ZAJĘCIA 04. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory

ZAJĘCIA 04.
Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory - cz. 2.
4. Zbiór liczb wymiernych
Zbiór liczb wymiernych jest to zbiór wszystkich liczb, w których kaŜdą liczbę moŜna zapisać w
postaci ułamka zwykłego , gdzie
i
.
Podobnie jak to było w zbiorze liczb całkowitych, zbiór liczb wymiernych dodatnich
oznaczamy przez
, a ujemnych przez
.
W niektórych polskich ksiąŜkach zbiór liczb wymiernych jest oznaczany przez
.
PRZYKŁAD
Liczbami wymiernymi są na przykład:
1 6
0
5
1
1
3
1
,
(czyli 2),
(czyli 0), − (czyli − ) , 0.01 (czyli
),
(czyli 1 i ).
2 3
7
10
2
100 2
2
PRZYKŁAD
p
Mimo, Ŝe liczby 5 i 0.3333... nie są wyraŜone w postaci ułamka , to są liczbami wymiernymi,
q
poniewaŜ moŜna je wyrazić w takiej postaci:
5 = 5/1
0.3333... = 1/3
Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem nieskończonym, ponadto nie ma w nim liczby
najmniejszej, ani największej.
Podzbiorem zbioru liczb wymiernych jest zbiór liczb całkowitych (Z ⊂ W).
p
nazywamy ułamkiem zwykłym:
q
* właściwym, jeŜeli p < q ,
* niewłaściwym, jeŜeli p ≥ q.
Iloraz
PRZYKŁAD
1/2, 5/8, 100/101 to ułamki zwykłe właściwe,
2/1, 8/5, 101/100, 0/3 to ułamki zwykłe niewłaściwe
Ponadto liczbę a nazywamy licznikiem, a liczbę b - mianownikiem ułamka.
Ułamek dziesiętny
Ułamki o mianownikach 10, 100, 1000, 10000 itd. moŜemy zapisać w dziesiątkowym systemie
pozycyjnym, oddzielając przecinkiem (lub kropką) część całkowitą i 10-te, 100-tne, 1000-czne
itd. części tej liczby.
PRZYKŁAD
2/10 = 0,2
14/100 = 0,14
2/1000 = 0,002
111/100 = 1,11
Aby zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny naleŜy wykonać dzielenie pisemne licznika
przez mianownik. W wyniku dzielenia moŜemy uzyskać ułamek dziesiętny skończony lub
ułamek dziesiętny nieskończony okresowy
KaŜda liczba wymierna ma dokładnie jedno rozwinięcie dziesiętne: okresowe lub skończone
PRZYKŁAD
5/4 = 1,25 - jest to przykład ułamka dziesiętnego skończonego
1/3 = 0,333... = 0,(3) - jest to przykład ułamka dziesiętnego nieskończonego okresowego.
PoniewaŜ po przecinku (kropce) liczba "3" powtarza się nieskończenie wiele razy uŜywamy
zapisu polegającego na ujęciu okresu w nawiasach okrągłych.
Gdy zechcemy zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, to jest to proste, jeŜeli mamy do czynienia
z ułamkiem dziesiętnym skończonym (np. 0,11 = 11/100), natomiast w przypadku ułamka
okresowego trzeba stosować metody, które zostaną omówione w dalszej części kursu.
a) Przyjrzyjmy się bliŜej liczbie . Na pewno pamiętamy, Ŝe
. Aby otrzymać
rozwinięcie dziesiętne danej liczby, po prostu wykonujemy zwyczajne dzielenie. Ale jak przejść
z rozwinięcia dziesiętnego na postać ułamka? Zobaczmy:
, poniewaŜ
3 + x = 10x
Otrzymaliśmy oczekiwany wynik.
b) Innym przykładem, trochę trudniejszym jest 0,123123123….
Wprawni weterani mogą się domyślać, Ŝe będzie ona równa
.
Zobaczmy na rozwiązanie:
, poniewaŜ
123 + x = 1000x
Szukaną liczbą jest
.
c) A teraz ciekawostka. Która z liczb: 1 czy 0,999... jest większa?
PokaŜemy, Ŝe 0,99999… = 1.
Oto rozwiązanie:
, poniewaŜ
JeŜeli:
to:
9 + x = 10x
1=x
Skoro 0,99999… = x , to:
0,99999… = 1
Oczywiście nie mamy tutaj do czynienia z Ŝadnym przybliŜeniem.
KaŜdy ułamek dziesiętny, mający okres 9 moŜna zastąpić ułamkiem dziesiętnym
skończonym.
A więc dla przykładu:
0,8(9) = 0,9
1,999... = 2
0,1(9) = 0,2
1 i 0,999... to po prostu róŜny sposób zapisu tej samej liczby.
d) Teraz rozwiąŜemy trudniejszy przykład: 2,8234234234…
JeŜeli:
to:
28206 + 10x = 10000x
Liczbę
Podobnie
moŜemy zapisać takŜe w formie 0,(3).
moŜemy zapisać jako 0,(123), a takŜe
4,17171717… = 4,(17) W takiej formie moŜemy zapisać dowolną liczbę o rozwinięciu
dziesiętnym okresowym.
Nie wszystkie liczby rzeczywiste moŜna zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego
skończonego, czy teŜ nawet rozwinięcia nieskończonego okresowego. W takiej formie moŜna
zapisać wszystkie liczby wymierne, natomiast nie moŜemy zapisać w ten sposób rozwinięcia
liczby niewymiernej. Przykładem liczby niewymiernej moŜe być liczba Eulera e = 2,71828182,
a takŜe liczba 1,232233222… Jak widać, nie są one liczbami okresowymi.