamkniety
˛ jest niestabilny niezależnie od nastaw regulatora i zmian parametrów). Świadczy o tym podany przykład.
Przykład
Niech transmitancja układu otwartego ma postać Kotw (s) = s2 (Tks+1) . Zbadać, czy po zamknieciu
˛
petli
˛ ujemnego sprze˛ żenia zwrotnego bedzie
˛
on stabilny. Mianownik transmitancji systemu zamknietego
˛
ma postać
MZ (s) = Lotw (s) + Motw (s) = T s3 + s2 + k,
Na podstawie warunku koniecznego stabilności według kryterium Hurwitza
(tzw. twierdzenia o współczynnikach) system zamkniety
˛ nie jest stabilny, niezależnie od parametrów T i k, gdyż wielomian MZ (s) ma zerowy współczynnik
przy pierwszej potedze
˛
s. Stabilność systemu zamknietego
˛
można też rozstrzygnać
˛ za pomoca˛ znanego kryterium Nyquista, na podstawie przebiegu charakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego. Obliczmy dla naszego
przykładu transmitancje˛ widmowa˛ Kotw (jω) = P (ω) + jQ(ω).
Kotw (s)|s=jω = Kotw (jω) =
kT
−k
+j
ω 2 (1 + ω2 T 2 )
ω(1 + ω 2 T 2 )
Można teraz oszacować przebieg charakterystyki amplitudowo-fazowej dla
pulsacji ω ∈ [0, ∞)
P (ω) → −∞ oraz Q(ω) → ∞, gdy ω → 0;
P (ω) → 0 oraz Q(ω) → 0, gdy ω → ∞.
82
˛
Z oszacowania przebiegu charakterystyki amplitudowo-fazowej wynika, że
zawsze bedzie
˛
obejmowała punkt (−1, j0) (patrz rys. 6.4), ponieważ zawsze
przebiega nad ujemna˛ cześci
˛ a˛ osi P (ω). Niezależnie zatem od parametrów
T i k system zamkniety
˛ jest niestabilny.
Rys. 6.4. Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego — system
zamkniety
˛ niestabilny
6.2.2. Program ćwiczenia
W ćwiczeniu bedziemy
˛
badać przebiegi sygnału błedu
˛ w stanie ustalonym
εust , w systemie regulacji o różnych transmitancjach obiektu KO (s) i regulatorach typu P, I oraz PI. Regulator PID, ze swoja˛ cześci
˛ a˛ różniczkujac
˛ a˛
w transmitancji, nie ma wpływu na wielkość sygnału εust . Ważna jest różnica
w działaniu regulujacym
˛
regulatorów P oraz I, a także połaczenie
˛
ich zalet
w działaniu regulatora PI. Jak wiemy, istnienie εust zależy od tego, czy układ
jest stabilny, a wiec
˛ stabilność układu zamknietego
˛
należy sprawdzić w pierw˛
wynosiło zero lub bedzie
˛
szym punkcie ćwiczenia. Natomiast to, czy εust bedzie
liczba˛ różna˛ od zera zależy od tego, czy układ otwarty ma cechy statyzmu lub
astatyzmu. Decyduje o tym nastepuj
˛ aca
˛ właściwość [5], wynikajaca
˛ z postaci
mianownika transmitancji uchybowej KE (s):
Niech y0 (t) = 1(t). Granica limt→∞ ε(t) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
system regulacji jest stabilny.
83
System regulacji jest stabilny, jeśli jego równanie charakterystyczne
MZ (s) = 0 spełnia warunki któregoś ze znanych kryteriów stabilności dla
układów zamknietych.
˛
Z poprzedniego rozdziału wiemy, że istnieja˛ układy
regulacji statycznej i astatycznej. Decyduje o tym struktura układu otwartego
Kotw (s) = KR (s)KO (s).
Według Pełczewskiego [15], o cechach statyzmu lub astatyzmu układu mówi
˛
sie˛ zawsze wzgledem
˛
zewnetrznego
˛
sygnału zadajacego
˛
y0 (t), który najcześciej
wynosi y0 (t) = 1(t). Taki rodzaj regulacji automatycznej jest regulacja˛ stałowartościowa˛ i jej zadaniem jest utrzymanie wyjścia obiektu y(t) jak najbliżej
wartości sygnału zadajacego
˛
y0 (t), dla każdej chwili. Można jednak również
badać działanie układów tzw. regulacji nada˛żnej, gdy sygnał zadajacy
˛ y0 (t)
jest funkcja˛ czasu, np. w postaci wielomianu [15]:
y0 (t) = A0 + A1 t + A2 t2 + ... + Ar tr .
Jest to typ regulacji programowej (nada˛żnej), w której regulator ma spełnić zadanie realizacji programu nada˛żania wyjścia obiektu y(t) za zmieniajac
˛ a˛
sie˛ w czasie wartościa˛ sygnału zadajacego
˛
y0 (t). W programie ćwiczenia rozpatrzymy oba te przypadki regulacji, dla dwóch rodzajów obiektów: obiektu
typu inercyjnego (o stopniu ≤ 3) oraz obiektu typu całkujacego
˛
(z inercja).
˛
Na poczatek
˛
założymy, że wejściowy sygnał zadajacy
˛ y0 (t) = 1(t). Jako
pierwszy rozważymy przypadek, gdy obiekt jest typu inercyjnego, a regulator
proporcjonalny typu P. Dlatego transmitancja układu otwartego nie ma biegunów równych zeru, mamy wiec
˛ do czynienia z regulacja˛ statyczna.
˛ Możemy
teraz obliczyć bład
˛ εust w tym przypadku i wykazać, że εust 6= 0.
Przykład 1
Dane sa:
˛ KO (s) =
k
T s+1 ;
εust =
KR (s) = kp ; y0 (t) = 1(t).
lim ε(t) = lim sE(s) =
t→∞
s→0
1
= lim sKE (s) = lim KE (s) =
s→0
s s→0
1
1
= lim
6= 0.
=
s→0 1 + kp k
1
+
kp k
T s+1
Obliczymy teraz wartość εust w przypadku tego samego obiektu inercyjnego
oraz regulatora typu PI.
84
˛
Przykład 2
Dane sa:
˛ KO (s) =
k
T s+1 ;
KR (s) = kp (1 +
1
Ti s );
y0 (t) = 1(t).
1
lim ε(t) = lim sE(s) = lim sKE (s) = lim KE (s) =
t→∞
s→0
s→0
s s→0
1
1
= lim
=
= lim
s→0 1 + kp (1 + 1 ) k
s→0 1 + kkp Ti s+kkp
2
Ti s T s+1
T Ti s +Ti s
"
# ·
¸
1
1
= 0.
=
=
kkp
1+∞
1+ 0
εust =
Ponieważ w transmitancji układu otwartego wystapił
˛ pojedynczy biegun
zerowy, pochodzacy
˛ od regulatora PI, stad
˛ UAR realizuje regulacje˛ astatyczna,
˛
czego efektem jest zerowanie sie˛ błedu
˛ w stanie ustalonym.
W dalszym ciagu
˛ w przypadku tej samej ustalonej wartości sygnału zadajacego
˛
y0 (t) = 1(t) zbadamy zachowanie układu regulacji, gdy obiekt jest typu
całkujacego,
˛
a regulator typu P oraz typu PI.
Przykład 3
Dane sa:
˛ KO (s) =
εust =
k
s(T s+1) ;
KR (s) = kp ; y0 (t) = 1(t).
lim ε(t) = lim sE(s) = lim KE (s) =
s→0
s→0
"
#
1
1
=
= lim
=0
kp k
k k
s→0 1 +
1 + p0
s(T s+1)
t→∞
W transmitancji układu otwartego wystapił
˛
również pojedynczy biegun zerowy, lecz pochodzacy
˛ od transmitancji obiektu. Mamy do czynienia z regulacja˛ astatyczna,
˛ a bład
˛ w stanie ustalonym wynosi zero.
Przykład 4
Dane sa:
˛ KO (s) =
k
s(T s+1) ;
KR (s) = kp (1 +
1
Ti s );
y0 (t) = 1(t).
1
lim ε(t) = lim sE(s) = lim sKE (s) = lim KE (s) =
t→∞
s→0
s→0
s s→0
1
1
= lim
= lim
=
1
k
T
sk
+k
p
p
i
k
s→0 1 + kp (1 +
s→0 1 +
Ti s ) s(T s+1)
Ti s
s(T s+1)
"
#
1
1
= lim
=
=0
kk
s→0 1 + Ti skkp +kkp
1 + 0p
s2 Ti (T s+1)
εust =
85
W transmitancji układu otwartego wystapił
˛ podwójny biegun zerowy, jeden
z nich od obiektu całkujacego,
˛
a drugi od całkujacych
˛
cech regulatora PI.
Pamietaj
˛ ac
˛ o tym, że wejściowy sygnał zadajacy
˛ układu jest skokiem jednostkowym, otrzymujemy zerowa˛ wartość błedu
˛ w stanie ustalonym, podobnie jak
dla układu regulacji z regulatorem typu P, gdzie obiekt również miał cechy
całkujace.
˛
Podsumujemy teraz wszystkie rezultaty badań zachowania układu w stanie
ustalonym, gdy wejściowy sygnał zadajacy
˛ jest funkcja˛ skoku jednostkowego.
Statyczne lub astatyczne cechy regulacji zależa,
˛ jak wiemy, od transmitancji
układu otwartego. Uogólnimy zapis tej transmitancji do nastepuj
˛ acej
˛ postaci:
Kotw (s) =
Lotw (s)
Lotw (s)
= h
,
Motw (s)
s Notw (s)
przy czym Lotw (s) i Notw (s) sa˛ wielomianami zmiennej s majacymi
˛
niezerowe
wyrazy wolne, a h jest nazywane rzedem
˛
astatyzmu. Gdy zatem h = 0,
wówczas transmitancja Kotw (s) = Lotw (s)/Notw (s) nie ma biegunów równych
zeru. Transmitancja taka prezentuje układ statyczny wzgledem
˛
sygnału zadajacego.
˛
Można wyciagn
˛ ać
˛ nastepuj
˛ ace
˛ wnioski:
Wniosek 1. Gdy sygnał zadajacy
˛ jest „stały” (y0 (t) = 1(t)), wówczas
w statycznym stabilnym układzie regulacji (h = 0) uchyb, przy t → ∞, da˛ży
do niezerowej wartości ustalonej, εust 6= 0.
Wniosek 2. Gdy sygnał zadajacy
˛ jest „stały” (y0 (t) = 1(t)), wówczas
w astatycznym stabilnym układzie regulacji (h > 0) uchyb, przy t → ∞, da˛ży
do zera, εust = 0.
˛ o cechach astatyzmu
Zerowe bieguny w transmitancji Kotw (s), decydujace
układu regulacji, moga˛ pochodzić od transmitancji obiektu, od regulatora lub
od obydwu z nich. Rozważmy teraz przypadek, gdy wejściowy sygnał zadajacy
˛
jest funkcja˛ czasu w postaci wielomianu [15]:
y0 (t) = A0 + A1 t + A2 t2 + ... + Ar tr
Jeżeli r > 1, to w układzie statycznym (h = 0), uchyb ε(t) → ∞, przy t → ∞.
Ilustruje to przykład 5.
Przykład 5
Dane sa:
˛ y0 (t) = t · 1(t), KO (s) =
εust =
1
T s+1 ;
KR (s) = kp .
lim ε(t) = lim sE(s) = lim sKE (s)Y0 (s) =
s→0
s→0
¸
·
1
1
1
1
=∞
= lim s
= lim
=
s→0 1 + kp 1 s2
s→0 s(1 + kp )
0 · (1 + kp )
T s+1
t→∞
T s+1
86
˛
Przykład 5 potwierdza, że układ nie potrafi nada˛żyć za sygnałem
y0 (t) = t · 1(t), nie daje on także gwarancji ograniczonego uchybu. Nie można
wiec
˛ mówić o układzie stabilizacji. Natomiast w układzie regulacji astatycznej
(h > 0) moga˛ wystepować
˛
nastepuj
˛ ace
˛ przypadki:
• limt→∞ ε(t) = 0, gdy h > r;
• limt→∞ ε(t) = εust 6= 0, gdy h = r;
• limt→∞ ε(t) = ∞, gdy h < r.
Ich ilustracja˛ sa˛ dwa nastepne
˛
przykłady.
Przykład 6
Dane sa:
˛ y0 (t) = t · 1(t), KO (s) =
εust =
1
s(T s+1) ;
KR (s) = kp (1 +
1
Ti s ).
lim ε(t) = lim sE(s) = lim sKE (s)Y0 (s) =
t→∞
s→0
s→0
1
1
1
= lim s
=
= lim
1
1
2
k
s→0 1 +
s→0 s(1 + p Ti s+kp )
s
s(T s+1) kp (1 + Ti s )
s(T s+1)Ti s
"
#
1
1
= lim
=
=0
k
T
s+k
k
p
p
i
s→0 s +
0 + 0p
(T s+1)Ti s
W przykładzie 6 rzad
˛ astatyzmu regulacji h = 2 przewyższa stopień wielomianowej zmienności wejścia (r = 1), dlatego bład
˛ w stanie ustalonym jest
równy zeru — system regulacji nada˛ża za wejściowym sygnałem odniesienia
(co potwierdza przypadek pierwszy).
Przykład 7
Dane sa:
˛ y0 (t) = t2 · 1(t), KO (s) =
εust =
1
s(T s+1) ;
KR (s) = kp (1 +
1
Ti s ).
lim ε(t) = lim sE(s) = lim sKE (s)Y0 (s) = lim sKE (s)
t→∞
s→0
s→0
2
³
s→0 2
k
s 1 + s(T s+1)
kp (1 +
"
#
2
2Ti
=
6= 0
=
kkp
kkp
0 + Ti
= lim
´ = lim
s→0 s2 +
1
)
Ti s
s→0
2
kkp Ti s+kkp
Ti (T s+1)
2
=
s3
=
W przykładzie 7 rzad
˛ astatyzmu jest taki sam jak parametr r, h = r = 2,
bład
˛ w stanie ustalonym jest pewna˛ stała,
˛ wynikajac
˛ a˛ z parametrów układu
otwartego, co potwierdza przypadek drugi (h = r).
Na podstawie obliczeń, wynikajacych
˛
z zastosowania twierdzenia Abela
o wartości granicznej ([5]) wnioskujemy, że astatyzm układu regulacji wzgledem
˛
87
sygnału zadajacego
˛
może wystepować
˛
wtedy, gdy w układzie sa˛ człony całkujace.
˛
Zależnie od relacji rzedu
˛ astatyzmu układu otwartego wzgledem
˛
stopnia
˛ ustalony εust zamknietego
˛
układu
wielomianu sygnału zadajacego
˛
y0 (t), bład
regulacji może wynosić zero lub być pewna˛ stała.
˛ Jej wielkość, jak wiemy z
przykładu 7, zależy od parametrów obiektu i regulatora. Możemy wiec
˛ na
te˛ wielkość wpływać, zmieniajac
˛ parametry regulatora i poprawiajac
˛ przez to
jakość regulacji. Podwyższanie rzedu
˛ astatyzmu regulatora może być dobrym
sposobem na likwidacje˛ uchybu ustalonego, czyli popraw˛e jakości regulacji.
Sposób ten ma jednak zasadnicza˛ wade,
˛ polegajac
˛ a˛ na tym, że może spowodować utrate˛ stabilności układu, doprowadzajac
˛ do niestabilności strukturalnej,
czyli niezależnej od wartości któregokolwiek z parametrów regulatora i obiektu.
Problem taki przedstawiono w przykładzie z rozdziału 4.
Zadanie jakie stoi przed układem regulacji, w którym wejściowy sygnał zadajacy
˛ jest funkcja˛ wielomianowa,
˛ polega na tym, aby wyjście obiektu nada˛żało
za zmieniajac
˛ a˛ sie˛ wartościa˛ y0 (t). Mówimy wówczas o systemie nada˛żnym, w
którym zadanie regulacji jest nazywane regulacja˛ programowa.˛ Istnieja˛ jednak
˛ on
przykłady regulacji programowej takie, że εust → ∞, gdy t → ∞. Wystapi
na przykład wtedy, gdy w układzie z regulatorem P i obiektem z cechami całkujacymi,
˛
na wejście podamy sygnał zadajacy
˛ y0 (t) = t2 · 1(t). Mimo że układ
otwarty jest astatyczny (h = 1, biegun zerowy pochodzacy
˛ od obiektu), to po
zamknieciu
˛
wyjście obiektu nie nada˛ża za wejściowym sygnałem zadajacym.
˛
Jest to przypadek, w którym nie można mówić o procesie regulacji w UAR.
Nie wystarczy jakakolwiek zmiana parametrów regulatora, ani obiektu. Aby
˛
przywrócić zdolności regulacyjne (εust < ∞), należy zmienić sygnał zadajacy
y0 (t) lub strukture˛ układu otwartego Kotw (s).
6.2.3. Badania komputerowe
Badania komputerowe umożliwiaja˛ wykonanie wszystkich niezbednych
˛
symulacji zachowania układu w stanie ustalonym, co b edziemy
˛
oceniać od strony
przebiegów sygnału błedu
˛ regulacji ε(t) po „odpowiednio” długim czasie. Ten
czas, liczony jako limt→∞ ε(t), oznacza, że po jego upływie w UAR zanikaja˛
wszystkie dynamiczne procesy przejściowe i staje sie˛ on układem statycznym,
zapewniajacym
˛
realizacje˛ celu regulacji, którym jest maksymalne zbliżenie sie˛
(i ustalenie) wartości wyjścia obiektu y(t) na poziomie sygnału zadajacego
˛
y0 ().
W programie ćwiczenia jest wiele przykładów, których wyniki można umieścić
w tabelach zbiorczych (na końcu tego rozdziału). Przedstawimy obecnie realizacje˛ komputerowa˛ niektórych z nich, w postaci schematów blokowych Simulink oraz M -skryptów MATLAB. W ten sposób należy postepować,
˛
aż do
88
˛
wykonania symulacji komputerowych wraz z wykresami przebiegów sygnału
ε(t) dla wszystkich przypadków z tabeli 6.1. Z wykresów przebiegów sygnału
ε(t) można zauważyć jak wygladaj
˛ a˛ stany ustalone dla różnych konfugura˛
cji struktury UAR. Oprócz tego należy obliczyć εust teoretycznie, korzystajac
˛
z podstawowego wzoru εust = limt→∞ ε(t), czyli wszystkie granice, korzystajac
ze wzoru ε(t)=E(s)
b
= KE (s)Y0 (s).
Ćwiczenie 1a. Przyjmujemy: k = 1, kp = 1, T = 1. Schemat do badań
wykonany w Simulink przedstawiono na rysunku 6.5.
Rys. 6.5. Regulacja typu P z obiektem inercyjnym
Rys. 6.6. Przebieg błedu
˛ regulacji (ilustracja do ćwiczenia 1a)
Uzyskany przebieg błedu
˛ regulacji przedstawiono na rysunku 6.6. Bład
˛ ten
ustala sie˛ na niezerowej wartości: limt→∞ ε(t) = 0, 5.
89
Ćwiczenie 1b. Przyjmujemy: k = 1, kp = 1, T = 1, Ti = 0.5. Schemat
do badań wykonany w Simulink przedstawiono na rysunku 6.7.
Rys. 6.7. Regulacja PI z obiektem inercyjnym
˛
regulacji przedstawiono na rysunku 6.8. Bład
˛ ten
da˛ży do zera dzieki
˛ całkujacym
˛
właściwościom regulatora.
˛ regulacji (ilustracja do ćwiczenia 1b)
Ćwiczenie 2a. Przyjmujemy: k = 1, kp = 1, T = 1. Schemat do badań
wykonany w Simulink przedstawiono na rysunku 6.9.
˛ regulacji przedstawia rysunek 6.10, przyrost y0 (t)
jest zbyt szybki (rzad
˛ r = 2), aby układ regulacji mógł za nim nada˛żyć (h = 1),
zatem limt→∞ ε(t) = ∞.
90
˛
Rys. 6.9. Regulacja P z obiektem całkujacym
˛
i wejściem y(t) = t2 · 1(t)
Rys. 6.10. Wyjście obiektu i sygnał zadajacy
˛ (ilustracja do ćwiczenia 2a)
Ćwiczenie 2b. Przyjmujemy: k = 1, kp = 1, T = 1 i Ti = 0, 5.
Schemat do badań wykonany w Simulink przedstawiono na rysunku 6.11.
˛ regulacji przedstawiono na rysunku 6.12.
Komputerowa symulacja układów regulacji pozwala badać przebiegi sygnałów błedu
˛ regulacji ε(t) (i jednocześnie przebiegi wyjścia obiektu y(t)), dla
stanów ustalonych, aby stwierdzić, czy układ ma cechy regulacji statycznej,
astatycznej, lub też czy sygnał y(t) nada˛ża za programowo zmieniajacym
˛
sie˛
sygnałem zadajacym
˛
y0 (t). Standardowym sygnałem wejściowym badanych
UAR jest skok jednostkowy, czyli y0 (t) = 1(t). Przede wszystkim od parametrów przyjetego
˛
regulatora zależy jakość regulacji, oceniana na podstawie
trzech wymagań: stabilności, wielkości błedu
˛
w stanie ustalonym i dynamiki
91
Rys. 6.11. Regulacja PI z obiektem całkujacym
˛
˛ regulacji (ilustracja do ćwiczenia 2b)
zmniejszania sie˛ błedu.
˛
Z tak przyjetymi
˛
parametrami jakości regulacji najlepiej „daje sobie rade”
˛ regulator PID, co jest wnioskiem oczywistym. Ciekawe
również bedzie
˛
sprawdzenie, jak wybrany regulator w UAR potrafi nada˛żać
za programowo zmieniajacym
˛
sie˛ sygnałem zadajacym
˛
y0 (t) i minimalizować
bład
˛ regulacji ε(t). Tutaj również regulatory o bardziej złożonej strukturze
lepiej realizuja˛ zadanie regulacji nada˛żnej. Lepsza realizacja zadania regulacji automatycznej w stanie ustalonym oznacza ograniczona˛ (możliwie mała)
˛
wartość εust w przypadku regulacji statycznej lub εust = 0 w przypadku regulacji astatycznej. Gdy limt→∞ ε(t) = ∞ układ regulacji nie spełnia swego
zadania i należy zmienić strukture˛ regulatora i dostroić jego parametry. Wyniki symulacji należy umieścić w dwóch tabelach zbiorczych (tab. 6.2 i 6.3).
92
˛
Tabela 6.2. Regulacja stałowartościowa
Typ regulatora:
Typ obiektu:
y0 (t) =
εust =
P
całk. z iner.
1(t)
...
PI
całk. z iner.
1(t)
...
P
iner. 3-rz.
1(t)
...
PI
iner. 3-rz.
1(t)
...
Tabela 6.3. Regulacja nada˛żna, r = 1, 2...
Typ regulatora:
Typ obiektu:
y0 (t) =
εust =
P
całk. z iner.
tr · 1(t)
...
PI
całk. z iner.
tr · 1(t)
...
P
iner. 3-rz.
tr · 1(t)
...
PI
iner. 3-rz.
tr · 1(t)
...
Na koniec podamy dwa dodatkowe przykłady, ciekawe od strony modyfikacji
postaci wzoru na transmitancje˛ układu zamknietego
˛
KZ (s).
Przykład
2 = Y (s).
b
Wyznaczanie odpowiedzi układu na sygnał y0 (t) = t1(t)=1/s
0
Y
(s)
1
1
Niech Kotw (s) = s(s+1) , wtedy KZ (s) = Y0 (s) = s2 +s+1 , zatem
Y (s) = KZ (s) ·
1
1
1
·
= 3
2
2
s
s +s +s s
Odpowiedź układu na przebieg liniowo narastajacy
˛ jest wiec
˛ równoważna
odpowiedzi skokowej systemu o transmitancji s3 +s12 +s . Skrypt jest zatem nastepuj
˛ acy
˛
num=[0 0 0 1];
den=[1 1 1 0];
t=0:0.1:10;
y=step(num,den,t);
plot(t,y,’x’);
grid
xlabel(’t sec’);
ylabel(’Odpowied´z na sygnał liniowo narastajacy’);
˛
Przykład
Jeżeli KZ (s) zawiera cześć
˛ różniczkujac
˛ a,
˛ np.
KZ (s) =
10s + 4
s2 + 4s + 4
6.3. Kryteria jako´sci regulacji — dobór nastaw
93
(wyraz 10s), to zwieksza
˛
sie˛ dynamika stanu przejściowego. Jednak dzieje
sie˛ to kosztem dużego przeregulowania widocznego w odpowiedzi na skok jednostkowy. W poniższym przykładzie przeregulowanie wynosi powyżej 200%
(rys. 6.13):
num=[0 10 4];
den=[1 4 4];
t=0:0.1:10;
step(num,den,t) %efekt dużego przeregulowania
Rys. 6.13. Efekt przeregulowania w układzie z różniczkowaniem
6.3. Kryteria jakości regulacji — dobór nastaw
6.3.1. Wprowadzenie
Jednym z najbardziej newralgicznych stanów w pracy układu jest tzw.
stan przejściowy, wystepuj
˛ acy
˛ w chwili uruchomienia systemu. Jest on obserwowany najcześciej
˛
jako duża wartość sygnału błedu
˛ w chwili t = 0, a liczony
nastepuj
˛ aco
˛
εp , lim ε(t).
t→0
94
˛
Ponieważ może to być stan niebezpieczny dla obiektu regulacji (np.
w układach napieciowych,
˛
w których wystapi
˛ a˛ przejściowe oscylacje
√ sinusoidalne w chwili t = 0 może powstać tzw. „przepiecie”
˛
wynoszace
˛ U 2, czyli
napiecie
˛
o ponad 40% wieksze
˛
od napiecia
˛
nominalnego U ), wiec
˛ szczególnie w tym momencie ważny jest algorytm regulacji. W celu ochrony układu
przed zniszczeniem stosuje sie˛ różne techniki, takie jak np. „powolne” zmiany
wartości zadanej, ograniczenie akcji różniczkujacych
˛
regulatora, różniczkowanie sygnału wyjściowego, a nie uchybu itp. Parametry regulatorów musza˛
być tak dobrane, aby zapewnić szybka˛ i bezpieczna˛ prace˛ całego układu od
chwili t = 0, aż do jego osiagni
˛ ecia
˛
stanu ustalonego, gdy zanikna˛ w nim
procesy przejściowe. Właściwy dobór nastaw regulatorów P, PI i PID, czyli
parametrów kp , Ti i Td zapewni stabilna˛ prace˛ (bez przeregulowań) każdego
z układów regulacji automatycznej, a przede wszystkim odpowiednia˛ jakość
regulacji, która˛ bedziemy
˛
oceniać na podstawie wybranych kryteriów jakości.
Wybór kryteriów jakości regulacji jest dostosowany do potrzeb zachowania
systemu. Zachowanie systemu bedziemy
˛
oceniać na podstawie przebiegu sygnału błedu
˛
ε(t) oraz specjalnie konstruowanych kryteriów jakości regulacji,
z których najbardziej znane i stosowane sa˛ tzw. całkowe wska´zniki jako´sci regulacji [12]. Spośród tych kryteriów wybierzemy całke˛ z kwadratu uchybu,
oznaczona˛ nastepuj
˛ aco
˛
ISE =
Z
T
ε2 (t)dt,
Integrated Square Error ;
0
gdzie górna granica T jest czasem skończonym, wybranym w sposób arbitralny
po to, aby było możliwe numeryczne wyznaczenie całki.
Spośród kryteriów nie wymagajacych
˛
dodatkowych obliczeń, a pozwalajacych
˛
oceniać jakość regulacji bezpośrednio z przebiegu ε(t) najpopularniejsze
sa˛ dwa kryteria odcinkowe:
— czas regulacji, czyli czas po którym bład
˛ ε(t) jest odpowiednio bliski
εust . Inaczej jest on zwany „reguła˛ stopu”
tr : |ε(t) − εust | 6 δ, t > tr , δ = 5%(εp − εust ),
gdzie εp oznacza uchyb w chwili t = 0.
— przeregulowanie, określane dla systemów oscylacyjnych, jako
¯ ¯
¯ ε2 ¯
κ = ¯¯ ¯¯ · 100 %
ε1
95
Wartości obu tych kryteriów ocenia sie˛ graficznie z wykresu przebiegu ε(t)
(rys. 6.14), przy założonym standardowym sygnale zadajacym
˛
y0 (t) = 1(t).
Rys. 6.14. Oszacowanie przeregulowania na podstawie przebiegu uchybu
Ważna˛ rzecza˛ przy obliczaniu wartości dwóch podanych kryteriów „graficznych” jest zapewnienie, aby bład
˛ w stanie ustalonym εust był zerowy
εust = 0.
Jeśli układ jest typu statycznego, co oznacza, że εust > 0, można było te˛
wartość odjać.
˛ Oznacza to, że w ocenie dwóch ostatnich kryteriów jakości
regulacji bierzemy pod uwage˛ bład
˛ dynamiczny
ε(t) = ε(t) − εust ,
a wartość εust = limt→∞ ε(t) należy obliczyć i podstawić do wzoru na ε(t).
Otrzymaliśmy w ten sposób trzy kryteria oceny jakości regulacji w systemie
UAR, badajac
˛ jego zachowanie w stanie przejściowym. Sa˛ to nastepuj
˛ ace
˛
kryteria jakości regulacji:
1) czas regulacji tr ;
2) przeregulowanie κ;
3) całka z kwadratu uchybu ISE.
Im mniejsze wartości osiagaj
˛ a˛ podane wskaźniki, tym lepsza jest jakość
regulacji. W zadaniu regulacji automatycznej należy przede wszystkim ustalić
96
˛
typ obiektu i zidentyfikować jego transmitancje˛ KO (s), jeśli nie jest a priori
znana. Przypomnijmy z rozdziału 4, że obiekty automatyki dzielimy na dwa
typy, dajace
˛ sie˛ z powodzeniem aproksymować jedna˛ z transmitancji zastep˛
czych:
1) Obiekty inercyjne, np.
KO (s) =
ke−sτ
;
Ts + 1
2) Obiekty całkujace,
˛ np.
e−sτ
1
ke−sτ
=
; k= .
s
sT
T
Sposób uzyskiwania parametrów k, T, τ w procesie aproksymacji rzeczywistych odpowiedzi skokowych obu typów obiektów został również zaproponowany w rozdziale 4. Wyróżniamy wiec
˛ dwa typy obiektów o znanych opisach:
typ inercyjny (statyczny) i typ całkujacy
˛ (astatyczny). W drugim przypadku,
gdy opis jest nieznany i należy go zidentyfikować, można to stosunkowo prosto
przeprowadzić w procesie również opisanym wcześniej.
Drugim podstawowym problemem regulacji ciagłej
˛
jest dobór nastaw regulatorów tworzacych
˛
UAR, majac
˛ do wyboru regulator P, PI oraz PID, gdzie
transmitancja regulatora ma postać
KO (s) =
KR (s) = kp (1 +
1
+ Td s).
Ti s
W literaturze istnieja˛ algorytmy doboru nastaw regulatorów według Zieglera—
Nicholsa. Sa˛ to opracowane doświadczalnie, sugerowane ustawienia wielkości
wzmocnienia kp , czasu całkowania Ti oraz czasu różniczkowania Td na podstawie zdejmowanych charakterystyk funkcji przejścia (transfer function) obiektu.
W wyniku wielu eksperymentów powstały dwie podstawowe metody Zieglera—
Nicholsa, rozwijane i modyfikowane w latach późniejszych.
Pierwsza metoda Zieglera—Nicholsa
Należy eksperymentalnie zdjać
˛ odpowiedź rzeczywistego obiektu na pobudzenie skokiem jednostkowym. Jeśli obiekt nie zawiera elementu (elementów) całkujacego,
˛
ani dominujacych biegunów zespolonych (co wprowadziłoby
oscylacje), wówczas odpowiedź na skok jednostkowy ma kształt litery S. Jak
wiemy z rozdziału 4 tego typu krzywa˛ aproksymujemy do postaci opisanej
−sτ
transmitancja˛ K(s) = ke
T s+1 . Ziegler i Nichols zaproponowali w tym przypadku dobór parametrów w UAR z regulatorem P, PI lub PID według danych
z tabeli 6.4, [14].
97
Tabela 6.4. Nastawy według I metody Zieglera—Nicholsa
Typ regulatora
P
PI
PID
kp
T /τ
0, 9T /τ
1, 2T /τ
Ti
∞
τ /0, 3
2τ
Td
0
0
0.5τ
Tabela 6.5. Nastawy według II metody Zieglera—Nicholsa
Typ regulatora
P
PI
PID
kp
0, 5kP,kryt
0, 45kP,kryt
0, 6kP,kryt
Ti
∞
Tosc /1, 2
Tosc /2
Td
0
0
Tosc /8
Druga metoda Zieglera—Nicholsa
Zakładamy nieznajomość tranmitancji obiektu KO (s). W układzie ustawiamy regulator tylko na działanie proporcjonalne, tj. KR (s) = kp (Ti = 0,
˛
(o ile to możliwe) zwiekszamy
˛
parametr kp od 0 do warTd = 0), a nastepnie
˛ znajduje sie˛ na granicy
tości krytycznej kP,kryt , przy której układ zamkniety
stabilności, tzn. na wyjściu obiektu obserwuje sie˛ oscylacje niegasnace
˛ (metody tej nie można zastosować, gdy charakterystyka wyjścia obiektu nie może
osiagn
˛ ac
˛ przebiegu oscylacji niegasnacych
˛
dla dowolnego kp ). W ten sposób
można doświadczalnie (np. z wykresu) ściagn
˛ ać
˛ okres oscylacji niegasnacych
˛
˛ ac
˛ dla jakiego wzmocnienia krytycznego kP,kryt one wystapiły.
˛
Tosc , pamietaj
Doświadczalny dobór parametrów regulatorów zaproponowano w tabeli 6.5
[3], [12], [14].
Zauważmy, że gdy znamy model matematyczny obiektu (znana jest transmitancja KO (s)), wówczas możemy zastosować metode˛ rozmieszczenia pierwiastków (rlocus()), w celu znalezienia wartości wzmocnienia krytycznego
˛
ω kryt , gdzie Tosc = ω2π
. WarkP,kryt oraz pulsacji oscylacji niegasnacych
k ry t
tości te można znaleźć w punktach przeciecia
˛
linii pierwiastków z osia˛ urojona˛
jω. Oczywiście, gdy linie pierwiastków nie przecinaja˛ osi jω, metody tej nie
można zastosować.
6.3.2. Program ćwiczenia
I metoda Zieglera—Nicholsa
1. Wyznaczyć komputerowo odpowiedź skokowa˛ obiektu typu wieloinercyjke−sτ
nego i aproksymować go za pomoca˛ transmitancji K(s) = sT
. ZidentyfikoZ +1
wać parametry τ , T , a i k (patrz rys. 6.1).
98
˛
2. Wyznaczyć komputerowo odpowiedź skokowa˛ obiektu typu całkujacego
˛
ke−sτ
e−sτ
i aproksymować go za pomoca˛ transmitancji K(s) = s = T s . Określić
parametry τ , T , a i k (patrz rys. 6.2).
Obiekty obu typów identyfikuje sie˛ na podstawie ich odpowiedzi skokowej. Z ustalonych parametrów aproksymacji τ , T , a i k dobrać ustawienia
w Układzie Automatycznej Regulacji (rys. 6.15):
• z regulatorem P o transmitancji KR (s) = kp ;
• z regulatorem PI o transmitancji KR (s) = kp (1 + T1i s );
• z regulatorem PID o transmitancji KR (s) = kp (1 + T1i s + Td s);
W badaniach zakładamy zawsze ten sam wejściowy sygnał zadajacy
˛
y0 (t) = 1(t).
y 0 (t )
ε (t )
+
_
K R (s)
u (t )
KO (s)
y (t )
y (t )
Rys. 6.15. Model układu automatycznej regulacji
3. Skorzystać z I tabeli doboru nastaw regulatorów wg Zieglera—Nicholsa
i wykreślić przebiegi y(t), y0 (t) i ε(t). Dla każdego typu układu (z regulatorami
P, PI i PID) wybrać kryteria jakości regulacji: ISE, tr i κ. Skonstruować
dodatkowy miernik kryterium całkowego (jak na rys. 6.17).
4. Wartości kryteriów jakości regulacji dla nastaw według Zieglera—Nicholsa
przedstawić w tabeli zbiorczej:
P
PI
PID
tr , s
κ, %
ISE, −
Ponieważ nastawy doboru regulatorów według Zieglera—Nicholsa sa˛ orientacyjne i daja˛ zawsze zbyt wielkie przeregulowanie (dopuszczalne to ok. 25%),
należy samodzielnie poprawić wyniki zamieszczone w tabeli (ponieważ te kryteria sa˛ minimalizowane, wiec
˛ — zmniejszyć). Odkryć zależności, np. takie
gdzie w stosunku do nastaw Zieglera—Nicholsa można:
— zmniejszać kP — co daje mniejsze przeregulowanie;
˛ ecia
˛
zerowego uchybu;
— zmniejszać Ti — dla szybszego osiagni
— zwiekszać
˛
Td — dla poprawienia dynamiki spadku błedu.
˛
99
II metoda Zieglera—Nicholsa
Ziegler i Nichols jako pierwsi zauważyli, że transmitancje zasadniczej wiek˛
szości obiektów regulacji sa˛ typu wieloinercyjnego (kształt litery S odpowiedzi
skokowej). W tej metodzie nie znajduja˛ zastosowania obiekty typu całkujacego
˛
z inercja,
˛ poza tym zakładamy, że matematyczny model transmitancji obiektu
KO (s) jest znany. Znajdowanie bezpiecznych dla obiektu nastaw regulatorów
należy rozpoczać
˛ od regulatora typu P, z wejściowym sygnałem zadajacym
˛
y0 (t) = 1(t).
— Doprowadzić układ na granice˛ stabilności, z wykresu ε(t) odczytać Tosc
— okres oscylacji niegasnacych.
˛
˛
oscylacje niegasnace
˛ i zapamietać
˛
ten
— Stwierdzić dla jakiego kP nastapiły
parametr jako kP,kryt .
— Z tabeli nastaw regulatorów według Zieglera-Nicholsa wybrać odpowiednie (bezpieczne) wartości kP , Ti i Td w zależności od wybranego typu regulatora. Napisać odpowiednie M-skrypty w MATLAB dla nastaw regulatorów,
według Zieglera—Nicholsa. Opracować tabele˛ zbiorcza˛ wartości kryteriów jakości regulacji. Zaproponować lepsze parametry regulacji (np. Pessena, Kupfmuellera [1], [11]).
6.3.3. Badania komputerowe
W ćwiczeniu należy przeprowadzić eksperyment doboru wybranych parametrów regulatorów w układzie z zadanym typem obiektu, stosujac
˛ I i II
metode˛ Zieglera—Nicholsa. Zbadać stany nieustalone systemu pod katem
˛
obserwacji przejściowych przebiegów dynamicznych sygnału błedu
˛ ε(t).
Zaprojektujmy efektywny układ regulacji dla obiektu o transmitancji
KO (s) =
1
.
(T s + 1)3
Dla uproszczenia prezentacji przyjmijmy T = 1. Analize˛ rozpoczynamy od
˛
znalezienia wzmocnienia krytycznego kp,kryt i okresu oscylacji niegasnacych
Tosc , gdy obiekt z regulatorem typu P jest na granicy stabilności. Po prostych
przekształceniach algebraicznych otrzymuje sie˛
Kotw (jω) = Potw (ω) + jQotw (ω) =
kp (1 − 3ω 2 T 2 )
+
=
(1 − 3ω 2 T 2 )2 + ω2 T 2 (3 − ω2 T 2 )2
−kp ωT (3 − ω2 T 2 )
+j
(1 − 3ω2 T 2 )2 + ω 2 T 2 (3 − ω 2 T 2 )2
100
˛
Rys. 6.16. Schematy symulacji układów automatycznej regulacji
Według kryterium Nyquista, charakteryka a—f układu otwartego, bed
˛ acego
˛
na
granicy stabilności, przechodzi przez punkt (−1, j0).√ Przyrównujemy cześć
˛
urojona˛ do zera, Q(ω) = 0, i wnioskujemy, że ωosc = 3, czyli
2π
Tosc = √ ≈ 3.63.
3
Przyrównujemy natomiast cześć
˛ rzeczywista˛ do −1, czyli rozwiazujemy
˛
równanie Re Kotw (jω) = −1, i otrzymujemy
kP,kryt = 8.
Wzmocnienie krytyczne można także wyznaczyć np. z kryterium Hurwitza,
biorac
˛ pod uwage,
˛ że:
Mz (s) = Lotw (s) + Motw (s) = kp + (s + 1)3 .
101
Rys. 6.17. Pomiar całkowych wskaźników jakości regulacji
Macierz Hurwitza ma postać

3 kP + 1 0
,
0
H3 =  1 3
0 3
kP + 1

co prowadzi do wymagania ∆2 = 9 − (kP + 1) > 0, czyli kP < 8. Znalezienie
miejsc zerowych wielomianu licznika Q(ω) może być niemożliwe analitycznie
(np. gdy stopień wielomianu jest wiekszy
˛
niż 3). Należy wówczas znaleźć je
numerycznie. W naszym przypadku licznikQ(ω) = a3 ω3 + a2 ω 2 + a1 ω + a0 ,
gdzie a3 = −kP = −8, a2 = 0, a1 = −3kP = −24 i a0 = 0. Należy zatem
wywołać funkcje˛ MATLAB
roots(—8,0,—24,0).
Uzyskane za pomoca˛ reguły Zieglera—Nicholsa doświadczalne nastawy regulatora PID wynosza˛ odpowiednio
kP = 4, 8
Ti = 1, 32
Td = 0, 32
Dalej przedstawiamy skrypt konstruujacy
˛ Układ Automatycznej Regulacji
i kreślacy
˛ przebiegi y(t) i ε(t) przy założonych ustawieniach regulatora PID:
Regulator=tf([2.03 6.34 4.8],[1.32 0]);
Obiekt=tf([1],[1 3 3 1]);
SysOtw=series(Regulator,Obiekt)
UAR=feedback(SysOtw,1);
y=step(UAR);
102
˛
e=1—y;
plot(y);
hold on;
grid on;
plot(e);
Wynik działania skryptu przedstawiono na rysunku 6.18.
Rys. 6.18. Odpowiedź układu z regulatorem PID na skok jednostkowy dla nastaw
według Zieglera—Nicholsa
Z wykresów można odczytać, że zaprogramowany układ realizuje regulacje˛
typu astatycznego (bład
˛ w stanie ustalonym przy wejściu y0 (t) = 1(t) wynosi
zero). Graficzne odcinkowe kryteria jakości regulacji wynosza:
˛ κ = 60%,
˛ wartości zbyt duże i można je próbować poprawić,
tr = 150 s, sa˛ to wiec
stosujac
˛ np. parametry algorytmu Pessena. Kryterium całkowe ISE wymaga
zbudowania specjalnego „miernika wartości kryterium”, jak np. na rys. 6.17
(o czym mówiliśmy wcześniej).
6.3.4. Przybliżona analiza układów nieliniowych
W zasadniczej wiekszości
˛
rzeczywistych układów regulacji pojawiaja˛ sie˛
zjawiska natury nieliniowej, wynikajace
˛ np. z wystepowania
˛
nasyceń, luzów,
103
ograniczonych pojemności zbiorników itp. W ogólnym przypadku nieliniowy
element dynamiczny opisuje nieliniowe równanie różniczkowe postaci
F (y (n) , y(n−1) , .., y, x(m−1) , ..., x, t) = 0.
Układ nieliniowy pobudzony sygnałem sinusoidalnym sin ωt, w przeciwieństwie do układu liniowego, daje na wyjściu dodatkowe składowe harmoniczne o
innych (wyższych) pulsacjach niż pulsacja podstawowa ω. Przykładowy schemat badań w Simulink ilustrujacych
˛
te˛ ceche˛ przedstawiono na rysunku 6.19.
Rys. 6.19. Obserwacja widm procesów wyjściowych elementów nieliniowych
Analiza systemów zawierajacych
˛
elementy nieliniowe jest przez to znacznie
trudniejsza niż analiza systemów liniowych. W szczególności nie ma zastosowania transformacja Laplace’a oraz ograniczone znaczenie maja˛ odpowiedzi
skokowe i impulsowe (amplituda pobudzenia ma wpływ na charakter (kształt)
odpowiedzi ). W rozdziale tym ograniczymy sie˛ do analizy układów regulacji,
w których regulator jest statyczny i stacjonarny, tzn. jego charakterystyka jest
po prostu funkcja˛ nieliniowa˛
y = f (u).
Połaczenie
˛
szeregowe elementów o charakterystykach f1 (u) i f2 (u) realizuje
funkcje˛ f2 (f1 (u)), natomiast połaczenie
˛
równoległe — funkcje˛ f1 (u) + f2 (u).
Bardziej złożone struktury połaczeń
˛
(np. z dodatnim sprze˛ żeniem zwrotnym)
104
˛
moga˛ prowadzić do niejednoznacznej charakterystyki zastepczej
˛
(tzw. histerezy) [18].
Przykład praktyczny. Powszechnie stosowanymi regulatorami nieliniowymi sa˛ zawory termostatyczne w grzejnikach CO. Ich charakterystyka ma
postać z rysunku 6.20.
Rys. 6.20. Charakterystyka statyczna termostatu
Sygnał wyjściowy regulatora termostatycznego u — położenie zaworu dopływu ciepłej wody. Wielkościa˛ sterowana˛ y(t) (wyjściem obiektu) jest rzeczywista temperatura w pomieszczeniu w chwili t, sygnałem zaś zadajacym
˛
y0 (t)
— położenie nastawnika na termostacie (temperatura żadana).
˛
Podsumowujac
˛
możemy ustalić, że
u=
½
1 (zawór otwarty), gdy y(t) < y0 (t) (jest za zimno);
˛ ciepło).
0 (zawór zamkniety),
˛
gdy y(t) ≥ y0 (t) (jest wystarczajaco
Metoda funkcji opisujacej
˛
polega na przybliżeniu elementu nieliniowego jego opisem liniowym, a nastepnie
˛
zastosowaniu znanych narzedzi
˛
analizy systemów liniowych do badania stabilności i wyznaczania charakterystyk.
Uzyskane wyniki sa˛ zatem przybliżone. Podejście takie usprawiedliwiaja˛ dwa
czynniki:
105
— obiekt może mieć charakter dolnoprzepustowy i tłumić wyższe czestotli˛
wości (harmoniczne) produkowane przez regulator;
— charakterystyka statyczna elementu nieliniowego może być bliska linii
prostej.
Wyjście nieliniowego elementu statycznego pobudzonego sygnałem
u(t) = A sin ωt
jest okresowa˛ funkcja˛ niesinusoidalna˛ i można ja˛ rozwinać
˛ w szereg Fouriera
y(t) = a0 +
∞
X
(bk sin kωt + ck cos kωt),
k=0
gdzie a0 , bk i ck sa˛ stałymi współczynnikami, zależnym od charakterystyki nieliniowej i amplitudy A sygnału wejściowego. Zakładajac,
˛ że element nieliniowy
może być dostatecznie dokładnie reprezentowany przez główna˛ harmoniczna˛
sygnału (o oryginalnej pulsacji ω)
y1 (t) = b1 sin ωt + c1 cos ωt ≈ y(t)
traktujemy element nieliniowy, tak jak element liniowy o „transmitancji” zwanej funkcja˛ opisujac
˛ a˛
J(s) =
b1 + jc1
Y1 (s)
=
.
U (s)
A
Współczynniki b1 i c1 dla elementu statycznego bez histerezy zależa˛ jedynie od amplitudy A sygnału wejściowego i rodzaju charakterystyki nieliniowej, dlatego dalej funkcje˛ opisujac
˛ a,
˛ dla konkretnej charakterystyki nieliniowej,
oznaczać bedziemy
˛
jako J(A) (zestawienia funkcji opisujacych
˛
najbardziej znanych elementów nieliniowych dokonano w monografiach [1], [17] i skrypcie [18],
a także w tabeli 6.6). Układ z nieliniowym regulatorem i liniowym obiektem
przedstawiono na rysunku 6.21.
ε (t )
y0 (t ) +
_
J (A)
u ( t)
KO (s )
y( t )
Rys. 6.21. UAR z regulatorem nieliniowym
y( t)
106
˛
Tabela 6.6. Funkcje opisujace
˛ popularnych elementów nieliniowych
Charakterystyka f (x)
Funkcja opisujaca
˛ dla x(t) = A sin ωt
µ
¶
³
¡ B ¢2 ´ 12
2k
B
B
J(A) = π arcsin Ak + Ak 1 − Ak
f (x) = max {kx, B}
½
B, dla x > 0
f (x) =
−B,
dla x < 0

0,
dla
|x| < a

B, dla x > a
f (x) =

−B, dla x < −a
J(A) =
4B
πA
J(A) =
4B
πA
³
¡ a ¢2 ´ 12
1− A
Równanie charakterystyczne układu zlinearyzowanego ma postać
1 + J(A)KO (jω) = 0,
cykl graniczny opisuje zatem równanie
KO (jω) = −
1
.
J(A)
1
1
Krzywa na płaszczyźnie zespolonej o współrzednych
˛
(Re[− J(A)
], Im[− J(A)
])
określa granice˛ miedzy
˛
stabilnościa˛ i niestabilnościa˛ systemu (odpowiednik
punktu (−1, j0) w kryterium Nyquista). Punkty przeciecia
˛
krzywych KO (jω)
1
i − J(A)
na płaszyźnie a—f określaja˛ tzw. punkty pracy UAR, w których powstaja˛ drgania harmoniczne (sinusoidalne).
Przykład [18]
Niech w układzie regulacji z rysunku 6.21 obiekt ma transmitancje˛ KO (s) =
1
s(s+1)(s+1) , regulator zaś jest przekaźnikiem dwupołożeniowym o charakterystyce
u = B · sgn(ε).
Można pokazać, że funkcja opisujaca
˛
takiego regulatora ma postać
(patrz [18])
J(A) =
4B
.
πA
Rozwiazanie
˛
układu równania zespolonego
−
1
= KO (jω),
J(A)
107
poprzez porównanie cześci
˛ rzeczywistych i urojonych jego obu stron prowadzi
do rozwiazania
˛
ω=1iA=
2B
.
π
W układzie powstana˛ wiec
˛ drgania okresowe o amplitudzie A = 2B/π
i pulsacji ω = 1. Schemat do badań nieliniowego układu i uzyskany przebieg
(dla B = 1) pokazano na rysunkach 6.22 i 6.23.
Rys. 6.22. Układ z przekaźnikiem dwupołożeniowym
Rys. 6.23. Przebieg wyjścia obiektu y(t) (gdzie A ≈ 2/π, ω ≈ 1)
108
˛
6.4.1. Sterowanie reczne
˛
napełnianiem zbiornika
Dla ułatwienia zrozumienia formalnego opisu struktury UAR podajemy
prosty przykład napełnania zbiornika ciecza.
˛
u(t)
e(t)
Yo(t)
Y(t)
p
Rys. 6.24. Napełnianie zbiornika — regulacja reczna
˛
Wyróżniamy nastepuj
˛ ace
˛ elementy Układu Automatycznej Regulacji:
— obiekt — zbiornik o przekroju p i zawór o regulowanej przepustowości u;
— wejście obiektu — położenie zaworu u(t) w chwili t (przepływ, m3 /s);
— wyjście obiektu — aktualny poziom cieczy (w chwili t);
— regulator — człowiek sterujacy
˛ zaworem (wielkościa˛ u(t)) na podstawie
informacji o ilości wolnej przestrzeni w zbiorniku e(t);
— cel sterowania — jak najszybsze i najdokładniejsze napełnienie zbiornika
do pełna (do poziomu Y0 ).
Y0
e(t )
+
_
człowiek
u (t )
zbiornik
Y (t )
Y (t )
Rys. 6.25. Schemat formalny układu regulacji recznej
˛
W niniejszym podreczniku
˛
rozpatruje sie˛ Liniowe Układy Regulacji Automatycznej, tzn. człowieka zastepuje
˛
automat o opisie liniowym.
109
6.4.2. Układ Automatycznej Regulacji Czestotliwości
˛
Na rysunku 6.26 przedstawiono realizacje˛ głowicy TV z układem stabilizujacym
˛
czestotliwość.
˛
Rys. 6.26. Głowica telewizyjna z układem automatycznej regulacji czestotliwości
˛
(ARCz)
Głowica ma nastepuj
˛ ace
˛ bloki funkcjonalne:
• Przestrajany obwód wejciowy LC sprzegajacy głowice˛ z antena˛ i wstepnie
˛
selekcjonujacy
˛ odbierane sygnały (L1, C2,C6, D1).
• Wzmacniacz wysokiej czestotliwościcz
˛
(T1) z filtrem pasmowym LC (L2,
C8, C9, D2 oraz L3 C15, C16, D3, C14 szeregowo z C17).
• Mieszacz (T2) z filtrem wyjciowym 10,7 MHz (L5, C21).
• Heterodyna, której czestotliwość drgań kontrolowana jest przez przestrajany obwód LC (L4, C19, C20, pojemność D9 układu ARCz w szeregu z C24).
Za pomoca˛ petli
˛ ujemnego sprze˛ żenia zwrotnego sygnał wyjściowy po odfiltrowaniu jest podawany na wejście UARCz wpływa na wartość pojemności
diody D9 i stabilizuje czestotliwość.
˛
110
111
7. Układy automatyki
z czasem dyskretnym
7.1. Wprowadzenie
Liniowe układy automatyki z czasem dyskretnym wymagaja˛ wprowadzenia
osobnego aparatu matematycznego, opartego na tzw. transformacie Z [6].
Podstawowy opis struktury systemów otwartych i zamknietych
˛
stanowi tutaj
transmitancja dyskretna K(z).
7.1.1. Równanie różnicowe
Liniowy system dynamiczny z czasem dyskretnym opisuje tzw. równanie
różnicowe postaci
am yn + am−1 yn−1 + ... + a0 yn−m = bl un−m+l + ... + b0 un−m ,
(7.1)
zakłada sie˛ przy tym
a0 6= 0, am 6= 0 i bl 6= 0.
Liczbe˛ m nazywamy rzedem
˛
równania różnicowego. Dla systemów przyczynowych (rzeczywistych) zachodzi warunek
l 6 m.
W przeciwnym razie wyjście y musiałoby zależeć od przyszłych wartości
wejścia u. Pobudzenie jest sygnałem rozpoczynajacym
˛
sie˛ w chwili n = 0, tzn.
un = 0, dla n < 0.
(7.2)
112
Do rozwiazania
˛
równania (7.1) (czyli znalezienia {yn }) nie wystarcza znajomość procesu {un }, konieczna jest jeszcze znajomość wyjścia w m chwilach
poprzedzajacych
˛
chwile˛ n = 0
y−1 , y−2 , ..., y−m .
(7.3)
Wartości w (7.3) nazywamy warunkiem poczatkowym.
˛
7.1.2. Transformacja Z
Transformacja Z przyporzadkowuje
˛
nieskończonemu ciagowi
˛
{xn } o wartościach rzeczywistych funkcje˛ zespolona˛ zmiennej zespolonej z
{xn } 7−→ X(z)
zdefiniowana˛ nastepuj
˛ aco
˛
def
Z ({xn }) = X(z) =
∞
X
xn z −n .
n=0
Transformacja Z jest narzedziem,
˛
które ułatwia rozwiazanie
˛
równania różnicowego (7.1), tzn. wyznaczenie ciagu
˛ {yn } przy danym pobudzeniu {un } i da˛
najistotniejsza
nym warunku poczatkowym
˛
y−1 , y−2 , ..., y−m . Z tego wzgledu
jest właściwość o transformacie ciagu
˛ {xn } opóźnionego o k
Z ({xn−k }) = z −k X(z) + z −k+1 x−1 + ... + z −1 x−k+1 + x−k ;
np. Z ({xn−2 }) = z −2 X(z) + z −1 x−1 + x−2 .
Do innych istotnych właściwości transformacji Z należa:
˛
— różniczkowanie wzgledem
˛
z
∧
nxn = −z
d
X(z);
dz
— zmiana skali zmiennej z
∧
λ−n xn = X(λz);
— transformata sumy szeregu
n
X
i=0
∧
xi =
z
X(z);
z−1
7.1. Wprowadzenie
113
— transformata splotu
n
X
∧
xn−i yi = X(z)Y (z).
i=0
∧
˛ do odpowiadajacej
˛
mu
Symbol = używany jest przy przejściu od ciagu
transformaty Z i odwrotnie (podobnie jak przy transformacie Laplace’a).
7.1.3. Transmitancja systemu z czasem dyskretnym
Zastosowanie transformaty Z do równania różnicowego (7.1), z wykorzystaniem właściwości (7.2), prowadzi do równania
α(z −1 )Y (z) − V (z −1 ) = β(z −1 )U (z),
˛
w swym
gdzie α(z −1 ) i β(z −1 ) sa˛ wielomianami zmiennej z −1 , zawierajacymi
opisie parametry systemu
α(z −1 ) = am + am−1 z −1 + ... + a0 z −m ,
β(z −1 ) = bl z −m+l + ... + b0 z −m ,
natomiast
V (z −1 ) = wm−1 + wm−2 z −1 + ... + w0 z −m+1
jest pewnym wielomianem o współczynnikach zależnych od warunku poczatko˛
wego. Transmitancja˛ systemu z czasem dyskretnym nazywamy zespolona˛
funkcje˛ wymierna˛ postaci
K(z) ,
bl z l + ... + b0 z
β(z −1 )
ozn L(z)
=
.
=
α(z −1 )
am z m + am−1 z m−1 + ... + a0 z
M (z)
Opis systemu w dziedzinie zmiennej zespolonej z jest wiec
˛ nastepuj
˛ acy
˛
Y (z) = K(z)U (z) +
V (z −1 )
,
α(z −1 )
gdzie dla zerowego warunku poczatkowego
˛
y−1 = y−2 = ... = y−m = 0,
zachodzi
V (z −1 ) = 0,
czyli odpowiedź systemu z czasem dyskretnym określa zależność
Y (z) = K(z)U (z).
(7.4)
114
7.1.4. Transmitancja widmowa
Odpowiedź liniowego systemu dynamicznego z czasem dyskretnym na pobudzenie sinusoidalne un = sin ωn w stanie ustalonym (gdy n → ∞) jest
postaci
yn ≈ A(ω) sin (ωn + ϕ(ω)) ,
gdzie
¯
¯
A(ω) = ¯K(ejω )¯ ,
ϕ(ω) = arg K(ejω ),
a funkcja zespolona pulsacji ω
def
K(ejω ) = K(z)|z=jω
jest nazywana transmitancja˛ widmowa˛ systemu dyskretnego.
7.1.5. Standardowe pobudzenia dyskretne
Do standardowych pobudzeń systemów z czasem dyskretnym należa:
˛
— delta dyskretna Kroneckera
½
1, dla n = 0
,
Z({δ n }) = 1;
δn =
0, dla n 6= 0
— dyskretny skok jednostkowy
½
1, dla n > 0
1n =
,
0, dla n < 0
Z({1n }) =
z
.
z−1
Odpowiedź systemu na pobudzenie δ n i 1n , przy zerowych warunkach
poczatkowych,
˛
nazywa sie˛ odpowiednio odpowiedzia˛ impulsowa˛ {kn } i skokowa˛
{λn } systemu. W pełni charakteryzuja˛ one właściwości dyskretnego systemu
liniowego. Korzystajac
˛ z właściwości o transformacie splotu, na podstawie
(7.4) otrzymujemy
yn =
∞
X
i=0
ki un−i + Z
−1
µ
V (z −1 )
α(z −1 )
¶
,
7.1. Wprowadzenie
115
gdzie
{ki } = Z −1 (K(z)).
Przy zerowym warunku poczatkowym
˛
zatem
yn =
∞
X
ki un−i .
(7.5)
i=0
Każdy dyskretny system liniowy można opisać wzorem postaci (7.5),
w którym, w przeciwieństwie do równania różnicowego (7.1), nie wystepuj
˛ a˛ po
prawej stronie wartości wyjścia w chwilach poprzednich, wystepuje
˛
natomiast
nieskończona liczba składników. Podobnie jak dla systemów z czasem ciagłym,
˛
dyskretny system liniowy splata sygnał wejściowy ze swoja˛ odpowiedzia˛ impulsowa.
˛ Oczywiście, przy pobudzeniu systemu delta˛ dyskretna˛ {un } = {δ n }
i zerowym warunku poczatkowym,
˛
na wyjściu obserwujemy jego odpowiedź
impulsowa˛ {yn } = {kn }.
7.1.6. Stabilność układów z czasem dyskretnym
Pojecie
˛ stabilności układu z czasem dyskretnym odpowiada definicji stabilności układu z czasem ciagłym.
˛
System dyskretny nazywamy stabilnym, jeśli
przy dowolnym warunku poczatkowym
˛
i zerowym pobudzeniu {un } = 0
lim yn = 0.
(7.6)
n→∞
Równoważnym warunkiem koniecznym i wystarczajacym
˛
stabilności jest
∞
X
n=0
|kn | < ∞,
(7.7)
stad
˛ oczywiście musi zachodzić
lim kn = 0
n→∞
oraz istnieć granica
lim λn = lim
n→∞
n→∞
n
X
i=0
ki .
116
W systemie stabilnym, przy zerowym warunku poczatkowym,
˛
dla każdego
ograniczonego pobudzenia |un | < umax < ∞, jego odpowiedź jest również
ograniczona, czyli
|yn | < ymax = umax
∞
X
n=0
|kn | < ∞.
Badanie stabilności opiera sie˛ na określeniu położenia biegunów transmitancji systemu dyskretnego, czyli m zespolonych pierwiastków z1 , ..., zm równania
M (z) = 0,
gdzie
M (z) = am z m + am−1 z m−1 + ... + a0 z = am · (z − z1 ) · ... · (z − zm ).
System jest stabilny, jeśli wszystkie pierwiastki jego transmitancji leża˛ we
wnetrzu
˛
okregu
˛ jednostkowego, tzn. gdy zachodzi warunek
|z1 | < 1, |z2 | < 1, ..., |zm | < 1.
(7.8)
Jedna˛ z technik weryfikacji warunku (7.8) jest podstawienie ([5])
z=
w+1
,
w−1
dla którego spełnione sa˛ trzy warunki:
• w leży w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej w, co odpowiada
Re w < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy z leży wewnatrz
˛ okregu
˛ jednostkowego, tj.
|z| < 1;
• w leży w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej w, co odpowiada
Re w < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy z leży na zewnatrz
˛
okregu
˛ jednostkowego,
tj. |z| > 1;
• w leży na osi urojonej płaszczyzny w, co odpowiada Re w = 0 wtedy
i tylko wtedy, gdy z leży na okregu
˛ jednostkowym, tj. |z| = 1.
Metoda postepowania
˛
podczas sprawdzania stabilności układów dyskretnych jest dwuetapowa:
?
1) Sprawdzić, czy M (1) 6= 0;
2) Sprawdzić czy wszystkie pierwiastki w1 , w2 , ..., wm równania
¶
µ
w+1
m
=0
(w − 1) M
w−1
7.1. Wprowadzenie
117
maja˛ ujemne cześci
˛ rzeczywiste
?
?
?
Re w1 < 0, Re w2 < 0, ..., Re wm < 0,
stosujac
˛ powszechnie znane kryteria stabilności dla systemów z czasem cia˛
głym.
Istnieja˛ także kryteria stabilności przeznaczone specjalnie dla systemów
z czasem dyskretnym, np. kryterium Jury’ego [5], [6].
Niech A bedzie
˛
macierza˛ kwadratowa.
˛ Jej kolejne macierze wewnetrzne
˛
otrzymuje sie˛ przez skreślenie pierwszego i ostatniego wiersza oraz pierwszej
i ostatniej kolumny, aż do uzyskania macierzy o wymiarach 1 × 1 lub 2 × 2.
Definuje sie˛ podmacierze trójkatne
˛


am am−1 ... ...
a2

am ... ...
... 


b

... ...
... 
A=


am am−1 
am
oraz


a0

a0
a1 


e

A=
... ...
... 


... 
a0 ... ...
a0 a1 ... ... am−2
Kryterium Jury’ego. System jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko
wtedy, gdy M (1) > 0, (−1)m M (−1) > 0 oraz wyznacznik i wszystkie podwyb+A
ei A
b−A
e sa˛ dodatnie. Zaleta˛ kryterium Jury’ego
znaczniki macierzy A
w aspekcie metod komputerowych, jest możliwość jego szybkiej implementacji
w MATLAB.
7.1.7. Ekstrapolator i impulsator
Obiekt ciagły
˛
sterowany przez impulsator ([5]) o okresie T jest systemem
dyskretnym, a jego transmitancje˛ wyznaczamy nastepuj
˛ aco
˛
L−1
K(s) =⇒ k(t) =⇒ {k(nT )} = {kn } =⇒ Z({kn }) =⇒ K(z).
W przypadku systemu ciagłego
˛
sterowanego impulsatorem z ekstrapolatorem postepujemy
˛
według schematu
−1
z−1
1
L
K(s) =⇒ λ(t) =⇒ {λ(nT )} = {λn } =⇒
Z({kn }) =⇒ K(z).
s
z
118
7.1.8. System pobudzany procesem losowym
Niech {un } bedzie
˛
stacjonarnym dyskretnym białym szumem o zerowej
wartości oczekiwanej
µu = Eun = 0.
Funkcja autokorelacji dyskretnego białego szumu o zerowej wartości oczekiwanej jest definiowana nastepuj
˛ aco
˛
½ 2
σ u , dla τ = 0
Ru (τ ) = Eun un−τ =
,
0, dla τ 6= 0
˛ Wtedy
gdzie σ 2u = Ru (0) jest jego wariancja.
(∞
)
∞
X
X
µy = Eyn = E
ki uk−i = µu
ki
i=0
i=0
i jeśli µu = 0, to również µy = 0. Gdy µy = 0, autokorelacja wyjścia wyraża
sie˛ nastepuj
˛ aco
˛


∞
∞
∞

X
X
X
2
Ry (τ ) = Eyn yn+τ = E
ki uk−i
kj uk+τ −j = σ u
ki ki+τ , (7.9)


i=0
j=0
i=0
w szczególności
σ 2y = Ry (0) = σ 2u
∞
X
ki2 .
i=0
Wprost z zależności (7.7) i (7.9) wynika, że dla systemów asymptotycznie
stabilnych, pobudzanych białym szumem, ma ona właściwość
lim Ry (τ ) = 0.
τ →∞
Jeśli odpowiedź impulsowa jest skończona, tzn.
ki = 0, dla i > P,
to również
Ry (τ ) = 0, dla τ > P.
Można także pokazać, że dla systemu asymptotycznie stabilnego, pobudzanego losowym procesem skorelowanym, zachodzi zależność
lim Ru (τ ) = 0 =⇒ lim Ry (τ ) = 0.
τ →∞
τ →∞
7.1. Wprowadzenie
119
7.1.9. Identyfikacja liniowych systemów dynamicznych z czasem
dyskretnym
Podobnie jak w przypadku systemów z czasem ciagłym,
˛
powstaje pytanie,
jak na podstawie pomiarów wejścia i wyjścia rzeczywistego obiektu, określić
jego parametry w matematycznym opisie.
Rozpatrzmy problem estymacji parametrów α1 , ..., αn i β 0 , ..., β m stacjonarnego, asymptotycznie stabilnego, liniowego systemu dynamicznego z czasem dyskretnym [16]. Obiekt taki, o wejściu u i wyjściu x, opisuje równanie
różnicowe postaci
xk + α1 xk−1 + ... + αn xk−n = β 0 uk + β 1 uk−1 + ... + β m uk−m ,
(7.10)
gdzie wartości rzedów
˛
n i m sa˛ znane.
˛
wstecz (tzn. qxk =
Po wprowadzeniu operatora q = z −1 przesuwajacego
2
xk−1 , q xk = xk−2 itd.) oraz wielomianów
A(q) = 1 + α1 q + α2 q 2 + ... + αn qn ,
B(q) = β 0 + β 1 q + ... + β m qm ,
równanie (7.10) upraszcza sie˛ do postaci
A(q)xk = B(q)uk
→
xk =
B(q)
uk .
A(q)
Identyfikacja w warunkach bez zakłóceń pomiarowych
Po wprowadzeniu wektora (kolumnowego) poszukiwanych parametrów
θ = (α1 , α2 , ..., αn , β 0 , β 1 , ..., β m )T
oraz uogólnionych wektorów wejść (tzw. regresorów)
rk = (−xk−1 , −xk−2 , ..., −xk−n , uk , uk−1 , ..., uk−m )T ,
otrzymujemy
xk = rkT θ.
Nieznane parametry zawarte w wektorze θ identyfikuje sie˛ na podstawie
˛ acej
˛
par pomiarów (uk , xk ). Dla k = 1, ..., N zapiszmy pomiary w nastepuj
120
macierzy RN i wektorze kolumnowym XN
 T 

r1
x1
 r2T 
 x2



 :
,
X
RN = 
:
=
N



 : 
 :
T
rN
xN
Uzyskujemy macierzowe równanie pomiarów



.


XN = RN θ,
(7.11)
równoważne układowi N równań postaci (7.10) dla k = 1, ..., N . Mnożymy
T i otrzymujemy
lewostronnie obie strony równania (7.11) przez RN
T
T
RN
XN = RN
RN θ,
(θ — niewiadome),
(7.12)
TR
gdzie RN
˛ której liczba wierszy i kolumn jest
N jest macierza˛ kwadratowa,
równa liczbie poszukiwanych parametrów (dim θ).
TR
Aby układ ten miał jednoznaczne rozwiazanie,
˛
macierz RN
N musi być
odwracalna, tzn.
T
det RN
RN 6= 0
innymi słowy, aby
rankRN = dim θ.
TR
Warunkiem koniecznym nieosobliwości macierzy RN
N jest, aby liczba
pomiarów była co najmniej równa liczbie poszukiwanych parametrów m+n+1
N ≥ dim θ.
(7.13)
Warunek (7.13) nie jest oczywiście wystarczajacy.
˛
Jako kontrprzykład proponujemy czytelnikowi analize˛ sytuacji, w której uk = const.
Wynika z tego, że aby wyznaczenie parametrów systemu było możliwe,
należy go pobudzić odpowiednio bogatym sygnałem (tzw. sygnałem ustawicznie pobudzajacym,
˛
[16]). Przykładem sygnału ustawicznie pobudzajacego
˛
jest
TR
proces i.i.d. (biały szum). W przypadku, gdy RN
N jest macierza˛ odwraT R )−1 , by uzyskać
calna,
˛ możemy pomnożyć lewostronnie (7.12) przez (RN
N
wzór na poszukiwane parametry
T
T
θ = (RN
RN )−1 RN
XN .
7.1. Wprowadzenie
121
Identyfikacja w obecności zakłóceń pomiarowych
Niech teraz, dodatkowo, do prawdziwego wyjścia obiektu xk dodaja˛ sie˛
przypadowe zakłócenia εk o zerowej wartości oczekiwanej Eεk = 0, skończonej
wariancji varεk < ∞, niezależne od procesu wejściowego uk . Wykonujemy
pomiary i gromadzimy teraz pary (uk , yk ), gdzie yk = xk + εk .
Innymi słowy, pomiar wyjścia jest obarczony przypadkowym błedem,
˛
˛
Celem identyfikacji jest estymacja wea wartości idealne xk sa˛ niedostepne.
ktora parametrów θ = (α1 , α2 , ..., αn , β 0 , β 1 , ..., β m )T na podstawie pomiarów
we—wy {(uk , yk )}N
k=1 .
Zapisujemy
xk = yk − εk =
B(q)
uk
A(q)
/ · A(q)
i otrzymujemy równanie różnicowe o zmiennych y i u
A(q)yk = B(q)uk + zk .
Przypomina to wzór (7.10), z ta˛ jednak różnica,
˛ że wystepuje
˛
tutaj zakłócenie
zk = A(q)εk = εk + α1 εk−1 + α2 εk−2 + ... + αn εk−n ,
które nie jest szumem białym, gdyż jego autokorelacja dla |τ | ≤ n wynosi
Ezk zk−τ 6= 0.
Po wprowadzeniu rzeczywistego regresora
φk = (−yk−1 , −yk−2 , ..., −yk−n , uk , uk−1 , ..., uk−m )T
oraz macierzy uogólnionych wejść, wektora
 T 

φ1
y1
 φT2 
 y2




YN = 
ΦN = 
 : ,
 :
 : 
 :
T
yN
φN
równanie pomiarów przyjmuje postać
wyjść i zakłóceń




,


YN = ΦN θ + ZN ,
ZN


=


z1
z2
:
:
zN



,


122
gdzie θ jest niewiadomym wektorem stałych parametrów, a ZN — nieznanym
zakłóceniem losowym.
Zbyt duża liczba nieznanych wartości uniemożliwia wyliczenie θ. Zauważmy także, że układ równań z pominieciem
˛
zakłóceń
YN = ΦN θ,
(7.14)
jest w ogólności układem sprzecznym. Poszukuje sie˛ zatem takich wartości parametrów, przy których odległość miedzy
˛
wektorami po lewej i prawej stronie
równania (7.14) jest najmniejsza. Metodologia taka prowadzi do estymatora
metoda˛ najmniejszych kwadratów [16], który przy odwracalności macierzy ΦTN ΦN ma postać
a bład
˛ estymacji wynosi
b
θ = (ΦTN ΦN )−1 ΦTN YN ,
∆ = b
θ − θ = (ΦTN ΦN )−1 ΦTN YN − θ =
= (ΦTN ΦN )−1 ΦTN ΦN θ + (ΦTN ΦN )−1 ΦTN ZN − θ =
1
1
= ( ΦTN ΦN )−1 ΦTN ZN .
N
N
Ponieważ proces wyjściowy jest ergodyczny (jako wyjście obiektu asymptotycznie stabilnego pobudzanego białym szumem [16]), wiec
˛ czynnik

1 T
Φ ZN
N N




→ Eφk zk = E 




−yk−1
:
−yk−n
uk
uk−1
:
uk−m





 zk




z prawdopodobieństwem 1, gdy N → ∞. Skorelowanie procesu {zk } powoduje,
że Eφk zk 6= 0 i estymator najmniejszych kwadratów, zastosowany do identyfikacji parametrów systemu dynamicznego, może nie być estymatorem zgodnym.
Zwiekszanie
˛
liczby pomiarów nie doprowadzi nas do prawdziwych wartości
parametrów. W celu pokonania tej trudności, stosuje sie˛ techniki oparte na
filtracji zakłóceń lub tzw. metode˛ zmiennych instrumentalnych ([16]).
123
Matoda uogólnionych najmniejszych kwadratów — filtracja Kalmana
Ponieważ macierz kowariancji zakłóceń
T
cov(ZN ) = EZN ZN
jest dodatnio określona, podlega ona tzw. twierdzeniu o faktoryzacji, które
mówi o możliwości znalezienia takiej nieosobliwej macierzy P (tzw. pierwiastka macierzy cov(ZN )), że
cov(ZN ) = P · P T .
Mnożymy lewostronnie równanie pomiarów przez P −1
P −1 YN = P −1 ΦN θ + P −1 ZN
i oznaczamy Y N = P −1 YN , ΦN = P −1 ΦN , Z N = P −1 ZN , otrzymujemy
wówczas równanie
Y N = ΦN θ + Z N
Łatwo można pokazać (np. [16]), że
T
EZ N Z N = I
(I — macierz jednostkowa),
a zatem elementy Z N tworza˛ dyskretny biały szum. Uogólniony estymator
parametrów metoda˛ najmniejszych kwadratów ma postać
T
−1 T
θ[
GLS = (ΦN ΦN ) ΦN Y N .
(7.15)
Jest on estymatorem najlepszym spośród wszystkich estymatorów liniowych, gdyż w tej klasie cechuje go minimalna macierz kowariancji. Stosowanie
wzoru (7.15) wymaga jednak jednoczesnego (naprzemiennego) modelowania
budowy korelacyjnej zakłóceń. Kilka przykładowych metod wykorzystujacych
˛
filtracje˛ zakłóceń prezentuje praca [16].
Ćwiczenie laboratoryjne składa sie˛ z nastepuj
˛ acych
˛
etapów:
• symulacja prostych systemów dyskretnych, komputerowe wyznaczenie
charakterystyk czasowych i porównanie ich z wynikami teoretycznymi;
124
• badanie stabilności i zastepczej
˛
transmitancji dyskretnej systemów złożonych, w tym Układu Automatycznej Regulacji;
• analiza korelacyjna procesu wyjściowego przy pobudzeniu układu białym
szumem losowym;
• identyfikacja parametrów liniowego systemu dyskretnego metoda˛ najmniejszych kwadratów, na podstawie symulowanych pomiarów wejścia i wyjścia.
7.3.1. Wyznaczanie odpowiedzi impulsowych, transformacja Z
Obliczyć transformate˛ Z najcześciej
˛
spotykanych ciagów,
˛
tj. δ n , 1n , n,
3
n
n , a , sin ωn, cos ωn, n sin ωn, itp. Zamodelować w Simulink uzyskane
w ten sposób funkcje wymierne zmiennej z i zasymulować dyskretna˛ delte˛
Kroneckera, wydajac
˛ odpowiednie polecenie MATLAB
>>u=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;1,0,0,0,0,0,0,0,0,0]’
W pierwszej kolumnie macierzy u znajduja˛ sie˛ etykiety czasowe, w drugiej —
wartości sygnału. Przykładowy schemat układu do badania odpowiedzi impulsowych prostych systemów dyskretnych przedstawiono na rysunku 7.1.
n2 ,
7.3.2. Identyfikacja
Dokonać symulacji systemu typu FIR (o skończonej odpowiedzi impulsowej, ang. Finite Impulse Response), tzn. takiego, w którym
A(q) = 1.
Zbadać eksperymentalnie asymptotyczne własności estymatora najmniejszych kwadratów. Badania powtórzyć dla systemu typu IIR (o nieskończonej odpowiedzi impulsowej, ang. Infinite Impulse Response). Przykładowy
M -skrypt do symulacji, a nastepnie
˛
identyfikacji parametrów elementu FIR
w przypadku braku zakłóceń, przedstawiono poniżej:
N=20; %liczba pomiarow
a=[1 1 1]; %parametry obiektu: y(k)=1*u(k)+1*u(k-1)+1*u(k-2);
d=size(a,2); %rzad ruchomej sredniej
R=zeros(N,d); %uogolniona macierz wejsc
X=zeros(N,1); %wektor pomiarow wyjsc
u=rand(N+d-1,1); %proces wejsciowy
Rys. 7.1. Badanie odpowiedzi różnych układów na impuls dyskretny
for i=1:N
for j=1:d
R(i,j)=u(i+d-j,1);
X(i,1)=X(i,1)+a(j)*u(i+d-j,1);
end;
end;
oszac=inv(R’*R)*R’*X %oszacowanie wektora parametrow a
Wynik działania skryptu jest nastepuj
˛ acy:
˛
>>oszac=
>>
1.00000
>>
1.00000
>>
1.00000
Pokazuje on odpowiedź impulsowa˛ symulowanego systemu.
125
126
7.3.3. Przykładowe wyniki symulacji komputerowej
Na rysunkach 7.2 i 7.3 przedstawiono uzyskane w MATLAB i wykreślone
za pomoca˛ funkcji stem(), wyjście systemu o transmitancji
K(z) =
z
,
z − 12
pobudzonego sygnałem {δ n−5 } i odpowiednio {1n−5 }.
Na rysunku 7.4 pokazano odpowiedź systemu o transmitancji
KZ (z) =
na pobudzenie {δ n−5 } .
z sin 10
=
b sin 10 n
z 2 − 2z cos 10 + 1
7.3.4. Badanie stabilności
Stosujac
˛ znane kryteria, zbadać stabilność nastepuj
˛ acych
˛
systemów:
• opisanego równaniem różnicowym
yk = ayk−1 + uk ;
• o transmitancji
K(z) =
z2
1
;
+ az + 1
• o transmitancji
K(z) =
az 2
1
;
+z+1
w zależności od parametru a.
Dokonać komputerowej symulacji odpowiedzi systemów na skok jednostkowy.
7.3.5. Systemy złożone
Wybrane dwa proste systemy dyskretne połaczyć
˛
szeregowo, a nastepnie
˛
równolegle. Wyznaczyć analitycznie charakterystyki czasowe systemów złożonych i Dyskretnego Układu Automatycznej Regulacji — DUAR. Porównać je
z wynikami badań komputerowych. Badania powtórzyć dla układu ze sprze˛ żeniem zwrotnym (np. z rys. 7.5).
Rys. 7.2. Odpowiedź impulsowa elementu autoregresyjnego pierwszego rzedu
˛
Rys. 7.3. Odpowiedź na skok dyskretny
127
128
Rys. 7.4. Odpowiedź systemu typu „dyskretna sinusoida”
Rys. 7.5. (a) System ze sprze˛ żeniem zwrotnym; (b) badanie autokorelacji wyjścia
systemu pobudzanego procesem losowym
˛
129
7.3.6. Analiza korelacyjna procesu wyjściowego
Dla wybranej transmitancji systemu wyznaczyć odpowiedź impulsowa.
˛ Nastepnie
˛
zasymulować proces wejściowy typu „biały szum” o rozkładzie jednostajnym, znanej postaci u ∼ U [−c, c] (c — znane). Obliczyć analitycznie
wartość oczekiwana,
˛ wariancje˛ i funkcje˛ autokorelacji procesu wyjściowego.
Zbudować układ z rysunku 7.5b zawierajacy
˛ generator liczb pseudolosowych
o rozkładzie jednostajnym. Proces wyjściowy {yk } poddać analizie korelacyjnej za pomoca˛ skryptu:
%––––––––––skrypt komputerowy
[c_y,lags] = xcorr(y,10,’coeff’);
stem(lags,c_y)
%––––––––––
Porównać wynik analizy teoretycznej i symulacji komputerowej.
˛
Podstawowe prawo teorii informacji mówi [10], że aby sygnał z czasem
˛
móc jedciagłym
˛
s(t) o ograniczonym (z góry) przez fg paśmie czestotliwości
noznacznie (dokładnie) odtworzyć z pomiarów {sn } w dyskretnych chwilach
czasu, należy go próbkować z czestotliwości
˛
a˛ fp równa˛ co najmniej
fp = 2fg .
W zastosowaniach audiowizualnych Windows (pliki typu wav ) przyjmuje sie˛
np. zakres słyszalności fg = 22 kHz. Pobiera sie˛ zatem 44 tys. próbek w ciagu
˛
˛
sekundy. Sygnał dźwiekowy
˛
jest przechowywany w formie cyfrowej {sn } (ciag
liczb), co ma wiele zalet, np.: odporność na zakłócenia, możliwość szybkiego
kopiowania, czy efektywna˛ kompresje˛ (pliki typu mp3 ). Nowoczesna˛ dziedzina˛
zastosowań jest przetwarzanie sygnału na poziomie jego reprezentacji cyfrowej.
Cyfrowa filtracja dźwieku
˛
polega na transferze sygnału {sn } przez odpowiednio zaprojektowany liniowy obiekt dynamiczny i odtworzeniu na podstawie
0
˛
tak otrzymanego ciagu
˛ {sn } — sygnału wyfiltrowanego s0 (t) z czasem ciagłym.
7.5. Podsumowanie
Celem badań prowadzonych w ćwiczeniu było poznanie komputerowych
technik w zagadnieniach:
130
— wyznaczaniu standardowych odpowiedzi czasowych systemów dyskretnych;
— identyfikacji parametrów liniowych systemów dynamicznych z czasem
dyskretnym przy wystepowaniu
˛
zakłóceń losowych na wyjściu;
— badaniu stabilności systemów dyskretnych;
— wyznaczaniu funkcji autokorelacji procesu wyjściowego obiektu pobudzanego białym szumem.
Szybki wzrost wydolności obliczeniowej komputerów, spowodował w ostatnich latach burzliwy rozwój teorii cyfrowego przetwarzania sygnałów, a zwłaszcza: projektowania filtrów cyfrowych i analogowych, efektywnych metod
obliczania transformat itp. W konsekwencji wyniki analizy systemów dyskretnych znajduja˛ powszechne zastosowanie w wielu dziedzinach, przede wszystkim w telekomunikacji i medycynie. Zainteresowanym czytelnikom szczególnie
jest polecana, w celu poszerzenia wiadomości z tego zakresu, monografia [10].
W nowoczesnych rozwiazaniach
˛
zwiazanych
˛
z modelowaniem systemów rzeczywistych, przedstawiony we wprowadzeniu system o ogólnym opisie
y(t) ≈ F(u(t − τ )), gdzie τ = 0...∞
aproksymuje sie˛ strukturami połaczeń
˛
liniowych obiektów dynamicznych i nieliniowych obiektów statycznych (tzw. strukturami blokowymi). Do najpopularniejszych modeli blokowo-zorientowanych należa˛ połaczenia
˛
kaskadowe
filtrów liniowych i statycznych nieliniowości, tzw. systemy Hammersteina
i Wienera. Zastosowanie takich struktur umożliwia jednoczesne modelowanie nieliniowej natury zjawiska i jego dynamiki.
131
Literatura
[1] Amborski K., Marusak A., Teoria sterowania w ćwiczeniach, PWN, Warszawa, 1978.
[2] Brzózka J., Ćwiczenia z automatyki w Matlabie i Simulinku, Wydawnictwo Mikom, Warszawa, 1997.
[3] Brzózka J., Regulatory i układy automatyki, Wydawnictwo Mikom, Warszawa, 2004
[4] Findeisen W., Technika regulacji automatycznej, PWN, Warszawa, 1969.
[5] Greblicki W., Teoretyczne podstawy automatyki, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 2001.
[6] Jury E., Przekształcenie Z i jego zastosowania, WNT, Warszawa, 1970.
[7] Kaczorek T., Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa, 1999.
[8] Kasprzyk J., Identyfikacja procesów, Wydawnictwo Politechniki Ślaskiej,
˛
Gliwice, 2002.
[9] Kiełbasiński A., Schwetlick H., Numeryczna algebra liniowa: wprowadzenie do obliczeń zautomatyzowanych, WNT, Warszawa, 1994.
[10] Kwiatkowski W., Wstep
˛ do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Wojskowa
Akademia Techniczna, Warszawa, 2003.
[11] Mazurek J., Vogt H., Żydanowicz W., Podstawy automatyki, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 2002.
[12] Mikulski J., Podstawy automatyki — liniowe układy regulacji, Wydawnictwo Politechniki Ślaskiej,
˛
Gliwice, 2001.
[13] Mrozek B., Mrozek Z., Matlab i Simulink. Poradnik użytkownika, Wydawnictwo Helion, Gliwice, 2004.
[14] Ogata K., Modern control engineering, 4th Edition, Prentice-Hall, New
Jersey, 2002.
132
Literatura
[15] Pełczewski W., Teoria sterowania. Ciagłe
˛
stacjonarne układy liniowe,
WNT, Warszawa, 1980.
[16] Söderström T., Stoica P., Identyfikacja systemów, WNT, Warszwa, 1997.
[17] Thaler G. J., Pastel M. P., Nieliniowe układy automatycznego sterowania
— analiza i projektowanie, WNT, Warszawa, 1965.
[18] Wiszniewski A. i in., Podstawy automatyki. Ćwiczenia laboratoryjne, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 2000.
[19] Zalewski A., Cegieła R., Matlab — obliczenia numeryczne i ich zastosowania, Wydawnictwo Nakom, Poznań, 1997.
[20] Żuchowski A., Metoda doboru nastaw regulatora PID uwzgledniaj
˛
aca
˛ postulowany zapas stabilno´sci modułu i fazy, Pomiary Automatyka Kontrola,
str. 11—13, Nr 1/2004.
[21] Materiały pomocnicze na stronie http://diuna.ict.pwr.wroc.pl/grmz.
Indeks
Astatyzm UAR, 80
Autokorelacja, 118
Charakterystyka amplitudowo-fazowa,
66
Charakterystyka Bodego, 66
Charakterystyka czasowa, 25
Czas regulacji, 95
DUAR — dyskretny UAR, 126
Funkcja opisujaca,
˛
104
Obserwowalność, 29
Odpowiedź impulsowa, 30
Odpowiedź skokowa, 30
Osiagalność,
˛
29
Przeregulowanie, 93
Przestrzeń stanów, 27
Równanie różnicowe, 111
Równanie różniczkowe, 26
Simulink, 16
Splot, 9
Stabilność, 48
Stabilność systemu dyskretnego, 115
Statyzm UAR, 80
Sterowalność, 29
Identyfikacja, 31
Identyfikacja systemu dyskretnego,
119
ISE — całkowy bład
˛ kwadratowy, 94
Kryterium Hurwitza, 51
Kryterium Jury’ego, 117
Kryterium Nyquista, 51
Transmitancja operatorowa, 25
Transmitancja widmowa, 65
UAR — układ automatycznej regulacji, 45
Linie pierwiastkowe, 52
Losowe pobudzenie, 118
Zasada superpozycji, 9
Zapas amplitudy, 69
Zapas fazy, 69
M-skrypt, 14
MATLAB, 11
Metoda najmniejszych kwadratów,
122
Metody Zieglera—Nicholsa, 96
Nada˛żność UAR, 83
Nieliniowy UAR, 105
133

Komputerowa symulacja układów automatycznej regulacji w

Transkrypt

Podobne dokumenty

KANGUR 2015