View
Transkrypt
View
Gerard Czajkowski Wojciech Chmara ELEKTRODYNAMIKA Wersja 27.05.2010 Kierunek: Fizyka techniczna Specjalność: Miernictwo komputerowe z informatyka, Studia inżynierskie Bydgoszcz 2010 2 Spis treści I Elektrodynamika 9 1 Uzupełnienie matematyczne-rachunek wektorowy 11 1.1 Algebra wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Elementy analizy wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Funkcje pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Twierdzenie Gaussa–Ostrogradskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Twierdzenie Stokesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Równania Maxwella 19 2.1 Uwagi wstȩpne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Podstawowe pojȩcia i równania teorii pola elektromagnetycznego . . . . . . . . . . 20 2.3 I i II równanie Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.1 Uogólnione prawo indukcji elektromagnetycznej . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3.2 Prąd i pole magnetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Układ równań Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Równania materiałowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5.1 Względna przenikalność elektryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.5.2 Względna przenikalność magnetyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5.3 Przewodniki i izolatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Warunki graniczne dla wektorów pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6.1 Warunek graniczny na składową normalną wektora indukcji magnetycznej 42 2.6.2 Warunek graniczny na składową normalną wektora indukcji elektrycznej . 43 2.6 2.6.3 2.7 Warunek graniczny na składową styczną natężenia pola elektrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6.4 Warunek graniczny na składowa̧ styczna̧ natȩżenia pola magnetycznego . . 45 2.6.5 Warunek graniczny dla składowej stycznej gęstości prądu . . . . . . . . . . 46 2.6.6 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Energia pola elektromagnetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 2.7.1 2.8 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Działy elektrodynamiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.8.1 Przypadek statyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.8.2 Pole stacjonarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.8.3 Przypadek quasistacjonarny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Elektrostatyka 55 3.1 Potencjał elektrostatyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Przewodniki w polu elektrostatycznym. Kondensatory . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.1 Ekran przewodzący . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.2 Kondensatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2.3 Metoda obrazów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2.4 Energia pola elektrostatycznego oraz energia oddziaływania między ładunkami 66 4 Stacjonarne pole magnetyczne 69 4.1 Równania pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Siły elektromotoryczne przyłożone. Uogólnione prawo Ohma i Joule’a-Lenza . . . 69 4.3 Pole magnetostatyczne w ośrodku jednorodnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3.1 Prawo Biota–Savarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.3.2 Przykłady zastosowania prawa Biota–Savarta . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3.3 Pole magnetyczne prądu elementarnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.3.4 Energia pola magnetycznego prądów stałych . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3.5 Siły mechaniczne w polu magnetostatycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5 Quasistacjonarne pole magnetyczne 5.1 Równania pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.2 Układ przewodników z uwzględnieniem indukcji wzajemnej oraz samoindukcji . . . 91 5.2.1 6 89 Prawo Ohma w postaci całkowej z uwzględnieniem indukcji elektromagnetycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2.2 Układ dwóch przewodników. Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.2.3 Obwód elektryczny z pojemnością i samoindukcją . . . . . . . . . . . . . . 93 5.2.4 Obwód drgający . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.2.5 Przypadek ogólny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Emisja fal elektromagnetycznych 99 6.1 Ogólne rozwia̧zanie równań Maxwella przy pomocy potencjałów . . . . . . . . . . . 6.2 Funkcja Greena dla równania d’Alemberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.2.1 99 Pojęcie funkcji Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4 6.3 Promieniowanie dipola Hertza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.4 Strefa bliska (indukcji) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.5 Strefa daleka (promieniowania) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7 Równania Maxwella w postaci relatywistycznie niezmienniczej 111 8 Fale elektromagnetyczne w ośrodkach nieskończonych 115 8.1 Fale elektromagnetyczne w dielektrykach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.2 Fale elektromagnetyczne w ośrodkach przewodza̧cych . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.2.1 8.3 Polaryzacja fali płaskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Załamanie i odbicie płaskiej fali elektromagnetycznej na granicy miȩdzy dwoma dielektrykami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.3.1 Warunki graniczne dla wektorów falowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.3.2 Zwia̧zek miȩdzy natȩżeniami fali padaja̧cej, odbitej i załamanej dla fali padaja̧cej prostopadle do powierzchni granicznej– wzory Fresnela . . . . . . 122 8.4 9 Wzory Fresnela dla fali padaja̧cej ukośnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8.4.1 Ka̧t Brewstera- polaryzacja przez odbicie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8.4.2 Zjawisko odbicia zupełnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Fale elektromagnetyczne w układach prowadza̧cych 131 9.1 Wstȩp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.2 Falowody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.2.1 Fale elektromagnetyczne miȩdzy dwoma równoległymi przewodza̧cymi płaszczyznami . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9.3 9.4 9.2.2 Fale poprzeczne magnetyczne - TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.2.3 Fale poprzeczne elektryczne- TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Falowody prostoka̧tne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 9.3.1 Fale poprzeczne elektryczne TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9.3.2 Fale poprzeczne magnetyczne TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 9.3.3 Fala typu TE10 w falowodzie prostoka̧tnym (m=1, n=0) . . . . . . . . . . 143 Światłowody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 10 Elektrodynamika mikroskopowa 151 10.1 Wstȩp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.2 Ruch cza̧stki naładowanej w polu elektromagnetycznym . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.2.1 Ruch cza̧stki w polu magnetycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.2.2 Ruch cza̧stki w polu elektrycznym stałym w czasie . . . . . . . . . . . . . . 153 5 10.2.3 Dryfowanie cza̧stek naładowanych w skrzyżowanych polach elektrycznym i magnetycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.2.4 Adiabatyczna niezmienniczość momentu magnetycznego . . . . . . . . . . . 155 10.2.5 Ruch w poprzecznym polu elektrycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 10.2.6 Ruch w poprzecznym polu magnetycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.3 Akceleratory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 10.3.1 Betatron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 10.3.2 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.4 Dielektryki. Teoria dyspersji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.4.1 Dielektryki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.4.2 Polaryzowalność atomu, statyczna i dynamiczna podatność elektryczna . . 164 10.4.3 Polaryzowalność materii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 10.5 Metal, półprzewodnik, izolator- porównanie własności . . . . . . . . . . . . . . . . 167 10.5.1 Izolatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 10.5.2 Półprzewodniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.5.3 Półmetale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.5.4 Metale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.5.5 Koncepcja masy efektywnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 10.5.6 Porównanie metal– półprzewodnik. Nośniki ładunku . . . . . . . . . . . . . 170 10.6 Transport elektronów. Model Drude’go–Lorentza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 10.6.1 Siły działaja̧ce na elektron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 10.6.2 Zachowanie energii i pȩdu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10.6.3 Przewodność statyczna- pra̧d stały . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 10.6.4 Dynamiczne przewodnictwo metali i półprzewodników . . . . . . . . . . . . 175 Literatura 179 Spis rysunków 183 Spis tablic 185 Skorowidz 187 6 7 8 Cześć I , Elektrodynamika 9 Rozdział 1 Uzupełnienie matematyczne-rachunek wektorowy 1.1 Algebra wektorów Wśród wielkości fizycznych, jakie spotykać bȩdziemy w dalszej czȩści wykładu, rozróżniać bȩdziemy wielkości skalarne, wektorowe i tensorowe (macierzowe). Przykładami wielkości skalarnych bȩda̧ ładunek elektryczny, natȩżenie pra̧du, potencjał elektryczny. Wielkości te, przy ustalonej jednostce miary, określone sa̧ przez jedna̧ liczbȩ. Do wielkości wektorowych zaliczać bȩdziemy wymienione w poprzednim rozdziale pola wektorowe B, H, E, D, wektor gȩstości pra̧du J, a nadto wymienione wielkości mechaniczne, jak siła F, prȩdkość v, i przyspieszenie a. Wektorom przyporza̧dkowujemy trzy liczby rzeczywiste, zwane jego składowymi. Czȩsto posługujemy siȩ geometrycznym obrazem wektora, jakim jest odcinek skierowany: długość odcinka określa długość, czyli miarȩ (moduł) wektora, prosta, na której on leży- kierunek, i strzałka - zwrot. Już poprzednio użyliśmy oznaczenia wektorów pogrubionymi literami; grubość wektora a oznaczana przez |a|, lub po prostu a, jest zawsze wielkościa̧ nieujemna̧: jest równa 0 dla wektora zerowego. Pewne wielkości elektrodynamiczne, jak podatności elektryczne i magnetyczne, sa̧ tensorami drugiego rzȩdu i w ogólności scharakteryzowane sa̧ 9-ma liczbami tworza̧cymi macierz: w tym wypadku posługiwać siȩ bȩdziemy zapisem wskaźnikowym ² = ²ij , lub ². Na wymienionych wielkościach dokonywać można operacji zarówno algebraicznych, jak i analitycznych: niektóre z nich przypomnimy poniżej. Zaczniemy od działań algebraicznych na wektorach a, b,..., które reprezentowane bȩda̧ przez trzy swe składowe. Ograniczaja̧c siȩ do rozważania prostoka̧tnego układu współrzȩdnych, bȩda̧ to rzuty ax , ay , az ; bx , by , bz ; ... na osie układu. Znaja̧c 11 składowe wektora a, przedstawić go można w postaci sumy trzech wektorów a = ax i + ay j + az k, (1.1) gdzie i, j, k sa̧ wektorami jednostkowymi odpowiednio osi 0x, 0y i 0z. Szczególna̧ rolȩ w dalszych rozważaniach odgrywać bȩdzie tzw. wektor wodza̧cy r punktu P (x, y, z), ła̧cza̧cy dany punkt z pocza̧tkiem układu współrzȩdnych: wektor ten ma postać: r = (x, y, z) = xi + yj + zk. (1.2) Wśród działań algebraicznych na wektorach wyróżnimy: a) dodawanie i odejmowanie (reguła równoległoboku), b) mnożenie przez liczbȩ, c) iloczyny wektorów, d) mnożenie wektora przez tensor. b). Mnożenie wektora przez liczbȩ zdefiniowane jest nastȩpuja̧co: maja̧c dany dowolny wektor niezerowy a i liczbȩ rzeczywista̧ λ oznaczymy przez λa nowy wektor maja̧cy długość |λ| |a| i zwrot ten sam, co wektor a, gdy λ > 0, i przeciwny, gdy λ < 0. c). Mnożenie wektor’ow. Iloczynem skalarnym dwóch niezerowych wektorów a i b nazywamy iloczyn: ab = |a||b| cos φ, (1.3) (inne oznaczenie (a, b)), gdzie φ jest ka̧tem miȩdzy wektorami. Używaja̧c składowych obu wektorów w prostoka̧tnym układzie współrzȩdnych wyrazimy iloczyn skalarny ab jako: ab = ax bx + ay by + az bz . (1.4) Łatwo zauważyć, że dwa wektory niezerowe sa̧ wtedy i tylko wtedy prostopodałe, gdy ich iloczyn skalarny równy jest zeru. Jeżeli obydwa wektory iloczynu sa̧ jednakowe, to za pomoca̧ tego iloczynu można obliczyć wartość bezwzglȩdna̧, czyli długość wektora: aa = a2 = |a|2 = a2 = a2x + a2y + a2z , ska̧d (1.5) q a= a2x + a2y + a2z . (1.6) Niech dane bȩda̧ dwa wektory niezerowe a, b nierównoległe do jednej prostej. Iloczynem wektorowym wektora a przez wektor b nazywamy trzeci wektor c spełniaja̧cy nastȩpuja̧ce warunki: 1. c jest prostopadły do płaszczyzny równoległoboku o bokach równoległych do wektorów a i b, 2. wektor c jest tak skierowany, że trójka wektorów a, b, c ma orientacjȩ zgodna̧ z trójka̧ osi 12 0x, 0y, 0z, 3. wektor c ma długość równa̧ polu równoległoboku zbudowanego na wektorach a, b: |c| = |a| · |b| sin φ. (1.7) Iloczyn wektorowy oznaczamy a×b (inne oznaczenia [a, b], lub avb). W składowych prostoka̧tnych iloczyn wektorowy wyraża siȩ jako: cx = ay bz − az by , cy = az bx − ax bz , cz = ax by − ay bx , (1.8) co równoważne jest minorom wyznacznika: ¯ ¯ i ¯ ¯ a × b = ¯ ax ¯ ¯ bx j ay by ¯ k¯ ¯ ¯ az ¯ . ¯ ¯ bz (1.9) Z wzoru (1.7) wynika, że iloczyn wektorowy dwu wektorów niezerowych jest równy zeru dla wektorów równoległych. W dalszych rozważaniach pojawi siȩ przykład iloczynu wielokrotnego, jakim jest podwójny iloczyn wektorowy a × (b × c): ma on nastȩpuja̧ca̧ własność: a × (b × c) = b(ac) − c(ab). 1.2 (1.10) Elementy analizy wektorów W poprzednim rozdziale rozważaliśmy wektory, których składowymi były zmienne niezależne x, y, z. Zmienne te moga̧ być funkcjami pewnego parametru u: mówimy wówczas, że wektor jest funkcja̧ tego parametru: r = r(u) = x(u)i + y(u)j + z(u)k. (1.11) Jeżeli funkcje x(u), y(u), z(u) sa̧ funkcjami cia̧głymi, to mówimy, że wektor r jest funkcja̧ cia̧gła̧ ze wzglȩdu na parametr u. W tym wypadku zdefioniować można pochodna̧ wektora wzglȩdem parametru u: r0 (u) = dr r(u + ∆u) − r(u) = lim∆u→0 . du ∆u (1.12) Dla wektora w postaci (1.11) pochodna ta postać dr dx dy dz =i +j +k . du du du du (1.13) Wyższe pochodne zdefioniowane sa̧ w podobny sposób: d2 x d2 y d2 z d2 r = i 2 + j 2 + k 2. 2 du du du du 13 (1.14) Dla przykładu rozważmy ruch punktu materialnego o masie m na płaszczyźnie xy, o trajektorii danej równaniami: x(t) = r cos ωt, y(t) = r sin ωt, (1.15) gdzie ω jest pewnym zadanym stałym parametrem (tzw. czȩstość ko}owa, lub pulsacja), a rolȩ zmiennego parametru u odgrywa tu czas t. Ze wzglȩdu na spełniona̧ przez funkcje (1.15) zależność x2 + y 2 = r2 widać, że równania (1.15) opisuja̧ ruch jednostajny po okreȩgu o promieniu r. Z praw mechaniki obliczymy wektor prȩdkości v: v= dr dx dy =i +j = −iωr sin ωt + jωr cos ωt, dt dt dt (1.16) d2 r dv r = −ω 2 r . = 2 dt dt r (1.17) i przyśpieszenia a= Ponieważ r = er , r (1.18) jest wektorem jednostkowym o kierunku r, wyrażenie (1.17 definiuje przyśpieszenie dośrodkowe w ruchu po okrȩgu o wartści a = ω2 r = v2 , r (1.19) a F = ma bȩdzie siła̧ dośrodkowa̧. Wykorzystuja̧c własności iloczynu skalarnego sprawdzić można, że wektor prȩdkości w każdej chwili peostopadły jest do promienia (wiȩs styczny do okrȩgu). Wzory na pochodna̧ sumy oraz iloczynu dwu wektorów wyprowadza siȩ tak samo jak w analizie funkcji zmiennej rzeczywistej. W szczególności dA dB d (A × B) = ×B+A× . du du du (1.20) Reguły na różniczkowanie wektora wzglȩdem parametru można rozszerzyć na różniczkowanie cza̧stkowe gdy wektor jest funkcja̧ wiȩcej niż jednego parametru. Jeśli A = A(x, y, z), to dA = 1.3 ∂A ∂A ∂A dx + dy + dz. ∂x ∂y ∂z (1.21) Funkcje pola Jeżeli każdemu punktowi pewnego obszaru przyporza̧dkowujemy pewna̧ wartość liczbowa̧, to ten obszar nazywamy polem skalarnym. Jeżeli każdemu punktowi pewnego obszaru przyporza̧dkowujemy pewien wektor, to ten obszar nazywamy polem wektorowym. Funkcjȩ dokonuja̧ca̧ tego przyporza̧dkowania nazywamy funkcja̧ pola. Zakładamy, że funkcja ta jest w otoczeniu każdego punktu jednowartościowa, cia̧gła i różniczkowalna. Przykładem pola skalarnego jest przestrzenna gȩstość ładunku ρ, a polami wektorowymi sa̧ pola E, B, D, i H. 14 Oznaczmy funkcje pola przez ϕ(x, y, z). Różniczka funkcji pola przy przejściu od punktu r(x, y, z) do r + dr = (x + dx, y + dy, z + dz) wyraża siȩ w postaci iloczynu skalarnego dϕ = grad ϕ dr, (1.22) gdzie gradient funkcji skalarnej ϕ zdefiniowany jest jako grad ϕ = i ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ +j +k , ∂x ∂y ∂z (1.23) i dr = idx + jdy + kdz. (1.24) Definicja (1.23) sformułowana jest we współrzȩdnych prostoka̧tnych : definicje w innych (krzywoliniowych) układach współrzȩdnych podane sa̧ w Dodatku ??. Funkcjȩ pola grad ϕ zapisujemy czȩsto przy użuciu wektorowego operatora różniczkowego nabla ∇ : ∇=i ∂ ∂ ∂ +j +k , ∂x ∂y ∂z (1.25) tak wiȩc grad ϕ = ∇ϕ. (1.26) Traktuja̧c operator nabla jako wektor można utworzyć iloczyn skalarny i wektorowy wektora ∇ z dowolnym innym wektorem. Jeśli A(x, y, z) = iAx (x, y, z) + jAy (x, y, z) + kAz (x, y, z) (1.27) jest pewna̧ funkcja̧ pola wektorowego, to skalar ∇A = ∂Ay ∂Az ∂Ax + + = divA ∂x ∂y ∂z (1.28) nazywamy dywergencja̧ lub rozbieżnościa̧ pola A, a wektor rot A = ∇ × A µ ¶ µ ¶ µ ¶ ∂Az ∂Ay ∂Ax ∂Az ∂Ay ∂Ax =i − +j − +k − , ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y (1.29) rotacja̧ pola wektorowego A. Korzystaja̧c z definicji wektora wodza̧cego r, wyprowadzić można nastȩpuja̧ce relacje: ∇r2 = 2r, p r ∇r = , r = x2 + y 2 + z 2 , r ∇(a r) = a, a = wektor stały, ∇r = 3, ∇ × r = 0. 15 (1.30) Operator ∇ stosować można dwukrotnie: dla funkcji skalarnej ϕ (x,y,z): µ ∇∇ ϕ = div gradϕ = ∂2 ∂2 ∂2 + 2+ 2 2 ∂x ∂y ∂z ¶ ϕ = ∆ϕ. (1.31) Iloczyn skalarny ∇∇ = ∆ = ∂2 ∂2 ∂2 + + , ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 (1.32) jest wiȩc operatorem skalarnym, zwanym operatorem Laplace’a (laplasjanem). W szczególności zachodza̧ tożsamości: ∇ × (∇ϕ) = 0, ∇(∇ × U) = div rot U = 0. 1.3.1 (1.33) Twierdzenie Gaussa–Ostrogradskiego Niech obszar Ω ogranicza zamkniȩta powierzchnia S. Wektor jednostkowy n, normalny do powierzchni, uważany za dodatni, gdy jest skierowany na zewna̧trz powierzchni. Podzielmy tȩ powierzchniȩ na elementy powierzchniowe dS tak zorientowane, że ich dopełnienie dS jest skierowane na zewna̧trz powierzchni; wówczas dS = ndS. (1.34) Niech np. A oznacza wektor prȩdkości cieczy: wówczas A dS = An dS, gdzie An oznacza składowa̧ A w kierunku n, wyznacza objȩtość ieczy przepływaja̧cej w jednostce czasu przez element dS. Definiujemy strumień wektora A przez dowolna̧ powierzchniȩ jako Z Z Z Z Z Z A dS = S Wzór A ndS = S An dS. (1.35) S Z I A ds = ∇AdV, S (1.36) V nazywamy twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego: strumień wektora przez powierzchniȩ zamkniȩta̧ S równa siȩ całce objȩtościowej z dywergencji tego wektora po obszarze V ograniczonym ta̧ powierzchnia̧. Twierdzenie to jest słuszne dla wszystkich pól wektorowych cia̧głych i różniczkowalnych. Może ono służyć do bardziej ogólnej definicji dywergencji. Jeśli w polu wektorowym otoczymy pewien punkt P powierzchnia̧ S, z która̧ bȩdziemy zmierzać do punktu P , to z twierdzenia Gaussa– Ostrogradskiego wynika że ∇A = lim S→P 1 V 16 I A dS. S (1.37) Tablica 1.1: Podstawowe operacje analityczne na polach skalarnych i wektorowych. Rodzaj działania Symbole Stosuje siȩ do daje w wyniku gradient ϕ ∇ϕ;grad ϕ pól skalarnych pole wektorowe dywergencja A ∇A; div A pól wektorowych pole skalarne rotacja A ∇ × A ; rot A pól wektorowych pole wektorowe pole wektorowe 2 laplasjan A ∇ A ; ∆A pól wektorowych laplasjan ϕ ∇2 ϕ ; ∆ ϕ pól skalarnych pole skalarne Podobnie można posta̧pić w wypadku gradientu. podstawiaja̧c do twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego A = eϕ, gdzie e jest wektorem stałym, a ϕ pewna̧ funkcja̧ skalarna̧, otrzymamy Z I ∇ϕdV = ϕdS, V (1.38) S i w granicy S, V da̧ża̧cych do zera ∇ϕ = lim S→P 1 V I ϕ dS. (1.39) S Podstawowe wzory tego rozdziału ujmujemy w postaci tablicy 1.1. 1.3.2 Twierdzenie Stokesa W przestrzeni trójwymiarowej dowolną krzywą zadać można równaniami: r = r(t), (1.40) co jest równoważne trzem równaniom skalarnym x = x(t), y = y(t), z = z(t), (1.41) gdzie t jest pewnym parametrem. Jeśli funkcje x(t), y(t), z(t) oraz ich pierwsze pochodne są ciągłe, krzywą nazywamy łukiem regularnym. Gdy krzywa składa się z łuków regularnych stykających się i nie przecinających się, nazywamy ją krzywą regularną. W zagadnieniach fizyki zazwyczaj wystȩpuja̧ krzywe regularne. Na krzywej wybrać można kierunek uznany za dodatni. Niech P0 będzie punktem stałym, a P (x, y, z) punktem zmiennym krzywej. Współrzędne punktu P , położonego na krzywej, przedstawić można jako fukcje parametru s- długości łuku mierzonej od punktu P0 do P . Jeśli promień wodzący r = r(s) wyznaczający krzywą regularną jest funkcja̧ parametru s, to pochodna t= dr , ds 17 (1.42) jest funkcją ciągłą i wyznacza wektor jednostkowy styczny do krzywej, skierowany w stronę wzrostu parametru s. Wektor dr = tds jest także styczny do krzywej: ma on tę samą długość i kierunek co ds. Rozważmy pewną funkcję wektorową A(x, y, z) określoną w każdym punkcie P (x, y, z) krzywej regularnej P1 P2 . Składowa tej funkcji w kierunku stycznej wynosi At = At. Całkę Z Z Z At ds = Atds = Adr, P1 P2 P1 P2 (1.43) P1 P 2 nazywamy całką krzywoliniową funkcji wektorowej A wzdłuż krzywej od P1 do P2 . W ciągłym i jednowartościowym polu wektorowym A = iAx + jAy + kAz , (1.44) którego pierwsze pochodne są także ciągłe, rozważmy dowolną powierzchnię S o brzegu utworzonym przez regularną krzywą zamkniętą L (rys. 134, s. 271, w podrȩczniku Karaśkiewicza [12]). W takim polu można całkę krzywoliniową H Adr zastąpić całką powierzchniową Z Z I n · rot AdS = S Adr, (1.45) L co wyrazimy inaczej jako twierdzenie Stokesa całka krzywoliniowa danego wektora A po krzywej zamkniętej L równa się strumieniowi rotacji tego wektora przez powierzchnię S, której brzegiem jest krzywa L. 18 Rozdział 2 Równania Maxwella 2.1 Uwagi wstȩpne Celem wykładu jest przedstawienie teoretycznego opisu zjawisk fizycznych bȩda̧cych podstawa̧ współczesnej telekomunikacji i elektrotechniki. Zjawiska te wia̧ża̧ siȩ z elektrycznymi i magnetycznymi właściwościami materii. Podstawowym pojȩciem używanym w teorii zjawisk elektrycznych i magnetycznych jest pojȩcie pola elektromagnetycznego. Dla jego ilustracji wyobraźmy sobie dwa ładunki elektryczne q1 i q2 umieszczone odpowiednio w punktach P i R. Siła działaja̧ca miȩdzy ładunkami ma postać F= q1 q2 r 4π²0 r2 r (w układzie SI). (2.1) Przedstawiaja̧c to zagadnienie przy pomocy pojȩcia pola mówimy, że: 1. ładunek q1 umieszczony w punkcie P zmienia własności przestrzeni wokół siebie (wiȩc również w punkcie R), 2. Własności przestrzeni sa̧ tego typu, że ładunek q2 umieszczony w punkcie R odczuje działanie siły. Siłȩ F działaja̧ca̧ na q2 traktujemy jako iloczyn dwu czynników, q2 i E. Wielkość E istnieje w punkcie R bez wzglȩdu na to, czy jest tam ładunek q2 czy nie, opisuje wiȩc własności przestrzeni, wywołane obecnościa̧ ładunku q1 , a F jest odpowiedzia̧ q2 na E. Wielkość E jest wektorem, zwanym wektorem natȩżenia pola elektrycznego, lub krócej wektorem pola elektrycznego. Z powyższego rozumowania wynika wzór na E: E= q1 r . 4π²0 r2 r (2.2) Nastȩpnie można napisać F = q2 E. (2.3) W jakim celu robimy to wszystko? Chodzi o rozdzielenie siły na 2 czȩści. Najpierw stwierdzamy, że coś wytwarza pole, nastȩpnie, że pole na coś działa. Wprowadzenie pola to nie tylko inny sposób 19 zapisywania tego samego faktu. Pola maja̧ realny charakter, prawie niezależny od obiektów, które je wytwarzaja̧. Zilustrujemy to nastȩpuja̧cym przykładem. W próżni znajduja̧ siȩ 2 anteny : nadawcza i odbiorcza (rys.1.1). Niech antena nadawcza (np. umieszczona na Ksiȩżycu) wysyła energiȩ elektromagnetyczna̧ w przedziale czasowym τ , a potem jest wyła̧czona. Niech ∆t oznacza czas przejścia sygnału do odbiornika. Można sobie wyobrazić sytuacjȩ, gdy ∆t À τ . Oznacza to, że w pewnym przedziale czasu energia opuściła już antenȩ nadawcza̧, a nie osia̧gnȩła jeszcze anteny odbiorczej, i w tym czasie zlokalizowana jest w próżni. Nośnikiem tego rodzaju energii nie jest ośrodek materialny, a inna fizyczna realność. Jest to pole elektromagnetyczne. Innym znanym przykładem pola jest pole grawitacyjne. Tu siła wyraża siȩ wzorem F=− Gm1 m2 r , r2 r (2.4) i znowu można rozumować jak nastȩpuje: siła działaja̧ca na dowolne ciało umieszczone w polu grawitacyjnym równa siȩ masie tego ciała pomnożonej przez pole C, czyli F = m2 C, (2.5) gdzie wielkość C=− Gm1 r , r2 r (2.6) jest polem wytworzonym przez ciało o masie m1 umieszczone w pocza̧tku układu współrzȩdnych. Oba pola maja̧ podobne wlaściwości symetrii : skierowane sa̧ radialnie (wzdłuż promienia), co matematycznie wyraża wektor jednostkowy r/r. Korzystaja̧c z pojȩcia pola, potrzebujemy dwóch rodzajów praw odnosza̧cych siȩ do pół. Pierwszy rodzaj powinien mówić, jaka bȩdzie reakcja na działanie pola i z niego otrzymamy równanie ruchu. Z równania (2.3) wynika, ż dla ciał obdarzonych ładunkiem odpowiedzia̧ ładunku na pole elektryczne jest siła równa iloczynowi ładunku przez wektor pola w tym punkcie. Druga̧ kategoriȩ praw stanowić bȩda̧ prawa określaja̧ce, w jaki sposób powstaje pole i jaka jest jego wielkość w dowolnym punkcie. Ten rodzaj praw nazywamy równaniami pola. W teorii elektromagnetyzmu sformułowanie równań pola zawdziȩczamy Jamesowi C. Maxwellowi (1831–1879), i dlatego nazywane sa̧ równaniami Maxwella. Bȩda̧ one głównym tematem dalszej czȩści wykładu. 2.2 Podstawowe pojȩcia i równania teorii pola elektromagnetycznego Teoria prezentowana w tej czȩ’sci wykładu jest teoria̧ makroskopowa̧. Oznacza to, że nie bȩdziemy wnikać w atomistyczna̧ strukturȩ materii: o ośrodkach materialnych zakładać bȩdziemy, że rozłożone sa̧ w sposób cia̧gły. 20 Zakładaja̧c, że znane sa̧ czytelnikowi pojȩcia ładunku elektrycznego q (mierzonego w kulombach [C]) i natȩżenia pra̧du przewodnictwa I (mierzonego w amperach [A]), wprowadzimy pojȩcie gȩstości ładunku ρ : ρ = lim∆V →0 ∆q , ∆V (2.7) gdzie ∆q to ładunek znajduja̧cy siȩ w elemencie objȩtości ∆V . W elektrodynamice makroskopowej przejscie graniczne we wzorze (2.7) należy rozumieć w taki sposób, że element ∆V jest nieskończenie mały w sensie makroskopowym, ale dostatecznie duży, by ziarnistość materii nie odgrywała jeszcze znacza̧cej roli. W praktyce oznacza to, że ∆V jest rzȩdu 10−18 m3 . Podobnie definiuje siȩ gȩstość pra̧du J = lim∆S→0 e0 ∆I . ∆S (2.8) Element powierzchniowy ∆S ustawiony jest prostopadle do ruchu ładunk’ow, wektor e0 to wektor jednostkowy, normalny do powierzchni i o zwrocie zgodnym z (umownym) kierunkiem pra̧du; ∆I to natȩżenie pra̧du przepływaja̧cego przez powierzchniȩ. Gȩsto’sć ładunku mierzymy w [C/m3 ], a gȩstość pra̧du w [A/m2 ]. Ogromna̧ rozmaitość zjawisk elektromagnetycznych opisujemy używaja̧c pojȩcia pola elektromagnetycznego. Pole elektromagnetyczne opisywane jest przez wektorowe funkcje (pola wektorowe) zmiennych przestrzennych i czasu. Zmienne przestrzenne symbolizować bȩdzie wektor wodza̧cy r. Zacznijmy od wielkości: E = E(r, t) (natȩżenie pola elektrycznego), B = B(r, t) (indukcja magnetyczna). Znaczenie tych wielkości ilustruje wzór na siłȩ Lorentza F = q(E + v × B), (2.9) na siłȩ, z jaka̧ działa pole elektromagnetyczne (E, B) na ładunek punktowy q poruszaja̧cy siȩ z prȩdkościa̧v. Dla ładunku nieruchomego (tzn.gdy v = |v| = 0) siła zależy tylko od natȩżenia pola elektrycznego: F0 = qE, (2.10) co zwykle służy do wyznaczania pola E. Pole E (dokładnie moduł wektora E) mierzymy w V/m (wolt/metr). Gdy ładunek punktowy q porusza siȩ, oprócz siły (2.10) działa na niego siła F00 = qv × B, (2.11) co może służyć do określenia wektora B. Miara̧ indukcji magnetycznej B jest Wb/m2 =T (weber/metr kwadr.=tesla). Dla pra̧du liniowego, czyli strumienia ładunków poruszaja̧cych siȩ w 21 odcinku przewodu ds, otrzymujemy wzór na siłȩ działaja̧ca̧ na odcinek z pra̧dem o natȩżeniu I: qv → dq · ds → Ids, F00 = I(ds × B). (2.12) Siła znana jest pod nazwa̧ siły elektrodynamicznej. Pola wektorowe E, B w pełni opisujła̧ pole elektromagnetyczne w próżni. W innych ośrodkach materialnych, oprócz pól E, B , wprowadzamy do opisu pola elektromagnetycznego pola wektorowe D = D(r, t) wektor indukcji elektrycznej, (2.13) (lub krótko indukcja elektryczna), (2.14) H = H(r, t) natȩżenie pola magnetycznego. Wektory E i B zwia̧zane s{a z siłami działaja̧cymi na ładunki elektryczne i nazywamy je wielko’sciami natȩżeniowymi. Pola D i H nazywamy wielkościami ilościowymi, gdyż, jak zobaczymy, określaja̧ one w pewien sposób ilość ładunku elektrycznego lub pra̧du. Ogólnie miȩdzy wielkościami E, D, B i H zachodza̧ pewne zwia̧zki: D = ²(E), B = µ(H), (2.15) które nazywamy równaniami materiałowymi. W szczególności w próżni spełnione sa̧ równania D = ²0 E, B = µ0 H, (2.16) gdzie stałe ²0 i µ0 nosza̧ odpowiednio nazwy przenikalności elektrycznej próżni i przenikalności magnetycznej próżni. W używanym przez nas układzie jednostek SI przyjmujemy, że przenikalność magnetyczna próżni jest równa µ0 = 4π × 10−7 H , m (H=henr), (2.17) Wybór stałej µ0 automatycznie określa wielkość stałej ²0 , gdyż powia̧zane sa̧ one zależnościa̧: ²0 µ0 = 1 , c2 (2.18) gdzie c jest prȩdkościa̧ światła w próżni: c∼ = 3 × 108 m/s. (2.19) Sta̧d otrzymujemy ²0 jako ²0 = (c2 µ0 )−1 = 10−9 F ∼ eV = 0.8854 × 10−11 (F/m) = 5.5262 · 10−2 36π m nm (F=farad). (2.20) Z powyższych wzorów wyznaczamy jednostki, w jakich mierzymy wielkości D i H: CV C FV = = 2, m2 V m2 m [B] Ns H −1 JsA A [H] = = ( ) = = . [µ0 ] mC m mCVs m [D] = [²0 ][E] = 22 (2.21) Rysunek 2.1: Obszary całkowania w równaniach Maxwella, płat powierzchniowy S rozpięty na krzywej C. Pole elektromagnetyczne jest bytem fizycznym opisanym wektorami pola elektrycznego (wektory E i D) i magnetycznego (wektory B i H). Elektrodynamika posługuje siȩ aparatem matematycznym analizy wektorowej. Podstawowe definicje i twierdzenia przypomniane zostały w rozdziale 1. 2.3 I i II równanie Maxwella Podstawowe prawa elektromagnetyzmu sformułowane są w postaci równań Maxwella. Z 4 równań Maxwella podstawowa̧ rolȩ odgrywaja̧ pierwsze dwa ∂B , ∂t (2.22) ∂D + J, ∂t (2.23) I. ∇ × E = − II. ∇×H= zwane odpowiednio uogólnionym prawem indukcji (I), i uogólnionym prawem Ampere’a (II). Równania I i II zwane są równaniami Maxwella w postaci różniczkowej. Biorąc obustronnie całki w obu równaniach po pewnej powierzchni S rozpiętej na krzywej C (rys. 2.1) i korzystając z twierdzenia Stokesa, otrzymamy odpowiedniki całkowe I Z d E ds = − B dS, dt S IC Z Z d H ds = D dS + J dS. dt S C S 2.3.1 (2.24) (2.25) Uogólnione prawo indukcji elektromagnetycznej I równanie Maxwella (2.22) (lub w postaci całkowej (2.24) mówi, że zmiany w czasie pola magnetycznego zwia̧zane sa̧ ze zmianami przestrzennymi pola elektrycznego. 23 Niech np. E = 0, więc również znika rotacja pola ∇ × E = 0. (2.26) ∂B = 0, ∂t (2.27) W takim przypadku również co oznacza że w nieobecności pola elektrycznego pole magnetyczne może być tylko stałe. Wszelkie zmiany pola magnetycznego ∂B 6= 0, ∂t (2.28) powodują pojawienie się zmiennego pola elektrycznego. Równania Maxwella w postaci różniczkowej (2.22, 2.23) daja̧ lokalna̧ (w czasie i przestrzeni) charakterystykȩ procesów elektromagnetycznych, czyli opisują pola w otoczeniu jakiegoś punktu P (r), w momencie t. Równania Maxwella w postaci całkowej opisują sytuację globalną. Wielkość występująca po prawej stronie I-go równania Maxwella Z Φ= B dS, (2.29) S nazywana jest strumieniem magnetycznym przechodzącym przez powierzchnię S, a wielkość I U= E ds, (2.30) C napięciem wokół konturu C. (również siłą elektromotoryczną SEM ). Prawo indukcji (2.24) zapiszemy w postaci U =− dΦ , dt (2.31) i odczytamy: kiedy zmienia się strumień magnetyczny przechodzący przez powierzchnię S, rozpięta̧ na konturze C, wówczas wokół konturu indukowane jest zmienne napięcie U . Prawo indukcji słuszne jest dla dowolnego konturu (nawet pomyślanego). Przykładem zastosowania prawa indukcji, oprócz powszechnie znanego generatora prądu zmiennego, jest urządzenie do przyśieszania elektronów, zwane betatronem. Przyśpieszone do dużych prędkości (a raczej energii) elektrony wykorzystuje się albo bezpośrednio, np. do bombardowania tarczy, albo pośrednio, do otrzymania wysokoenergetycznych promieni Röntgena. Rysunek 2.2 pokazuje przekrój poprzeczny betatronu. W wydra̧żeniu wewna̧trz elektromagnesu M znajduje siȩ toroidalna rura R. Elektrony wychodza̧ z płaszczyzny rysunku z lewej strony i wchodza̧ z prawej. Pra̧d zmienny płyna̧cy w cewkach indukuje zmienne pole magnetyczne, tym samym zmienny strumień Φ Φ = Φ0 sin ωt. 24 (2.32) Rysunek 2.2: Przekrój poprzeczny betatronu przedstawiaja̧cy magnes M , cewki C oraz toroidalna̧ rurȩ R. Elektrony wychodza̧ z płaszczyzny rysunku z lewej strony i wchodza̧ z prawej. Rysunek 2.3: Strumień magnetyczny przechodza̧cy przez orbitȩ betatronu w czasie jednego okresu. Obrót elektronów w kierunku wskazanym na rys. 2.2 możliwy jest tylko w czasie półokresu ac. 25 Zmiana strumienia magnetycznego obejmuja̧cego powierzchniȩ rozpiętą na rurze R, którą traktujemy jako kontur L powoduje indukowanie wzdłuż konturu napięcia I dΦ U= Eds = − . dt L (2.33) Średnia wartość pola elektrycznego na orbicie o promieniu rS jest równa |E| = U . 2πrS (2.34) Jeśli wewna̧trz rury R znajdą się elektrony, podziała na nie siła F = −eE − ev × B = F0 + F00 , (2.35) gdzie siła F0 jest styczna do toru i powoduja̧ca ruch przyśpieszony, natomiast siła F00 jest prostopadła do toru i powoduje jego zakrzywienie i chodzi o to, by utrzymała elektron na orbicie kołowej o promieniu rS . W czasie jednego obrotu elektron otrzymuje energiȩ eU . Patrząc na schemat 2.3 widać, że elektron doznaje przyśpieszania w okresie narastania strumienia, h0, tp >i. Następnie w punkcie B pochodna Φ zmienia znak, co oznacza odwrócenie kierunku napięcia. Elektron będzie więc hamowany. Okres h0, tp i odpowiada cyklowi roboczemu. Niech np. tp = 0.005 s i U = 430 V. W czasie jednego obrotu elektron uzyskuje energię 430 eV. W ciągu cyklu roboczego elektron dokonuje ok. 230000 obiegów, osiągając energię równaą 100 MeV. 2.3.2 Prąd i pole magnetyczne Rozważamy II równanie Maxwella (2.23). W sytuacji stacjonarnej, gdy znika pochodna po czasie, równanie to przybiera postać ∇ × H = J, i w postaci całkowej (2.36) I H ds = I, gdzie I jest natȩżeniem pra̧du przewodzenia przechodza̧cym przez powierzchniȩ S Z I= J dS. (2.37) (2.38) S Z założenia stacjonarności wynika, że w równaniu (2.37) I jest natȩżeniem pra̧du stałego. Z kolei gdy pole elektryczne zmienia siȩ w czasie, ale w ośrodku nie ma pra̧du przewodzenia (J = 0), z II równania M. otrzymujemy ∇×H= ∂D , ∂t (2.39) i w postaci całkowej I H ds = d dt 26 Z D dS. S (2.40) Rysunek 2.4: Prawo zachowania natȩżenia pra̧du całkowitego na przykładze kondensatora płaskiego. Wielkość ∂D/∂t odgrywa taka̧ sama̧ rolę, jak gęstość pra̧du przewodzenia, i nazywana jest gȩstościa̧ pra̧du przesunięcia (ang. displacement, sta̧d oznaczenie wektora D), a Z ∂D Iprzes = dS, S ∂t (2.41) jest natężeniem prądu przesunięcia. Suma obu gęstości pra̧du J+ ∂D dS, ∂t (2.42) nazywana jest gȩstościa̧ pra̧du całkowitego, przesuniȩcia a I + Iprzes natȩżeniem pra̧du całkowitego. Pra̧d przesuniȩcia jest jedna̧ z charakterystycznych wielkości dla zmiennego pola elektromagnetycznego. Biora̧c obustronnie dywergencjȩ równania (2.23) otrzymamy µ ¶ ∂D ∇(∇ × H = ∇ + J = 0, ∂t i w postaci całkowej I µ S ¶ ∂D + J dS = 0, ∂t (2.43) (2.44) co oznacza, że linie pra̧du całkowitego sa̧ zawsze zamkniȩte, lub pra̧d całkowity, przechodza̧cy przez zamkniȩta̧ powierzchniȩ S, jest równy zeru. Dla przykładu rozważmy kondensator płaski o powierzchni okładek S0 , poła̧czony ze źródłem pra̧du zmiennego o natȩżeniu I = I0 sin ωt. (2.45) Biora̧c jako powierzchniȩ zamkniȩta̧ powierzchniȩ S obejmuja̧ca̧ jedna̧ z okładek kondensator (rys. 2.4), z wzoru I + Iprzes = 0, 27 (2.46) widzimy że pra̧d przesuniȩcia wewna̧trz kondensatora jest równy co do wielkości pra̧dowi przewodzenia, ale jest przeciwnie skierowany. Obliczyć też możemy natȩżenie pola elektrycznego wewna̧trz kondensatora. Zakładaja̧c, że wewna̧trz kondensatora jest powietrze ² = ²0 , otrzymujemy D= 2.4 I0 cos ωt ωS0 → E= I0 cos ωt. ω²0 S0 (2.47) Układ równań Maxwella Biora̧c obustronnie dywergencjȩ w równaniu (2.22), otrzymamy ∂ (∇B) = 0. ∂t (2.48) Analogicznie w równaniu (2.23), gdy J = 0, ∂ (∇D) = 0. ∂t (2.49) Oznacza to, że dywergencje obu wektorów sa̧ stałe w czasie i równe pewnym wartościom pocza̧tkowym ∇D = c1 , (2.50) ∇B = c2 . (2.51) Korzystaja̧c z prawa Gaussa–Ostrogradskiego zapiszemy oba zwia̧zki jako I Z D dS = c1 dV, (2.52) V I Z B dS = c2 dV, (2.53) V gdzie S jest powierzchnia̧ zamkniȩta̧, a V objȩtościa̧ zawarta̧ w tej powierzchni. Stałe c1 , c2 wyznaczamy na podstawie wiedzy doświadczalnej. Dywergencja jest zawsze miara̧ wydajności źródeł. Źródłami pola elektrycznego sa̧ ładunki, wiȩc c1 bȩdzie miara̧ gȩstości ładunków, a całka całkowitym ładunkiem w objȩtości V I Z D dS = c1 dV = q. (2.54) V Wielkość c1 = ρ(r, t) nazywamy gȩstościa̧ ładunku, mamy wiȩc ∇D = ρ. (2.55) Z kolei pole magnetyczne jest polem bezźródłowym, linie pola magnetycznego sa̧ zawsze zamkniȩte, wiȩc c2 = 0 i I B dS = 0, ∇B = 0. 28 (2.56) (2.57) Równania (2.54) i (2.55) nazywamy III–cim równaniem Maxwella, odpowiednio w postaci całkowej i różniczkowej, a równanie (2.56) (2.57) IV–tym równaniem Maxwella. Stosuje siȩ również nazwy elektryczne prawo Gaussa (dla równania (2.54)) i magnetyczne prawo Gaussa dla równania (2.56). Dla interpretacji równań (2.55) i (2.57) wprowadza się pojęcie linii sił pola. Dla pola wektorowego A linią sił nazywamy krzywą o tej własności, że styczna do niej poprowadzona w dowolnym punkcie pokrywa się z kierunkiem pola. Jeśli w jakimś obszarze V ∇A = 0, to strumień wektora A przez powierzchnię zamkniętą S zawierającą obszar V też znika. W takim obszarze nie ma źródeł pola wektorowego A. Jeśli natomiast ∇A 6= 0, to w obszarze V istnieją punkty, w których linie wektora A zaczynają się (∇A > 0, lub kończą (∇A < 0). Punkty te nazywamy źródłami pola. Źródłami pola indukcji elektrycznej D są ładunki. Linie wektora D zaczynają się od ładunków dodatnich (ρ > 0) a kończą na ujemnych (ρ < 0). W obszarze, w którym nie ma ładunków, pola elektryczne są bezźródłowe. Przykładem może być pole elektryczne monochromatycznej fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w jednorodnym dielektryku w kierunku osi z ¡ ¢ E(r, t) = E0 eikz−iωt , 0, 0 , (2.58) ze stałymi k, ω. Pola magnetyczne są zawsze bezźródłowe. Wyprowadza się również równanie, zwane równaniem ciągłości prądu lub prawem zachowania ładunku. Uwzględniając III r. M. zapiszemy równanie (2.44) jako I Z J dS = − (2.59) ρ̇dV. V W postaci różniczkowej to samo równanie zapiszemy jako równanie ciągłości j + q̇ = 0, gdzie (2.60) I j= J dS. (2.61) Ostatecznie możemy wiȩc napisać układ równań Maxwella, uzupełniony o równanie ciągłości prądu, w postaci całkowej I II III IV V H H H H H d − dt R d C E ds = C H ds = S D dS = S B dS = 0 S J dS = dt S R V − R S B dS D dS ρdV R V ρ̇dV 29 + R S J dS (2.62) O polach, krzywych i powierzchniach występujących w równanich założymy, że są dostatecznie regularne dla stosowania odpowiednich twierdzeń analizy wektorowej. W praktyce częściej stosujemy równania Maxwella w postaci różniczkowej I. rot E = −Ḃ, II. rot H = Ḋ + J, III. div D = ρ, IV. div B = 0, V. div J = −ρ̇. (2.63) W przypadku użycia współrzędnych prostokątnych zapisać można powyższe równania stosując operator ∇. Wektory pola występujące w powyższych równaniach nie są niezależne. Zachodzą między nimi związki, zwane równaniami materiałowymi D = D[E, B], H = H[E, B]. (2.64) W ośrodkach przewodzących zachodzi uogólnione prawo Ohma J = J[E, B]. (2.65) Zapis zależności poprzez nawias kwadratowy [11] ma podkreślić, że związki te są na ogół skomplikowane, że mogą zależeć od przeszłości (histereza), mogą być nieliniowe itd. Analizie równań materiałowych poświęcony jest kolejny rozdział. Dla rozwia̧zania układu równań Maxwella, oprócz znajomości równań materiałowych, potrzebna jest znajomość wartości brzegowych i początkowych. 2.5 Równania materiałowe Rozpatrujemy substancje, dla których indukcja elektryczna jest funkcją pola elektrycznego, indukcja magnetyczna- natȩżenia pola magnetycznego, a prąd przewodzenia- funkcją natężenia pola elektrycznego D = ²(E), B = µ(H), J = σ(E). 30 (2.66) Funkcje ², µ oraz σ są pewnymi operatorami. Jeśli relacje (2.66) są lokalne w czasie i przestrzeni, to rozwijając prawe ich strony na szeregi otrzymujemy X 1X Dα = ²αβ Eβ + ²αβγ Eβ Eγ + . . . , 2 β Bα = βγ X β Jα = 1X µαβ Hβ + µαβγ Hβ Hγ + . . . , 2 (2.67) βγ X σαβ Eβ + β 1X σαβγ Eβ Eγ + . . . , 2 βγ gdzie Eα = Ex , Ey , Ez itd. oznaczają składowe odpowiednich wektorów. Wielkości ²αβ , ²αβγ , µαβ , . . . są tensorami odpowiednich rzędów (2,3,. . . ). Równania (2.67) ważne są dla ośrodków spoczywających. Gdy natężenia pól nie są zbyt duże, w rozwinięciach (2.67) ograniczamy się do pierwszych wyrazów, otrzymując Dα = X ²αβ Eβ , β Bα = X µαβ Hβ , (2.68) β Jα = X σαβ Eβ , β co zapiszemy jako D = ²E, B = µH, J = σE, (2.69) gdzie podwójne podkreślenie oznacza tensor drugiego rzędu. Tensor ²αβ nazywamy tensorem dielektrycznym albo tensorem przenikalności dielektrycznej (czasami mówi się elektrycznej), tensor µ jest tensorem przenikalności magnetycznej, a tensor σ - tensorem przewodnictwa. Ośrodki, w których tensory ², µ i σ są niediagonalne, nazywamy ośrodkami anizotropowymi. Gdy tensory te są diagonalne, tzn. gdy ²αβ = ²δαβ , (2.70) z podobnymi relacjami dla µαβ i σαβ mówimy o ośrodkach izotropowych. Dla ośrodków izotropowych równania materiałowe przybiorą postać D = ²E, B = µH, J = σE. (2.71) Wielkość ² nazywamy przenikalnością dielektryczną, lub funkcją dielektryczną, µ jest przenikalnością magnetyczną, a σ przewodnictwem (przewodnictwem właściwym). W próżni σ = 0, a dwa pierwsze równania mają postać (2.16) 31 Tablica 2.1: Przenikalność dielektryczna względna dla niektórych substancji. Ośrodek Częstotliwość (Hz) ²r Ośrodek Częstotliw. (Hz) ²r Powietrze 0 − 3 · 1010 1.000536 Szkło ołow. 103 − 106 6. Woda 0 81.10 gliceryna 0 56.2 ” 10 6 80 Polietylen 9 2.30 ” 109 80 diament 0 16.5 ” 3 · 109 78 aceton 0 56.2 ” 1010 64 alkohol etyl. 0 25.8 ” 1.9 · 1010 44 papier 0 2-2.5 ” 10 35 8 3.8 106 1200 Tytanian baru 2.4 · 10 D = ²0 E, kwarc 6 10 − 10 3 10 − 10 B = µ0 H, (2.72) gdzie ²0 i µ0 są odpowiednio przenikalnością dielektryczną (stałą dielektryczną) próżni i przenikalnością magnetyczną próżni. Wartości liczbowe dla tych wielkości podane zostały w równaniach (2.17) i (2.20). W ośrodkach izotropowych różnych od próżni wielkości ².µ zapisujemy jako ² = ²0 ²r , (2.73) µ = µ0 µr , (2.74) gdzie ²r jest względną przenikalnością elektryczną, a µr względną przenikalnością magnetyczną. Definiuje się pojęcia podatności elektrycznej χ = ²r − 1, (2.75) κ = µr − 1. (2.76) i podatności magnetycznej Podstawiając do równań (2.71) otrzymujemy D = ²0 E + P, 32 (2.77) Tablica 2.2: Przenikalność magnetyczna wzglȩdna dla niektórych substancji. Ośrodek µr Ośrodek µr Wodór 0.99999999776 Miedź 0.99999044 Azot 1.00000191 Srebro 0.9999736 Woda 0.99999095 Aluminium 1.0000222 gdzie wektor polaryzacji zdefiniowany jest poprzez podatność P = ²0 χE. (2.78) Dla zjawisk magnetycznych odpowiedź ośrodka na zewnętrzne pole H opisana jest wektorem namagnesowania M B = µ0 (H + κ M). (2.79) Oprócz podziału ośrodków na anizotropowe i izotropowe, rozróżniamy ośrodki jednorodne, kiedy funkcje ², µ, σ nie zależa̧ od położenia, i ośrodki niejednorodne, kiedy własności ośrodka zmieniają się od punktu do punktu. 2.5.1 Względna przenikalność elektryczna Względna przenikalność elektryczna ²r określona jest tylko dla dielektryków. Dla metali funkcja dielektryczna jest zależna od czȩstotliwości przyłożonego pola w ten sposób, że ²r → ∞ gdy ω → 0, natomiast ²r → 1 dla ω → ∞. Typowe wartości liczbowe przenikalności podać wiȩc można dla dielektryków, p. Tablica 2.1. Z danych przytoczonych w tabeli widać, że dla częstotliwości ≤ 106 wartości przenikalności są niezależne od częstotliwości: zależność ta pojawia się dla częstotliwości rzędu 109 , a dla częstotliwości optycznych, czyli rzędu 1014 , przenikalności dielektryczne zawierają się w granicach 1.7 - 10, przy czym dla większości ciał stałych ²r ≈ 2−3. Przenikalność elektryczna wody w całym obszarze widzialnym zmienia się w granicach ²r = 1.77−1.80 i praktycznie nie zależy od temperatury w zakresie od 0 do 100 o C. W innych przypadkach zależność od temperatury może być widoczna. W przypadku statycznym stała dielektryczna wody ²r = 88 w 0o C i ²r = 56 w 100o C. Dane w Tablicy 2.1 odnoszą się do temperatury 200 C. W tej temperaturze ²r dla tytanianu baru jest równe 1200, podczas gdy w temperaturze 123 0 C osia̧ga wartość 10000. 33 2.5.2 Względna przenikalność magnetyczna Jak wynika z danych przytoczonych w Tablicy 2.2, względna przenikalność magnetyczna większości ośrodków bardzo niewiele różni się od jedności. Ośrodki, dla których µr > 1, nazywamy paramagnetykami, a ośrodki, gdzie µr < 1 nazywamy diamagnetykami. Do paramagnetyków zaliczamy również materiały ferromagnetyczne, wykazujące jednak bardzo odmienne własności, ze względu na zjawisko histerezy. Można jednak w przybliżeniu powiedzieć, że dla ferromagnetyków wartość µr może osia̧gać kilka tysięcy. 2.5.3 Przewodniki i izolatory Występująca w równaniach Maxwella gęstość prądu J jest w większości rozważanych w elektrodynamice problemów funkcją natężenia pola elektrycznego J = σ(E). (2.80) Dla ośrodków izotropowych i liniowych równanie to przybiera postać J = σE, (2.81) gdzie skalar σ (funkcja skalarna, jeśli ośrodek jest niejednorodny) zwany jest przewodnością właściwą (konduktywnością). Dla ośrodków anizotropowych σ = σ jest tensorem przewodnictwa. Przykładem substancji anizotropowej jest kwarc. Ma on dwie wartości przewodności: prostopadle do osi optycznej (znak ⊥ w tablicy 2.3), co odpowiada wartościom σxx = σyy , i równolegle do osi optycznej (znak k w tablicy 2.3), co odpowiada składowej tensora σzz . Dla ośrodków izotropowych i liniowych równanie (2.81) jest lokalną wersją prawa Ohma. Rozważamy ośrodek, w którym płynie prąd o gęstości J. Wydzielamy w tym ośrodku element objętości o kształcie walca tak małego, że gęstość prądu wewnątrz walca jest stała i skierowana wzdłuż osi walca; to samo można powiedzieć o wektorze E (rys. 2.5). Całkując obustronnie równanie (2.81) po objętości walca otrzymamy Z Z JdV = σEdV. V (2.82) V Całka po lewej stronie jest równa JV = JS` = et I`, (2.83) gdzie et jest wektorem jednostkowym wskazującym kierunek prądu, a I = JS jego natężeniem. Analogicznie po prawej stronie σEV = σES` = et σSU, (2.84) U = E · `, (2.85) gdzie 34 Tablica 2.3: Wartości przewodności właściwej dla niektórych ośrodków. Ośrodek Wartości σ w S/m srebro 6.139·107 miedź hartowana 5.805·107 aluminium 3.54·107 żelazo 1.0·107 ołów 0.869·107 rtȩć 0.1044·107 selen 101 − 10−1 krzem 103 − 10−3 4 przewodniki metaliczne 10 − 10 woda morska 1-4.3 roztwór 5% NaCl 6.7·10−4 alkohol 3.3·10−4 ziemia sucha 1.1·10−5 − 2 · 10−3 ziemia wilgotna 3·10−3 − 3 · 10−2 2 · 10 elektrolity −4 10−3 − 2.4 · 10−2 drewno 0.33 · 10−8 − 0.25 · 10−11 bakelit 10−8 − 10−10 teflon 10−13 nafta 10−14 siarka 10−14 szkło 10−10 − 10−15 parafina 10 ośrodki pośrednie woda kanalizacyjna −14 półprzewodniki 0 german woda destylowana Typ ośrodka izolatory −16 − 10 kwarc: ⊥ 3 · 10−15 k 10−12 kwarc topiony 2 · 10−17 35 (dielektryki) Rysunek 2.5: Prawo Ohma. nazywamy spadkiem napięcia na odcinku `. Równanie całkowe (2.82) przybrało więc postać równania U = IR, (2.86) znanego jako prawo Ohma; wielkość R= ` ρ` = , σS S (2.87) jest oporem elementu dV , a ρ = 1/σ nazywamy oporem właściwym. Opór mierzymy w omach Ω=V/A, a przewodność σ w siemensach S=1/Ω. W Tablicy 2.3 podajemy przykładowe wartości przewodności statycznej (dla ω = 0). Widać bardzo charakterystyczną cechę przewodności: może się ona zmieniać w bardzo szerokich granicach, od 108 S/m dla bardzo dobrych przewodników do około 10−17 S/m dla dobrych izolatorów, a więc o 24 rzędy wielkości. Wyróżniają się trzy typy ośrodków: 1) przewodniki (głównie metale), o dużych wartościach σ (rzȩdu 107 S/m), 2) elektrolity (głównie ciecze), 3) izolatory zwane również dielektrykami (spotyka siȩ tu wszystkie stany skupienia). Osobną grupę stanowią półprzewodniki, w których σ silnie zależy od temperatury, ilości domieszek i zanieczyszceń, od wystȩpowania tzw. defektów, a także od naświetlenia (fotoprzewodniki). Podział ośrodków ze względu na wartości przewodności wiąże się z mechanizmem przewodzenia: w metalach (czyli przewodnikach) nośnikami prądu są swobodne elektrony (przewodnictwo elektronowe), w elektrolitach przewodnictwo polega na uporza̧dkowanym ruchu jomów dodatnich i ujemnych (przewodnictwo jonowe), w półprzewodnikach wystȩpuje tzw. przewodnictwo elektronowo– dziurowe. Półprzewodniki różnią się od metali zależnością przewodności (oporu) od temperatury: dla metali przewodność maleje ze wzrostem temperatury (czyli opór właściwy rośnie), z dobrym 36 Rysunek 2.6: Opór właściwy miedzi jako funkcja temperatury. Linia przerywana zastępuje odcinek krzywej między dwoma punktami zaznaczonymi w postaci kółek. Punkt oznaczony T0 , ρ0 (ρ0 = 1.56 · 10−8 Ω·m, T0 = 273.16K= 0o C.) wybrano jako punkt odniesienia, za podręcznikiem [19]. przybliżeniem według prawa ρ = ρ0 [1 + α(T − T0 )], (2.88) gdzie T to temperatura w stopniach Kelvina, a α jest średnim współczynnikiem temperaturowym oporu właściwego (p. rys. 2.6). Dla półprzewodników przewodność rośnie ze wzorostem temperatury i maleje z obniżaniem temperatury, według prawa σ = σ0 e−∆W0 /kB T , (2.89) gdzie kB jest stała̧ Boltzmanna, T temperaturą w skali bezwzględnej, ∆W0 przerwą energetyczną między pasmem przewodzenia i pasmem walencyjnym. W temperaturach bliskich zeru bezwzględnemu półprzewodniki są praktycznie izolatorami. Liniowa zależność oporu od temperatury (2.88) jest tylko przybliżeniem. Znaczne odstępstwa występują w temperaturach bliskich zeru bezwzględnemu. Przedstawiony na rysunku 2.6 wykres zależności temperaturowej oporu właściwego miedzi zaczyna się od wartości 0.02 · 10−8 Ω·m. Wiele metali i stopów wykazuje tą właściwość, że ich opór maleje gwałtownie do zera. Rysunek 2.7 przedstawia opór próbki rtęci w temperaturach poniżej 6 stopni Kelvina. Przy zmianie temperatur 37 między 4.22 i 4.15 st. Kelvina opór maleje do wartości mniejszej 106 razy od wartości początkowej, praktycznie do niemierzalnie małej wartości. Zjawisko to odkrył w 1911 roku fizyk holenderski H. Kamerlingh Onnes i nazwał nadprzewodnictwem. Temperatura Tk , przy której następuje zanik oporu, zwana jest temperaturą krytyczną i dla większości substancji wykazujących własności naprzewodzące jest rzędu od 0.01 K do 20 K (tablica 2.4). Substancja w stanie nadprzewodzącym ma wiele niezwykłych własności, np. ponieważ opór równy jest zeru, prąd płynie przez nadprzewodnik nie wykonując pracy, a co za tym idzie, nie wydzielając ciepła. Prądy raz ustanowione w zamkniętych obwodach nie zmniejszały się w ciągu tygodni, a nawet lat, chociaż w obwodzie nie było baterii. Dla wykorzystania w praktyce najbardziej istotną cechą nadprzewodnika jest to, że przepuszcza prądy o znacznych natężeniach bez strat na ciepło (straty te są w innych przypadkach proporcjonalne do kwadratu natężenia prądu). Do połowy lat 80-tych materiałem o najwyższej temperaturze krytycznej była kombinacja niobu, aluminium i germanu, o Tk = 23.2 K. Ciągle poszukiwano substancji o wyższych temperaturach krytycznych. Przełom nasta̧pił w połowie lat 80–tych i jest autorstwa dwóch fizyków niemieckich, J. Georga Bednorza i K. Alexa Müllera. Odkryli oni, że mieszanka tlenków tzw. metali rzadkich z miedzią (układ Ba-La-Cu-O) wykazuje cechy nadprzewodzące w temperaturze prawie 40 K. W ciągu kilku miesięcy na przełomie lat 86/87 odkryto (a właściwie wyprodukowano, gdyż związki te nie wystȩpują w przyrodzie) wiele nowych połączeń o temperaturze krytycznej przekraczającej 100 K. Kilka przykładów takich związków i ich temperatur krytycznych podanych jest w tablicy 2.5. Zjawisko to nazywamy nadprzewodnictwem wysokotemperaturowym. Zgodnie z tradycją przyjȩtą w świecie fizyków, wyjątkowej wagi odkrycia honorowane są przyznaniem Nagrody Nobla. Müller i Bednorz otrzymali ją wkrótce po opublikowaniu swych wyników, w roku 1987. W roku 2003 jednym z laureatów Nagrody Nobla został Witalij Ginzburg, który w latach 50-tych, wspólnie z Lwem Landauem, był autorem teorii nadprzewodnictwa. 2.6 Warunki graniczne dla wektorów pola Występujące w równaniach materiałowych (2.15) wielkości ², µ, σ charakteryzują właściwości materiałowe ośrodka i są (m. in.) funkcjami położenia. Wyobraźmy sobie dwa sąsiadujące ze sobą ośrodki (1) i (2) (załóżmy dla uproszczenia, że oba są izotropowe i jednorodne), scharakteryzowane odpowiednio wielkościami ²1 , µ1 , σ1 i ²2 , µ2 , σ2 , p. rys. 2.9. Na powierzchni granicznej między ośrodkami wielkości ², µ, i σ doznają skoku (są nieciągłe). 38 Rysunek 2.7: Gwałtowny zanik oporu próbki rtęci w temperaturach bliskich zeru bezwzględnemu. Na osi pionowej opór w omach. 39 Rysunek 2.8: Zależność temperaturowa oporu dla nadprzewodnika, metalu normalnego i metalu czystego 40 Tablica 2.4: Niektóre metale i stopy metaliczne i ich temperatury krytyczne, na podstawie monografii Stankowskiego i Czyżaka [20]. Nadprzewodnik Temperatura krytyczna (K) Al 1.2 Sn 3.7 Hg 4.2 Pb 7.2 Nb3 Ge 23.2 Tablica 2.5: Niektóre nadprzewodniki wysokotemperaturowe i ich temperatury krytyczne. Nadprzewodnik Temperatura krytyczna (K) La2 Sr2 Cu O4 36 Hg Ba2 Cu O4 94 Bi2 Sr3 Ca Cu2 O8 80 Bi2 Sr2 Ca2 Cu3 O10 125 Hg Ba2 Ca2 Cu3 O8 135 41 Rysunek 2.9: Pole elektromagnetyczne na granicy ośrodków. Z równań materiałowych wynika, że w punktach, w których wielkości ², µ i σ doznają skoku, wektory E, H, D i B również zmieniają się skokowo. Wektory pola elektromagnetycznego mogą być nieciągłe na powierzchni granicznej między dwoma różnymi ośrodkami. Warunki określające zachowanie się wektorów pola na granicy między różnymi ośrodkami nazywamy warunkami granicznymi. Warunki te wyprowadzimy z równań Maxwella w postaci całkowej. By wystȩpuja̧ce w tych równaniach wyrażenia całkowe miały sens matematyczny, zakładamy najpierw, że zamiast powierzchni granicznej, na której wielkości ², µ, σ doznaja̧ skoku, istnieje cienka warstwa graniczna, w obrȩbie której rozważane wielkości zmieniaja̧ siȩ gwałtownie, lecz w sposób cia̧gły. Nastȩpnie przechodzimy z grubościa̧ warstwy do zera i otrzymamy w wyniku szukane warunki graniczne. 2.6.1 Warunek graniczny na składową normalną wektora indukcji magnetycznej Warunek wyprowadzimy z równania I B dS = 0. (2.90) Szamkn Na powierzchni granicznej wybieramy element powierzchniowy dS z określonym dodatnim kierunkiem obiegu (normalna do powierzchni skierowana jest w stronę ośrodka drugiego) i budujemy na nim walec o wysokości h, wnikający w oba ośrodki (rys. 2.9). Całka we wzorze (2.90) wzięta po powierzchni całkowitej walca, składać się będzie z trzech części: Z Z BdS + S1 Z BdS + S2 BdS = 0, Sb 42 (2.91) gdzie S1 i S2 to powierzchnie podstaw walca, Sb to powierzchnia boczna. Przy ustalonym kierunku obiegu wektory dS na obu powierzchniach mają postać dS2 = ndS2 , dS1 = −ndS1 . (2.92) Zmierzając z wysokością walca do zera można założyć, że pola po obu stronach powierzchni granicznej są jednorodne, czyli Z Z BdS = B2n S2 , BdS = −B1n S1 , S2 (2.93) S1 natomiast całka po powierzchni bocznej zmierza do zera, co można uzasadnić stosując twierdzenie o wartości średniej, przy czym Sb → 0. W granicy h → 0, S1 , S2 → S0 i otrzymamy (B2n − B1n )S0 = 0, (2.94) B2n = B1n . (2.95) czyli Oznacza to, że na granicy dwóch ośrodków składowa normalna wektora indukcji magnetycznej jest ciągła. Biora̧c równanie materiałowe w postaci B = µ H otrzymamy µ2 H2n = µ1 H1n → H2n µ1 = . H1n µ2 (2.96) Dla µ2 6= µ1 składowa normalna wektora natężenia pola magnetycznego doznaje skoku. Przypominamy, że B2n i B1n oznaczają składowe wektorów B2 i B1 w kierunku jednej i tej samej normalnej do powierzchni granicznej. 2.6.2 Warunek graniczny na składową normalną wektora indukcji elektrycznej Skorzystamy z elektrycznego prawa Gaussa: I D dS = q, (2.97) Szamkn gdzie q oznacza ładunek zamknięty daną powierzchnią Szamkn . Przeprowadzając analogiczne rozważania jak dla wektora B, otrzymamy zamiast równania (2.91) równanie Z Z DdS + S1 Z DdS + S2 DdS = q. (2.98) Sb Przechodząc do granicy h → 0 otrzymamy równanie (D2n − D1n )S0 = q, 43 (2.99) gdzie q jest ładunkiem zgromadzonym na powierzchni granicznej S0 . Oznaczając przez Σ gęstość powierzchniową tego ładunku otrzymamy warunek graniczny dla składowej normalnej wektora indukcji elektrycznej D2n − D1n = Σ. (2.100) W szczególnym przypadku, gdy nie ma ładunków powierzchniowych D2n = D1n . (2.101) Składowa normalna wektora D jest więc ogólnie nieciągła na granicy między dwoma ośrodkami, gdy na powierzchni granicznej istnieje ładunek powierzchniowy. Z warunku (2.100) otrzymamy warunek dla składowych normalnych natężenia pola elektrycznego: ²2 E2n − ²1 E1n = Σ. (2.102) Gdy brak jest ładunków powierzchniowych, równanie (2.102) przybiera postać E2n = ²1 E1n . ²2 (2.103) Przykład: Indukcja elektryczna pewnego rozkładu ładunku elektrycznego ρ(r) w jednorodnym dielektryku ma postać Dx Dz β β x, Dy = y, 2 2 = 0, z dowolne, = dla x2 + y 2 ≤ a2 , (2.104) 2 Dx Dz 2 βa βa x, Dy = y, 2(x2 + y 2 ) 2(x2 + y 2 ) = 0, z dowolne, = dla x2 + y 2 ≥ a2 , gdzie a, β to pewne stałe. Jaki jest rozkład ładunku? Odpowiedź: Obszar x2 + y 2 ≤ a2 , przy dowolnym z, definiuje wnętrze walca o promieniu a i osi symetrii z. Wewnątrz walca otrzymamy ∇ D = β, na zewnątrz ∇ D = 0. Opisane w przykładzie pole elektryczne wytworzone jest więc przez walec o promieniu a, naładowany równomiernie ładunkiem o gęstości przestrzennej β. Łatwo sprawdzić ciągłość składowej normalnej wektora D na powierzchni walca, która gra tu rolę powierzchni granicznej, np. walec może mieć przenikalność elektryczną ²1 , a otaczająca przestrzeń przenikalność ²2 . 2.6.3 Warunek graniczny na składową styczną natężenia pola elektrycznego Warunek ten wyprowadzamy z równania I Z E ds = − L S 44 ∂B dS. ∂t (2.105) Rysunek 2.10: Cia̧głość składowej stycznej pola E. Jako powierzchniȩ całkowania S i krzywa̧ L przyjmiemy mała̧ powierzchniȩ prostoka̧tna̧ S, ograniczona̧ krzywa̧ L, przecinaja̧ca̧ powierzchniȩ graniczna̧ wzdłuż odcinka `0 (p. rys. 2.10). Przyjmuja̧c dodatni kierunek obiegu na krzywej l jak na rysunku, przekształcamy lewa̧ stronȩ wzoru (2.105) do postaci Z Z Z Eds + `1 Eds + Eds = E2t `2 − E1t `1 + < Eb > `boczna , `2 (2.106) `boczna a prawa̧ do postaci Z S ∂B dS =< ∂B/∂t > S, ∂t (2.107) gdzie znak < .. > oznacza wykorzystanie twierdzenia o wartości średniej. W granicy `boczna → 0, `2 → `0 , `1 → `0 , a powierzchnia S → 0, ze zwia̧zków (2.10-2.107) wynika (E2t − E1t )`0 = 0, (2.108) E2t = E1t , (2.109) czyli czyli składowa styczna natȩżenia pola elektrycznego jest cia̧gła na granicy ośrodków. Wynika sta̧d również, że składowa styczna wektora indukcji elektrycznej zmienia siȩ w sposób skokowy: D2t = 2.6.4 ²2 D1t . ²1 (2.110) Warunek graniczny na składowa̧ styczna̧ natȩżenia pola magnetycznego Warunek ten otrzymamy z II-go równania Maxwella Z µ I Hds = L S ∂D ∂t 45 ¶ Z dS + JdS. S (2.111) Postȩpuja̧c podobnie jak w przypadku wektora E otrzymamy równanie Z Z Z Hds + Hds + Hds = H2t `2 − H1t `1 + < Hb > `boczna = I. `1 `2 (2.112) `boczna W granicy `boczna → 0, `2 → `0 , `1 → `0 , a powierzchnia S → 0, otrzymamy równanie (H2t − H1t )`0 = Ipow . (2.113) Definiuja̧c gȩstość pra̧du powierzchniowego ipow = Ipow , `0 (2.114) otrzymamy warunek graniczny na składowa̧ styczna̧ natȩżenia pola magnetycznego H2t − H1t = ipow . (2.115) Należy pamiętać, że ipow oznacza składową gęstości prądu powierzchniowego w kierunku prostopadłym do wybranego kierunku składowych natężenia pola magnetycznego. Jeżeli prądy powierzchniowe nie płyną, ipow = 0, i składowa styczna natężenia pola magnetycznego jest ciągła H2t = H1t . 2.6.5 (2.116) Warunek graniczny dla składowej stycznej gęstości prądu Warunek ten wyprowadzamy z prawa Ohma w postaci różniczkowej J = σE. Pamiętamy, że w tej chwili σ oznacza przewodność właściwą. (2.117) Dla składowych stycznych do powierzchni granicznej J2t = σ2 E2t , J1t = σ1 E1t . (2.118) Uwzględniając ciągłość składowych stycznych wektora E (2.109) otrzymujemy warunek graniczny J2t σ2 = . J1t σ1 (2.119) Jeśli zatem przewodności elektryczne dwóch ośrodków są różne, to również gęstości prądu przy powierzchni granicznej po obu jej stronach sa̧ różne. 2.6.6 Podsumowanie Wykorzystując równania Maxwella w postaci całkowej wyprowadziliśmy szereg związków, jakie spełniają składowe normalne oraz styczne (tangencjalne) wektorów pola na granicy ośrodków. 46 Rysunek 2.11: Prąd płynący na powierzchni. Podstawowe związki zapisać możemy w postaci (D2 − D1 )n = Σ, (B2 − B1 )n = 0, n × (E2 − E1 ) = 0, n × (H2 − H1 ) = ipow , (2.120) gdzie n jest wektorem normalnym do powierzchni (skierowanym od ośrodka 1 do 2), a wektor ipow skierowany jest zgodnie z kierunkiem prądu powierzchniowego; moduł zaś jest dany wzorem (2.114), gdzie `0 jest elementem liniowym, leżącym prostopadle do linii prądu (p.rys. 2.11). Na podstawie warunków granicznych wnioskować możemy o kształcie pola na granicy ośrodków, nie znając jeszcze samego pola. Zilustrować to można następującym przykładem: Rozważamy zachowanie się pól E i B na granicy ośrodka 1, będącego idealnym przewodnikiem (σ → ∞) i izolatora (dielektryka) 2 (σ → 0). Z zależności (2.121) J = σE wynika, że pole E wewnątrz doskonałego przewodnika znika: E = 0. (2.122) Z I-go równania Maxwella wynika również, że ∇× E=− ∂B = 0, ∂t (2.123) czyli znika również zmienna część pola B, ∂B/∂t = 0. W nadprzewodnikach znika również część stała. Na powierzchni idealnego przewodnika n × E = 0, (2.124) więc pole E jest równoległe do wektora normalnego. Wielkość pola wyznaczona jest z warunku D2 · n = Σ, 47 D = D2 , (2.125) czyli E2n = Σ . ²2 (2.126) Powyższy wzór wyznacza pole elektryczne wewnątrz kondensatora (okładki kondensatora ekranują pole). 2.7 Energia pola elektromagnetycznego Jeśli pole elektromagnetyczne jest realnym bytem, to związana jest z nim energia. Zmiany pola elektromagnetycznego mogą być związane albo z przekazywaniem energii na zewnątrz (np. do procesów nieelektrycznych – silniki elektryczne), albo z pobieraniem energii od innych procesów. Pola elektromagnetyczne mogą również przenosić energię w przestrzeni (np. energia promieniowania). Rozważmy pewien obszar V , ograniczony powierzchnią S. Niech wewnątrz tego obszaru istnieje pole elektromagnetyczne. W pewnej chwili t ma ono energię W = W (t). Jeśli dW/dt < 0, energia ulega zmniejszeniu. Może to oznaczać, że istnieją procesy rozproszeniowe, lub że pole wykonuje pracę, a część jego energii przybiera inne formy, np. nieodwracalnie zamienia się w ciepło. Energia może ”uciekać ” z obszaru w postaci promieniowania. Jeśli natomiast wewnątrz obszaru dW/dt > 0, energia pola rośnie. Może to oznaczać, że wewnątrz obszaru znajdują się źródła, lub że energia przypływa z zewnątrz. Jeśli wewnątrz obszaru płyną prądy elektryczne, wydzielane jest ciepło Joule’a–Lenza Z Q= dV J · E, (2.127) V gdzie J = σE + J0 , (2.128) i J0 jest gęstością prądu wymuszonego. Oznaczenia a używać będziemy dla podkreślenia tensorowego charakteru wielkości a. Korzystając z II-go równania Maxwella otrzymamy Z Z ∂D . ∂t (2.129) div (A × B) = B rot A − A rot B, (2.130) E rot H = H rot E − div (E × H). (2.131) Q= dV E rot H − V dV E V Z tożsamości mamy Podstawiając wzór (2.131) do (2.129) i uwzględniając twierdzenie Gaussa–Ostrogradskiego otrzymujemy I · Z (E × H) dS = − S dV E ∂D V 48 ¸ Z ∂B ∂t + H − dV J E. ∂t V (2.132) Zakładając, że obszar nie zmienia się w czasie, pierwszy wyraz po prawej stronie wzoru (2.132) przekształcamy do postaci ¸ · Z Z ∂D ∂B ∂ 1 dV E +H = dV (E D + H B). ∂t ∂t ∂t 2 V V (2.133) Wielkości we = wm = 1 ED = 2 1 HB = 2 1 E ² E, 2 1 H µ H, 2 (2.134) nazywamy odpowiednio gęstością energii pola elektrycznego i gęstością energii pola magnetycznego. Suma tych wielkości reprezentuje gęstość energii pola elektromagnetycznego w obszarze V . Energia całkowita pola elektrycznego i magnetycznego dane są wzorami Z Z We = dV we , Wm = dV wm . V (2.135) V Wprowadzając wektor Poyntinga P P = E × H, (2.136) zapiszemy wzór (2.132) w postaci ∂W = −Q − ∂t I P dS. (2.137) S Wielkość W = We + Wm stanowi energię pola elektromagnetycznego w obszarze V. Równanie (2.137) wyraża więc prawo zachowania energii w przypadku pola elektromagnetycznego. Z równania tego wynika, że zmiany energii pola elektromagnetycznego w rozważanym obszarze spowodowane są dwoma czynnikami: wydzielaniem ciepła Joule’a (Q) i przenikaniem energii przez powierzchnię S ograniczającą obszar. Wektor Poyntinga opisuje ruch energii elektromagnetycznej. Zakładając, że strumień wektora P przez dowolną (a nie tylko zamkniętą, jak w (2.137)), powierzchnię S wyraża przechodzący przez nią strumień energii, to P jest gęstością strumienia energii P = lim∆S→0 n ∆W , ∆S (2.138) gdzie n to wektor jednostkowy wskazujący kierunek ruchu energii, ∆S to zorientowany prostopadle do n płat powierzchniowy, a ∆W to ilość energii przechodząca przez ∆S w ciągu 1 sekundy. 2.7.1 Przykłady 1. Zakładamy, że stałe w czasie i jednorodne pole elektryczne całkowicie zamknięte jest wewnątrz kondensatora płaskiego (rysunek 2.12). Opierając się na wzorze (2.135) wykazać, że energia pola elektrycznego w kondensatorze jest równa W = We = CU 2 , 2 gdzie 49 C= ²0 ²r S . d (2.139) Rysunek 2.12: Pole wewnątrz kondensatora Rysunek 2.13: Pole magnetyczne w magnetyku toroidalnym Rozwiązanie: We = ¢ 1¡ 1 ²0 ²r U 2 Sd CU 2 ²0 ²r E 2 V = = . 2 2 d2 2 (2.140) 2. Na rysunku (2.13) pokazano układ, składający się z toroidalnego magnetyka o promieniach wewnętrznym R1 i zewnętrznym R2 , współosiowych z prostoliniowym przewodnikiem, w którym płynie prąd o natężeniu I. Wykazać, że energia pola magnetycznego w magnetyku jest równa W = Wm = LI 2 , 2 L= µ0 µr h R2 ln . 2π R1 (2.141) Rozwiązanie: pole magnetyczne wytwarzane przez prostoliniowy przewodnik z prądem o natężeniu I: H= I et , 2πρ 50 (2.142) co wraz z wzorem B = µ0 µr H daje w obszarze R1 ≤ ρ ≤ R2 ¶2 µ 1 1 I wm = H B = µ0 µr . 2 2 2πρ Dla wyliczenia całki (2.143) Z Wm = dV wm (2.144) V użyjemy współrzędnych cylindrycznych, gdzie dV = 2πρ dρ dz Z R2 Z h dz 2πρ dρ wm Wm = R1 0 ( µ ¶2 ) Z R2 1 I = 2πh ρ dρ µ0 µr 2 2πρ R1 Z R2 1 LI 2 h I2 = dρ µ0 µr = , 2π R1 2 ρ 2 gdzie µ0 µr h L= 2π 2.8 Z R2 R1 dρ µ0 µr h = ln (R2 /R1 ). ρ 2π (2.145) (2.146) Działy elektrodynamiki Podstawą dalszych rozważań będzie układ równań Maxwella w postaci różniczkowej I) rot E = − ∂B ∂t , II) rot H = ∂D ∂t + J, III) div D = ρ, IV) div B = 0, V) div J = − ∂ρ ∂t . (2.147) Równania materiałowe przyjmiemy w najprostszej postaci D = ² E, B = µ H, J = σ E + J0 ³ ´ (2.148) = σ E + Eprzył , gdzie wprowadziliśmy pole elektryczne Eprzył (przyłożone). Pola takie istnieją w źródłach prądu stałego - ogniwach galwanicznych, akumulatorach itd. Równania Maxwella są w teorii zjawisk elektromagnetycznych, zwanej często elektrodynamiką, podstawą dedukcyjnej analizy procesów elektromagnetycznych. Rozmaitość zjawisk jest ogromna i można ją niemal w nieskończoność komplikować biorąc np. coraz bardziej skomplikowaną postać równań materiałowych. Nawet przy najprostszych równaniach materiałowych rozwiązanie układu równań Maxwella stanowi niełatwy problem. Dlatego, poprzez nałożenie pewnych ograniczeń, rozpatruje się prostsze przypadki specjalne. 51 2.8.1 Przypadek statyczny Gdy pola nie zmieniają się w czasie i gdy nie ma prądu, mówimy o polach statycznych. Matematycznie oznacza to, że wyrażenia z pochodnymi ∂(..)/∂t = 0 oraz J = 0. Równania Maxwella i warunki graniczne przybiorą postać rot E = 0, div D = ρ, D2n − D1n = Σ, E2t − E1t = 0, rot H = 0, div B = 0, B2n − B1n = 0, H2t − H1t = 0. (2.149) (2.150) Równania Maxwella w przypadku statycznym dzielą się na dwa układy równań, z których każdy zawiera wielkości związane tylko z polem elektrycznym (2.149), albo tylko z polem magnetycznym (2.150). Dlatego też pole elektrostatyczne i pole magnetostatyczne można rozpatrywać zupełnie niezależnie. Równania (2.149) nazywamy równaniami elektrostatyki, a równania (2.150) równaniami magnetostatyki. 2.8.2 Pole stacjonarne W przypadku stacjonarnym zakładamy istnienie prądu o stałej w czasie gęstości J = const, ale wyrażenia ∂(..)/∂t = 0 . W tym wypadku równania Maxwella przybiorą postać rot E = 0, rot H = J, div D = ρ, div B = 0, D = ²0 ²r E, B = µ0 µr H, J = σE, B2n − B1n 2.8.3 = 0, H2t − H1t = ipow . Przypadek quasistacjonarny W tym przypadku przyjmujemy, że a) ∂D/∂t = 0, ale ∂B/∂t 6= 0 i J 6= 0, czyli zaniedbujemy prąd przesunięcia w stosunku do prądu przewodzenia, lub 52 b) przyjmujemy, że ∂D/∂t 6= 0, ale ∂B/∂t = 0, J 6= 0. Równania Maxwella przyjmują postać rot E = 0, rot H = J, div D = ρ, div B = 0, D = ²0 ²r E, B = µ0 µr H, J = σ(E + Eprzy ), B2n − B1n = 0, H2t − H1t = ipow . W przypadku pól quasistacjonarnych nie można rozpatrywać pól elektrycznego i magnetycznego niezależnie od siebie. W przypadku ogólnym rozważamy pełny układ równań Maxwella. 53 54 Rozdział 3 Elektrostatyka 3.1 Potencjał elektrostatyczny Pierwszym z omawianych działów elektrodynamiki jest elektrostatyka. Równania elektrostatyki, ła̧cznie z odpowiednimi warunkami brzegowymi, maja̧ postać (2.149) rot E = 0, (3.1) div D = ρ, (3.2) D2n − D1n = Σ, E2t − E1t = 0, (3.3) Równanie (3.1) jest tożsamościowo spełnione, gdy pole E jest gradientem pewnej funkcji skalarnej E = −grad ϕ, (3.4) która̧ nazywamy potencjałem elektrycznym (lub elektrostatycznym). Dla ośrodków jednorodnych z równania (3.2) otrzymamy divE = ρ , ² (3.5) i równanie na potencjał ρ div gradϕ = − . ² (3.6) Operacja div grad nosi nazwę operatora Laplace’a (laplasjanu) i oznaczana jest przez ∇2 lub ∆. Równanie (3.6) nosi nazwę równania Poissona. W obszarze, gdzie nie ma ładunków, otrzymamy na potencjał równanie zwane równaniem Laplace’a ∇2 ϕ = 0. 55 (3.7) Zagadnienia elektrostatyki sprowadzają się do rozwia̧zania układu równań ρ − , ² −∇ϕ, ∇2 ϕ = E = (3.8) z warunkami brzegowymi na granicy ośrodków 1, 2 µ ∂ϕ ∂n ¶ µ − 2 (ϕ)2 ¶ ∂ϕ ∂n 1 = (ϕ)1 , 1 Σ, ² = (cia̧głość potencjału), (3.9) gdzie Σ jest gęstością ładunków powierzchniowych. Pochodna ∂n oznacza pochodną w kierunku prostopadłym (normalnym) do powierzchni granicznej. Siła działająca na ładunek q w polu elektrycznym jest także proporcjonalna do gradientu potencjału F = qE = −q∇ϕ, (3.10) pole elektrostatyczne jest więc polem konserwatywnym, a praca po zamkniętym łuku jest równa zeru I Fds = 0, (3.11) z czego wynika, że praca przesunięcia ładunku z punktu P1 do punktu P2 nie zależy od kształtu drogi, a jedynie od położeń, i jest równa Z Z P2 F ds = −q P1 P2 dϕ = Ep (2) − Ep (1), (3.12) P1 gdzie Ep (P ) = −qϕ(P ), (3.13) jest energią potencjalną w punkcie P . Wyliczając podobne całki dla pola elektrycznego otrzymamy Z Z B B Eds = − A ∇ϕ ds = −ϕ(B) + ϕ(A). (3.14) A Ponieważ wielkością obserwowalną jest pole E proporcjonalne do pochodnych potencjału, sam potencjał określony jest z dokładnością do stałej. Najczęściej stałą określamy przyjmując zerowanie się potencjału w pewnym punkcie (cechowanie potencjału). Jeśli w danej sytuacji przyjmiemy znikanie potencjału w nieskończoności, to z równania (3.14) wyznaczyć można potencjał jako Z ∞ ϕ(A) = E ds, (3.15) A gdzie całkowanie przebiega wzdłuż dowolnie wybranej krzywej. Jeśli znamy przebieg pola E, wówczas z równania (3.15) wyliczamy potencjał. Dla przykładu wyznaczymy potencjał ładunku punktowego q, umieszczonego w pocza̧tku układu współrzȩdnych. Pole elektryczne E, znane np. 56 z prawa Coulomba, lub zastosowania elektrycznego prawa Gaussa, w jednorodnym dielektryku o przenikalności ², ma kształt E= 1 q r . 4π² r2 r (3.16) Chcąc wyznaczyć wartość potencjału w punkcie A, leżącym na powierzchni kulistej o promieniu r, we wzorze (3.15) jako krzywa̧ całkowania wybieramy prostą przechodzącą przez punkt A i początek układu współrzędnych. Wzdłuż tej prostej ds = r dr, r (3.17) 1 q . 4π² r (3.18) i jako wynik całkowania otrzymamy ϕ(r) = Gdybyśmy rozważali ϕ jako funkcję w sferycznym układzie współrzędnych r, θ, φ, widać, że potencjał ładunku punktowego jest sferycznie symetryczny, czyli zależy tylko od odległości r, a nie zależy od kątów θ, φ. Powierzchnia r = const jest powierzchnią stałego potencjału, czyli ekwipotencjalną. W tym przykładzie łatwo wykazać, że gradient gradϕ jest wektorem prostopadłym do powierzchni ekwipotencjalnej ϕ =const. Wzór (3.18) można uogólnić na przypadek potencjału układu ładunków punktowych q1 , q2 , . . . , qn rozmieszczonych w punktach r1 , r2 , . . . , rn . Potencjał wytwarzany przez ten układ w jednorodnym dielektryku, punkcie r, będzie sumą potencjałów wytwarzanych przez poszczególne ładunki ϕ(r) = 1 X qi qi 1 X q = . 4π² i |r − ri | 4π² i 2 2 2 (x − xi ) + (y − yi ) + (z − zi ) (3.19) Gdy zamiast dyskretnego zbioru ładunków mamy ładunki rozłożone wewnątrz pewnej objętości V z gęstością przestrzenną ρ(r), lub na pewnej powierzchni S z gęstością powierzchniową Σ(r), wówczas wzór (3.19) przechodzi w ϕ(r) = 1 4π² Z V ρ(r0 )dV 0 1 + 0 |r − r | 4π² Z S Σ(r00 )dS 00 . |r − r00 | (3.20) Dla przykładu zastosujemy wzór (3.19) do obliczenia potencjału wytwarzanego przez układ dwóch ładunków punktowych, zwany dipolem. Rozważamy układ dwóch ładunków punktowych q i −q, położonych na osi z i oddalonych o odcinek 2a, p. rys. 3.1. Taki układ nazywamy dipolem elektrycznym, a wielkość p = 2aqk, momentem dipolowym. (3.21) Chcemy obliczyć potencjał wytwarzany przez dipol w punkcie P , w odległości r znacznie wiȩkszej od rozmiaru 2a dipola. Z wzoru (3.19) otrzymujemy µ ¶ 1 q q q r2 − r1 ϕ(P ) = − = . 4π² r1 r2 4π² r1 r2 57 (3.22) Dla r À 2a dokonujemy przybliżeń r2 − r1 ≈ 2a cos θ, r1 r2 ≈ r2 , (3.23) które podstawiamy do wzoru (3.22) ϕ= q 2a cos θ 1 pr = . 2 4π² r 4π² r3 (3.24) Mając potencjał, możemy obliczyć wektor pola elektrycznego E, E = −∇ϕ = 1 3r(pr) − pr2 , 4π² r5 (3.25) gdzie skorzystaliśmy ze wzorów ∇(f g) = g∇f + f ∇g, r ∇f (r) = f 0 (r) , r ∇(pr) = p. (3.26) (3.27) We współrzędnych prostokątnych pole będzie miało składowe Ex = Ey = Ez = 3p xz , 4π² (x2 + y 2 + z 2 )5/2 3p yz , 2 2 4π² (x + y + z 2 )5/2 p x2 + y 2 − 2z 2 − . 4π² (x2 + y 2 + z 2 )5/2 (3.28) Potencjał dipola (3.24) przedstawić można we współrzędnych walcowych (ρ, φ, z) ϕ= 1 pz . 4π² (ρ2 + z 2 )3/2 (3.29) Widać, że nie zależy on od kąta φ, potencjał dipola ma więc symetrię walcową (obrotową), a oś z jest osią symetrii. Korzystając ze wzoru na gradient we współrzędnych walcowych obliczyć można składowe pola elektrycznego Eρ = 1 Ez = − 4π² à p 3/2 (ρ2 + z 2 ) Można sprawdzic, że 1 3ρz , 2 4π² (ρ + z 2 )5/2 ! 3pz 2 − . 5/2 (ρ2 + z 2 ) (3.30) q Eρ = Ex2 + Ey2 . (3.31) Dla zastosowania wzorów z ciągłym rozkładem ładunku rozważmy potencjał wytwarzany przez ładunek równomiernie rozłożony na pierścieniu kołowym o promieniu a i środku w początku układu. Pierścień leży na płaszczyźnie xy i chcemy obliczyć potencjał na osi pierścienia w punkcie P (0, 0, z). Element dr pierścienia naładowany jest ładunkiem λds, gdzie λ jest gęstością liniową ładunku. W punkcie P wytwarza on potencjał dϕ = 1 λdr √ . 4π² a2 + z 2 58 (3.32) Rysunek 3.1: Potencjał dipola Potencjał pochodzący od całego pierścienia będzie równy Z 2πaλ q 1 1 √ √ ϕ= dϕ= = , 2 2 2 4π² a + z 4π² a + z 2 (3.33) gdzie q = 2πaλ jest całkowitym ładunkiem pierścienia. Mając potencjał, można obliczyć pole elektryczne pierścienia E = −∇ϕ = 3.2 qz 1 k. 2 4π² (a + z 2 )3/2 (3.34) Przewodniki w polu elektrostatycznym. Kondensatory W przewodnikach przewodność σ jest różna od zera, za to z założenia elektrostatyki J = 0, wiȩc również E = 0. Wewna̧trz przewodnika nie może wiȩc istnieć pole elektrostatyczne, jak również przestrzenna gȩstość ładunku, gdyż E=0 ∇E = 0 → ∇D = 0, (3.35) czyli ρ = 0. W żadnym punkcie wewnątrz materiału przewodzącego nie może być ładunku elektrycznego. Jednakże na powierzchni przewodnika pole elektryczne niekoniecznie musi znikać i mogą znajdować się tam ładunki elektryczne. Ostatecznie wnioskujemy, że różny od zera ładunek przewodnika musi wypłynąć na powierzchnię i na niej pozostać. Z warunku E = 0 wynika, że w przewodniku, w tym również na powierzchni, potencjał jest wielkością stałą. Gdyby istniała bowiem różnica potencjałów, zacząłby płynąć prąd, wbrew założeniu J = 0. Dla elementu d s na powierzchni, z własności gradientu (gradϕ) · d s = d ϕ, 59 (3.36) dla ϕ= const otrzymamy d ϕ = 0, czyli gradϕ ⊥ ds, (3.37) gradient jest prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej, jak to widzieliśmy na przykładzie potencjału ładunku punktowego. Ładunki gromadzące się na powierzchni przewodnika wytworzą więc pole elektrostatyczne, które jest prostopadłe do powierzchni przewodnika. Jeśli Σ będzie gęstością ładunku powierzchniowego, to całkowity ładunek na powierzchni S otrzymamy z elektrycznego prawa Gaussa Z Z Z S S Dn dS, D dS = Σ dS = Q = (3.38) S gdzie Dn jest składową wektora indukcji elektrycznej normalną do powierzchni. Z powyższego wzoru wynika, że Dn = Σ, (3.39) czyli jeżeli nad powierzchnią przewodnika jest dielektryk o stałej dielektrycznej ², to pole elektryczne w pobliżu powierzchni dane jest jako En = Σ . ² (3.40) Ten sam wzór otrzymalibyśmy z warunków ciągłości dla składowej normalnej wektora D. Jeśli więc znamy rozkład ładunku na powierzchni przewodnika, możemy określić natężenie pola elektrycznego na zewnątrz przewodnika, lub jeśli znane jest to pole, można określić rozkład ładunku wywoływany przez nie na powierzchni. Dla przykładu rozważmy pole elektryczne wytwarzane przez izolowany przewodnik kulisty o promieniu R ze znanym całkowitym ładunkiem Q. Kula umieszczona jest w ośrodku dielektrycznym o stałej dielektrycznej ². Chcemy wyznaczyć pole elektryczne w obszarze wokół kuli. W obszarze wokół kuli nie ma ładunków elektrycznych, potencjał spełnia więc równanie Laplace’a ∇2 ϕ = 0, (3.41) które rozwiązujemy przy warunkach brzegowych 1) powierzchnia kuli jest powierzchnią ekwipotencjalną, 2) całkowity ładunek rozłożony na kuli jest równy Q, 3) potencjał zmierza do zera w nieskończoności. Z warunków zadania wynika, że właściwe jest użycie współrzędnych kulistych. Laplasjan w tych współrzędnych ma postać ∇2 ϕ = 1 ∂ r2 ∂r µ ¶ µ ¶ ∂ϕ 1 ∂ ∂ϕ 1 ∂2ϕ r2 + 2 sin θ + 2 2 . ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂φ2 (3.42) Z rozważań symetrii wyniknie, że potencjał zależy tylko od r, więc otrzymamy rozwiązanie równania Laplace’a w postaci c ϕ= , r 60 (3.43) gdzie c jest pewną stałą. Mając potencjał wyznaczamy pole elektryczne E= c r . r2 r (3.44) Z kolei ze wzoru (3.40) wynika, że w pobliżu powierzchni E= Q r , 4πR2 ² r (3.45) gdyż składowa radialna jest w tym przypadku normalna do powierzchni. Dla r = R oba wzory (3.44) i (3.45) muszą być zgodne, więc wynika stąd wartość stałej Q , 4π² (3.46) Q r . 4π² r3 (3.47) c= i ostatecznie wzór na pole elektryczne E= Pole elektryczne przewodzącej powierzchni kulistej naładowanej ładunkiem Q jest takie samo jak ładunku punktowego Q, umieszczonego w środku kuli. 3.2.1 Ekran przewodzący W punktach połozonych wewnątrz przewodnika pole elektryczne jest superpozycją dwóch pól: 1. pola ładunku powierzchniowego 2. zewnętrznego pola elektrycznego, w którym został umieszczony przewodnik. Rozkład ładunku powierzchniowego jest taki, że wytworzone przez niego pole elektryczne znosi się wewnątrz przewodnika z przyłożonym polem elektrycznym tak że pole w przewodniku jest zawsze równe zeru. Ponieważ ładunek powierzchniowy jest rozłożony na powierzchni przewodnika w warstwie o grubości rzędu rozmiarów atomu, wnętrze przewodnika nie odgrywa roli, można je wyciąć i utworzyć powłokę przewodzącą, zwaną ekranem. Taka powłoka osłania (ekranuje) wydrążenie przed wpływem pól zewnętrznych - pole wewnątrz wydrążenia nie zależy od pól istniejących na zewnątrz. W technice np. ochronny płaszcz ołowiany kabla elektrycznego ekranuje przewody umieszczone wewnątrz płaszcza. 3.2.2 Kondensatory Kondensatorem nazywamy układ takich dwóch przewodników, które całkowicie ekranują położony między nimi obszar. Przewodniki te to okładki kondensatora. Po naładowaniu kondensatora na jego okładkach pojawią się ładunki o jednakowych wartościach bezwzględnych ale o różnych znakach. Między okładkami kondensatora wytwarza się różnica potencjałów U = ϕ1 − ϕ2 . Pojemnością kondensatora nazywamy stosunek wartości bezwzględnej ładunku q jednej z okładek do 61 różnicy potencjałów: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯q¯ q ¯ = ¯ ¯. C = ¯¯ ϕ1 − ϕ2 ¯ U (3.48) Kondensatory różnią się kształtem okładek i materiałem wypełniającym. Podstawowe typy kondensatorów: kondensator płaski, walcowy i kulisty. Kondensator płaski składa się z dwóch równoległych płytek przewodzących, przy czym ich odległość winna być znacznie mniejsza od ich rozmiarów liniowych. Załóżmy, że jedna z płytek, oznaczona A, równoległa jest do płaszczyzny yz i umieszczona w punkcie x = 0, druga płytka, oznaczona B, umieszczona jest w punkcie x = d. Płytka A jest uziemiona, tak że jej potencjał ϕA = 0, podczas gdy płytka B połączona jest z potencjałem U , ϕB = U . Wewnątrz kondensatora znajduje się dielektryk o stałej dielektrycznej ². Wewnątrz kondensatora nie ma ładunków przestrzennych, czyli potencjał ϕ spełnia równanie Laplace’a: ∇2 ϕ = 0 (3.49) które w przyjętej geometrii jest jednowymiarowe d2 ϕ =0 dx2 (3.50) ϕ(x) = c1 x + c2 . (3.51) o rozwiązaniu Z warunków ϕ(x = 0) = 0, ϕ(x = d) = U (3.52) otrzymujemy wartości stałych c1 = U , d c2 = 0 (3.53) i kształt potencjału wewnątrz kondensatora ϕ(x) = U x. d (3.54) Mając potencjał, obliczamy pole elektryczne E = −∇ϕ = −i U , d (3.55) gdzie i jest wersorem osi x. Na powierzchni A kierunek normalnej n pokrywa się z wersorem i, n=i, więc skladowa normalna pola przy powierzchni En = − U , d (3.56) co, zgodnie ze wzorem Σ = ²En 62 (3.57) odpowiada gęstości powierzchniowej ładunku ΣA = −² U . d (3.58) Na powierzchni B n=-i, co odpowiada gęstości ładunku ΣB = ² U . d (3.59) Na każdej z okładek o powierzchni S gromadzi się więc ładunek q = |Σ · S| = ²SU d (3.60) i ze wzoru (3.48) otrzymujemy pojemność kondensatora płaskiego ¯ q ¯ ²S ¯ ¯ C=¯ ¯= . U d (3.61) Pamiętając o jednostkach, w jakich wyrazona jest stała dielektryczna (farad/metr) widać, że jednostką pojemności jest farad. 3.2.3 Metoda obrazów Chcemy znależć gestość ładunku powierzchniowego indukowanego w nieskończonej płaszczyźnie (x = 0) przewodzącej, przez ładunek punktowy q umieszczony w punkcie (d, 0, 0). Płaszczyzna przewodząca jest powierzchnią ekwipotencjalną (ϕ = const). Można przyjąć, że ϕ = 0. Nieskończona płaszczyzna przewodząca i umieszczony przed nią ładunek +q wytwarzają przed płaszczyzną takie same pole elektryczne, jak układ dwóch ładunków: tego samego +q i jego odbicia zwierciadlanego względem plaszczyzny x = 0, o wartości −q. Obliczenie pola pochodzącego od układu dwóch ładunków jest proste. Taka metoda rozwiązywania zadań nazywa się metodą obrazów. Polega ona na dobraniu takiego układu ładunków, by jedna z powierzchni ekwipotencjalnych pokryła się z powierzchnią rozważanego przewodnika. Potencjał w punkcie P (x, y, z), wytworzony przez ładunek q i jego obraz −q umieszczony w punkcie (−d, 0, 0) ma postać q ϕ(x, y, z) = 4π² à p 1 (x − d)2 + y 2 + z 2 −p 1 (x + d)2 + y 2 + z 2 ! . Obliczamy składowe pola elektrycznego w płaszczyźnie z = 0 à ! ∂ϕ q x−d x+d Ex = − = − , 3/2 ∂x 4π² [(x − d)2 + y 2 ]3/2 [(x + d)2 + y 2 ] à ! q y ∂ϕ y = Ey = − − . 3/2 ∂y 4π² [(x − d)2 + y 2 ]3/2 [(x + d)2 + y 2 ] 63 (3.62) (3.63) W płaszczyżnie x = 0 Ey Ex = 0, = q d − 2π² . (d2 +y 2 )3/2 Ex = En , (3.64) Składowej normalnej pola elektrycznego odpowiada gęstość ładunku powierzchniowego Σ = ²En = − q d = Σ(y). 2π (d2 + y 2 )3/2 (3.65) Ogólnie w płaszczyźnie x = 0 indukowany jest ładunek powierzchniowy o gęstości Σ(y, z) = − q d . 2π (d2 + y 2 + z 2 )3/2 (3.66) Całkowity ładunek indukowany w płaszczyźnie x = 0 otrzymamy całkując gęstość ładunku Q = = = qd − 2π − − qd 2π qd 2 Z∞ Z∞ dydz (d2 + y 2 + z 2 ) −∞ −∞ Z∞ Z2π ρdρ 0 Z∞ dφ 0 3/2 1 (ρ2 3/2 + d2 ) (3.67) du = −q, u3/2 d2 gdzie najpierw wprowadziliśmy współrzędne biegunowe ρ, φ na płaszczyźnie yz, następnie użyli zmiennej u = ρ2 + d2 . Siła oddziaływania ładunku punktowego q z płaszczyzną przewodzącą x = 0 jest równa sile oddziaływania tego ładunku z jego obrazem F =− Odbicie w kuli q2 . 16π²d2 (3.68) Ładunek q2 umieszczony jest w odległości d2 od środka uziemionej kuli prze- wodzącej o promieniu a. Posłużymy się metodą obrazów dla znalezienia rozkład ładunku indukowanego na powierzchni kuli. Zgodnie z metodą obrazów, należy znaleźć wielkość i położenie ładunku q1 , „obrazu” ładunku q2 . Właściwe dla zagadnienia są współrzędne kuliste r = (r, θ, φ). Dla punktu q2 wybieramy współrzędne r2 = d2 , θ2 = 0, φ2 = 0, a dla q1 r1 = d1 , θ1 = 0, φ1 = 0, czyli oba ładunki leżą na jednym promieniu, na płaszczyżnie φ = 0. Potencjał wytworzony w pewnym punkcie P (r, θ, 0) przez ładunki q1 i q2 ma postać à ! 1 q1 q2 p ϕ(r, θ) = +p . 4π² r2 + d21 − 2rd1 cos θ r2 + d22 − 2rd2 cos θ (3.69) Wybierając d1 = a2 , d2 q1 = − 64 aq2 , d2 (3.70) otrzymamy potencjał w postaci 1 q2 p − 4π² r2 + d22 − 2rd2 cos θ ϕ(r, θ) = r d2 ³ r2 + q2 1 p − 2 2 4π² r + d2 − 2rd2 cos θ = r d2 ³ r2 + aq2 ´2 a2 d2 a2 d2 a ´2 2 − 2r ad2 cos θ − 2 2r ad2 (3.71) cos θ Można sprawdzić, że powyższy potencjał zeruje się na powierzchni kuli r = a, ϕ(a, θ, 0) = 0. Ładunek q1 umieszczony w punkcie d1 (3.70) jest więc obrazem ładunku q2 . Mając potencjał, obliczamy składową radialną pola elektrycznego, gdyż jako składowa normalna do powierzchni określa gęstość indukowanego ładunku powierzchniowego a2 r − d2 cos θ ∂ϕ q2 r − d2 cos θ a = + − ´3/2 , ³ 3/2 2 ∂r 4π² d 2 2 a4 a2 (r2 + d2 − 2rd2 cos θ) r + d2 − 2r d2 cos θ 2 ¯ 2 ∂ϕ ¯ a a q2 − ¯¯ (3.72) = − ³ ´3/2 − 2 3/2 2 ∂r r=a 4π² 4 3 (a + d2 − 2ad2 cos θ) d2 a2 + ad2 − 2 ad2 cos θ 2 µ ¶ µ ¶ a2 q2 a 1 1 − , = − ´3/2 4πa2 ² d2 ³ d22 a2 a 1 + d2 − 2 d2 cos θ 2 czyli poszukiwana gęstość ładunku powierzchniowego ¯ ¶ µ ∂ϕ ¯ Σ(θ) = ²Er = ² − ¯¯ ∂r ¶ µ ¶ r=a µ a 1 a2 q2 = − ´3/2 1 − d2 . 4πa2 d2 ³ 2 2 1 + ad2 − 2 da2 cos θ (3.73) 2 Mając gęstość ładunku można obliczyć całkowity ładunek zgromadzony na powierzchni kuli o romieniu a: Z Z Σ(θ)dS = a2 Q= Z Σ(θ)dΩ = 2πa2 Σ(θ) sin θdθ, (3.74) gdzie dΩ = sin θdθ dφ jest elementem kąta bryłowego. Korzystając z całki Zπ 0 = ³ 1+ à 1 a d2 sin θdθ a2 d22 − 2 da2 cos θ Z+1 ´3/2 1 1 − 1 − da2 1 + da2 A=1+ a2 , d22 B=2 ! a , d2 = −1 =³ · ¸ 2 1 1 dx = − B (A − B)1/2 (A − Bx)3/2 (A + B)1/2 2 1− a2 d22 ´, (3.75) x = cos θ, i wzorów (3.73), (3.74) otrzymamy Q = −q2 a = q1 , d2 65 (3.76) więc ładunek zgromadzony na powierzchni kuli jest ładunkiem obrazu. Ten sam wynik otrzymalibyśmy stosując elektryczne twierdzenie Gaussa. Siła oddziaływania między ładunkiem q2 i kulą jest równa F = 3.2.4 q1 q2 2 4π² (d2 − d1 ) =− d2 aq22 2. 4π² (d22 − a2 ) (3.77) Energia pola elektrostatycznego oraz energia oddziaływania między ładunkami Wzór na energię pola elektrostatycznego otrzymamy z ogólnego wzoru na energię pola elektrycznego wewnątrz obszaru V 1 W = 2 Z DEdV. (3.78) V Pole elektrostatyczne jest gradientem potencjału, E = −∇ϕ, co pozwala na przekształcenie iloczynu DE: DE = −D∇ϕ = ϕ∇D − ∇(ϕD) = ϕρ − ∇(ϕD) (3.79) gdzie wykorzystalismy równanie Maxwella ∇D = ρ, ρ jest gęstością przestrzenną ładunków w obszarze V . Załóżmy, że w obszarze V , oprócz ładunków przestrzennych, istnieją ładunki powierzchniowe rozłóżone na pewnej powierzchni S. Powierzchnię S otoczymy pewną zamkniętą powierzchnią S 0 i przekształcimy wyrażenie na energię pola korzystając z (3.79) 1 W = 2 Z 1 ϕ ρdV − 2 V Z ∇(ϕD)dV. (3.80) V Wystepującą powyżej całkę z dywergencji zamieniamy na całkę po powierzchni zamkniętej, która składa się z powierzchni S 0 a z drugiej strony powierzchni S 00 : Z Z Z ∇(ϕD)dV = ϕDdS + S 00 V ϕDdS. (3.81) ϕ (D1n − D2n ) dS, (3.82) S0 W granicy S 0 → S całka po powierzchni S 0 przyjmie postać Z Z ϕDdS = − S0 Z ϕD2 dS + S Z ϕD1 dS = S S Skok składowej normalnej wektora D równy jest gęstości ładunków powierzchniowych Σ rozłożonych na powierzchni S D2n − D1n = Σ (3.83) więc ostatecznie całka po powierzchni S 0 to Z Z ϕDdS = − S0 ϕ ΣdS > S 66 (3.84) Powierzchnia zewnętrzna S 00 jest dowolna, można ją więc umieścić nieskończenie daleko. W nieskończoności potencjał ϕ maleje jak 1/r, a indunkcja jak 1/r2 , natomiast powierzchnia jest proporcjonalna do r2 , więc wartość iloczynu |ϕD|dS maleje jak 1/r i całka po S 00 maleje do zera. Ostatecznie otrzymaliśmy wzór na energię pola elektrostatycznego w postaci W = 1 2 Z ρ ϕdV + V 1 2 Z ϕ ΣdS, (3.85) S gdzie V oznacza całą przestrzeń, a S wszystkie znajdujące się w tej przestrzeni powierzchnie naładowane elektrycznie. Energia oddziaływania układu ładunków Rozaważamy układ ładunków punktowych q1 , . . . , qi , . . . qn rozłożonych w obszarze V w punktach r1 , . . . , ri , . . . , rn . Energia takiego układu dana jest wzorem (3.85), ale musimy zdefiniować dla takiego układu gęstość ładunku ρ. Można to zrobić wprowadzając funkcję (funkcjonał, dystrybucję) δ−Diraca. Funkcjonał delta przyporządkowuje funkcji f (x) jej wartość w wybranym punkcie a Z∞ f (x)δ(x − a)dx = f (a). (3.86) −∞ Funkcjonał delta zdefiniowany jest dla przestrzeni o dowolnym wymiarze: w przestrzeni 3-wymiarowej (3.86) przyjmie postać Z f (r)δ(r − r0 )d3 r = f (r0 ). (3.87) V Gęstość ładunku dla układu ładunków punktowych zapiszemy jako ρ(r) = X qi δ(r − ri ). (3.88) i Potencjał ϕ w punkcie r jest sumą potencjałów od poszczególnych ładunków ϕ(r) = 1 X qj . 4π² j |r − rj | (3.89) Podstawiając wyrażenia (3.88) i (3.89) do (3.85) otrzymamy poszukiwaną energię układu ładunków punktowych W = 1 X qi qj . 8π² |ri − rj | (3.90) i6=j W szcególności dla układu dwóch ładunków q1 i q2 otrzymujemy W = 1 q1 q2 , 4π² r12 (3.91) gdzie r12 = |r2 −r1 |. Energia ta jest dodatnia dla ładunków jednoimiennych i ujemna dla ładunków różnoimiennych. 67 Energia pojedyńczego ładunku Energia pojedyńczego ładunku q umieszczonego w polu po- tencjału ϕ W = qϕ (3.92) Z powyższego wzoru skorzystamy obliczając energię dipola o momencie dipolowym p = q` umieszczonego w polu elektrycznym E, o potencjale ϕ, E = −gradϕ. Energia oddziaływania dipola z polem elektrycznym jest sumą energii ładunków +q (położony w punkcie r + `) i −q (położony w punkcie r) W = qϕ(r + `) − qϕ(r). (3.93) Rozwijając ϕ(r + `) w szereg, w pierwszym przybliżeniu otrzymamy ϕ(r + `) = ϕ(r) + ∇ϕ · `. Podstawiając to rozwinięcie do wzoru (3.93) otrzymamy wyrażenie na energię dipola w zewnętrznym polu E W = −pE. 68 (3.94) Rozdział 4 Stacjonarne pole magnetyczne 4.1 Równania pola W magnetostatyce badane są pola magnetyczne niezależne od czasu. Pola takie pochodzą albo od magnesów stałych, albo od prądów stałych. Równania Maxwella i odpowiednie warunki graniczne mają dla pola magnetostatycznego postać ∇ × H = J, ∇B = 0, (4.1) B = µH, B2n − B1n = 0, H2t − H1t = Ipowierzchn . (4.2) Podstawowe zagadnienia magnetostatyki to: 1. Maja̧c dane pole znaleźć pra̧dy, od których to pole pochodzi, 2. Maja̧c dane pra̧dy znaleźć wytwarzane przez nie pole magnetyczne, 3. Wyznaczyć siły działaja̧ce w polu magnetycznym. W dalszym cia̧gu zajmiemy siȩ głównie problemami 1 i 2. 4.2 Siły elektromotoryczne przyłożone. Uogólnione prawo Ohma i Joule’a-Lenza Wykażemy najpierw niemożność wywołania prądu stałego przez siły elektrostatyczne pochodzenia kulombowskiego. Z równania cia̧głości ∇J + ρ̇ = 0, 69 (4.3) wynika dla prądu stałego (∂t (...) = 0) ∇J = 0, (4.4) czyli że linie wektora gęstości prądu stałego są liniami zamkniętymi. Rozważmy całkę wzdłuż linii zamkniętej I (4.5) Jds. L Jeśli w obszarze, w którym znajduje siȩ krzywa L, działa jedynie pole E pochodzenia kulombowskiego, to J = σ E = −σ ∇ϕ, i I (4.6) I Jds = σ (4.7) Eds = 0. L L Ponieważ wzdłuż linii prądu Jds = ±Jds (zależnie od kierunku prądu), I ± Jds = 0, (4.8) L czyli J = 0. Jeśli istnieją jedynie elektrostatyczne siły kulombowskie, prąd stały nie może płynąć. Prądy stałe mogą płynąć tylko w obecności pól elektrycznych pochodzenia nieelektrostatycznego. Pola takie istnieją w źródłach prądu stałego, np. w ogniwach lub akumulatorach. Pola takie nazywamy polami przyłożonymi, a siły powodujące przepływ ładunku- siłami elektromotorycznymi SEM) przyłożonymi. Przez Eprzył oznaczać będziemy natężenie pola elektrycznego przyłożonego. Równanie materiałowe w obecności takiego pola ma postać (4.9) J = σ(ECoulomb + Eprzył ), gdzie ECoulomb = −∇ϕ jest polem pochodzenia kulombowskiego. Całka okrężna z gęstości prądu (4.9) da I I I Jds = σ L L (ECoulomb + Eprzył )ds = σ Wielkość Eprzył = 1 σ L Eprzył ds. (4.10) I Jds, (4.11) L nazywamy siłą elektromotoryczną przyłożoną (SEM), lub napięciem wzdłuż konturu L. Wewnątrz konturu L J k ds, więc całkę konturową można wyliczyć I I I Jds J ds = = IdR, L σ L S σS L (4.12) S oznacza pole przekroju poprzecznego rozważanego konturu, dR oznacza element oporu elektrycznego dR = ds . σS (4.13) i I jest (stałym) natężeniem prądu I = J/S. Z równania (4.12) otrzymujemy prawo Ohma I R = Eprzył . 70 (4.14) W obecności pól przyłożonych modyfikuje się również prawo Joule’a - Lenza. Mówi ono, że przepływowi prądu o natężeniu I towarzyszy w jednostce czasu wydzielanie ciepła Q = RI 2 . (4.15) Przechodząc do sformułowania lokalnego, dla nieskończenie małego walca jak na rys. 2.5, z gęstością prądu równoległą do osi walca, otrzymamy Q = (J∆S)2 ∆` . σ∆S (4.16) Oznaczając przez q̃ ciepło wydzielające się w jednostce czasu i jednostce objętości otrzymujemy różniczkową postać prawa Joule’a– Lenza q̃ = J2 = JE = σE 2 . σ (4.17) Z kolei, znając lokalną gęstość wydzielanego ciepła w pewnym obszarze o objętości V , otrzymamy wartość ciepła całkowitego jako Z Q= JEdV. (4.18) V Dla prądu danego w postaci (4.9) dla ciepła otrzymamy wyrażenie Z Z Z Q= J(ECoulomb + Eprzył )dV = JECoulomb dV + JEprzył dV. V V (4.19) V Udowodnimy, że pierwsza z całek jest równa zeru. Przekształcając wyrażenie podcałkowe JECoulomb = −J∇ϕ = −∇(ϕ J) + ϕ∇J, otrzymamy Z V Z J(ECoulomb = − (4.20) Z ∇(ϕ J)dV + V ϕ∇JdV. (4.21) V Dla prądu stałego ∇J = 0, a pierwszą z całek po prawej stronie przekształcamy do postaci całki powierzchniowej Z Z ∇(ϕ J)dV = V ϕJdS = 0. (4.22) SV Z definicji prądy płyną wewnątrz rozważanego obszaru i nie przecinają powierzchni S, więc całka jest równa zeru. Ostatecznie otrzymaliśmy wzór na ciepło wydzielane Z Q= JEprzył dV, (4.23) V który mówi, że prąd stały wydziela ciepło wyłącznie kosztem energii dostarczanej przez siły elektromotoryczne przyłożone. Energia pola magnetycznego wm = 1 1 H · B = HµH, 2 2 pozostaje przy tym wielkością stałą. 71 (4.24) 4.3 4.3.1 Pole magnetostatyczne w ośrodku jednorodnym Prawo Biota–Savarta Prawo Biota–Savarta pozwala na podstawie znanej postaci wektora gęstości prądu J obliczyć wytwarzane przez prąd pole magnetyczne. Wystarczy obliczyć jeden z wektorów pola magnetycznego, gdyż przy założeniu jednorodności ośrodka B = µH, (4.25) gdzie µ jest stałą wielkością. Punktem wyjścia są równania Maxwella ∇ × H = J, (4.26) ∇B = 0. (4.27) i Równanie (4.27) spełnione jest toższamościowo, gdy pole B jest rotacją pewnego wektora A, który nazywamy potencjałem wektorowym, B = ∇ × A. (4.28) Ogólną własnością potencjałów, elektycznego (skalarnego) i magnetycznego jest to, że nie są wyznaczone jednoznacznie. Potencjał nie jest wielkością obserwowalną eksperymentalnie: wielkością obserwowalną jest pole magnetyczne, opisane wektorami B i H. Jeśli zamiast potencjału A weźmiemy, jak to się mówi, przeskalowany potencjał A0 = A + ∇ψ, (4.29) gdzie ψ jest pewną funkcją skalarną, wówczas otrzymamy ∇ × A0 = ∇ × A + ∇ × ∇ψ = ∇ × A = B, (4.30) gdyż dla funkcji ψ z cia̧głymi pochodnymi ∇ × ∇ψ = 0. (4.31) Potencjały A i A0 sa̧ równoważne w tym sensie, że opisują to samo pole magnetyczne. Dla ujednoznacznienia wyboru potencjału trzeba nałożyć dodatkowy warunek: w magnetostatyce zakładamy, że ∇A = 0. (4.32) Można sprawdzić, że A jest wyznaczone z dokładnością do funkcji ψ, będącej rozwiązaniem równania Laplace’a ∇∇ψ = 0. 72 (4.33) Warunek (4.32) nazywamy ogólnie cechowaniem potencjału, w tym przypadku cechowaniem kulombowskim. Podstawiając pole H= 1 ∇ × A, µ (4.34) do równania (4.26) otrzymamy ∇ × ∇ × A = µJ. (4.35) Operacja podwójnej rotacji przybiera prostą postać we współrzędnych prostoka̧tnych gdzie ∇2 A = grad divA − rot rotA, (4.36) i ∇2 A = = i∇2 Ax + j∇2 Ay + k∇2 Az µ 2 ¶ µ 2 ¶ ∂ Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∂ Ay ∂ 2 Ay ∂ 2 Ay i + + + j + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 µ 2 ¶ ∂ Az ∂ 2 Az ∂ 2 Az +k + + . 2 2 ∂x ∂y ∂z 2 (4.37) Każda ze składowych podobna jest do laplasjanu skalarnego. Jest to jedynie szczególną własnością współrzędnych prostokątnych.1 Korzystając z własności (4.36) i cechowania kulombowskiego (4.32) otrzymujemy równanie na potencjał wektorowy A w postaci ∇2 A = −µJ. (4.38) Zgodnie z wzorem (4.37) powyższe równanie wektorowe odpowiada trzem równaniom skalarnym ∇2 Ax = −µJx , ∇2 Ay = −µJy , (4.39) ∇2 Az = −µJz . Każde z tych równań ma strukturę równania Poissona z elektrostatyki ρ ∇2 ϕ = − , ² dla którego rozwiązanie, dla ładunków skupionych w pewnym obszarze V , miało postać Z 1 ρ(r0 ) dV 0 , ϕ(r) = 4π² V |r − r0 | (4.40) (4.41) gdzie dV 0 oznacza element objętościowy w zmiennych primowanych. Każdą ze składowych wektora A otrzymamy w analogiczny sposób, więc wynik można zapisać w postaci wektorowej Z µ J(r0 )dV 0 . A(r) = 4π V |r − r0 | Mając potencjał wektorowy, wyznaczamy pole indukcji magnetycznej ze wzoru 1 p. np. P. Moon i D. E. Spencer, Teoria pola (PWN, Warszawa, 1966). 73 (4.42) Rysunek 4.1: Zmienne w wyznaczaniu potencjału wektorowego A. µ B= 4π Z ∇r × V J(r0 )dV 0 , |r − r0 | (4.43) gdzie ∇r oznacza, że operacje pochodnych dotyczą zmiennej r. Korzystając ze wzoru na rotację iloczynu ∇ × af = f ∇ × a + ∇f × a, (4.44) otrzymamy J (r0 ) 1 1 = ∇r × J (r0 ) + ∇r ×J |r − r0 | |r − r0 | |r − r0 | r − r0 J×R =− ×J= , (|r − r0 |)3 R3 ∇r × (4.45) gdzie R = r − r0 jest wektorem poprowadzonym od elementu objętości dV 0 do punktu obserwacji P (r) (rys. 4.1). Ostatecznie wzory wyznaczające pola B i H w zależności od zadanego prądu stałego J mają postać µ B= 4π 1 H= 4π Z (4.46) V J×R 0 dV , R3 (4.47) V J×R 0 dV . R3 Z Mówimy o prądzie liniowym, jeśli prąd płynie wzdłuż pewnego konturu L o przekroju poprzecznym S, wówczas JdV 0 = Jτ Sds = Ids, (4.48) gdzie ds to element długości przewodnika o kierunku zgodnym z kierunkiem prądu i I to natężenie prądu, stałe wzdłuż całego konturu. Dla prądów liniowych całki objętościowe (4.46) i (4.47) 74 Rysunek 4.2: Pole przewodnika kołowego. przechodzą w całki po konturze, w którym płynie prąd Z ds × R µI , B= 4π L R3 Z I ds × R H= . 4π L R3 (4.49) (4.50) Wzór (4.46), lub (4.49) dla prądu liniowego, nazywamy prawem Biota–Savarta.. 4.3.2 Przykłady zastosowania prawa Biota–Savarta Pole magnetyczne na osi prądu kołowego o natężeniu I Pȩtla o kształcie okręgu o promie- niu r0 leży w płaszczyźnie xy, ze środkiem w początku układu współrzędnych (rys. 4.2). Chcemy wyznaczyć pole magnetyczne w punkcie (0, 0, h) na osi z, będącej osią symetrii zagadnienia. Element całkowania ds jest styczny do okręgu. Wektor R ze wzoru (4.50) można przedstawić jako sumę R = r0 + h, h = hn, (4.51) gdzie n oznacza wektor normalny do płaszczyzny koła. Po podstawieniu R ze wzoru (4.51) do (4.50) otrzymamy sumę dwóch całek I H= 4π I L I ds × h + 3 R 4π I L ds × r0 . R3 (4.52) Wielkość R3 jest stała, pierwsza z całek jest równa zeru, a druga, ze względu na prostopadłość wektorów ds i r0 I I r0 ds = 2πr02 n. ds × r0 = n L (4.53) Dla pola magnetycznego prądu kołowego otrzymamy wzór H= I 2πr02 I r02 n = n. 4π R3 2 (r2 + h2 )3/2 0 75 (4.54) Rysunek 4.3: Obliczanie pola magnetycznego odcinka z prądem. Pole magnetyczne prostoliniowego odcinka prądu Wyznaczamy pole magnetyczne wyt- warzane przez prąd o natężeniu I, płynący w odcinku przewodnika o długości `, położonego na osi y (rys. 4.3). Pole pochodzące od elementu odcinka ds w punkcie P odległym od prostej y o odcinek d, ze wzoru (4.50) jest równe dH = I ds × R . 4π R3 (4.55) Z definicji iloczynu wektorowego |ds × R| = dsR sin(ds, R) = d · dy. Co do modułu, pole magnetyczne w odległości d od odcinka będzie równe Z Id a dy I = H= (sin α1 + sin α2 ). 4π −(`−a) (d2 + y 2 )3/2 4πd (4.56) (4.57) Występującą w powyższym wzorze całkę wyliczyć można przez wprowadzenie zmiennej α y = tan α, d (4.58) czyli dy = d dα. cos2 α (4.59) d , cos α (4.60) Z kolei R= otrzymamy więc całkę Z a −(`−a) dy = (d2 + y 2 )3/2 Z α2 cos αdα = α1 76 1 (sin α2 − sin α1 ), d2 (4.61) Rysunek 4.4: Obliczanie potencjału wektorowego pra̧du elementarnego. i w konsekwencji wzór (4.57): α1 , α2 to kąty, pod jakimi widać końce odcinka z punktu P , wziȩte z odpowiednimi znakami. Kierunek i zwrot wektora H wynikać będzie z kierunku i zwrotu wektora ds × R. 4.3.3 Pole magnetyczne prądu elementarnego Ze względu na liczna zastosowania, zwłaszcza w mechanice kwantowej, ważne jest obliczenie pola magnetycznego pochodzącego od tzw. prądu elementarnego. Prądem elementarnym nazywamy prąd zamknięty, który płynie w obszarze o rozmiarach małych w stosunku do odległości do punktu obserwacji. Takim pra̧dem elementarnym jest elektron na zamkniȩtej orbicie: punkty obserwacji z dala od atomu z pewnościa̧ leża̧ daleko w porównaniu z rozmiarami atomu. Dla obliczenia pola magnetycznego wytwarzanego przez pra̧d elementarny obliczamy najpierw potencjał wektorowy z wzoru (4.42): oznaczenia jak na rys. 4.4 A(r) = µ 4π Z V JdV 0 . R (4.62) Obliczamy pole w punkcie P , początek układu umieszczony jest w punkcie O. O odległości do punktu obserwacji zakładamy, że jest duża w stosunku do rozmiarów obszaru, gdzie płynie prąd r0 ¿ 1, R r0 ¿ 1. r (4.63) Ponieważ R = r − r0 , (4.64) 1 1 =√ , R R2 (4.65) występującą pod całką wielkość 77 przedstawiamy jako 1 1 1 =√ = 2 0 02 R r r − 2rr + r µ 2rr0 r02 1− 2 + 2 r r ¶−1/2 . (4.66) Ze względu na założenie (4.63) zaniedbujemy r02 /r2 i rozwijamy nawias w szereg, otrzymując µ ¶−1/2 µ ¶−1/2 2rr0 1 2rr0 r02 rr0 1− 2 + 2 ≈ 1− 2 ≈1+ 2 , r r r r r (4.67) 1 rr0 1 = + 3. R r r (4.68) i w konsekwencji Wielkość r traktujemy w dalszym ciągu jako stałą, którą wyłączamy przed całkę, więc podstawiaja̧c (4.68) do wyrażenia na potencjał wektorowy (4.62) otrzymujemy Z Z µ µ 0 A= JdV + J(rr0 )dV 0 . (4.69) 4πr V 4πr3 V R W paragrafie 4.2 wykazywaliśmy, że całka typu JdV jest równa zeru. Pozostaje druga z całek. Korzystaja̧c z własności a × (b × c) = b(ac) − c(ab) = −(b × c) × a, (4.70) przekształcamy wyrażenie J(rr0 ) do postaci (r0 × J) × r = J(rr0 ) − r0 (Jr), (4.71) i J(rr0 ) można przedstawić jako J(rr0 ) = 1 0 1 (r × J) × r + [J(rr0 ) + r0 (Jr)]. 2 2 Wyrażenie na potencjał wektorowy przyjmie teraz postać Z Z µ µ 0 0 A= (r × J) × r dV + [J(rr0 ) + r0 (Jr)]dV 0 . 8πr3 V 8πr3 V Wykazać można [17], że całka (4.72) (4.73) Z [J(rr0 ) + r0 (Jr)]dV 0 , K= (4.74) V jest równa zeru. W tym celu mnożymy wyrażenie (4.74) przez pewien stały wektor a otrzymaując Z aK = [(aJ)(rr0 ) + (ar0 )(Jr)]dV 0 . (4.75) V Wykorzystując tożsamość wektorową ∇0 [(ar0 )(rr0 )] = a(rr0 ) + r(ar0 ), (4.76) gdzie ∇0 oznacza operacje pochodnych po zmiennych primowanych, przekształcamy wyrażenie podcałkowe w (4.75) do postaci (aJ)(rr0 ) + (ar0 )(Jr) = J∇0 [(ar0 )(rr0 )] = ∇0 [J(ar0 )(rr0 )] − (ar0 )(rr0 )∇0 J. 78 (4.77) Dla prądu stałego J ∇0 J = 0, (4.78) wiȩc całka (4.75) może być przekształcona w całkę powierzchniową, korzystając z twierdzenia Gaussa–Ostrogradskiego Z I ∇0 [J(ar0 )(rr0 )] dV 0 = aK = [J(ar0 )(rr0 )] dS = 0, V (4.79) S gdyż prądy płyna̧ wewna̧trz obszaru i nie przecinaja̧ powierzchni granicznej. Ponieważ wektor a jest dowolny, wiȩc musi być K = 0 i ostatecznie potencjał wektorowy prądu elementarnego jest równy µ A= 8πr3 Z µ (r × J) × r dV = 8πr3 V 0 ¶ µZ 0 Wektor M= 1 2 0 r × J dV 0 × r. (4.80) V Z r0 × J dV 0 , (4.81) V nazywamy magnetycznym momentem dipolowym prądu elementarnego. Z użyciem momentu dipolowego wyrażenie na potencjał wektorowy prądu elementarnego ma postać µ M×r , 4π r3 (4.82) µ M×r ∇× . 4π r3 (4.83) A= i pole magnetyczne B= W powyższym wzorze trzeba obliczyć wyrażenie typu ∇ × M × rf (r), f (r) = 1 , r3 (4.84) gdzie wektor M jest wektorem stałym. Wykorzystamy następującą metodę. Ogólnie, dla obliczenia ∇ × U × V, (4.85) stosujemy zasady obliczania pochodnej iloczynu, traktując raz jeden, raz drugi wektor jako stały: stały wektor odróżniamy przez podkreślenie ∇ × U × V = ∇ × U × V + ∇ × U × V. (4.86) Do podwójnych iloczynów wektorowych stosujemy formułę a × (b × c) = b(ac) − c(ab), (4.87) otrzymuja̧c ∇ × U × V = (V∇)U − V(∇U), ∇ × U × V = U(∇V) − (U∇)V. 79 (4.88) Wyrażenie U∇ rozumiemy jako operator różniczkowy U∇ = Ux ∂ ∂ ∂ + Uy + Uz . ∂x ∂y ∂z (4.89) Ostatecznie rotacja iloczynu dwóch funkcji wektorowych ma postać ∇ × U × V = (V∇)U − V(∇U) + U(∇V) − (U∇)V. (4.90) Stosuja̧c powyższy wzór do obliczenia wyrażenia (4.84) otrzymamy ∇ × M × rf (r) = + (rf ∇)M − rf (∇M) M(∇ · rf ) − (M∇)rf. (4.91) Operacje pochodnych zastosowane do stałego wektora M dają zero, ponadto ∇ · rf = ∇ · r = 0, r3 (4.92) pozostaje wiȩc ∇ × M × rf (r) = −(M∇)rf. (4.93) Stosując ponownie zasadę podkreślenia otrzymamy −(M∇)rf = −(M∇)rf − (M∇)rf = −f M − r(M∇)f = −f M − r(M∇f ) M 3r(Mr) =− 3 + , r r5 (4.94) gdyż ∇ 1 3 r =− 4 · . r3 r r (4.95) Podstawiając powyższe wyniki do wzoru (4.83) otrzymujemy wyrażenie na pole magnetyczne prądu elementarnego w zależności od momentu magnetycznego B= µ 4π µ 3r(Mr) M − 3 r5 r ¶ . (4.96) Struktura wzoru na pole magnetyczne prądu elementarnego (pole magnetyczne dipola magnetycznego) jest analogiczna do wzoru na pole elektryczne dipola elektrycznego (3.25) 1 E= 4π² µ 3r(pr) p − 3 5 r r gdzie p jest elektrycznym momentem dipolowym. 80 ¶ , (4.97) Rysunek 4.5: Pra̧d elementarny liniowy. Moment magnetyczny prądu elementarnego liniowego Jeśli prąd o natężeniu I płynie w płaskim obwodzie zamkniętym (kontur L) wówczas wzór na moment magnetyczny przybiera postać · I ¸ 1 0 M=I r × ds , (4.98) 2 L gdzie ds jest elementem liniowym obwodu (rys. 4.5). Moment magnetyczny jest prostopadły do płaszczyzny obwodu. Ponieważ 1 0 |r × ds| = dS, 2 (4.99) jest powierzchnią trójkąta o podstawie ds z wierzchołkiem w początku układu, to wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest wektorem powierzchni S = Sn i moment magnetyczny elementarnego pra̧du liniowego jest równy M = IS. (4.100) Jeśli prąd wynika z ruchu pewnej ilości ładunków punktowych qi poruszających się z prędkościami vi , to moment magnetyczny będzie proporcjonalny do momentu pędu poszczególnych ładunków. Gęstość takiego prądu wyraża siȩ wzorem J= X qi vi δ(r − ri ), (4.101) i gdzie δ jest funkcją(funkcjonałem) delta Diraca, a ri to wektor położenia i−tego ładunku. Ze wzoru na moment magnetyczny otrzymamy dla gęstości prądu (4.101) M= 1X qi (ri × vi ). 2 i (4.102) Iloczyn ri × vi występuje w momencie pȩdu i− tej cząstki Li = mi (ri × vi ), (4.103) gdzie mi oznacza jej masę. Na moment magnetyczny otrzymamy więc wzór M= X qi Li . 2mi i 81 (4.104) 4.3.4 Energia pola magnetycznego prądów stałych W ogólnym wzorze na energię pola elektromagnetycznego Z 1 W = (ED + HB)dV, 2 (4.105) V energię pola magnetycznego reprezentuje wyrażenie Z 1 HBdV. Wm = 2 (4.106) V Dokonamy jego przekształcenia z uwzględnieniem faktu, że B = ∇ × A, (4.107) otrzymując 1 2 Z HBdV = Z 1 2 H∇ × A dV V V = Z 1 2 ∇(A × H)dV + 1 2 V Z AJ dV, (4.108) V gdzie wykorzystaliśmy tożsamość ∇(U × V) = V · (∇ × U) − U · (∇ × V), (4.109) ∇ × H = J. (4.110) i równanie Tożsamość (4.109) wyprowadzić można w sposób analogiczny jak wzór (4.90) ∇(U × V) = ∇(U × V) + ∇(U × V) = V(∇ × U) − U(∇ × V), (4.111) gdzie wykorzystaliśmy własności iloczynu mieszanego wektorów a(b × c) = b(c × a) = c(a × b). (4.112) Całkę objętościową z dywergencji we wzorze (4.108) zamieniamy na całkę powierzchniową Z I ∇(A × H) = (A × H) dS. (4.113) ¯ ¯ V S Powierzchnia S może być dowolna, gdyż prądy płyną w skończonej objętości. Jako powierzchnię S przyjąć można powierzchnię kuli o promieniu R i rozpatrywać granicę R → ∞. Ze wzorów (4.82) i (4.96) wynika, że w tej granicy |A| ∝ 1 , R2 82 |H| ∝ 1 , R (4.114) podczas gdy powierzchnia kuli rośnie jak R2 , więc całka powierzchniowa w (4.113) zmierza do zera. Wyrażenie na energię magnetyczną prądu stałego o gęstości J przybiera więc postać Z 1 Wm = AJ dV. 2 (4.115) V Prąd J płynący w objętości V wytwarza w punktach r pole magnetyczne o potencjale wektorowym (4.62) A(r) = µ 4π Z J0 dV 0 . R (4.116) V Po podstawieniu tego wzoru do (4.115) otrzymamy Z Z µ JJ0 Wm = dV dV 0 , 8π R (4.117) V V gdzie R oznacza odległość między elementami dV i dV 0 . Wyrażenie JJ0 R (4.118) reprezentuje oddziaływanie między elementami prądu. Przechodząc do prądów liniowych rozpatrujemy układ przewodników liniowych, w kształcie krzywych Lk , w których płyną prądy o natężeniach Ik . Zastępując całkowanie objętościowe całkowaniem wzdłuż konturu, zgodnie ze wzorem (4.48), otrzymamy energię magnetyczną układu prądów liniowych w postaci Wm 1X = 2 Z 1X AIk ds = Ik 2 Lk k k Z A ds. (4.119) Lk Całki krzywoliniowe zamieniamy na całki powierzchniowe zgodnie z twierdzeniem Stokesa Z Z Z Ads = ∇ × A dS = B dS = Φk , (4.120) Lk Sk Sk gdzie Φk jest strumieniem magnetycznym przechodzącym przez powierzchnię Sk rozpiętą na krzywej Lk . Wzór (4.119) na energię układu prądów liniowych przybierze postać Wm = 1X Ik Φk , 2 (4.121) k gdzie suma przebiega po wszystkich przewodnikach liniowych. Jeśli występuje tylko jeden przewodnik, wówczas otrzymamy W = 1 IΦ. 2 (4.122) Dokonując analogicznego przejścia we wzorze (4.117) otrzymamy Z Z 1 Ji Jk 1X µ X Ii Ik dVi dVk = Lik Ii Ik , Wm = 8π Ii Ik Rik 2 i,k i,k Vi Vk 83 (4.123) gdzie wielkości Lik = 1 Ii Ik Z Z Vi Vk Ji Jk dVi dVk , Rik (4.124) nazywamy współczynnikami indukcji wzajemnej przewodników i-tego i k− tego; całkowanie przebiega po obszarach zajmowanych przez te przewodniki. Dla i = k współczynnik Lii nosi nazwę współczynnika indukcji własnej lub współczynnika samoindukcji. Jeśli rozpatrujemy tylko jeden przewodnik, energia magnetyczna jest równa Wm = 1 2 LI . 2 (4.125) Jest to wzór pozwalający wyznaczyć współczynnik samoindukcji L. Dla układu prądów liniowych płynących wzdłuż konturów Lk współczynniki indukcji wzajemnej wyznaczane są ze wzoru Z Z µ dsi dsk , (i 6= k), Lik = Lki . Lik = (4.126) 4π Rik Li Lk Porównując wyrażenia na energię (4.121) i (4.123) X Ik Φk = k X Ik à X ! Lik Ii , (4.127) i k otrzymujemy związek między strumieniami magnetycznymi i współczynnikami indukcji wzajemnej Φk = X Lik Ii . (4.128) i Dla pojedyńczego przewodnika Φ = LI. (4.129) Z powyższego wzoru odczytać można jednostkę samoindukcji, zwaną henrem [L] = 1 henr = 4.3.5 [Φ] 1 weber V·s = = . [I] 1 amper A (4.130) Siły mechaniczne w polu magnetostatycznym Pole magnetyczne B działa na ładunek q poruszający się z prędkością v siłą Lorentza F = q(v × B). (4.131) Uogólnieniem tego wzoru na przypadek strumienia ładunków o gęstości J poruszających się w elemencie objętości dV będzie dF = J × B dV. Całkowita siła działająca na prąd w objętości V będzie równa Z F= J × B dV. V 84 (4.132) (4.133) Dla prądu liniowego płynącego wzdłuż konturu L powyższy wzór przejdzie w dF = Ids × B, (4.134) jest to siła, z jaką pole magnetyczne o indukcji B działa na element prądu Ids. Siła ta nosi nazwę elektrodynamicznej. Siła działająca na cały kontur z prądem będzie całką Z F = I ds × B. (4.135) Jako przykład rozważmy dwa nieskończenie długie i równoległe przewodniki liniowe, oddalone o odcinek r, w których płyną prądy stałe o natężeniach odpowiednio I1 , I2 . Załóżmy, że oba przewodniki sa̧ w próżni. Przewodnik 1 wytwarza pole magnetyczne, które w odlełości r jest co do modułu równe B= µ0 I1 . 2πr (4.136) To pole działa na odcinek ` przewodnika 2 z siłą, F = I2 µ0 I1 . 2πr` (4.137) Jeśli przyjąć wielkości jednostkowe, I1 = I2 = 1 A, r = ` = 1 m, wówczas siła (w niutonach) będzie równa F = |µ0 |/2. (4.138) Wzór (4.138) może służyć jako definicja ampera: kładąc µ0 = 4π · 10−7 henr , m (4.139) otrzymamy F = 2 · 10−7 N, (4.140) z czego wynika definicja ampera: 1 amper jest to natężenie każdego z równych prądów, które płynąc w równoległych, nieskończenie długich przewodnikach ustawionych w odległości 1 m jeden od drugiego działają na każdy metr bieżący przewodnika siłą 2 · 10−7 niutona. Siła działająca na prąd elementarny Podobnie jak wyrażenie potencjału wektorowego i pola magnetycznego prądu elementarnego przez moment magnetyczny, wyrazimy siłę z jaką pole magnetyczne B(r) działa na prąd elementarny przez moment magnetyczny prądu. Umieszczamy obszar o objȩtości V , w którym płynie prąd J, w pobliżu początku układu (0, 0, 0). W pobliżu punktu (0, 0, 0) przedstawiamy pole B w postaci rozwinięcia gdzie B(r) = B0 + (r · ∇)B, (4.141) µ ¶ ∂ ∂ ∂ (r · ∇)B = x +y +z B, ∂x ∂y ∂z (4.142) 85 i wartości pochodnych obliczamy dla punktu (0, 0, 0): B0 = B(0, 0, 0) jest stałym wektorem. Po podstawieniu rozwinięcia (4.141) do wzoru na siłę (4.133) otrzymamy Z Z F= F × B0 dV + J × (r · ∇)B dV. V (4.143) j Korzystając ze związku Z JdV = 0, (4.144) V widzimy że pierwsza całka po prawej stronie (4.143) jest równa zeru. Pozostaje wzór na siłȩ w postaci Z F= J × (r · ∇)B dV. (4.145) V Obliczymy dla przykładu składową z siły, Fz Z Fz = [J × (r · ∇)B]z dV (4.146) ¶ ¶¸ µ Z V · µ ∂By ∂By ∂Bx ∂Bx ∂By ∂Bx = dV Jx x +y +z − Jy x +y +z . ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z V Zauważmy, że zgodnie z rozwinięciem (4.141) pochodne ∂x Bx , ∂y Bx itd. są w sensie całkowania stałymi współczynnikami. Przy obliczeniu składowej Fz wyznaczyć więc trzeba całki typu Z Z xJx dV, xJy dV, V itd. Zaczniemy od całki (4.147) V Z x Jx dV. (4.148) V Jak to już wielkokrotnie stosowaliśmy, staramy się przedstawić całkę objętościową jako całkę z dywergencji, następnie wykorzystywać zarówno fakt, że divJ = 0 i że prądy płyną wewnątrz zamkniętego obszaru i nie przepływają przez powierzchnię ograniczającą. Zgodnie z tym schematem, predstawiamy xJx jako xJx = ¢ 1 1 ¡ 1 J∇x2 = ∇ Jx2 − x2 ∇J. 2 2 2 (4.149) Wykorzystując znikanie dywergencji J wstawiamy pozostałe wyrażenie do całki (4.148) otrzymując Z x Jx dV = V 1 2 Z V ¡ ¢ 1 ∇ Jx2 dV = 2 Z ¡ S ¢ 1 Jx2 dS = 0 = 2 Z Jn x2 dS = 0 (4.150) S gdyż prądy nie przecinają powierzchni, czyli Jn = Jn = 0, (4.151) gdzie n jest wektorem normalnym do powierzchni S. Analogicznie wykazać można, że Z Z y Jy dV = V z Jz dV = 0. V 86 (4.152) Pokażemy, że całki typu Z Z xJy dV, yJz dV, . . . , V (4.153) V są składowymi wektora momentu pędu M. Rozważmy pierwszą z całek (4.153). Funkcję podcałkową przedstawimy w postaci xJy = xJy − yJx + yJx = 1 1 (xJy − yJx ) + (xJy + yJx ) . 2 2 (4.154) Można sprawdzić, że 1 1 J∇(xy) = (Jx y + Jy x) , 2 2 (4.155) 1 (Jx y + Jy x) = ∇(xy)J − (xy)∇J. 2 (4.156) i w konsekwencji Całka 1 2 Z (Jx y + Jy x) dV = V 1 2 Z ∇(xy)JdV = 0, (4.157) V na mocy używanych już argumentów. Pozostaje Z Z Z 1 xJy dV = (xJy − yJx ) dV = − yJx dV = Mz , 2 V V V (4.158) zgodnie z określeniem momentu magnetycznego (10.21). W sposób analogiczny dowodzi się, że Z Z yJz dV = − zJy dV = Mx , ZV ZV (4.159) zJx dV = − xJz dV = My . V V Wykorzystując wyniki (4.150), (4.152), (4.158) i (4.159) we wzorze na siłę (4.146) otrzymujemy Fz = −Mz ∂By ∂By ∂Bx ∂Bx + My − Mz + Mx . ∂y ∂z ∂x ∂z (4.160) Powyższe wyrażenie można uprościć uwzględniając III równanie Maxwella ∇B = 0 = ∂Bx ∂By ∂Bz + + , ∂x ∂y ∂z (4.161) i wyliczając ∂Bz ∂Bx ∂By =− − . ∂y ∂z ∂x To wyrażenie podstawiamy do równania (4.160) otrzymując µ ¶ ∂Bz ∂Bx ∂By ∂Bx ∂Bx Fz = Mz + + My − Mz + Mx ∂z ∂x ∂z ∂x ∂z ∂By ∂Bz ∂B ∂Bx + My + Mz =M . = Mx ∂z ∂z ∂z ∂z (4.162) (4.163) Analogiczne rozumowanie da dla pozostałych składowych siły Fx = M ∂B , ∂x Fy = M 87 ∂B . ∂y (4.164) Ostatecznie wzór na siłę działającą w polu B na prąd elementarny ma postać Fx = M ∂B , ∂x Fy = M ∂B , ∂y Fz = M ∂B , ∂z (4.165) lub wektorowo F = (M∇)B. (4.166) Sile (4.166) odpowiada energia potencjalna W W = −MB, (4.167) F = −∇W. (4.168) ponieważ Skorzystaliśmy przy tym z tożsamości (np. podręcznik Karaśkiewicza [12]) ∇(MB) = (B∇)M + (M∇)B + B × (∇ × M) +M × (∇ × B) = (M∇)B, (4.169) gdyż operacje pochodnych w zastosowaniu do stałego wektora M dają zero i dla pól stałych ∇ × B = 0. (4.170) W = −M B cos θ. (4.171) Jeśli θ to kąt między wektorami W i B, to Pochodna N =− ∂W = M B sin θ, ∂θ (4.172) jest siłą uogólnioną odpowiadającą współrzędnej uogólnionej θ: w tym wypadku jest to moment siły N = M × B. (4.173) Moment siły obraca dipol magnetyczny w taki sposób, by nadać mu kierunek zgodny z zewnętrznym polem magnetycznym. 88 Rozdział 5 Quasistacjonarne pole magnetyczne 5.1 Równania pola Pole elektromagnetyczne nazywamy quasistacjonarnym w dwóch przypadkach: 1. zmienia się ono dostatecznie powoli w czasie tak że prąd przesunięcia jest mały w stosunku do prądu przewodzenia |J| À |Jprzes | . (5.1) Np. jeśli natężenie pola elektrycznego ma harmoniczną zależność od czasu E = E0 eiωt , (5.2) wówczas wielkość prądu przesunięcia jest proporcjonalna do ω Jprzes = Ḋ = iω²eiωt , (5.3) a prąd przewodzenia jest proporcjonalny do przewodności σ J = σE0 eiωt . (5.4) Warunek quasistacjonarności (5.1) sprowadza się w tym przypadku do warunku |Jprzes | ²ω = ¿ 1. |J| σ (5.5) Np. dla metali ² ≈ ²0 , σ jest rzędu 107 1/Ωm i warunek (5.5) wyznacza obszar częstotliwości, dla których pole można uznać za quasistacjonarne ω ¿ σ ≈ 1018 . ² 89 (5.6) 2. zmiany pola zachodzą tak powoli, że można pominąć efekt opóźnienia wynikający ze skończonej prędkości rozchodzenia się fali. Np dla fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku x w próżni ³ ³ x´ x´ E(x, t) = E0 exp iωt − iω = E0 exp iωt − 2πi , c λ (5.7) gdzie λ jest długością fali. Pole będzie quasistacjonarne, jeśli rozmiary liniowe obiektu są dużo mniejsze od długości fali, czyli gdy x ¿ λ, wówczas x/λ ¿ 1 i można zaniedbać efekt opóźnienia. Dla pól quasistacjonarnych równania Maxwella przybierają postać ∇×E = −Ḃ, ∇×H = J, ∇B = 0, ∇D = ρ, B = µH, D = ²E, (5.8) J = σ(E + Eprzył ). Zgodnie z założeniem quasistacjonarności w drugim równaniu Maxwella opuszczony jest prąd przesunięcia. Dla pól quasistacjonarnych pola elektryczne i magnetyczne są ze sobą sprzężone i nie można ich rozpatrywać oddzielnie. Równania Maxwella rozwiązujemy przy pomocy wprowadzonych uprzednio potencjału wektorowego A i skalarnego ϕ. Potencjał A związany jest z polem B równaniem (4.28) i zakładamy cechowanie kulombowskie (4.32). Podstawiając wyrażenie na pole magnetyczne (4.28) do pierwszego równania Maxwella, otrzymamy ∇×E=− co jest równoważne równaniu ∂ (∇ × A), ∂t ³ ´ ∇ × E + Ȧ = 0. (5.9) (5.10) Rotacja jest równa zeru, gdy nawias w powyższym równaniu jest gradientem jakiejś funkcji ϕ E + Ȧ = −∇ϕ, (5.11) E = −Ȧ − ∇ϕ, (5.12) i otrzymujemy wyrażenie na pole E 90 gdzie ϕ jest potencjałem skalarnym. W sumie pola E i B wyrażają się przez potencjały A i ϕ jako B = ∇ × A, E = −Ȧ − ∇ϕ, (5.13) Potencjały z kolei wyliczamy znając źródła pola, gęstość ładunku ρ i gęstość prądu J ∇ × ∇ × A = µJ, (5.14) ρ ∇2 ϕ = − . ² (5.15) Równanie na potencjał skalarny (5.15) jest takie samo jak w elektrostatyce, co wynika z pominięcia efektów opóźnienia. Również równanie na potencjał wektorowy jest analogiczne jak w magnetostatyce, tym razem jednak potencjał zależy od zmiennych przestrzennych i od czasu. 5.2 Układ przewodników z uwzględnieniem indukcji wzajemnej oraz samoindukcji 5.2.1 Prawo Ohma w postaci całkowej z uwzględnieniem indukcji elektromagnetycznej Dzięki zjawisku indukcji elektromagnetycznej prądy płynące w różnych przewodnikach, a także różne elementy prądu płynącego w jednym przewodniku, wzajemnie na siebie oddziałują. Rozpatrujemy układ N przewodników liniowych w postaci krzywych zamkniętych Lk . Dla k-tego przewodnika stosujemy prawo Ohma w postaci różniczkowej J = σ (E + Eprzył ) . (5.16) Po przekształceniach, obliczamy całkę wzdłuż krzywej zamkniętej Lk I Jds = σ Lk I I Eds + Lk Eprzył ds. (5.17) Lk W przewodniku liniowym gęstość prądu jest równoległa do elementu łuku ds, więc lewa strona równania (5.17) jest równa I Lk Jds = σ I Lk Jds = σ I ds I = Lk σ S I IdR = Ik Rk , (5.18) Lk gdyż natężenie prądu w przewodniku zamkniętym jest wszędzie takie samo, a Rk to całkowity opór k-tego przewodnika. Prawa strona składa się z dwóch wyrażeń I Eprzył ds = Ekprzył , Lk 91 (5.19) czyli zewnętrznej siły elektromotorycznej działającej w k-tym przewodniku i I I Z Z ∂ ∂ dΦk Eds = (−Ȧ − ∇ϕ)ds = − (∇ × A)dS = − B dS = − , ∂t Sk ∂t Sk dt Lk Lk (5.20) przy założeniu, że kształt obwodu nie zmienia się w czasie. W sumie otrzymaliśmy dla k-tego przewodnika równanie Ik Rk = Ekprzył − dΦk . dt (5.21) Dla układu N przewodników strumienie magnetyczne Φk wyrażają się wzorem Φk = N X (5.22) Lki Ii , i=1 co po podstawieniu do równania 5.21) daje Ik Rk = Ekprzył − N X i=1 Lki dIi , dt (k = 1, 2, . . . , N ), (5.23) co stanowi układ N równań na N niewiadomych I1 , . . . , IN . 5.2.2 Układ dwóch przewodników. Transformator Rozważamy dwa obwody (przewodniki) 1 i 2. Równanie (5.23) przybierze postać µ ¶ dI1 dI2 I1 R1 = E1przył − L11 + L12 , dt dt µ ¶ dI1 dI2 I2 R2 = E2przył − L21 + L22 . dt dt (5.24) Wyrażenie −L11 dI1 dt to siła elektromotoryczna samoindukcji w pierwszym przewodniku, −L12 dI2 dt to SEM samoindukcji powstająca w pierwszym obwodzie wskutek zmian pola magnetycznego od prądu I2 w drugim obwodzie. Rozpatrujemy sytuację typową dla transformatora, gdy do obwodu 1 przyłożona jest zewnętrzna siła elektromotoryczna E1przył = E10przył eiωt , (5.25) a siła elektromotoryczna E2przył = 0. Przy tych danych poszukujemy rozwiązania układu (5.24) w postaci Ij = Ij0 eiωt , (5.26) otrzymując układ równań liniowych I10 (R1 + iωL11 ) + I10 (iωL21 ) + iωL12 I20 = I20 (R2 + iωL22 ) = 0. 92 E10przył , Rysunek 5.1: Schemat obwodu elektrycznego z pojemnością i samoindukcją Oznaczając wyznacznik główny powyższego układu równań przez ∆, otrzymujemy rozwiązania w postaci 1 E10przył (R2 + iωL22 ), ∆ 1 = − iωL21 E10przył . ∆ I10 = I20 (5.27) W praktyce istotny jest stosunek natężeń w obwodzie 1 (część sieci przesyłowej) i obwodzie 2 (sieć lokalna) I20 −iωL21 = . I10 iωL22 + R2 (5.28) Ponieważ dla częstotliwości prądu w sieci przesyłowej najczęściej ωL22 À R2 , więc dla natężeń otrzymamy zależność |I20 | L21 ≈ . |I10 | L22 (5.29) Dobierając współczynniki samoindukcji L22 i indukcji wzajemnej L21 można w pożądany sposób zmieniać natężenia z I10 na I20 . 5.2.3 Obwód elektryczny z pojemnością i samoindukcją Rozważamy obwód elektryczny, tzw. obwód LC, schematycznie przedstawiony na rys. 5.1, podłączony do zewnętrznej siły elektromotorycznej, zawierający kondensator K o pojemności C i przewodnik o współczynniku samoindukcji L. Kondensator stanowi przerwę w obwodzie. Uogólnione prawo Ohma J = E + Eprzył , σ scałkujemy po krzywej L łączącej okładki kondensatora wzdłuż obwodu Z 2 Z 2 Z 2 Jds = Eds + Eprzył ds. σ 1 1 1 Całka po lewej stronie da spadek napięcia w obwodzie Z 2 Z 2 Jds = IdR = IR. σ 1 1 93 (5.30) (5.31) (5.32) Całki po prawej stronie równe są odpowiednio przyłożonej sile elektromotorycznej Z 2 Eprzył ds = Eprzył (5.33) 1 i Z Z 2 2 Eds = − 1 1 ∂ ∇ϕ ds − ∂t Z 2 Ads = − (ϕ2 − ϕ1 ) − 1 dΦ . dt (5.34) Otrzymaliśmy równanie IR = Eprzył − (ϕ2 − ϕ1 ) − dΦ . dt (5.35) Ponieważ wcześniej otrzymaliśmy zależność Φ = L I, (5.36) a spadek napięcia na kondensatorze związany jest z ładunkiem okładek i pojemnością poprzez relację ϕ2 − ϕ1 = q , C (5.37) równanie (5.35) przepiszemy w postaci L dI q + RI + = Eprzył . dt C (5.38) Wielkość ładunku na okładkach kondensatora jest trudno mierzalna, więc różniczkując obie strony po czasie, z wykorzystaniem definicji natężenia prądu I= dq , dt (5.39) otrzymujemy ostatecznie równanie L d2 I dI 1 dEprzył +R + I= , 2 dt dt C dt (5.40) w analogii do równania oscylatora harmonicznego z tłumieniem i siłą wymuszającą m d2 x dx +γ + kx = F. dt2 dt (5.41) Zanim przedyskutujemy ogólne rozwiązanie równania (5.40), rozpatrzymy przypadki szczególne. Włączanie i wyłączanie stałej siły elektromotorycznej Rozpatrujemy obwód przedstawiony na schemacie 5.1, ale bez kondensatora. Pomijając człon związany z pojemnością w równaniu (5.38), otrzymujemy równanie L dI + RI = Eprzył . dt (5.42) Niech w chwili t = 0 zostaje włączona stała SEM E0przył . Szukamy zależności natężenia prądu od czasu I = I(t), przy warunku I(0) = 0. Zakładamy, że rozwiązanie ma postać I(t) = A1 eαt + A2 . 94 (5.43) Rysunek 5.2: Przebieg w czasie natężenia prądu przy włączaniu i wyłączaniu stałej siły elektromotorycznej Podstawiając taką funkcję do równania (5.42) otrzymamy rozwiązanie ´ Eprzył ³ I(t) = 1 − e−Rt/L . R (5.44) Rozwiązanie to opisuje zachowanie natężenia prądu przy włączaniu stałej siły elektromotorycznej: natężenie narasta od wartości początkowej 0 do wartości asymptotycznej I(t → ∞) = Eprzył , R (5.45) wynikającej z prawa Ohma. Odcinek czasu τ , po którym prąd osiąga 1/e wartości asymptotycznej, a po upływie czasu τ ln 2 ≈ 0.693τ połowę wartości asymptotycznej, nazywamy czasem relaksacji τ (także indukcyjna stała czasowa τ = τL ). τ= L . R (5.46) Przy wyłączaniu siły elektromotorycznej w chwili początkowej natężenie dane jest wzorem (5.45), a zanikanie natężenia do zera opisuje równanie I(t) = Eprzył −Rt/L Eprzył −t/τ e = e . R R (5.47) W tym wypadku po upływie czasu τ natężenie osiąga 1/e wartości początkowej. Oba przebiegi ilustruje rys. 5.2. Rozładowanie i ładowanie kondensatora Analogiczne przebiegi czasowe otrzymamy dla obwodu, który zawiera tylko opór omowy R i kondensator o pojemności C naładowany do napięcia q/C (tzw. obwód RC). Po zamknięciu obwodu, przez opór R płynie prąd rozładowania o natężeniu I. W tym przypadku równanie (5.38) przybiera postać RI + q = 0, C (5.48) lub R dq q + = 0, dt C 95 (5.49) stąd dt dq =− . q RC (5.50) Rozwiązaniem tego równania jest q = q0 e−t/RC = q0 e−t/τ , τ = RC, (5.51) gdzie q0 jest ładunkiem kondensatora w chwili początkowej i τ jest czasem relaksacji. Biorąc pochodną po czasie otrzymamy wzór na natężenie prądu rozładowania I = I0 e−t/τ , (5.52) q0 . RC (5.53) gdzie I0 = − Z kolei proces ładowania oznacza obecność w obwodzie stałej siły elektromotorycznej Eprzył . Równanie (5.38) przybierze postać −Eprzył + q + RI = 0, C (5.54) albo −Eprzył C + q + RC dq = 0. dt (5.55) Jeśli w chwili t = 0 kondensator jest nienaładowany, to q(t = 0) = 0 i rozwiązanie powyższego równania ma postać ³ ´ q(t) = Eprzył C 1 − e−t/(RC) , (5.56) I = I0 e−t/(RC) . (5.57) a natężenie prądu ładowania 5.2.4 Obwód drgający Przy zaniedbaniu oporu omowego R (tzw. obwód LC) i bez przyłożonej do obwodu SEM (Eprzył = 0), równanie (5.40) przybiera postać lub d2 I 1 + I = 0, dt2 LC (5.58) d2 I + ω 2 I = 0, dt2 (5.59) gdzie ω=√ 1 . LC (5.60) Równanie (5.59) jest równaniem typu oscylatora harmonicznego, o rozwiązaniach okresowych I(t) = A sin ωt + B cos ωt. 96 (5.61) Jeśli w obwodzie LC wzbudzimy natężenie prądu, wówczas zmienia się ono w sposób oscylacyjny: mówimy wtedy o drganiach prądu i o obwodzie drgającym. Wzór na okres drgań T = √ 2π = 2π LC, ω (5.62) znany jest pod nazwą wzoru Thomsona. 5.2.5 Przypadek ogólny Rozważamy obwód zawierający opór omowy R, konsensator o pojemności C i samoindunkcję L. Niech do obwodu przyłożona będzie zmienna w czasie SEM Eprzył = E0 e−iωt . (5.63) Szukamy rozwiązania równania (5.40) w postaci I = I0 e−iωt . Po podstawieniu do równania (5.40) otrzymujemy µ ¶ 1 2 −Lω − Riω + I = −iωEprzył , C (5.64) (5.65) stąd gdzie wielkość ZI = Eprzył , (5.66) µ ¶ 1 Z = R − i ωL − , ωC (5.67) ma charakter zespolonego oporu i nazywane jest zawadą (impedancją), o module s µ ¶2 1 2 |Z| = R + ωL − . ωC (5.68) Ze wzoru I= E0 −i(ωt−ψ) e , |Z| (5.69) otrzymujemy wartość przesunięcia fazowego ψ 1 tan ψ = R µ ¶ 1 ωL − , ωC (5.70) 1 . LC (5.71) i położenie rezonansu: ω = ω0 = √ Dla Eprzył = 0 otrzymujemy drgania o częstości kołowej wynikającej z równania −Lω 2 − Riω + 97 1 = 0, C (5.72) o pierwiastkach s R ω = −i ± 2L 1 − LC µ R 2L ¶2 . (5.73) Jeśli wybieramy rozwiązanie typu exp(−iωt), wówczas sens fizyczny ma pierwiastek spełniający zależność (5.74) Re(−iω) < 0. Dla 1/LC > R/2L otrzymujemy drgania periodyczne gasnące I = I0 e−βt e−iω̃t , gdzie s ω̃ = 1 − LC µ R 2L (5.75) ¶2 . (5.76) Czynnik β= R , 2L (5.77) nosi nazwę dekrementu logarytmicznego drgań. Dla 1/LC < R/2L otrzymujemy drgania gasnące aperiodyczne. 98 Rozdział 6 Emisja fal elektromagnetycznych 6.1 Ogólne rozwia̧zanie równań Maxwella przy pomocy potencjałów Rozważamy pełny układ równania Maxwella, dla dielektryków jednorodnych i izotropowych, czyli o stałych materiałowych σ = 0, µ, ² = const. (6.1) Równania Maxwella ła̧cznie z równaniami materiałowymi maja̧ postać ∇×E = −Ḃ, ∇×H = Ḋ + J, ∇B = 0, ∇D = ρ, B = µH, D = ²E, J = Jprzył . (6.2) Układ równań (6.2) rozwiążemy przy użyciu wprowadzonych uprzednio potencjałów, wektorowego A i skalarnego ϕ, związanych z wektorami pola przez relacje B = ∇ × A, E = −Ȧ − ∇ϕ. (6.3) Podstawiając tak wyrażone pola E, B do równań Maxwella otrzymamy następujący układ równań 1 ∇×∇×A µ = ∇(−Ȧ − ∇ϕ) = −²Ä − ²∇ϕ̇ − Jprzył , ρ . ² 99 (6.4) W dalszym ciągu używać będziemy współrzędnych prostokątnych, gdzie słuszny jest związek ∇ × ∇ × A = ∇(∇A) − ∇2 A. (6.5) Przy jego wykorzystaniu równania na potencjały przybierają postać ∇2 A − µ²Ä = ∇(∇A + ²µϕ̇) − µJprzył , ρ ∇2 ϕ = − − ∇Ȧ. ² (6.6) Jak widzieliśmy w poprzednich rozdziałach, potencjały nie są wyznaczone jednoznacznie, można wiȩc nałożyć dodatkowy warunek. Warunek ten nosi nazwę warunku Lorentza ∇A + µ²ϕ̇ = 0. (6.7) Przy spełnieniu tego warunku równania na potencjały przybierają prostą postać ∇2 A − µ²Ä = ∇2 ϕ − µ²ϕ̈ = −µJprzył , ρ − . ² (6.8) Równania te zapisać można przy użyciu operatora d’Alemberta: ∇2 − µ² ∂2 , ∂t2 (6.9) tak że układ równań Maxwella (6.2) zastąpiony jest równoważnym układem równań na potencjały µ ¶ ∂2 ∇2 − µ² 2 A ∂t ¶ µ ∂2 ∇2 − µ² 2 ϕ ∂t ∇A + µ²ϕ̇ = −µJprzył = −µJ, ρ − , ² = 0. = (6.10) Zaletą tego układu jest rozdzielenie niewiadomych funkcji A, ϕ. Oba równania na potencjały są równaniami różniczkowymi drugiego rzędu o pochodnych cząstkowych i mają strukturę którą nazywamy niejednorodnym równaniem d’Alemberta. Niejednorodne równania różniczkowe można rozwiązywać przy użyciu metody funkcji Greena. Metodzie tej i jej zastosowaniu do rozwiązania równania d’Alemberta poświęcony jest następny podrozdział. 6.2 6.2.1 Funkcja Greena dla równania d’Alemberta Pojęcie funkcji Greena Dla równania różniczkowego Lϕ (x1 , . . . , xn ) = −f (x1 , ..., xn ) , 100 (6.11) gdzie L jest pewnym operatorem różniczkowym L = a0 + n X ai i=1 n X ∂2 ∂ + aij + ... , ∂xi i,j=1 ∂xi ∂xj (6.12) o stałych współczynnikach a0 , a1 , . . ., rozwiązanie można formalnie zapisać przy użyciu operatora odwrotnego L−1 , o własności LL−1 = 1, (6.13) ϕ = −L−1 f + ϕ0 , (6.14) jako gdzie ϕ0 jest rozwiązaniem równania jednorodnego Lϕ0 = 0. Np. dla funkcji jednej zmiennej, dla operatora pierwszej pochodnej L= d , dx (6.15) operatorem odwrotnym jest operacja całkowania d ϕ(x) = −f (x) dx Z → x ϕ(x) = − f (x0 ) dx0 + ϕ0 , (6.16) a gdzie Lϕ0 = 0. Dla znalezienia postaci operatora odwrotnego do operatora różniczkowego (6.12) posłużymy się własnościami funkcjonału Diraca δ(x). Dla funkcji jednej zmiennej funkcjonał Diraca przyporządkowuje funkcji f (x) jej wartość w pewnym punkcie x0 Z∞ f (x)δ (x − x0 ) dx = f (x0 ). (6.17) −∞ Definicję powyższą rozszerza się na układ wielu zmiennych jako Z Z f (x1 , . . . , xn ) = . . . f (x01 , x02 , . . . , x0n ) δ (x01 − x1 , . . . , x0n − xn ) dx01 dx02 . . . dx0n . (6.18) Funkcjonał Diraca, zwykle zwany funkcją Diraca, nie jest funkcją w zwykłym sensie, ale można przedstawić go jako granicę ciągu funkcji k π (1 + x2 ) 1 sin x lim k→∞ π x r k −kx2 /2 lim e k→∞ 2π lim k→∞ = δ(x), (6.19) = δ(x), (6.20) = δ(x). (6.21) Funkcja Diraca ma przedstawienie Fouriera Z Z 0 0 1 δ (x01 − x1 , . . . , x0n − xn ) = . . . eik1 (x1 −x1 )+...+ikn (xn −xn ) dk1 . . . dkn . (2π)n (6.22) Przedstawienie Fouriera wykorzystamy do wyprowadzenia wzoru na operator odwrotny L−1 . Wprowadzamy skrótowe oznaczenia x = (x1 , . . . , xn ) , dx = dx1 . . . dxn . 101 (6.23) Dla równania różniczkowego (6.11) definiujemy funkcję Greena jako funkcję 2n zmiennych G (x, x0 ) = G1 (x, x0 ) + G0 (x, x0 ) , (6.24) gdzie funkcje G1 , G0 spełniają równania LG1 (x, x0 ) = −δ (x − x0 ) , (6.25) LG0 (x, x0 ) = 0. (6.26) Funkcję G1 nazywamy funkcją Greena osobliwą, lub częścią osobliwą funkcji Greena; funkcja G0 jest częścią jednorodną. Przy użyciu funkcji Greena G rozwiązanie równania (6.11) zapiszemy jako Z ϕ(x) = dx0 G(x, x0 )f (x0 ). (6.27) Dla sprawdzenia podstawiamy funkcję ϕ w postaci (6.27) do wyjściowego równania (6.11). Pamiętając, że operator L działa na zmienne nieprimowane, otrzymamy Z dx0 {L [G1 (x, x0 ) + G0 (x, x0 )]} f (x0 ) = −f (x), czyli Z (6.28) Z dx0 {L [G1 (x, x0 )]} f (x0 ) = − f (x0 ) δ (x − x0 ) dx0 = −f (x). (6.29) Użycie funkcji Greena daje rozwiązanie równania różniczkowego w postaci całki z funkcji źródła f (x) z funkcją Greena. Oddzielnym problemem jest znalezienie postaci funkcji Greena dla danego operatora różniczkowego. Jedną z możliwych metod jest wykorzystanie własności transformaty Fouriera (6.22). Zapisując formalne rozwiązanie równania (6.25) w postaci G1 (x − x0 ) = −L−1 δ (x − x0 ) , (6.30) podstawiamy po prawej stronie transformatę (6.22) Z 0 1 −1 G1 = −L eik(x−x ) dk, (2π)n (6.31) gdzie w dalszym ciągu stosujemy notację (6.23). Operacja LG jest przykładem zagadnienia własnego typu Lψ = λψ, (6.32) gdzie λ jest pewną liczbą. Dla operatora różniczkowego (6.12) otrzymujemy Leik(x−x ) = (a0 + ik` a` − a`m k` km + . . .) eik(x−x ) , 0 0 (6.33) z użyciem konwencji sumacyjnej. Jeśli λ jest wartością własną operatora L, to λ−1 jest wartością własną operatora L−1 , więc dla równania (6.31) otrzymujemy 1 G1 = − (2π)n Z eik(x−x ) d k . a0 + ik` a` − a`m k` km + . . . 0 n 102 (6.34) Ogólną formułę (6.34) zastosujemy dla przypadku trójwymiarowego równania Poissona ∇2 ϕ(r) = −f (r). (6.35) Operator L ma w tym przypadku postać L= ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 + + = + + . ∂x21 ∂x22 ∂x23 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 (6.36) Część osobliwa funkcji Greena trójwymiarowego równania Posissona spełnia równanie ∇2 G1 = −δ (r − r0 ) . (6.37) Zgodnie z metodą wyprowadzenia wzoru (6.34), obliczamy Leik(r−r ) = −k 2 eik(r−r ) , 0 0 więc po podstawieniu do wzoru (6.34) otrzymamy Z i(k(r−r0 )) 1 0 3 e . G1 (r, r ) = d k (2π)3 k2 (6.38) (6.39) Wprowadzając w przestrzeni k współrzędne sferyczne k, θ, φ i wybierając (r − r0 ) k z, otrzymamy 1 G1 (r, r ) = (2π)3 Z∞ 0 Z2π dk 0 Z π dφ sin θdθeikr cos θ , (6.40) 0 0 0 gdzie r = |r − r |. Całki po θ i φ da się bezpośrednio otrzymać i 1 G1 (r) = 2π 2 Korzystając z całki Z∞ 0 Z∞ dk 0 sin kr . kr sin ax π = sign(a) , x 2 (6.41) (6.42) otrzymujemy ostatecznie na częć G1 funkcji Greena równania Poissona wyrażenie G1 (r) = G1 (r) = 1 . 4πr (6.43) Mając funkcję Greena, rozwiązanie podstawowego równania elektrostatyki ρ ∇2 ϕ = − , ² (6.44) zapisujemy w postaci ϕ(r) = 1 4π² Z ρ (r0 ) d3 r0 + rozw. równania jednor.. |r − r0 | Dla obliczenia funkcji Greena równania d’Alemberta µ ¶ ∂2 2 ∇ − µ² 2 ϕ = −f, ∂t G = G (r, r0 , t, t0 ) , wykorzystujemy własności symetrii: 103 (6.45) (6.46) • jednorodność czasu i przestrzeni G = G (r − r0 , t − t0 ) , czyli (6.47) Z ϕ(r, t) = f (r0 , t0 ) G (r − r0 , t − t0 ) d3 r0 dt0 , gdzie funkcja Greena spełnia z definicji (6.25) równanie µ ¶ ∂2 ∇2 − µ² 2 G = −δ (r − r0 ) δ (t − t0 ) = −δ(r)δ(t), ∂t (6.48) (6.49) przy oznaczeniach r − r0 = r, t − t0 = t. Ponieważ w granicy ∂/∂t → 0 funcja Greena równania d’Alemberta winna przejść w izotropową funkcję Greena równania Poissona (6.43), poszukujemy rozwiązania o własności G (r − r0 ; t − t0 ) = G (|r − r0 | ; t − t0 ) = G(r, t) Z∞ Ĝ(r, ω)e−iωt dω, G(r, t) = (6.50) (6.51) −∞ gdzie Ĝ jest transformatą Fouriera funkcji G. Spełnia ona równanie ∇2 Ĝ + gdzie 1/υ = √ ³ ω ´2 υ Ĝ = − 1 δ(r), 2π ²µ. Z założenia izotropowości otrzymamy dla r 6= 0 równanie à ! 1 d ω2 2 dĜ r + Ĝ = 0. r2 dr dr υ2 Równanie to rozwiążemy wykorzystując tożsamość à ! 1 d 1 d2 2 dĜ r = (Ĝ · r), 2 r dr dr r dr2 (6.52) (6.53) (6.54) która sprowadza równanie (6.53) do postaci ³ ω ´2 d2 χ + χ = 0, dr2 υ (6.55) χ = Ĝr. (6.56) gdzie Ponieważ rozwiązania równania (6.55) mają postać ³ω ´ ³ ω ´ χ = a1 exp i r + a2 exp −i r , υ υ dla funkcji Ĝ otrzymujemy ω Ĝ = a1 ω ei υ r e−i υ r + a2 . r r 104 (6.57) (6.58) Biorąc równanie (6.52) widzimy, że w granicy ω → 0, z dokładnością do czynnika 2π, równanie (6.52) przechodzi w równanie dla funkcji Green’a równania Poissona, więc musi zachodzić 2π Ĝ = GPoisson , (6.59) a stąd wynika równanie dla współczynników a1 , a2 a1 + a2 = 1/8π 2 . (6.60) Podstawiając Ĝ z równania (6.58) do wyrażenia na funkcję Greena (??), przy wykorzystaniu transformaty Fouriera delty Diraca, otrzymamy G(r, t) = 2πa1 δ(t − r/υ) δ(t + r/υ) + 2πa2 . r r (6.61) Część zawierającą δ(t−r/υ) nazywamy opóźnioną (retardowaną), a część z δ(t+r/υ) przedwczesną (awansowaną). Biorąc pod uwagę tylko część opóźnioną rozwiązań, z uwzględnieniem (6.60), otrzymamy 1 ³ r´ G(r, t) = (6.62) δ t− , 4πr υ i przedstawiamy ogólne rozwiązanie równań na potencjały elektromagnetyczne retardowane w postaci A(r, t) = A(x, y, z, t) = ϕ(r, t) = ϕ(x, y, z, t) = Z µ J (x0 , y 0 , z 0 , t − r/υ) 0 dV , 4π r Z 1 ρ (x0 , y 0 , z 0 , t − r/υ) 0 dV , 4π² r (6.63) podczas gdy biorąc pod uwagę czynnik δ(t + r/v) otrzymalibyśmy potencjały przedwczesne (awansowane) A(r, t) = A(x, y, z, t) = ϕ(r, t) = ϕ(x, y, z, t) = Z µ J (x0 , y 0 , z 0 , t + r/υ) 0 dV , 4π r Z 1 ρ (x0 , y 0 , z 0 , t + r/υ) 0 dV . 4π² r (6.64) O wyborze potencjałów retardowanych decyduje zasada przyczynowości. 6.3 Promieniowanie dipola Hertza Dipolem Hertza nazywamy krótki odcinek przewodu prostoliniowego, w którym płynie prąd zmienny I = I0 exp(iωt). (6.65) Długość odcinka wynosi `. Układ współrzędnych kulistych wybieramy w ten sposób, by przewód leżał na osi 0z, a jego środek w początku układu współrzędnych (p. rys. 6.1). Stosuja̧c wzór Z µ J (x0 , y 0 , z 0 , t − r/υ) 0 A(r, t) = A(x, y, z, t) = dV , (6.66) 4π r 105 wykonujemy całkowanie tylko wzdłuż osi 0z, gdyż Jz dV 0 → Idz, otrzymując Z `/2 µ I0 exp [iω (t − r/υ)] √ dz, υ = 1/ ²µ. 4π −`/2 r Zakładając, że długość przewodu jest mała w porównaniu z odległością r mamy Az = Az = µ`I0 exp [iω (t − r/v)] , 4πr (6.67) (6.68) czyli wyrażenie na potencjał wektorowy pola wytwarzanego przez znany prąd. Dla obliczenia wyrażeń na natężenie pola elektrycznego i indukcję magnetyczną wyrazimy potencjał wektorowy we współrzędnych kulistych (sferycznych): Ar Aθ Aφ µ`I0 µ`I0 −ikr iωt exp [iω (t − r/v)] cos θ = e e cos θ, 4πr 4πr µ`I0 = −Az sin θ = − exp [iω (t − r/v)] cos θ 4πr µ`I0 −ikr iωt = − e e sin θ, 4πr = 0, k = ω/υ. = Az cos θ = Z definicji B = rotA, wykorzystując wzór na rotację we współrzędnych kulistych, ¯ ¯ ¯ er ¯ eφ eθ ¯ r2 sin θ r sin ¯ θ r ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ ∂ ∂ rotA = ¯ ∂r ¯, ∂θ ∂φ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Ar rAθ r sin θAφ ¯ (6.69) (6.70) otrzymamy składowe pola indukcji magnetycznej Br = 0, Bθ = 0, · ¸ · ¸ 1 ∂ ∂ µ`I0 iωt ∂ ∂ e−ikr = (rAθ ) − Ar = e − e−ikr sin θ − cos θ r ∂r ∂θ 4πr ∂r ∂θ r µ ¶ 1 µ`I0 = exp [iω (t − r/v)] ik + sin θ. 4πr r Bφ (6.71) Pole elektryczne obliczamy albo z II–go równania Maxwella rotH = Ḋ, lub z warunku Lorentza: divA + ²µϕ̇ ϕ divA = 0, Z 1 = − (divA)dt, ²µ 1 ∂ 1 ∂ ¡ 2 ¢ 1 ∂Aφ + (Aθ sin θ) , = r Ar + 2 r ∂r r sin θ ∂φ r sin θ ∂θ r2 Ar Aθ sin θ divA µ`I0 iωt ¡ −ikr ¢ cos θ, re e 4πr µ`I0 iωt e−ikr = − e sin2 θ, 4πr r µ`I0 cos θ = − exp [iω (t − r/v)] (1 + ikr) 2 , 4πr r (6.72) = 106 (6.73) i ostatecznie Z (−divA)dt = 1 µ`I0 cos θ exp [iω (t − r/v)] (1 + ikr) 2 . iω 4πr r (6.74) Po podstawieniu wielkości zwanej oporem falowym r ζ= µ , ² (6.75) otrzymaliśmy następuja̧ce wyrażenie na potencjał skalarny: ϕ= ζ `I0 cos θ exp [iω (t − r/v)] (1 + ikr) 2 . ik 4π r (6.76) Pole elektryczne wyraża się poprzez potencjały A, ϕ jako E = −gradϕ − Ȧ, więc korzystając z wyrażenia na gradient we współrzędnych kulistych gradϕ = er ∂ 1 ∂ ϕ + eθ ϕ, ∂r r ∂θ (6.77) otrzymamy dla składowych wektora natężenia pola elektrycznego Er Eθ Eφ · ¸ `I0 1 i ζ − eiωt e−ikr cos θ, 2π r2 kr3 · ¸ `I0 ik 1 i = ζ + 2 − 3 eiωt e−ikr sin θ, 4π r r kr = 0, = (6.78) i dla składowych wektora indukcji magnetycznej Br = 0, Bθ = 0, · ¸ µ`I0 ik 1 iωt −ikr = + 2 e e sin θ. 4π r r Bφ (6.79) Otrzymaliśmy w ten sposób wyrażenia na składowe wektorów pola elektromagnetycznego, wytwarzanego dipol Hertza. Tradycyjnie dyskusjȩ własności tego pola prowadzi siȩ w 2 obszarach: 1. Strefa bliska (indukcji), gdy r ¿ λ, gdzie λ= jest długością fali, oraz 2. Strefa daleka (promieniowania), gdy r À λ. 107 2π , k (6.80) 6.4 Strefa bliska (indukcji) W strefie bliskiej największy wkład do wyrażeń na pole dają przyczynki ∝ 1/r2 i ∝ 1/r3 , Er Eθ Bφ λζI` q` cos θ = − cos θ, 2 3 4π r 2π²r3 λζI` q` = −i 2 3 sin θ = − sin θ, 8π r 4π²r3 µI` = sin θ, 4πr2 = −i (6.81) gdzie wykorzystaliśmy związki λ = λζ = 2πυ 2π = √ , ω ω ²µ r Z 2π µ , q = I0 eiωt dt. √ ω ²µ ² (6.82) W strefie bliskiej nie występują efekty związane z opóźnieniem. Dla słabo zmiennych prądów, np. przy częstotliwości f = 50 Hz, λ = v/f = 6 · 106 m, więc opóźnienie można zaniedbać w dowolnym praktycznie oddaleniu od źródła. 6.5 Strefa daleka (promieniowania) W radiotechnice i współczesnej telekomunikacji używa się wysokich częstotliwości (czyli fal b. krótkich), na ogół więc jesteśmy w obszarze r À λ. Zostawiając z ogólnych wyrażeń (6.78) przyczynki proporcjonalne do 1/r, i opuszczając czynnik iexp(iωt) otrzymamy składowe pola elektromagnetycznego w strefie dalekiej (słuszne dla odległości większych niż kilka do kilkunastu długości fal) w postaci Eθ = Hφ = `I0 k −ikr sin θ 4π ζ r e `I0 −ikr sin θ, 2λr e `I0 −ikr = ζ 2λr e sin θ, a pozostałe składowe są równe zeru. Otrzymane równania opisują falę bieżącą, która rozchodzi się promieniowo od anteny nadawczej. Jej składowe: elektryczna i magnetyczna, identyczne co do kształtu, są do siebie wzajemnie prostopadłe. Moduły ich związane są zależnością: Eθ = ζHφ . (6.83) Charakter falowy pola opisany jest czynnikiem exp(iωt − ikr). Wielkość ψ = ωt − kr nazywamy fazą fali. Fala jest strukturą przestrzenno–czasową, okresową w obu aspektach. Okresowość w czasie otrzymamy, dla ustalonego punktu w przestrzeni: 0 eiωt = eiωt , gdy t0 = t + nT, 108 n = 1, 2, . . . , T = 2π/ω, T jest okresem, a f = 1/T = 2πω częstotliwością fali. Wykonując ”fotografię” fali (czyli ustalony jest czas t) otrzymamy długość fali λ z wzoru λ = 2π/k. Można sprawdzić, że powierzchnia stałej fazy ψ= const rozchodzi się w przestrzeni ze stałą prędkością (prędkością fazową) √ υ = ω/k = 1/ ²µ, czyli w przypadku próżni √ v = 1/ ²0 µ0 = c ≈ 3 · 108 m/s, (6.84) gdzie c jest zwane prędkością światła. Jest to jeden z argumentów, że światło jest falą elektromagnetyczną. W strefie promieniowania fala elektromagnetyczna jest falą kulistą, przy czym linie pola magnetycznego przebiegają tu jak równoleżniki na kuli, a linie pola elektrycznego jak południki. Wektory E, H, P są do siebie prostopadłe, przy czym E, H sa̧ prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali, czyli fala jest poprzeczna. Amplitudy pól zależą od ka̧ta θ: są maksymalne w płaszczyźnie równikowej i znikają przy biegunach. W strefie promieniowania fala jest odcięta od swoich źródeł. Pole elektryczne jest wynikiem nie bliskiej obecności ładunku, lecz wynikiem zmieniającej się składowej magnetycznej tej fali. Pole magnetyczne fali jest wywołane nie przez właściwy przepływ prądu, lecz przez zmieniające się pole elektryczne fali. Fala, gdy już powstanie, jest zdolna do przebycia każdej odległości i może rozchodzić się sama w nieograniczonym czasie, np. w przestrzeni kosmicznej. Ostatnio doniesiono o zaobserwowaniu galaktyk odległych o 12 miliardów lat świetlnych, tzn. fala świetlna (czyli elektromagnetyczna) wypromieniowana przez galaktyki wędruje po Kosmosie przez 12 miliardów lat: być może jej źródła dawno nie istnieją. 109 Rysunek 6.1: Dipol Hertza. 110 Rozdział 7 Równania Maxwella w postaci relatywistycznie niezmienniczej Prawa fizyki sa̧ niezmiennicze ze wzglȩdu na transformacjȩ Lorentza, o ile dadza̧ siȩ zapisać przy pomocy obiektów geometrycznych w czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego x = (x1 , x2 , x3 , ict) = (x1 , x2 , x3 , x4 ) = xµ , µ = 1, 2, 3, 4. (7.1) Posługuja̧c siȩ tensorami -wzbudzenia f = fµν tensorem pola 0 Hz −Hy −icDx −Hz = Hy 0 Hx −Hx 0 icDx icDy icDz 0 Bz −By − ci Ex 0 −icDy , −icDz −Bz F = Fµν = By 0 Bx −Bx 0 i c Ex i c Ey i c Ez (7.2) − ci Ey , − ci Ez (7.3) 0 ∗ tensorem dualnym (do F ) F ∗ 0 i c Ez F =∗ Fµν = i − c Ey −Bx − ci Ez i c Ey 0 − ci Ex i c Ex 0 −By −Bz Bx By , Bz (7.4) 0 i czterowektorem pra̧du J = (J0 , icρ) = Jµ , 111 (7.5) zapiszemy równania Maxwella w postaci Divf = J; lub fµν,ν = Jµ , Div∗ F = 0; lub ∗ Fµν,ν = 0, (7.6) O tensorze ∗ F mówimy, że jest dualny do F : jeśli F zapisać można jako 6 − wektor F = (F23 , F31 , F12 , F14 , F24 , F34 ) i i i i = (Bx , By , Bz , − Ex , − Ey , − Ez ) = (B, − E), c c c c (7.7) to ∗ i F = (− E, B); c ∗ f = (−icD, H). (7.8) Wykazaliśmy wiȩc, że równania Maxwella sa̧ współzmiennicze (kowariantne) wzlȩdem transformacji Lorentza, sa̧ wiȩc słuszne w każdym inercjalnym układzie odniesienia. Do efektów wynikaja̧cych z transformacji Lorentz’a takich jak dylatacja czasu i kontrakcja długości, czy relatywistyczne dodawanie prȩdkości, dodać można efekty zwia̧zane z propagacja̧ fal, jak np. efekt Dopplera. W wyrażeniu falowym E = E0 ei(ωt−kr) = E0 eiω(t− ¡ faza ψ = ω t − nr c ¢ nr c ) , jako skalar jest niezmiennicza wzglȩdem transformacji Lorentza, co zapisać można jako · ¸ 1 ω t − (nx x + ny y + nz z) c !# " à t − βc x 1 0 x − βct 0 0 0 . nx p =ω p − + ny y + nz z c 1 − β2 1 − β2 (7.9) Równość (7.9) zachodzić winna dla każdego x, y, z, t czyli odpowiednie współczynniki po obu stronach równania winny być równe: 1 − βnx 1 + βn0x ω = ω0 p , ω0 = ω p , 2 1−β 1 − β2 β + n0x ωnx = ω 0 p , 1 − β2 ωny = ω 0 n0y , ωnz = ω 0 n0z . (7.10) Weźmy pierwsza̧ z równości (7.10) w postaci p ω=ω 0 1 − β2 , 1 − βnx i rozważmy 2 nastȩpuja̧ce przypadki: 1) nx = ±1, 112 (7.11) 2) nx = 0. W przypadku 1) mamy do czynienia z fala̧ biegna̧a̧ wzdłuż osi x. Z (7.11) wynika, że nastȩpuje zmiana czȩstości: w układzie spoczywaja̧cym obserwujemy czȩstość ω, podczas gdy czȩstość własna źródła (mierzona w układzie własnym źródła) wynosi ω 0 . Dla małego β, rozwijaja̧c (7.11) w szereg, otrzymujemy: · ¸ ¡ ¢ β2 β3 0 2 1/2 0 ∼ ω =ω 1−β (1 ± β) = ω 1 ± β − ∓ + ... , 2 2 (7.12) co w najniższym rzȩdzie rozwiniȩcia daje ω = ω 0 (1 ± β), które w przedrelatywistycznej fizyce tłumaczyło efekt Dopplera. Efekt Dopplera jest kosekwencja̧ teorii wzglȩdności. Pozwala on wyznaczyć prȩdkość wzglȩdna̧ dwu układów. Teoria wzglȩdności przewidziała również zachodzenie efektu Dopplera w kierunku prostopadłym do rozchodzenia siȩ fali. W przypadku 2) mamy ω = ω0 µ ¶ p β2 1 − β 2 = ω0 1 − + ... , 2 (7.13) co nazywamy poprzecznym efektem Dopplera, w odróżnieniu od podłużnego efektu Dopplera (przypadek 1)). 113 114 Rozdział 8 Fale elektromagnetyczne w ośrodkach nieskończonych 8.1 Fale elektromagnetyczne w dielektrykach Płaskie fale elektromagnetyczne określone sa̧ przez wektory pola w danej chwili stałe na dowolnie ustalonej płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia siȩ fali. Powierzchnie stałej fazy sa̧ dla fali płaskiej prostopadłe do kierunku rozchodzenia siȩ fali. Falȩ nazywamy monochromatyczna̧, gdy funkcje pola ∼ eiωt dla ustalonej czȩstości ω. Równania Maxwella dla pola bezźródłowego maja̧ postać µ ¶ ∂2 E 2 ∇ − µ² 2 = 0, ∂t H E E0 i(ωt−kr) , = e H H0 (8.1) gdzie √ k = kn = ω ²µn, √ √ ² |E| = µ|H|, √ √ ²n × E = µH, |E| = ζ|H|, 2π c k= , λ= , λ f Wielkość (8.2) f= 1 . T r µ , (8.3) ² nazywana jest impedancja̧ właściwa̧ ośrodka. W danej chwili t stała faza ψ= const określona jest ζ= równaniem kr = const. 115 (8.4) Jest to równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora k. Gȩstość strumienia energii obliczamy korzystaja̧c z definicji wektora Poyntinga |P| = |E × H| = |E| |H| 1 1 =√ (²E 2 + µH 2 ) = v · w, ²µ 2 (8.5) wiȩc prȩdkość przenoszenia energii to prȩdkość fazowa, oraz P = wv. Fala harmoniczna rozchodzi siȩ w dielektryku jednorodnym bez zmiany amplitudy, tj. bez strat energii. 8.2 Fale elektromagnetyczne w ośrodkach przewodza̧cych Zakładamy, że ², µ = const, σ =const6= 0. Równania Maxwella równoważne równaniom dla dielektryków (8.1), (8.2), przy zasta̧pieniu σ σ =²−i , iω ω k → kω = k − is, ·r ¸ ω 2 ²µ σ 2 k = 1 + ( )2 + 1 , 2 ²ω ·r ¸ 2 ω ²µ σ s2 = 1 + ( )2 − 1 , 2 ²ω ² → ²ω = ² + (8.6) tak że dla fali rozchodza̧cej siȩ w dodatnim kierunku z E = E0 ei(ωt−kω z) = E0 e−sz ei(ωt−kz) , H = H0 ei(ωt−kω z) = H0 e−sz ei(ωt−kz) , (8.7) czyli amplituda fali maleje jak e−sz . Fala jest fala̧ tłumiona̧. Wielkość ∆ = 1/s nazywana jest głȩbokościa̧ wnikania. Dla dobrych przewodników σ À 1 i w pewnym zakresie czȩstotliwości σ À 1. ²ω Wówczas w przybliżeniu r s= (8.8) 1 ωσµ, 2 (8.9) i głȩbokość wnikania obliczyć można z wzoru r ∆= λ πσ r 1 . ζ (8.10) Powyższy wzór stosować można do metali, gdzie przewodnictwo σ jest rzȩdu 107 S/m. Przykładowe wartości podane sa̧ w Tablicy 8.1 116 Tablica 8.1: Wartości głȩbokości wnikania w zależności od długości fali. λ −6 m 3.8·10−9 m 10−2 m 3.8·10−7 m 102 m 3.8·10−5 m 10 8.2.1 ∆ Polaryzacja fali płaskiej Rozważamy falȩ płaska̧ E = E0 ei(ωt−kr) , H = H0 ei(ωt−kr) . (8.11) Wybieraja̧c kierunek rozchodzenia siȩ dodatnia̧ półoś z, otrzymujemy wektory pola falki w postaci E = E0 ei(ωt−kz) , E = (Ex0 , Ey0 ), (8.12) Ex = Ex0 ei(ωt−kz) , Ey = Ey0 ei(ωt−kz) , gdzie Ex0 , Ey0 sa̧ zespolonymi amplitudami, które przedstawić można w postaci 0 Ex0 = aeiδ , Ey0 = beiδ . W dalszym cia̧gu przyjmiemy, że δ 0 = 0. Wtedy dla czȩści rzeczywistych wyrażeń (8.12) zachodzi Ex = a cos τ, τ = kz − ωt, Ey = b cos(τ + δ) = b cos τ cos δ − b sin τ sin δ, Ex Ey Ex cos τ = , → = cos δ − sin τ sin δ, a b a (8.13) ska̧d po przekształceniach µ Ex a ¶2 µ + Ey b ¶2 −2 Ex Ey cos δ = sin2 δ. ab (8.14) Obliczaja̧c wyróżnik powyższej formy kwadratowej stwierdzamy, że przedstawia ona elipsȩ na płaszczyźnie z=const. W trakcie propagacji fali koniec wektora E opisuje elipsȩ- mówimy o polaryzacji eliptycznej (fala spolaryzowana eliptycznie). Gdy δ=0, elipsa degeneruje siȩ do prostej - fala jest spolaryzowana liniowo. Dla δ = ±π/2 i a = b elipsa staje siȩ okrȩgiem - fala jest spolaryzowana kołowo. (p. rys. 8.1). Polaryzacja liniowa wysta̧pi również, gdy np. a=0, b 6= 0 lub odwrotnie. Wektor H: H = ηn × E, 117 η= 1 , ζ Rysunek 8.1: Polaryzacja fali płaskiej w płaszczyźnie xy. czyli czȩści rzeczywiste składowych dane sa̧ jako Hx = −ηb cos(τ + δ), Hy = ηa cos τ, wiȩc wektor H ⊥ E i opisuje elipsȩ podobna̧ do tej, jaka̧ opisuje E. Osie główne tych elips sa̧ wzajemnie prostopadłe. 8.3 Załamanie i odbicie płaskiej fali elektromagnetycznej na granicy miȩdzy dwoma dielektrykami 8.3.1 Warunki graniczne dla wektorów falowych Fala elektromagnetyczna padaja̧ca na granicȩ miȩdzy ośrodkami 1 i 2 czȩściowo odbije siȩ z powrotem do ośrodka 1, a czȩściowo załamie i przejdzie do ośrodka 2. Zależności miȩdzy amplitudami fal padaja̧cej, odbitej i załamanej, miȩdzy charakteryzuja̧cymi kierunek rozchodzenia wektorami falowymi i czȩstotliwościami fal przedstawione bȩda̧ w kolejnych podrozdziałach. Fali padaja̧cej, odbitej, i załamanej przyporza̧dkowujemy odpowiednio wektory pola elektrycznego (0) E10 (r, t) = E10 ei(ω10 t−k10 r) , E11 (r, t) = E11 ei(ω11 t−k11 r) , E12 (r, t) = E12 ei(ω12 t−k12 r) , (0) (8.15) (0) gdzie fali padaja̧cej odpowiada indeks 10, fali odbitej 11 (z ośrodka 1 do ośrodka 1), i przechodza̧cej (załamanej) indeks 12. Analogicznymi wyrażeniami zdefiniowane sa̧ wektory magnetyczne fali, np. 118 Rysunek 8.2: Zależności ka̧towe przy odbiciu i załamaniu fali wektory natȩżenia pola magnetycznego. Kierunki rozchodzenia siȩ fal zaznaczone sa̧ na rys. 8.2. Poszukiwane zależności otrzymamy z warunku cia̧głości składowej stycznej pola elektrycznego na granicy ośrodków: (0) (0) E10t ei(ω10 t−k10 r) + E11t ei(ω11 t−k11 r) = E12t ei(ω12 t−k12 r) . (8.16) Pierwsza̧ konsekwencja̧ wynikaja̧ca̧ z warynku cia̧głości jest Niezmienniczość czȩstości przy odbiciu i załamaniu. Dla udowodnienia wyodrȩbnimy wyrażenia niezależne od czasu (0) E10t e−ik10 r = a, E11t e−ik11 r = b, (0) E12t e−ik12 r = c, (8.17) i zapiszemy równanie (8.16) w postaci aeiω10 t + beiω11 t = ceiω12 t . (8.18) Obliczaja̧c pochodna̧ po czasie tego wyrażenia otrzymamy iω10 aeiω10 t + iω11 beiω11 t = iω12 ceiω12 t . (8.19) Po prawej stronie za wyrażenie ceiω12 t podstawiamy lewa̧ stronȩ równości (8.18), otrzymuja̧c równanie ¡ ¢ iω10 aeiω10 t + iω11 beiω11 t = iω12 aeiω10 t + beiω11 t , (8.20) które można przedstawić w postaci ia (ω10 − ω12 ) eiω10 t = ib (ω12 − ω11 ) eiω11 t . 119 (8.21) Równanie to bȩdzie spełnione dla każdego t gdy wyrażenia w wykładnikach bȩda̧ równe, czyli dla ω10 = ω11 . (8.22) beiω11 t = ceiω12 t − aeiω10 t , (8.23) ω10 = ω12 . (8.24) ω11 = ω12 = ω10 , (8.25) Podstawiaja̧c z kolei wyrażenie do równania (8.19) wykazujemy, że Ostatecznie otrzymujemy wynik czyli że czȩstość fali podczas załamania i odbicia nie ulega zmianie. Nastȩpnie wykażemy, że Promień padaja̧cy, odbity i załamany leża̧ w jednej płaszczyźnie. W tym celu wydrȩbniamy w wyrażeniach (8.16) czȩści zależne tylko od czasu a0 , b0 , c0 i otrzymujemy równanie a0 e−ik10 r + b0 e−ik11 r = c0 e−ik12 r . (8.26) Na obie strony tego równania działamy operatorem r∇ = x ∂ ∂ ∂ +y +z , ∂x ∂y ∂z (8.27) otrzymuja̧c −ia0 (k10 r)e−ik10 r − ib0 (k11 r)e−ik11 r = −i(k12 r)c0 e−ik12 r . (8.28) Podobnie jak w wyprowadzaniu zależności dla ω, podstawiamy za c0 e−ik12 r) lewa̧ stronȩ równania (8.26), otrzymuja̧c równanie a0 (k10 r − k12 r) e−ik10 r = b0 (k12 r − k11 r) e−ik11 r , (8.29) które winno być spełnione dla dowolnego wektora r leża̧cego na płaszczyźnie granicznej. Wynika z tego warunek k10 r = k11 r. (8.30) Podstawiaja̧c z kolei wyliczone z równania (8.26) wyrażenie b0 e−ik11 r) do (8.28) otrzymamy warunek k10 r = k12 r, (8.31) k10 r = k11 r = k12 r. (8.32) czyli ostatecznie równość Równość ta oznacza, że wszystkie wektory k10 , k11 , k12 leża̧ w tej samej płaszczyźnie, która̧ nazywamy płaszczyzna̧ padania. Jest ona prostopadła do płaszczyzny granicznej. Można to wykazać 120 nastȩpuja̧co. Wektor r leży w płaszczyźnie granicznej, poza tym jest dowolny, można wiȩc wybrać wektor r prostopadły do k10 tak że k10 r = 0. (8.33) k11 r = k12 r = 0, (8.34) Jednocześnie musi być spełniony warunek wiȩc wektory k11 , k12 sa̧ prostopadłe do tego samego wektora, wiȩc leża̧ w tej samej płaszczyźnie. Promień padaja̧cy, odbity i załamany leża̧ wiȩc w tej samej płaszczyźnie, płaszczyźnie padania. Zwia̧zek miȩdzy ka̧tami padania, załamania i odbicia- prawo Snelliusa Wybieramy układ współrzȩdnych jak na rys. 8.2, z osia̧ y prostopadła̧ do płaszczyzny rysunku. Fala rozchodzi siȩ w płaszczyźnie xz. W równaniu (8.32) wybieramy wektor r równoległy do osi x, z czego wynika zwia̧zek k10 r cos α10 = k11 r cos α11 = k12 r cos α12 . (8.35) Moduły wektorów falowych sa̧ równe, z definicji, k10 = k12 = √ ω10 ²1 µ1 = k11 , √ ω10 ²2 µ2 , (8.36) gdzie wykorzystaliśmy równość czȩstotliwości (8.25). Z równości (8.35) wyniknie wiȩc α10 = α11 , (8.37) θ10 = θ11 (8.38) k10 cos α10 = k12 cos α12 , (8.39) czyli równość ka̧ta padania i ka̧ta odbicia, oraz co zapisujemy w postaci zwia̧zku sin θ10 = sin θ12 r ²2 µ2 = n12 , ²1 µ1 (8.40) gdzie wielkość n12 jest współczynnikiem załamania ośrodka 2 wzglȩdem ośrodka 1. W optyce ośrodkiem 1 jest najczȩściej powietrze, dla którego można przyja̧ć ²1 ≈ ²0 , µ1 ≈ µ0 , wiȩc współczynnik załamania bȩdzie zdefiniowany jako n= v , c (8.41) gdzie v=√ 1 , ²2 µ2 121 (8.42) jest prȩdkościa̧ fazowa̧ fali w ośrodku 2. Ponieważ dla wiȩkszości materiałów µ ≈ µ0 , wiȩc współczynnik załamania jest w przybliżeniu równy pierwiastkowi z wzglȩdnej funkcji dielektrycznej n= c ∼p = ²r (ω). v (8.43) Ponieważ funkcja dielektryczna zależy od czȩstotliwości, również współczynnik załamania jest funkcja̧ czȩstotliwości, n = n(ω). Zjawisko to nazywamy dyspersja̧. 8.3.2 Zwia̧zek miȩdzy natȩżeniami fali padaja̧cej, odbitej i załamanej dla fali padaja̧cej prostopadle do powierzchni granicznej– wzory Fresnela Rozważamy falȩ padaja̧ca̧ Ex Hy (0) = E10 ei(ωt−k10 z) , Ey = Ez = 0, r ²1 (0) i(ωt−k10 z) = ζ1 Ex = E e , Hx = Hz = 0. µ1 10 (8.44) Analogicznie dla fali załamanej (przechodza̧cej): Ex Hy (0) = E12 ei(ωt−k12 z) , Ey = Ez = 0, r ²2 (0) i(ωt−k12 z) = ζ2 Ex = , Hx = Hz = 0. E e µ2 12 (8.45) Fala odbita porusza siȩ w przeciwnym kierunku: Ex Hy (0) = E11 ei(ωt+k10 z) , Ey = Ez = 0, r ²1 (0) i(ωt+k10 z) , E e = −ζ1 Ex = − µ1 11 Hx = Hz = 0. (8.46) Przyjmujemy, że dla dielektryków µ1 = µ2 ∼ składowych = µ0 , i prad , powierzchniowy =0 (ciagłość , stycznych pola H). Z tych warunków i ciagłości składowych stycznych pól E i H wynikaja̧ zwiazki , , dla amplitud: (0) = (0) = E11 E12 1 − n12 (0) ζ1 − ζ2 (0) E = E , 1 + n12 10 ζ2 + ζ1 10 2ζ2 2 (0) (0) E = E . ζ2 + ζ1 10 1 + n12 10 (8.47) Przy założeniu µ1 = µ2 ∼ = µ0 wielkość n12 ≈ ²2 /²1 jest współczynnikiem załamania ośrodka 2 wzgledem 1. Chca̧c obliczyć zwia̧zki miȩdzy energiami fal padaja̧cej, odbitej i załamanej, obliczamy , dla nich wektory Poyntinga P = E × H. Energia jest wielkościa̧ rzeczywista̧, a w używanym przez nas zapisie wielkości E i H sa̧ zespolone. Chca̧c obliczyć energiȩ winniśmy wydzielić czȩści rzeczywiste, czyli obliczyć P̃ = Re E × Re H. 122 Jednocześnie chcemy obliczyć średnia, energie, w czasie jednego okresu, czyli wielkość Z 1 T P̃dt. hP̃i = T 0 (8.48) Można sprawdzić, że dla iloczynu dwóch wielkości zależnych harmonicznie od czasu A(t) = A0 e−iωt , B(t) = B0 e−iωt , otrzymamy hReA Re Bi = 1 Re {AB∗ } . 2 (8.49) Zwia̧zek ten otrzymamy wykorzystuja̧c własność liczb zespolonych Rez = co w (8.49) daje ReA Re B = 1 (z + z ∗ ) , 2 ¢¡ ¢ 1¡ A0 e−iωt + A∗0 eiωt B0 e−iωt + B∗0 eiωt . 4 (8.50) W średniowaniu po czasie znikaja̧ wyrażenia proporcjonalne do exp(±2iωt), i otrzymamy hReA Re Bi = 1 1 (AB∗ + A∗ B) = Re {AB∗ } . 4 2 (8.51) Ten sam wzór stosuje siȩ dla iloczynu wektorowego, ostatecznie wiȩc średni wektor Poyntinga obliczamy dla amplitud zespolonych z wzoru S = hPi = 1 Re {E × H∗ } . 2 (8.52) Ponieważ wszystkie fale rozchodza̧ siȩ w kierunku z, wektory Poyntinga sa̧ równoległe. Porównuja̧c moduły ich rzutów na oś z otrzymamy zwia̧zki dla średnich strumieni energii w postaci r 1 ²1 ¯¯ (0) ¯¯2 S10 = ¯E ¯ , 2 µ0 10 r 1 ²1 ¯¯ (0) ¯¯2 (1 − n12 )2 S11 = S10 , ¯E11 ¯ = 2 µ0 (1 + n12 )2 r 1 ²2 ¯¯ (0) ¯¯2 4n12 S12 = S10 . ¯E ¯ = 2 µ0 12 (1 + n12 )2 (8.53) Zwia̧zki (8.53) nazywane sa̧ wzorami Fresnela dla fali padaja̧cej normalnie. Definiujemy współczynnik odbicia ¯ ¯ ¯ (0) ¯2 2 ¯E11 ¯ S11 (1 − n12 ) R= =¯ ¯2 = 2, S10 ¯ (0) ¯ (1 + n12 ) ¯E10 ¯ (8.54) i współczynnik przejścia (współczynnik przenoszenia (transmisji) mocy) T = 4n12 S12 = 2. S10 (1 + n12 ) 123 (8.55) Ze wzglȩdu na prawo zachowania energii S11 + S12 = S10 → R + T = 1. W przypadku odbicia i transmisji fali na granicy dielektryk–przewodnik obowia̧zuja̧ formuły analogiczne do tych dla dwu dielektryków, jeżeli uwzglȩdnić fakt, że funkcja dielektryczna ² przewodnika (a tym samym współczynnik załamania n12 i impedancji ζ) sa̧ liczbami zespolonymi. Zamiast (8.53) mamy ¯ ¯ ¯ 1 − n ω ¯2 ¯ ¯ , R=¯ 1 + nω ¯ nω = Dla fal do czȩstotliwości promieniowania widzialnego σ ²0 ω √ ²ω . (8.56) À 1, wiȩc moduł współczynnika załama- nia jest znacznie wiȩkszy od jedności. Dlatego współczynnik odbicicia r powierzchni metalicznej jest bliski jedności. Np. dla żółtego pra̧żka sodu r jest równe: 0.95 dla Ag; 0.85 dla Au; 0.83 dla Al; 0.74 dla Cu itd. 8.4 Wzory Fresnela dla fali padaja̧cej ukośnie Równania Maxwella zapewniaja̧, że tylko 2 z 6 amplitud pola elektromagnetycznego sa̧ niezależne w fali płaskiej. Jeżeli obierzemy jako niezależne amplitudy składowe pola elektrycznego fali padaja̧cej, to przez te amplitudy wyznaczone bȩda̧ wszystkie inne, zarówno w fali padaja̧cej, jak i odbitej i załamanej. Rozważamy falȩ padaja̧ca̧ na granicȩ ośrodków 1,2, o kierunku padania leża̧cym w płaszczyźnie 0xz. Wersory w kierunku promieni fal (p. rys. 8.2) dane sa̧ jako (0) k10 = (sin θ10 , 0, cos θ10 ) , (0) k11 = (sin θ10 , 0, − cos θ10 ) , (0) k12 = (sin θ12 , 0, cos θ12 ) , Niech fala padaja̧ca ma pole elektryczne E = (Ex , Ey , Ez ). Wtedy, przy uwzglȩdnieniu (8.57), odpowiadaja̧ce pole magnetyczne ma postać H = ηn × E, η = 1/ζ, ζ= 124 p µ/², (8.57) gdzie za n podstawimy odpowiedni z wersorów (8.57) dla fali padaja̧cej H10x = −η1 E10y cos θ10 , H10y = η1 (E10x cos θ10 − E10z sin θ10 ) , (8.58) fala odbita H11x = −η1 E11y cos θ10 , H11y = −η1 (E11x cos θ10 + E11z sin θ10 ) , (8.59) fala załamana H12x = −η2 E12y cos θ12 , H12y = η2 (E12x cos θ12 − E12z sin θ12 ) . (8.60) Dla obliczenia amplitud fal załamanej i odbitej wykorzystujemy warunki cia̧głości dla składowych stycznych pól E i H E10x + E11x = E12x , E10y + E11y = E12y , H10x + H11x = H12x , H10y + H11y = H12y , (8.61) co po podstawieniu (8.58,8.59,8.60) daje E10x cos θ10 − E10z sin θ10 − E11x cos θ10 − E11z sin θ10 = (η2 /η1 ) (E12x cos θ12 − E12z sinθ12 ) , (8.62) E10y cos θ10 − E11y cos θ10 = (η2 /η1 )E12y cos θ12 . Przy uwzglȩdnieniu definicji współczynnika załamania η2 /η1 ≈ √ √ ²2 / ²1 = n12 , przepiszemy wzory w postaci (E10x − E11x ) cos θ10 − (E10z + E11z ) sin θ10 = n12 (E12x cos θ12 − E12z sin θ12 ) , (8.63) (E10y − E11y ) cos θ10 = n12 E12y cos θ12 . Tradycyjnie wektor elektryczny rozkłada siȩ na 2 składowe: spolaryzowane w płaszczyźnie padania i prostopadle do niej, Ek , E⊥ : (10) E10x = Ek 125 cos θ10 , (10) E10z = −Ek sin θ10 , (10) E⊥ , E10y = (11) cos θ10 , (11) sin θ10 , E11x = −Ek E11z = −Ek (8.64) (11) E10y = E⊥ , (12) E12x = Ek cos θ12 , (12) E12z = −Ek sin θ12 , (12) E12y = E⊥ . Rozpatrujemy oddzielnie 2 przypadki: 1) fali spolaryzowanej prostopadle do płaszczyzny padania ( polaryzacja s), 2) fali spolaryzowanej równolegle do płaszczyzny padania ( polaryzacja p). (10) W przypadku polaryzacji s zakładamy, że tylko składowa E⊥ fali padaja̧cej jest różna od zera, wiȩc (10) 6= 0, Ek (11) 6= 0, Ek (12) 6= 0, Ek E⊥ E⊥ E⊥ (10) = 0, (11) = 0, (12) = 0. (8.65) Z warunków brzegowych pozostaja̧ ³ ³ (10) E⊥ (10) E⊥ (11) − E⊥ (11) + E⊥ ´ ´ (12) cos θ10 = n12 E⊥ (12) cos θ10 = E⊥ cos θ12 , cos θ10 , (8.66) Drugie z równań (8.66) jest wynikiem warunki cia̧głości E10y + E11y = E12y . Rozwia̧zuja̧c układ równań (8.66) otrzymujemy (12) E⊥ (11) E⊥ cos θ10 sin θ12 , sin θ10 cos θ12 + cos θ10 sin θ12 (10) cos θ10 sin θ12 − sin θ10 cos θ12 , = E⊥ sin θ10 cos θ12 + cos θ10 sin θ12 (10) = 2E⊥ (8.67) co po przekształceniach przybiera postać (11) E⊥ (12) E⊥ (10) sin (θ12 − θ10 ) , sin (θ10 + θ12 ) (10) cos θ10 sin θ12 = 2 E⊥ . sin (θ10 + θ12 ) = E⊥ 126 (8.68) W fali spolaryzowanej równolegle składowe E⊥ = 0, pozostaja̧ wiȩc z warunków brzegowych tylko te, które zawieraja̧ składowe x i z: ³ ´ (10) (11) Ek cos θ10 + Ek cos θ10 cos θ10 ³ ´ (10) (12) + Ek sin θ10 + Ek sin θ10 sin θ10 ³ ´ (12) (12) = n12 Ek cos2 θ12 + Ek sin2 θ12 , (10) Ek (11) cos θ10 − Ek (12) cos θ11 = Ek (8.69) cos θ12 , co sprowadza siȩ do zwia̧zków (10) (11) (12) Ek + Ek = n12 Ek , ³ ´ (10) (11) (11) Ek − Ek cos θ10 = E⊥ cos θ12 , (8.70) ska̧d otrzymujemy (10) (12) Ek = 2Ek n12 cos θ10 + cos θ12 (10) = (11) Ek cos θ10 2Ek cos θ10 sin θ12 sin θ10 cos θ10 + sin θ12 cos θ12 , (10) sin θ10 cos θ10 − sin θ12 cos θ12 , sin θ10 cos θ10 + sin θ12 cos θ12 = Ek (8.71) (8.72) gdzie użyta była definicja współczynnika załamania n12 = sin θ10 / sin θ12 . Korzystaja̧c z identyczności sin(θ + α) cos(θ − α) = sin θ cos θ + sin α cos α wyrazimy zwia̧zki dla amplitud w postaci − θ12 ) cos(θ10 + θ12 ) sin(θ10 + θ12 ) cos(θ10 − θ12 ) (10) tan (θ10 − θ12 ) = Ek , tan (θ10 + θ12 ) (11) Ek (12) Ek (10) sin(θ10 = Ek (10) = 2 Ek cos θ10 sin θ12 . sin (θ10 + θ12 ) cos (θ10 − θ12 ) (8.73) (8.74) Wzory powyższe nazywane sa̧ wzorami Fresnela dla fali padaja̧cej ukośnie. Niektóre wnioski z wzorów Fresnela (8.73), (8.74) : (11) E⊥ (12) E⊥ (11) Ek (10) sin (θ12 − θ10 ) , sin (θ10 + θ12 ) (10) cos θ10 sin θ12 = 2 E⊥ , sin (θ10 + θ12 ) (10) sin(θ10 − θ12 ) cos(θ10 + θ12 ) = Ek sin(θ10 + θ12 ) cos(θ10 − θ12 ) = E⊥ 127 (8.75) (10) tan (θ10 = Ek (12) Ek 8.4.1 − θ12 ) , tan (θ10 + θ12 ) (10) = 2 Ek cos θ10 sin θ12 . sin (θ10 + θ12 ) cos (θ10 − θ12 ) Ka̧t Brewstera- polaryzacja przez odbicie W fali spolaryzowanej liniowo stosunek |E⊥ | ¯ ¯ = tan α, ¯E k ¯ określa nachylenie wektora elektrycznego do płaszczyzny padania. Ze wzorów Fresnela (8.73), (8.74), dla fali odbitej mamy i załamanej ¯ ¯ ¯ (11) ¯ ¯E⊥ ¯ cos(θ10 − θ12 ) ¯ ¯ ¯ (11) ¯ = cos(θ10 + θ12 ) tan α10 , ¯Ek ¯ (8.76) ¯ ¯ ¯ (12) ¯ ¯E⊥ ¯ ¯ ¯ ¯ (12) ¯ = cos(θ10 − θ12 ) tan α10 , ¯Ek ¯ (8.77) ¯ ¯ ¯ (10) ¯ ¯E⊥ ¯ ¯ ¯ ¯ (10) ¯ = tan α10 ¯Ek ¯ (8.78) gdzie wzór definiuje zależności w fali padaja̧cej. Jeżeli dobierzemy ka̧t padania tak, by tan θ10 = n12 , (8.79) to z definicji n12 = sin θ10 / sin θ12 oraz sin θ10 / sin θ12 = sin θ10 / cos θ10 czyli sin θ12 = cos θ10 , a sta̧d θ10 = π/2 − θ12 czyli θ10 + θ12 = π/2 i dla fali odbitej (11) ¯ ¯ ¯ (11) ¯ E⊥ cos(π/2) cot α10 = 0, ¯Ek ¯ = cos(θ10 − θ12 ) (8.80) czyli fala odbita bȩdzie spolaryzowana w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny padania. Istnieje wiȩc możliwość polaryzowania światła liniowo przez odbicie go pod odpowiednim ka̧tem zdefiniowanym przez (8.79), i zwanym ka̧tem Brewstera . Jest to tzw. polaryzacja przez odbicie 128 8.4.2 Zjawisko odbicia zupełnego Ośrodek 1 nazywamy optycznie gȩstszym od ośrodka 2, jeśli ²2 < ²1 , czyli n12 = p ²2 /²1 < 1. Przy przechodzeniu światła z ośrodka optycznie gȩstszego do rzadszego istnieje taki ka̧t padania ( ka̧t graniczny), dla którego sin θgr = n12 , (8.81) wiȩc odpowiadaja̧cy mu ka̧t załamania θ12 = π/2. Dla ka̧tów padania wiȩkszych od ka̧ta granicznego: θgr < θ10 < π/2, ze zwia̧zku sin θ10 = n12 sin θ12 , zachodzi nierówność sin θ12 > 1, która nie może być spełniona dla ka̧ta rzeczywistego. Musi wiȩz zachodzić θ12 = π/2 + iα czyli, wykorzystuja̧c wzory sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y, cos(x + iy) = cos x cosh y + i sin x sinh y otrzymamy dla x = π/2: sin(π/2 + iy) = cosh y ≥ 1, wiȩc dla θ10 > θgr , θ12 = π/2 + iα, sin θ10 sin θ12 = cosh α = , n12 q i cos θ12 = i sinh α = sin2 θ10 − n212 . n12 (8.82) Ponieważ nadal obowia̧zuja̧ wzory Fresnela, otrzymamy dla amplitud fali załamanej i odbitej sin θ12 − sin θ10 cos θ12 , sin θ10 cos θ12 + cos θ10 sin θ12 (10) cos θ10 cosh α − i sin θ10 sinh α = E⊥ , cos θ10 cosh α + i sin θ10 sinh α (10) (10) a − ib = E⊥ exp(−2iψ1 ), = E⊥ a + ib (11) E⊥ (10) cos θ10 = E⊥ gdzie sin θ10 sinh α tan ψ1 = = cos θ10 cosh α 129 q sin2 θ10 − n212 cos θ10 . (8.83) Analogicznie dla składowej równoległej (11) Ek (10) sin θ10 = Ek cos θ10 − sin θ12 cos θ12 , sin θ10 cos θ10 + sin θ12 cos θ12 (10) a − ib (10) = Ek exp(−2iψ2 ), a + ib q sin θ10 sin2 θ10 − n212 a = sin θ10 cos θ10 , b = . n212 = Ek (8.84) Wartości bezwzglȩdne amplitud fali padaja̧cej i odbitej sa̧ równe. Średnia w czasie energia fali padaja̧cej i odbitej jest taka sama- nie ma (średnio) przepływu energii do drugiego ośrodka. Mamy tzw. zupełne odbicie. Ponieważ tylko średnie wartości energii fali padaja̧cej i odbitej sa̧ sobie równe, moga̧ wystȩpować fluktuacje energii w drugim ośrodku. Istnienie fali w drugim ośrodku jest konieczne dla spełnienia warunków brzegowych. Czynnik fazowy tej fali załamanej jest równy: h ³ ´i (0) exp i k12 k12 r − ωt = exp (iτ12 ) , gdzie (0) sin θ10 (0) , k12y = 0, n12 q i = sin2 θ10 − n212 , n12 k12x = sin θ12 = (0) k12z = cos θ12 exp(iτ12 ) ¶ · µ ¶¸ µ q x zω 2 2 sin θ10 − n12 exp iω sin θ10 − t . = exp − v2 v2 (8.85) (8.86) Znak pierwiastka we wzorze (8.86) wybrany został jako dodatni, gdyż taki wybór zapewnia znikanie fali dla z → ∞. Otrzymaliśmy w drugim ośrodku falȩ, która porusza siȩ w kierunku osi x z prȩdkościa̧ fazowa̧ vx = v/ sin θ10 , a zanika wykładniczo w kierunku z (prostopadłym do kierunku rozchodzenia). Wektor Poyntinga fali załamanej pulsuje periodycznie. Jego składowa normalna, uśredniona po czasie, daje zero. 130 Rozdział 9 Fale elektromagnetyczne w układach prowadza̧cych 9.1 Wstȩp Poprzednio rozważane były własności fal wysyłanych przez źródła (anteny). Antena posiada określona̧ charakterystykȩ kierunkowa̧. Kierunkowość anteny jest jednak wysoce niewystarczja̧ca by przekazać na dalsza̧ odległość energiȩ od nadajnika do odbiornika. Oprócz tego efekty dyfrakcyjne doprowadziłyby do znacznego osłabienia pola w obszarze odbiornika. Tak wiȩc przesyłamy energiȩ przy pomocy anteny w takich sytuacjach gdy współczynnik efektywności (stosunek mocy pobieranej przez odbiornik do mocy wysyłanej przez antenȩ) nie ma wiȩkszego znaczenia w stosunku do innych kryteriów. Gdy chodzi o przekazanie energii przy dużym współczynniku efektywności, stosuje siȩ linie przesyłowe (układy prowadza̧ce) utworzone przez układ powierzchni przewodza̧cychfalowod, lub powierzchni dielektrycznych - światłowody. Dokładniej mówia̧c, nie można skon- struować linii przesyłaja̧cej energiȩ tylko w jednym kierunku, bez rozpraszania energii w innych. Jednak w dobrze skonstruowanych liniach rozproszenie energii jest małe i można uważać, że fala jest przesyłana tylko w 1 kierunku. 9.2 Falowody Falowodem nazywamy przewodnik w kształcie rury maja̧cej zwykle jednakowy przekrój na całej długości (p. rys. 9.1). Teoretyczne badanie własności fali elektromagnetycznej wewna̧trz falowodu sprowadza siȩ do rozwia̧zania równań Maxwella dla obszarów ograniczonych przy warunkach brzegowych na powierzchni przewodników. Zakłada siȩ na ogół, że σ → ∞ (idealne linie przesyłowe). 131 Rysunek 9.1: Schemat falowodu. Jedynie przy obliczaniu wielkości strat trzeba założyć σ < ∞. 9.2.1 Fale elektromagnetyczne miȩdzy dwoma równoległymi przewodza̧cymi płaszczyznami . Najprostszym modelem falowodu jest układ dwu płaszczyzn przewodza̧cych, umieszczonych w odległości a (rys. 9.1). Przestrzeń miȩdzy płaszczyznami wypełniona jest dielektrykiem o przenikalności ². Z własności pola E wiadomo, że na idealnie przewodza̧cej płaszczyźnie (E)t = 0 (znikanie składowej stycznej). Zakładamy, że fala rozchodzi siȩ w kierunku z, a składowe pól nie zależa̧ od y. Z równań Maxwella, zakładaja̧c harmoniczna̧ zależność od czasu (∝ exp(iωt)), otrzymamy ∂Ey ∂z ∂Ey ∂x ∂Ex ∂z ∂Hy ∂z = iωµHx , = −iωµHz , − ∂Ez = −iωµHy , ∂x = −iω²Ex , 132 (9.1) ∂Hy = iω²Ez , ∂x ∂Hx ∂Hz − = iω²Ey , ∂z ∂x Powyższe 6 równań rozdzielić można na 2 grupy: I) ∂Ey = iωµHx , ∂z ∂Ey = −iωµHz , ∂x ∂Hz ∂Hx − = iω²Ey , ∂z ∂x (9.2) ∂Hy = −iω²Ex , ∂z ∂Hy = iω²Ez , ∂x ∂Ex ∂Ez − = −iωµHy . ∂z ∂x (9.3) II) Obie grupy równań opisuja̧ 2 typy fal rozchodza̧cych siȩ w falowodach: I) - fale poprzeczne elektryczne - TE niewiadome Ey , Hx , Hz , II) - fale poprzeczne magnetyczne - TM, niewiadome Ex , Ez , Hy . Fale typu TE posiadaja̧ składowe poprzeczne dla pola E, natomiast również składowa̧ Hz . Fale TM posiadaja̧ składowa̧ Ez . 9.2.2 Fale poprzeczne magnetyczne - TM Fale TM określone sa̧ układem równań II (9.3): 1 ∂Hy , iω² ∂z 1 ∂Hy , Ez = iω² ∂x Ex = − (9.4) co po podstawieniu do 3-go z równań (9.3) da ∂2 ∂2 Hy + 2 Hy + k 2 Hy = 0, 2 ∂x ∂z √ k = ω ²µ. (9.5) Równanie (9.5) rozwia̧zujemy przy warunku brzegowym na znikanie składowej stycznej E: ∂Hy Ez = (1/iω²) =0 ∂x 133 ( gdy x = 0, gdy x = a. (9.6) Równanie (9.5) rozwia̧zujemy metoda̧ rozdzielenia zmiennych: Hy = X(x)Z(z) otrzymuja̧c: Z 00 X 00 + + k 2 = 0. X Z (9.7) Funkcje X, Z spełniaja̧ równania d2 X + kc2 X = 0, dx2 d2 Z − γ 2 Z = 0, dz 2 (9.8) gdzie stałe kc , γ dobrane sa̧ tak, by k 2 = kc2 − γ 2 . Rozwia̧zań układu równań (9.8) poszukujemy w postaci X(x) = A1 sin kc x + B1 cos kc x, Z(z) = Ce−γz + Deγz , (9.9) wiȩc dla pola Hy Hy = X(x)Z(z) = ¡ ¢ = (A1 sin kc x + B1 cos kc x) Ce−γz + Deγz . (9.10) Stała̧ kc wyznaczamy z warunku brzegowego (9.32): kc (A1 cos kc x − B1 sin kc x) = 0 dla x = 0, a. (9.11) Warunek (9.11) spełniony jest w szczególności dla kc = 0, wtedy γ = ik i otrzymujemy składowe wektorów pola: Ez = 0, ¤ k £ −ikz Ex = Ae − Beikz ω² £ ¤ = ζ Ae−ikz − Beikz , (9.12) Hy = Ae−ikz + Beikz . Dla kc = 0 otrzymaliśmy rozwia̧zanie w postaci 2 fal biegna̧cych w przeciwnych kierunkach. Jeśli założyć, że źródło fali znajduje siȩ w z = −∞ to istnieć bȩdzie tylko fala biegna̧ca w kierunku +z, 134 tzn. o czynniku fazowym exp(−ikz + iωt). Opuszczja̧c czynnik exp iωt mamy: Ex = A0 exp(−ikz), Ez = 0, (9.13) Hy = (A0 /ζ) exp(−ikz). Dla kc = 0 rozwia̧zanie jest poprzeczna̧ fala̧ elektromagnetyczna̧ (EM), o prȩdkości fazowej √ vψ = ω/k = 1/ ²µ. Definiujemy wielkość oporu charakterystycznego układu jako stosunek składowej E stycznej do płaszczyzny przekroju poprzecznego układu, do prostopadłej do niej składowej H, stycznej do tej samej płaszczyzny: Zc = Ex =ζ= Hy r µ . ² Poprzeczna fala EM zwana jest fala̧ podstawowa̧, jako najprostsza fala, która może istnieć w opisywanym układzie. Fale podstawowe moga̧ być wzbudzane w innych układach, analogicznych do dwóch przewodza̧cych płaszczyzn (linia 2 przewodowa, linia koaksjalna). W tym układzie fala podstawowa może istnieć przy dowolnej czȩstotliwości nadajnika, i rozchodzi siȩ z prȩdkościa̧, która zależy tylko od parametrów ośrodka. Weźmy w warunku (9.11) A1 = 0. Wtedy nπ , n = 0, 1, 2, . . . , sin kc a = 0 ⇒ kc = a r³ ´ nπ 2 γ = γn = − k2 , a ¡ ¢ nπ Hy = A−γn z + Beγn z cos x. a (9.14) Podobnie jak dla fali podstawowej rozpatrujemy przypadek fal biegna̧cych w kierunku +z. Wtedy stała B=0, i pole ma składowe nπ Hy = An e−γn z cos x, a γn nπ Ex = An e−γn z cos x, iω² a 1 nπ nπ Ez = − An e−γn z sin x, iω² a a (9.15) n = 0, 1, 2, . . . . W przestrzeni miȩdzy dwoma płaszczyznami przewodza̧cymi może istnieć nieskończona ilość fal TM. Wartości n = 0 odpowiada fala podstawowa. Pole TM ma charakter falowy, jeśli spełniony jest warunek k > nπ/a, wtedy r³ nπ ´2 − k 2 = iβn , a r ³ nπ ´2 . βn = k 2 − a γn = 135 (9.16) √ Dla k < 2πf ²µ < nπ/a liczby γn sa̧ rzeczywiste, pole jest tłumione z czynnikiem exp(−γn z. Wielkości nπ nv , √ = 2a ²µ 2a 2a v = , n = 0, 1, 2, ... = fgr n fgr = λgr (9.17) nazywamy odpowiednio czȩstotliwościa̧ graniczna̧ i długościa̧ fali graniczna̧. Zwia̧zki (9.16) zapisane przy użyciu wielkości granicznych maja̧ postać s γn = ik µ 1− s µ fgr f ¶2 ¶2 = iβn λ , λgr s s µ ¶2 µ ¶2 fgr λ βn = k 1 − =k 1− . f λgr = ik 1− (9.18) Dana fala T Mn (En ) (ustalone a, f, n) rozprzestrzeniać siȩ bȩdzie wzdłuż linii tylko wtedy, gdy (n) f > fgr , lub gdy fala jest krótsza od odpowiedniej długości granicznej. Np. warunki rozchodzenia siȩ fali T M1 to: (1) = fgr v , 2a (1) , f > fgr lub gdy λ < 2a. Przenoszenie energii wzdłuż falowodu zwia̧zane jest tylko z falami niezanikaja̧cymi. Średni rzut wektora Poyntinga na oś z 1 (Pz )śr = Re (E × H∗ )ez 2 hγ ∗ 1 nπ i n = Re An A∗n e−z(γn +γn ) cos2 x . 2 iω² a (9.19) Jeśli γn jest czysto urojone (fala niezanikaja̧ca), to (Pz )śr = 1 βn nπ 2 |An | cos2 x 6= 0 2 ω² a dla 0 ≤ x ≤ a, (9.20) podczas gdy (Pz )śr = 0 dla γn rzeczywistych. Prȩdkość fazowa v ³ vψ = r 1− fgr f v =q 1− ( λλgr )2 ´2 v ¡ nλ ¢2 > v, 1 − 2a =q czyli jest wiȩksza od prȩdkości rozchodzenia siȩ fali swobodnej. 136 (9.21) 9.2.3 Fale poprzeczne elektryczne- TE Fale TE opisane sa̧ równaniami grupy I (9.2) ∂Ey = iωµHx , ∂z ∂Ey = −iωµHz , ∂x ∂Hx ∂Hz − = iω²Ey , ∂z ∂x (9.22) sta̧d 1 ∂Ey , iωµ ∂z 1 ∂Ey Hz = − , iωµ ∂x Hx = (9.23) co po podstawieniu do 3-go z równań (9.22) daje ∂ 2 Ey ∂ 2 Ey + + k 2 Ey = 0. ∂x2 ∂z 2 (9.24) Analogicznie jak dla fal TM, poszukujemy rozwia̧zania metoda̧ rozdzielenia zmiennych otrzymuja̧c ¡ ¢ Ey = (A1 sin kc x + B1 cos kc x) Ce−γz + D eγz , (9.25) γ 2 = kc2 − k 2 . W analogii do fal TM zaża̧damy, by D = 0 (fale w kierunku +z): Ey = (A1 sin kc x + B1 cos kc x) e−γz . (9.26) Po spełnieniu warunku brzegowego ( Ey = 0 gdy x = 0, (9.27) gdy x = a, dla B = 0, otrzymamy nπ sin kc a = 0 ⇒ kc = , a r³ ´ nπ 2 γ = γn = − k2 , a (9.28) i składowe pola fali TE w postaci nπ Ey = An e−γn z sin x, a γn nπ Hx = − An e−γn z sin x, iωµ a 1 nπ nπ Hz = − An e−γn z cos x, iωµ a a Podobnie jak dla fal TM, pole ma charakter falowy gdy r ³ nπ ´2 γn = iβn = i k 2 − , a 137 (9.29) n = 1, 2, . . . . czyli dla k > nπ/a. Czȩstotliwość graniczna i graniczna długoś fali zdefiniowane sa̧, jak dla fali TM, wzorami (9.49). Zauważmy, że w odróżnieniu od fal TM, nie istnieje fala TE dla n = 0. Podsumowanie: 1. W przestrzeni miȩdzy dwoma równoległymi przewodza̧cymi płaszczyznami może istnieć nieskończona ilość fal poprzecznych elektrycznych i poprzecznych magnetycznych. 2. Z tych fal wzdłuż linii o szerokości a, przy zadanej czȩstotliwości f rozchodzić siȩ bez tłumienia moga̧ tylko te fale, których czȩstotliwości krytyczne sa̧ mniejsze od f . 3. Czȩstotliwość krytyczna określona jest przez odległość a miȩdzy płaszczyznami i parametrami ², µ wypełniaja̧cego ośrodka. 4. Wyja̧tek stanowi fala podstawowa TEM której czȩstotliwość krytyczna =0. 5. Prȩdkość fazowa wszystkich typów fal, oprócz fali podstawowej, zależy od czȩstotliwości v vψ = q 1 − (fgr /f ) 2 > v, dla fali TEM vψ = v. 6. Długość fali w przestrzeni miȩdzy płaszczyznami λ0 = vψ =q f λ 1 − (λ/λgr ) 7. Stała propagacji fali q γn = ik 9.3 2 . (9.30) 2 1 − (fgr /f ) . Falowody prostoka̧tne Falowody sa̧ podstawowym układem do przesyłania fal o dużych czȩstotliwościach ( f ≥ 3 · 109 Hz= 300 MHz). Zwykle falowód przedstawia metaliczna̧ rurȩ o przekroju prostoka̧tnym (p. rys. 9.2) lub okra̧głym, wypełniona̧ powietrzem. Czȩsto falowody pokryte sa̧ od wewna̧trz srebrem. Własności fal elektromagnetycznych w falowodzie otrzymamy rozwia̧zuja̧c równania Maxwella dla pól harmonicznych ∇ × E = −iωµH, ∇ × H = iω²E, (9.31) przy warunku brzegowym na znikanie składowej stycznej E: ( (E)t = 0 gdy x = 0, a, gdy y = 0, b. 138 (9.32) Rysunek 9.2: Schemat falowodu prostoka̧tnego. Poszukujemy rozwia̧zań w postaci fali bieża̧cej ∝ exp(iωt − γz), gdzie stała γ jest stała̧ separacji. Z równań Maxwella otrzymamy a) b) c) d) e) f) ∂Hz + γHy = iω²Ex , ∂y ∂Hz − γHx − = iω²Ey , ∂x ∂Hy ∂Hx − = iω²Ez , ∂x ∂y ∂Ez + γEy = −iωµHx , ∂y ∂Ez − γEx − = −iωµHy , ∂x ∂Ey ∂Ex − = −iωµHz . ∂x ∂y (9.33) Z powyższych równań, podstawiaja̧c Hx , Hy z (9.33 d,e) do (9.33 a,b) oraz Ex , Ey z (9.33 a,b) do równań (9.33 d,e) otrzymamy Ex , Ey , Hx , Hy jako funkcje Ez , Hz : µ ¶ 1 ∂Ez ∂Hz Ex = − 2 γ + iωµ , kc ∂x ∂y µ ¶ 1 ∂Ez ∂Hz Ey = 2 −γ + iωµ , kc ∂y ∂x µ ¶ ∂Ez ∂Hz 1 −γ , Hx = 2 iω² kc ∂y ∂x µ ¶ 1 ∂Ez ∂Hz Hy = − 2 iω² +γ , kc ∂x ∂y (9.34) gdzie, jak poprzednio, kc2 = γ 2 + k 2 . Otrzymaliśmy składowe pola jako funkcje Ez , Hz . Podstaw- 139 iaja̧c z powyższych równań Ex , Ey do (9.33 f) i Hx , Hy do (9.33 c) otrzymamy równania ∂ 2 Hz ∂ 2 Hz + + kc2 Hz = 0, 2 ∂x ∂y 2 ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez + + kc2 Ez = 0. 2 ∂x ∂y 2 (9.35) Z równań (9.35) widać, że pole elektromagnetyczne w falowodzie prostoka̧tnym jest suma̧ 2 pól o składowych: I. Fale TE iωµ ∂Hz , kc2 ∂y iωµ ∂Hz Ey = 2 , kc ∂x Ez = 0, γ ∂Hz , kc2 ∂x γ ∂Hz Hy = − 2 , kc ∂y Hz 6= 0. Hx = − Ex = − (9.36) II. Fale TM γ ∂Ez , kc2 ∂x γ ∂Ez Ey = − 2 , kc ∂y Ez 6= 0, Ex = − iω² ∂Ez , kc2 ∂y iω² ∂Ez Hy = − 2 , kc ∂x Hz = 0. Hx = − (9.37) Obie grupy równań opisuja̧ 2 typy fal rozchodza̧cych siȩ w falowodach: I) - fale poprzeczne elektryczne - TE (Ez = 0), II) - fale poprzeczne magnetyczne - TM (Hz = 0). 9.3.1 Fale poprzeczne elektryczne TE Fale TE określone sa̧ układem równań I (9.36). Do wyznaczenia pola wystarcza znajomość składowej Hz , która spełnia równanie ∂Hz ∂ 2 Hz + + kc2 Hz = 0, 2 ∂x ∂y 2 (9.38) przy spełnieniu warunków brzegowych (E)t = 0, czyli Ex = 0 gdy y = 0, y = b, Ey = 0 gdy x = 0, x = a, dla y = 0, y = b, dla x = 0, x = a. (9.39) co po podstawieniu do równań (9.36) daje ∂Hz =0 ∂y ∂Hz =0 ∂x 140 (9.40) Równanie (9.38) rozwia̧zujemy metoda̧ rozdzielenia zmiennych: Hz = X(x)Y (y) exp(−γz), otrzymuja̧c: X 00 Y 00 + + kc2 = 0. X Y (9.41) Funkcje X, Y spełniaja̧ równania d2 X + p2 X = 0, dx2 d2 Y + `2 Y = 0, dy 2 (9.42) gdzie stałe p, ` dobrane sa̧ tak, by p2 + `2 = kc2 . Rozwia̧zań układu równań (9.42), podobie jak dla przykładu pola miȩdzy płaszczyznami przewodza̧cymi, poszukujemy w postaci X(x) = A1 cos kc x + B1 sin kc x, Y (y) = A2 cos `y + B2 sin `y, (9.43) Hz = (A1 cos kc x + B1 sin kc x) (A2 cos `y + B2 sin `y) e−γz , γ 2 = p2 + `2 − k 2 . Stałe p, ` wyznaczymy z warunków brzegowych (9.40), otrzymuja̧c B2 = 0, ` = nπ/b, B1 = 0, p = mπ/a, n = 0, 1, 2, 3, . . . m = 0, 1, 2, . . . , (9.44) czyli dla pola Hz nπ mπ x cos y exp(−γmn z), Hz = Amn cos a b ³ mπ ´2 ³ nπ ´2 kc2 = + , a b p γ = γmn = kc2 − k 2 r³ mπ ´2 ³ nπ ´2 = + − k2 . a b (9.45) Ostatecznie dla wektorów pola fali TEmn otrzymamy mπ nπ iωµ nπ Amn e−γmn z cos x sin y, 2 kc b a b iωµ mπ mπ nπ Ey = − 2 Amn e−γmn z sin x cos y, kc a a b Ez = 0, Ex = 141 (9.46) γmn mπ mπ nπ Amn e−γmn z sin x cos y, kc2 a a b γmn nπ mπ nπ Hy = 2 Amn e−γmn z cos x sin y, kc b a b nπ mπ x cos y. Hz = Amn e−γmn z cos a b Hx = W falowodzie prostoka̧tnym może istnieć nieskończona ilość fal poprzecznych elektrycznych (”modów”) indeksowanych liczbami całkowitymi m, n: moga̧ być dowolne pod warunkiem że jednocześnie nie równe 0. W przekroju poprzecznym fala jest fala̧ stoja̧ca̧ : m jest liczba̧ półfal układaja̧cych siȩ na osi x (0 ≤ x ≤ a), a n - na osi y (0 ≤ y ≤ b). Fale rozchodzić siȩ w kierunku z, jeśli stała propagacji r ³ mπ ´2 ³ nπ ´2 γn = iβmn = i k 2 − − , a b (9.47) bȩdzie liczba̧ czysto urojona̧, tj. gdy k2 − ³ mπ ´2 a − ³ nπ ´2 b > 0. (9.48) W przypadku przeciwnym pole bȩdzie tłumione. Podobnie jak dla dwu płaszczyzn przewodza̧cych, istnieje czȩstotliwość graniczna i graniczna długość fali. Fala TEmn bȩdzie siȩ rozchodzić dla f > fgr , gdzie fgr λgr 9.3.2 r³ mπ ´2 ³ nπ ´2 + , m, n = 0, 1, 2, . . . , a b r³ mπ ´2 ³ nπ ´2 = 2/ + . a b v = 2 (9.49) Fale poprzeczne magnetyczne TM Fale TM opisane sa̧ równaniami grupy II (9.37) γ ∂Ez iω² ∂Ez ; Hx = − 2 , kc2 ∂x kc ∂y γ ∂Ez iω² ∂Ez Ey = − 2 ; Hy = − 2 , kc ∂y kc ∂x Ez 6= 0 ; Hz = 0, Ex = − (9.50) z warunkami brzegowymi Ez = 0 dla x = 0, x = a, Ez = 0 dla y = 0, x = b. (9.51) Pole Ez spełnia równanie (9.35) ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez + + kc2 Ez = 0. ∂x2 ∂y 2 142 (9.52) Poszukuja̧c, jak w przypadku fal TE, rozwia̧zania w postaci Ez = X(x)Y (y) exp(−γz), otrzymamy X(x) = A1 cos px + B1 sin px, Y (y) = A2 cos `y + B2 sin `y, (9.53) Ez = (A1 cos px + B1 sin px) (A2 cos `y + B2 sin `y) e−γz , p2 + `2 = kc2 , γ 2 = p2 + `2 − k 2 . Stałe p, ` wyznaczymy z warunków brzegowych (9.51), otrzymuja̧c A1 = 0, sin pa = 0 ⇒ p = mπ/a, A2 = 0, sin `b = 0 ⇒ ` = nπ/b, m = 0, 1, 2, 3, . . . , n = 0, 1, 2, 3, . . . . (9.54) Ostatecznie dla wektorów pola fali TMmn otrzymamy γmn mπ mπ nπ Bmn e−γmn z cos x sin y, 2 kc a a b γmn nπ mπ nπ Ey = − 2 Bmn e−γmn z sin x cos y, kc b a b mπ nπ Ez = Bmn e−γmn z sin x sin , a b iω² nπ mπ nπ Hx = 2 Bmn e−γmn z sin x cos y, kc b a b iω² mπ mπ nπ Hy = − 2 Bmn e−γmn z cos x sin y, kc a a b Hz = 0, ³ mπ ´2 ³ nπ ´2 kc2 = + , a b r³ p mπ ´2 ³ nπ ´2 2 2 γ = γmn = kc − k = + − k2 . a b Ex = − (9.55) W falowodzie prostoka̧tnym może istnieć nieskończona ilość fal poprzecznych magnetycznych (”modów”) indeksowanych liczbami całkowitymi m, n: moga̧ być dowolne pod warunkiem że m, n 6= 0, nie ma wiȩc fal TM00 , TMm0 , TM0n , m, n = 1, 2, . . .. Najprostsza̧ fala̧ TM jest fala TM11 , podczas gdy dla fal TE najprostsza̧ jest TE10 . 9.3.3 Fala typu TE10 w falowodzie prostoka̧tnym (m=1, n=0) Pole fali TE10 określone jest wzorami (9.46), które dla m = 1 i n = 0 przybieraja̧ postać a π Ey = −iωµ A10 sin x · e−iβ10 z , π a 143 Ex = Ez = Hy = 0, π Hx = A10 cos · e−iβ10 z , a p 2 β10 = k − (π/a)2 , fgr = v/2a, (9.56) λgr = 2a. Długość fali graniczna λgr nie zależy od drugiego z wymiarów (b) i ma wartość wiȩksza̧, niż dla innych typów fal , p. wz. (9.49), a przesyłać można fale o długości λ < λgr . Sta̧d fala TE10 jest użyteczna w zastosowaniach. Ponieważ własności fali nie zależa̧ od b, można je uczynić bardzo małym. 9.4 Światłowody Telekomunikacja światłowodowa jest szybko rozwijaja̧ca̧ siȩ dziedzina̧ techniki. Stosowanie światła jako nośnika informacji ma długa̧ historiȩ. Pierwowzorem była sygnalizacja optyczna. Z powodu właściwości atmosfery- ma ograniczony zasiȩg i gotowość czasowa̧. Za to ma duże zalety np. w Kosmosie. Na Ziemi korzystamy z falowodowych właściwości włókien szklanych - światłowodów (ang. optical waves guides). Istotny przełom w technice optycznej nasta̧pił na pocza̧tku lat 60-tych, z rozwojem techniki laserowej. Powstanie lasera pobudziło badania możliwości wykorzystania zakresu optycznego czȩstotliwości do celów transmisji, jako naturalnego rozszerzenia zakresu radiowego i mikrofalowego. Laser jest obecnie powszechnie dostȩpnym źródłem promieniowania spójnego o czȩstotliwości nośnej rzȩdu 1015 Hz. Tylko 0.1 % szerokości pasma wokół czȩstotliwości nośnej odpowiada szerokości pasma sygnału rzȩdu 1000 GHz, co umożliwia uzyskanie nieosia̧galnej dotychczas przepustowości systemu transmisyjnego (dla mikrofali o dł. 1 cm - czȩstotliwości nośna jest rzȩdu 3·1010 Hz). W dalszym cia̧gu opierać siȩ bȩdziemy na monografii Midwintera [26], bardziej współczesne ujȩcie p. monografia Szustakowskiego [27]. Typowa konstrukcja światłowodu to jednomodowa linia transmisyjna o kołowym rdzeniu wykonanym ze szkła i otaczaja̧cym go płaszczu ze szkła o współczynniku załamania mniejszym niż rdzenia, dla zapewnienia warunków propagacji modu (p. rys. 9.3), lub struktury o geometrii płaskiej (rys. 9.4). Podstawowa różnica miȩdzy światłowodami i falowodami radiowymi: falowody radiowe to rury ograniczone ściankami z doskonałego przewodnika, najczȩściej wypełnione gazem. Pole elektromagnetyczne na zewna̧trz ścianki jest równe 0. W światłowodach wykorzystuje siȩ zjawisko całkowitego wewnȩtrznego odbicia na granicy miȩdzy dwoma dielektrykami. Pole elektromagnetyczne wewna̧trz drugiego dielektryka istnieje i ma charakter zanikaja̧cy (średnia energia = 0). Dlatego istotna̧ rolȩ odgrywa płaszcz zewnȩtrzny. Warstwa płaszcza musi być odpowiednio gruba, aby pole na zewna̧trz światłowodu nie istniało. 144 Rysunek 9.3: Schemat światłowodu Rysunek 9.4: Światłowód płaski W analogii do falowodów rozpatrywać bȩdziemy propagacjȩ fal typu TE i TM. Zaczniemy od fal TE propaguja̧cych wewna̧trz światłowodu płaskiego przedstawionego schematycznie na rys. 9.5. Fala padaja̧ca na płaszczyznȩ graniczna̧ x = d daje pocza̧tek fali odbitej, która ulega powtórnemu odbiciu od drugiej płaszczyzny granicznej przy x = −d. Zakładamy spełnienie warunków całkowitego wewnȩtrznego odbicia na obu płaszczyznach granicznych, a wiȩc n1 > n2 i n1 > n3 . W rezultacie fala jest prowadzona wzdłuż struktury, tworza̧c trajektoriȩ w kształcie zygzaku. Z rysunku wynika ważna cecha charakterystyczna propagacji w światłowodzie płaskim. Zmiana fazy fali, po dwukrotnym przejściu przez światłowód i dwukrotnym odbiciu, musi być równa całkowitej wielokrotności 2π radianów. Wyniknie z tego dodatkowy warunek prowadzenia fali: rozwia̧zania dla pól istnieja̧ dla określonych wartości stałej kz . Dla fali TE istnieja̧ składowe Ey i Hx , Hz . Przyjmujemy nastȩpuja̧ce oznaczenia: Fale padaja̧ce na płaszczyznȩ graniczna̧ x=d A exp [−i (k1x x + kz z − ωt)] , C exp (−γ2 x) exp[i (ωt − kz z) . 145 (9.57) Rysunek 9.5: Rozkład fal rozchodza̧cych siȩ w światłowodzie płaskim Fale padaja̧ce na płaszczyznȩ graniczna̧ x = −d B exp [i (k1x x − kz z + ωt)] , D exp (γ3 x) exp[−i (ωt − kz z) , (9.58) gdzie 2 = n21 k02 − kz2 = −γ12 , k1x 2 k2x = n22 k02 − kz2 = −γ22 , n21 k02 = ω 2 ²r1 ²0 µr1 µ0 , (9.59) n22 k02 = ω 2 ²r2 ²0 µr2 µ0 , tan θ1 = k1x /kz , tan θ2 = k2x /kz . Z warunków cia̧głości dla składowych Ey i Hz na płaszczyznach x=d i x=-d otrzymamy wyrażenia A0 exp(−ik1x d) + B0 exp(ik1x d) = C0 exp(−γ2 d), −k1x A0 exp(−ik1x d) + k1x B0 exp(ik1x d) = iγ2 C0 exp (−γ2 d) , A0 exp (ik1x d) + B0 exp (−ik1x d) = D0 exp (γ3 d) , (9.60) −k1x A0 exp (ik1x d) + k1x B0 exp(−ik1x d) = −iγ3 D0 exp(γ3 d). Podany układ równań na 4 niewaiadome A0 , B0 , C0 , D0 ma rozwia̧zanie wtedy i tylko wtedy, gdy 146 wyznacznik główny układu jest równy zeru: ¯ ¯ ¯ exp(−ik1x d) exp(ik1x d) exp(−γ2 d) 0 ¯ ¯ ¯ −k1x exp(−ik1x d) k1x exp(−ik1x d) iγ2 exp(−γ2 d) 0 ¯ ¯ ¯ exp(ik1x d) exp(−ik1x d) 0 exp(γ3 d) ¯ ¯ ¯ −k1x exp(ik1x d) k1x exp(−ik1x d) 0 −iγ3 exp(γ3 d) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (9.61) Rozwia̧zuja̧c powyższe równanie otrzymujemy tan(2k1x d) = γ2 /k1x + γ3 /k1x . 1 − (γ2 /k1x )(γ3 /k1x ) (9.62) Stosuja̧c wzór na tangens sumy otrzymamy 2k1x d ± nπ = arctan(γ2 /k1x ) + arctan(γ3 /k1x ). (9.63) Wyrażenia tan ψE = γ2 /k1x , γ3 /k2x reprezentuja̧ zmiany fazy, jakie zachodza̧ na płaszczyznach granicznych w warunkach całkowitego odbicia. Równanie (9.63) reprezentuje przewidziany poprzednio warunek fazowy dla działania światłowodu, gdyż 2k1x d to zmiana fazy przy jednokrotnym przejściu przez przekrój poprzeczny światłowodu. Dla tzw. symetrycznego światłowodu płaskiego, kiedy n2 = n3 otrzymamy z (9.63): k1x d ± nπ = arctan(γ2 /k1x ), (9.64) γ2 = ik2x = in2 k0 sin α2 , n2 /n1 = cos α1 / cos α2 , q p 2 sin α2 = ± 1 − cos2 α2 = ± 1 − (n1 /n2 ) cos2 α1 , s n22 − n21 cos2 α1 , k2x = ±n2 k0 n22 ostatecznie wiȩc s γ2 = k1x n21 sin2 θ − n22 , n21 cos2 θ (9.65) gdyż cos α = sin θ, θ1 =: θ, k1x = n1 k0 cos θ1 = n1 k0 cos θ. Równanie (9.64) jest tzw. równaniem na wartości własne światłowodu. Dla np. zadanych wartości d, n1 , n2 , n3 wyznacza ono dopuszczalne wartości ka̧ta θ dla n=0,1,2,.... Równanie (9.64), przepisane w postaci ³ nπ ´ γ2 tan k1x d − = , 2 k1x s ³ nπ ´ n21 sin2 θ − n22 tan n1 k0 d cos θ − = , 2 n21 cos2 θ 147 (9.66) zilustrowane jest graficznie na rys. 9.6. Z wykresów widać, że dla skończonej grubości warstwy prowadza̧cej d istnieje skończona liczba rozwia̧zań. Stanowi odciȩcia w światłowodzie płaskim odpowiada fala padaja̧ca pod ka̧tem granicznym na jedna̧ lub dwie płaszczyzny graniczne, gdyż wtedy γ2 lub γ3 , lub też γ2 i γ3 sa̧ równe 0. Ze wzglȩdu na równanie dla składowej Ey Ey = A0 exp(−ik1x x) + B0 exp [ik1x (x − 2d)] oraz warunki B0 = A0 exp(2iψE ), ψE = arctan(γ2 /k1x ), k1x d ± nπ/2 = ψE , mamy n h ³ h ³ nπ ´i nπ ´io Ey = A0 exp i k1x − + exp −i k1x − 2 2 (9.67) czyli ( Ey = A0 cos(k1x x), gdy n = 0, 2, 4, . . ., A0 sin(k1x x), gdy n = 1, 3, . . .. (9.68) Na podstawie tych wzorów przedstawić można graficzny obraz pola w przekroju poprzecznym światłowodu. Dwie rozchodza̧ce w przeciwnych kierunkach fale interferuja̧ ze soba̧, powoduja̧c powstanie fali stoja̧cej typu sinus lub cosinus. Na płaszczyźnie granicznej pole nie zanika do zera, lecz zmienia charakter od oscylacyjnie zmiennego do wykładniczo maleja̧cego z odległościa̧ w płaszczu. Kształt pola dla danego modu wia̧że siȩ z rozkładem energii przenoszonej w warstwie prowadza̧cej i w płaszczu. Dla przykładu rozważmy mod TE0 . Pole ma kształt Ey = r Hx = A cos(k1x x) w rdzeniu cos(k1x d) A exp(− |γ2 x|) exp|−γ 2 d| w płaszczu, ² Ey . µ 148 (9.69) Rysunek 9.6: Rozwia̧zanie graficzne równania (9.66) na mody własne 149 150 Rozdział 10 Elektrodynamika mikroskopowa 10.1 Wstȩp W elektrodynamice fenomenologicznej (klasycznej) własności ośrodków materialnych opisuje siȩ wprowadzaja̧c współczynniki ², µ, σ, i nie uwzglȩdniaja̧c ziarnistej (atomowej) budowy materii. W bieża̧cym rozdziale uwzglȩdnimy istnienie elementarnych ładunków: protonów i elektronów. Dziȩki temu bȩdzie można wyjaśnić zjawiska, niezrozumiałe z punktu widzenia teorii fenomenologicznej, np. zjawisko dyspersji światła. Wystȩpuja̧ce w przyrodzie ładunki swobodne sa̧ całkowitymi wielkorotnościami ładunków elementarnych: elektronu −e, protonu +e, e = 1.6 × 10−19 C. Elementarne cegiełki budowy materii (w tym również cza̧stek takich jak protony i elektrony), kwarki maja̧ ładunki typu ±(1/3)e, ±(2/3)e, kwarki wystȩpuja̧ jednak zawsze w stanie zwia̧zanym i nie sa̧ obserwowane jako cza̧stki swobodne. 10.2 Ruch cza̧stki naładowanej w polu elektromagnetycznym W polu elektromagnetycznym (E, B) na cza̧stkȩ o ładunku e działa siła F = e(E + v × B), (10.1) zwana siła̧ Lorentza. W przypadku nierelatywistycznym równanie ruchu cza̧stki ma postać d (mv) = e(E + v × B). dt 151 (10.2) 10.2.1 Ruch cza̧stki w polu magnetycznym Ruch cza̧stki w polu magnetycznym B ma postać m dv = ev × B. dt (10.3) Mnoża̧c skalarnie obie strony przez v otrzymamy mv dv = 0, dt µ ¶ czyli d dt mv2 2 = 0, (10.4) (10.5) i w konsekwencji mv 2 = const, 2 v 2 = const, (10.6) czyli pole magnetyczne nie wykonuje pracy i nie zmienia ani energii kinetycznej, ani modułu prȩdkości. Siła Lorentza zmienia jedynie kierunek prȩdkości cza̧stki. Niech pole B bȩdzie jednorodne i stałe w czasie. Prȩdkość cza̧stki przedstawić można jako sumȩ v = vk + v⊥ , gdzie vk oznacza składowa̧ równoległa̧ do pola, a vk oznacza składowa̧ w płaszczyźnie prostopadłej do pola B. Ponieważ składowa siły Lorentza w kierunku pola: Fk = e(v × B)k = 0, wiȩc dvk = 0, dt (10.7) vk = const. (10.8) m z czego wynika stłość składowej równoległej Dla składowej prostopadłej v × B = (vk + v⊥ ) × B = v⊥ × B, czyli równanie ruchu przybierze postać m dv⊥ = ev⊥ × B. dt (10.9) Z wzoru 2 v 2 = vk2 + v⊥ = const, 152 (10.10) przy uwzglȩdnieniu (10.8) otrzymamy, że również moduł składowej prostopadłej jest wielkościa̧ stała̧ 2 v⊥ = const. (10.11) Ponieważ ka̧t miȩdzy B i v⊥ pozostaje w czasie ruchu stały i równy π/2, długości wektorów B i v⊥ pozostaja̧ stałe, wiȩc siła Lorentza e(v⊥ × B) ma stała̧ wartość bezwzglȩdna̧, skierowana̧ prostopadle do prȩdkości. Równanie (10.9) to równanie ruchu po okrȩgu o promieniu r 2 mv⊥ = |e|v⊥ B, r (10.12) gdzie wielkość ω = v⊥ /r = |e|B , m r= mv⊥ |e|B (10.13) jest czȩstościa̧ cyklotronowa̧. 10.2.2 Ruch cza̧stki w polu elektrycznym stałym w czasie Rozpatrujemy ruch cza̧stki o ładunku e w stałym polu elektrycznym E = −∇ϕ, gdy B = 0. Równanie ruchu ma postać m dv = −e∇ϕ. dt Mnożymy skalarnie obie strony przez v = dr/dt otrzymuja̧c µ ¶ d mv2 dr dϕ = −e∇ϕ · = −e , dt 2 dt dt (10.14) (10.15) gdyż dϕ(r(t)) dr = ∇ϕ . dt dt Z tych równań wynika mv 2 + eϕ = const, 2 (10.16) co jest niczym innym jak zasada̧ zachowania energii podczas ruchu w polu elektrostatycznym. Jeżeli elektron pocza̧tkowo spoczywał, a nastȩpnie przebył różnicȩ potencjałów U , to (1/2)mv 2 = |e|U, (10.17) z czego wynika wzór na prȩdkość cza̧stki w przybliżeniu nierelatywistycznym r v= 2|e| U. m Dla elektronu, podstawiaja̧c ładunek elektronu i jego masȩ spoczynkowa̧, otrzymamy √ √ v = 6 · 105 U (m/s) = 600 U km/s. 153 (10.18) Jednostka̧ energii w fizyce atomu jest 1 elektronowolt czyli energia, jaka̧ osia̧ga cza̧stka o ładunku elektronu po przebyciu różnicy potencjałów 1 wolta: 1 eV = 1.6 · 10−19 C · 1 V = 1.6 · 10−19 J. 10.2.3 Dryfowanie cza̧stek naładowanych w skrzyżowanych polach elektrycznym i magnetycznym Zakładamy, że ruch cza̧stki odbywa siȩ w jednorodnych, wzajemnie prostopadłych polach E i B oraz że promień krzywizny toru cza̧stki jest znacznie mniejszy od rozmiarów obszaru, w którym odbywa siȩ ruch, tzn. cza̧stka dokonuje wielu obiegów. Rozwia̧zania równania ruchu d(mv)/dt = e(E + v × B) poszukujemy w postaci v = v0 + E×B , B2 co po podstawieniu do równania ruchu da dv0 = eE + ev0 × B dt ¤ e £ + 2 B(E · B) − EB2 = ev0 × B, B m (10.19) gdzie wykorzystano tożsamość A × (B × C) = B(AC) − C(AB). Ponieważ z założenia EB = 0, ostatecznie v0 spełnia równanie m dv0 = ev0 × B, dt (10.20) takie samo jak składowa v⊥ w polu magnetycznym (10.9). Tak wiȩc składowa v0 opisuje ruch po okrȩgu. Ruch cza̧stki w skrzyżowanych polach polega na tym, że cza̧stka porusza siȩ z prȩdkościa̧ v0 wokół punktu, który przesuwa siȩ z prȩdkościa̧ vd vd = E×B , B2 gdzie vd nazywamy prȩdkościa̧ dryfu, a cały ruch dryfowaniem cza̧stki. Kierunek dryfowania nie zależy od znaku cza̧stki. Dryfowanie cza̧stki rozważać można również w niejednorodnym polu magnetycznym, którego natȩżenie zmienia siȩ w kierunku prostopadłym do pola. Zaobserwujemy efekt podobny do dryfowania w polach jednorodnych. W polu jednorodnym cza̧stka poruszałaby siȩ po okrȩgu. W polu niejednorodnym nasta̧pi zmiana promienia krzywizny: tam gdzie natȩżenie pola bȩdzie wiȩksze, promień krzywizny bȩdzie mniejszy. 154 10.2.4 Adiabatyczna niezmienniczość momentu magnetycznego W zastosowaniach praktycznych czȩsto wystȩpuje sytuacja, gdy niejednorodne pole magnetyczne, przy zmianach odległości rzȩdu promienia ruchu cza̧stki i w czasie 1 okresu obiegu, zmienia siȩ nieznacznie. Wykażemy, że wtedy moment magnetyczny cza̧stki pozostaje stały. Jeśli cza̧stka porusza siȩ w cia̧gu okresu T po okrȩgu o promieniu r, porównać ja̧ można z pra̧dem kołowym o natȩżeniu e/T , i przyporza̧dkować moment magnetyczny M = IS = |e| 2 πr , T (10.21) gdzie 2π , ω (10.22) mv⊥ , |e|B (10.23) T = i r= z równania (10.12). Po podstawieniu T i r do wzoru (10.21) na moment magnetyczny otrzymamy M= W⊥ 11 2 = mv⊥ , B2 B (10.24) gdzie W⊥ = 1 mv 2 , 2 ⊥ (10.25) jest energia̧ kinetyczna̧ zwia̧zana̧ ze składowa̧ v⊥ . Wzór (10.24) przedstawić można w postaci W⊥ = M B. (10.26) Gdy pole B zmienia siȩ w czasie, B = B(t), wówczas zgodnie z prawem indukcji Faradaya wytwarza wokół siebie pole elektryczne E I Ed` = − d dt Z E · 2πr = πr2 · BdS, dB . dt (10.27) Tak powstałe pole elektryczne działa na cza̧stkȩ siła̧, wiȩc wykonuje pracȩ, która zwiȩksza energiȩ kinetyczna̧ cza̧stki: w czasie 1 obiegu jest to wielkość ¶ µ dB 1 2 mv = 2πr|e|E = |e|πr2 . ∆ 2 ⊥ dt Dziela̧c obie strony przez T i zakładaja̧c, że okres obiegu jest mały w porównaniu ze zmianami pola magnetycznego, otrzymamy µ ¶ 2 ∆(mv⊥ /2 d 1 d 2 ≈ mv⊥ = (M B) T dt 2 dt |e|πr2 dB dB = =M , T dt dt 155 (10.28) wiȩc, uwzglȩdniaja̧c (10.26) d dB (M B) = M , dt dt ska̧d wynika, że M= (10.29) 2 1 mv⊥ = const, B 2 (10.30) co nazywamy adiabatyczna̧ niezmienniczościa̧ momentu magnetycznego.Wykazać można również, że w wolnozmiennym polu magnetycznym moment magnetyczny zachowuje nie tylko swa̧ wartość, ale i kierunek w przestrzeni. Zjawisko stałości momentu magnetycznego wykorzystywane jest w tzw. zwierciadłach magnetycznych. Wyobraźmy sobie cza̧stkȩ poruszaja̧ca̧ siȩ w kierunku zwiȩkszania siȩ indukcji magnetycznej. Z warunku M= 2 mv⊥ /2 = const B wynika, że jeżeli rośnie B, to musi rosna̧ć składowa v⊥ . Jednocześnie podczas ruchu w polu magnetycznym kwadrat całkowitej prȩdkości jest stały: 2 + vk2 = v 2 = const. v⊥ Sta̧d wynika, że przy ruchu w kierunku rosna̧cego B składowa vk musi maleć, aż w pewnym punkcie przestrzeni stanie siȩ równa 0, i cza̧stka zmieni kierunek ruchu. Obszar silnego pola magnetycznego odbija cza̧stki naładowane, zachowuje siȩ wiȩc jak zwierciadło. Jest to wykorzystywane w urza̧dzeniach, słuȧcych do utrzymywania cza̧stek w ograniczonym obszarze przez możliwie długi okres czasu (”butelka magnetyczna”). 10.2.5 Ruch w poprzecznym polu elektrycznym Rozpatrujemy ruch cza̧stki w polu E = (E, 0, 0), B = 0. Rozwia̧żemy równania ruchu mẍ = eE(z), x(0) = 0, mÿ = 0, mz̈ = 0; ẋ(0) = 0. (10.31) Natȩżenie pola E może zmieniać siȩ dowolnie w zależności od z, byle pozostawało równoległe do osi x. Tor cza̧stki leży w płaszczyźnie xz. Zakładamy, że prȩdkość cza̧stki w kierunku osi x jest znacznie mniejsza od prȩdkości w kierunku z, czyli: vx /vz = tan α ¿ 1, v= p vx2 ≈ vz + + vz2 ¶1/2 µ vx2 = vz 1 + 2 vz 1 vx2 + ..., 2 vz2 156 (10.32) tak że w przybliżeniu vz = v = const. (10.33) W tym samym przybliżeniu dx dx dz dx = =v , dt dz dt dz 2 d2 x 2d x =v , dt2 dz 2 (10.34) wiȩc równania ruchu (10.31) przybieraja̧ postać: d2 x e = E(z) 2 dz mv 2 dx |z=0 = 0; x|z=0 = 0. dz (10.35) Rozwia̧zanie ma postać x(z0 ) = gdzie wielkość Z Z z0 a= e a, mv 2 Z ξ dξ z0 E(η)dη = 0 (10.36) (z0 − η)E(η)dη, 0 (10.37) 0 nazywa siȩ stała̧ przyrza̧du. W szczególności, dla stałego pola elektrycznego, otrzymamy x= eE z 2 , m 2v 2 (10.38) co jest równaniem paraboli w płaszczyźnie xz. 10.2.6 Ruch w poprzecznym polu magnetycznym Podobnie jak w przypadku pola E założymy, że tor ruchu cza̧stki jest niemal prostoliniowy. Pole magnetyczne skierowane bȩdzie cały czas wzdłuż osi x : B = (Bx , 0, 0), Bx = B(z). Równania ruchu mẍ = 0, mÿ = evB, rozwia̧żemy używaja̧c przybliżenia ÿ = mz̈ = 0, (10.39) d2 y 2 v , dz 2 otrzymuja̧c y(z0 ) = gdzie wielkość Z b= Z z0 Z η dη 0 e b, mv B(ξ)dξ = 0 (10.40) z0 (z0 − η)B(η)dη, 0 jest stała̧ przyrza̧du, zależna̧ od konfiguracji pola magnetycznego w przyrza̧dzie. 157 (10.41) Analizuja̧c ruch cza̧stki w poprzecznym polu elektrycznym i magnetycznym, wyznaczyć można charakterystyczna̧ dla niej wielkość e/m. Porównuja̧c wyrażenia (10.36) i (10.40) otrzymamy wzór e b2 y2 = , x m a (10.42) z którego można wyznaczyć e/m, gdyż inne wielkości sa̧ znane (lub mierzalne) (p. przykład 1). 10.3 Akceleratory Podstawowa idea akceleratorów- przyśpieszanie ( a wiȩc nadawanie dużych energii) cza̧stkom naładawoanym jak protony, cza̧stki α, jony i użycie ich jako cza̧stek bombarduja̧cych pewna̧ tarczȩ. Celem tego jest m.in. wywołanie reakcji ja̧drowych, przemiany cza̧stek elementarnych, wytwarzanie isotopów, użycie strumienia cza̧stek np. w medycynie, projekty (ostatnio zrealizowane) użycia strumienia cza̧stek jako napȩdu rakiet w kosmosie. Za dolna̧ granicȩ energetyczna̧ przyjmuje siȩ kilkaset keV. Dzisiejszy stan wiedzy o budowie materii- w przeważaja̧cej mierze oparty jest na wynikach prac doświadczalnych, przeprowadzonych za pomoca̧ akceleratorów. Historycznie: od chwili odkrycia w r.1919 zjawiska sztucznych przemian promieniotwórczych aż do roku 1932 fizyka rozporza̧dzała jedynie naturalnymi źródłami cza̧stek elementarnych o dużych energiach. Były to izotopy emituja̧ce cza̧stki, np. 210 Po emituja̧cy cza̧stki α o energii 5.30 MeV. Badania ja̧drowe były wiȩc ograniczone do bombardowania pierwiastków tylko jednym rodzajem cza̧stek, o ściśle określonych, na ogół niewielkich, energiach. Zadaniem konstruktorów było wiȩc przyśpieszenie cza̧stek np. rzȩdu rozmiarów atomu do prȩdkości conajmniej 107 m/s. Pierwszym rozwia̧zaniem było przyśpieszanie jonów za pomoca̧ pola elektrycznego o dużej różnicy potencjałów- generator van de Graaffa (1931). Napiȩcia stosowane - rzȩdu kilku milionów woltów. W 1940 skonstruowano betatron- urza̧dzenie do przyśpieszania elektronów. Elektron poruszaja̧cy siȩ w polu magnetycznym po torze kołowym uzyskuje przyśpieszenie styczne do toru, gdy natȩėnie pola podlega odpowiednim zmianom w czasie. W pierwszym modelu Kersta promień toru elektronów wynosił 7.5 cm. Po przebiegniȩciu ok.100 km elektrony uzyskiwały energiȩ 2.35 MeV. Już w r.1945 budowano betatrony na 100 MeV. Generator van de Graffa należy do grupy akceleratorów liniowych. Druga̧ grupȩ stanowia̧ akceleratory kołowe, gdzie tor cza̧stek ma kształt kołowy lub spiralny. Typowym przykładem jest cyklotron. Charakterystyczna̧ cecha̧ tej grupy akceleratorów sa̧ elektromagnesy do wytwarzania pola magnetycznego, powoduja̧cego zakrzywienie torów cza̧stek. Do przyśpieszenia cza̧stki konieczne jest spełnienie warunku synchronizacji- cza̧stki musza̧ przebiegać przez przestrzeń przyspieszaja̧ca̧ 158 w ściśle określonym czaise, w którym pole istnieja̧ce w tej przestrzeni działa przyśpieszaja̧co. W przypadku cyklotronu cza̧stka pod wpływem pola magnetycznego porusza siȩ z czȩstotliwościa̧ eB = f0 , 2πm lub ogólnie qB = f0 . 2πm Z ta̧ sama̧ czȩstotliwościa̧ drgać powinno pole elektryczne przyłożne do szczeliny miȩdzy duantami. 159 Ponieważ na ogół f0 jest zadane, q/m również, warunek synchronizacji otrzymujemy dostaraja̧c pole magnetyczne B. Przykład małego cyklotronu: Czȩstotliwość drgań w cyklotronie wynosi f0 = 12 · 106 Hz, a promień R = 53.5cm,. (a) Jaka musi być wartość indukcji B, aby można było przyśpieszać deuterony (m0 = 3.3·10−27 kg, q = e = 1.6 · 10−19 C, (b) jaka̧ energiȩ bȩda̧ miały deuterony? (a) B= 2πf0 m = 1.6 T, q (b) W = q 2 B 2 R2 ≈ 17MeV. 2m Przy wysokich energiach działanie cyklotronu zawodzi, ponieważ załoẏliśmy, że czȩstość obrotu jonów w polu magnetycznym nie zależy od jego prȩdkości, co słuszne jest tylko dla v ¿ c. Gdy prȩdkość rośnie, musimy w równaniu qB = f0 , 2πm brać masȩ relatywistyczna̧. Dla spełnienia warunku synchronizacji zmieniamy albo czȩstotliwość - synchrocyklotrony, lub fazotrony. Gdy dostraja siȩ i pole magnetyczne, i czȩstotliwość tak, że średnica toru ma wartość stała̧- akcelerator tego rodzaju nazywa siȩ synchrotronem protonowym (kosmotronem, lub bewataronem, od Bilion eV (BeV) (w USA bilion oznacza miliard eV (109 eV)= 1 GeV). Cecha̧ tych urza̧dzeń sa̧ duże rozmiary. Przykłady: Synchrotron protonowy w CERN, Genewa Średnica orbity 158 m Przekrój komory próżniowej 14 cm× 7 cm Maksymalne pole magnetyczne 1.4 T Zakres czȩstotliwości dla 1 obiegu Szybkość pulsowania 7 mHz 20/min maksymalna energia protonów 28 GeV Energia uzyskiwana w czasie 1 obiegu 54 keV Droga przebyta przez proton 80 000 km waga elektromagnesu 3200 ton. W nowym synchrotronie CERNU obwód orbity osia̧ga 30 km, komora cza̧stek znajduje siȩ w podziemnym tunelu, a energie cza̧stek sa̧ rzȩdu 100 GeV. 160 10.3.1 Betatron Betatron jest urza̧dzeniem, które przyśpiesza elektrony do wysokich prȩdkości przez poddawanie ich działaniu indukowanych pól elektrycznych, wytwarzanych za pomoca̧ zmiennego strumienia magnetycznego poprzez wykorzystanie prawa indukcji. Elektrony o dużych prȩdkościach wykorzystuje siȩ do otrzymania przenikliwych promieni Röntgena, stosowanych w medycynie i przemyśle. Zasadȩ działania betatronu omawialiśmy w podrozdziale 2.22, tam też przedstawiony był schemat betatronu (rys. 2.2) i zasada działania (rys. 2.3). Dla zrozumienia sposobu działania betatronu przenieśmy siȩ do przekroju wzdłuż orbity, jak na rysunku 2.2. Pra̧d zmienny płyna̧cy w cewkach elektromagnesu wytwarza zmienne pole magnetyczne B. Zmienny strumień wektora B indukuje pole elektryczne o natȩżeniu E. To indukowane pole elektryczne jest równie realne jak pola wytwarzane przez ładunki statyczne i działa na ładunek elektryczny q siła̧ F = qE. Załóżmy, że wartość B wzrasta ze stała̧ prȩdkościa̧ dB/dt. Wytwarza siȩ zmienny w czasie strumień magnetyczny Φ, który w dowolnym okrȩgu o promieniu r indukuje zmienna̧ siłȩ elektromotoryczna̧ V = −dΦ/dt. Ze wzglȩdów symetrii natȩżenie E pola elektrycznego powinno być styczne do okrȩgu. Jeśli w jakimś punkcie wspomnianego okrȩgu umieścimy ładunek q, pod wpływem napiȩcia V zacznie on poruszać siȩ po okrȩgu. Pole wykona przy tym pracȩ qV. Praca ta zamieniona jest w przyrost energii kinetycznej ładunku (elektronu) ∆(mv 2 /2). Kiedy pole B skierowane jest do góry, jak na rys. 2.2, wtedy strumień Φ uważamy za dodatni. Ruch elektronów we wskazanym kierunku odbywa siȩ w czasie tego półokresu pra̧du zmiennego, kiedy strunmień jest dodatni (odcinek ac na rysunku 2.3). Elektrony sa̧ w tym czasie przyspieszane przez pole elektryczne wytwarzane przez zmienny strumień. Kierunek indukowanych pól elektrycznych zależy od znaku dΦ/dt i musi być tak dobrany, aby elektrony były przyśpieszane, a nie opóźniane. Czyli tylko połowa dodatniego półokresu ( a wiȩc 1/4 okresu) moga̧ być wykorzystane do przyśpieszania. Można wykazać, że jest to czȩść ab, gdy napiȩcie pra̧du zasilaja̧cego wzrasta od zera do maksimum. W cia̧gu tego czasu elektrony wykonuja̧ setki tysiȩcy obiegów i przed momentem, w którym natȩżenie pola magnetycznego osia̧ga maksimum, dodatkowy impuls pola skierowuje je na tarczȩ wewna̧trz i na zewna̧trz komory. Jako przykład rozważmy betatron o promieniu orbity 0.82 m, czȩstotliwości zmian pra̧du f =60/s i średniej prȩdkości zmian strumienia magnetycznego < dΦ/dt >= 1.84 Wb/4.2 · 10−3 s, średnia wartość indukowanego napiȩcia na orbicie jest równa 430 V. Energia elektronów wzrasta wiȩc przy każdym obiegu o 430 eV. By elektron osia̧gna̧ł energiȩ 100 MeV, musi wykonać około 230 000 obiegów. Betatrony budowane sa̧ obecnie głównie do celów przemysłowych i medycznych na energie ok. 30 MeV. 161 10.3.2 Przykłady 1. Tor elektronu biegna̧cego w kierunku prostopadłym do jednorodnych i zgodnie równoległych pól elektrycznego i magnetycznego został odchylony przez każde pole o taki sam ka̧t 7/120 radiana na drodze ` =5 cm. Wyznaczyć stosunek ładunku elektronu do jego masy i znaleźć prȩdkość elektronu, jeżeli B=3.6·10−4 T, E= 100 V /cm. 2. Wyznaczyć (w przybliżeniu nierelatywistycznym) promień krzywizny toru elektronu poruszaja̧cego siȩ w polu magnetycznym o indukcji B=10−1 T, jeśli energia kinetyczna elektronu wynosi W =100 eV. Masa spoczynkowa elektronu m0 = 9.11 · 10−31 kg. 3. Wyznaczyć prȩdkość dryfu cza̧stki poruszaja̧cej siȩ w skryżowanych polach elektrycznym i magnetycznym, jeżeli E = 200 V/cm, B=5×10−2 T. 4. Elektron porusza siȩ po okrȩgu koła o promieniu r=10cm w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji równej pocza̧tkowo B = 5 · 10−2 T. Nastȩpnie indukcja tego pola powoli zwiȩksza siȩ osia̧gaja̧c wartość B =0.45 T. Znaleźć promień okrȩgu, po którym bȩdzie siȩ wówczas poruszał elektron. Odpowiedzi 1. Obliczamy stałe przyrza̧du z wzorów (10.37) i (10.41): Z ` `2 a= (` − η)Edη = E, 2 0 Z ` `2 b= (` − η)Bdη = B. 2 0 (10.43) Ponieważ wychylenia elektronu spowodowane każdym z pól sa̧ równe, porównujemy wyrażenia (10.38) i (10.40), z uwzglȩdnieniem wzorów (10.43), otrzymuja̧c dla z = ` e `2 e `2 E = B . mv 2 2 mv 2 (10.44) Z tego równania wyznaczamy prȩdkość v = E/B ≈ 2.8 · 107 m/s. (10.45) Maja̧c prȩdkość, można wyznaczyć wielkość e/m np. z wzoru (10.38) e y2 a 1 = = 2v 2 (7`/120) 2 ≈ 1.79 · 1011 C/kg. m x b2 E` Wynik powyższy zbliżony jest do wielkości e/m dla elektronu dokładnie zmierzonej e/m = 1.76 · 1011 C/kg. 2. √ r= 2W m0 = 3.4 · ×10−4 m = 0.34 mm. |e|B 3. vd = E = 4 · 105 m/s. B 162 (10.46) 4. Skorzystamy ze zwia̧zku µ ¶ 1 2 mv /B = const, 2 ⊥ który wyprowadzony był powyżej jako adiabatyczna niezmienniczość momentu magnetycznego. Jednocześnie 2 mv⊥ = |e|v⊥ B, r ⇒ Br2 = const, czyli B0 r02 = B1 r12 , 10.4 10.4.1 r1 = r0 p B0 /B1 ≈ 3.33 cm. Dielektryki. Teoria dyspersji Dielektryki Drobiny polarne i niepolarne Elektryczne właściwości układu, którego całkowity ładunek jest równy 0, charakteryzujemy podaja̧c jego moment dipolowy Z p= ρ r dV. (10.47) V Drobiny, z których składaja̧ siȩ ciała, sa̧ elektrycznie obojȩtne. Wyróżniamy: drobiny polarne - maja̧ własny moment dipolowy (np drobiny H2 0), drobiny niepolarne - w nieobecności pola elektrycznego maja̧ zerowy moment dipolowy. Drobinowy obraz polaryzacji Wprowadzamy pojȩcie małego obszaru: obszar ∆ V jest fizycznie mały, jeśli wewna̧trz obszaru pola makroskopowe E, H zmieniaja̧ siȩ tak nieznacznie, że uznać je można za stałe, jednocześnie jest tak duży, że zawiera wielka̧ ilość drobin. Np. w krysztale o stałej sieci rzȩdu 2Å = 2 · 10−10 m sześcian o boku 100 stałych sieci (wiȩc a= 2 · 10−8 m) zawiera 106 komórek elementarnych, czyli kilka milionów drobin. Wektor polaryzacji P definiujemy jako moment dipolowy przypadaja̧cy na jednostkȩ objȩtości P= 1 X pi , ∆V i (10.48) gdzie suma przebiega po momentach dipolowych drobin wewna̧trz fizycznie małego obszaru ∆V . Gdy nie ma zewnȩtrznego pola elektrycznego moment dipolowy każdej drobiny niepolarnej jest równy 0, a momenty dipolowe drobin polarnych sa̧ zorientowane przestrzennie w sposób chaotyczny (jeśli sa̧ to gazy lub ciecze). W obu przypadkach dielektryk pozostaje niespolaryzowany, a wektor polaryzacji jest równy 0. 163 Sytuacja zmieni siȩ, jeśli dielektryk wprowadzamy w zewnȩtrzne pole elektryczne. Ulega on spolaryzowaniu, przy czym polaryzacja w przypadku drobin polarnych polega na tym, że momenty dipolowe da̧ża̧ do ustawienia siȩ w kierunku pola, a w drobinach niepolarnych indukowany jest moment dipolowy. W przypadku drobin niepolarnych indukowany moment dipolowy jest w pierwszym przybliżeniu proporcjonalny do zewnȩtrznego pola: p = α²0 E, (10.49) gdzie α nazywane jest współczynnikiem polaryzowalności drobiny. Jeśli N to liczba cza̧steczek przypadaja̧cych na jednostkȩ objȩtości ∆V , to zgodnie z definicja̧ (10.48) wektor polaryzacji dielektryka jest równy P = α²0 N E = ²0 χE, (10.50) gdzie χ nazywa siȩ podatnościa̧ elektryczna̧. W szybko zmiennym polu elektrycznym podatność staje siȩ funkcja̧ czȩstotliwości : χ = χ(ω). Współczynnik załamania wzglȩdem próżni: n(ω) ≈ p ²r (ω), ²r (ω) = 1 + χ(ω). Zjawisko zależności n = n(ω) nazywamy dyspersja̧, a zależność χ = χ(ω) (lub ² = ²(ω) - relacja̧ dyspersyjna̧. 10.4.2 Polaryzowalność atomu, statyczna i dynamiczna podatność elektryczna Wyobrażamy sobie atom składajka̧cy siȩ z dodatnio naładowanego ja̧dra i elektronów na powłokach. Dla zjawiska polaryzacji istotne bȩdzie zachowanie siȩ elektronów walencyjnych. W zewnȩtrznym polu elektrycznym powłoka walencyjna zostanie zdeformowana: elektrony bȩda̧ ”przesuniȩte”wzglȩdem dodatniego ”kadłuba”. Powstaje charakterystyczny dla atomu moment dipolowy p (10.49). Tu α nazywa siȩ polaryzowalnościa̧ atomu (cza̧steczki). Jest to na ogół tensor 2-go rzȩdu. W modelu Thomsona kadłub (ja̧dro + elektrony kadłubowe) zastȩpuje siȩ ładunkiem punktowym q = ne, n = 1, 2, ..., o dużej masie. Powłokȩ elektronowa̧ (walencyjna̧) zastȩpuje siȩ równomiernie naładowana̧ kula̧ o masie m0 , promieniu a i ładunku całkowitym −q. Gȩstość przestrzenna ładunku ujemnego dana jest wzorem ρ=− q . (4/3)πa3 (10.51) Przesuwaja̧c powłokȩ o r, powodujemy powstanie siły która zmierza do przywrócenia równowagi: 1 Q(r)q r , 4π²0 r2 r 4 r3 Q(r) = ρ πr3 = −q 3 , 3 a F(r) = 164 (10.52) wiȩc siła ma postać F(r) = − 1 q2 r. 4π²0 a3 (10.53) Jeśli przyczyna̧ przesuniȩcia powłoki jest zewnȩtrzne pole elektryczne E, to −qE − 1 q2 r = 0, 4π²0 a3 (10.54) sta̧d p = −qr, p = 4π²0 a3 E, (10.55) α = 4πa3 = 3V, (10.56) a polaryzowalność atomu gdzie V jest objȩtościa̧ atomu. Polaryzowalność jest wiȩc rzȩdu objȩtości atomu. Atomy o dużej powłoce (dużej liczbie porza̧dkowej) sa̧ łatwo polaryzowalne. Polaryzowalność dynamiczna W zmiennym polu elektrycznym E = E0 exp(−iωt) dla powłoki elektronowej otrzymujemy równanie ruchu −m0 r̈ + F(r) − qE = 0, (10.57) gdzie F(r) = − q2 r, ²0 α jest wiȩc to siła sprȩżysta. Dynamiczny moment dipolowy p(ω) p(ω) = −qr = p0 exp(−iωt) spełnia równanie qr̈ + q2 q2 qr = − .E. m0 ²0 α m0 Oznaczaja̧c ω02 = q2 ²0 m0 α mamy p = ²0 α(ω)E, α(ω) = α(0) ω02 , ω02 − ω 2 165 α(0) = q2 . ²0 m0 ω02 (10.58) Rysunek 10.1: Zachowanie rezonansowe współczynnika polaryzowalności α. Wielkość α(ω) nazywamy polaryzowalnościa̧ dynamiczna̧, a α(0) = α– polaryzowalnościa̧ statyczna̧.. Współczynnik α(ω) wykazuje zachowanie rezonansowe (p. rys. 10.1). Dla czȩstotliwości ω ≈ ω0 zmienne zewnȩtrzne pole elektryczne wywołuje silne drgania powłoki elektronowej. Podstawiaja̧c a = aB (aB = promień Bohra atomu wodoru= 0.0526 nm) obliczymy polaryzowalność atomu wodoru, otrzymuja̧c h̄ω0 = 27.2eV = 2RB , gdzie 1 RB = 13.6 eV jest energia̧ jonizacji atomu wodoru (energia Rydberga dla atomu wodoru). Zapominaja̧c o czynniku 2 można przyja̧ć, że h̄ω0 jest energia̧ jonizacji. Wynik: polaryzowalność oszacować można z energii jonizacji. Ogólniej: do polaryzowalności daja̧ wkład nie tylko te przejścia elektronowe, które prowadza̧ do jonizacji, ale i pozostałe, wiȩc α(ω) = q2 X fi , ²0 m0 i ωi2 − ω 2 gdzie współczynniki fi nazywamy siłami oscylatorów. 10.4.3 Polaryzowalność materii Pole elektryczne w materii charakteryzujemy wektorem indukcji elektrycznej D: D = ²0 E + P, 166 (10.59) P = ²0 χ E, D = ²0 ²r E, (10.60) ²r = 1 + χ. Wektor polaryzacji bȩdzie suma̧ dipoli atomowych P = na p. (10.61) Dla materii rozrzedzonej, biora̧c pod uwagȩ tylko 1 przejście elektronowe: χ(ω) = na α(ω) = χ(0) = χ(0) ωp2 ωp2 na α(0)ω02 = = ω02 − ω 2 ω02 − ω 2 ω02 − ω 2 ω02 , ω02 − ω 2 (10.62) gdzie ωp2 = na α(0)ω02 , ωp jest tzw. czȩstotliwościa̧ plazmowa̧. Na ogół w mianowniku dodajemy współczynnik zwia̧zany z tłumieniem (współczynnik tłumienia: χ(ω) = χ(0) ω02 . ω02 − ω 2 − iγω (10.63) Ogólnie używamy modelu materii, gdzie wystȩpować bȩdzie wiele oscylatorów o charakterystycznych czȩstotliwościach ωi , wiȩc podatność elektryczna bȩdzie miała postać χ∝ X n fn . ωn2 − ω 2 − iγω (10.64) Używaja̧c zespolonej podatności (10.64) otrzymamy zespolony współczynnika załamania n= √ ²r = p ²1 + i²2 = n1 + in2 . (10.65) W obszarze widzialnym tłumienie jest małe, wiȩc n≈ √ n1 , n 21 = 1 + X j fj . ωj2 − ω 2 (10.66) W całym obszarze, gdzie ciało jest przeźroczyste, współczynnik załamania rośnie wraz z czȩstotliwościa̧ (p. rys.10.2). 10.5 Metal, półprzewodnik, izolator- porównanie własności Fenomenologicznie te trzy grupy materiałów, z punktu widzenia własności zwia̧zanych z polem elektromagnetycznym, charakteryzuja̧ siȩ nastȩpuja̧co: • metal ma duża̧ przewodność, pra̧d płynie w całej objȩtości, • izolator ma mała̧ przewodność, pra̧d (jeżeli wogóle) powstaje w wyniku zanieczyszczeń lub zawilgocenia. 167 Rysunek 10.2: Zachowanie rezonansowe współczynnika załamania. Mikroskopowo powyższe różnice wia̧ża̧ siȩ z różnica̧ koncentracji (gȩstości) swobodnych elektronów: - w metalach, taka jak atomów, np. w Cu na ≈ 8 · 1022 /cm3 , - w izolatorach - ok. 1010 mniejsza. Różnice te wia̧ża̧ siȩ ze struktura̧ krystaliczna̧. Przeanalizujemy je ogólnie, bez używania teorii kwantowej. Elektrony posiadaja̧ energie (stany energetyczne) które w ciałach stałych zlewaja̧ siȩ w pasma. Każde pasmo zawiera ok. 1022 /cm3 stanów. Jeśli pasmo jest zapełnione, to elektrony w tych stanach sa̧ zlokalizowanymi elektronami walencyjnymi. Elektrony walencyjne nie biora̧ udziału w procesie przewodzenia pra̧du. Gdy zmienić nieznacznie ich energiȩ kinetyczna̧, wchodzi siȩ w obszar stanów obsadzonych, albo wzbronionych. Żeby przenieść elektron do wyższego nieobsadzonego pasma - pasma przewodzenia, trzeba energiȩ elektronu podwyższyć o duży przyczynek Eg (”przerwa energetyczna”). Pasmo przewodzenia wypełnione jest czȩściowo. Wewna̧trz pasma przewodzenia energia elektronów może być zmniejszana lub zwiȩkszana dowolnie małymi krokami. Poszczególne stany różnia̧ siȩ pȩdem elektronu p = h̄k. Elektrony w tych stanach nie sa̧ zlokalizowane. Poszczególne typy substancji (metal, izolator, półorzewodnik) różnia̧ siȩ wielkościa̧ Eg (lub nawet pasma przecinaja̧ siȩ). 10.5.1 Izolatory Izolatorami sa̧ przeważnie kryształy jonowe lub molekularne. W kryształach jonowych elektron walencyjny nie znajduje siȩ pomiȩdzy sa̧siednimi jonami, lecz całkowicie po stronie anionu, ze znaczna̧ energia̧ wia̧zania, ok. 3 eV, a w NaCl - 8 eV. Prawdopodobieństwo, że któryś z elektronów zlokalizowany wokół anionu zostanie wzbudzony do pasma przewodzenia, jest bardzo małe. Prawdopodobieństwo wzbudzenia termicznego opisane jest czynnikiem Boltzmanna exp(−E/kT ), gdzie kB to stała Boltzmanna. W NaCl, w temperaturze pokojowej, kB T = 0.026 eV ≈ (1/40) eV, 168 wiȩc exp(−8 eV/0.026 eV) ≈ 10−133 . Również energia fotonów światła widzialnego (1.8 ... 4 eV) nie wystarcza na wzbudzenie. Dlatego wiȩkszość izolatorów o energii wia̧zania > 4eV jest przezroczysta dla światła, jako kryształy sa̧ bezbarwne. Podobna̧ sytuacjȩ obserwujemy w kryształach molekularnych, np. w krystalicznej siarce, składaja̧cej siȩ z pierścieni S8 . 10.5.2 Półprzewodniki W półprzewodnikach nakładaja̧ siȩ chmury elektronowe nie tylko grup atomów, jak w kryształach molekularnych, ale wszystkich atomów. Kryształ półprzewodnikowy uważać można za jedna̧ wielka̧ cza̧steczkȩ. Gdy pasma sa̧ szersze, przerwa energetyczna staje siȩ mniejsza. Energie wzbudzenia Eg rzȩdu 0.1.. . . 1 eV staja̧ siȩ porównywalne z energiami termicznymi. Przy T = 300 K i Eg =0.3 eV otrzymamy dla czynnika Boltzmanna exp(−0.3eV/0.026eV) = 10−5 , co oznacza, że na ok. 1022 elektronów walencyjnych 1017 może zostać wzbudzonych (przeniesionych do pasma przewodzenia). 10.5.3 Półmetale W niektórych substancjach nakładaja̧ siȩ chmury (órbitale”) tak silnie, że pasma nieznacznie nakładaja̧ siȩ. Wtedy znika Eg (mówi siȩ Eg =0, lub Eg < 0). Tutaj już dla T =0 istnieje skończona koncentracja ruchomych elektronów przewodzenia. Przykład - Bi. Pasmo walencyjne jest prawie całkowicie wypełnione, a elektrony walencyjne zlokalizowane miȩdzy atomami. Koncentracja elektronów w paśmie przewodzenia, podobnie jak w półprzewodnikach, silnie zależy od temperatury. 10.5.4 Metale Pasmo walencyjne wypełnione jest mniej wiȩcej w połowie. Nie ma rozróżnienia miȩdzy pasmem walencyjnym a przewodzenia, a siły wia̧ża̧ce w krysztale pochodza̧ od gazu elektronowego. W idealnych metalach (np. metale alkaliczne, Cu, Ag, Au) przypada jeden elektron swobodny na 1 atom. Koncentracja elektronów rzȩdu 1022 /cm3 jest o wiele rzȩdów wiȩksza niż w półprzewodnikach i nie zależy od temperatury. Wia̧zania nie maja̧ orientacji przestrzennej. 169 10.5.5 Koncepcja masy efektywnej Do przewodnictwa i innych zjawisk zwia̧zanych z transportem elektronów najwiȩkszy wkład daja̧ elektrony w stanach położonych w pobliżu krawȩdzi pasma, gdzie zależnoś energii od pȩdu elektronu p = h̄k ma charakter paraboliczny. W analogii do energii elektronu w próżni, którego energia wyraża siȩ wzorem E= p2 2m0 wprowadzamy energiȩ elektronu w krysztale, gdzie w miejsce masy swobodnego elektronu podstawimy masȩ efektywna̧ m∗ elektronu w krysztale, bȩda̧ca̧ funkcja̧ zakrzywienia pasma: z wykorzystuja̧c wyrażenie na energiȩ jako funkcjȩ wektora falowego (tzw. wektora Blocha) E(k) = h̄2 k 2 p2 = , 2m∗ 2m∗ (10.67) 1 d2 E d2 E 2 dk 2 = dp2 . h̄ (10.68) definiujemy masȩ efektywna̧ jako m∗−1 = Gdy pasma zakrzywione jest w dół, jak pasmo walencyjne w półprzewodniku, otrzymamy masȩ efektywna̧ ujemna̧. Pod wpływem siły zewnȩtrznej, np. siły Lorentza F = −eE zmienia siȩ pȩd elektronu: dp = −eE, dt (10.69) tzn. elektron z dolnego brzegu pasma (przewodzenia) zmienia pȩd dp = m∗ dv przeciwnie do kierunku pola, tak samo jak elektron swobodny, gdyż m∗ > 0. Elektron z górnego brzegu pasma (walencyjnego) zwiȩksza prȩdkość w kierunku pola, gdyż m∗ < 0. Jego przyczynek −edv do pra̧du ma znak przeciwny niż swobodnego elektronu. Rozpatrzmy przypadek, gdy w paśmie walencyjnym brak jest jednego elektronu. Mówimy wtedy o elektronie defektu, lub o dziurze. Jeśli pasmo byłoby całkowicie zapełnione, nie byłoby pra̧du. Gdy jednego elektronu brak, musimy w polu zewnȩtrznym odja̧ć przyczynek −(−edv) = edv. Odpowiada to zachowaniu dodatnio naładowanej cza̧stki, przyspieszanej w kierunku pola, czyli posiadaja̧cej masȩ dodatnia̧. Ogólnie przyjmuje siȩ wiȩc, że zbiór elektronów w zakrzywionym w dł́ i niecałkowicie zapełnionym paśmie powoduje ten sam pra̧d co zbiór cza̧stek o dodatniej masie i dodatnim ładunku. Koncentracja tych cza̧stek odpowiada koncentracji elektronów defektowych. 10.5.6 Porównanie metal– półprzewodnik. Nośniki ładunku Jeszcze raz porównamy własności metali i półprzewodników. Ponieważ spotkamy elektrony zarówno ”typu elektronowego”, jak i ”dziurowego”, wprowadzamy nadrzȩdne pojȩcie nośników ładunku (ang. carriers). 170 Tablica 10.1: Porównanie koncentracji i prȩdkości nośników w metalach i półprzewodnikach. Gȩstości nośników w cm−3 , prȩdkości w m/s, dane Ge dla temperatury T =300 K. Rodzaj substancji półprzewodnik (Ge) metal (Cu) na ne 22 4.4·10 8.4·1022 13 10 . . . 10 vth 19 8.4·1022 możliwy typ przewodzenia 5 3.7·10 n,p 1.6·106 n Rodzaj nośników W izolatorach i półprzewodnikach spotkamy zarówno elektrony, jak i dziury. Luka energetyczna Eg , czyli na skali energetycznej odległość miȩdzy brzegami pasm przewodzenia i przewodnictwa, jest w półprzewodnikach rzȩdu kT ze stała̧ Boltzmanna k. Nośniki wprowadzone moga̧ być poprzez defekty sieci krystalicznej, czyli tzw. domieszki. Domieszki wytwarzaja̧ce elektrony nazywane sa̧ donorami, zaś dziury - akceptorami. W metalach nośniki sa̧ przeważnie elektronami, choć zdarzaja̧ siȩ dziury, np. w Zn. Elektrony wyzwalaja̧ siȩ już w momencie tworzenia metalu: Eg = 0. W półmetalach spotkamy elektrony i dziury. Pasma przewodzenia i walencyjne przenikaja̧ siȩ, czyli Eg < 0. Koncentracja nośników Dla porównania metalu i półprzewodnika wybierzemy jako modelowe przykłady Cu i Ge. Zakładaja̧c, że każdy atom miedzi dostarcza 1 wolny elektron, otrzymamy koncentracjȩ elektronów n = na = 8.4 · 1022 cm−3 . Dla porównania w Ge n = 2.4 · 1013 cm−3 . Koncentracje elektronów i dziur w półprzewodnikach można zmieniać w szerokich granicach poprzez odpowiednie domieszkowanie, np. dla Ge od 107 do 1019 . Innym istotnym parametrem jest średnia prȩdkość elektronów. Na ogół w metalach jest znacznie wiȩksza, niż w półprzewodnikach, zwłaszcza w niskich temperaturach. Istnieja̧ półprzewodniki o szczególnie małej masie efektywnej (np. w InSb m∗ = 0.011 m0 )- wtedy i prȩdkości elektronów moga̧ przyjmować duże wartości. Porównanie parametrów- p. tablica10.1. 171 10.6 10.6.1 Transport elektronów. Model Drude’go–Lorentza Siły działaja̧ce na elektron Zjawiska transportu elektronów opisać można uproszczonym modelem, pochodza̧cym z prac P. Drude’go (1900) i H. A. Lorentza (1909). Główna idea uproszczenia polega na tym, że zamiast badać wpływ sił zewnȩtrznych na poszczególne cza̧stki i potem dokonywać uśrednienia, rozpatruje siȩ wpływ pól zewnȩtrznych na cza̧stkȩ ” reprezentatywna̧” dla całego zbioru, potem zaś efekty pochodza̧ce od tego ”średniego” elektronu mnoży siȩ przez liczbȩ cza̧stek lub ich gȩstość. Rozpatrujemy elektron o masie efektywnej m i ładunku −e (lub dziurȩ, która̧ traktujemy jak cza̧stkȩ o pewnej masie efektywnej i ładunku +e) poruszaja̧cy siȩ wewna̧trz pewnego medium o stałej dielektrycznej ² = ²0 ²r , ²r 6= 1. Na cza̧stkȩ działaja̧ siły ”wewnȩtrzne” i ” zewnȩtrzne”. Siły ”wewnȩtrzne” pochodza̧ od oddziaływań z mikroskopowym otoczeniem, np. w krysztale. Siły zewnȩtrzne sa̧ narzucone warunkami eksperymentu (np. pola elektromagnetyczne, lub inne zaburzenia). Równanie ruchu cza̧stki siły wewnȩtrzne m mr̈ + ṙ + Dr = τ siła bezwładności siły zewnȩtrzne F= q(E + ṙ × B) siła Lorentza siła tarcia (10.70) siła Coulomba siła sprȩżystości siła zewnȩtrzna. Siły zewnȩtrzne przyjȩto w postaci pola elektromagnetycznego. Jeśli cza̧stka jest quasi swobodna, wówczas D = 0, ale pozostawiamy masȩ efektywna̧. W przypadku swobodnych nośników poszczególne wielkości opisuja̧ce ruch cza̧stek to r: średnia droga dryfu nośników, τ : średni czas miȩdzy 2-ma zderzeniami czas zderzenia, ṙ = vD : prȩdkość dryfu nośników. Znaczenie prȩdkości dryfu jest nastȩpuja̧ce: siły zenȩtrzne powoduja̧, że cza̧stki, które maja̧ pewien termiczny rozkład prȩdkości, otrzymuja̧ dodatkowy przyczynek vD . Bez sił zewnȩtrznych rozkład prȩdkości jest izotropowy, i pȩd wypadkowy układu cza̧stek jest zero. Jeśli istnieje vD , rozkład ma przesuniȩty środek (p. rys.10.3) < v >= 0równ. term , < v >= vD , pod wpływem siły. Przy pomocy modelu Drude’go–Lorentza przedyskutujemy zagadnienia 1) statycznej, 172 Rysunek 10.3: Dryfowanie chmury elektronowej o kulistosymetrycznym rozkładzie prȩdkości. i 2) dynamicznej przewodności jednorodnego medium. 10.6.2 Zachowanie energii i pȩdu Dla nośników swobodnych równanie (10.70) przybiera postać (D = 0) mr̈ + m ṙ = F, τ (10.71) ∆p , τm (10.72) które przepiszemy jako ṗ = F − gdzie: ∆p: odchylenie gazu elektronowego od równomiernego rozkładu pȩdów, ṗ: zmiana rozkładu pȩdów, spowodowana: a) przez zewnȩtrzne siły F, b) poprzez zderzenia, które ” unieszkodliwiaja̧” efekty uprzywilejowania pewnych kierunków pȩdu, co powoduja̧ siły zewnȩtrzne, τm : czas relaksacji pȩdów, który opisuje zanik zaburzenia rozkładu pȩdów. Warunek stacjonarności (∂t (. . .) = 0): ṗ = 0, ⇒ ∆p = F · τm . Odchylenie ∆p od przypadku niezaburzonego bȩdzie wiȩc tym wiȩksze, im wolniej pȩdy relaksuja̧. 173 10.6.3 Przewodność statyczna- pra̧d stały Model Drude’go–Lorentza podaje mikroskopowa̧ interpretacjȩ prawa Ohma. Zwia̧zane jest ono z tarciem, które interpretujemy jako zderzenia elektronów z pewnymi centrami rozpraszaja̧cymi (np. jonami sieci krystalicznej w metalu). Wprowadzaja̧c pojȩcie średniej drogi swobodnej miȩdzy 2-ma zderzeniami wyprowadzimy zwia̧zek miȩdzy czasem zderzeniowym i prȩdkościa̧ termiczna̧. Pozwoli to na porównanie przewodnictwa elektronowego metali i półprzewodników. Gdyby nie wystȩpowało zjawisko tarcia, co w sensie mikroskopowym znaczy, że zderzenia byłyby bardzo rzadkie i czas miȩdzy nimi τ → ∞, wtedy prȩdkość dryfowania rosłaby liniowo z czasem: vD = q F t = Et, m m (10.73) tak samo rósłby pra̧d. Ponieważ po czasie τ nastȩpuje zderzenie, pole E przyśpiesza nośniki tylko w przedziale czasowym < 0, τ >; vD = q Eτ. m (10.74) Prowadzi to do pojȩcia ruchliwości nośników vD = µE, µ= q τ. m Ruchliwość może zmieniać znak, jak q, ogólnie biora̧c może mieć własności anizotropowe. Wia̧że siȩ ona z przewodnościa̧ σ, która wysta̧piła w lokalnym sformułowaniu prawa Ohma: J = σE lub E = ρJ. (10.75) gdzie ρ jest oporem właściwym. Liniowość zwia̧zku (10.75) jest przybliżeniem. Mikroskopowo, gȩstość pra̧du wia̧że siȩ z prȩdkościa̧ dryfu J = q · n · vD , (10.76) gdzie n jest gȩstościa̧ nośników. Jeśli vD zależy liniowo od E, to otrzymamy prawo Ohma: J = q · n · µE = σE, z przewodnościa̧ σ = qnµ = nq 2 τ. m (10.77) (10.78) Jak widać, przewodność nie zależy od znaku ładunku. Wystȩpuja̧ce w (10.77) pole elektryczne jest polem makroskopowym: nośniki opisane sa̧ przy pomocy mas efektywnych, które uwzglȩdniaja̧ mikroskopowa̧ strukturȩ kryształu. Prȩdkość dryfu jest także wielkościa̧ makro w sensie wartości średniej (uśrednienie po elektronach ). 174 Przewodność σ (opór właściwy ρ) sa̧ w ogólności tensorami symetrycznymi 2-go rzȩdu, co mikroskopowo tłumaczy siȩ anizotropia̧ mas efektywnych i czasów τ . W obrazie zderzeniowym interpretujemy również prawo Joule’a–Lenza. Pole elektryczne, przyśpieszaja̧c elektron miȩdzy 2-ma zderzeniami, wykonuje pracȩ ∆Ekin = Fr = qEvD τ. (10.79) Średnia gȩstość mocy: n∆Ekin = qnvD E, τ P = J · E. P = (10.80) Jest to wzór na ciepło Joule’a, a dokładnie na gȩstość mocy, która z pola elektromagnetycznego, podczas przepływu pra̧du, oddawana jest do gazu elektronowego. 10.6.4 Dynamiczne przewodnictwo metali i półprzewodników W zmiennym polu elektrycznym ruch elektronów bȩdzie utrudniany nie tylko poprzez zderzenia, ale również przez ich bezwładność (masȩ). Efektem jest zespolona, zależna od czȩstotliwości zmian pola, przewodność. Równanie Drude’go (10.70) przybierze w zmiennym polu E = E(t) postać mv̇ + m v = qE(t). τ (10.81) Jak zwykle, rozpatrujemy pola harmoniczne: E = E0 exp(−iωt). Prȩdkość bȩdzie miała ta̧ sama̧ zależność czasowa̧ v(t) = v0 exp(−iωt), i spełnia równanie m v = qE, τ (10.82) qτ 1 E· . m 1 − iωτ (10.83) −iωmv + z rozwia̧zaniem v= Makroskopowo prȩdkości nośników v odpowiada gȩstość pra̧du J = qnv = 1 q 2 nτ · ·E m 1 − iωτ = σ(ω)E, (10.84) 175 gdzie wprowadziliśmy dynamiczna̧ przewodność ²0 ωp2 σ0 = , 1 − iωτ ωτ − iω ωp2 e2 nτ σ0 = = ²0 , m ωτ σ(ω) = (10.85) przy czym ωτ = 1/τ , a ωp jest czȩstotliwościa̧ plazmowa̧: ωp2 = ne2 . ²0 m (10.86) Maja̧c σ obliczamy dynamiczny opór właściwy: 1 1 ωτ = −i , σ(ω) σ0 σ0 m 1 m ρ(ω) = 2 − i 2 ω, q nτ q n ωτ ω = −i . ²0 ωp2 ²0 ωp2 ρ(ω) = (10.87) Istnienie zespolonej przewodności wpływa na własności dielektryczne materii. Z równania Maxwella ∇ × H = Ḋ + J = ²0 Ė + Ṗ + J, wykorzystuja̧c liniowe równania materiałowe P = ²0 χL E, J = σE, otrzymamy ∇ × H = (−iω²0 − iω²0 χL + σ)E µ ¶ σ = −iω²0 1 + χL + i E. ²0 ω (10.88) Wprowadzamy wielkości zespolone σ̃(ω) = σ1 + iσ2 = σ − iω²0 (1 + χL ) , ²̃(ω) = ²1 + i²2 = 1 + χL + i σ . ²0 ω (10.89) (10.90) Używaja̧c powyższych wielkości opiszemy optyczne własności półprzewodników i metali. Szczególnie ważne dla zastosowań praktycznych jest zachowanie dla czȩstotliwości zbliżonych do plazmowej. W tym celu wyrażenia na ²1 , ²2 przedstawimy w postaci ²1 = ²L − ²2 = ωp2 ω2 · 2 τ 2, 2 ωτ ωτ + ω ωp2 ω2 · 2 τ 2. ωτ ω ωτ + ω W metalach najczȩściej ²L ≈ 1, oraz spełniony jest warunek ωp2 À ωτ2 . 176 (10.91) Rysunek 10.4: Współczynnik odbicia dla a) półprzewodnika i b) metalu, dla czȩstotliwości w pobliżu ωp , ωp /ωτ ≈ 50, linia cia̧gła - bez tłumienia, linia przerywana, z uwzglȩdnieniem tłumienia. W takim przypadku ²1 zmienia znak w pobliżu ωp : ²1 ≈ ²L − ωp2 . ω2 Ponieważ ²1 jest istotne dla współczynnika załamania, n jest rzeczywiste dla ω ≥ ωp+ , ωp+2 = ωp2 . ²L i urojone dla ω < ωp+ . Dla ω < ωp+ wysta̧pi niemal całkowite odbicie r → 1. Zmiana znaku ²1 , a tym samym i własności optycznych w pobliżu ωp nosi nazwȩ ”granicy plazmowej”, a energia h̄ωp (lub odpowiadaja̧ca jej długość fali λp )- brzegiem (lub granica̧) plazmowa̧. Ilustruje to rysunek 10.4, gdzie przyjȩto ωp /ωτ = 50. Dla metali granice plazmowe leża̧ w ultrafiolecie ωp ∼ = 1.6·1016 s−1 , λp = 0.1µm, h̄ωp = 11eV). Tak wiȩc dla fal o długościach λ > λp (a wiȩc ω < ωp ) metale w przybliżeniu całkowicie odbijaja̧ padaja̧ca̧ falȩ (r → 1). Granica plazmowa tłumaczy zjawisko metalicznego połysku. W rozmaitych zastosowaniach chodzi o wyprodukowanie materiałów, które bȩda̧ przeźroczyste dla fal widzialnych (0.4µm < λ < 0.8µm), natomiast bȩda̧ idealnymi zwierciadłami dla fal dłuższych (podczerwień itp). Takie własności maja̧ warstwy z domieszkowanych półprzewodników SnO2 i In2 O3 . W In2 O3 granica plazmowa ma wartość λp =1 µm. Dla fal λ > λp warstwa In2 O3 jest praktycznie idealnym zwierciadłem, natomiast dla λ < λp jest całkowicie przeźroczysta. Jeśli zastosować w mieszkaniu szyby okienne pokryte warstwa̧ In2 O3 , bȩda̧ one całkowicie przeźroczyste dla promieniowania widzialnego, i zwierciadłami dla promieniowania podczerwonego, izoluja̧c termicznie od otoczenia (p. rys. 10.5). Dane literaturowe 1 mówia̧, że odpowiednio spreparowane okna z In2 O3 moga̧ nawet o 50 % zmniejszyć straty cieplne. 1 P. Grosse, Freie Elektronen in Festkörpern, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1979. 177 Rysunek 10.5: Izoluja̧ca termicznie szyba z warstwa̧ In2 O3 : współczynnik odbicia R i transmisji D, w porównaniu z wrażliwościa̧ spektralna̧ oka V i promieniowaniem cieplnym pomieszczenia P , z monografii P. Grosse, p. odn. s. 273. 178 Bibliografia [1] L. D. Landau i E. M. Lifszic, Krótki kurs fizyki teoretycznej. T.1. Wyd.III (PWN, Warszawa, 1980). [2] M. Kozielski i M. Kozielska, Wybrane zagadnienia z fizyki (Wyd. Politechniki Poznańskiej, Poznań, 1996). [3] L. D. Landau i E. M. Lifszic, Mechanika (PWN, Warszawa, 1961). [4] W. Rubinowicz i W. Królikowski, Mechanika teoretyczna (PWN, Warszawa, 1955). [5] W. S. Urbański, Mechanika teoretyczna. Wyd.II (PWN, Warszawa, 1970). [6] C. Kittel, W. D. Knight, i M. A. Ruderman, Mechanika (PWN, Warszawa,1969). [7] A. S. Kompaniejec, Fizyka teoretyczna (PWN, Warszawa, 1961). [8] A. W. Astachow i J. M. Szirokow, Pole elektromagnetyczne (WNT, Warszawa, 1990). [9] R. S. Ingarden, Elektrodynamika klasyczna i kwantowa (Wydawnictwa UMK, Toruń, 1976). [10] R. S. Ingarden i A. Jamiołkowski, Elektrodynamika klasyczna (PWN, Warszawa, 1980). [11] J. D. Jackson, Elektrodynamika klasyczna (PWN, Warszawa, 1982). [12] E. Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów (PWN, Warszawa, 1964). [13] M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna. Tom II. Pole elektromagnetyczne (Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, Wyd.5 poprawione). [14] L. Landau i E. M. Lifszic, Teoria pola (PWN, Warszawa, 1960). [15] L. Landau i E. M. Lifszic, Elektrodynamika ośrodków cia̧głych (PWN, Warszawa, 1960). [16] R. Litwin, Teoria pola elektromagnetycznego (WNT, Warszawa, 1967). [17] A. N. Matwiejew, Teoria pola elektromagnetycznego (PWN, Warszawa, 1967). [18] T. Morawski i W. Gwarek, Teoria pola elektromagnetycznego (WNT, Warszawa, 1978). 179 [19] D. Halliday i R. Resnick, Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych, Tom I i II (PWN, Warszawa, 1967). [20] J. Stankowski i B. Czyżak, Naprzewodnictwo (Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1999). [21] W. W. Nikolskij, Elektrodinamika i rasprostranenije radiowoln (” Nauka”, Moskwa, 1978). [22] E. M. Purcell, Elektryczność i magnetyzm (PWN, Warszawa, 1975). [23] H. H. Skilling, Fale elektromagnetyczne (PWN, Warszawa, 1961). [24] M. Suffczyński, Elektrodynamika (PWN, Warszawa, 1965). [25] I. Tamm, Podstawy teorii elektryczności (WNT, Warszawa, 1967). [26] J. E. Midwinter,l Światłowody telekomunikacyjne (WNT, Warszawa, 1983. [27] M. Szustakowski, Elementy techniki światłowodowej (WNT, Warszawa¡ 1992. [28] H. Haken i H. C. Wolf, Atomy i kwanty (Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1997). [29] I. Białynicki-Birula, M. Cieplak, i J. Kamiński, Teoria kwantów (Wyd. Naukowe PWN, Warszawa, 1991). [30] A. Gołȩbiewski, Elementy mechaniki i chemii kwantowej, Wyd. II (PWN, Warszawa, 1984). [31] R. Eisberg i R. Resnick, Fizyka kwantowa atomów, cza̧steczek, ciał stałych, ja̧der i cza̧stek elementarnych (PWN, Warszawa, 1983). [32] J. Ginter, Wstȩp do fizyki atomu, cza̧steczki i siała stałego (PWN, Warszawa, 1979). [33] L. I. Schiff, Mechanika kwantowa (PWN, Warszawa, 1977). [34] A. S. Dawydow, Mechanika kwantowa (PWN, Warszawa, 1967). [35] L. D. Landau i E. M. Lifszic, Mechanika kwantowa (PWN, Warszawa, 1958). [36] J. H. Davies, The Physics of Low-Dimensional Semiconductors. An Introduction (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1998). [37] A. Hennel, W. Krzyżanowski, W. Szuszkiewicz, i K. Wódkiewicz, Zadania i problemy z fizyki. Cz. I: Mechanika klasyczna i relatywistyczna (Wyd.III, PWN, Warszawa, 1993). [38] A. Hennel i W. Szuszkiewicz, Zadania i problemy z fizyki. Cz. II: Pola, Obwody, Termodynamika (Wyd. IV, PWN, Warszawa, 1997). 180 [39] M. Baj, G. Szeflińska, M. Szymański, i D. Wasik, Zadania i problemy z fizyki. Cz. III: Drgania i fale skalarne (Wydawnictwo Naukowe PWN,Warszawa, 1993). [40] M. Baj, G. Szeflińska, M. Szymański, i D. Wasik: Zadania i problemy z fizyki. Cz. IV: Fale elektromagnetyczne, fale materii (Wydawnictwo Naukowe PWN,Warszawa, 1996). [41] Zbiór zadań z fizyki, pod redakcja̧ S. M .Kozieła (PWN, Warszawa, 1990). [42] L. G. Grieczko, W. I. Sugakow, O. M. Tomasiewicz, i A. M. Fiedorcienko, Zadania z fizyki teoretycznej (PWN, Warszawa, 1975). [43] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, anmd Products, edited by A. Jeffrey (Academic Press, Boston, 1994). [44] Y. Chen, R. Cingolani, L. C. Andreani, and F. Bassani, Nuovo Cimento D 10, 847 (1988). [45] D. B. Tran Thoai, R. Zimmermann, M. Grundmannn, and D. Bimberg, Physical Review B 42, 5906 (1990). [46] A. Stahl and I. Balslev, Electrodynamics of the Semiconductor Band Edge (Springer Verlag, Berlin–Heidelberg–New York, 1987). [47] L. Gotthard, A. Stahl, and G. Czajkowski, J. Phys. C- Solid State Phys. 17, 4865 (1984). [48] G. Czajkowski and I. Balslev, Phys. Stat. Sol. B 130, 655 (1985). [49] G. Czajkowski and P. Schillak, Acta Phys. Polon. A 69, 885 (1986). [50] G. Czajkowski and P. Schillak, Nuovo Cimento D 8, 305 (1986). [51] G. Czajkowski and P. Schillak, Phys. Stat. Sol. B 140, 273 (1987). [52] P. Schillak, Własności optyczne kryształów półprzewodnikowych w obszarze rezonansu ekscytonowego, Praca Doktorska (Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń, 1987). [53] G. Czajkowski and P. Schillak, Nuovo Cimento D 9, 781 (1987). [54] P. Schillak, Nuovo Cimento D 11, 615 (1989). [55] G. Czajkowski, Y. Chen, and P. Schillak, Nuovo Cimento D 11, 839 (1989). [56] G. Czajkowski and P. Schillak, Nuovo Cimento D 11, 1535 (1989). [57] G. Czajkowski, K.-H. Pantke, K. Ziebegk, and P. Schillak, Journ. of Crystal Growth 101, 379 (1990). [58] G. Czajkowski and P. Schillak, Nuovo Cimento D 13, 1199 (1991). 181 [59] P. Schillak and G. Czajkowski, Nuovo Cimento D 14, 563 (1992). [60] A. Tredicucci, Polaritons in thin layers and quantum wells, Thesis (Scuola Normale Superiore, Pisa, 1992). [61] G. Czajkowski and A. Tredicucci, Nuovo Cimento D 14, 1203 (1992). [62] G. Czajkowski and A. Tredicucci, Nuovo Cimento D 14, 1283 (1992). [63] F. Bassani, Y. Chen, G. Czajkowski, and A. Tredicucci, Phys. Stat. Sol. B 180, 191 (1993). [64] A. Tredicucci, Y. Chen, G. Czajkowski, and F. Bassani, Journal de Physique IV, suppl. Journal de Physique II, 203 (1993). [65] F. Bassani, G. Czajkowski, A. Tredicucci, and P. Schillak, Nuovo Cimento D 15, 337 (1993). [66] G. Czajkowski, F. Bassani, and A. Tredicucci, Phys. Rev. B 54, 2035 (1996). [67] M. Abramowitz and I. Stegun (editors), Handbook of Mathematical Functions (Dover Publications, New York, N.Y., 1965). [68] P. Moon i D. E. Spencer, Teoria pola (PWN, Warszawa, 1966). [69] E. T. Whittaker i G. N. Watson, Kurs Analizy Współczesnej (PWN, Warszawa, 1968). [70] F. Schwabl, Quantum Mechanics (Springer-Verlag, Berlin-Hidelberg-New York 2002). [71] A. Messiah, Quantum Mechanics (North-Holland, Amsterdam, 1962). [72] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, and F. Laloë, Quantum Mechanics (J. Wiley, New York, 1977). [73] G. E. Uhlenbeck, and S. Goudsmit, Naturwiss. 13, 953 (1925); Nature 127, 264 (1926). [74] H. Haken i H. C. Wolf, Atomy i kwanty. Wprowadzenie do współczesnej spektroskopii atomowej (Wyd. Naukowe PWN, Warszawa, 1997). [75] R. M. Eisberg, Podstawy Fizyki Współczesnej (PWN, Warszawa, 1968). 182 Spis rysunków 2.1 Obszary całkowania w równaniach Maxwella, płat powierzchniowy S rozpięty na krzywej C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 23 Przekrój poprzeczny betatronu przedstawiaja̧cy magnes M , cewki C oraz toroidalna̧ rurȩ R. Elektrony wychodza̧ z płaszczyzny rysunku z lewej strony i wchodza̧ z prawej. 25 2.3 Strumień magnetyczny przechodza̧cy przez orbitȩ betatronu w czasie jednego okresu. Obrót elektronów w kierunku wskazanym na rys. 2.2 możliwy jest tylko w czasie półokresu ac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Prawo zachowania natȩżenia pra̧du całkowitego na przykładze kondensatora płaskiego. 27 2.5 Prawo Ohma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Opór właściwy miedzi jako funkcja temperatury. Linia przerywana zastępuje od- 36 cinek krzywej między dwoma punktami zaznaczonymi w postaci kółek. Punkt oznaczony T0 , ρ0 (ρ0 = 1.56 · 10−8 Ω·m, T0 = 273.16K= 0o C.) wybrano jako punkt odniesienia, za podręcznikiem [19]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Gwałtowny zanik oporu próbki rtęci w temperaturach bliskich zeru bezwzględnemu. Na osi pionowej opór w omach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 37 39 Zależność temperaturowa oporu dla nadprzewodnika, metalu normalnego i metalu czystego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Pole elektromagnetyczne na granicy ośrodków. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.10 Cia̧głość składowej stycznej pola E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.11 Prąd płynący na powierzchni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.12 Pole wewnątrz kondensatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.13 Pole magnetyczne w magnetyku toroidalnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1 Potencjał dipola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.1 Zmienne w wyznaczaniu potencjału wektorowego A. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.2 Pole przewodnika kołowego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.3 Obliczanie pola magnetycznego odcinka z prądem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.4 Obliczanie potencjału wektorowego pra̧du elementarnego. . . . . . . . . . . . . . . 77 2.9 183 4.5 Pra̧d elementarny liniowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.1 Schemat obwodu elektrycznego z pojemnością i samoindukcją . . . . . . . . . . . . 93 5.2 Natężenia prądu przy włączaniu i wyłączaniu stałej SEM . . . . . . . . . . . . . . 95 6.1 Dipol Hertza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.1 Polaryzacja fali płaskiej w płaszczyźnie xy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.2 Zależności ka̧towe przy odbiciu i załamaniu fali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 9.1 Schemat falowodu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9.2 Schemat falowodu prostoka̧tnego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 9.3 Schemat światłowodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.4 Światłowód płaski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.5 Rozkład fal rozchodza̧cych siȩ w światłowodzie płaskim . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.6 Rozwia̧zanie graficzne równania (9.66) na mody własne . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.1 Zachowanie rezonansowe współczynnika polaryzowalności α. . . . . . . . . . . . . . 166 10.2 Zachowanie rezonansowe współczynnika załamania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 10.3 Dryfowanie chmury elektronowej o kulistosymetrycznym rozkładzie prȩdkości. . . . 173 10.4 Współczynnik odbicia dla a) półprzewodnika i b) metalu, dla czȩstotliwości w pobliżu ωp , ωp /ωτ ≈ 50, linia cia̧gła - bez tłumienia, linia przerywana, z uwzglȩdnieniem tłumienia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 10.5 Izoluja̧ca termicznie szyba z warstwa̧ In2 O3 : współczynnik odbicia R i transmisji D, w porównaniu z wrażliwościa̧ spektralna̧ oka V i promieniowaniem cieplnym pomieszczenia P , z monografii P. Grosse, p. odn. s. 273. . . . . . . . . . . . . . . . 178 184 Spis tablic 1.1 Podstawowe operacje analityczne na polach skalarnych i wektorowych. . . . . . . . 17 2.1 Przenikalność dielektryczna względna dla niektórych substancji. . . . . . . . . . . . 32 2.2 Przenikalność magnetyczna wzglȩdna dla niektórych substancji. . . . . . . . . . . . 33 2.3 Wartości przewodności właściwej dla niektórych ośrodków. . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Niektóre metale i stopy metaliczne i ich temperatury krytyczne, na podstawie monografii Stankowskiego i Czyżaka [20]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 Niektóre nadprzewodniki wysokotemperaturowe i ich temperatury krytyczne. . . . 41 8.1 Wartości głȩbokości wnikania w zależności od długości fali. . . . . . . . . . . . . . 117 10.1 Porównanie koncentracji i prȩdkości nośników w metalach i półprzewodnikach. Gȩstości nośników w cm−3 , prȩdkości w m/s, dane Ge dla temperatury T =300 K. . . . . . . 171 185 186 Skorowidz Ag, 124, 169 czasu jednorodność, 104 akcelerator, 158 cza̧stka α, 158 kołowy, 158 czȩstość kołowa ω, 14 liniowy, 158 czterowektor pra̧du, 111 akceptor, 171 Al, 124 Czyżak, B., 38 aluminium, 38 amper, 85 antena, 108, 131 Au, 124, 169 d’Alemberta operator, 100 d’Alemberta równanie, 100 dekrement logarytmiczny, 98 delta Diraca, 81, 101 Bednorz, J. G., 38 betatron, 24, 161 diamagnetyki, 34 Bi, 169 dielektryk, 164 Biota–Savarta prawo, 72 dielektryki, 36 Blocha wektor, 170 dipol Boltzmanna czynnik, 168 elektryczny, 57, 80 Boltzmanna stała, 168 Hertza, 105 Brewstera ka̧t, 128 magnetyczny, 80 domieszki, 171 całka krzywoliniowa, 18 donor, 171 Dopplera efekt, 112 powierzchniowa, 18 podłużny, 113 cechowanie kulombowskie, 73 poprzeczny, 113 drgania gasnące CERN, 160 aperiodyczne, 98 Cu, 124, 169, 171 periodyczne, 98 cyklotron, 159 drobiny cyklotronowa czȩstotliwość, 153 niepolarne, 163 czas relaksacji, 95, 173 polarne, 163 czas zderzenia, 172 Drude’go równanie, 175 187 Drude’go–Lorentza model, 172 bieża̧ca, 139 Drude, P., 172 bieżąca, 108 dryfowanie cza̧stek, 154 czȩstotliwość, 109 dryfu średnia droga, 172 długość, 90, 107, 109 dryfu prȩdkość, 154, 172, 174 faza, 108 dyspersja, 122, 151, 164 fazowa prȩdkość, 135 dyspersyjna relacja, 164 kulista, 109 dystrybucja, 67 monochoromatyczna, 115 dywergencja, 15, 16, 27 odbita, 118 dziura, 170 okres, 109 ekran przewodzący, 61 padaja̧ca, 118 ekwipotencjalna powierzchnia, 57 podstawowa, 135 elektrodynamiczna siła, 22, 85 poprzeczna, 109 elektrolity, 36 powierzchnia stałej fazy, 109 elektromagnes, 24 prȩdkość fazowa, 122 elektromotoryczna siła (SEM), 70 prędkość fazowa, 109 elektron, 77, 151 płaska, 115 defektu, 170 stała propagacji, 138 walencyjny, 164, 168, 169 tłumiona, 116 elektronowolt, 154 wnikania głȩbokość, 116 elektrostatyka, 52 załamana, 118 równania, 55 fale energia TE, 133, 140 dipola w polu elektrycznym, 68 magnetyczna, 84 TM, 133, 140 falowód oddziaływania układu ładunków, 67 fale TE, 137 pojedynczego ładunku, 68 fale TM, 133 pola elektromagnetycznego, 48 graniczna czȩstotliwość, 138 pola elektrostatycznego, 66 graniczna długość fali, 136 pola elektrycznego, 49 graniczne czȩstotliwości, 136 pola magnetycznego, 49, 71 prostoka̧tny, 138 potencjalna prądu element., 88 prostoka̧tny, fale TE, 140 potencjalna, elektrostatyka, 56 prostoka̧tny, fale TM, 142 Rydberga atomu wodoru, 166 prostoka̧tny, graniczna czȩstotl., 142 wia̧zania, 168 fala prostoka̧tny, mody, 142, 143 falowody, 131 188 falowy oprór, 107 Hertza dipol, 105 składowe pola, 107 farad, 22, 63 histereza, 30, 34 Faradaya prawo, 155 ferromagnetyki, 34 impedancja, 97 fotoprzewodniki, 36 impedancja właściwa, 115 Fouriera przedstawienie In2 O3 , 177 funkcja delta, 101 indukcja Fouriera transformata, 102, 104 elektryczna, 166 Fresnela wzory indukcja elektromagnetyczna, 91 padanie normalne, 122, 123 indukcja magnetyczna, 21 padanie ukośne, 124, 127 indukcja własna, 84 funkcja indukcji wzajemnej współczynniki, 84, 93 delta Diraca, 67, 101 InSb, 171 dielektryczna, 31 izolator, 36, 168 pola, 14 funkcjonał Diraca, 67 Joule’a ciepło, 175 funkcjonał Diraca, 101 Joule’a–Lenza ciepło, 48 Kamerlingh Onnes, H., 38 Gaussa–Ostrogradskiego prawo, 28 Gaussa–Ostrogradskiego twierdzenie, 16, 48, 79 gaz elektronowy, 169 Ge, 171 Karaśkiewicz, E., 18, 88 Kelvina stopnie, 37 kondensator, 27, 61 okładka, 61 german, 38 płaski, 63 Ginzburg, W. L., 38 pojemność, 63 gradient, 15, 55, 57, 90 współrzȩdne kuliste, 107 graniczny ka̧t, 129 pojemność, 62 konduktywność, 34 kryształ Greena funkcja, 100 jonowy, 168 dla operatora różniczkowego, 102 jednorodna, 102 molekularny, 168 krzywa osobliwa, 102 regularna, 17 równania d’Alemberta, 103, 104 równania Poissona, 103, 104 retardowana, 105 Grosse, P., 177 henr, 22, 84 zamkniȩta, 18 kulomb, 21 kwarc, 34 kwarki, 151 Landau, L. D., 38 189 Laplace’a równanie, 55, 72 skł. styczna E, 45 laplasjan, 16, 55 skł. styczna H, 45 laser, 144 metal, 168 linie metale, 36 sił pola, 29 metoda linie przesyłowe, 131 obrazów, 63 Lorentz, H. A., 172 rozdzielenia zmiennych, 141 Lorentza Midwinter, J. E., 144 siła, 84, 151, 170, 172 Minkowskiego przestrzeń, 111 warunek, 100, 106 moment ładunek, 29 dipolowy, 57, 163, 164 ładunku gȩstość, 21 dipolowy dynamiczny, 165 łuk regularny, 17 magnetyczny, 155, 156 magnetyczny, magnetostatyka, 52 magnetyczna butelka, 156 magnetyczne zwierciadło, 156 adiabatyczna niezmienniczość, 156 moment dipolowy magnetyczny masa efektywna, 170, 172, 174 relatywistyczna, 160 materiałowe równania, 22, 30, 51, 176 prądu elementarnego, 79 Müller, K. A., 38 nadprzewodnictwo, 38 Maxwell, J. C., 20 Maxwella wysokotemperaturowe, 38 nadprzewodniki równania, 20, 23, 176 kowariantne, 112 temperatury kryttyczne, 38 nadprzewodniki wysokotemperaturowe, 38 równania dla pola quasistacjon., 90 napiȩcie, 24 równania, postać różniczkowa, 23 napięcie równania, pole bezźródłowe, 115 spadek, 36 równania, poprzez potencjały, 100 niob, 38 równania, postać całkowa, 23, 42 niuton, 85 równania, postać różniczkowa, 51 nośników ruchliwość, 174 układ równań, 29 nośniki ładunku, 170 układ równań całkowych, 29 układ równań różniczkowych, 30 obwód drgający, 97 warunki graniczne, 42 skł. normalna B, 42 LC, 93 skł. normalna E, 43 odbicia ka̧t, 121 190 odbicia współczynnik, 123 plazmowa granica, 177 odbicie zupełne, 130 Po, 158 om, 36 podatność operator elektryczna, 164 d’Alemberta, 100 zespolona, 167 Laplace’a, 16, 55 Poissona równanie, 55, 73, 103 nabla, 15, 30 pojemność kondensatora, 93 odwrotny, 101 pola różniczkowy, 101 wartość własna, 102 opór statyczne, 52 pola równania, 20 polaryzacja, 33, 163 całkowity, 91 polaryzacja fali falowy, 107 eliptyczna, 117 omowy, 95 kołowa, 117 właściwy, 36, 174 liniowa, 117, 128 właściwy dynamiczny, 176 polaryzacja p, 126 właściwy, polaryzacja s, 126 współczynnik temperaturowy, 37 opóźnienie, 108 przez odbicie, 128 polaryzowalność optyczne własności, 176 atomu, 165 orbital, 169 atomu wodoru, 166 oscylator harmoniczny dynamiczna, 165, 166 równanie, 94 oscylatora siła, 166 ośrodki anizotropowe, 31 ośrodki izotropowe, 31 statyczna, 166 polaryzowalności współczynnik, 164 pole bezźródłowe, 28, 115 ośrodki jednorodne, 33 elektromagnetyczne, 19, 21 ośrodki niejednorodne, 33 elektryczne przyłożone, 51 padania ka̧t, 121 elektryczne, pow. przewodnika, 60 padania płaszczyzna, 120 grawitacyjne, 20 paramagnetyki, 34 konserwatywne, 56 pasmo magnetostatyczne, 69 magnetyczne energetyczne, 168 prąd elementarny, 80 przewodzenia, 168, 169 magnetyczne quasistacjonarne, 89 walencyjne, 169, 170 plazmowa czȩstotliwość, 167, 176 magnetyczne, indukcja, 21 191 magnetyczne, natȩżenie, 22 Joule’a–Lenza, 69, 175 quasistacjonarne, 89 różniczkowe, 71 skalarne, 14 magnetyczne Gaussa, 29 wektorowe, 14, 22 Ohma, 30, 34, 36, 70, 174 potencjał uogólnione, 69 cechowanie, 56 Ohma lokalne, 174 elektrostatyczny, 55 Ohma w postaci całkowej z uwzględnieniem indukcji elektromagnetycznej, 91 elektryczny, 55 elektryczny dipola, 58 Ohma w postaci różniczkowej, 91 elektryczny układu ładunków punkt., 57 Snelliusa, 121 elektryczny ładunku punkt., 57 zachowania ładunku, 29 powierzchnia stałego p., 57 pra̧du całkowitego gȩstość, 27 skalarny, 90, 91, 99 pra̧d elementarny, 77 skalarny, dipol Hertza, 107 pra̧du gȩstość, 21 wektorowy, 72, 77, 78, 90, 91, 99, 106 pra̧d kołowy, 155 cechowanie, 73 pra̧d liniowy, 21 prąd elementarny, 79 prąd liniowy, 74 potencjały pra̧du natȩżenie, 21 awansowane, 105 pra̧d przesuniȩcia, 27 elektromagnetyczne retardowane, 105 prąd przesunięcia, 90 powierzchnia stałej fazy, 115 pra̧d przewodzenia, 26 powierzchniowa gȩstość pra̧du, 46 prąd przewodzenia, 89 powierzchniowa gęstość ładunku, 44 pra̧du stałego źródła, 70 powłoka pra̧d wymuszony, 48 elektronowa promień Bohra atomu wodoru, 166 walencyjna, 164 Poyntinga wektor, 49, 116, 122, 130, 136 proton, 151 półmetale, 169 próżnia, 22 półprzewodnik, 36, 169 przejścia współczynnik, 123 prawo przenikalność Ampere’a, 23 elektryczna, 31 Biota–Savarta, 75 elektryczna próżni, 22, 32 Coulomba, 57 elektryczna względna, 32, 33 elektryczne Gaussa, 29, 57, 60 magnetyczna, 31 Gaussa–Ostrogradskiego, 28 magnetyczna próżni, 22, 32 indukcji uogólnione, 23 magnetyczna wzglȩdna, 32 192 magnetyczna względna, 34 Stankowski, J., 38 przerwa energetyczna, 168 Stokesa twierdzenie, 17, 18, 23 przestrzeni jednorodność, 104 strefa przesunięcie fazowe, 97 bliska (indukcji), 107 przewodnicwto właściwe, 31 daleka (promieniowania), 107 przewodnik strumień magnetyczny, 24, 83 liniowy, 83 rotacji wektora, 18 przewodność, 174 wektora przez powierzchniȩ, 16 dynamiczna, 176 zespolona, 175 przewodność właściwa, 34 symetrii własności, 103 synchrotron, 160 Szustakowski, M., 144 rotacja, 15, 24, 90 podwójna, 73 średnia droga swobodna, 174 światłowód, 131, 144 Röntgena promienie, 24, 161 światłowód płaski, 144, 145 Rydberga energia światłowodu płaszcz, 144 atom wodoru, 166 samoindukcji współczynnik, 84, 93 siemens, 36 siła światłowodu rdzeń, 144 światłowód, schemat, 144 światłowód, wartości własne, 147 temperatura, 37 Coulomba, 172 elektrodynamiczna, 22, 85 krytyczna, nadprzewodnictwo, 38 tensor elektromotoryczna , 92 dielektryczny, 31 Lorentza, 151, 172 dualny, 111 na prąd elementarny, 88 pola, 111 oscylatora, 166 przenikalności elektrycznej, 31 sprȩżysta, 165 przenikalności magnetycznej, 31 wymuszająca, 94 przewodnictwa, 31 Snelliusa prawo, 121 wzbudzenia, 111 SnO2 , 177 tesla, 21 spadek napięcia, 93 Thomsona model, 164 stała Thomsona wzór, 97 Boltzmanna, 37 tłumienia współczynnik, 167 czasowa indukcyjna, 95 transformator, 92 dielektryczna, 32 twierdzenie propagacji, 142 Gaussa–Ostrogradskiego, 16, 48, 79 193 Stokesa, 17, 18, 23 źródła pola, 29 tytanian baru, 32 van de Graffa generator, 158 weber, 21 wektor funkcja parametru, 13 indukcji elektrycznej, 22 jednostkowy, 12 jednostkowy styczny, 18 moduł, 11 namagnesowania, 33 natȩżenia pola elektrycznego, 19 polaryzacji, 33, 163 Poyntinga, 49 wodza̧cy, 12, 21 wektory dodawanie, 12 iloczyn skalarny, 12 iloczyn wektorowy, 12 iloczyn wektorowy podwójny, 13 iloczyny, 12 pola elektromagnetycznego, 42 wielkości natȩżeniowe, 22 siłowe, 22 współrzędne kuliste, 106 sferyczne, 103, 106 zagadnienie własne, 102 załamania wspólczynnik, 121, 125, 144, 164, 177 załamania wspólczynnik zespolony, 167 zasada zachowania energii, 153 zawada, 97 194