ENERGIA a

Wykład z fizyki. Piotr Posmykiewicz
56
W Y K Ł A D VI
Zachowanie energii.
Energię potencjalną układu moŜna zdefiniować w następujący sposób: praca wykonana nad układem przez
wewnętrzne siły zachowawcze jest równa zmniejszeniu energii potencjalnej. JeŜeli siła zachowawcza jest jedyną
siłą, która wykonuje pracę, to praca ta jest równa przyrostowi energii kinetycznej. PoniewaŜ zmniejszenie energii
potencjalnej jest równe wzrostowi energii kinetycznej to suma energii kinetycznej i potencjalnej, lub inaczej;
całkowita energia mechaniczna nie ulegnie zmianie. Jest to zasada zachowania energii mechanicznej. Zasada
ta wynika z zasad dynamiki Newtona i jest uŜyteczną alternatywą dla praw dynamiki podczas rozwiązywaniu
szeregu problemów z mechaniki. Zasada zachowania energii mechanicznej ma jednak ograniczone zastosowanie
z powodu występowania sił niezachowawczych takich jak na przykład, tarcie. JeŜeli w układzie występuje tarcie,
to energia mechaniczna układu maleje.
PoniewaŜ energia mechaniczna często nie jest zachowana, to z waŜności energii nie zdawano sobie sprawy
aŜ do wieku dziewiętnastego, kiedy to odkryto, Ŝe znikaniu makroskopowej energii mechanicznej zawsze
towarzyszy pojawienie się innego rodzaju energii, na przykład energii cieplnej, której wzrost sygnalizowany jest
przez wzrost temperatury. Obecnie wiemy, Ŝe z punktu widzenia mikroskopowego ta energia cieplna składa się z
energii kinetycznych i potencjalnych cząsteczek (atomów) układu.
Istnieją równieŜ inne formy energii, takie jak energia chemiczna zawarta na przykład w naszym ciele, energia
fal dźwiękowych czy teŜ energia fal elektromagnetycznych. Za kaŜdym razem, gdy energia układu zmienia się o
pewną wartość, moŜemy być pewni, Ŝe gdzieś indziej, taka sama ilość energii pojawia się lub znika. Ta
doświadczalna obserwacja została nazywana prawem zachowania energii, i jest jednym z podstawowych i
najbardziej waŜnych praw w całej nauce. Pomimo tego, iŜ energia zmienia się przechodząc z jednej formy w
drugą, to nigdy nie powstaje z niczego i nie znika.
7-1 Zasada zachowania energii mechanicznej.
Rozpatrzmy układ, w którym jedynymi działającymi siłami są wewnętrzne siły zachowawcze Przykładem
takiego układu moŜe być układ narciarz - Ziemia (patrz wykład V). Całkowita praca wykonana nad kaŜdym
punktem materialnym układu jest równa przyrostowi energii kinetycznej danego punktu materialnego, zatem
całkowita praca wykonana przez wszystkie siły jest równa całkowitemu przyrostowi energii kinetycznej układu:
Wca = ∑ ∆K i = ∆K
7-1
PoniewaŜ kaŜda siła wewnętrzna jest siłą zachowawczą, to praca, jaką ona wykonuje prowadzi do zmniejszenia
energii potencjalnej związanej z tą siłą. W rezultacie, całkowita praca wykonana przez wszystkie siły
wewnętrzne jest równa całkowitemu zmniejszeniu energii potencjalnej układu:
Wykład z fizyki. Piotr Posmykiewicz
57
Wca = ∑ − ∆U i = −∆U
7-2
∆K = −∆U lub
∆K + ∆U = ∆(K + U ) = 0
7-3
Porównując 7-1 i 7-2 widać, Ŝe
Suma energii kinetycznej
K
i energii potencjalnej
U
układu nazywa się całkowitą energią mechaniczną
Emech :
Emech = K + U
7-4
Definicja – Całkowita energia mechaniczna
Z równania 7-3 wynika, Ŝe jeŜeli praca nad układem dwu lub więcej cząstek jest wykonana tylko przez
wewnętrzne siły zachowawcze, to całkowita energia mechaniczna układu nie zmienia się:
∆ (K + U ) = ∆Emech = 0
E = K + U = cons tan s
7-5
Zasada zachowania energii mechanicznej
Jest to zasada zachowania energii mechanicznej.
JeŜeli
Ei = K i + U i jest początkową energią mechaniczną układu, a E f = K f + U f
jest końcową
energią mechaniczną, wtedy z zasady zachowania energii mechanicznej wynika, Ŝe
E f = Ei
K f + U f = Ki + U i
7-6
Szereg zadań z mechaniki rozwiązuje się poprzez porównanie początkowej energii mechanicznej układu z jego
końcową energią mechaniczną.
Migawkowe zdjęcie wahadła prostego. W miarę jak
w energię kinetyczną, a co za tym idzie, wzrasta
między kolejnymi połoŜeniami kulki. W miarę jak kulka
a energia kinetyczna maleje.
kulka opada energia potencjalna zamienia się
prędkość. Przejawia się to wzrostem odległości
porusza się do góry energia potencjalna rośnie,
Wykład z fizyki. Piotr Posmykiewicz
58
Zastosowanie.
RozwaŜmy narciarza, który z wierzchołka góry o wysokości
h
zaczyna zjeŜdŜać w dół bez prędkości
początkowej. Zakładamy, Ŝe nie ma tarcia. Jaka jest prędkość narciarza na wysokości
y
powyŜej podstawy
góry? Energia mechaniczna układu narciarz – Ziemia jest zachowana, poniewaŜ jedyną siłą wykonującą pracę
jest wewnętrzna zachowawcza siła grawitacji. JeŜeli wybrać
energia potencjalna wyniesie
U =0
przy podstawie góry, to początkowa
mgh . Jest to równieŜ całkowita energia mechaniczna, poniewaŜ początkowa
energia kinetyczna jest równa zeru. Tak, więc
Ei = K i + U i = 0 + mgh = mgh
Na wysokości
y
energia potencjalna wynosi
E f = K f +U f =
Podstawiając to do
mgy
a prędkość narciarza jest równa
v . Stąd
1 2
mv + mgy
2
E f = Ei otrzymamy:
1 2
mv + mgy = mgh
2
lub
v = 2 g (h − y )
MoŜna łatwo sprawdzić, Ze prędkość narciarza jest taka sama jak w przypadku gdyby spadał bez prędkości
początkowej z wysokości
h− y.
P R Z YK Ł A D
Dwa klocki są przymocowane cienką linką przerzuconą przez
bloczek, którego masę moŜemy zaniedbać . Zakładamy, Ŝe nie ma
tarcia. Klocki mają masę
m1 i m2
i początkowo znajdują się w
spoczynku. Znajdź prędkość klocków gdy cięŜszy z nich przebędzie
odległość
h.
Analiza zadania. Energia mechaniczna jest zachowana. Wypadkowa
praca wykonana przez siłę napięcie linki jest równa zero; siła
napręŜenie linki wykonuje dodatnią pracę podnosząc lŜejszy klocek i
Rysunek 7-1
Wykład z fizyki. Piotr Posmykiewicz
59
równą co wartości bezwzględnej, ale ujemną pracę podczas opuszczania cięŜszego klocka na tę samą odległość,
ale w przeciwnym kierunku (Rysunek 7-1). JeŜeli przyjąć
Ui = 0
w punkcie, w którym klocki są w
spoczynku, to całkowita energia jest równa zero. PoniewaŜ linka nie rozciąga się, to oba klocki w kaŜdej chwili
poruszają się z tą samą prędkością
v.
1. Zapisz całkowitą energię kinetyczną układu gdy
cięŜarki poruszają się z prędkością
v:
2. Zapisz całkowitą energię potencjalną układu, gdy
masa
m1
przebyła do dołu drogę
h,
a
masa m2 wzniosła się na tę samą odległość:
3. Dodaj U i
K
aby otrzymać energię całkowitą:
4. Zastosuj zasadę zachowania energii:
5. Znajdź
v:
Uwaga. Spróbuj, jeŜeli nie zrobiłeś tego wcześniej, rozwiązać to zadanie korzystając z drugiej zasady dynamiki.
PowyŜsze zadanie pokazuje, Ŝe do rozwiązywania określonych problemów w mechanice moŜna stosować
zasadę zachowania energii mechanicznej zamiennie z prawami dynamiki. Kiedy nie interesuje nas czas,
zastosowanie zasady zachowania energii mechanicznej, często znacznie upraszcza obliczenia.
7-2 Prawo zachowania energii.
Z punktu widzenia mikroskopowego siły niezachowawcze występują praktycznie zawsze. Jednym z
najbardziej rozpowszechnionych rodzajów sił niezachowawczych są siły tarcia, które powodują zmniejszenie
całkowitej energii mechanicznej układu. Jednak to zmniejszenie energii mechanicznej okazuje się być równe
wzrostowi energii cieplnej wytworzonej przez siły tarcia. Innym przykładem sił niezachowawczych są siły
powstające podczas deformacji ciał. Kiedy przez pewien czas wyginać metalowy pręt, wtedy zostanie wykonana
określona praca nad prętem. Jednak praca ta nie przejawi się w postaci energii mechanicznej. Zamiast tego pręt
stanie się ciepły. Praca włoŜona w wyginanie pręta została rozproszona w postaci energii cieplnej. Podobnie,
jeŜeli kulka kitu spadnie z pewnej wysokości na podłogę, to ulegnie ogrzaniu, czyli jej początkowa energia
potencjalna zamieni się w energię cieplną. JeŜeli zsumować energię cieplną i energię mechaniczną, to okaŜe się,
Ŝe energia całkowita jest zachowana nawet, jeŜeli występują siły tarcia lub siły związane z deformacją ciała.
Trzeci typ sił niezachowawczych to siły związane z reakcjami chemicznymi. JeŜeli wybierzemy taki układ, w
którym zachodzi reakcja chemiczna, to suma energii mechanicznej i cieplnej nie będzie zachowana. Na przykład
załóŜmy, Ŝe rozpoczynamy bieg startując z miejsca. Początkowo nie posiadamy energii kinetycznej. Kiedy
Wykład z fizyki. Piotr Posmykiewicz
60
rozpoczynamy bieg wewnętrzna energia chemiczna w naszych mięśniach jest zamieniana na energię kinetyczną
naszego ciała i jednocześnie wytwarzana jest energia cieplna. MoŜliwe jest określenie i zmierzenie energii
chemicznej, która została do tego uŜyta. W tym przypadku suma energii mechanicznej, cieplnej i chemicznej jest
stała.
Nawet jednak, jeŜeli uwzględnić energię chemiczną i cieplną, to energia całkowita układu nie zawsze
pozostaje stała. MoŜe się ona zmieniać z powodu róŜnych form promieniowana, takich jak fale dźwiękowe lub
fale elektromagnetyczne. Jednak, wzrostowi lub ubytkowi całkowitej energii układu zawsze musi towarzyszyć
pojawienie się lub zniknięcie energii w innym miejscu. Ten fakt doświadczalny znany jest jako prawo
zachowania energii. Niech
Euk
będzie energią całkowitą układu,
Ewch
energią dostarczaną do układu, a
Ewych energią opuszczającą układ. Prawo zachowania energii stwierdza:
E wch − E wych = ∆Euk
7-7
Prawo zachowania energii
Lub alternatywnie:
Całkowita energia wszechświata jest stała. Energia moŜe być przekształcona z jednej formy w
inną lub przekazana z jednego obszaru do drugiego, ale energia nigdy nie moŜe być stworzona lub
zniszczona.
Prawo zachowania energii
Całkowitą energię
Euk
wielu typowych układów moŜna policzyć, jeŜeli uwzględnić energię mechaniczną
Emech , energię cieplną Eciep
i energię chemiczną
Echem . Aby jednak być ścisłym, naleŜy pamiętać o
innych formach energii, takich jak energia elektromagnetyczna, energia jądrowa ( oznaczmy je umownie
Einne ) . W rezultacie moŜemy zapisać ogólnie:
Euk = Emech + Eciep + Echem + Einne
7-8
Twierdzenie o pracy i energii.
Powszechnym sposobem przekazywania energii z i do układu jest wykonywanie z zewnątrz pracy nad układem.
JeŜeli jest to jedyny sposób przekazywania energii∗, to prawo zachowania energii moŜna zapisać:
Wzew = ∆Euk
7-9
Twierdzenie o pracy i energii
gdzie Wzew jest pracą wykonaną nad układem przez siły zewnętrzne, a
∆Euk
jest zmianą energii całkowitej
układu. Równanie 7-9 jest bardzo przydatnym narzędziem do badania róŜnych układów. NaleŜy zwrócić uwagę,
Ŝe jeŜeli układem jest po prostu jeden punkt materialny i posiada on tylko energię kinetyczną, wtedy równanie 79 jest takie same jak równanie opisujące twierdzenie o pracy i energii kinetycznej z poprzedniego wykładu.
∗
Energia jest przekazywana równieŜ wtedy, gdy istnieje wymiana ciepła między układem, a otoczeniem. Taka wymiana energii cieplnej moŜe
zachodzić, jeŜeli istnieje róŜnica temperatur między układem, a otoczeniem.
Wykład z fizyki. Piotr Posmykiewicz
61
P R Z YK Ł A D
Kulka plasteliny o masie m jest puszczona z wysokości h i upada na twardą podłogę. Przedyskutuj zastosowanie
prawa zachowania energii, gdy (a) układ składa się tylko z kulki i ( b), gdy układ składa się z ziemi i kulki.
Analiza zadania. Na kulkę działają dwie siły: siła grawitacji i siła oddziaływania podłogi. PoniewaŜ podłoga się
nie porusza, to siła jaką wywiera ona na kulkę nie wykonuje pracy. Nie występują, równieŜ, zmiany energii
chemicznej, czy innej energii, czyli
Echem i Einne
moŜemy zaniedbać. JeŜeli zaniedbać, równieŜ, energię
fali dźwiękowej powstającej w momencie uderzenia kulki o podłogę, to jedyną energią przekazywaną do lub od
kulki jest praca wykonana przez siłę grawitacji. MoŜemy zatem zastosować twierdzenie o pracy i energii.
(a) 1. Zapisz twierdzenie o pracy energii:
2. Dwie zewnętrzne siły działają na układ:
siła grawitacji i siła wywierana przez podłogę. Podłoga nie porusza się, czyli jej praca
równa się zero. Jedyną pracę wykonuje siła
grawitacji:
3. PoniewaŜ tylko piłka stanowi układ, to jej
energia mechaniczna jest równa energii
kinetycznej.
Początkowa
i
końcowa
wartość
energii
kinetycznej wynosi zero. W rezultacie zmiana
energii mechanicznej wynosi teŜ zero:
4. Podstawiając
mgh
do Wzew i 0 do
∆Emech otrzymamy:
(b)
1. W tym przypadku nie ma sił zewnętrznych
działających
na układ (siła grawitacji i siła oddziaływania podłogi są
siłami wewnętrznymi układu)
2.
Zapisz twierdzenie o pracy i energii podstawiając
Wzew = 0
układ (obie wyŜej wymie-
3. Początkową energią mechaniczną układu jest równa
początkowej energii potencjalnej, a mechaniczna energia
końcowa wynosi zero:
nione siły są siłami wewnętrznymi)
4. Zmiana energii mechanicznej tego układu wynosi
zatem:
5. Twierdzenie o pracy i energii daje, więc ten sam
wynik jak w (a):
praca zewnętrzna nad układem wynosi zero
Wykład z fizyki. Piotr Posmykiewicz
( Ether
62
≡ Eciep , Esys ≡ Euk , Wext ≡ Wzew )
Uwaga. W przypadku (a) energia jest przekazywana do kulki poprzez pracę wykonaną nad nią przez siłę
grawitacji. Energia ta przejawia się w postaci energii kinetycznej bezpośrednio przed uderzeniem kulki o
podłogę, i w postaci energii cieplnej po uderzeniu. Kulka ogrzewa się lekko i w ostatnim etapie energia jest
przekazywana do otoczenia w postaci ciepła. W przypadku (b) początkowa energia potencjalna układu kulka –
Ziemia jest zamieniana na energię kinetyczną kulki przed uderzeniem, a następnie w energię cieplną.
Zagadnienia
związane
z
tarciem
kinetycznym.
v
Siły tarcia kinetycznego wywierane przez jedną
f
powierzchnię na drugą, w przypadku, gdy obie
powierzchnie ślizgają się po sobie, powodują
zmniejszenie
całkowitej
energii
mechanicznej
układu i zwiększają energię cieplną. RozwaŜmy
klocek, który porusza się z prędkością początkową
vi
Rysunek 7-2
po szorstkim stole aŜ do momentu zatrzymania
(Rysunek 7-2). Wybierzmy klocek i stół jako rozpatrywany układ. Wtedy
∆Echem = ∆Einne = 0 i nie jest
wykonywana Ŝadna zewnętrzna praca nad układem. Z twierdzenia o pracy i energii otrzymamy:
0 = ∆Emech + ∆Eciep
7-10a
Ubytek energii mechanicznej klocka jest równy początkowej energii kinetycznej:
1
2
∆Emech = − mvi2
7-10
MoŜemy znaleźć związek między tym ubytkiem energii mechanicznej, a siłą tarcia. JeŜeli
tarcia to z drugiej zasady dynamiki mamy:
− f = ma
MnoŜąc obie strony równania przez
∆s otrzymamy:
f
jest wartością siły