View

Komentarze

Transkrypt

View
Gerard Czajkowski
Wojciech Chmara
ELEKTRODYNAMIKA
Wersja 27.05.2010
Kierunek: Fizyka techniczna
Specjalność: Miernictwo komputerowe z informatyka,
Studia inżynierskie
Bydgoszcz 2010
2
Spis treści
I
Elektrodynamika
9
1 Uzupełnienie matematyczne-rachunek wektorowy
11
1.1
Algebra wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2
Elementy analizy wektorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3
Funkcje pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3.1
Twierdzenie Gaussa–Ostrogradskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3.2
Twierdzenie Stokesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2 Równania Maxwella
19
2.1
Uwagi wstȩpne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2
Podstawowe pojȩcia i równania teorii pola elektromagnetycznego . . . . . . . . . .
20
2.3
I i II równanie Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3.1
Uogólnione prawo indukcji elektromagnetycznej . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3.2
Prąd i pole magnetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.4
Układ równań Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.5
Równania materiałowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.5.1
Względna przenikalność elektryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.5.2
Względna przenikalność magnetyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
2.5.3
Przewodniki i izolatory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Warunki graniczne dla wektorów pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.6.1
Warunek graniczny na składową normalną wektora indukcji magnetycznej
42
2.6.2
Warunek graniczny na składową normalną wektora indukcji elektrycznej .
43
2.6
2.6.3
2.7
Warunek graniczny na składową styczną natężenia pola
elektrycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.6.4
Warunek graniczny na składowa̧ styczna̧ natȩżenia pola magnetycznego . .
45
2.6.5
Warunek graniczny dla składowej stycznej gęstości prądu . . . . . . . . . .
46
2.6.6
Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Energia pola elektromagnetycznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3
2.7.1
2.8
Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Działy elektrodynamiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.8.1
Przypadek statyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.8.2
Pole stacjonarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.8.3
Przypadek quasistacjonarny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3 Elektrostatyka
55
3.1
Potencjał elektrostatyczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.2
Przewodniki w polu elektrostatycznym. Kondensatory . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.2.1
Ekran przewodzący . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.2.2
Kondensatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
3.2.3
Metoda obrazów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.2.4
Energia pola elektrostatycznego oraz energia oddziaływania między ładunkami 66
4 Stacjonarne pole magnetyczne
69
4.1
Równania pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.2
Siły elektromotoryczne przyłożone. Uogólnione prawo Ohma i Joule’a-Lenza . . .
69
4.3
Pole magnetostatyczne w ośrodku jednorodnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.3.1
Prawo Biota–Savarta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.3.2
Przykłady zastosowania prawa Biota–Savarta . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.3.3
Pole magnetyczne prądu elementarnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.3.4
Energia pola magnetycznego prądów stałych . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.3.5
Siły mechaniczne w polu magnetostatycznym . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5 Quasistacjonarne pole magnetyczne
5.1
Równania pola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.2
Układ przewodników z uwzględnieniem indukcji wzajemnej oraz samoindukcji . . .
91
5.2.1
6
89
Prawo Ohma w postaci całkowej z uwzględnieniem indukcji elektromagnetycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
5.2.2
Układ dwóch przewodników. Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
5.2.3
Obwód elektryczny z pojemnością i samoindukcją . . . . . . . . . . . . . .
93
5.2.4
Obwód drgający . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
5.2.5
Przypadek ogólny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Emisja fal elektromagnetycznych
99
6.1
Ogólne rozwia̧zanie równań Maxwella przy pomocy potencjałów . . . . . . . . . . .
6.2
Funkcja Greena dla równania d’Alemberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2.1
99
Pojęcie funkcji Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4
6.3
Promieniowanie dipola Hertza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4
Strefa bliska (indukcji) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.5
Strefa daleka (promieniowania) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7 Równania Maxwella w postaci relatywistycznie niezmienniczej
111
8 Fale elektromagnetyczne w ośrodkach nieskończonych
115
8.1
Fale elektromagnetyczne w dielektrykach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.2
Fale elektromagnetyczne w ośrodkach przewodza̧cych . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.2.1
8.3
Polaryzacja fali płaskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Załamanie i odbicie płaskiej fali elektromagnetycznej na granicy miȩdzy dwoma
dielektrykami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.3.1
Warunki graniczne dla wektorów falowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.3.2
Zwia̧zek miȩdzy natȩżeniami fali padaja̧cej, odbitej i załamanej dla fali
padaja̧cej prostopadle do powierzchni granicznej– wzory Fresnela . . . . . . 122
8.4
9
Wzory Fresnela dla fali padaja̧cej ukośnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.4.1
Ka̧t Brewstera- polaryzacja przez odbicie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.4.2
Zjawisko odbicia zupełnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Fale elektromagnetyczne w układach prowadza̧cych
131
9.1
Wstȩp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2
Falowody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2.1
Fale elektromagnetyczne miȩdzy dwoma
równoległymi przewodza̧cymi płaszczyznami . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.3
9.4
9.2.2
Fale poprzeczne magnetyczne - TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2.3
Fale poprzeczne elektryczne- TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Falowody prostoka̧tne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.3.1
Fale poprzeczne elektryczne TE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.3.2
Fale poprzeczne magnetyczne TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.3.3
Fala typu TE10 w falowodzie prostoka̧tnym (m=1, n=0) . . . . . . . . . . 143
Światłowody
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10 Elektrodynamika mikroskopowa
151
10.1 Wstȩp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.2 Ruch cza̧stki naładowanej w polu elektromagnetycznym . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.2.1 Ruch cza̧stki w polu magnetycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.2.2 Ruch cza̧stki w polu elektrycznym stałym w czasie . . . . . . . . . . . . . . 153
5
10.2.3
Dryfowanie cza̧stek naładowanych w skrzyżowanych polach elektrycznym i
magnetycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.2.4 Adiabatyczna niezmienniczość momentu magnetycznego . . . . . . . . . . . 155
10.2.5 Ruch w poprzecznym polu elektrycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.2.6 Ruch w poprzecznym polu magnetycznym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.3 Akceleratory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.3.1 Betatron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.3.2 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.4 Dielektryki. Teoria dyspersji
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.4.1 Dielektryki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.4.2 Polaryzowalność atomu, statyczna i dynamiczna podatność elektryczna . . 164
10.4.3 Polaryzowalność materii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.5 Metal, półprzewodnik, izolator- porównanie własności . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.5.1 Izolatory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.5.2 Półprzewodniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.5.3 Półmetale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.5.4 Metale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.5.5 Koncepcja masy efektywnej
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
10.5.6 Porównanie metal– półprzewodnik. Nośniki ładunku . . . . . . . . . . . . . 170
10.6 Transport elektronów. Model Drude’go–Lorentza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.6.1 Siły działaja̧ce na elektron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.6.2 Zachowanie energii i pȩdu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.6.3 Przewodność statyczna- pra̧d stały
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
10.6.4 Dynamiczne przewodnictwo metali i półprzewodników . . . . . . . . . . . . 175
Literatura
179
Spis rysunków
183
Spis tablic
185
Skorowidz
187
6
7
8
Cześć
I
,
Elektrodynamika
9
Rozdział 1
Uzupełnienie
matematyczne-rachunek
wektorowy
1.1
Algebra wektorów
Wśród wielkości fizycznych, jakie spotykać bȩdziemy w dalszej czȩści wykładu, rozróżniać bȩdziemy
wielkości skalarne, wektorowe i tensorowe (macierzowe). Przykładami wielkości skalarnych bȩda̧
ładunek elektryczny, natȩżenie pra̧du, potencjał elektryczny. Wielkości te, przy ustalonej jednostce
miary, określone sa̧ przez jedna̧ liczbȩ. Do wielkości wektorowych zaliczać bȩdziemy wymienione w
poprzednim rozdziale pola wektorowe B, H, E, D, wektor gȩstości pra̧du J, a nadto wymienione
wielkości mechaniczne, jak siła F, prȩdkość v, i przyspieszenie a. Wektorom przyporza̧dkowujemy
trzy liczby rzeczywiste, zwane jego składowymi. Czȩsto posługujemy siȩ geometrycznym obrazem
wektora, jakim jest odcinek skierowany: długość odcinka określa długość, czyli miarȩ (moduł)
wektora, prosta, na której on leży- kierunek, i strzałka - zwrot. Już poprzednio użyliśmy oznaczenia
wektorów pogrubionymi literami; grubość wektora a oznaczana przez |a|, lub po prostu a, jest
zawsze wielkościa̧ nieujemna̧: jest równa 0 dla wektora zerowego.
Pewne wielkości elektrodynamiczne, jak podatności elektryczne i magnetyczne, sa̧ tensorami
drugiego rzȩdu i w ogólności scharakteryzowane sa̧ 9-ma liczbami tworza̧cymi macierz: w tym
wypadku posługiwać siȩ bȩdziemy zapisem wskaźnikowym ² = ²ij , lub ².
Na wymienionych wielkościach dokonywać można operacji zarówno algebraicznych, jak i analitycznych: niektóre z nich przypomnimy poniżej. Zaczniemy od działań algebraicznych na wektorach a, b,..., które reprezentowane bȩda̧ przez trzy swe składowe. Ograniczaja̧c siȩ do rozważania
prostoka̧tnego układu współrzȩdnych, bȩda̧ to rzuty ax , ay , az ; bx , by , bz ; ... na osie układu. Znaja̧c
11
składowe wektora a, przedstawić go można w postaci sumy trzech wektorów
a = ax i + ay j + az k,
(1.1)
gdzie i, j, k sa̧ wektorami jednostkowymi odpowiednio osi 0x, 0y i 0z. Szczególna̧ rolȩ w dalszych
rozważaniach odgrywać bȩdzie tzw. wektor wodza̧cy r punktu P (x, y, z), ła̧cza̧cy dany punkt z
pocza̧tkiem układu współrzȩdnych: wektor ten ma postać:
r = (x, y, z) = xi + yj + zk.
(1.2)
Wśród działań algebraicznych na wektorach wyróżnimy:
a) dodawanie i odejmowanie (reguła równoległoboku),
b) mnożenie przez liczbȩ,
c) iloczyny wektorów,
d) mnożenie wektora przez tensor.
b). Mnożenie wektora przez liczbȩ zdefiniowane jest nastȩpuja̧co: maja̧c dany dowolny wektor
niezerowy a i liczbȩ rzeczywista̧ λ oznaczymy przez λa nowy wektor maja̧cy długość |λ| |a| i zwrot
ten sam, co wektor a, gdy λ > 0, i przeciwny, gdy λ < 0.
c). Mnożenie wektor’ow.
Iloczynem skalarnym dwóch niezerowych wektorów a i b nazywamy iloczyn:
ab = |a||b| cos φ,
(1.3)
(inne oznaczenie (a, b)), gdzie φ jest ka̧tem miȩdzy wektorami. Używaja̧c składowych obu wektorów w prostoka̧tnym układzie współrzȩdnych wyrazimy iloczyn skalarny ab jako:
ab = ax bx + ay by + az bz .
(1.4)
Łatwo zauważyć, że dwa wektory niezerowe sa̧ wtedy i tylko wtedy prostopodałe, gdy ich iloczyn
skalarny równy jest zeru. Jeżeli obydwa wektory iloczynu sa̧ jednakowe, to za pomoca̧ tego iloczynu
można obliczyć wartość bezwzglȩdna̧, czyli długość wektora:
aa = a2 = |a|2 = a2 = a2x + a2y + a2z ,
ska̧d
(1.5)
q
a=
a2x + a2y + a2z .
(1.6)
Niech dane bȩda̧ dwa wektory niezerowe a, b nierównoległe do jednej prostej.
Iloczynem wektorowym wektora a przez wektor b nazywamy trzeci wektor c spełniaja̧cy nastȩpuja̧ce
warunki:
1. c jest prostopadły do płaszczyzny równoległoboku o bokach równoległych do wektorów a i b,
2. wektor c jest tak skierowany, że trójka wektorów a, b, c ma orientacjȩ zgodna̧ z trójka̧ osi
12
0x, 0y, 0z,
3. wektor c ma długość równa̧ polu równoległoboku zbudowanego na wektorach a, b:
|c| = |a| · |b| sin φ.
(1.7)
Iloczyn wektorowy oznaczamy a×b (inne oznaczenia [a, b], lub avb). W składowych prostoka̧tnych
iloczyn wektorowy wyraża siȩ jako:
cx = ay bz − az by ,
cy = az bx − ax bz ,
cz = ax by − ay bx ,
(1.8)
co równoważne jest minorom wyznacznika:
¯
¯ i
¯
¯
a × b = ¯ ax
¯
¯
bx
j
ay
by
¯
k¯
¯
¯
az ¯ .
¯
¯
bz
(1.9)
Z wzoru (1.7) wynika, że iloczyn wektorowy dwu wektorów niezerowych jest równy zeru dla wektorów równoległych.
W dalszych rozważaniach pojawi siȩ przykład iloczynu wielokrotnego, jakim jest podwójny
iloczyn wektorowy a × (b × c): ma on nastȩpuja̧ca̧ własność:
a × (b × c) = b(ac) − c(ab).
1.2
(1.10)
Elementy analizy wektorów
W poprzednim rozdziale rozważaliśmy wektory, których składowymi były zmienne niezależne
x, y, z. Zmienne te moga̧ być funkcjami pewnego parametru u: mówimy wówczas, że wektor
jest funkcja̧ tego parametru:
r = r(u) = x(u)i + y(u)j + z(u)k.
(1.11)
Jeżeli funkcje x(u), y(u), z(u) sa̧ funkcjami cia̧głymi, to mówimy, że wektor r jest funkcja̧ cia̧gła̧
ze wzglȩdu na parametr u. W tym wypadku zdefioniować można pochodna̧ wektora wzglȩdem
parametru u:
r0 (u) =
dr
r(u + ∆u) − r(u)
= lim∆u→0
.
du
∆u
(1.12)
Dla wektora w postaci (1.11) pochodna ta postać
dr
dx
dy
dz
=i
+j
+k .
du
du
du
du
(1.13)
Wyższe pochodne zdefioniowane sa̧ w podobny sposób:
d2 x
d2 y
d2 z
d2 r
= i 2 + j 2 + k 2.
2
du
du
du
du
13
(1.14)
Dla przykładu rozważmy ruch punktu materialnego o masie m na płaszczyźnie xy, o trajektorii
danej równaniami:
x(t) = r cos ωt,
y(t) = r sin ωt,
(1.15)
gdzie ω jest pewnym zadanym stałym parametrem (tzw. czȩstość ko}owa, lub pulsacja), a rolȩ
zmiennego parametru u odgrywa tu czas t. Ze wzglȩdu na spełniona̧ przez funkcje (1.15) zależność
x2 + y 2 = r2 widać, że równania (1.15) opisuja̧ ruch jednostajny po okreȩgu o promieniu r. Z praw
mechaniki obliczymy wektor prȩdkości v:
v=
dr
dx
dy
=i
+j
= −iωr sin ωt + jωr cos ωt,
dt
dt
dt
(1.16)
d2 r
dv
r
= −ω 2 r .
=
2
dt
dt
r
(1.17)
i przyśpieszenia
a=
Ponieważ
r
= er ,
r
(1.18)
jest wektorem jednostkowym o kierunku r, wyrażenie (1.17 definiuje przyśpieszenie dośrodkowe w
ruchu po okrȩgu o wartści
a = ω2 r =
v2
,
r
(1.19)
a F = ma bȩdzie siła̧ dośrodkowa̧. Wykorzystuja̧c własności iloczynu skalarnego sprawdzić można,
że wektor prȩdkości w każdej chwili peostopadły jest do promienia (wiȩs styczny do okrȩgu).
Wzory na pochodna̧ sumy oraz iloczynu dwu wektorów wyprowadza siȩ tak samo jak w analizie
funkcji zmiennej rzeczywistej. W szczególności
dA
dB
d
(A × B) =
×B+A×
.
du
du
du
(1.20)
Reguły na różniczkowanie wektora wzglȩdem parametru można rozszerzyć na różniczkowanie cza̧stkowe
gdy wektor jest funkcja̧ wiȩcej niż jednego parametru. Jeśli A = A(x, y, z), to
dA =
1.3
∂A
∂A
∂A
dx +
dy +
dz.
∂x
∂y
∂z
(1.21)
Funkcje pola
Jeżeli każdemu punktowi pewnego obszaru przyporza̧dkowujemy pewna̧ wartość liczbowa̧, to ten
obszar nazywamy polem skalarnym.
Jeżeli każdemu punktowi pewnego obszaru przyporza̧dkowujemy pewien wektor, to ten obszar
nazywamy polem wektorowym.
Funkcjȩ dokonuja̧ca̧ tego przyporza̧dkowania nazywamy funkcja̧ pola. Zakładamy, że funkcja
ta jest w otoczeniu każdego punktu jednowartościowa, cia̧gła i różniczkowalna. Przykładem pola
skalarnego jest przestrzenna gȩstość ładunku ρ, a polami wektorowymi sa̧ pola E, B, D, i H.
14
Oznaczmy funkcje pola przez ϕ(x, y, z). Różniczka funkcji pola przy przejściu od punktu
r(x, y, z) do r + dr = (x + dx, y + dy, z + dz) wyraża siȩ w postaci iloczynu skalarnego
dϕ = grad ϕ dr,
(1.22)
gdzie gradient funkcji skalarnej ϕ zdefiniowany jest jako
grad ϕ = i
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
+j
+k ,
∂x
∂y
∂z
(1.23)
i
dr = idx + jdy + kdz.
(1.24)
Definicja (1.23) sformułowana jest we współrzȩdnych prostoka̧tnych : definicje w innych (krzywoliniowych) układach współrzȩdnych podane sa̧ w Dodatku ??. Funkcjȩ pola grad ϕ zapisujemy
czȩsto przy użuciu wektorowego operatora różniczkowego nabla ∇ :
∇=i
∂
∂
∂
+j
+k ,
∂x
∂y
∂z
(1.25)
tak wiȩc
grad ϕ = ∇ϕ.
(1.26)
Traktuja̧c operator nabla jako wektor można utworzyć iloczyn skalarny i wektorowy wektora ∇ z
dowolnym innym wektorem. Jeśli
A(x, y, z) = iAx (x, y, z) + jAy (x, y, z) + kAz (x, y, z)
(1.27)
jest pewna̧ funkcja̧ pola wektorowego, to skalar
∇A =
∂Ay
∂Az
∂Ax
+
+
= divA
∂x
∂y
∂z
(1.28)
nazywamy dywergencja̧ lub rozbieżnościa̧ pola A, a wektor
rot A = ∇ × A
µ
¶
µ
¶
µ
¶
∂Az
∂Ay
∂Ax
∂Az
∂Ay
∂Ax
=i
−
+j
−
+k
−
,
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
(1.29)
rotacja̧ pola wektorowego A. Korzystaja̧c z definicji wektora wodza̧cego r, wyprowadzić można
nastȩpuja̧ce relacje:
∇r2 = 2r,
p
r
∇r = , r = x2 + y 2 + z 2 ,
r
∇(a r) = a, a = wektor stały,
∇r = 3,
∇ × r = 0.
15
(1.30)
Operator ∇ stosować można dwukrotnie: dla funkcji skalarnej ϕ (x,y,z):
µ
∇∇ ϕ = div gradϕ =
∂2
∂2
∂2
+ 2+ 2
2
∂x
∂y
∂z
¶
ϕ = ∆ϕ.
(1.31)
Iloczyn skalarny
∇∇ = ∆ =
∂2
∂2
∂2
+
+
,
∂x2
∂y 2
∂z 2
(1.32)
jest wiȩc operatorem skalarnym, zwanym operatorem Laplace’a (laplasjanem). W szczególności
zachodza̧ tożsamości:
∇ × (∇ϕ) = 0,
∇(∇ × U) = div rot U = 0.
1.3.1
(1.33)
Twierdzenie Gaussa–Ostrogradskiego
Niech obszar Ω ogranicza zamkniȩta powierzchnia S. Wektor jednostkowy n, normalny do powierzchni,
uważany za dodatni, gdy jest skierowany na zewna̧trz powierzchni. Podzielmy tȩ powierzchniȩ na
elementy powierzchniowe dS tak zorientowane, że ich dopełnienie dS jest skierowane na zewna̧trz
powierzchni; wówczas
dS = ndS.
(1.34)
Niech np. A oznacza wektor prȩdkości cieczy: wówczas A dS = An dS, gdzie An oznacza składowa̧
A w kierunku n, wyznacza objȩtość ieczy przepływaja̧cej w jednostce czasu przez element dS.
Definiujemy strumień wektora A przez dowolna̧ powierzchniȩ jako
Z Z
Z Z
Z Z
A dS =
S
Wzór
A ndS =
S
An dS.
(1.35)
S
Z
I
A ds =
∇AdV,
S
(1.36)
V
nazywamy twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego: strumień wektora przez powierzchniȩ zamkniȩta̧
S równa siȩ całce objȩtościowej z dywergencji tego wektora po obszarze V ograniczonym ta̧ powierzchnia̧.
Twierdzenie to jest słuszne dla wszystkich pól wektorowych cia̧głych i różniczkowalnych. Może
ono służyć do bardziej ogólnej definicji dywergencji. Jeśli w polu wektorowym otoczymy pewien
punkt P powierzchnia̧ S, z która̧ bȩdziemy zmierzać do punktu P , to z twierdzenia Gaussa–
Ostrogradskiego wynika że
∇A = lim
S→P
1
V
16
I
A dS.
S
(1.37)
Tablica 1.1: Podstawowe operacje analityczne na polach skalarnych i wektorowych.
Rodzaj działania
Symbole
Stosuje siȩ do
daje w wyniku
gradient ϕ
∇ϕ;grad ϕ
pól skalarnych
pole wektorowe
dywergencja A
∇A; div A
pól wektorowych
pole skalarne
rotacja A
∇ × A ; rot A
pól wektorowych
pole wektorowe
pole wektorowe
2
laplasjan A
∇ A ; ∆A
pól wektorowych
laplasjan ϕ
∇2 ϕ ; ∆ ϕ
pól skalarnych
pole skalarne
Podobnie można posta̧pić w wypadku gradientu. podstawiaja̧c do twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego
A = eϕ, gdzie e jest wektorem stałym, a ϕ pewna̧ funkcja̧ skalarna̧, otrzymamy
Z
I
∇ϕdV = ϕdS,
V
(1.38)
S
i w granicy S, V da̧ża̧cych do zera
∇ϕ = lim
S→P
1
V
I
ϕ dS.
(1.39)
S
Podstawowe wzory tego rozdziału ujmujemy w postaci tablicy 1.1.
1.3.2
Twierdzenie Stokesa
W przestrzeni trójwymiarowej dowolną krzywą zadać można równaniami:
r = r(t),
(1.40)
co jest równoważne trzem równaniom skalarnym
x = x(t),
y = y(t),
z = z(t),
(1.41)
gdzie t jest pewnym parametrem. Jeśli funkcje x(t), y(t), z(t) oraz ich pierwsze pochodne są ciągłe,
krzywą nazywamy łukiem regularnym. Gdy krzywa składa się z łuków regularnych stykających
się i nie przecinających się, nazywamy ją krzywą regularną. W zagadnieniach fizyki zazwyczaj
wystȩpuja̧ krzywe regularne.
Na krzywej wybrać można kierunek uznany za dodatni. Niech P0 będzie punktem stałym, a
P (x, y, z) punktem zmiennym krzywej. Współrzędne punktu P , położonego na krzywej, przedstawić można jako fukcje parametru s- długości łuku mierzonej od punktu P0 do P . Jeśli promień
wodzący r = r(s) wyznaczający krzywą regularną jest funkcja̧ parametru s, to pochodna
t=
dr
,
ds
17
(1.42)
jest funkcją ciągłą i wyznacza wektor jednostkowy styczny do krzywej, skierowany w stronę wzrostu
parametru s. Wektor dr = tds jest także styczny do krzywej: ma on tę samą długość i kierunek
co ds.
Rozważmy pewną funkcję wektorową A(x, y, z) określoną w każdym punkcie P (x, y, z) krzywej
regularnej P1 P2 . Składowa tej funkcji w kierunku stycznej wynosi At = At. Całkę
Z
Z
Z
At ds =
Atds =
Adr,
P1 P2
P1 P2
(1.43)
P1 P 2
nazywamy całką krzywoliniową funkcji wektorowej A wzdłuż krzywej od P1 do P2 . W ciągłym i
jednowartościowym polu wektorowym
A = iAx + jAy + kAz ,
(1.44)
którego pierwsze pochodne są także ciągłe, rozważmy dowolną powierzchnię S o brzegu utworzonym
przez regularną krzywą zamkniętą L (rys. 134, s. 271, w podrȩczniku Karaśkiewicza [12]). W takim
polu można całkę krzywoliniową
H
Adr
zastąpić całką powierzchniową
Z Z
I
n · rot AdS =
S
Adr,
(1.45)
L
co wyrazimy inaczej jako twierdzenie Stokesa
całka krzywoliniowa danego wektora A po krzywej zamkniętej L równa się strumieniowi rotacji tego wektora przez powierzchnię S, której brzegiem jest krzywa L.
18
Rozdział 2
Równania Maxwella
2.1
Uwagi wstȩpne
Celem wykładu jest przedstawienie teoretycznego opisu zjawisk fizycznych bȩda̧cych podstawa̧
współczesnej telekomunikacji i elektrotechniki. Zjawiska te wia̧ża̧ siȩ z elektrycznymi i magnetycznymi właściwościami materii. Podstawowym pojȩciem używanym w teorii zjawisk elektrycznych
i magnetycznych jest pojȩcie pola elektromagnetycznego. Dla jego ilustracji wyobraźmy sobie dwa ładunki elektryczne q1 i q2 umieszczone odpowiednio w punktach P i R. Siła działaja̧ca
miȩdzy ładunkami ma postać
F=
q1 q2 r
4π²0 r2 r
(w układzie SI).
(2.1)
Przedstawiaja̧c to zagadnienie przy pomocy pojȩcia pola mówimy, że:
1. ładunek q1 umieszczony w punkcie P zmienia własności przestrzeni wokół siebie (wiȩc również
w punkcie R),
2. Własności przestrzeni sa̧ tego typu, że ładunek q2 umieszczony w punkcie R odczuje działanie
siły.
Siłȩ F działaja̧ca̧ na q2 traktujemy jako iloczyn dwu czynników, q2 i E. Wielkość E istnieje w
punkcie R bez wzglȩdu na to, czy jest tam ładunek q2 czy nie, opisuje wiȩc własności przestrzeni,
wywołane obecnościa̧ ładunku q1 , a F jest odpowiedzia̧ q2 na E. Wielkość E jest wektorem, zwanym
wektorem natȩżenia pola elektrycznego, lub krócej wektorem pola elektrycznego. Z powyższego
rozumowania wynika wzór na E:
E=
q1 r
.
4π²0 r2 r
(2.2)
Nastȩpnie można napisać
F = q2 E.
(2.3)
W jakim celu robimy to wszystko? Chodzi o rozdzielenie siły na 2 czȩści. Najpierw stwierdzamy,
że coś wytwarza pole, nastȩpnie, że pole na coś działa. Wprowadzenie pola to nie tylko inny sposób
19
zapisywania tego samego faktu. Pola maja̧ realny charakter, prawie niezależny od obiektów, które
je wytwarzaja̧. Zilustrujemy to nastȩpuja̧cym przykładem. W próżni znajduja̧ siȩ 2 anteny :
nadawcza i odbiorcza (rys.1.1). Niech antena nadawcza (np. umieszczona na Ksiȩżycu) wysyła
energiȩ elektromagnetyczna̧ w przedziale czasowym τ , a potem jest wyła̧czona. Niech ∆t oznacza
czas przejścia sygnału do odbiornika. Można sobie wyobrazić sytuacjȩ, gdy ∆t À τ . Oznacza to,
że w pewnym przedziale czasu energia opuściła już antenȩ nadawcza̧, a nie osia̧gnȩła jeszcze anteny
odbiorczej, i w tym czasie zlokalizowana jest w próżni. Nośnikiem tego rodzaju energii nie jest
ośrodek materialny, a inna fizyczna realność. Jest to pole elektromagnetyczne.
Innym znanym przykładem pola jest pole grawitacyjne. Tu siła wyraża siȩ wzorem
F=−
Gm1 m2 r
,
r2
r
(2.4)
i znowu można rozumować jak nastȩpuje: siła działaja̧ca na dowolne ciało umieszczone w polu
grawitacyjnym równa siȩ masie tego ciała pomnożonej przez pole C, czyli
F = m2 C,
(2.5)
gdzie wielkość
C=−
Gm1 r
,
r2 r
(2.6)
jest polem wytworzonym przez ciało o masie m1 umieszczone w pocza̧tku układu współrzȩdnych.
Oba pola maja̧ podobne wlaściwości symetrii : skierowane sa̧ radialnie (wzdłuż promienia), co
matematycznie wyraża wektor jednostkowy r/r.
Korzystaja̧c z pojȩcia pola, potrzebujemy dwóch rodzajów praw odnosza̧cych siȩ do pół. Pierwszy rodzaj powinien mówić, jaka bȩdzie reakcja na działanie pola i z niego otrzymamy równanie
ruchu. Z równania (2.3) wynika, ż dla ciał obdarzonych ładunkiem odpowiedzia̧ ładunku na pole
elektryczne jest siła równa iloczynowi ładunku przez wektor pola w tym punkcie. Druga̧ kategoriȩ
praw stanowić bȩda̧ prawa określaja̧ce, w jaki sposób powstaje pole i jaka jest jego wielkość w
dowolnym punkcie. Ten rodzaj praw nazywamy równaniami pola. W teorii elektromagnetyzmu
sformułowanie równań pola zawdziȩczamy Jamesowi C. Maxwellowi (1831–1879), i dlatego nazywane sa̧ równaniami Maxwella. Bȩda̧ one głównym tematem dalszej czȩści wykładu.
2.2
Podstawowe pojȩcia i równania teorii pola elektromagnetycznego
Teoria prezentowana w tej czȩ’sci wykładu jest teoria̧ makroskopowa̧. Oznacza to, że nie bȩdziemy
wnikać w atomistyczna̧ strukturȩ materii: o ośrodkach materialnych zakładać bȩdziemy, że rozłożone
sa̧ w sposób cia̧gły.
20
Zakładaja̧c, że znane sa̧ czytelnikowi pojȩcia ładunku elektrycznego q (mierzonego w kulombach [C]) i natȩżenia pra̧du przewodnictwa I (mierzonego w amperach [A]), wprowadzimy pojȩcie
gȩstości ładunku ρ :
ρ = lim∆V →0
∆q
,
∆V
(2.7)
gdzie ∆q to ładunek znajduja̧cy siȩ w elemencie objȩtości ∆V . W elektrodynamice makroskopowej
przejscie graniczne we wzorze (2.7) należy rozumieć w taki sposób, że element ∆V jest nieskończenie
mały w sensie makroskopowym, ale dostatecznie duży, by ziarnistość materii nie odgrywała jeszcze
znacza̧cej roli. W praktyce oznacza to, że ∆V jest rzȩdu 10−18 m3 . Podobnie definiuje siȩ gȩstość
pra̧du
J = lim∆S→0 e0
∆I
.
∆S
(2.8)
Element powierzchniowy ∆S ustawiony jest prostopadle do ruchu ładunk’ow, wektor e0 to wektor
jednostkowy, normalny do powierzchni i o zwrocie zgodnym z (umownym) kierunkiem pra̧du; ∆I
to natȩżenie pra̧du
przepływaja̧cego przez powierzchniȩ. Gȩsto’sć ładunku mierzymy w [C/m3 ], a gȩstość pra̧du w
[A/m2 ].
Ogromna̧ rozmaitość zjawisk elektromagnetycznych opisujemy używaja̧c pojȩcia pola elektromagnetycznego.
Pole elektromagnetyczne opisywane jest przez wektorowe funkcje (pola wektorowe) zmiennych
przestrzennych i czasu. Zmienne przestrzenne symbolizować bȩdzie wektor wodza̧cy r.
Zacznijmy od wielkości:
E = E(r, t) (natȩżenie pola elektrycznego),
B = B(r, t) (indukcja magnetyczna).
Znaczenie tych wielkości ilustruje wzór na siłȩ Lorentza
F = q(E + v × B),
(2.9)
na siłȩ, z jaka̧ działa pole elektromagnetyczne (E, B) na ładunek punktowy q poruszaja̧cy siȩ z
prȩdkościa̧v. Dla ładunku nieruchomego (tzn.gdy v = |v| = 0) siła zależy tylko od natȩżenia pola
elektrycznego:
F0 = qE,
(2.10)
co zwykle służy do wyznaczania pola E. Pole E (dokładnie moduł wektora E) mierzymy w V/m
(wolt/metr). Gdy ładunek punktowy q porusza siȩ, oprócz siły (2.10) działa na niego siła
F00 = qv × B,
(2.11)
co może służyć do określenia wektora B. Miara̧ indukcji magnetycznej B jest Wb/m2 =T (weber/metr kwadr.=tesla). Dla pra̧du liniowego, czyli strumienia ładunków poruszaja̧cych siȩ w
21
odcinku przewodu ds, otrzymujemy wzór na siłȩ działaja̧ca̧ na odcinek z pra̧dem o natȩżeniu I:
qv → dq · ds → Ids,
F00 = I(ds × B).
(2.12)
Siła znana jest pod nazwa̧ siły elektrodynamicznej.
Pola wektorowe E, B w pełni opisujła̧ pole elektromagnetyczne w próżni. W innych ośrodkach
materialnych, oprócz pól E, B , wprowadzamy do opisu pola elektromagnetycznego pola wektorowe
D = D(r, t) wektor indukcji elektrycznej,
(2.13)
(lub krótko indukcja elektryczna),
(2.14)
H = H(r, t) natȩżenie pola magnetycznego.
Wektory E i B zwia̧zane s{a z siłami działaja̧cymi na ładunki elektryczne i nazywamy je wielko’sciami
natȩżeniowymi. Pola D i H nazywamy wielkościami ilościowymi, gdyż, jak zobaczymy, określaja̧
one w pewien sposób ilość ładunku elektrycznego lub pra̧du. Ogólnie miȩdzy wielkościami E, D, B
i H zachodza̧ pewne zwia̧zki:
D = ²(E),
B = µ(H),
(2.15)
które nazywamy równaniami materiałowymi. W szczególności w próżni spełnione sa̧ równania
D = ²0 E,
B = µ0 H,
(2.16)
gdzie stałe ²0 i µ0 nosza̧ odpowiednio nazwy przenikalności elektrycznej próżni i przenikalności
magnetycznej próżni. W używanym przez nas układzie jednostek SI przyjmujemy, że przenikalność
magnetyczna próżni jest równa
µ0 = 4π × 10−7
H
,
m
(H=henr),
(2.17)
Wybór stałej µ0 automatycznie określa wielkość stałej ²0 , gdyż powia̧zane sa̧ one zależnościa̧:
²0 µ0 =
1
,
c2
(2.18)
gdzie c jest prȩdkościa̧ światła w próżni:
c∼
= 3 × 108 m/s.
(2.19)
Sta̧d otrzymujemy ²0 jako
²0 = (c2 µ0 )−1 =
10−9 F ∼
eV
= 0.8854 × 10−11 (F/m) = 5.5262 · 10−2
36π m
nm
(F=farad).
(2.20)
Z powyższych wzorów wyznaczamy jednostki, w jakich mierzymy wielkości D i H:
CV
C
FV
=
= 2,
m2
V m2
m
[B]
Ns H −1
JsA
A
[H] =
=
( ) =
= .
[µ0 ]
mC m
mCVs
m
[D] = [²0 ][E] =
22
(2.21)
Rysunek 2.1: Obszary całkowania w równaniach Maxwella, płat powierzchniowy S rozpięty na
krzywej C.
Pole elektromagnetyczne jest bytem fizycznym opisanym wektorami pola elektrycznego (wektory
E i D) i magnetycznego (wektory B i H).
Elektrodynamika posługuje siȩ aparatem matematycznym analizy wektorowej. Podstawowe
definicje i twierdzenia przypomniane zostały w rozdziale 1.
2.3
I i II równanie Maxwella
Podstawowe prawa elektromagnetyzmu sformułowane są w postaci równań Maxwella. Z 4 równań Maxwella podstawowa̧ rolȩ odgrywaja̧ pierwsze dwa
∂B
,
∂t
(2.22)
∂D
+ J,
∂t
(2.23)
I. ∇ × E = −
II.
∇×H=
zwane odpowiednio uogólnionym prawem indukcji (I), i uogólnionym prawem Ampere’a (II). Równania I i II zwane są równaniami Maxwella w postaci różniczkowej. Biorąc obustronnie całki w obu
równaniach po pewnej powierzchni S rozpiętej na krzywej C (rys. 2.1) i korzystając z twierdzenia
Stokesa, otrzymamy odpowiedniki całkowe
I
Z
d
E ds = −
B dS,
dt S
IC
Z
Z
d
H ds =
D dS +
J dS.
dt S
C
S
2.3.1
(2.24)
(2.25)
Uogólnione prawo indukcji elektromagnetycznej
I równanie Maxwella (2.22) (lub w postaci całkowej (2.24) mówi, że zmiany w czasie pola magnetycznego zwia̧zane sa̧ ze zmianami przestrzennymi pola elektrycznego.
23
Niech np. E = 0, więc również znika rotacja pola
∇ × E = 0.
(2.26)
∂B
= 0,
∂t
(2.27)
W takim przypadku również
co oznacza że w nieobecności pola elektrycznego pole magnetyczne może być tylko stałe.
Wszelkie zmiany pola magnetycznego
∂B
6= 0,
∂t
(2.28)
powodują pojawienie się zmiennego pola elektrycznego. Równania Maxwella w postaci różniczkowej
(2.22, 2.23) daja̧ lokalna̧ (w czasie i przestrzeni) charakterystykȩ procesów elektromagnetycznych,
czyli opisują pola w otoczeniu jakiegoś punktu P (r), w momencie t. Równania Maxwella w
postaci całkowej opisują sytuację globalną. Wielkość występująca po prawej stronie I-go równania
Maxwella
Z
Φ=
B dS,
(2.29)
S
nazywana jest strumieniem magnetycznym przechodzącym przez powierzchnię S, a wielkość
I
U=
E ds,
(2.30)
C
napięciem wokół konturu C. (również siłą elektromotoryczną SEM ). Prawo indukcji (2.24) zapiszemy w postaci
U =−
dΦ
,
dt
(2.31)
i odczytamy: kiedy zmienia się strumień magnetyczny przechodzący przez powierzchnię S, rozpięta̧
na konturze C, wówczas wokół konturu indukowane jest zmienne napięcie U . Prawo indukcji słuszne
jest dla dowolnego konturu (nawet pomyślanego).
Przykładem zastosowania prawa indukcji, oprócz powszechnie znanego generatora prądu zmiennego, jest urządzenie do przyśieszania elektronów, zwane betatronem. Przyśpieszone do dużych
prędkości (a raczej energii) elektrony wykorzystuje się albo bezpośrednio, np. do bombardowania
tarczy, albo pośrednio, do otrzymania wysokoenergetycznych promieni Röntgena.
Rysunek 2.2 pokazuje przekrój poprzeczny betatronu. W wydra̧żeniu wewna̧trz elektromagnesu
M znajduje siȩ toroidalna rura R. Elektrony wychodza̧ z płaszczyzny rysunku z lewej strony i
wchodza̧ z prawej. Pra̧d zmienny płyna̧cy w cewkach indukuje zmienne pole magnetyczne, tym
samym zmienny strumień Φ
Φ = Φ0 sin ωt.
24
(2.32)
Rysunek 2.2: Przekrój poprzeczny betatronu przedstawiaja̧cy magnes M , cewki C oraz toroidalna̧
rurȩ R. Elektrony wychodza̧ z płaszczyzny rysunku z lewej strony i wchodza̧ z prawej.
Rysunek 2.3: Strumień magnetyczny przechodza̧cy przez orbitȩ betatronu w czasie jednego okresu.
Obrót elektronów w kierunku wskazanym na rys. 2.2 możliwy jest tylko w czasie półokresu ac.
25
Zmiana strumienia magnetycznego obejmuja̧cego powierzchniȩ rozpiętą na rurze R, którą traktujemy jako kontur L powoduje indukowanie wzdłuż konturu napięcia
I
dΦ
U=
Eds = −
.
dt
L
(2.33)
Średnia wartość pola elektrycznego na orbicie o promieniu rS jest równa
|E| =
U
.
2πrS
(2.34)
Jeśli wewna̧trz rury R znajdą się elektrony, podziała na nie siła
F = −eE − ev × B = F0 + F00 ,
(2.35)
gdzie siła F0 jest styczna do toru i powoduja̧ca ruch przyśpieszony, natomiast siła F00 jest prostopadła
do toru i powoduje jego zakrzywienie i chodzi o to, by utrzymała elektron na orbicie kołowej o
promieniu rS . W czasie jednego obrotu elektron otrzymuje energiȩ eU . Patrząc na schemat 2.3
widać, że elektron doznaje przyśpieszania w okresie narastania strumienia, h0, tp >i. Następnie w
punkcie B pochodna Φ zmienia znak, co oznacza odwrócenie kierunku napięcia. Elektron będzie
więc hamowany. Okres h0, tp i odpowiada cyklowi roboczemu. Niech np. tp = 0.005 s i U = 430
V. W czasie jednego obrotu elektron uzyskuje energię 430 eV. W ciągu cyklu roboczego elektron
dokonuje ok. 230000 obiegów, osiągając energię równaą 100 MeV.
2.3.2
Prąd i pole magnetyczne
Rozważamy II równanie Maxwella (2.23). W sytuacji stacjonarnej, gdy znika pochodna po czasie,
równanie to przybiera postać
∇ × H = J,
i w postaci całkowej
(2.36)
I
H ds = I,
gdzie I jest natȩżeniem pra̧du przewodzenia przechodza̧cym przez powierzchniȩ S
Z
I=
J dS.
(2.37)
(2.38)
S
Z założenia stacjonarności wynika, że w równaniu (2.37) I jest natȩżeniem pra̧du stałego.
Z kolei gdy pole elektryczne zmienia siȩ w czasie, ale w ośrodku nie ma pra̧du przewodzenia
(J = 0), z II równania M. otrzymujemy
∇×H=
∂D
,
∂t
(2.39)
i w postaci całkowej
I
H ds =
d
dt
26
Z
D dS.
S
(2.40)
Rysunek 2.4: Prawo zachowania natȩżenia pra̧du całkowitego na przykładze kondensatora płaskiego.
Wielkość ∂D/∂t odgrywa taka̧ sama̧ rolę, jak gęstość pra̧du przewodzenia, i nazywana jest gȩstościa̧
pra̧du przesunięcia (ang. displacement, sta̧d oznaczenie wektora D), a
Z
∂D
Iprzes =
dS,
S ∂t
(2.41)
jest natężeniem prądu przesunięcia. Suma obu gęstości pra̧du
J+
∂D
dS,
∂t
(2.42)
nazywana jest gȩstościa̧ pra̧du całkowitego, przesuniȩcia a I + Iprzes natȩżeniem pra̧du całkowitego.
Pra̧d przesuniȩcia jest jedna̧ z charakterystycznych wielkości dla zmiennego pola elektromagnetycznego. Biora̧c obustronnie dywergencjȩ równania (2.23) otrzymamy
µ
¶
∂D
∇(∇ × H = ∇
+ J = 0,
∂t
i w postaci całkowej
I µ
S
¶
∂D
+ J dS = 0,
∂t
(2.43)
(2.44)
co oznacza, że linie pra̧du całkowitego sa̧ zawsze zamkniȩte, lub pra̧d całkowity, przechodza̧cy przez
zamkniȩta̧ powierzchniȩ S, jest równy zeru.
Dla przykładu rozważmy kondensator płaski o powierzchni okładek S0 , poła̧czony ze źródłem
pra̧du zmiennego o natȩżeniu
I = I0 sin ωt.
(2.45)
Biora̧c jako powierzchniȩ zamkniȩta̧ powierzchniȩ S obejmuja̧ca̧ jedna̧ z okładek kondensator
(rys. 2.4), z wzoru
I + Iprzes = 0,
27
(2.46)
widzimy że pra̧d przesuniȩcia wewna̧trz kondensatora jest równy co do wielkości pra̧dowi przewodzenia, ale jest przeciwnie skierowany.
Obliczyć też możemy natȩżenie pola elektrycznego
wewna̧trz kondensatora. Zakładaja̧c, że wewna̧trz kondensatora jest powietrze ² = ²0 , otrzymujemy
D=
2.4
I0
cos ωt
ωS0
→
E=
I0
cos ωt.
ω²0 S0
(2.47)
Układ równań Maxwella
Biora̧c obustronnie dywergencjȩ w równaniu (2.22), otrzymamy
∂
(∇B) = 0.
∂t
(2.48)
Analogicznie w równaniu (2.23), gdy J = 0,
∂
(∇D) = 0.
∂t
(2.49)
Oznacza to, że dywergencje obu wektorów sa̧ stałe w czasie i równe pewnym wartościom pocza̧tkowym
∇D = c1 ,
(2.50)
∇B = c2 .
(2.51)
Korzystaja̧c z prawa Gaussa–Ostrogradskiego zapiszemy oba zwia̧zki jako
I
Z
D dS =
c1 dV,
(2.52)
V
I
Z
B dS =
c2 dV,
(2.53)
V
gdzie S jest powierzchnia̧ zamkniȩta̧, a V objȩtościa̧ zawarta̧ w tej powierzchni.
Stałe c1 , c2 wyznaczamy na podstawie wiedzy doświadczalnej. Dywergencja jest zawsze miara̧
wydajności źródeł. Źródłami pola elektrycznego sa̧ ładunki, wiȩc c1 bȩdzie miara̧ gȩstości ładunków,
a całka całkowitym ładunkiem w objȩtości V
I
Z
D dS =
c1 dV = q.
(2.54)
V
Wielkość c1 = ρ(r, t) nazywamy gȩstościa̧ ładunku, mamy wiȩc
∇D = ρ.
(2.55)
Z kolei pole magnetyczne jest polem bezźródłowym, linie pola magnetycznego sa̧ zawsze zamkniȩte,
wiȩc c2 = 0 i
I
B dS = 0,
∇B = 0.
28
(2.56)
(2.57)
Równania (2.54) i (2.55) nazywamy III–cim równaniem Maxwella, odpowiednio w postaci całkowej
i różniczkowej, a równanie (2.56) (2.57) IV–tym równaniem Maxwella. Stosuje siȩ również nazwy
elektryczne prawo Gaussa (dla równania (2.54)) i magnetyczne prawo Gaussa dla równania (2.56).
Dla interpretacji równań (2.55) i (2.57) wprowadza się pojęcie linii sił pola. Dla pola wektorowego A linią sił nazywamy krzywą o tej własności, że styczna do niej poprowadzona w dowolnym punkcie pokrywa się z kierunkiem pola.
Jeśli w jakimś obszarze V ∇A = 0, to strumień wektora A przez powierzchnię zamkniętą S
zawierającą obszar V też znika. W takim obszarze nie ma źródeł pola wektorowego A. Jeśli
natomiast ∇A 6= 0, to w obszarze V istnieją punkty, w których linie wektora A zaczynają się
(∇A > 0, lub kończą (∇A < 0). Punkty te nazywamy źródłami pola.
Źródłami pola indukcji elektrycznej D są ładunki. Linie wektora D zaczynają się od ładunków
dodatnich (ρ > 0) a kończą na ujemnych (ρ < 0). W obszarze, w którym nie ma ładunków,
pola elektryczne są bezźródłowe. Przykładem może być pole elektryczne monochromatycznej fali
elektromagnetycznej rozchodzącej się w jednorodnym dielektryku w kierunku osi z
¡
¢
E(r, t) = E0 eikz−iωt , 0, 0 ,
(2.58)
ze stałymi k, ω.
Pola magnetyczne są zawsze bezźródłowe.
Wyprowadza się również równanie, zwane równaniem ciągłości prądu lub prawem zachowania
ładunku. Uwzględniając III r. M. zapiszemy równanie (2.44) jako
I
Z
J dS = −
(2.59)
ρ̇dV.
V
W postaci różniczkowej to samo równanie zapiszemy jako równanie ciągłości
j + q̇ = 0,
gdzie
(2.60)
I
j=
J dS.
(2.61)
Ostatecznie możemy wiȩc napisać układ równań Maxwella, uzupełniony o równanie ciągłości
prądu, w postaci całkowej
I
II
III
IV
V
H
H
H
H
H
d
− dt
R
d
C
E ds
=
C
H ds
=
S
D dS =
S
B dS
= 0
S
J dS
=
dt
S
R
V
−
R
S
B dS
D dS
ρdV
R
V
ρ̇dV
29
+
R
S
J dS
(2.62)
O polach, krzywych i powierzchniach występujących w równanich założymy, że są dostatecznie
regularne dla stosowania odpowiednich twierdzeń analizy wektorowej.
W praktyce częściej stosujemy równania Maxwella w postaci różniczkowej
I.
rot E = −Ḃ,
II.
rot H = Ḋ + J,
III.
div D = ρ,
IV.
div B = 0,
V.
div J = −ρ̇.
(2.63)
W przypadku użycia współrzędnych prostokątnych zapisać można powyższe równania stosując
operator ∇.
Wektory pola występujące w powyższych równaniach nie są niezależne. Zachodzą między nimi
związki, zwane równaniami materiałowymi
D
= D[E, B],
H
= H[E, B].
(2.64)
W ośrodkach przewodzących zachodzi uogólnione prawo Ohma
J = J[E, B].
(2.65)
Zapis zależności poprzez nawias kwadratowy [11] ma podkreślić, że związki te są na ogół skomplikowane, że mogą zależeć od przeszłości (histereza), mogą być nieliniowe itd. Analizie równań
materiałowych poświęcony jest kolejny rozdział.
Dla rozwia̧zania układu równań Maxwella, oprócz znajomości równań materiałowych, potrzebna
jest znajomość wartości brzegowych i początkowych.
2.5
Równania materiałowe
Rozpatrujemy substancje, dla których indukcja elektryczna jest funkcją pola elektrycznego, indukcja magnetyczna- natȩżenia pola magnetycznego, a prąd przewodzenia- funkcją natężenia pola
elektrycznego
D =
²(E),
B
=
µ(H),
J =
σ(E).
30
(2.66)
Funkcje ², µ oraz σ są pewnymi operatorami. Jeśli relacje (2.66) są lokalne w czasie i przestrzeni,
to rozwijając prawe ich strony na szeregi otrzymujemy
X
1X
Dα =
²αβ Eβ +
²αβγ Eβ Eγ + . . . ,
2
β
Bα
=
βγ
X
β
Jα
=
1X
µαβ Hβ +
µαβγ Hβ Hγ + . . . ,
2
(2.67)
βγ
X
σαβ Eβ +
β
1X
σαβγ Eβ Eγ + . . . ,
2
βγ
gdzie Eα = Ex , Ey , Ez itd. oznaczają składowe odpowiednich wektorów. Wielkości ²αβ , ²αβγ , µαβ , . . .
są tensorami odpowiednich rzędów (2,3,. . . ). Równania (2.67) ważne są dla ośrodków spoczywających. Gdy natężenia pól nie są zbyt duże, w rozwinięciach (2.67) ograniczamy się do pierwszych
wyrazów, otrzymując
Dα
=
X
²αβ Eβ ,
β
Bα
=
X
µαβ Hβ ,
(2.68)
β
Jα
=
X
σαβ Eβ ,
β
co zapiszemy jako
D =
²E,
B =
µH,
J =
σE,
(2.69)
gdzie podwójne podkreślenie oznacza tensor drugiego rzędu. Tensor ²αβ nazywamy tensorem
dielektrycznym albo tensorem przenikalności dielektrycznej (czasami mówi się elektrycznej), tensor
µ jest tensorem przenikalności magnetycznej, a tensor σ - tensorem przewodnictwa. Ośrodki, w
których tensory ², µ i σ są niediagonalne, nazywamy ośrodkami anizotropowymi. Gdy tensory te
są diagonalne, tzn. gdy
²αβ = ²δαβ ,
(2.70)
z podobnymi relacjami dla µαβ i σαβ mówimy o ośrodkach izotropowych. Dla ośrodków izotropowych
równania materiałowe przybiorą postać
D =
²E,
B =
µH,
J =
σE.
(2.71)
Wielkość ² nazywamy przenikalnością dielektryczną, lub funkcją dielektryczną, µ jest przenikalnością magnetyczną, a σ przewodnictwem (przewodnictwem właściwym). W próżni σ = 0, a dwa
pierwsze równania mają postać (2.16)
31
Tablica 2.1: Przenikalność dielektryczna względna dla niektórych substancji.
Ośrodek
Częstotliwość (Hz)
²r
Ośrodek
Częstotliw. (Hz)
²r
Powietrze
0 − 3 · 1010
1.000536
Szkło ołow.
103 − 106
6.
Woda
0
81.10
gliceryna
0
56.2
”
10
6
80
Polietylen
9
2.30
”
109
80
diament
0
16.5
”
3 · 109
78
aceton
0
56.2
”
1010
64
alkohol etyl.
0
25.8
”
1.9 · 1010
44
papier
0
2-2.5
”
10
35
8
3.8
106
1200
Tytanian baru
2.4 · 10
D = ²0 E,
kwarc
6
10 − 10
3
10 − 10
B = µ0 H,
(2.72)
gdzie ²0 i µ0 są odpowiednio przenikalnością dielektryczną (stałą dielektryczną) próżni i przenikalnością magnetyczną próżni. Wartości liczbowe dla tych wielkości podane zostały w równaniach (2.17)
i (2.20).
W ośrodkach izotropowych różnych od próżni wielkości ².µ zapisujemy jako
² = ²0 ²r ,
(2.73)
µ = µ0 µr ,
(2.74)
gdzie ²r jest względną przenikalnością elektryczną, a µr względną przenikalnością magnetyczną.
Definiuje się pojęcia podatności elektrycznej
χ = ²r − 1,
(2.75)
κ = µr − 1.
(2.76)
i podatności magnetycznej
Podstawiając do równań (2.71) otrzymujemy
D = ²0 E + P,
32
(2.77)
Tablica 2.2: Przenikalność magnetyczna wzglȩdna dla niektórych substancji.
Ośrodek
µr
Ośrodek
µr
Wodór
0.99999999776
Miedź
0.99999044
Azot
1.00000191
Srebro
0.9999736
Woda
0.99999095
Aluminium
1.0000222
gdzie wektor polaryzacji zdefiniowany jest poprzez podatność
P = ²0 χE.
(2.78)
Dla zjawisk magnetycznych odpowiedź ośrodka na zewnętrzne pole H opisana jest wektorem namagnesowania M
B = µ0 (H + κ M).
(2.79)
Oprócz podziału ośrodków na anizotropowe i izotropowe, rozróżniamy ośrodki jednorodne, kiedy
funkcje ², µ, σ nie zależa̧ od położenia, i ośrodki niejednorodne, kiedy własności ośrodka zmieniają
się od punktu do punktu.
2.5.1
Względna przenikalność elektryczna
Względna przenikalność elektryczna ²r określona jest tylko dla dielektryków. Dla metali funkcja
dielektryczna jest zależna od czȩstotliwości przyłożonego pola w ten sposób, że ²r → ∞ gdy ω → 0,
natomiast ²r → 1 dla ω → ∞. Typowe wartości liczbowe przenikalności podać wiȩc można dla
dielektryków, p. Tablica 2.1. Z danych przytoczonych w tabeli widać, że dla częstotliwości ≤ 106
wartości przenikalności są niezależne od częstotliwości: zależność ta pojawia się dla częstotliwości
rzędu 109 , a dla częstotliwości optycznych, czyli rzędu 1014 , przenikalności dielektryczne zawierają
się w granicach 1.7 - 10, przy czym dla większości ciał stałych ²r ≈ 2−3. Przenikalność elektryczna
wody w całym obszarze widzialnym zmienia się w granicach ²r = 1.77−1.80 i praktycznie nie zależy
od temperatury w zakresie od 0 do 100 o C. W innych przypadkach zależność od temperatury może
być widoczna. W przypadku statycznym stała dielektryczna wody ²r = 88 w 0o C i ²r = 56 w 100o C.
Dane w Tablicy 2.1 odnoszą się do temperatury 200 C. W tej temperaturze ²r dla tytanianu baru
jest równe 1200, podczas gdy w temperaturze 123 0 C osia̧ga wartość 10000.
33
2.5.2
Względna przenikalność magnetyczna
Jak wynika z danych przytoczonych w Tablicy 2.2, względna przenikalność magnetyczna większości
ośrodków bardzo niewiele różni się od jedności. Ośrodki, dla których µr > 1, nazywamy paramagnetykami, a ośrodki, gdzie µr < 1 nazywamy diamagnetykami. Do paramagnetyków zaliczamy
również materiały ferromagnetyczne, wykazujące jednak bardzo odmienne własności, ze względu
na zjawisko histerezy. Można jednak w przybliżeniu powiedzieć, że dla ferromagnetyków wartość
µr może osia̧gać kilka tysięcy.
2.5.3
Przewodniki i izolatory
Występująca w równaniach Maxwella gęstość prądu J jest w większości rozważanych w elektrodynamice problemów funkcją natężenia pola elektrycznego
J = σ(E).
(2.80)
Dla ośrodków izotropowych i liniowych równanie to przybiera postać
J = σE,
(2.81)
gdzie skalar σ (funkcja skalarna, jeśli ośrodek jest niejednorodny) zwany jest przewodnością właściwą (konduktywnością). Dla ośrodków anizotropowych σ = σ jest tensorem przewodnictwa.
Przykładem substancji anizotropowej jest kwarc. Ma on dwie wartości przewodności: prostopadle
do osi optycznej (znak ⊥ w tablicy 2.3), co odpowiada wartościom σxx = σyy , i równolegle do osi
optycznej (znak k w tablicy 2.3), co odpowiada składowej tensora σzz .
Dla ośrodków izotropowych i liniowych równanie (2.81) jest lokalną wersją prawa Ohma. Rozważamy
ośrodek, w którym płynie prąd o gęstości J. Wydzielamy w tym ośrodku element objętości o kształcie walca tak małego, że gęstość prądu wewnątrz walca jest stała i skierowana wzdłuż osi walca;
to samo można powiedzieć o wektorze E (rys. 2.5).
Całkując obustronnie równanie (2.81) po objętości walca otrzymamy
Z
Z
JdV =
σEdV.
V
(2.82)
V
Całka po lewej stronie jest równa
JV = JS` = et I`,
(2.83)
gdzie et jest wektorem jednostkowym wskazującym kierunek prądu, a I = JS jego natężeniem.
Analogicznie po prawej stronie
σEV = σES` = et σSU,
(2.84)
U = E · `,
(2.85)
gdzie
34
Tablica 2.3: Wartości przewodności właściwej dla niektórych ośrodków.
Ośrodek
Wartości σ w S/m
srebro
6.139·107
miedź hartowana
5.805·107
aluminium
3.54·107
żelazo
1.0·107
ołów
0.869·107
rtȩć
0.1044·107
selen
101 − 10−1
krzem
103 − 10−3
4
przewodniki metaliczne
10 − 10
woda morska
1-4.3
roztwór 5% NaCl
6.7·10−4
alkohol
3.3·10−4
ziemia sucha
1.1·10−5 − 2 · 10−3
ziemia wilgotna
3·10−3 − 3 · 10−2
2 · 10
elektrolity
−4
10−3 − 2.4 · 10−2
drewno
0.33 · 10−8 − 0.25 · 10−11
bakelit
10−8 − 10−10
teflon
10−13
nafta
10−14
siarka
10−14
szkło
10−10 − 10−15
parafina
10
ośrodki
pośrednie
woda kanalizacyjna
−14
półprzewodniki
0
german
woda destylowana
Typ ośrodka
izolatory
−16
− 10
kwarc: ⊥
3 · 10−15
k
10−12
kwarc topiony
2 · 10−17
35
(dielektryki)
Rysunek 2.5: Prawo Ohma.
nazywamy spadkiem napięcia na odcinku `. Równanie całkowe (2.82) przybrało więc postać równania
U = IR,
(2.86)
znanego jako prawo Ohma; wielkość
R=
`
ρ`
= ,
σS
S
(2.87)
jest oporem elementu dV , a ρ = 1/σ nazywamy oporem właściwym. Opór mierzymy w omach
Ω=V/A, a przewodność σ w siemensach S=1/Ω. W Tablicy 2.3 podajemy przykładowe wartości
przewodności statycznej (dla ω = 0). Widać bardzo charakterystyczną cechę przewodności: może
się ona zmieniać w bardzo szerokich granicach, od 108 S/m dla bardzo dobrych przewodników do
około 10−17 S/m dla dobrych izolatorów, a więc o 24 rzędy wielkości.
Wyróżniają się trzy typy ośrodków:
1) przewodniki (głównie metale), o dużych wartościach σ (rzȩdu 107 S/m),
2) elektrolity (głównie ciecze),
3) izolatory zwane również dielektrykami (spotyka siȩ tu wszystkie stany skupienia).
Osobną grupę stanowią półprzewodniki, w których σ silnie zależy od temperatury, ilości domieszek
i zanieczyszceń, od wystȩpowania tzw. defektów, a także od naświetlenia (fotoprzewodniki).
Podział ośrodków ze względu na wartości przewodności wiąże się z mechanizmem przewodzenia:
w metalach (czyli przewodnikach) nośnikami prądu są swobodne elektrony (przewodnictwo elektronowe), w elektrolitach przewodnictwo polega na uporza̧dkowanym ruchu jomów dodatnich i
ujemnych (przewodnictwo jonowe), w półprzewodnikach wystȩpuje tzw. przewodnictwo elektronowo–
dziurowe. Półprzewodniki różnią się od metali zależnością przewodności (oporu) od temperatury:
dla metali przewodność maleje ze wzrostem temperatury (czyli opór właściwy rośnie), z dobrym
36
Rysunek 2.6: Opór właściwy miedzi jako funkcja temperatury. Linia przerywana zastępuje odcinek
krzywej między dwoma punktami zaznaczonymi w postaci kółek. Punkt oznaczony T0 , ρ0 (ρ0 =
1.56 · 10−8 Ω·m, T0 = 273.16K= 0o C.) wybrano jako punkt odniesienia, za podręcznikiem [19].
przybliżeniem według prawa
ρ = ρ0 [1 + α(T − T0 )],
(2.88)
gdzie T to temperatura w stopniach Kelvina, a α jest średnim współczynnikiem temperaturowym
oporu właściwego (p. rys. 2.6).
Dla półprzewodników przewodność rośnie ze wzorostem temperatury i maleje z obniżaniem
temperatury, według prawa
σ = σ0 e−∆W0 /kB T ,
(2.89)
gdzie kB jest stała̧ Boltzmanna, T temperaturą w skali bezwzględnej, ∆W0 przerwą energetyczną
między pasmem przewodzenia i pasmem walencyjnym. W temperaturach bliskich zeru bezwzględnemu półprzewodniki są praktycznie izolatorami.
Liniowa zależność oporu od temperatury (2.88) jest tylko przybliżeniem. Znaczne odstępstwa
występują w temperaturach bliskich zeru bezwzględnemu. Przedstawiony na rysunku 2.6 wykres
zależności temperaturowej oporu właściwego miedzi zaczyna się od wartości 0.02 · 10−8 Ω·m. Wiele
metali i stopów wykazuje tą właściwość, że ich opór maleje gwałtownie do zera. Rysunek 2.7
przedstawia opór próbki rtęci w temperaturach poniżej 6 stopni Kelvina. Przy zmianie temperatur
37
między 4.22 i 4.15 st. Kelvina opór maleje do wartości mniejszej 106 razy od wartości początkowej,
praktycznie do niemierzalnie małej wartości. Zjawisko to odkrył w 1911 roku fizyk holenderski H. Kamerlingh Onnes i nazwał nadprzewodnictwem. Temperatura Tk , przy której następuje
zanik oporu, zwana jest temperaturą krytyczną i dla większości substancji wykazujących własności
naprzewodzące jest rzędu od 0.01 K do 20 K (tablica 2.4). Substancja w stanie nadprzewodzącym
ma wiele niezwykłych własności, np. ponieważ opór równy jest zeru, prąd płynie przez nadprzewodnik nie wykonując pracy, a co za tym idzie, nie wydzielając ciepła. Prądy raz ustanowione w
zamkniętych obwodach nie zmniejszały się w ciągu tygodni, a nawet lat, chociaż w obwodzie nie
było baterii. Dla wykorzystania w praktyce najbardziej istotną cechą nadprzewodnika jest to, że
przepuszcza prądy o znacznych natężeniach bez strat na ciepło (straty te są w innych przypadkach
proporcjonalne do kwadratu natężenia prądu). Do połowy lat 80-tych materiałem o najwyższej
temperaturze krytycznej była kombinacja niobu, aluminium i germanu, o Tk = 23.2 K. Ciągle
poszukiwano substancji o wyższych temperaturach krytycznych. Przełom nasta̧pił w połowie lat
80–tych i jest autorstwa dwóch fizyków niemieckich, J. Georga Bednorza i K. Alexa Müllera. Odkryli oni, że mieszanka tlenków tzw. metali rzadkich z miedzią (układ Ba-La-Cu-O) wykazuje cechy
nadprzewodzące w temperaturze prawie 40 K. W ciągu kilku miesięcy na przełomie lat 86/87 odkryto (a właściwie wyprodukowano, gdyż związki te nie wystȩpują w przyrodzie) wiele nowych
połączeń o temperaturze krytycznej przekraczającej 100 K. Kilka przykładów takich związków i
ich temperatur krytycznych podanych jest w tablicy 2.5. Zjawisko to nazywamy nadprzewodnictwem wysokotemperaturowym. Zgodnie z tradycją przyjȩtą w świecie fizyków, wyjątkowej wagi
odkrycia honorowane są przyznaniem Nagrody Nobla. Müller i Bednorz otrzymali ją wkrótce po
opublikowaniu swych wyników, w roku 1987. W roku 2003 jednym z laureatów Nagrody Nobla
został Witalij Ginzburg, który w latach 50-tych, wspólnie z Lwem Landauem, był autorem teorii
nadprzewodnictwa.
2.6
Warunki graniczne dla wektorów pola
Występujące w równaniach materiałowych (2.15) wielkości ², µ, σ charakteryzują właściwości materiałowe ośrodka i są (m. in.) funkcjami położenia. Wyobraźmy sobie dwa sąsiadujące ze sobą
ośrodki (1) i (2) (załóżmy dla uproszczenia, że oba są izotropowe i jednorodne), scharakteryzowane
odpowiednio wielkościami ²1 , µ1 , σ1 i ²2 , µ2 , σ2 , p. rys. 2.9.
Na powierzchni granicznej między ośrodkami wielkości ², µ, i σ doznają skoku (są nieciągłe).
38
Rysunek 2.7: Gwałtowny zanik oporu próbki rtęci w temperaturach bliskich zeru bezwzględnemu.
Na osi pionowej opór w omach.
39
Rysunek 2.8: Zależność temperaturowa oporu dla nadprzewodnika, metalu normalnego i metalu
czystego
40
Tablica 2.4: Niektóre metale i stopy metaliczne i ich temperatury krytyczne, na podstawie monografii Stankowskiego i Czyżaka [20].
Nadprzewodnik
Temperatura krytyczna (K)
Al
1.2
Sn
3.7
Hg
4.2
Pb
7.2
Nb3 Ge
23.2
Tablica 2.5: Niektóre nadprzewodniki wysokotemperaturowe i ich temperatury krytyczne.
Nadprzewodnik
Temperatura krytyczna (K)
La2 Sr2 Cu O4
36
Hg Ba2 Cu O4
94
Bi2 Sr3 Ca Cu2 O8
80
Bi2 Sr2 Ca2 Cu3 O10
125
Hg Ba2 Ca2 Cu3 O8
135
41
Rysunek 2.9: Pole elektromagnetyczne na granicy ośrodków.
Z równań materiałowych wynika, że w punktach, w których wielkości ², µ i σ doznają skoku,
wektory E, H, D i B również zmieniają się skokowo. Wektory pola elektromagnetycznego mogą
być nieciągłe na powierzchni granicznej między dwoma różnymi ośrodkami. Warunki określające zachowanie się wektorów pola na granicy między różnymi ośrodkami nazywamy warunkami
granicznymi. Warunki te wyprowadzimy z równań Maxwella w postaci całkowej. By wystȩpuja̧ce
w tych równaniach wyrażenia całkowe miały sens matematyczny, zakładamy najpierw, że zamiast
powierzchni granicznej, na której wielkości ², µ, σ doznaja̧ skoku, istnieje cienka warstwa graniczna,
w obrȩbie której rozważane wielkości zmieniaja̧ siȩ gwałtownie, lecz w sposób cia̧gły. Nastȩpnie
przechodzimy z grubościa̧ warstwy do zera i otrzymamy w wyniku szukane warunki graniczne.
2.6.1
Warunek graniczny na składową normalną wektora indukcji magnetycznej
Warunek wyprowadzimy z równania
I
B dS = 0.
(2.90)
Szamkn
Na powierzchni granicznej wybieramy element powierzchniowy dS z określonym dodatnim kierunkiem obiegu (normalna do powierzchni skierowana jest w stronę ośrodka drugiego) i budujemy na
nim walec o wysokości h, wnikający w oba ośrodki (rys. 2.9). Całka we wzorze (2.90) wzięta po
powierzchni całkowitej walca, składać się będzie z trzech części:
Z
Z
BdS +
S1
Z
BdS +
S2
BdS = 0,
Sb
42
(2.91)
gdzie S1 i S2 to powierzchnie podstaw walca, Sb to powierzchnia boczna. Przy ustalonym kierunku
obiegu wektory dS na obu powierzchniach mają postać
dS2 = ndS2 ,
dS1 = −ndS1 .
(2.92)
Zmierzając z wysokością walca do zera można założyć, że pola po obu stronach powierzchni
granicznej są jednorodne, czyli
Z
Z
BdS = B2n S2 ,
BdS = −B1n S1 ,
S2
(2.93)
S1
natomiast całka po powierzchni bocznej zmierza do zera, co można uzasadnić stosując twierdzenie
o wartości średniej, przy czym Sb → 0. W granicy h → 0, S1 , S2 → S0 i otrzymamy
(B2n − B1n )S0 = 0,
(2.94)
B2n = B1n .
(2.95)
czyli
Oznacza to, że na granicy dwóch ośrodków składowa normalna wektora indukcji magnetycznej jest
ciągła. Biora̧c równanie materiałowe w postaci B = µ H otrzymamy
µ2 H2n = µ1 H1n
→
H2n
µ1
=
.
H1n
µ2
(2.96)
Dla µ2 6= µ1 składowa normalna wektora natężenia pola magnetycznego doznaje skoku. Przypominamy, że B2n i B1n oznaczają składowe wektorów B2 i B1 w kierunku jednej i tej samej normalnej
do powierzchni granicznej.
2.6.2
Warunek graniczny na składową normalną wektora indukcji elektrycznej
Skorzystamy z elektrycznego prawa Gaussa:
I
D dS = q,
(2.97)
Szamkn
gdzie q oznacza ładunek zamknięty daną powierzchnią Szamkn .
Przeprowadzając analogiczne
rozważania jak dla wektora B, otrzymamy zamiast równania (2.91) równanie
Z
Z
DdS +
S1
Z
DdS +
S2
DdS = q.
(2.98)
Sb
Przechodząc do granicy h → 0 otrzymamy równanie
(D2n − D1n )S0 = q,
43
(2.99)
gdzie q jest ładunkiem zgromadzonym na powierzchni granicznej S0 . Oznaczając przez Σ gęstość
powierzchniową tego ładunku otrzymamy warunek graniczny dla składowej normalnej wektora
indukcji elektrycznej
D2n − D1n = Σ.
(2.100)
W szczególnym przypadku, gdy nie ma ładunków powierzchniowych
D2n = D1n .
(2.101)
Składowa normalna wektora D jest więc ogólnie nieciągła na granicy między dwoma ośrodkami,
gdy na powierzchni granicznej istnieje ładunek powierzchniowy. Z warunku (2.100) otrzymamy
warunek dla składowych normalnych natężenia pola elektrycznego:
²2 E2n − ²1 E1n = Σ.
(2.102)
Gdy brak jest ładunków powierzchniowych, równanie (2.102) przybiera postać
E2n =
²1
E1n .
²2
(2.103)
Przykład: Indukcja elektryczna pewnego rozkładu ładunku elektrycznego ρ(r) w jednorodnym
dielektryku ma postać
Dx
Dz
β
β
x, Dy = y,
2
2
= 0, z dowolne,
=
dla x2 + y 2 ≤ a2 ,
(2.104)
2
Dx
Dz
2
βa
βa
x, Dy =
y,
2(x2 + y 2 )
2(x2 + y 2 )
= 0, z dowolne,
=
dla x2 + y 2 ≥ a2 ,
gdzie a, β to pewne stałe. Jaki jest rozkład ładunku?
Odpowiedź: Obszar x2 + y 2 ≤ a2 , przy dowolnym z, definiuje wnętrze walca o promieniu
a i osi symetrii z. Wewnątrz walca otrzymamy ∇ D = β, na zewnątrz ∇ D = 0. Opisane
w przykładzie pole elektryczne wytworzone jest więc przez walec o promieniu a, naładowany
równomiernie ładunkiem o gęstości przestrzennej β. Łatwo sprawdzić ciągłość składowej normalnej
wektora D na powierzchni walca, która gra tu rolę powierzchni granicznej, np. walec może mieć
przenikalność elektryczną ²1 , a otaczająca przestrzeń przenikalność ²2 .
2.6.3
Warunek graniczny na składową styczną natężenia pola
elektrycznego
Warunek ten wyprowadzamy z równania
I
Z
E ds = −
L
S
44
∂B
dS.
∂t
(2.105)
Rysunek 2.10: Cia̧głość składowej stycznej pola E.
Jako powierzchniȩ całkowania S i krzywa̧ L przyjmiemy mała̧ powierzchniȩ prostoka̧tna̧ S, ograniczona̧ krzywa̧ L, przecinaja̧ca̧ powierzchniȩ graniczna̧ wzdłuż odcinka `0 (p. rys. 2.10). Przyjmuja̧c
dodatni kierunek obiegu na krzywej l jak na rysunku, przekształcamy lewa̧ stronȩ wzoru (2.105)
do postaci
Z
Z
Z
Eds +
`1
Eds +
Eds = E2t `2 − E1t `1 + < Eb > `boczna ,
`2
(2.106)
`boczna
a prawa̧ do postaci
Z
S
∂B
dS =< ∂B/∂t > S,
∂t
(2.107)
gdzie znak < .. > oznacza wykorzystanie twierdzenia o wartości średniej. W granicy `boczna →
0, `2 → `0 , `1 → `0 , a powierzchnia S → 0, ze zwia̧zków (2.10-2.107) wynika
(E2t − E1t )`0 = 0,
(2.108)
E2t = E1t ,
(2.109)
czyli
czyli składowa styczna natȩżenia pola elektrycznego jest cia̧gła na granicy ośrodków. Wynika sta̧d
również, że składowa styczna wektora indukcji elektrycznej zmienia siȩ w sposób skokowy:
D2t =
2.6.4
²2
D1t .
²1
(2.110)
Warunek graniczny na składowa̧ styczna̧ natȩżenia pola magnetycznego
Warunek ten otrzymamy z II-go równania Maxwella
Z µ
I
Hds =
L
S
∂D
∂t
45
¶
Z
dS +
JdS.
S
(2.111)
Postȩpuja̧c podobnie jak w przypadku wektora E otrzymamy równanie
Z
Z
Z
Hds +
Hds +
Hds = H2t `2 − H1t `1 + < Hb > `boczna = I.
`1
`2
(2.112)
`boczna
W granicy `boczna → 0, `2 → `0 , `1 → `0 , a powierzchnia S → 0, otrzymamy równanie
(H2t − H1t )`0 = Ipow .
(2.113)
Definiuja̧c gȩstość pra̧du powierzchniowego
ipow =
Ipow
,
`0
(2.114)
otrzymamy warunek graniczny na składowa̧ styczna̧ natȩżenia pola magnetycznego
H2t − H1t = ipow .
(2.115)
Należy pamiętać, że ipow oznacza składową gęstości prądu powierzchniowego
w kierunku prostopadłym do wybranego kierunku składowych natężenia pola magnetycznego.
Jeżeli prądy powierzchniowe nie płyną, ipow = 0, i składowa styczna natężenia pola magnetycznego jest ciągła
H2t = H1t .
2.6.5
(2.116)
Warunek graniczny dla składowej stycznej gęstości prądu
Warunek ten wyprowadzamy z prawa Ohma w postaci różniczkowej
J = σE.
Pamiętamy, że w tej chwili σ oznacza przewodność właściwą.
(2.117)
Dla składowych stycznych do
powierzchni granicznej
J2t = σ2 E2t ,
J1t = σ1 E1t .
(2.118)
Uwzględniając ciągłość składowych stycznych wektora E (2.109) otrzymujemy warunek graniczny
J2t
σ2
=
.
J1t
σ1
(2.119)
Jeśli zatem przewodności elektryczne dwóch ośrodków są różne, to również gęstości prądu przy
powierzchni granicznej po obu jej stronach sa̧ różne.
2.6.6
Podsumowanie
Wykorzystując równania Maxwella w postaci całkowej wyprowadziliśmy szereg związków, jakie
spełniają składowe normalne oraz styczne (tangencjalne) wektorów pola na granicy ośrodków.
46
Rysunek 2.11: Prąd płynący na powierzchni.
Podstawowe związki zapisać możemy w postaci
(D2 − D1 )n = Σ,
(B2 − B1 )n = 0,
n × (E2 − E1 ) = 0,
n × (H2 − H1 ) = ipow ,
(2.120)
gdzie n jest wektorem normalnym do powierzchni (skierowanym od ośrodka 1 do 2), a wektor ipow
skierowany jest zgodnie z kierunkiem prądu powierzchniowego; moduł zaś jest dany wzorem (2.114),
gdzie `0 jest elementem liniowym, leżącym prostopadle do linii prądu (p.rys. 2.11). Na podstawie
warunków granicznych wnioskować możemy o kształcie pola na granicy ośrodków, nie znając jeszcze
samego pola. Zilustrować to można następującym przykładem: Rozważamy zachowanie się pól E
i B na granicy ośrodka 1, będącego idealnym przewodnikiem (σ → ∞) i izolatora (dielektryka) 2
(σ → 0). Z zależności
(2.121)
J = σE
wynika, że pole E wewnątrz doskonałego przewodnika znika:
E = 0.
(2.122)
Z I-go równania Maxwella wynika również, że
∇× E=−
∂B
= 0,
∂t
(2.123)
czyli znika również zmienna część pola B, ∂B/∂t = 0. W nadprzewodnikach znika również część
stała. Na powierzchni idealnego przewodnika
n × E = 0,
(2.124)
więc pole E jest równoległe do wektora normalnego. Wielkość pola wyznaczona jest z warunku
D2 · n = Σ,
47
D = D2 ,
(2.125)
czyli
E2n =
Σ
.
²2
(2.126)
Powyższy wzór wyznacza pole elektryczne wewnątrz kondensatora (okładki kondensatora ekranują
pole).
2.7
Energia pola elektromagnetycznego
Jeśli pole elektromagnetyczne jest realnym bytem, to związana jest z nim energia. Zmiany pola
elektromagnetycznego mogą być związane albo z przekazywaniem energii na zewnątrz (np. do procesów nieelektrycznych – silniki elektryczne), albo z pobieraniem energii od innych procesów. Pola
elektromagnetyczne mogą również przenosić energię w przestrzeni (np. energia promieniowania).
Rozważmy pewien obszar V , ograniczony powierzchnią S. Niech wewnątrz tego obszaru istnieje
pole elektromagnetyczne. W pewnej chwili t ma ono energię W = W (t). Jeśli dW/dt < 0,
energia ulega zmniejszeniu. Może to oznaczać, że istnieją procesy rozproszeniowe, lub że pole
wykonuje pracę, a część jego energii przybiera inne formy, np. nieodwracalnie zamienia się w
ciepło. Energia może ”uciekać ” z obszaru w postaci promieniowania. Jeśli natomiast wewnątrz
obszaru dW/dt > 0, energia pola rośnie. Może to oznaczać, że wewnątrz obszaru znajdują się
źródła, lub że energia przypływa z zewnątrz. Jeśli wewnątrz obszaru płyną prądy elektryczne,
wydzielane jest ciepło Joule’a–Lenza
Z
Q=
dV J · E,
(2.127)
V
gdzie
J = σE + J0 ,
(2.128)
i J0 jest gęstością prądu wymuszonego. Oznaczenia a używać będziemy dla podkreślenia tensorowego charakteru wielkości a. Korzystając z II-go równania Maxwella otrzymamy
Z
Z
∂D
.
∂t
(2.129)
div (A × B) = B rot A − A rot B,
(2.130)
E rot H = H rot E − div (E × H).
(2.131)
Q=
dV E rot H −
V
dV E
V
Z tożsamości
mamy
Podstawiając wzór (2.131) do (2.129) i uwzględniając twierdzenie Gaussa–Ostrogradskiego otrzymujemy
I
·
Z
(E × H) dS = −
S
dV
E
∂D
V
48
¸ Z
∂B
∂t + H
−
dV J E.
∂t
V
(2.132)
Zakładając, że obszar nie zmienia się w czasie, pierwszy wyraz po prawej stronie wzoru (2.132)
przekształcamy do postaci
¸
·
Z
Z
∂D
∂B
∂ 1
dV E
+H
=
dV (E D + H B).
∂t
∂t
∂t 2 V
V
(2.133)
Wielkości
we
=
wm
=
1
ED =
2
1
HB =
2
1
E ² E,
2
1
H µ H,
2
(2.134)
nazywamy odpowiednio gęstością energii pola elektrycznego i gęstością energii pola magnetycznego.
Suma tych wielkości reprezentuje gęstość energii pola elektromagnetycznego w obszarze V . Energia
całkowita pola elektrycznego i magnetycznego dane są wzorami
Z
Z
We =
dV we ,
Wm =
dV wm .
V
(2.135)
V
Wprowadzając wektor Poyntinga P
P = E × H,
(2.136)
zapiszemy wzór (2.132) w postaci
∂W
= −Q −
∂t
I
P dS.
(2.137)
S
Wielkość W = We + Wm stanowi energię pola elektromagnetycznego w obszarze V. Równanie
(2.137) wyraża więc prawo zachowania energii w przypadku pola elektromagnetycznego. Z równania tego wynika, że zmiany energii pola elektromagnetycznego w rozważanym obszarze spowodowane
są dwoma czynnikami: wydzielaniem ciepła Joule’a (Q) i przenikaniem energii przez powierzchnię
S ograniczającą obszar. Wektor Poyntinga opisuje ruch energii elektromagnetycznej. Zakładając, że strumień wektora P przez dowolną (a nie tylko zamkniętą, jak w (2.137)), powierzchnię S
wyraża przechodzący przez nią strumień energii, to P jest gęstością strumienia energii
P = lim∆S→0 n
∆W
,
∆S
(2.138)
gdzie n to wektor jednostkowy wskazujący kierunek ruchu energii, ∆S to zorientowany prostopadle
do n płat powierzchniowy, a ∆W to ilość energii przechodząca przez ∆S w ciągu 1 sekundy.
2.7.1
Przykłady
1. Zakładamy, że stałe w czasie i jednorodne pole elektryczne całkowicie zamknięte jest wewnątrz
kondensatora płaskiego (rysunek 2.12). Opierając się na wzorze (2.135) wykazać, że energia pola
elektrycznego w kondensatorze jest równa
W = We =
CU 2
,
2
gdzie
49
C=
²0 ²r S
.
d
(2.139)
Rysunek 2.12: Pole wewnątrz kondensatora
Rysunek 2.13: Pole magnetyczne w magnetyku toroidalnym
Rozwiązanie:
We =
¢
1¡
1 ²0 ²r U 2 Sd
CU 2
²0 ²r E 2 V =
=
.
2
2
d2
2
(2.140)
2. Na rysunku (2.13) pokazano układ, składający się z toroidalnego magnetyka o promieniach
wewnętrznym R1 i zewnętrznym R2 , współosiowych z prostoliniowym przewodnikiem, w którym
płynie prąd o natężeniu I. Wykazać, że energia pola magnetycznego w magnetyku jest równa
W = Wm =
LI 2
,
2
L=
µ0 µr h R2
ln
.
2π
R1
(2.141)
Rozwiązanie: pole magnetyczne wytwarzane przez prostoliniowy przewodnik z prądem o natężeniu
I:
H=
I
et ,
2πρ
50
(2.142)
co wraz z wzorem B = µ0 µr H daje w obszarze R1 ≤ ρ ≤ R2
¶2
µ
1
1
I
wm = H B = µ0 µr
.
2
2
2πρ
Dla wyliczenia całki
(2.143)
Z
Wm =
dV wm
(2.144)
V
użyjemy współrzędnych cylindrycznych, gdzie dV = 2πρ dρ dz
Z R2
Z h
dz
2πρ dρ wm
Wm =
R1
0
(
µ
¶2 )
Z R2
1
I
= 2πh
ρ dρ
µ0 µr
2
2πρ
R1
Z R2
1
LI 2
h
I2
=
dρ µ0 µr
=
,
2π R1
2
ρ
2
gdzie
µ0 µr h
L=
2π
2.8
Z
R2
R1
dρ
µ0 µr h
=
ln (R2 /R1 ).
ρ
2π
(2.145)
(2.146)
Działy elektrodynamiki
Podstawą dalszych rozważań będzie układ równań Maxwella w postaci różniczkowej
I)
rot E
=
− ∂B
∂t ,
II)
rot H
=
∂D
∂t
+ J,
III) div D =
ρ,
IV)
div B
=
0,
V)
div J
=
− ∂ρ
∂t .
(2.147)
Równania materiałowe przyjmiemy w najprostszej postaci
D =
² E,
B =
µ H,
J =
σ E + J0
³
´
(2.148)
= σ E + Eprzył ,
gdzie wprowadziliśmy pole elektryczne Eprzył (przyłożone). Pola takie istnieją w źródłach prądu
stałego - ogniwach galwanicznych, akumulatorach itd.
Równania Maxwella są w teorii zjawisk elektromagnetycznych, zwanej często elektrodynamiką,
podstawą dedukcyjnej analizy procesów elektromagnetycznych. Rozmaitość zjawisk jest ogromna
i można ją niemal w nieskończoność komplikować biorąc np. coraz bardziej skomplikowaną postać
równań materiałowych.
Nawet przy najprostszych równaniach materiałowych rozwiązanie układu równań Maxwella
stanowi niełatwy problem. Dlatego, poprzez nałożenie pewnych ograniczeń, rozpatruje się prostsze
przypadki specjalne.
51
2.8.1
Przypadek statyczny
Gdy pola nie zmieniają się w czasie i gdy nie ma prądu, mówimy o polach statycznych. Matematycznie oznacza to, że wyrażenia z pochodnymi ∂(..)/∂t = 0 oraz J = 0. Równania Maxwella i
warunki graniczne przybiorą postać
rot E =
0,
div D =
ρ,
D2n − D1n
=
Σ,
E2t − E1t
=
0,
rot H
= 0,
div B
= 0,
B2n − B1n
= 0,
H2t − H1t
= 0.
(2.149)
(2.150)
Równania Maxwella w przypadku statycznym dzielą się na dwa układy równań, z których każdy
zawiera wielkości związane tylko z polem elektrycznym (2.149), albo tylko z polem magnetycznym
(2.150). Dlatego też pole elektrostatyczne i pole magnetostatyczne można rozpatrywać zupełnie
niezależnie.
Równania (2.149) nazywamy równaniami elektrostatyki, a równania (2.150) równaniami magnetostatyki.
2.8.2
Pole stacjonarne
W przypadku stacjonarnym zakładamy istnienie prądu o stałej w czasie gęstości J = const, ale
wyrażenia ∂(..)/∂t = 0 . W tym wypadku równania Maxwella przybiorą postać
rot E
= 0,
rot H =
J,
div D
= ρ,
div B =
0,
D
= ²0 ²r E,
B =
µ0 µr H,
J =
σE,
B2n − B1n
2.8.3
=
0,
H2t − H1t = ipow .
Przypadek quasistacjonarny
W tym przypadku przyjmujemy, że
a) ∂D/∂t = 0, ale ∂B/∂t 6= 0 i J 6= 0, czyli zaniedbujemy prąd przesunięcia w stosunku do
prądu przewodzenia,
lub
52
b) przyjmujemy, że ∂D/∂t 6= 0, ale ∂B/∂t = 0, J 6= 0.
Równania Maxwella przyjmują postać
rot E
= 0,
rot H
= J,
div D
=
ρ,
div B
= 0,
D
=
²0 ²r E,
B
= µ0 µr H,
J = σ(E + Eprzy ),
B2n − B1n
= 0,
H2t − H1t = ipow .
W przypadku pól quasistacjonarnych nie można rozpatrywać pól elektrycznego i magnetycznego
niezależnie od siebie.
W przypadku ogólnym rozważamy pełny układ równań Maxwella.
53
54
Rozdział 3
Elektrostatyka
3.1
Potencjał elektrostatyczny
Pierwszym z omawianych działów elektrodynamiki jest elektrostatyka. Równania elektrostatyki,
ła̧cznie z odpowiednimi warunkami brzegowymi, maja̧ postać (2.149)
rot E = 0,
(3.1)
div D = ρ,
(3.2)
D2n − D1n
=
Σ,
E2t − E1t
=
0,
(3.3)
Równanie (3.1) jest tożsamościowo spełnione, gdy pole E jest gradientem pewnej funkcji skalarnej
E = −grad ϕ,
(3.4)
która̧ nazywamy potencjałem elektrycznym (lub elektrostatycznym). Dla ośrodków jednorodnych
z równania (3.2) otrzymamy
divE =
ρ
,
²
(3.5)
i równanie na potencjał
ρ
div gradϕ = − .
²
(3.6)
Operacja div grad nosi nazwę operatora Laplace’a (laplasjanu) i oznaczana jest przez ∇2 lub ∆.
Równanie (3.6) nosi nazwę równania Poissona. W obszarze, gdzie nie ma ładunków, otrzymamy
na potencjał równanie zwane równaniem Laplace’a
∇2 ϕ = 0.
55
(3.7)
Zagadnienia elektrostatyki sprowadzają się do rozwia̧zania układu równań
ρ
− ,
²
−∇ϕ,
∇2 ϕ =
E =
(3.8)
z warunkami brzegowymi na granicy ośrodków 1, 2
µ
∂ϕ
∂n
¶
µ
−
2
(ϕ)2
¶
∂ϕ
∂n 1
=
(ϕ)1 ,
1
Σ,
²
=
(cia̧głość potencjału),
(3.9)
gdzie Σ jest gęstością ładunków powierzchniowych. Pochodna ∂n oznacza pochodną w kierunku
prostopadłym (normalnym) do powierzchni granicznej.
Siła działająca na ładunek q w polu elektrycznym jest także proporcjonalna do gradientu potencjału
F = qE = −q∇ϕ,
(3.10)
pole elektrostatyczne jest więc polem konserwatywnym, a praca po zamkniętym łuku jest równa
zeru
I
Fds = 0,
(3.11)
z czego wynika, że praca przesunięcia ładunku z punktu P1 do punktu P2 nie zależy od kształtu
drogi, a jedynie od położeń, i jest równa
Z
Z
P2
F ds = −q
P1 P2
dϕ = Ep (2) − Ep (1),
(3.12)
P1
gdzie
Ep (P ) = −qϕ(P ),
(3.13)
jest energią potencjalną w punkcie P . Wyliczając podobne całki dla pola elektrycznego otrzymamy
Z
Z
B
B
Eds = −
A
∇ϕ ds = −ϕ(B) + ϕ(A).
(3.14)
A
Ponieważ wielkością obserwowalną jest pole E proporcjonalne do pochodnych potencjału, sam
potencjał określony jest z dokładnością do stałej. Najczęściej stałą określamy przyjmując zerowanie
się potencjału w pewnym punkcie (cechowanie potencjału). Jeśli w danej sytuacji przyjmiemy
znikanie potencjału w nieskończoności, to z równania (3.14) wyznaczyć można potencjał jako
Z
∞
ϕ(A) =
E ds,
(3.15)
A
gdzie całkowanie przebiega wzdłuż dowolnie wybranej krzywej. Jeśli znamy przebieg pola E,
wówczas z równania (3.15) wyliczamy potencjał. Dla przykładu wyznaczymy potencjał ładunku
punktowego q, umieszczonego w pocza̧tku układu współrzȩdnych. Pole elektryczne E, znane np.
56
z prawa Coulomba, lub zastosowania elektrycznego prawa Gaussa, w jednorodnym dielektryku o
przenikalności ², ma kształt
E=
1 q r
.
4π² r2 r
(3.16)
Chcąc wyznaczyć wartość potencjału w punkcie A, leżącym na powierzchni kulistej o promieniu r,
we wzorze (3.15) jako krzywa̧ całkowania wybieramy prostą przechodzącą przez punkt A i początek
układu współrzędnych. Wzdłuż tej prostej
ds =
r
dr,
r
(3.17)
1 q
.
4π² r
(3.18)
i jako wynik całkowania otrzymamy
ϕ(r) =
Gdybyśmy rozważali ϕ jako funkcję w sferycznym układzie współrzędnych r, θ, φ, widać, że potencjał ładunku punktowego jest sferycznie symetryczny, czyli zależy tylko od odległości r, a nie zależy
od kątów θ, φ. Powierzchnia r = const jest powierzchnią stałego potencjału, czyli ekwipotencjalną.
W tym przykładzie łatwo wykazać, że gradient gradϕ jest wektorem prostopadłym do powierzchni
ekwipotencjalnej ϕ =const.
Wzór (3.18) można uogólnić na przypadek potencjału układu ładunków punktowych q1 , q2 , . . . , qn
rozmieszczonych w punktach r1 , r2 , . . . , rn . Potencjał wytwarzany przez ten układ w jednorodnym
dielektryku, punkcie r, będzie sumą potencjałów wytwarzanych przez poszczególne ładunki
ϕ(r) =
1 X qi
qi
1 X
q
=
.
4π² i |r − ri |
4π² i
2
2
2
(x − xi ) + (y − yi ) + (z − zi )
(3.19)
Gdy zamiast dyskretnego zbioru ładunków mamy ładunki rozłożone wewnątrz pewnej objętości
V z gęstością przestrzenną ρ(r), lub na pewnej powierzchni S z gęstością powierzchniową Σ(r),
wówczas wzór (3.19) przechodzi w
ϕ(r) =
1
4π²
Z
V
ρ(r0 )dV 0
1
+
0
|r − r |
4π²
Z
S
Σ(r00 )dS 00
.
|r − r00 |
(3.20)
Dla przykładu zastosujemy wzór (3.19) do obliczenia potencjału wytwarzanego przez układ dwóch
ładunków punktowych, zwany dipolem. Rozważamy układ dwóch ładunków punktowych q i −q,
położonych na osi z i oddalonych o odcinek 2a, p. rys. 3.1. Taki układ nazywamy dipolem elektrycznym, a wielkość
p = 2aqk,
momentem dipolowym.
(3.21)
Chcemy obliczyć potencjał wytwarzany przez dipol w punkcie P , w
odległości r znacznie wiȩkszej od rozmiaru 2a dipola. Z wzoru (3.19) otrzymujemy
µ
¶
1
q
q
q r2 − r1
ϕ(P ) =
−
=
.
4π² r1
r2
4π² r1 r2
57
(3.22)
Dla r À 2a dokonujemy przybliżeń
r2 − r1 ≈ 2a cos θ,
r1 r2 ≈ r2 ,
(3.23)
które podstawiamy do wzoru (3.22)
ϕ=
q 2a cos θ
1 pr
=
.
2
4π² r
4π² r3
(3.24)
Mając potencjał, możemy obliczyć wektor pola elektrycznego E,
E = −∇ϕ =
1 3r(pr) − pr2
,
4π²
r5
(3.25)
gdzie skorzystaliśmy ze wzorów
∇(f g) = g∇f + f ∇g,
r
∇f (r) = f 0 (r) ,
r
∇(pr) = p.
(3.26)
(3.27)
We współrzędnych prostokątnych pole będzie miało składowe
Ex
=
Ey
=
Ez
=
3p
xz
,
4π² (x2 + y 2 + z 2 )5/2
3p
yz
,
2
2
4π² (x + y + z 2 )5/2
p
x2 + y 2 − 2z 2
−
.
4π² (x2 + y 2 + z 2 )5/2
(3.28)
Potencjał dipola (3.24) przedstawić można we współrzędnych walcowych (ρ, φ, z)
ϕ=
1
pz
.
4π² (ρ2 + z 2 )3/2
(3.29)
Widać, że nie zależy on od kąta φ, potencjał dipola ma więc symetrię walcową (obrotową), a oś z
jest osią symetrii. Korzystając ze wzoru na gradient we współrzędnych walcowych obliczyć można
składowe pola elektrycznego
Eρ =
1
Ez = −
4π²
Ã
p
3/2
(ρ2 + z 2 )
Można sprawdzic, że
1
3ρz
,
2
4π² (ρ + z 2 )5/2
!
3pz 2
−
.
5/2
(ρ2 + z 2 )
(3.30)
q
Eρ =
Ex2 + Ey2 .
(3.31)
Dla zastosowania wzorów z ciągłym rozkładem ładunku rozważmy potencjał wytwarzany przez
ładunek równomiernie rozłożony na pierścieniu kołowym o promieniu a i środku w początku układu.
Pierścień leży na płaszczyźnie xy i chcemy obliczyć potencjał na osi pierścienia w punkcie P (0, 0, z).
Element dr pierścienia naładowany jest ładunkiem λds, gdzie λ jest gęstością liniową ładunku. W
punkcie P wytwarza on potencjał
dϕ =
1
λdr
√
.
4π² a2 + z 2
58
(3.32)
Rysunek 3.1: Potencjał dipola
Potencjał pochodzący od całego pierścienia będzie równy
Z
2πaλ
q
1
1
√
√
ϕ= dϕ=
=
,
2
2
2
4π² a + z
4π² a + z 2
(3.33)
gdzie q = 2πaλ jest całkowitym ładunkiem pierścienia. Mając potencjał, można obliczyć pole
elektryczne pierścienia
E = −∇ϕ =
3.2
qz
1
k.
2
4π² (a + z 2 )3/2
(3.34)
Przewodniki w polu elektrostatycznym. Kondensatory
W przewodnikach przewodność σ jest różna od zera, za to z założenia elektrostatyki J = 0, wiȩc
również E = 0. Wewna̧trz przewodnika nie może wiȩc istnieć pole elektrostatyczne, jak również
przestrzenna gȩstość ładunku, gdyż
E=0
∇E = 0
→
∇D = 0,
(3.35)
czyli ρ = 0. W żadnym punkcie wewnątrz materiału przewodzącego nie może być ładunku elektrycznego. Jednakże na powierzchni przewodnika pole elektryczne niekoniecznie musi znikać i
mogą znajdować się tam ładunki elektryczne. Ostatecznie wnioskujemy, że różny od zera ładunek
przewodnika musi wypłynąć na powierzchnię i na niej pozostać. Z warunku E = 0 wynika, że
w przewodniku, w tym również na powierzchni, potencjał jest wielkością stałą. Gdyby istniała
bowiem różnica potencjałów, zacząłby płynąć prąd, wbrew założeniu J = 0. Dla elementu d s na
powierzchni, z własności gradientu
(gradϕ) · d s = d ϕ,
59
(3.36)
dla ϕ= const otrzymamy d ϕ = 0, czyli
gradϕ ⊥ ds,
(3.37)
gradient jest prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej, jak to widzieliśmy na przykładzie potencjału ładunku punktowego. Ładunki gromadzące się na powierzchni przewodnika wytworzą więc
pole elektrostatyczne, które jest prostopadłe do powierzchni przewodnika. Jeśli Σ będzie gęstością
ładunku powierzchniowego, to całkowity ładunek na powierzchni S otrzymamy z elektrycznego
prawa Gaussa
Z
Z
Z
S
S
Dn dS,
D dS =
Σ dS = Q =
(3.38)
S
gdzie Dn jest składową wektora indukcji elektrycznej normalną do powierzchni. Z powyższego
wzoru wynika, że
Dn = Σ,
(3.39)
czyli jeżeli nad powierzchnią przewodnika jest dielektryk o stałej dielektrycznej ², to pole elektryczne w pobliżu powierzchni dane jest jako
En =
Σ
.
²
(3.40)
Ten sam wzór otrzymalibyśmy z warunków ciągłości dla składowej normalnej wektora D. Jeśli więc
znamy rozkład ładunku na powierzchni przewodnika, możemy określić natężenie pola elektrycznego
na zewnątrz przewodnika, lub jeśli znane jest to pole, można określić rozkład ładunku wywoływany
przez nie na powierzchni.
Dla przykładu rozważmy pole elektryczne wytwarzane przez izolowany przewodnik kulisty o
promieniu R ze znanym całkowitym ładunkiem Q. Kula umieszczona jest w ośrodku dielektrycznym o stałej dielektrycznej ². Chcemy wyznaczyć pole elektryczne w obszarze wokół kuli.
W obszarze wokół kuli nie ma ładunków elektrycznych, potencjał spełnia więc równanie Laplace’a
∇2 ϕ = 0,
(3.41)
które rozwiązujemy przy warunkach brzegowych
1) powierzchnia kuli jest powierzchnią ekwipotencjalną,
2) całkowity ładunek rozłożony na kuli jest równy Q,
3) potencjał zmierza do zera w nieskończoności.
Z warunków zadania wynika, że właściwe jest użycie współrzędnych kulistych. Laplasjan w
tych współrzędnych ma postać
∇2 ϕ =
1 ∂
r2 ∂r
µ
¶
µ
¶
∂ϕ
1
∂
∂ϕ
1
∂2ϕ
r2
+ 2
sin θ
+ 2 2
.
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
(3.42)
Z rozważań symetrii wyniknie, że potencjał zależy tylko od r, więc otrzymamy rozwiązanie równania Laplace’a w postaci
c
ϕ= ,
r
60
(3.43)
gdzie c jest pewną stałą. Mając potencjał wyznaczamy pole elektryczne
E=
c r
.
r2 r
(3.44)
Z kolei ze wzoru (3.40) wynika, że w pobliżu powierzchni
E=
Q r
,
4πR2 ² r
(3.45)
gdyż składowa radialna jest w tym przypadku normalna do powierzchni. Dla r = R oba wzory
(3.44) i (3.45) muszą być zgodne, więc wynika stąd wartość stałej
Q
,
4π²
(3.46)
Q r
.
4π² r3
(3.47)
c=
i ostatecznie wzór na pole elektryczne
E=
Pole elektryczne przewodzącej powierzchni kulistej naładowanej ładunkiem Q jest takie samo jak
ładunku punktowego Q, umieszczonego w środku kuli.
3.2.1
Ekran przewodzący
W punktach połozonych wewnątrz przewodnika pole elektryczne jest superpozycją dwóch pól:
1. pola ładunku powierzchniowego
2. zewnętrznego pola elektrycznego, w którym został umieszczony przewodnik.
Rozkład ładunku powierzchniowego jest taki, że wytworzone przez niego pole elektryczne znosi się
wewnątrz przewodnika z przyłożonym polem elektrycznym tak że pole w przewodniku jest zawsze
równe zeru. Ponieważ ładunek powierzchniowy jest rozłożony na powierzchni przewodnika w warstwie o grubości rzędu rozmiarów atomu, wnętrze przewodnika nie odgrywa roli, można je wyciąć
i utworzyć powłokę przewodzącą, zwaną ekranem. Taka powłoka osłania (ekranuje) wydrążenie przed wpływem pól zewnętrznych - pole wewnątrz wydrążenia nie zależy od pól istniejących
na zewnątrz. W technice np. ochronny płaszcz ołowiany kabla elektrycznego ekranuje przewody
umieszczone wewnątrz płaszcza.
3.2.2
Kondensatory
Kondensatorem nazywamy układ takich dwóch przewodników, które całkowicie ekranują położony
między nimi obszar. Przewodniki te to okładki kondensatora. Po naładowaniu kondensatora
na jego okładkach pojawią się ładunki o jednakowych wartościach bezwzględnych ale o różnych
znakach. Między okładkami kondensatora wytwarza się różnica potencjałów U = ϕ1 − ϕ2 . Pojemnością kondensatora nazywamy stosunek wartości bezwzględnej ładunku q jednej z okładek do
61
różnicy potencjałów:
¯
¯ ¯ ¯
¯
¯ ¯q¯
q
¯ = ¯ ¯.
C = ¯¯
ϕ1 − ϕ2 ¯
U
(3.48)
Kondensatory różnią się kształtem okładek i materiałem wypełniającym. Podstawowe typy kondensatorów: kondensator płaski, walcowy i kulisty.
Kondensator płaski składa się z dwóch równoległych płytek przewodzących, przy czym ich
odległość winna być znacznie mniejsza od ich rozmiarów liniowych. Załóżmy, że jedna z płytek,
oznaczona A, równoległa jest do płaszczyzny yz i umieszczona w punkcie x = 0, druga płytka,
oznaczona B, umieszczona jest w punkcie x = d. Płytka A jest uziemiona, tak że jej potencjał
ϕA = 0, podczas gdy płytka B połączona jest z potencjałem U , ϕB = U . Wewnątrz kondensatora znajduje się dielektryk o stałej dielektrycznej ². Wewnątrz kondensatora nie ma ładunków
przestrzennych, czyli potencjał ϕ spełnia równanie Laplace’a:
∇2 ϕ = 0
(3.49)
które w przyjętej geometrii jest jednowymiarowe
d2 ϕ
=0
dx2
(3.50)
ϕ(x) = c1 x + c2 .
(3.51)
o rozwiązaniu
Z warunków
ϕ(x = 0) = 0,
ϕ(x = d) = U
(3.52)
otrzymujemy wartości stałych
c1 =
U
,
d
c2 = 0
(3.53)
i kształt potencjału wewnątrz kondensatora
ϕ(x) =
U
x.
d
(3.54)
Mając potencjał, obliczamy pole elektryczne
E = −∇ϕ = −i
U
,
d
(3.55)
gdzie i jest wersorem osi x. Na powierzchni A kierunek normalnej n pokrywa się z wersorem i,
n=i, więc skladowa normalna pola przy powierzchni
En = −
U
,
d
(3.56)
co, zgodnie ze wzorem
Σ = ²En
62
(3.57)
odpowiada gęstości powierzchniowej ładunku
ΣA = −²
U
.
d
(3.58)
Na powierzchni B n=-i, co odpowiada gęstości ładunku
ΣB = ²
U
.
d
(3.59)
Na każdej z okładek o powierzchni S gromadzi się więc ładunek
q = |Σ · S| =
²SU
d
(3.60)
i ze wzoru (3.48) otrzymujemy pojemność kondensatora płaskiego
¯ q ¯ ²S
¯ ¯
C=¯ ¯=
.
U
d
(3.61)
Pamiętając o jednostkach, w jakich wyrazona jest stała dielektryczna (farad/metr) widać, że jednostką pojemności jest farad.
3.2.3
Metoda obrazów
Chcemy znależć gestość ładunku powierzchniowego indukowanego w nieskończonej płaszczyźnie
(x = 0) przewodzącej, przez ładunek punktowy q umieszczony w punkcie (d, 0, 0).
Płaszczyzna przewodząca jest powierzchnią ekwipotencjalną (ϕ = const). Można przyjąć, że
ϕ = 0.
Nieskończona płaszczyzna przewodząca i umieszczony przed nią ładunek +q wytwarzają przed
płaszczyzną takie same pole elektryczne, jak układ dwóch ładunków: tego samego +q i jego odbicia
zwierciadlanego względem plaszczyzny x = 0, o wartości −q. Obliczenie pola pochodzącego od
układu dwóch ładunków jest proste.
Taka metoda rozwiązywania zadań nazywa się metodą obrazów.
Polega ona na dobraniu
takiego układu ładunków, by jedna z powierzchni ekwipotencjalnych pokryła się z powierzchnią
rozważanego przewodnika.
Potencjał w punkcie P (x, y, z), wytworzony przez ładunek q i jego obraz −q umieszczony w
punkcie (−d, 0, 0) ma postać
q
ϕ(x, y, z) =
4π²
Ã
p
1
(x − d)2 + y 2 + z 2
−p
1
(x + d)2 + y 2 + z 2
!
.
Obliczamy składowe pola elektrycznego w płaszczyźnie z = 0
Ã
!
∂ϕ
q
x−d
x+d
Ex = −
=
−
,
3/2
∂x
4π² [(x − d)2 + y 2 ]3/2
[(x + d)2 + y 2 ]
Ã
!
q
y
∂ϕ
y
=
Ey = −
−
.
3/2
∂y
4π² [(x − d)2 + y 2 ]3/2
[(x + d)2 + y 2 ]
63
(3.62)
(3.63)
W płaszczyżnie x = 0
Ey
Ex
=
0,
=
q
d
− 2π²
.
(d2 +y 2 )3/2
Ex
= En ,
(3.64)
Składowej normalnej pola elektrycznego odpowiada gęstość ładunku powierzchniowego
Σ = ²En = −
q
d
= Σ(y).
2π (d2 + y 2 )3/2
(3.65)
Ogólnie w płaszczyźnie x = 0 indukowany jest ładunek powierzchniowy o gęstości
Σ(y, z) = −
q
d
.
2π (d2 + y 2 + z 2 )3/2
(3.66)
Całkowity ładunek indukowany w płaszczyźnie x = 0 otrzymamy całkując gęstość ładunku
Q =
=
=
qd
−
2π
−
−
qd
2π
qd
2
Z∞ Z∞
dydz
(d2 + y 2 + z 2 )
−∞ −∞
Z∞
Z2π
ρdρ
0
Z∞
dφ
0
3/2
1
(ρ2
3/2
+ d2 )
(3.67)
du
= −q,
u3/2
d2
gdzie najpierw wprowadziliśmy współrzędne biegunowe ρ, φ na płaszczyźnie yz, następnie użyli
zmiennej u = ρ2 + d2 .
Siła oddziaływania ładunku punktowego q z płaszczyzną przewodzącą x = 0 jest równa sile
oddziaływania tego ładunku z jego obrazem
F =−
Odbicie w kuli
q2
.
16π²d2
(3.68)
Ładunek q2 umieszczony jest w odległości d2 od środka uziemionej kuli prze-
wodzącej o promieniu a. Posłużymy się metodą obrazów dla znalezienia rozkład ładunku indukowanego na powierzchni kuli. Zgodnie z metodą obrazów, należy znaleźć wielkość i położenie
ładunku q1 , „obrazu” ładunku q2 . Właściwe dla zagadnienia są współrzędne kuliste r = (r, θ, φ).
Dla punktu q2 wybieramy współrzędne r2 = d2 , θ2 = 0, φ2 = 0, a dla q1 r1 = d1 , θ1 = 0, φ1 = 0,
czyli oba ładunki leżą na jednym promieniu, na płaszczyżnie φ = 0. Potencjał wytworzony w
pewnym punkcie P (r, θ, 0) przez ładunki q1 i q2 ma postać
Ã
!
1
q1
q2
p
ϕ(r, θ) =
+p
.
4π²
r2 + d21 − 2rd1 cos θ
r2 + d22 − 2rd2 cos θ
(3.69)
Wybierając
d1 =
a2
,
d2
q1 = −
64
aq2
,
d2
(3.70)
otrzymamy potencjał w postaci


1 
q2
p
−
4π²  r2 + d22 − 2rd2 cos θ
ϕ(r, θ) =
r
d2
³
r2 +

q2 
1
p
−

2
2
4π²
r + d2 − 2rd2 cos θ
=
r
d2
³
r2
+
aq2
´2
a2
d2
a2
d2
a
´2
2
− 2r ad2 cos θ
−
2
2r ad2







(3.71)
cos θ
Można sprawdzić, że powyższy potencjał zeruje się na powierzchni kuli r = a, ϕ(a, θ, 0) = 0.
Ładunek q1 umieszczony w punkcie d1 (3.70) jest więc obrazem ładunku q2 .
Mając potencjał, obliczamy składową radialną pola elektrycznego, gdyż jako składowa normalna
do powierzchni określa gęstość indukowanego ładunku powierzchniowego


a2
r − d2 cos θ
∂ϕ
q2 
r − d2 cos θ
a

=
+
−
´3/2  ,
³
3/2
2
∂r
4π²
d 2 2 a4
a2
(r2 + d2 − 2rd2 cos θ)
r + d2 − 2r d2 cos θ
2


¯
2
∂ϕ ¯
a
a
q2 

− ¯¯
(3.72)
= −
 ³
´3/2 − 2
3/2 
2
∂r r=a
4π²
4
3
(a + d2 − 2ad2 cos θ)
d2 a2 + ad2 − 2 ad2 cos θ
2
µ
¶
µ ¶
a2
q2
a
1
1
−
,
= −
´3/2
4πa2 ² d2 ³
d22
a2
a
1 + d2 − 2 d2 cos θ
2
czyli poszukiwana gęstość ładunku powierzchniowego
¯ ¶
µ
∂ϕ ¯
Σ(θ) = ²Er = ² − ¯¯
∂r
¶
µ ¶ r=a
µ
a
1
a2
q2
= −
´3/2 1 − d2 .
4πa2 d2 ³
2
2
1 + ad2 − 2 da2 cos θ
(3.73)
2
Mając gęstość ładunku można obliczyć całkowity ładunek zgromadzony na powierzchni kuli o
romieniu a:
Z
Z
Σ(θ)dS = a2
Q=
Z
Σ(θ)dΩ = 2πa2
Σ(θ) sin θdθ,
(3.74)
gdzie dΩ = sin θdθ dφ jest elementem kąta bryłowego. Korzystając z całki
Zπ
0
=
³
1+
Ã
1
a
d2
sin θdθ
a2
d22
− 2 da2 cos θ
Z+1
´3/2
1
1
−
1 − da2
1 + da2
A=1+
a2
,
d22
B=2
!
a
,
d2
=
−1
=³
·
¸
2
1
1
dx
=
−
B (A − B)1/2
(A − Bx)3/2
(A + B)1/2
2
1−
a2
d22
´,
(3.75)
x = cos θ,
i wzorów (3.73), (3.74) otrzymamy
Q = −q2
a
= q1 ,
d2
65
(3.76)
więc ładunek zgromadzony na powierzchni kuli jest ładunkiem obrazu. Ten sam wynik otrzymalibyśmy stosując elektryczne twierdzenie Gaussa.
Siła oddziaływania między ładunkiem q2 i kulą jest równa
F =
3.2.4
q1 q2
2
4π² (d2 − d1 )
=−
d2 aq22
2.
4π² (d22 − a2 )
(3.77)
Energia pola elektrostatycznego oraz energia oddziaływania między
ładunkami
Wzór na energię pola elektrostatycznego otrzymamy z ogólnego wzoru na energię pola elektrycznego
wewnątrz obszaru V
1
W =
2
Z
DEdV.
(3.78)
V
Pole elektrostatyczne jest gradientem potencjału, E = −∇ϕ, co pozwala na przekształcenie
iloczynu DE:
DE = −D∇ϕ = ϕ∇D − ∇(ϕD) = ϕρ − ∇(ϕD)
(3.79)
gdzie wykorzystalismy równanie Maxwella ∇D = ρ, ρ jest gęstością przestrzenną ładunków w obszarze V . Załóżmy, że w obszarze V , oprócz ładunków przestrzennych, istnieją ładunki powierzchniowe rozłóżone na pewnej powierzchni S. Powierzchnię S otoczymy pewną zamkniętą powierzchnią S 0 i przekształcimy wyrażenie na energię pola korzystając z (3.79)
1
W =
2
Z
1
ϕ ρdV −
2
V
Z
∇(ϕD)dV.
(3.80)
V
Wystepującą powyżej całkę z dywergencji zamieniamy na całkę po powierzchni zamkniętej, która
składa się z powierzchni S 0 a z drugiej strony powierzchni S 00 :
Z
Z
Z
∇(ϕD)dV =
ϕDdS +
S 00
V
ϕDdS.
(3.81)
ϕ (D1n − D2n ) dS,
(3.82)
S0
W granicy S 0 → S całka po powierzchni S 0 przyjmie postać
Z
Z
ϕDdS = −
S0
Z
ϕD2 dS +
S
Z
ϕD1 dS =
S
S
Skok składowej normalnej wektora D równy jest gęstości ładunków powierzchniowych Σ rozłożonych
na powierzchni S
D2n − D1n = Σ
(3.83)
więc ostatecznie całka po powierzchni S 0 to
Z
Z
ϕDdS = −
S0
ϕ ΣdS >
S
66
(3.84)
Powierzchnia zewnętrzna S 00 jest dowolna, można ją więc umieścić nieskończenie daleko.
W
nieskończoności potencjał ϕ maleje jak 1/r, a indunkcja jak 1/r2 , natomiast powierzchnia jest
proporcjonalna do r2 , więc wartość iloczynu |ϕD|dS maleje jak 1/r i całka po S 00 maleje do zera.
Ostatecznie otrzymaliśmy wzór na energię pola elektrostatycznego w postaci
W =
1
2
Z
ρ ϕdV +
V
1
2
Z
ϕ ΣdS,
(3.85)
S
gdzie V oznacza całą przestrzeń, a S wszystkie znajdujące się w tej przestrzeni powierzchnie
naładowane elektrycznie.
Energia oddziaływania układu ładunków
Rozaważamy układ ładunków punktowych q1 , . . . , qi , . . . qn
rozłożonych w obszarze V w punktach r1 , . . . , ri , . . . , rn . Energia takiego układu dana jest wzorem
(3.85), ale musimy zdefiniować dla takiego układu gęstość ładunku ρ.
Można to zrobić wprowadzając funkcję (funkcjonał, dystrybucję) δ−Diraca. Funkcjonał delta
przyporządkowuje funkcji f (x) jej wartość w wybranym punkcie a
Z∞
f (x)δ(x − a)dx = f (a).
(3.86)
−∞
Funkcjonał delta zdefiniowany jest dla przestrzeni o dowolnym wymiarze: w przestrzeni 3-wymiarowej
(3.86) przyjmie postać
Z
f (r)δ(r − r0 )d3 r = f (r0 ).
(3.87)
V
Gęstość ładunku dla układu ładunków punktowych zapiszemy jako
ρ(r) =
X
qi δ(r − ri ).
(3.88)
i
Potencjał ϕ w punkcie r jest sumą potencjałów od poszczególnych ładunków
ϕ(r) =
1 X qj
.
4π² j |r − rj |
(3.89)
Podstawiając wyrażenia (3.88) i (3.89) do (3.85) otrzymamy poszukiwaną energię układu ładunków
punktowych
W =
1 X qi qj
.
8π²
|ri − rj |
(3.90)
i6=j
W szcególności dla układu dwóch ładunków q1 i q2 otrzymujemy
W =
1 q1 q2
,
4π² r12
(3.91)
gdzie r12 = |r2 −r1 |. Energia ta jest dodatnia dla ładunków jednoimiennych i ujemna dla ładunków
różnoimiennych.
67
Energia pojedyńczego ładunku
Energia pojedyńczego ładunku q umieszczonego w polu po-
tencjału ϕ
W = qϕ
(3.92)
Z powyższego wzoru skorzystamy obliczając energię dipola o momencie dipolowym p = q` umieszczonego w polu elektrycznym E, o potencjale ϕ, E = −gradϕ.
Energia oddziaływania dipola z polem elektrycznym jest sumą energii ładunków +q
(położony w punkcie r + `) i −q (położony w punkcie r)
W = qϕ(r + `) − qϕ(r).
(3.93)
Rozwijając ϕ(r + `) w szereg, w pierwszym przybliżeniu otrzymamy
ϕ(r + `) = ϕ(r) + ∇ϕ · `.
Podstawiając to rozwinięcie do wzoru (3.93) otrzymamy wyrażenie na energię dipola w zewnętrznym
polu E
W = −pE.
68
(3.94)
Rozdział 4
Stacjonarne pole magnetyczne
4.1
Równania pola
W magnetostatyce badane są pola magnetyczne niezależne od czasu. Pola takie pochodzą albo od
magnesów stałych, albo od prądów stałych. Równania Maxwella i odpowiednie warunki graniczne
mają dla pola magnetostatycznego postać
∇ × H = J,
∇B = 0,
(4.1)
B = µH,
B2n − B1n = 0,
H2t − H1t = Ipowierzchn .
(4.2)
Podstawowe zagadnienia magnetostatyki to:
1. Maja̧c dane pole znaleźć pra̧dy, od których to pole pochodzi,
2. Maja̧c dane pra̧dy znaleźć wytwarzane przez nie pole magnetyczne,
3. Wyznaczyć siły działaja̧ce w polu magnetycznym.
W dalszym cia̧gu zajmiemy siȩ głównie problemami 1 i 2.
4.2
Siły elektromotoryczne przyłożone. Uogólnione prawo
Ohma i Joule’a-Lenza
Wykażemy najpierw niemożność wywołania prądu stałego przez siły elektrostatyczne pochodzenia
kulombowskiego. Z równania cia̧głości
∇J + ρ̇ = 0,
69
(4.3)
wynika dla prądu stałego (∂t (...) = 0)
∇J = 0,
(4.4)
czyli że linie wektora gęstości prądu stałego są liniami zamkniętymi. Rozważmy całkę wzdłuż linii
zamkniętej
I
(4.5)
Jds.
L
Jeśli w obszarze, w którym znajduje siȩ krzywa L, działa jedynie pole E pochodzenia kulombowskiego, to
J = σ E = −σ ∇ϕ,
i
I
(4.6)
I
Jds = σ
(4.7)
Eds = 0.
L
L
Ponieważ wzdłuż linii prądu Jds = ±Jds (zależnie od kierunku prądu),
I
± Jds = 0,
(4.8)
L
czyli J = 0. Jeśli istnieją jedynie elektrostatyczne siły kulombowskie, prąd stały nie może płynąć.
Prądy stałe mogą płynąć tylko w obecności pól elektrycznych pochodzenia nieelektrostatycznego. Pola takie istnieją w źródłach prądu stałego, np. w ogniwach lub akumulatorach. Pola
takie nazywamy polami przyłożonymi, a siły powodujące przepływ ładunku- siłami elektromotorycznymi SEM) przyłożonymi. Przez Eprzył oznaczać będziemy natężenie pola elektrycznego
przyłożonego. Równanie materiałowe w obecności takiego pola ma postać
(4.9)
J = σ(ECoulomb + Eprzył ),
gdzie ECoulomb = −∇ϕ jest polem pochodzenia kulombowskiego. Całka okrężna z gęstości prądu
(4.9) da
I
I
I
Jds = σ
L
L
(ECoulomb + Eprzył )ds = σ
Wielkość
Eprzył =
1
σ
L
Eprzył ds.
(4.10)
I
Jds,
(4.11)
L
nazywamy siłą elektromotoryczną przyłożoną (SEM), lub napięciem wzdłuż konturu L. Wewnątrz
konturu L J k ds, więc całkę konturową można wyliczyć
I
I
I
Jds
J ds
=
=
IdR,
L σ
L S σS
L
(4.12)
S oznacza pole przekroju poprzecznego rozważanego konturu, dR oznacza element oporu elektrycznego
dR =
ds
.
σS
(4.13)
i I jest (stałym) natężeniem prądu I = J/S. Z równania (4.12) otrzymujemy prawo Ohma
I R = Eprzył .
70
(4.14)
W obecności pól przyłożonych modyfikuje się również prawo Joule’a - Lenza. Mówi ono, że przepływowi prądu o natężeniu I towarzyszy w jednostce czasu wydzielanie ciepła
Q = RI 2 .
(4.15)
Przechodząc do sformułowania lokalnego, dla nieskończenie małego walca jak na rys. 2.5, z gęstością
prądu równoległą do osi walca, otrzymamy
Q = (J∆S)2
∆`
.
σ∆S
(4.16)
Oznaczając przez q̃ ciepło wydzielające się w jednostce czasu i jednostce objętości otrzymujemy
różniczkową postać prawa Joule’a– Lenza
q̃ =
J2
= JE = σE 2 .
σ
(4.17)
Z kolei, znając lokalną gęstość wydzielanego ciepła w pewnym obszarze o objętości V , otrzymamy
wartość ciepła całkowitego jako
Z
Q=
JEdV.
(4.18)
V
Dla prądu danego w postaci (4.9) dla ciepła otrzymamy wyrażenie
Z
Z
Z
Q=
J(ECoulomb + Eprzył )dV =
JECoulomb dV +
JEprzył dV.
V
V
(4.19)
V
Udowodnimy, że pierwsza z całek jest równa zeru. Przekształcając wyrażenie podcałkowe
JECoulomb = −J∇ϕ = −∇(ϕ J) + ϕ∇J,
otrzymamy
Z
V
Z
J(ECoulomb = −
(4.20)
Z
∇(ϕ J)dV +
V
ϕ∇JdV.
(4.21)
V
Dla prądu stałego ∇J = 0, a pierwszą z całek po prawej stronie przekształcamy do postaci całki
powierzchniowej
Z
Z
∇(ϕ J)dV =
V
ϕJdS = 0.
(4.22)
SV
Z definicji prądy płyną wewnątrz rozważanego obszaru i nie przecinają powierzchni S, więc całka
jest równa zeru. Ostatecznie otrzymaliśmy wzór na ciepło wydzielane
Z
Q=
JEprzył dV,
(4.23)
V
który mówi, że prąd stały wydziela ciepło wyłącznie kosztem energii dostarczanej przez siły elektromotoryczne przyłożone. Energia pola magnetycznego
wm =
1
1
H · B = HµH,
2
2
pozostaje przy tym wielkością stałą.
71
(4.24)
4.3
4.3.1
Pole magnetostatyczne w ośrodku jednorodnym
Prawo Biota–Savarta
Prawo Biota–Savarta pozwala na podstawie znanej postaci wektora gęstości prądu J obliczyć wytwarzane przez prąd pole magnetyczne. Wystarczy obliczyć jeden z wektorów pola magnetycznego,
gdyż przy założeniu jednorodności ośrodka
B = µH,
(4.25)
gdzie µ jest stałą wielkością. Punktem wyjścia są równania Maxwella
∇ × H = J,
(4.26)
∇B = 0.
(4.27)
i
Równanie (4.27) spełnione jest toższamościowo, gdy pole B jest rotacją pewnego wektora A, który
nazywamy potencjałem wektorowym,
B = ∇ × A.
(4.28)
Ogólną własnością potencjałów, elektycznego (skalarnego) i magnetycznego jest to, że nie są wyznaczone jednoznacznie. Potencjał nie jest wielkością obserwowalną eksperymentalnie: wielkością obserwowalną jest pole magnetyczne, opisane wektorami B i H. Jeśli zamiast potencjału A
weźmiemy, jak to się mówi, przeskalowany potencjał
A0 = A + ∇ψ,
(4.29)
gdzie ψ jest pewną funkcją skalarną, wówczas otrzymamy
∇ × A0 = ∇ × A + ∇ × ∇ψ
= ∇ × A = B,
(4.30)
gdyż dla funkcji ψ z cia̧głymi pochodnymi
∇ × ∇ψ = 0.
(4.31)
Potencjały A i A0 sa̧ równoważne w tym sensie, że opisują to samo pole magnetyczne. Dla ujednoznacznienia wyboru potencjału trzeba nałożyć dodatkowy warunek: w magnetostatyce zakładamy,
że
∇A = 0.
(4.32)
Można sprawdzić, że A jest wyznaczone z dokładnością do funkcji ψ, będącej rozwiązaniem równania Laplace’a
∇∇ψ = 0.
72
(4.33)
Warunek (4.32) nazywamy ogólnie cechowaniem potencjału, w tym przypadku cechowaniem kulombowskim. Podstawiając pole
H=
1
∇ × A,
µ
(4.34)
do równania (4.26) otrzymamy
∇ × ∇ × A = µJ.
(4.35)
Operacja podwójnej rotacji przybiera prostą postać we współrzędnych prostoka̧tnych gdzie
∇2 A = grad divA − rot rotA,
(4.36)
i
∇2 A =
=
i∇2 Ax + j∇2 Ay + k∇2 Az
µ 2
¶
µ 2
¶
∂ Ax
∂ 2 Ax
∂ 2 Ax
∂ Ay
∂ 2 Ay
∂ 2 Ay
i
+
+
+
j
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
∂x2
∂y 2
∂z 2
µ 2
¶
∂ Az
∂ 2 Az
∂ 2 Az
+k
+
+
.
2
2
∂x
∂y
∂z 2
(4.37)
Każda ze składowych podobna jest do laplasjanu skalarnego. Jest to jedynie szczególną własnością
współrzędnych prostokątnych.1 Korzystając z własności (4.36) i cechowania kulombowskiego (4.32)
otrzymujemy równanie na potencjał wektorowy A w postaci
∇2 A = −µJ.
(4.38)
Zgodnie z wzorem (4.37) powyższe równanie wektorowe odpowiada trzem równaniom skalarnym
∇2 Ax = −µJx ,
∇2 Ay = −µJy ,
(4.39)
∇2 Az = −µJz .
Każde z tych równań ma strukturę równania Poissona z elektrostatyki
ρ
∇2 ϕ = − ,
²
dla którego rozwiązanie, dla ładunków skupionych w pewnym obszarze V , miało postać
Z
1
ρ(r0 )
dV 0 ,
ϕ(r) =
4π² V |r − r0 |
(4.40)
(4.41)
gdzie dV 0 oznacza element objętościowy w zmiennych primowanych. Każdą ze składowych wektora
A otrzymamy w analogiczny sposób, więc wynik można zapisać w postaci wektorowej
Z
µ
J(r0 )dV 0
.
A(r) =
4π V |r − r0 |
Mając potencjał wektorowy, wyznaczamy pole indukcji magnetycznej ze wzoru
1 p.
np. P. Moon i D. E. Spencer, Teoria pola (PWN, Warszawa, 1966).
73
(4.42)
Rysunek 4.1: Zmienne w wyznaczaniu potencjału wektorowego A.
µ
B=
4π
Z
∇r ×
V
J(r0 )dV 0
,
|r − r0 |
(4.43)
gdzie ∇r oznacza, że operacje pochodnych dotyczą zmiennej r. Korzystając ze wzoru na rotację
iloczynu
∇ × af = f ∇ × a + ∇f × a,
(4.44)
otrzymamy
J (r0 )
1
1
=
∇r × J (r0 ) + ∇r
×J
|r − r0 |
|r − r0 |
|r − r0 |
r − r0
J×R
=−
×J=
,
(|r − r0 |)3
R3
∇r ×
(4.45)
gdzie R = r − r0 jest wektorem poprowadzonym od elementu objętości dV 0 do punktu obserwacji
P (r) (rys. 4.1). Ostatecznie wzory wyznaczające pola B i H w zależności od zadanego prądu
stałego J mają postać
µ
B=
4π
1
H=
4π
Z
(4.46)
V
J×R 0
dV ,
R3
(4.47)
V
J×R 0
dV .
R3
Z
Mówimy o prądzie liniowym, jeśli prąd płynie wzdłuż pewnego konturu L o przekroju poprzecznym
S, wówczas
JdV 0 = Jτ Sds = Ids,
(4.48)
gdzie ds to element długości przewodnika o kierunku zgodnym z kierunkiem prądu i I to natężenie prądu, stałe wzdłuż całego konturu. Dla prądów liniowych całki objętościowe (4.46) i (4.47)
74
Rysunek 4.2: Pole przewodnika kołowego.
przechodzą w całki po konturze, w którym płynie prąd
Z
ds × R
µI
,
B=
4π L R3
Z
I
ds × R
H=
.
4π L R3
(4.49)
(4.50)
Wzór (4.46), lub (4.49) dla prądu liniowego, nazywamy prawem Biota–Savarta..
4.3.2
Przykłady zastosowania prawa Biota–Savarta
Pole magnetyczne na osi prądu kołowego o natężeniu I
Pȩtla o kształcie okręgu o promie-
niu r0 leży w płaszczyźnie xy, ze środkiem w początku układu współrzędnych (rys. 4.2). Chcemy
wyznaczyć pole magnetyczne w punkcie (0, 0, h) na osi z, będącej osią symetrii zagadnienia. Element całkowania ds jest styczny do okręgu. Wektor R ze wzoru (4.50) można przedstawić jako
sumę
R = r0 + h,
h = hn,
(4.51)
gdzie n oznacza wektor normalny do płaszczyzny koła. Po podstawieniu R ze wzoru (4.51) do
(4.50) otrzymamy sumę dwóch całek
I
H=
4π
I
L
I
ds × h
+
3
R
4π
I
L
ds × r0
.
R3
(4.52)
Wielkość R3 jest stała, pierwsza z całek jest równa zeru, a druga, ze względu na prostopadłość
wektorów ds i r0
I
I
r0 ds = 2πr02 n.
ds × r0 = n
L
(4.53)
Dla pola magnetycznego prądu kołowego otrzymamy wzór
H=
I 2πr02
I
r02
n
=
n.
4π R3
2 (r2 + h2 )3/2
0
75
(4.54)
Rysunek 4.3: Obliczanie pola magnetycznego odcinka z prądem.
Pole magnetyczne prostoliniowego odcinka prądu
Wyznaczamy pole magnetyczne wyt-
warzane przez prąd o natężeniu I, płynący w odcinku przewodnika o długości `, położonego na
osi y (rys. 4.3). Pole pochodzące od elementu odcinka ds w punkcie P odległym od prostej y o
odcinek d, ze wzoru (4.50) jest równe
dH =
I ds × R
.
4π R3
(4.55)
Z definicji iloczynu wektorowego
|ds × R| = dsR sin(ds, R) = d · dy.
Co do modułu, pole magnetyczne w odległości d od odcinka będzie równe
Z
Id a
dy
I
=
H=
(sin α1 + sin α2 ).
4π −(`−a) (d2 + y 2 )3/2
4πd
(4.56)
(4.57)
Występującą w powyższym wzorze całkę wyliczyć można przez wprowadzenie zmiennej α
y
= tan α,
d
(4.58)
czyli
dy =
d
dα.
cos2 α
(4.59)
d
,
cos α
(4.60)
Z kolei
R=
otrzymamy więc całkę
Z a
−(`−a)
dy
=
(d2 + y 2 )3/2
Z
α2
cos αdα =
α1
76
1
(sin α2 − sin α1 ),
d2
(4.61)
Rysunek 4.4: Obliczanie potencjału wektorowego pra̧du elementarnego.
i w konsekwencji wzór (4.57): α1 , α2 to kąty, pod jakimi widać końce odcinka z punktu P , wziȩte z
odpowiednimi znakami. Kierunek i zwrot wektora H wynikać będzie z kierunku i zwrotu wektora
ds × R.
4.3.3
Pole magnetyczne prądu elementarnego
Ze względu na liczna zastosowania, zwłaszcza w mechanice kwantowej, ważne jest obliczenie pola
magnetycznego pochodzącego od tzw. prądu elementarnego. Prądem elementarnym nazywamy
prąd zamknięty, który płynie w obszarze o rozmiarach małych w stosunku do odległości do punktu
obserwacji. Takim pra̧dem elementarnym jest elektron na zamkniȩtej orbicie: punkty obserwacji
z dala od atomu z pewnościa̧ leża̧ daleko w porównaniu z rozmiarami atomu. Dla obliczenia pola
magnetycznego wytwarzanego przez pra̧d elementarny obliczamy najpierw potencjał wektorowy z
wzoru (4.42): oznaczenia jak na rys. 4.4
A(r) =
µ
4π
Z
V
JdV 0
.
R
(4.62)
Obliczamy pole w punkcie P , początek układu umieszczony jest w punkcie O. O odległości do
punktu obserwacji zakładamy, że jest duża w stosunku do rozmiarów obszaru, gdzie płynie prąd
r0
¿ 1,
R
r0
¿ 1.
r
(4.63)
Ponieważ
R = r − r0 ,
(4.64)
1
1
=√ ,
R
R2
(4.65)
występującą pod całką wielkość
77
przedstawiamy jako
1
1
1
=√
=
2
0
02
R
r
r − 2rr + r
µ
2rr0
r02
1− 2 + 2
r
r
¶−1/2
.
(4.66)
Ze względu na założenie (4.63) zaniedbujemy r02 /r2 i rozwijamy nawias w szereg, otrzymując
µ
¶−1/2
µ
¶−1/2
2rr0
1
2rr0
r02
rr0
1− 2 + 2
≈
1− 2
≈1+ 2 ,
r
r
r
r
r
(4.67)
1 rr0
1
= + 3.
R
r
r
(4.68)
i w konsekwencji
Wielkość r traktujemy w dalszym ciągu jako stałą, którą wyłączamy przed całkę, więc podstawiaja̧c
(4.68) do wyrażenia na potencjał wektorowy (4.62) otrzymujemy
Z
Z
µ
µ
0
A=
JdV +
J(rr0 )dV 0 .
(4.69)
4πr V
4πr3 V
R
W paragrafie 4.2 wykazywaliśmy, że całka typu JdV jest równa zeru. Pozostaje druga z całek.
Korzystaja̧c z własności
a × (b × c) = b(ac) − c(ab) = −(b × c) × a,
(4.70)
przekształcamy wyrażenie J(rr0 ) do postaci
(r0 × J) × r = J(rr0 ) − r0 (Jr),
(4.71)
i J(rr0 ) można przedstawić jako
J(rr0 ) =
1 0
1
(r × J) × r + [J(rr0 ) + r0 (Jr)].
2
2
Wyrażenie na potencjał wektorowy przyjmie teraz postać
Z
Z
µ
µ
0
0
A=
(r × J) × r dV +
[J(rr0 ) + r0 (Jr)]dV 0 .
8πr3 V
8πr3 V
Wykazać można [17], że całka
(4.72)
(4.73)
Z
[J(rr0 ) + r0 (Jr)]dV 0 ,
K=
(4.74)
V
jest równa zeru. W tym celu mnożymy wyrażenie (4.74) przez pewien stały wektor a otrzymaując
Z
aK =
[(aJ)(rr0 ) + (ar0 )(Jr)]dV 0 .
(4.75)
V
Wykorzystując tożsamość wektorową
∇0 [(ar0 )(rr0 )] = a(rr0 ) + r(ar0 ),
(4.76)
gdzie ∇0 oznacza operacje pochodnych po zmiennych primowanych, przekształcamy wyrażenie
podcałkowe w (4.75) do postaci
(aJ)(rr0 ) + (ar0 )(Jr) = J∇0 [(ar0 )(rr0 )] = ∇0 [J(ar0 )(rr0 )] − (ar0 )(rr0 )∇0 J.
78
(4.77)
Dla prądu stałego J
∇0 J = 0,
(4.78)
wiȩc całka (4.75) może być przekształcona w całkę powierzchniową, korzystając z twierdzenia
Gaussa–Ostrogradskiego
Z
I
∇0 [J(ar0 )(rr0 )] dV 0 =
aK =
[J(ar0 )(rr0 )] dS = 0,
V
(4.79)
S
gdyż prądy płyna̧ wewna̧trz obszaru i nie przecinaja̧ powierzchni granicznej. Ponieważ wektor a
jest dowolny, wiȩc musi być K = 0 i ostatecznie potencjał wektorowy prądu elementarnego jest
równy
µ
A=
8πr3
Z
µ
(r × J) × r dV =
8πr3
V
0
¶
µZ
0
Wektor
M=
1
2
0
r × J dV
0
× r.
(4.80)
V
Z
r0 × J dV 0 ,
(4.81)
V
nazywamy magnetycznym momentem dipolowym prądu elementarnego.
Z użyciem momentu
dipolowego wyrażenie na potencjał wektorowy prądu elementarnego ma postać
µ M×r
,
4π r3
(4.82)
µ
M×r
∇×
.
4π
r3
(4.83)
A=
i pole magnetyczne
B=
W powyższym wzorze trzeba obliczyć wyrażenie typu
∇ × M × rf (r),
f (r) =
1
,
r3
(4.84)
gdzie wektor M jest wektorem stałym. Wykorzystamy następującą metodę. Ogólnie, dla obliczenia
∇ × U × V,
(4.85)
stosujemy zasady obliczania pochodnej iloczynu, traktując raz jeden, raz drugi wektor jako stały:
stały wektor odróżniamy przez podkreślenie
∇ × U × V = ∇ × U × V + ∇ × U × V.
(4.86)
Do podwójnych iloczynów wektorowych stosujemy formułę
a × (b × c) = b(ac) − c(ab),
(4.87)
otrzymuja̧c
∇ × U × V = (V∇)U − V(∇U),
∇ × U × V = U(∇V) − (U∇)V.
79
(4.88)
Wyrażenie U∇ rozumiemy jako operator różniczkowy
U∇ = Ux
∂
∂
∂
+ Uy
+ Uz .
∂x
∂y
∂z
(4.89)
Ostatecznie rotacja iloczynu dwóch funkcji wektorowych ma postać
∇ × U × V = (V∇)U − V(∇U) + U(∇V) − (U∇)V.
(4.90)
Stosuja̧c powyższy wzór do obliczenia wyrażenia (4.84) otrzymamy
∇ × M × rf (r) =
+
(rf ∇)M − rf (∇M)
M(∇ · rf ) − (M∇)rf.
(4.91)
Operacje pochodnych zastosowane do stałego wektora M dają zero, ponadto
∇ · rf = ∇ ·
r
= 0,
r3
(4.92)
pozostaje wiȩc
∇ × M × rf (r) = −(M∇)rf.
(4.93)
Stosując ponownie zasadę podkreślenia otrzymamy
−(M∇)rf = −(M∇)rf − (M∇)rf
= −f M − r(M∇)f = −f M − r(M∇f )
M 3r(Mr)
=− 3 +
,
r
r5
(4.94)
gdyż
∇
1
3 r
=− 4 · .
r3
r r
(4.95)
Podstawiając powyższe wyniki do wzoru (4.83) otrzymujemy wyrażenie na pole magnetyczne prądu
elementarnego w zależności od momentu magnetycznego
B=
µ
4π
µ
3r(Mr) M
− 3
r5
r
¶
.
(4.96)
Struktura wzoru na pole magnetyczne prądu elementarnego (pole magnetyczne dipola magnetycznego) jest analogiczna do wzoru na pole elektryczne dipola elektrycznego (3.25)
1
E=
4π²
µ
3r(pr)
p
− 3
5
r
r
gdzie p jest elektrycznym momentem dipolowym.
80
¶
,
(4.97)
Rysunek 4.5: Pra̧d elementarny liniowy.
Moment magnetyczny prądu elementarnego liniowego Jeśli prąd o natężeniu I płynie w
płaskim obwodzie zamkniętym (kontur L) wówczas wzór na moment magnetyczny przybiera postać
· I
¸
1
0
M=I
r × ds ,
(4.98)
2 L
gdzie ds jest elementem liniowym obwodu (rys. 4.5). Moment magnetyczny jest prostopadły do
płaszczyzny obwodu. Ponieważ
1 0
|r × ds| = dS,
2
(4.99)
jest powierzchnią trójkąta o podstawie ds z wierzchołkiem w początku układu, to wyrażenie w
nawiasie kwadratowym jest wektorem powierzchni S = Sn i moment magnetyczny elementarnego
pra̧du liniowego jest równy
M = IS.
(4.100)
Jeśli prąd wynika z ruchu pewnej ilości ładunków punktowych qi poruszających się z prędkościami
vi , to moment magnetyczny będzie proporcjonalny do momentu pędu poszczególnych ładunków.
Gęstość takiego prądu wyraża siȩ wzorem
J=
X
qi vi δ(r − ri ),
(4.101)
i
gdzie δ jest funkcją(funkcjonałem) delta Diraca, a ri to wektor położenia i−tego ładunku. Ze
wzoru na moment magnetyczny otrzymamy dla gęstości prądu (4.101)
M=
1X
qi (ri × vi ).
2 i
(4.102)
Iloczyn ri × vi występuje w momencie pȩdu i− tej cząstki
Li = mi (ri × vi ),
(4.103)
gdzie mi oznacza jej masę. Na moment magnetyczny otrzymamy więc wzór
M=
X qi
Li .
2mi
i
81
(4.104)
4.3.4
Energia pola magnetycznego prądów stałych
W ogólnym wzorze na energię pola elektromagnetycznego
Z
1
W =
(ED + HB)dV,
2
(4.105)
V
energię pola magnetycznego reprezentuje wyrażenie
Z
1
HBdV.
Wm =
2
(4.106)
V
Dokonamy jego przekształcenia z uwzględnieniem faktu, że
B = ∇ × A,
(4.107)
otrzymując
1
2
Z
HBdV
=
Z
1
2
H∇ × A dV
V
V
=
Z
1
2
∇(A × H)dV +
1
2
V
Z
AJ dV,
(4.108)
V
gdzie wykorzystaliśmy tożsamość
∇(U × V) = V · (∇ × U) − U · (∇ × V),
(4.109)
∇ × H = J.
(4.110)
i równanie
Tożsamość (4.109) wyprowadzić można w sposób analogiczny jak wzór (4.90)
∇(U × V) =
∇(U × V) + ∇(U × V)
=
V(∇ × U) − U(∇ × V),
(4.111)
gdzie wykorzystaliśmy własności iloczynu mieszanego wektorów
a(b × c) = b(c × a) = c(a × b).
(4.112)
Całkę objętościową z dywergencji we wzorze (4.108) zamieniamy na całkę powierzchniową
Z
I
∇(A × H) = (A × H) dS.
(4.113)
¯
¯
V
S
Powierzchnia S może być dowolna, gdyż prądy płyną w skończonej objętości. Jako powierzchnię S
przyjąć można powierzchnię kuli o promieniu R i rozpatrywać granicę R → ∞. Ze wzorów (4.82)
i (4.96) wynika, że w tej granicy
|A| ∝
1
,
R2
82
|H| ∝
1
,
R
(4.114)
podczas gdy powierzchnia kuli rośnie jak R2 , więc całka powierzchniowa w (4.113) zmierza do zera.
Wyrażenie na energię magnetyczną prądu stałego o gęstości J przybiera więc postać
Z
1
Wm =
AJ dV.
2
(4.115)
V
Prąd J płynący w objętości V wytwarza w punktach r pole magnetyczne o potencjale wektorowym
(4.62)
A(r) =
µ
4π
Z
J0 dV 0
.
R
(4.116)
V
Po podstawieniu tego wzoru do (4.115) otrzymamy
Z Z
µ
JJ0
Wm =
dV dV 0 ,
8π
R
(4.117)
V V
gdzie R oznacza odległość między elementami dV i dV 0 . Wyrażenie
JJ0
R
(4.118)
reprezentuje oddziaływanie między elementami prądu.
Przechodząc do prądów liniowych rozpatrujemy układ przewodników liniowych, w kształcie
krzywych Lk , w których płyną prądy o natężeniach Ik .
Zastępując całkowanie objętościowe
całkowaniem wzdłuż konturu, zgodnie ze wzorem (4.48), otrzymamy energię magnetyczną układu
prądów liniowych w postaci
Wm
1X
=
2
Z
1X
AIk ds =
Ik
2
Lk
k
k
Z
A ds.
(4.119)
Lk
Całki krzywoliniowe zamieniamy na całki powierzchniowe zgodnie z twierdzeniem Stokesa
Z
Z
Z
Ads = ∇ × A dS = B dS = Φk ,
(4.120)
Lk
Sk
Sk
gdzie Φk jest strumieniem magnetycznym przechodzącym przez powierzchnię Sk rozpiętą na krzywej Lk . Wzór (4.119) na energię układu prądów liniowych przybierze postać
Wm =
1X
Ik Φk ,
2
(4.121)
k
gdzie suma przebiega po wszystkich przewodnikach liniowych. Jeśli występuje tylko jeden przewodnik, wówczas otrzymamy
W =
1
IΦ.
2
(4.122)
Dokonując analogicznego przejścia we wzorze (4.117) otrzymamy
Z Z
1
Ji Jk
1X
µ X
Ii Ik
dVi dVk =
Lik Ii Ik ,
Wm =
8π
Ii Ik
Rik
2
i,k
i,k
Vi Vk
83
(4.123)
gdzie wielkości
Lik =
1
Ii Ik
Z
Z
Vi
Vk
Ji Jk
dVi dVk ,
Rik
(4.124)
nazywamy współczynnikami indukcji wzajemnej przewodników i-tego i k− tego; całkowanie przebiega po obszarach zajmowanych przez te przewodniki. Dla i = k współczynnik Lii nosi nazwę
współczynnika indukcji własnej lub współczynnika samoindukcji. Jeśli rozpatrujemy tylko jeden
przewodnik, energia magnetyczna jest równa
Wm =
1 2
LI .
2
(4.125)
Jest to wzór pozwalający wyznaczyć współczynnik samoindukcji L. Dla układu prądów liniowych
płynących wzdłuż konturów Lk współczynniki indukcji wzajemnej wyznaczane są ze wzoru
Z Z
µ
dsi dsk
, (i 6= k), Lik = Lki .
Lik =
(4.126)
4π
Rik
Li Lk
Porównując wyrażenia na energię (4.121) i (4.123)
X
Ik Φk =
k
X
Ik
Ã
X
!
Lik Ii
,
(4.127)
i
k
otrzymujemy związek między strumieniami magnetycznymi i współczynnikami indukcji wzajemnej
Φk =
X
Lik Ii .
(4.128)
i
Dla pojedyńczego przewodnika
Φ = LI.
(4.129)
Z powyższego wzoru odczytać można jednostkę samoindukcji, zwaną henrem
[L] = 1 henr =
4.3.5
[Φ]
1 weber
V·s
=
=
.
[I]
1 amper
A
(4.130)
Siły mechaniczne w polu magnetostatycznym
Pole magnetyczne B działa na ładunek q poruszający się z prędkością v siłą Lorentza
F = q(v × B).
(4.131)
Uogólnieniem tego wzoru na przypadek strumienia ładunków o gęstości J poruszających się w
elemencie objętości dV będzie
dF = J × B dV.
Całkowita siła działająca na prąd w objętości V będzie równa
Z
F=
J × B dV.
V
84
(4.132)
(4.133)
Dla prądu liniowego płynącego wzdłuż konturu L powyższy wzór przejdzie w
dF = Ids × B,
(4.134)
jest to siła, z jaką pole magnetyczne o indukcji B działa na element prądu Ids. Siła ta nosi nazwę
elektrodynamicznej. Siła działająca na cały kontur z prądem będzie całką
Z
F = I ds × B.
(4.135)
Jako przykład rozważmy dwa nieskończenie długie i równoległe przewodniki liniowe, oddalone
o odcinek r, w których płyną prądy stałe o natężeniach odpowiednio I1 , I2 . Załóżmy, że oba
przewodniki sa̧ w próżni. Przewodnik 1 wytwarza pole magnetyczne, które w odlełości r jest co do
modułu równe
B=
µ0 I1
.
2πr
(4.136)
To pole działa na odcinek ` przewodnika 2 z siłą,
F = I2
µ0 I1
.
2πr`
(4.137)
Jeśli przyjąć wielkości jednostkowe, I1 = I2 = 1 A, r = ` = 1 m, wówczas siła (w niutonach) będzie
równa
F = |µ0 |/2.
(4.138)
Wzór (4.138) może służyć jako definicja ampera: kładąc
µ0 = 4π · 10−7
henr
,
m
(4.139)
otrzymamy
F = 2 · 10−7 N,
(4.140)
z czego wynika definicja ampera: 1 amper jest to natężenie każdego z równych prądów, które
płynąc w równoległych, nieskończenie długich przewodnikach ustawionych w odległości 1 m jeden
od drugiego działają na każdy metr bieżący przewodnika siłą 2 · 10−7 niutona.
Siła działająca na prąd elementarny Podobnie jak wyrażenie potencjału wektorowego i pola
magnetycznego prądu elementarnego przez moment magnetyczny, wyrazimy siłę z jaką pole magnetyczne B(r) działa na prąd elementarny przez moment magnetyczny prądu. Umieszczamy obszar
o objȩtości V , w którym płynie prąd J, w pobliżu początku układu (0, 0, 0). W pobliżu punktu
(0, 0, 0) przedstawiamy pole B w postaci rozwinięcia
gdzie
B(r) = B0 + (r · ∇)B,
(4.141)
µ
¶
∂
∂
∂
(r · ∇)B = x
+y
+z
B,
∂x
∂y
∂z
(4.142)
85
i wartości pochodnych obliczamy dla punktu (0, 0, 0): B0 = B(0, 0, 0) jest stałym wektorem. Po
podstawieniu rozwinięcia (4.141) do wzoru na siłę (4.133) otrzymamy
Z
Z
F=
F × B0 dV +
J × (r · ∇)B dV.
V
(4.143)
j
Korzystając ze związku
Z
JdV = 0,
(4.144)
V
widzimy że pierwsza całka po prawej stronie (4.143) jest równa zeru. Pozostaje wzór na siłȩ w
postaci
Z
F=
J × (r · ∇)B dV.
(4.145)
V
Obliczymy dla przykładu składową z siły, Fz
Z
Fz =
[J × (r · ∇)B]z dV
(4.146)
¶
¶¸
µ
Z V · µ
∂By
∂By
∂Bx
∂Bx
∂By
∂Bx
=
dV Jx x
+y
+z
− Jy x
+y
+z
.
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
V
Zauważmy, że zgodnie z rozwinięciem (4.141) pochodne ∂x Bx , ∂y Bx itd. są w sensie całkowania
stałymi współczynnikami. Przy obliczeniu składowej Fz wyznaczyć więc trzeba całki typu
Z
Z
xJx dV,
xJy dV,
V
itd. Zaczniemy od całki
(4.147)
V
Z
x Jx dV.
(4.148)
V
Jak to już wielkokrotnie stosowaliśmy, staramy się przedstawić całkę objętościową jako całkę z
dywergencji, następnie wykorzystywać zarówno fakt, że divJ = 0 i że prądy płyną wewnątrz
zamkniętego obszaru i nie przepływają przez powierzchnię ograniczającą. Zgodnie z tym schematem, predstawiamy xJx jako
xJx =
¢ 1
1 ¡
1
J∇x2 = ∇ Jx2 − x2 ∇J.
2
2
2
(4.149)
Wykorzystując znikanie dywergencji J wstawiamy pozostałe wyrażenie do całki (4.148) otrzymując
Z
x Jx dV =
V
1
2
Z
V
¡
¢
1
∇ Jx2 dV =
2
Z
¡
S
¢
1
Jx2 dS = 0 =
2
Z
Jn x2 dS = 0
(4.150)
S
gdyż prądy nie przecinają powierzchni, czyli
Jn = Jn = 0,
(4.151)
gdzie n jest wektorem normalnym do powierzchni S. Analogicznie wykazać można, że
Z
Z
y Jy dV =
V
z Jz dV = 0.
V
86
(4.152)
Pokażemy, że całki typu
Z
Z
xJy dV,
yJz dV, . . . ,
V
(4.153)
V
są składowymi wektora momentu pędu M. Rozważmy pierwszą z całek (4.153). Funkcję podcałkową przedstawimy w postaci
xJy = xJy − yJx + yJx =
1
1
(xJy − yJx ) + (xJy + yJx ) .
2
2
(4.154)
Można sprawdzić, że
1
1
J∇(xy) = (Jx y + Jy x) ,
2
2
(4.155)
1
(Jx y + Jy x) = ∇(xy)J − (xy)∇J.
2
(4.156)
i w konsekwencji
Całka
1
2
Z
(Jx y + Jy x) dV =
V
1
2
Z
∇(xy)JdV = 0,
(4.157)
V
na mocy używanych już argumentów. Pozostaje
Z
Z
Z
1
xJy dV =
(xJy − yJx ) dV = −
yJx dV = Mz ,
2 V
V
V
(4.158)
zgodnie z określeniem momentu magnetycznego (10.21). W sposób analogiczny dowodzi się, że
Z
Z
yJz dV = −
zJy dV = Mx ,
ZV
ZV
(4.159)
zJx dV = −
xJz dV = My .
V
V
Wykorzystując wyniki (4.150), (4.152), (4.158) i (4.159) we wzorze na siłę (4.146) otrzymujemy
Fz = −Mz
∂By
∂By
∂Bx
∂Bx
+ My
− Mz
+ Mx
.
∂y
∂z
∂x
∂z
(4.160)
Powyższe wyrażenie można uprościć uwzględniając III równanie Maxwella
∇B = 0 =
∂Bx
∂By
∂Bz
+
+
,
∂x
∂y
∂z
(4.161)
i wyliczając
∂Bz
∂Bx
∂By
=−
−
.
∂y
∂z
∂x
To wyrażenie podstawiamy do równania (4.160) otrzymując
µ
¶
∂Bz
∂Bx
∂By
∂Bx
∂Bx
Fz = Mz
+
+ My
− Mz
+ Mx
∂z
∂x
∂z
∂x
∂z
∂By
∂Bz
∂B
∂Bx
+ My
+ Mz
=M
.
= Mx
∂z
∂z
∂z
∂z
(4.162)
(4.163)
Analogiczne rozumowanie da dla pozostałych składowych siły
Fx = M
∂B
,
∂x
Fy = M
87
∂B
.
∂y
(4.164)
Ostatecznie wzór na siłę działającą w polu B na prąd elementarny ma postać
Fx = M
∂B
,
∂x
Fy = M
∂B
,
∂y
Fz = M
∂B
,
∂z
(4.165)
lub wektorowo
F = (M∇)B.
(4.166)
Sile (4.166) odpowiada energia potencjalna W
W = −MB,
(4.167)
F = −∇W.
(4.168)
ponieważ
Skorzystaliśmy przy tym z tożsamości (np. podręcznik Karaśkiewicza [12])
∇(MB) = (B∇)M + (M∇)B + B × (∇ × M)
+M × (∇ × B) = (M∇)B,
(4.169)
gdyż operacje pochodnych w zastosowaniu do stałego wektora M dają zero i dla pól stałych
∇ × B = 0.
(4.170)
W = −M B cos θ.
(4.171)
Jeśli θ to kąt między wektorami W i B, to
Pochodna
N =−
∂W
= M B sin θ,
∂θ
(4.172)
jest siłą uogólnioną odpowiadającą współrzędnej uogólnionej θ: w tym wypadku jest to moment
siły
N = M × B.
(4.173)
Moment siły obraca dipol magnetyczny w taki sposób, by nadać mu kierunek zgodny z zewnętrznym
polem magnetycznym.
88
Rozdział 5
Quasistacjonarne pole
magnetyczne
5.1
Równania pola
Pole elektromagnetyczne nazywamy quasistacjonarnym w dwóch przypadkach:
1. zmienia się ono dostatecznie powoli w czasie tak że prąd przesunięcia jest mały w stosunku
do prądu przewodzenia
|J| À |Jprzes | .
(5.1)
Np. jeśli natężenie pola elektrycznego ma harmoniczną zależność od czasu
E = E0 eiωt ,
(5.2)
wówczas wielkość prądu przesunięcia jest proporcjonalna do ω
Jprzes = Ḋ = iω²eiωt ,
(5.3)
a prąd przewodzenia jest proporcjonalny do przewodności σ
J = σE0 eiωt .
(5.4)
Warunek quasistacjonarności (5.1) sprowadza się w tym przypadku do warunku
|Jprzes |
²ω
=
¿ 1.
|J|
σ
(5.5)
Np. dla metali ² ≈ ²0 , σ jest rzędu 107 1/Ωm i warunek (5.5) wyznacza obszar częstotliwości,
dla których pole można uznać za quasistacjonarne
ω ¿
σ
≈ 1018 .
²
89
(5.6)
2. zmiany pola zachodzą tak powoli, że można pominąć efekt opóźnienia wynikający ze skończonej prędkości rozchodzenia się fali. Np dla fali płaskiej rozchodzącej się w kierunku x w
próżni
³
³
x´
x´
E(x, t) = E0 exp iωt − iω
= E0 exp iωt − 2πi
,
c
λ
(5.7)
gdzie λ jest długością fali. Pole będzie quasistacjonarne, jeśli rozmiary liniowe obiektu są
dużo mniejsze od długości fali, czyli gdy x ¿ λ, wówczas x/λ ¿ 1 i można zaniedbać efekt
opóźnienia.
Dla pól quasistacjonarnych równania Maxwella przybierają postać
∇×E
= −Ḃ,
∇×H
= J,
∇B
= 0,
∇D
= ρ,
B
= µH,
D
= ²E,
(5.8)
J = σ(E + Eprzył ).
Zgodnie z założeniem quasistacjonarności w drugim równaniu Maxwella opuszczony jest prąd przesunięcia. Dla pól quasistacjonarnych pola elektryczne i magnetyczne są ze sobą sprzężone i nie
można ich rozpatrywać oddzielnie.
Równania Maxwella rozwiązujemy przy pomocy wprowadzonych uprzednio potencjału wektorowego A i skalarnego ϕ. Potencjał A związany jest z polem B równaniem (4.28) i zakładamy
cechowanie kulombowskie (4.32). Podstawiając wyrażenie na pole magnetyczne (4.28) do pierwszego równania Maxwella, otrzymamy
∇×E=−
co jest równoważne równaniu
∂
(∇ × A),
∂t
³
´
∇ × E + Ȧ = 0.
(5.9)
(5.10)
Rotacja jest równa zeru, gdy nawias w powyższym równaniu jest gradientem jakiejś funkcji ϕ
E + Ȧ = −∇ϕ,
(5.11)
E = −Ȧ − ∇ϕ,
(5.12)
i otrzymujemy wyrażenie na pole E
90
gdzie ϕ jest potencjałem skalarnym. W sumie pola E i B wyrażają się przez potencjały A i ϕ jako
B
= ∇ × A,
E
= −Ȧ − ∇ϕ,
(5.13)
Potencjały z kolei wyliczamy znając źródła pola, gęstość ładunku ρ i gęstość prądu J
∇ × ∇ × A = µJ,
(5.14)
ρ
∇2 ϕ = − .
²
(5.15)
Równanie na potencjał skalarny (5.15) jest takie samo jak w elektrostatyce, co wynika z pominięcia efektów opóźnienia. Również równanie na potencjał wektorowy jest analogiczne jak w
magnetostatyce, tym razem jednak potencjał zależy od zmiennych przestrzennych i od czasu.
5.2
Układ przewodników z uwzględnieniem indukcji wzajemnej oraz samoindukcji
5.2.1
Prawo Ohma w postaci całkowej z uwzględnieniem indukcji elektromagnetycznej
Dzięki zjawisku indukcji elektromagnetycznej prądy płynące w różnych przewodnikach, a także
różne elementy prądu płynącego w jednym przewodniku, wzajemnie na siebie oddziałują.
Rozpatrujemy układ N przewodników liniowych w postaci krzywych zamkniętych Lk . Dla
k-tego przewodnika stosujemy prawo Ohma w postaci różniczkowej
J = σ (E + Eprzył ) .
(5.16)
Po przekształceniach, obliczamy całkę wzdłuż krzywej zamkniętej Lk
I
Jds
=
σ
Lk
I
I
Eds +
Lk
Eprzył ds.
(5.17)
Lk
W przewodniku liniowym gęstość prądu jest równoległa do elementu łuku ds, więc lewa strona
równania (5.17) jest równa
I
Lk
Jds
=
σ
I
Lk
Jds
=
σ
I
ds
I
=
Lk σ S
I
IdR = Ik Rk ,
(5.18)
Lk
gdyż natężenie prądu w przewodniku zamkniętym jest wszędzie takie samo, a Rk to całkowity opór
k-tego przewodnika. Prawa strona składa się z dwóch wyrażeń
I
Eprzył ds = Ekprzył ,
Lk
91
(5.19)
czyli zewnętrznej siły elektromotorycznej działającej w k-tym przewodniku i
I
I
Z
Z
∂
∂
dΦk
Eds =
(−Ȧ − ∇ϕ)ds = −
(∇ × A)dS = −
B dS = −
,
∂t Sk
∂t Sk
dt
Lk
Lk
(5.20)
przy założeniu, że kształt obwodu nie zmienia się w czasie. W sumie otrzymaliśmy dla k-tego
przewodnika równanie
Ik Rk = Ekprzył −
dΦk
.
dt
(5.21)
Dla układu N przewodników strumienie magnetyczne Φk wyrażają się wzorem
Φk =
N
X
(5.22)
Lki Ii ,
i=1
co po podstawieniu do równania 5.21) daje
Ik Rk = Ekprzył −
N
X
i=1
Lki
dIi
,
dt
(k = 1, 2, . . . , N ),
(5.23)
co stanowi układ N równań na N niewiadomych I1 , . . . , IN .
5.2.2
Układ dwóch przewodników. Transformator
Rozważamy dwa obwody (przewodniki) 1 i 2. Równanie (5.23) przybierze postać
µ
¶
dI1
dI2
I1 R1 = E1przył − L11
+ L12
,
dt
dt
µ
¶
dI1
dI2
I2 R2 = E2przył − L21
+ L22
.
dt
dt
(5.24)
Wyrażenie
−L11
dI1
dt
to siła elektromotoryczna samoindukcji w pierwszym przewodniku,
−L12
dI2
dt
to SEM samoindukcji powstająca w pierwszym obwodzie wskutek zmian pola magnetycznego od
prądu I2 w drugim obwodzie. Rozpatrujemy sytuację typową dla transformatora, gdy do obwodu
1 przyłożona jest zewnętrzna siła elektromotoryczna
E1przył = E10przył eiωt ,
(5.25)
a siła elektromotoryczna E2przył = 0. Przy tych danych poszukujemy rozwiązania układu (5.24) w
postaci
Ij = Ij0 eiωt ,
(5.26)
otrzymując układ równań liniowych
I10 (R1 + iωL11 ) +
I10 (iωL21 ) +
iωL12 I20
=
I20 (R2 + iωL22 )
= 0.
92
E10przył ,
Rysunek 5.1: Schemat obwodu elektrycznego z pojemnością i samoindukcją
Oznaczając wyznacznik główny powyższego układu równań przez ∆, otrzymujemy rozwiązania w
postaci
1
E10przył (R2 + iωL22 ),
∆
1
= − iωL21 E10przył .
∆
I10 =
I20
(5.27)
W praktyce istotny jest stosunek natężeń w obwodzie 1 (część sieci przesyłowej) i obwodzie 2 (sieć
lokalna)
I20
−iωL21
=
.
I10
iωL22 + R2
(5.28)
Ponieważ dla częstotliwości prądu w sieci przesyłowej najczęściej ωL22 À R2 , więc dla natężeń
otrzymamy zależność
|I20 |
L21
≈
.
|I10 |
L22
(5.29)
Dobierając współczynniki samoindukcji L22 i indukcji wzajemnej L21 można w pożądany sposób
zmieniać natężenia z I10 na I20 .
5.2.3
Obwód elektryczny z pojemnością i samoindukcją
Rozważamy obwód elektryczny, tzw. obwód LC, schematycznie przedstawiony na rys. 5.1, podłączony do zewnętrznej siły elektromotorycznej, zawierający kondensator K o pojemności C i przewodnik o współczynniku samoindukcji L. Kondensator stanowi przerwę w obwodzie. Uogólnione
prawo Ohma
J
= E + Eprzył ,
σ
scałkujemy po krzywej L łączącej okładki kondensatora wzdłuż obwodu
Z 2
Z 2
Z 2
Jds
=
Eds +
Eprzył ds.
σ
1
1
1
Całka po lewej stronie da spadek napięcia w obwodzie
Z 2
Z 2
Jds
=
IdR = IR.
σ
1
1
93
(5.30)
(5.31)
(5.32)
Całki po prawej stronie równe są odpowiednio przyłożonej sile elektromotorycznej
Z 2
Eprzył ds = Eprzył
(5.33)
1
i
Z
Z
2
2
Eds = −
1
1
∂
∇ϕ ds −
∂t
Z
2
Ads = − (ϕ2 − ϕ1 ) −
1
dΦ
.
dt
(5.34)
Otrzymaliśmy równanie
IR = Eprzył − (ϕ2 − ϕ1 ) −
dΦ
.
dt
(5.35)
Ponieważ wcześniej otrzymaliśmy zależność
Φ = L I,
(5.36)
a spadek napięcia na kondensatorze związany jest z ładunkiem okładek i pojemnością poprzez
relację
ϕ2 − ϕ1 =
q
,
C
(5.37)
równanie (5.35) przepiszemy w postaci
L
dI
q
+ RI +
= Eprzył .
dt
C
(5.38)
Wielkość ładunku na okładkach kondensatora jest trudno mierzalna, więc różniczkując obie strony
po czasie, z wykorzystaniem definicji natężenia prądu
I=
dq
,
dt
(5.39)
otrzymujemy ostatecznie równanie
L
d2 I
dI
1
dEprzył
+R
+ I=
,
2
dt
dt
C
dt
(5.40)
w analogii do równania oscylatora harmonicznego z tłumieniem i siłą wymuszającą
m
d2 x
dx
+γ
+ kx = F.
dt2
dt
(5.41)
Zanim przedyskutujemy ogólne rozwiązanie równania (5.40), rozpatrzymy przypadki szczególne.
Włączanie i wyłączanie stałej siły elektromotorycznej Rozpatrujemy obwód przedstawiony na schemacie 5.1, ale bez kondensatora. Pomijając człon związany z pojemnością w równaniu
(5.38), otrzymujemy równanie
L
dI
+ RI = Eprzył .
dt
(5.42)
Niech w chwili t = 0 zostaje włączona stała SEM E0przył . Szukamy zależności natężenia prądu od
czasu I = I(t), przy warunku I(0) = 0. Zakładamy, że rozwiązanie ma postać
I(t) = A1 eαt + A2 .
94
(5.43)
Rysunek 5.2: Przebieg w czasie natężenia prądu przy włączaniu i wyłączaniu stałej siły elektromotorycznej
Podstawiając taką funkcję do równania (5.42) otrzymamy rozwiązanie
´
Eprzył ³
I(t) =
1 − e−Rt/L .
R
(5.44)
Rozwiązanie to opisuje zachowanie natężenia prądu przy włączaniu stałej siły elektromotorycznej:
natężenie narasta od wartości początkowej 0 do wartości asymptotycznej
I(t → ∞) =
Eprzył
,
R
(5.45)
wynikającej z prawa Ohma. Odcinek czasu τ , po którym prąd osiąga 1/e wartości asymptotycznej,
a po upływie czasu τ ln 2 ≈ 0.693τ połowę wartości asymptotycznej, nazywamy czasem relaksacji
τ (także indukcyjna stała czasowa τ = τL ).
τ=
L
.
R
(5.46)
Przy wyłączaniu siły elektromotorycznej w chwili początkowej natężenie dane jest wzorem (5.45),
a zanikanie natężenia do zera opisuje równanie
I(t) =
Eprzył −Rt/L
Eprzył −t/τ
e
=
e
.
R
R
(5.47)
W tym wypadku po upływie czasu τ natężenie osiąga 1/e wartości początkowej. Oba przebiegi
ilustruje rys. 5.2.
Rozładowanie i ładowanie kondensatora Analogiczne przebiegi czasowe otrzymamy dla obwodu, który zawiera tylko opór omowy R i kondensator o pojemności C naładowany do napięcia
q/C (tzw. obwód RC). Po zamknięciu obwodu, przez opór R płynie prąd rozładowania o natężeniu
I. W tym przypadku równanie (5.38) przybiera postać
RI +
q
= 0,
C
(5.48)
lub
R
dq
q
+
= 0,
dt
C
95
(5.49)
stąd
dt
dq
=−
.
q
RC
(5.50)
Rozwiązaniem tego równania jest
q = q0 e−t/RC = q0 e−t/τ ,
τ = RC,
(5.51)
gdzie q0 jest ładunkiem kondensatora w chwili początkowej i τ jest czasem relaksacji. Biorąc
pochodną po czasie otrzymamy wzór na natężenie prądu rozładowania
I = I0 e−t/τ ,
(5.52)
q0
.
RC
(5.53)
gdzie
I0 = −
Z kolei proces ładowania oznacza obecność w obwodzie stałej siły elektromotorycznej Eprzył . Równanie (5.38) przybierze postać
−Eprzył +
q
+ RI = 0,
C
(5.54)
albo
−Eprzył C + q + RC
dq
= 0.
dt
(5.55)
Jeśli w chwili t = 0 kondensator jest nienaładowany, to q(t = 0) = 0 i rozwiązanie powyższego
równania ma postać
³
´
q(t) = Eprzył C 1 − e−t/(RC) ,
(5.56)
I = I0 e−t/(RC) .
(5.57)
a natężenie prądu ładowania
5.2.4
Obwód drgający
Przy zaniedbaniu oporu omowego R (tzw. obwód LC) i bez przyłożonej do obwodu SEM (Eprzył =
0), równanie (5.40) przybiera postać
lub
d2 I
1
+
I = 0,
dt2
LC
(5.58)
d2 I
+ ω 2 I = 0,
dt2
(5.59)
gdzie
ω=√
1
.
LC
(5.60)
Równanie (5.59) jest równaniem typu oscylatora harmonicznego, o rozwiązaniach okresowych
I(t) = A sin ωt + B cos ωt.
96
(5.61)
Jeśli w obwodzie LC wzbudzimy natężenie prądu, wówczas zmienia się ono w sposób oscylacyjny:
mówimy wtedy o drganiach prądu i o obwodzie drgającym. Wzór na okres drgań
T =
√
2π
= 2π LC,
ω
(5.62)
znany jest pod nazwą wzoru Thomsona.
5.2.5
Przypadek ogólny
Rozważamy obwód zawierający opór omowy R, konsensator o pojemności C i samoindunkcję L.
Niech do obwodu przyłożona będzie zmienna w czasie SEM
Eprzył = E0 e−iωt .
(5.63)
Szukamy rozwiązania równania (5.40) w postaci
I = I0 e−iωt .
Po podstawieniu do równania (5.40) otrzymujemy
µ
¶
1
2
−Lω − Riω +
I = −iωEprzył ,
C
(5.64)
(5.65)
stąd
gdzie wielkość
ZI = Eprzył ,
(5.66)
µ
¶
1
Z = R − i ωL −
,
ωC
(5.67)
ma charakter zespolonego oporu i nazywane jest zawadą (impedancją), o module
s
µ
¶2
1
2
|Z| = R + ωL −
.
ωC
(5.68)
Ze wzoru
I=
E0 −i(ωt−ψ)
e
,
|Z|
(5.69)
otrzymujemy wartość przesunięcia fazowego ψ
1
tan ψ =
R
µ
¶
1
ωL −
,
ωC
(5.70)
1
.
LC
(5.71)
i położenie rezonansu:
ω = ω0 = √
Dla Eprzył = 0 otrzymujemy drgania o częstości kołowej wynikającej z równania
−Lω 2 − Riω +
97
1
= 0,
C
(5.72)
o pierwiastkach
s
R
ω = −i
±
2L
1
−
LC
µ
R
2L
¶2
.
(5.73)
Jeśli wybieramy rozwiązanie typu exp(−iωt), wówczas sens fizyczny ma pierwiastek spełniający
zależność
(5.74)
Re(−iω) < 0.
Dla 1/LC > R/2L otrzymujemy drgania periodyczne gasnące
I = I0 e−βt e−iω̃t ,
gdzie
s
ω̃ =
1
−
LC
µ
R
2L
(5.75)
¶2
.
(5.76)
Czynnik
β=
R
,
2L
(5.77)
nosi nazwę dekrementu logarytmicznego drgań. Dla 1/LC < R/2L otrzymujemy drgania gasnące
aperiodyczne.
98
Rozdział 6
Emisja fal elektromagnetycznych
6.1
Ogólne rozwia̧zanie równań Maxwella przy pomocy potencjałów
Rozważamy pełny układ równania Maxwella, dla dielektryków jednorodnych i izotropowych, czyli
o stałych materiałowych
σ = 0,
µ, ² = const.
(6.1)
Równania Maxwella ła̧cznie z równaniami materiałowymi maja̧ postać
∇×E
= −Ḃ,
∇×H
= Ḋ + J,
∇B
= 0,
∇D
= ρ,
B
= µH,
D
= ²E,
J
= Jprzył .
(6.2)
Układ równań (6.2) rozwiążemy przy użyciu wprowadzonych uprzednio potencjałów, wektorowego
A i skalarnego ϕ, związanych z wektorami pola przez relacje
B = ∇ × A,
E = −Ȧ − ∇ϕ.
(6.3)
Podstawiając tak wyrażone pola E, B do równań Maxwella otrzymamy następujący układ równań
1
∇×∇×A
µ
=
∇(−Ȧ − ∇ϕ) =
−²Ä − ²∇ϕ̇ − Jprzył ,
ρ
.
²
99
(6.4)
W dalszym ciągu używać będziemy współrzędnych prostokątnych, gdzie słuszny jest związek
∇ × ∇ × A = ∇(∇A) − ∇2 A.
(6.5)
Przy jego wykorzystaniu równania na potencjały przybierają postać
∇2 A − µ²Ä = ∇(∇A + ²µϕ̇) − µJprzył ,
ρ
∇2 ϕ = − − ∇Ȧ.
²
(6.6)
Jak widzieliśmy w poprzednich rozdziałach, potencjały nie są wyznaczone jednoznacznie, można
wiȩc nałożyć dodatkowy warunek. Warunek ten nosi nazwę warunku Lorentza
∇A + µ²ϕ̇ = 0.
(6.7)
Przy spełnieniu tego warunku równania na potencjały przybierają prostą postać
∇2 A − µ²Ä
=
∇2 ϕ − µ²ϕ̈ =
−µJprzył ,
ρ
− .
²
(6.8)
Równania te zapisać można przy użyciu operatora d’Alemberta:
∇2 − µ²
∂2
,
∂t2
(6.9)
tak że układ równań Maxwella (6.2) zastąpiony jest równoważnym układem równań na potencjały
µ
¶
∂2
∇2 − µ² 2 A
∂t
¶
µ
∂2
∇2 − µ² 2 ϕ
∂t
∇A + µ²ϕ̇
=
−µJprzył = −µJ,
ρ
− ,
²
= 0.
=
(6.10)
Zaletą tego układu jest rozdzielenie niewiadomych funkcji A, ϕ. Oba równania na potencjały
są równaniami różniczkowymi drugiego rzędu o pochodnych cząstkowych i mają strukturę którą
nazywamy niejednorodnym równaniem d’Alemberta. Niejednorodne równania różniczkowe można
rozwiązywać przy użyciu metody funkcji Greena. Metodzie tej i jej zastosowaniu do rozwiązania
równania d’Alemberta poświęcony jest następny podrozdział.
6.2
6.2.1
Funkcja Greena dla równania d’Alemberta
Pojęcie funkcji Greena
Dla równania różniczkowego
Lϕ (x1 , . . . , xn ) = −f (x1 , ..., xn ) ,
100
(6.11)
gdzie L jest pewnym operatorem różniczkowym
L = a0 +
n
X
ai
i=1
n
X
∂2
∂
+
aij
+ ... ,
∂xi i,j=1
∂xi ∂xj
(6.12)
o stałych współczynnikach a0 , a1 , . . ., rozwiązanie można formalnie zapisać przy użyciu operatora
odwrotnego L−1 , o własności
LL−1 = 1,
(6.13)
ϕ = −L−1 f + ϕ0 ,
(6.14)
jako
gdzie ϕ0 jest rozwiązaniem równania jednorodnego Lϕ0 = 0. Np. dla funkcji jednej zmiennej, dla
operatora pierwszej pochodnej
L=
d
,
dx
(6.15)
operatorem odwrotnym jest operacja całkowania
d
ϕ(x) = −f (x)
dx
Z
→
x
ϕ(x) = −
f (x0 ) dx0 + ϕ0 ,
(6.16)
a
gdzie Lϕ0 = 0. Dla znalezienia postaci operatora odwrotnego do operatora różniczkowego (6.12)
posłużymy się własnościami funkcjonału Diraca δ(x). Dla funkcji jednej zmiennej funkcjonał Diraca
przyporządkowuje funkcji f (x) jej wartość w pewnym punkcie x0
Z∞
f (x)δ (x − x0 ) dx = f (x0 ).
(6.17)
−∞
Definicję powyższą rozszerza się na układ wielu zmiennych jako
Z
Z
f (x1 , . . . , xn ) = . . . f (x01 , x02 , . . . , x0n ) δ (x01 − x1 , . . . , x0n − xn ) dx01 dx02 . . . dx0n .
(6.18)
Funkcjonał Diraca, zwykle zwany funkcją Diraca, nie jest funkcją w zwykłym sensie, ale można
przedstawić go jako granicę ciągu funkcji
k
π (1 + x2 )
1 sin x
lim
k→∞ π x
r
k −kx2 /2
lim
e
k→∞
2π
lim
k→∞
=
δ(x),
(6.19)
=
δ(x),
(6.20)
=
δ(x).
(6.21)
Funkcja Diraca ma przedstawienie Fouriera
Z
Z
0
0
1
δ (x01 − x1 , . . . , x0n − xn ) =
.
.
.
eik1 (x1 −x1 )+...+ikn (xn −xn ) dk1 . . . dkn .
(2π)n
(6.22)
Przedstawienie Fouriera wykorzystamy do wyprowadzenia wzoru na operator odwrotny L−1 .
Wprowadzamy skrótowe oznaczenia
x = (x1 , . . . , xn ) ,
dx = dx1 . . . dxn .
101
(6.23)
Dla równania różniczkowego (6.11) definiujemy funkcję Greena jako funkcję 2n zmiennych
G (x, x0 ) = G1 (x, x0 ) + G0 (x, x0 ) ,
(6.24)
gdzie funkcje G1 , G0 spełniają równania
LG1 (x, x0 ) =
−δ (x − x0 ) ,
(6.25)
LG0 (x, x0 ) =
0.
(6.26)
Funkcję G1 nazywamy funkcją Greena osobliwą, lub częścią osobliwą funkcji Greena; funkcja G0
jest częścią jednorodną. Przy użyciu funkcji Greena G rozwiązanie równania (6.11) zapiszemy jako
Z
ϕ(x) = dx0 G(x, x0 )f (x0 ).
(6.27)
Dla sprawdzenia podstawiamy funkcję ϕ w postaci (6.27) do wyjściowego równania (6.11). Pamiętając, że operator L działa na zmienne nieprimowane, otrzymamy
Z
dx0 {L [G1 (x, x0 ) + G0 (x, x0 )]} f (x0 ) = −f (x),
czyli
Z
(6.28)
Z
dx0 {L [G1 (x, x0 )]} f (x0 ) = −
f (x0 ) δ (x − x0 ) dx0 = −f (x).
(6.29)
Użycie funkcji Greena daje rozwiązanie równania różniczkowego w postaci całki z funkcji źródła
f (x) z funkcją Greena.
Oddzielnym problemem jest znalezienie postaci funkcji Greena dla danego operatora różniczkowego.
Jedną z możliwych metod jest wykorzystanie własności transformaty Fouriera (6.22). Zapisując
formalne rozwiązanie równania (6.25) w postaci
G1 (x − x0 ) = −L−1 δ (x − x0 ) ,
(6.30)
podstawiamy po prawej stronie transformatę (6.22)
Z
0
1
−1
G1 = −L
eik(x−x ) dk,
(2π)n
(6.31)
gdzie w dalszym ciągu stosujemy notację (6.23). Operacja LG jest przykładem zagadnienia własnego typu
Lψ = λψ,
(6.32)
gdzie λ jest pewną liczbą. Dla operatora różniczkowego (6.12) otrzymujemy
Leik(x−x ) = (a0 + ik` a` − a`m k` km + . . .) eik(x−x ) ,
0
0
(6.33)
z użyciem konwencji sumacyjnej. Jeśli λ jest wartością własną operatora L, to λ−1 jest wartością
własną operatora L−1 , więc dla równania (6.31) otrzymujemy
1
G1 = −
(2π)n
Z
eik(x−x )
d k
.
a0 + ik` a` − a`m k` km + . . .
0
n
102
(6.34)
Ogólną formułę (6.34) zastosujemy dla przypadku trójwymiarowego równania Poissona
∇2 ϕ(r) = −f (r).
(6.35)
Operator L ma w tym przypadku postać
L=
∂2
∂2
∂2
∂2
∂2
∂2
+
+
=
+
+
.
∂x21
∂x22
∂x23
∂x2
∂y 2
∂z 2
(6.36)
Część osobliwa funkcji Greena trójwymiarowego równania Posissona spełnia równanie
∇2 G1 = −δ (r − r0 ) .
(6.37)
Zgodnie z metodą wyprowadzenia wzoru (6.34), obliczamy
Leik(r−r ) = −k 2 eik(r−r ) ,
0
0
więc po podstawieniu do wzoru (6.34) otrzymamy
Z
i(k(r−r0 ))
1
0
3 e
.
G1 (r, r ) =
d k
(2π)3
k2
(6.38)
(6.39)
Wprowadzając w przestrzeni k współrzędne sferyczne k, θ, φ i wybierając (r − r0 ) k z, otrzymamy
1
G1 (r, r ) =
(2π)3
Z∞
0
Z2π
dk
0
Z
π
dφ
sin θdθeikr cos θ ,
(6.40)
0
0
0
gdzie r = |r − r |. Całki po θ i φ da się bezpośrednio otrzymać i
1
G1 (r) =
2π 2
Korzystając z całki
Z∞
0
Z∞
dk
0
sin kr
.
kr
sin ax
π
= sign(a) ,
x
2
(6.41)
(6.42)
otrzymujemy ostatecznie na częć G1 funkcji Greena równania Poissona wyrażenie
G1 (r) = G1 (r) =
1
.
4πr
(6.43)
Mając funkcję Greena, rozwiązanie podstawowego równania elektrostatyki
ρ
∇2 ϕ = − ,
²
(6.44)
zapisujemy w postaci
ϕ(r) =
1
4π²
Z
ρ (r0 ) d3 r0
+ rozw. równania jednor..
|r − r0 |
Dla obliczenia funkcji Greena równania d’Alemberta
µ
¶
∂2
2
∇ − µ² 2 ϕ = −f,
∂t
G = G (r, r0 , t, t0 ) ,
wykorzystujemy własności symetrii:
103
(6.45)
(6.46)
• jednorodność czasu i przestrzeni
G = G (r − r0 , t − t0 ) ,
czyli
(6.47)
Z
ϕ(r, t) =
f (r0 , t0 ) G (r − r0 , t − t0 ) d3 r0 dt0 ,
gdzie funkcja Greena spełnia z definicji (6.25) równanie
µ
¶
∂2
∇2 − µ² 2 G = −δ (r − r0 ) δ (t − t0 ) = −δ(r)δ(t),
∂t
(6.48)
(6.49)
przy oznaczeniach
r − r0 = r,
t − t0 = t.
Ponieważ w granicy ∂/∂t → 0 funcja Greena równania d’Alemberta winna przejść w izotropową
funkcję Greena równania Poissona (6.43), poszukujemy rozwiązania o własności
G (r − r0 ; t − t0 ) =
G (|r − r0 | ; t − t0 ) = G(r, t)
Z∞
Ĝ(r, ω)e−iωt dω,
G(r, t) =
(6.50)
(6.51)
−∞
gdzie Ĝ jest transformatą Fouriera funkcji G. Spełnia ona równanie
∇2 Ĝ +
gdzie 1/υ =
√
³ ω ´2
υ
Ĝ = −
1
δ(r),
2π
²µ. Z założenia izotropowości otrzymamy dla r 6= 0 równanie
Ã
!
1 d
ω2
2 dĜ
r
+
Ĝ = 0.
r2 dr
dr
υ2
Równanie to rozwiążemy wykorzystując tożsamość
Ã
!
1 d
1 d2
2 dĜ
r
=
(Ĝ · r),
2
r dr
dr
r dr2
(6.52)
(6.53)
(6.54)
która sprowadza równanie (6.53) do postaci
³ ω ´2
d2
χ
+
χ = 0,
dr2
υ
(6.55)
χ = Ĝr.
(6.56)
gdzie
Ponieważ rozwiązania równania (6.55) mają postać
³ω ´
³ ω ´
χ = a1 exp i r + a2 exp −i r ,
υ
υ
dla funkcji Ĝ otrzymujemy
ω
Ĝ = a1
ω
ei υ r
e−i υ r
+ a2
.
r
r
104
(6.57)
(6.58)
Biorąc równanie (6.52) widzimy, że w granicy ω → 0, z dokładnością do czynnika 2π, równanie
(6.52) przechodzi w równanie dla funkcji Green’a równania Poissona, więc musi zachodzić
2π Ĝ = GPoisson ,
(6.59)
a stąd wynika równanie dla współczynników a1 , a2
a1 + a2 = 1/8π 2 .
(6.60)
Podstawiając Ĝ z równania (6.58) do wyrażenia na funkcję Greena (??), przy wykorzystaniu transformaty Fouriera delty Diraca, otrzymamy
G(r, t) = 2πa1
δ(t − r/υ)
δ(t + r/υ)
+ 2πa2
.
r
r
(6.61)
Część zawierającą δ(t−r/υ) nazywamy opóźnioną (retardowaną), a część z δ(t+r/υ) przedwczesną
(awansowaną).
Biorąc pod uwagę tylko część opóźnioną rozwiązań, z uwzględnieniem (6.60), otrzymamy
1 ³
r´
G(r, t) =
(6.62)
δ t−
,
4πr
υ
i przedstawiamy ogólne rozwiązanie równań na potencjały elektromagnetyczne retardowane w
postaci
A(r, t) = A(x, y, z, t)
=
ϕ(r, t) = ϕ(x, y, z, t)
=
Z
µ
J (x0 , y 0 , z 0 , t − r/υ) 0
dV ,
4π
r
Z
1
ρ (x0 , y 0 , z 0 , t − r/υ) 0
dV ,
4π²
r
(6.63)
podczas gdy biorąc pod uwagę czynnik δ(t + r/v) otrzymalibyśmy potencjały przedwczesne (awansowane)
A(r, t) = A(x, y, z, t)
=
ϕ(r, t) = ϕ(x, y, z, t)
=
Z
µ
J (x0 , y 0 , z 0 , t + r/υ) 0
dV ,
4π
r
Z
1
ρ (x0 , y 0 , z 0 , t + r/υ) 0
dV .
4π²
r
(6.64)
O wyborze potencjałów retardowanych decyduje zasada przyczynowości.
6.3
Promieniowanie dipola Hertza
Dipolem Hertza nazywamy krótki odcinek przewodu prostoliniowego, w którym płynie prąd zmienny
I = I0 exp(iωt).
(6.65)
Długość odcinka wynosi `. Układ współrzędnych kulistych wybieramy w ten sposób, by przewód
leżał na osi 0z, a jego środek w początku układu współrzędnych (p. rys. 6.1). Stosuja̧c wzór
Z
µ
J (x0 , y 0 , z 0 , t − r/υ) 0
A(r, t) = A(x, y, z, t) =
dV ,
(6.66)
4π
r
105
wykonujemy całkowanie tylko wzdłuż osi 0z, gdyż
Jz dV 0
→
Idz,
otrzymując
Z `/2
µ
I0 exp [iω (t − r/υ)]
√
dz,
υ = 1/ ²µ.
4π −`/2
r
Zakładając, że długość przewodu jest mała w porównaniu z odległością r mamy
Az =
Az =
µ`I0
exp [iω (t − r/v)] ,
4πr
(6.67)
(6.68)
czyli wyrażenie na potencjał wektorowy pola wytwarzanego przez znany prąd.
Dla obliczenia wyrażeń na natężenie pola elektrycznego i indukcję magnetyczną wyrazimy potencjał wektorowy we współrzędnych kulistych (sferycznych):
Ar
Aθ
Aφ
µ`I0
µ`I0 −ikr iωt
exp [iω (t − r/v)] cos θ =
e
e cos θ,
4πr
4πr
µ`I0
= −Az sin θ = −
exp [iω (t − r/v)] cos θ
4πr
µ`I0 −ikr iωt
= −
e
e sin θ,
4πr
= 0, k = ω/υ.
=
Az cos θ =
Z definicji B = rotA, wykorzystując wzór na rotację we współrzędnych kulistych,
¯
¯
¯ er
¯
eφ
eθ
¯ r2 sin θ r sin
¯
θ
r
¯
¯
¯
¯
∂
∂
∂
rotA = ¯ ∂r
¯,
∂θ
∂φ
¯
¯
¯
¯
¯ Ar
rAθ r sin θAφ ¯
(6.69)
(6.70)
otrzymamy składowe pola indukcji magnetycznej
Br
= 0,
Bθ
= 0,
·
¸
·
¸
1 ∂
∂
µ`I0 iωt
∂
∂ e−ikr
=
(rAθ ) −
Ar =
e
− e−ikr sin θ −
cos θ
r ∂r
∂θ
4πr
∂r
∂θ r
µ
¶
1
µ`I0
=
exp [iω (t − r/v)] ik +
sin θ.
4πr
r
Bφ
(6.71)
Pole elektryczne obliczamy albo z II–go równania Maxwella rotH = Ḋ, lub z warunku Lorentza:
divA + ²µϕ̇
ϕ
divA
= 0,
Z
1
= −
(divA)dt,
²µ
1
∂
1 ∂ ¡ 2 ¢
1 ∂Aφ
+
(Aθ sin θ) ,
=
r Ar +
2
r ∂r
r sin θ ∂φ
r sin θ ∂θ
r2 Ar
Aθ sin θ
divA
µ`I0 iωt ¡ −ikr ¢
cos θ,
re
e
4πr
µ`I0 iωt e−ikr
= −
e
sin2 θ,
4πr
r
µ`I0
cos θ
= −
exp [iω (t − r/v)] (1 + ikr) 2 ,
4πr
r
(6.72)
=
106
(6.73)
i ostatecznie
Z
(−divA)dt =
1 µ`I0
cos θ
exp [iω (t − r/v)] (1 + ikr) 2 .
iω 4πr
r
(6.74)
Po podstawieniu wielkości zwanej oporem falowym
r
ζ=
µ
,
²
(6.75)
otrzymaliśmy następuja̧ce wyrażenie na potencjał skalarny:
ϕ=
ζ `I0
cos θ
exp [iω (t − r/v)] (1 + ikr) 2 .
ik 4π
r
(6.76)
Pole elektryczne wyraża się poprzez potencjały A, ϕ jako
E = −gradϕ − Ȧ,
więc korzystając z wyrażenia na gradient we współrzędnych kulistych
gradϕ = er
∂
1 ∂
ϕ + eθ
ϕ,
∂r
r ∂θ
(6.77)
otrzymamy dla składowych wektora natężenia pola elektrycznego
Er
Eθ
Eφ
·
¸
`I0
1
i
ζ
−
eiωt e−ikr cos θ,
2π
r2
kr3
·
¸
`I0
ik
1
i
=
ζ
+ 2 − 3 eiωt e−ikr sin θ,
4π
r
r
kr
= 0,
=
(6.78)
i dla składowych wektora indukcji magnetycznej
Br
= 0,
Bθ
= 0,
·
¸
µ`I0 ik
1 iωt −ikr
=
+ 2 e e
sin θ.
4π
r
r
Bφ
(6.79)
Otrzymaliśmy w ten sposób wyrażenia na składowe wektorów pola elektromagnetycznego, wytwarzanego dipol Hertza. Tradycyjnie dyskusjȩ własności tego pola prowadzi siȩ w 2 obszarach:
1. Strefa bliska (indukcji), gdy r ¿ λ, gdzie
λ=
jest długością fali, oraz
2. Strefa daleka (promieniowania), gdy r À λ.
107
2π
,
k
(6.80)
6.4
Strefa bliska (indukcji)
W strefie bliskiej największy wkład do wyrażeń na pole dają przyczynki ∝ 1/r2 i ∝ 1/r3 ,
Er
Eθ
Bφ
λζI`
q`
cos θ = −
cos θ,
2
3
4π r
2π²r3
λζI`
q`
= −i 2 3 sin θ = −
sin θ,
8π r
4π²r3
µI`
=
sin θ,
4πr2
= −i
(6.81)
gdzie wykorzystaliśmy związki
λ
=
λζ
=
2πυ
2π
= √ ,
ω
ω ²µ
r
Z
2π
µ
,
q = I0 eiωt dt.
√
ω ²µ ²
(6.82)
W strefie bliskiej nie występują efekty związane z opóźnieniem.
Dla słabo zmiennych prądów, np. przy częstotliwości f = 50 Hz, λ = v/f = 6 · 106 m, więc
opóźnienie można zaniedbać w dowolnym praktycznie oddaleniu od źródła.
6.5
Strefa daleka (promieniowania)
W radiotechnice i współczesnej telekomunikacji używa się wysokich częstotliwości (czyli fal b. krótkich), na ogół więc jesteśmy w obszarze r À λ. Zostawiając z ogólnych wyrażeń (6.78) przyczynki
proporcjonalne do 1/r, i opuszczając czynnik iexp(iωt) otrzymamy składowe pola elektromagnetycznego w strefie dalekiej (słuszne dla odległości większych niż kilka do kilkunastu długości fal) w
postaci
Eθ
=
Hφ
=
`I0 k −ikr
sin θ
4π ζ r e
`I0 −ikr
sin θ,
2λr e
`I0 −ikr
= ζ 2λr
e
sin θ,
a pozostałe składowe są równe zeru. Otrzymane równania opisują falę bieżącą, która rozchodzi
się promieniowo od anteny nadawczej. Jej składowe: elektryczna i magnetyczna, identyczne co do
kształtu, są do siebie wzajemnie prostopadłe. Moduły ich związane są zależnością:
Eθ = ζHφ .
(6.83)
Charakter falowy pola opisany jest czynnikiem
exp(iωt − ikr).
Wielkość ψ = ωt − kr nazywamy fazą fali. Fala jest strukturą przestrzenno–czasową, okresową w
obu aspektach. Okresowość w czasie otrzymamy, dla ustalonego punktu w przestrzeni:
0
eiωt = eiωt ,
gdy t0 = t + nT,
108
n = 1, 2, . . . ,
T = 2π/ω,
T jest okresem, a f = 1/T = 2πω częstotliwością fali. Wykonując ”fotografię” fali (czyli ustalony
jest czas t) otrzymamy długość fali λ z wzoru
λ = 2π/k.
Można sprawdzić, że powierzchnia stałej fazy ψ= const rozchodzi się w przestrzeni ze stałą prędkością (prędkością fazową)
√
υ = ω/k = 1/ ²µ,
czyli w przypadku próżni
√
v = 1/ ²0 µ0 = c ≈ 3 · 108 m/s,
(6.84)
gdzie c jest zwane prędkością światła. Jest to jeden z argumentów, że światło jest falą elektromagnetyczną.
W strefie promieniowania fala elektromagnetyczna jest falą kulistą, przy czym linie pola magnetycznego przebiegają tu jak równoleżniki na kuli, a linie pola elektrycznego jak południki.
Wektory E, H, P są do siebie prostopadłe, przy czym E, H sa̧ prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali, czyli fala jest poprzeczna. Amplitudy pól zależą od ka̧ta θ: są maksymalne w
płaszczyźnie równikowej i znikają przy biegunach.
W strefie promieniowania fala jest odcięta od swoich źródeł. Pole elektryczne jest wynikiem
nie bliskiej obecności ładunku, lecz wynikiem zmieniającej się składowej magnetycznej tej fali.
Pole magnetyczne fali jest wywołane nie przez właściwy przepływ prądu, lecz przez zmieniające
się pole elektryczne fali. Fala, gdy już powstanie, jest zdolna do przebycia każdej odległości i może
rozchodzić się sama w nieograniczonym czasie, np. w przestrzeni kosmicznej. Ostatnio doniesiono
o zaobserwowaniu galaktyk odległych o 12 miliardów lat świetlnych, tzn. fala świetlna (czyli
elektromagnetyczna) wypromieniowana przez galaktyki wędruje po Kosmosie przez 12 miliardów
lat: być może jej źródła dawno nie istnieją.
109
Rysunek 6.1: Dipol Hertza.
110
Rozdział 7
Równania Maxwella w postaci
relatywistycznie niezmienniczej
Prawa fizyki sa̧ niezmiennicze ze wzglȩdu na transformacjȩ Lorentza, o ile dadza̧ siȩ zapisać przy
pomocy obiektów geometrycznych w czterowymiarowej przestrzeni Minkowskiego
x = (x1 , x2 , x3 , ict) = (x1 , x2 , x3 , x4 ) = xµ ,
µ = 1, 2, 3, 4.
(7.1)
Posługuja̧c siȩ tensorami
-wzbudzenia

f = fµν
tensorem pola
0
Hz
−Hy
−icDx

 −Hz
=

 Hy
0
Hx
−Hx
0
icDx
icDy
icDz
0
Bz
−By
− ci Ex

0


−icDy 
,

−icDz 

 −Bz
F = Fµν = 

 By
0
Bx
−Bx
0
i
c Ex
i
c Ey
i
c Ez
(7.2)


− ci Ey 
,

− ci Ez 
(7.3)
0
∗
tensorem dualnym (do F ) F

∗
0
 i
 c Ez
F =∗ Fµν = 
 i
 − c Ey
−Bx
− ci Ez
i
c Ey
0
− ci Ex
i
c Ex
0
−By
−Bz
Bx


By 
,

Bz 
(7.4)
0
i czterowektorem pra̧du
J = (J0 , icρ) = Jµ ,
111
(7.5)
zapiszemy równania Maxwella w postaci
Divf = J;
lub fµν,ν = Jµ ,
Div∗ F = 0;
lub
∗
Fµν,ν = 0,
(7.6)
O tensorze ∗ F mówimy, że jest dualny do F : jeśli F zapisać można jako 6 − wektor
F = (F23 , F31 , F12 , F14 , F24 , F34 )
i
i
i
i
= (Bx , By , Bz , − Ex , − Ey , − Ez ) = (B, − E),
c
c
c
c
(7.7)
to
∗
i
F = (− E, B);
c
∗
f = (−icD, H).
(7.8)
Wykazaliśmy wiȩc, że równania Maxwella sa̧ współzmiennicze (kowariantne) wzlȩdem transformacji
Lorentza, sa̧ wiȩc słuszne w każdym inercjalnym układzie odniesienia.
Do efektów wynikaja̧cych z transformacji Lorentz’a takich jak dylatacja czasu i kontrakcja
długości, czy relatywistyczne dodawanie prȩdkości, dodać można efekty zwia̧zane z propagacja̧ fal,
jak np. efekt Dopplera.
W wyrażeniu falowym
E = E0 ei(ωt−kr) = E0 eiω(t−
¡
faza ψ = ω t −
nr
c
¢
nr
c )
,
jako skalar jest niezmiennicza wzglȩdem transformacji Lorentza, co zapisać
można jako
·
¸
1
ω t − (nx x + ny y + nz z)
c
!#
"
Ã
t − βc x
1
0 x − βct
0
0
0
.
nx p
=ω p
−
+ ny y + nz z
c
1 − β2
1 − β2
(7.9)
Równość (7.9) zachodzić winna dla każdego x, y, z, t czyli odpowiednie współczynniki po obu
stronach równania winny być równe:
1 − βnx
1 + βn0x
ω = ω0 p
, ω0 = ω p
,
2
1−β
1 − β2
β + n0x
ωnx = ω 0 p
,
1 − β2
ωny = ω 0 n0y , ωnz = ω 0 n0z .
(7.10)
Weźmy pierwsza̧ z równości (7.10) w postaci
p
ω=ω
0
1 − β2
,
1 − βnx
i rozważmy 2 nastȩpuja̧ce przypadki:
1) nx = ±1,
112
(7.11)
2) nx = 0.
W przypadku 1) mamy do czynienia z fala̧ biegna̧a̧ wzdłuż osi x. Z (7.11) wynika, że nastȩpuje
zmiana czȩstości: w układzie spoczywaja̧cym obserwujemy czȩstość ω, podczas gdy czȩstość własna
źródła (mierzona w układzie własnym źródła) wynosi ω 0 . Dla małego β, rozwijaja̧c (7.11) w szereg,
otrzymujemy:
·
¸
¡
¢
β2
β3
0
2 1/2
0
∼
ω =ω 1−β
(1 ± β) = ω 1 ± β −
∓
+ ... ,
2
2
(7.12)
co w najniższym rzȩdzie rozwiniȩcia daje
ω = ω 0 (1 ± β),
które w przedrelatywistycznej fizyce tłumaczyło efekt Dopplera. Efekt Dopplera jest kosekwencja̧
teorii wzglȩdności. Pozwala on wyznaczyć prȩdkość wzglȩdna̧ dwu układów.
Teoria wzglȩdności przewidziała również zachodzenie efektu Dopplera w kierunku prostopadłym
do rozchodzenia siȩ fali. W przypadku 2) mamy
ω = ω0
µ
¶
p
β2
1 − β 2 = ω0 1 −
+ ... ,
2
(7.13)
co nazywamy poprzecznym efektem Dopplera, w odróżnieniu od podłużnego efektu Dopplera (przypadek 1)).
113
114
Rozdział 8
Fale elektromagnetyczne w
ośrodkach nieskończonych
8.1
Fale elektromagnetyczne w dielektrykach
Płaskie fale elektromagnetyczne określone sa̧ przez wektory pola w danej chwili stałe na dowolnie
ustalonej płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia siȩ fali.
Powierzchnie stałej fazy sa̧ dla fali płaskiej prostopadłe do kierunku rozchodzenia siȩ fali.
Falȩ nazywamy monochromatyczna̧, gdy funkcje pola ∼ eiωt dla ustalonej czȩstości ω.
Równania Maxwella dla pola bezźródłowego maja̧ postać
µ
¶ 
∂2 
E
2
∇ − µ² 2 
 
 = 0,
∂t
H
   
E 
E0  i(ωt−kr)


,
 
=
 
e
H
H0
(8.1)
gdzie
√
k = kn = ω ²µn,
√
√
² |E| = µ|H|,
√
√
²n × E = µH,
|E| = ζ|H|,
2π
c
k=
, λ= ,
λ
f
Wielkość
(8.2)
f=
1
.
T
r
µ
,
(8.3)
²
nazywana jest impedancja̧ właściwa̧ ośrodka. W danej chwili t stała faza ψ= const określona jest
ζ=
równaniem
kr = const.
115
(8.4)
Jest to równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora k.
Gȩstość strumienia energii obliczamy korzystaja̧c z definicji wektora Poyntinga
|P| = |E × H| = |E| |H|
1 1
=√
(²E 2 + µH 2 ) = v · w,
²µ 2
(8.5)
wiȩc prȩdkość przenoszenia energii to prȩdkość fazowa, oraz
P = wv.
Fala harmoniczna rozchodzi siȩ w dielektryku jednorodnym bez zmiany amplitudy, tj. bez strat
energii.
8.2
Fale elektromagnetyczne w ośrodkach przewodza̧cych
Zakładamy, że ², µ = const, σ =const6= 0. Równania Maxwella równoważne równaniom dla dielektryków (8.1), (8.2), przy zasta̧pieniu
σ
σ
=²−i ,
iω
ω
k → kω = k − is,
·r
¸
ω 2 ²µ
σ
2
k =
1 + ( )2 + 1 ,
2
²ω
·r
¸
2
ω ²µ
σ
s2 =
1 + ( )2 − 1 ,
2
²ω
²
→
²ω = ² +
(8.6)
tak że dla fali rozchodza̧cej siȩ w dodatnim kierunku z
E = E0 ei(ωt−kω z) = E0 e−sz ei(ωt−kz) ,
H = H0 ei(ωt−kω z) = H0 e−sz ei(ωt−kz) ,
(8.7)
czyli amplituda fali maleje jak e−sz . Fala jest fala̧ tłumiona̧.
Wielkość ∆ = 1/s nazywana jest głȩbokościa̧ wnikania.
Dla dobrych przewodników σ À 1 i w pewnym zakresie czȩstotliwości
σ
À 1.
²ω
Wówczas w przybliżeniu
r
s=
(8.8)
1
ωσµ,
2
(8.9)
i głȩbokość wnikania obliczyć można z wzoru
r
∆=
λ
πσ
r
1
.
ζ
(8.10)
Powyższy wzór stosować można do metali, gdzie przewodnictwo σ jest rzȩdu 107 S/m. Przykładowe
wartości podane sa̧ w Tablicy 8.1
116
Tablica 8.1: Wartości głȩbokości wnikania w zależności od długości fali.
λ
−6
m
3.8·10−9 m
10−2 m
3.8·10−7 m
102 m
3.8·10−5 m
10
8.2.1
∆
Polaryzacja fali płaskiej
Rozważamy falȩ płaska̧
E = E0 ei(ωt−kr) ,
H = H0 ei(ωt−kr) .
(8.11)
Wybieraja̧c kierunek rozchodzenia siȩ dodatnia̧ półoś z, otrzymujemy wektory pola falki w postaci
E = E0 ei(ωt−kz) ,
E = (Ex0 , Ey0 ),
(8.12)
Ex = Ex0 ei(ωt−kz) ,
Ey = Ey0 ei(ωt−kz) ,
gdzie Ex0 , Ey0 sa̧ zespolonymi amplitudami, które przedstawić można w postaci
0
Ex0 = aeiδ ,
Ey0 = beiδ .
W dalszym cia̧gu przyjmiemy, że δ 0 = 0. Wtedy dla czȩści rzeczywistych wyrażeń (8.12) zachodzi
Ex = a cos τ,
τ = kz − ωt,
Ey = b cos(τ + δ) = b cos τ cos δ − b sin τ sin δ,
Ex
Ey
Ex
cos τ =
, →
=
cos δ − sin τ sin δ,
a
b
a
(8.13)
ska̧d po przekształceniach
µ
Ex
a
¶2
µ
+
Ey
b
¶2
−2
Ex Ey
cos δ = sin2 δ.
ab
(8.14)
Obliczaja̧c wyróżnik powyższej formy kwadratowej stwierdzamy, że przedstawia ona elipsȩ na
płaszczyźnie z=const. W trakcie propagacji fali koniec wektora E opisuje elipsȩ- mówimy o polaryzacji eliptycznej (fala spolaryzowana eliptycznie). Gdy δ=0, elipsa degeneruje siȩ do prostej
- fala jest spolaryzowana liniowo. Dla δ = ±π/2 i a = b elipsa staje siȩ okrȩgiem - fala jest
spolaryzowana kołowo. (p. rys. 8.1).
Polaryzacja liniowa wysta̧pi również, gdy np. a=0, b 6= 0 lub odwrotnie. Wektor H:
H = ηn × E,
117
η=
1
,
ζ
Rysunek 8.1: Polaryzacja fali płaskiej w płaszczyźnie xy.
czyli czȩści rzeczywiste składowych dane sa̧ jako
Hx = −ηb cos(τ + δ),
Hy = ηa cos τ,
wiȩc wektor H ⊥ E i opisuje elipsȩ podobna̧ do tej, jaka̧ opisuje E. Osie główne tych elips sa̧
wzajemnie prostopadłe.
8.3
Załamanie i odbicie płaskiej fali elektromagnetycznej na
granicy miȩdzy dwoma dielektrykami
8.3.1
Warunki graniczne dla wektorów falowych
Fala elektromagnetyczna padaja̧ca na granicȩ miȩdzy ośrodkami 1 i 2 czȩściowo odbije siȩ z
powrotem do ośrodka 1, a czȩściowo załamie i przejdzie do ośrodka 2. Zależności miȩdzy amplitudami fal padaja̧cej, odbitej i załamanej, miȩdzy charakteryzuja̧cymi kierunek rozchodzenia
wektorami falowymi i czȩstotliwościami fal przedstawione bȩda̧ w kolejnych podrozdziałach.
Fali padaja̧cej, odbitej, i załamanej przyporza̧dkowujemy odpowiednio wektory pola elektrycznego
(0)
E10 (r, t)
= E10 ei(ω10 t−k10 r) ,
E11 (r, t)
= E11 ei(ω11 t−k11 r) ,
E12 (r, t)
= E12 ei(ω12 t−k12 r) ,
(0)
(8.15)
(0)
gdzie fali padaja̧cej odpowiada indeks 10, fali odbitej 11 (z ośrodka 1 do ośrodka 1), i przechodza̧cej
(załamanej) indeks 12. Analogicznymi wyrażeniami zdefiniowane sa̧ wektory magnetyczne fali, np.
118
Rysunek 8.2: Zależności ka̧towe przy odbiciu i załamaniu fali
wektory natȩżenia pola magnetycznego. Kierunki rozchodzenia siȩ fal zaznaczone sa̧ na rys. 8.2.
Poszukiwane zależności otrzymamy z warunku cia̧głości składowej stycznej pola elektrycznego na
granicy ośrodków:
(0)
(0)
E10t ei(ω10 t−k10 r) + E11t ei(ω11 t−k11 r) = E12t ei(ω12 t−k12 r) .
(8.16)
Pierwsza̧ konsekwencja̧ wynikaja̧ca̧ z warynku cia̧głości jest
Niezmienniczość czȩstości przy odbiciu i załamaniu.
Dla udowodnienia wyodrȩbnimy wyrażenia niezależne od czasu
(0)
E10t e−ik10 r = a,
E11t e−ik11 r = b,
(0)
E12t e−ik12 r = c,
(8.17)
i zapiszemy równanie (8.16) w postaci
aeiω10 t + beiω11 t = ceiω12 t .
(8.18)
Obliczaja̧c pochodna̧ po czasie tego wyrażenia otrzymamy
iω10 aeiω10 t + iω11 beiω11 t = iω12 ceiω12 t .
(8.19)
Po prawej stronie za wyrażenie ceiω12 t podstawiamy lewa̧ stronȩ równości (8.18), otrzymuja̧c równanie
¡
¢
iω10 aeiω10 t + iω11 beiω11 t = iω12 aeiω10 t + beiω11 t ,
(8.20)
które można przedstawić w postaci
ia (ω10 − ω12 ) eiω10 t = ib (ω12 − ω11 ) eiω11 t .
119
(8.21)
Równanie to bȩdzie spełnione dla każdego t gdy wyrażenia w wykładnikach bȩda̧ równe, czyli dla
ω10 = ω11 .
(8.22)
beiω11 t = ceiω12 t − aeiω10 t ,
(8.23)
ω10 = ω12 .
(8.24)
ω11 = ω12 = ω10 ,
(8.25)
Podstawiaja̧c z kolei wyrażenie
do równania (8.19) wykazujemy, że
Ostatecznie otrzymujemy wynik
czyli że czȩstość fali podczas załamania i odbicia nie ulega zmianie.
Nastȩpnie wykażemy, że
Promień padaja̧cy, odbity i załamany leża̧ w jednej płaszczyźnie.
W tym celu wydrȩbniamy w wyrażeniach (8.16) czȩści zależne tylko od czasu a0 , b0 , c0 i otrzymujemy
równanie
a0 e−ik10 r + b0 e−ik11 r = c0 e−ik12 r .
(8.26)
Na obie strony tego równania działamy operatorem
r∇ = x
∂
∂
∂
+y
+z ,
∂x
∂y
∂z
(8.27)
otrzymuja̧c
−ia0 (k10 r)e−ik10 r − ib0 (k11 r)e−ik11 r = −i(k12 r)c0 e−ik12 r .
(8.28)
Podobnie jak w wyprowadzaniu zależności dla ω, podstawiamy za c0 e−ik12 r) lewa̧ stronȩ równania
(8.26), otrzymuja̧c równanie
a0 (k10 r − k12 r) e−ik10 r = b0 (k12 r − k11 r) e−ik11 r ,
(8.29)
które winno być spełnione dla dowolnego wektora r leża̧cego na płaszczyźnie granicznej. Wynika
z tego warunek
k10 r = k11 r.
(8.30)
Podstawiaja̧c z kolei wyliczone z równania (8.26) wyrażenie b0 e−ik11 r) do (8.28) otrzymamy warunek
k10 r = k12 r,
(8.31)
k10 r = k11 r = k12 r.
(8.32)
czyli ostatecznie równość
Równość ta oznacza, że wszystkie wektory k10 , k11 , k12 leża̧ w tej samej płaszczyźnie, która̧ nazywamy płaszczyzna̧ padania. Jest ona prostopadła do płaszczyzny granicznej. Można to wykazać
120
nastȩpuja̧co. Wektor r leży w płaszczyźnie granicznej, poza tym jest dowolny, można wiȩc wybrać
wektor r prostopadły do k10 tak że
k10 r = 0.
(8.33)
k11 r = k12 r = 0,
(8.34)
Jednocześnie musi być spełniony warunek
wiȩc wektory k11 , k12 sa̧ prostopadłe do tego samego wektora, wiȩc leża̧ w tej samej płaszczyźnie.
Promień padaja̧cy, odbity i załamany leża̧ wiȩc w tej samej płaszczyźnie, płaszczyźnie padania.
Zwia̧zek miȩdzy ka̧tami padania, załamania i odbicia- prawo Snelliusa
Wybieramy
układ współrzȩdnych jak na rys. 8.2, z osia̧ y prostopadła̧ do płaszczyzny rysunku. Fala rozchodzi
siȩ w płaszczyźnie xz. W równaniu (8.32) wybieramy wektor r równoległy do osi x, z czego wynika
zwia̧zek
k10 r cos α10 = k11 r cos α11 = k12 r cos α12 .
(8.35)
Moduły wektorów falowych sa̧ równe, z definicji,
k10
=
k12
=
√
ω10 ²1 µ1 = k11 ,
√
ω10 ²2 µ2 ,
(8.36)
gdzie wykorzystaliśmy równość czȩstotliwości (8.25). Z równości (8.35) wyniknie wiȩc
α10 = α11 ,
(8.37)
θ10 = θ11
(8.38)
k10 cos α10 = k12 cos α12 ,
(8.39)
czyli równość ka̧ta padania i ka̧ta odbicia,
oraz
co zapisujemy w postaci zwia̧zku
sin θ10
=
sin θ12
r
²2 µ2
= n12 ,
²1 µ1
(8.40)
gdzie wielkość n12 jest współczynnikiem załamania ośrodka 2 wzglȩdem ośrodka 1. W optyce ośrodkiem 1 jest najczȩściej powietrze, dla którego można przyja̧ć ²1 ≈ ²0 , µ1 ≈ µ0 , wiȩc współczynnik
załamania bȩdzie zdefiniowany jako
n=
v
,
c
(8.41)
gdzie
v=√
1
,
²2 µ2
121
(8.42)
jest prȩdkościa̧ fazowa̧ fali w ośrodku 2.
Ponieważ dla wiȩkszości materiałów µ ≈ µ0 , wiȩc
współczynnik załamania jest w przybliżeniu równy pierwiastkowi z wzglȩdnej funkcji dielektrycznej
n=
c ∼p
= ²r (ω).
v
(8.43)
Ponieważ funkcja dielektryczna zależy od czȩstotliwości, również współczynnik załamania jest
funkcja̧ czȩstotliwości, n = n(ω). Zjawisko to nazywamy dyspersja̧.
8.3.2
Zwia̧zek miȩdzy natȩżeniami fali padaja̧cej, odbitej i załamanej
dla fali padaja̧cej prostopadle do powierzchni granicznej– wzory
Fresnela
Rozważamy falȩ padaja̧ca̧
Ex
Hy
(0)
= E10 ei(ωt−k10 z) ,
Ey = Ez = 0,
r
²1 (0) i(ωt−k10 z)
= ζ1 Ex =
E e
,
Hx = Hz = 0.
µ1 10
(8.44)
Analogicznie dla fali załamanej (przechodza̧cej):
Ex
Hy
(0)
= E12 ei(ωt−k12 z) , Ey = Ez = 0,
r
²2 (0) i(ωt−k12 z)
= ζ2 Ex =
,
Hx = Hz = 0.
E e
µ2 12
(8.45)
Fala odbita porusza siȩ w przeciwnym kierunku:
Ex
Hy
(0)
= E11 ei(ωt+k10 z) ,
Ey = Ez = 0,
r
²1 (0) i(ωt+k10 z)
,
E e
= −ζ1 Ex = −
µ1 11
Hx = Hz = 0.
(8.46)
Przyjmujemy, że dla dielektryków µ1 = µ2 ∼
składowych
= µ0 , i prad
, powierzchniowy =0 (ciagłość
,
stycznych pola H). Z tych warunków i ciagłości
składowych stycznych pól E i H wynikaja̧ zwiazki
,
,
dla amplitud:
(0)
=
(0)
=
E11
E12
1 − n12 (0)
ζ1 − ζ2 (0)
E =
E ,
1 + n12 10
ζ2 + ζ1 10
2ζ2
2
(0)
(0)
E =
E .
ζ2 + ζ1 10
1 + n12 10
(8.47)
Przy założeniu µ1 = µ2 ∼
= µ0 wielkość n12 ≈ ²2 /²1 jest współczynnikiem załamania ośrodka 2
wzgledem
1. Chca̧c obliczyć zwia̧zki miȩdzy energiami fal padaja̧cej, odbitej i załamanej, obliczamy
,
dla nich wektory Poyntinga
P = E × H.
Energia jest wielkościa̧ rzeczywista̧, a w używanym przez nas zapisie wielkości E i H sa̧ zespolone.
Chca̧c obliczyć energiȩ winniśmy wydzielić czȩści rzeczywiste, czyli obliczyć
P̃ = Re E × Re H.
122
Jednocześnie chcemy obliczyć średnia, energie, w czasie jednego okresu, czyli wielkość
Z
1 T
P̃dt.
hP̃i =
T 0
(8.48)
Można sprawdzić, że dla iloczynu dwóch wielkości zależnych harmonicznie od czasu
A(t) = A0 e−iωt ,
B(t) = B0 e−iωt ,
otrzymamy
hReA Re Bi =
1
Re {AB∗ } .
2
(8.49)
Zwia̧zek ten otrzymamy wykorzystuja̧c własność liczb zespolonych
Rez =
co w (8.49) daje
ReA Re B =
1
(z + z ∗ ) ,
2
¢¡
¢
1¡
A0 e−iωt + A∗0 eiωt B0 e−iωt + B∗0 eiωt .
4
(8.50)
W średniowaniu po czasie znikaja̧ wyrażenia proporcjonalne do exp(±2iωt), i otrzymamy
hReA Re Bi =
1
1
(AB∗ + A∗ B) = Re {AB∗ } .
4
2
(8.51)
Ten sam wzór stosuje siȩ dla iloczynu wektorowego, ostatecznie wiȩc średni wektor Poyntinga
obliczamy dla amplitud zespolonych z wzoru
S = hPi =
1
Re {E × H∗ } .
2
(8.52)
Ponieważ wszystkie fale rozchodza̧ siȩ w kierunku z, wektory Poyntinga sa̧ równoległe. Porównuja̧c
moduły ich rzutów na oś z otrzymamy zwia̧zki dla średnich strumieni energii w postaci
r
1 ²1 ¯¯ (0) ¯¯2
S10 =
¯E ¯ ,
2 µ0 10
r
1 ²1 ¯¯ (0) ¯¯2
(1 − n12 )2
S11 =
S10 ,
¯E11 ¯ =
2 µ0
(1 + n12 )2
r
1 ²2 ¯¯ (0) ¯¯2
4n12
S12 =
S10 .
¯E ¯ =
2 µ0 12
(1 + n12 )2
(8.53)
Zwia̧zki (8.53) nazywane sa̧ wzorami Fresnela dla fali padaja̧cej normalnie.
Definiujemy współczynnik odbicia
¯
¯
¯ (0) ¯2
2
¯E11 ¯
S11
(1 − n12 )
R=
=¯
¯2 =
2,
S10
¯ (0) ¯
(1 + n12 )
¯E10 ¯
(8.54)
i współczynnik przejścia (współczynnik przenoszenia (transmisji) mocy)
T =
4n12
S12
=
2.
S10
(1 + n12 )
123
(8.55)
Ze wzglȩdu na prawo zachowania energii
S11 + S12 = S10
→
R + T = 1.
W przypadku odbicia i transmisji fali na granicy dielektryk–przewodnik obowia̧zuja̧ formuły analogiczne do tych dla dwu dielektryków, jeżeli uwzglȩdnić fakt, że funkcja dielektryczna ² przewodnika (a tym samym współczynnik załamania n12 i impedancji ζ) sa̧ liczbami zespolonymi. Zamiast
(8.53) mamy
¯
¯
¯ 1 − n ω ¯2
¯
¯ ,
R=¯
1 + nω ¯
nω =
Dla fal do czȩstotliwości promieniowania widzialnego
σ
²0 ω
√
²ω .
(8.56)
À 1, wiȩc moduł współczynnika załama-
nia jest znacznie wiȩkszy od jedności. Dlatego współczynnik odbicicia r powierzchni metalicznej
jest bliski jedności. Np. dla żółtego pra̧żka sodu r jest równe: 0.95 dla Ag; 0.85 dla Au; 0.83 dla
Al; 0.74 dla Cu itd.
8.4
Wzory Fresnela dla fali padaja̧cej ukośnie
Równania Maxwella zapewniaja̧, że tylko 2 z 6 amplitud pola elektromagnetycznego sa̧ niezależne
w fali płaskiej. Jeżeli obierzemy jako niezależne amplitudy składowe pola elektrycznego fali
padaja̧cej, to przez te amplitudy wyznaczone bȩda̧ wszystkie inne, zarówno w fali padaja̧cej, jak i
odbitej i załamanej.
Rozważamy falȩ padaja̧ca̧ na granicȩ ośrodków 1,2, o kierunku padania leża̧cym w płaszczyźnie
0xz. Wersory w kierunku promieni fal (p. rys. 8.2) dane sa̧ jako
(0)
k10 = (sin θ10 , 0, cos θ10 ) ,
(0)
k11 = (sin θ10 , 0, − cos θ10 ) ,
(0)
k12 = (sin θ12 , 0, cos θ12 ) ,
Niech fala padaja̧ca ma pole elektryczne
E = (Ex , Ey , Ez ).
Wtedy, przy uwzglȩdnieniu (8.57), odpowiadaja̧ce pole magnetyczne ma postać
H = ηn × E,
η = 1/ζ,
ζ=
124
p
µ/²,
(8.57)
gdzie za n podstawimy odpowiedni z wersorów (8.57)
dla fali padaja̧cej
H10x = −η1 E10y cos θ10 ,
H10y = η1 (E10x cos θ10 − E10z sin θ10 ) ,
(8.58)
fala odbita
H11x = −η1 E11y cos θ10 ,
H11y = −η1 (E11x cos θ10 + E11z sin θ10 ) ,
(8.59)
fala załamana
H12x = −η2 E12y cos θ12 ,
H12y = η2 (E12x cos θ12 − E12z sin θ12 ) .
(8.60)
Dla obliczenia amplitud fal załamanej i odbitej wykorzystujemy warunki cia̧głości dla składowych
stycznych pól E i H
E10x + E11x = E12x ,
E10y + E11y = E12y ,
H10x + H11x = H12x ,
H10y + H11y = H12y ,
(8.61)
co po podstawieniu (8.58,8.59,8.60) daje
E10x cos θ10 − E10z sin θ10 − E11x cos θ10 − E11z sin θ10
= (η2 /η1 ) (E12x cos θ12 − E12z sinθ12 ) ,
(8.62)
E10y cos θ10 − E11y cos θ10 = (η2 /η1 )E12y cos θ12 .
Przy uwzglȩdnieniu definicji współczynnika załamania
η2 /η1 ≈
√
√
²2 / ²1 = n12 ,
przepiszemy wzory w postaci
(E10x − E11x ) cos θ10 − (E10z + E11z ) sin θ10
= n12 (E12x cos θ12 − E12z sin θ12 ) ,
(8.63)
(E10y − E11y ) cos θ10 = n12 E12y cos θ12 .
Tradycyjnie wektor elektryczny rozkłada siȩ na 2 składowe: spolaryzowane w płaszczyźnie padania
i prostopadle do niej, Ek , E⊥ :
(10)
E10x = Ek
125
cos θ10 ,
(10)
E10z = −Ek
sin θ10 ,
(10)
E⊥ ,
E10y =
(11)
cos θ10 ,
(11)
sin θ10 ,
E11x = −Ek
E11z = −Ek
(8.64)
(11)
E10y = E⊥ ,
(12)
E12x = Ek
cos θ12 ,
(12)
E12z = −Ek
sin θ12 ,
(12)
E12y = E⊥ .
Rozpatrujemy oddzielnie 2 przypadki:
1) fali spolaryzowanej prostopadle do płaszczyzny padania ( polaryzacja s),
2) fali spolaryzowanej równolegle do płaszczyzny padania ( polaryzacja p).
(10)
W przypadku polaryzacji s zakładamy, że tylko składowa E⊥
fali padaja̧cej jest różna od
zera, wiȩc
(10)
6= 0,
Ek
(11)
6= 0,
Ek
(12)
6= 0,
Ek
E⊥
E⊥
E⊥
(10)
= 0,
(11)
= 0,
(12)
= 0.
(8.65)
Z warunków brzegowych pozostaja̧
³
³
(10)
E⊥
(10)
E⊥
(11)
− E⊥
(11)
+ E⊥
´
´
(12)
cos θ10 = n12 E⊥
(12)
cos θ10 = E⊥
cos θ12 ,
cos θ10 ,
(8.66)
Drugie z równań (8.66) jest wynikiem warunki cia̧głości
E10y + E11y = E12y .
Rozwia̧zuja̧c układ równań (8.66) otrzymujemy
(12)
E⊥
(11)
E⊥
cos θ10 sin θ12
,
sin θ10 cos θ12 + cos θ10 sin θ12
(10) cos θ10 sin θ12 − sin θ10 cos θ12
,
= E⊥
sin θ10 cos θ12 + cos θ10 sin θ12
(10)
= 2E⊥
(8.67)
co po przekształceniach przybiera postać
(11)
E⊥
(12)
E⊥
(10) sin (θ12
− θ10 )
,
sin (θ10 + θ12 )
(10) cos θ10 sin θ12
= 2 E⊥
.
sin (θ10 + θ12 )
= E⊥
126
(8.68)
W fali spolaryzowanej równolegle składowe E⊥ = 0, pozostaja̧ wiȩc z warunków brzegowych tylko
te, które zawieraja̧ składowe x i z:
³
´
(10)
(11)
Ek cos θ10 + Ek cos θ10 cos θ10
³
´
(10)
(12)
+ Ek sin θ10 + Ek sin θ10 sin θ10
³
´
(12)
(12)
= n12 Ek cos2 θ12 + Ek sin2 θ12 ,
(10)
Ek
(11)
cos θ10 − Ek
(12)
cos θ11 = Ek
(8.69)
cos θ12 ,
co sprowadza siȩ do zwia̧zków
(10)
(11)
(12)
Ek + Ek = n12 Ek ,
³
´
(10)
(11)
(11)
Ek − Ek
cos θ10 = E⊥ cos θ12 ,
(8.70)
ska̧d otrzymujemy
(10)
(12)
Ek
=
2Ek
n12 cos θ10 + cos θ12
(10)
=
(11)
Ek
cos θ10
2Ek
cos θ10 sin θ12
sin θ10 cos θ10 + sin θ12 cos θ12
,
(10) sin θ10
cos θ10 − sin θ12 cos θ12
,
sin θ10 cos θ10 + sin θ12 cos θ12
= Ek
(8.71)
(8.72)
gdzie użyta była definicja współczynnika załamania n12 = sin θ10 / sin θ12 . Korzystaja̧c z identyczności
sin(θ + α) cos(θ − α) = sin θ cos θ + sin α cos α
wyrazimy zwia̧zki dla amplitud w postaci
− θ12 ) cos(θ10 + θ12 )
sin(θ10 + θ12 ) cos(θ10 − θ12 )
(10) tan (θ10 − θ12 )
= Ek
,
tan (θ10 + θ12 )
(11)
Ek
(12)
Ek
(10) sin(θ10
= Ek
(10)
= 2 Ek
cos θ10 sin θ12
.
sin (θ10 + θ12 ) cos (θ10 − θ12 )
(8.73)
(8.74)
Wzory powyższe nazywane sa̧ wzorami Fresnela dla fali padaja̧cej ukośnie.
Niektóre wnioski z wzorów Fresnela (8.73), (8.74) :
(11)
E⊥
(12)
E⊥
(11)
Ek
(10) sin (θ12
− θ10 )
,
sin (θ10 + θ12 )
(10) cos θ10 sin θ12
= 2 E⊥
,
sin (θ10 + θ12 )
(10) sin(θ10 − θ12 ) cos(θ10 + θ12 )
= Ek
sin(θ10 + θ12 ) cos(θ10 − θ12 )
= E⊥
127
(8.75)
(10) tan (θ10
= Ek
(12)
Ek
8.4.1
− θ12 )
,
tan (θ10 + θ12 )
(10)
= 2 Ek
cos θ10 sin θ12
.
sin (θ10 + θ12 ) cos (θ10 − θ12 )
Ka̧t Brewstera- polaryzacja przez odbicie
W fali spolaryzowanej liniowo stosunek
|E⊥ |
¯ ¯ = tan α,
¯E k ¯
określa nachylenie wektora elektrycznego do płaszczyzny padania. Ze wzorów Fresnela (8.73),
(8.74), dla fali odbitej mamy
i załamanej
¯
¯
¯ (11) ¯
¯E⊥ ¯
cos(θ10 − θ12 )
¯
¯
¯ (11) ¯ = cos(θ10 + θ12 ) tan α10 ,
¯Ek ¯
(8.76)
¯
¯
¯ (12) ¯
¯E⊥ ¯
¯
¯
¯ (12) ¯ = cos(θ10 − θ12 ) tan α10 ,
¯Ek ¯
(8.77)
¯
¯
¯ (10) ¯
¯E⊥ ¯
¯
¯
¯ (10) ¯ = tan α10
¯Ek ¯
(8.78)
gdzie wzór
definiuje zależności w fali padaja̧cej. Jeżeli dobierzemy ka̧t padania tak, by
tan θ10 = n12 ,
(8.79)
to z definicji n12 = sin θ10 / sin θ12 oraz
sin θ10 / sin θ12 = sin θ10 / cos θ10
czyli sin θ12 = cos θ10 , a sta̧d
θ10 = π/2 − θ12
czyli θ10 + θ12 = π/2
i dla fali odbitej
(11)
¯
¯
¯ (11) ¯ E⊥ cos(π/2)
cot α10 = 0,
¯Ek ¯ =
cos(θ10 − θ12 )
(8.80)
czyli fala odbita bȩdzie spolaryzowana w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny padania.
Istnieje wiȩc możliwość polaryzowania światła liniowo przez odbicie go pod odpowiednim ka̧tem
zdefiniowanym przez (8.79), i zwanym ka̧tem Brewstera . Jest to tzw. polaryzacja przez odbicie
128
8.4.2
Zjawisko odbicia zupełnego
Ośrodek 1 nazywamy optycznie gȩstszym od ośrodka 2, jeśli ²2 < ²1 , czyli n12 =
p
²2 /²1 < 1.
Przy przechodzeniu światła z ośrodka optycznie gȩstszego do rzadszego istnieje taki ka̧t padania
( ka̧t graniczny), dla którego
sin θgr = n12 ,
(8.81)
wiȩc odpowiadaja̧cy mu ka̧t załamania θ12 = π/2. Dla ka̧tów padania wiȩkszych od ka̧ta granicznego:
θgr < θ10 < π/2,
ze zwia̧zku
sin θ10 = n12 sin θ12 ,
zachodzi nierówność
sin θ12 > 1,
która nie może być spełniona dla ka̧ta rzeczywistego. Musi wiȩz zachodzić
θ12 = π/2 + iα
czyli, wykorzystuja̧c wzory
sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y,
cos(x + iy) = cos x cosh y + i sin x sinh y
otrzymamy dla x = π/2:
sin(π/2 + iy) = cosh y ≥ 1,
wiȩc
dla θ10 > θgr ,
θ12 = π/2 + iα,
sin θ10
sin θ12 = cosh α =
,
n12
q
i
cos θ12 = i sinh α =
sin2 θ10 − n212 .
n12
(8.82)
Ponieważ nadal obowia̧zuja̧ wzory Fresnela, otrzymamy dla amplitud fali załamanej i odbitej
sin θ12 − sin θ10 cos θ12
,
sin θ10 cos θ12 + cos θ10 sin θ12
(10) cos θ10 cosh α − i sin θ10 sinh α
= E⊥
,
cos θ10 cosh α + i sin θ10 sinh α
(10)
(10) a − ib
= E⊥ exp(−2iψ1 ),
= E⊥
a + ib
(11)
E⊥
(10) cos θ10
= E⊥
gdzie
sin θ10 sinh α
tan ψ1 =
=
cos θ10 cosh α
129
q
sin2 θ10 − n212
cos θ10
.
(8.83)
Analogicznie dla składowej równoległej
(11)
Ek
(10) sin θ10
= Ek
cos θ10 − sin θ12 cos θ12
,
sin θ10 cos θ10 + sin θ12 cos θ12
(10) a
− ib
(10)
= Ek exp(−2iψ2 ),
a + ib
q
sin θ10 sin2 θ10 − n212
a = sin θ10 cos θ10 , b =
.
n212
= Ek
(8.84)
Wartości bezwzglȩdne amplitud fali padaja̧cej i odbitej sa̧ równe. Średnia w czasie energia fali
padaja̧cej i odbitej jest taka sama- nie ma (średnio) przepływu energii do drugiego ośrodka. Mamy
tzw. zupełne odbicie.
Ponieważ tylko średnie wartości energii fali padaja̧cej i odbitej sa̧ sobie równe, moga̧ wystȩpować
fluktuacje energii w drugim ośrodku. Istnienie fali w drugim ośrodku jest konieczne dla spełnienia
warunków brzegowych. Czynnik fazowy tej fali załamanej jest równy:
h ³
´i
(0)
exp i k12 k12 r − ωt = exp (iτ12 ) ,
gdzie
(0)
sin θ10
(0)
, k12y = 0,
n12
q
i
=
sin2 θ10 − n212 ,
n12
k12x = sin θ12 =
(0)
k12z = cos θ12
exp(iτ12 )
¶
· µ
¶¸
µ
q
x
zω
2
2
sin θ10 − n12 exp iω
sin θ10 − t .
= exp −
v2
v2
(8.85)
(8.86)
Znak pierwiastka we wzorze (8.86) wybrany został jako dodatni, gdyż taki wybór zapewnia znikanie
fali dla z → ∞. Otrzymaliśmy w drugim ośrodku falȩ, która porusza siȩ w kierunku osi x z
prȩdkościa̧ fazowa̧ vx = v/ sin θ10 , a zanika wykładniczo w kierunku z (prostopadłym do kierunku
rozchodzenia). Wektor Poyntinga fali załamanej pulsuje periodycznie. Jego składowa normalna,
uśredniona po czasie, daje zero.
130
Rozdział 9
Fale elektromagnetyczne w
układach prowadza̧cych
9.1
Wstȩp
Poprzednio rozważane były własności fal wysyłanych przez źródła (anteny).
Antena posiada
określona̧ charakterystykȩ kierunkowa̧. Kierunkowość anteny jest jednak wysoce niewystarczja̧ca
by przekazać na dalsza̧ odległość energiȩ od nadajnika do odbiornika. Oprócz tego efekty dyfrakcyjne doprowadziłyby do znacznego osłabienia pola w obszarze odbiornika. Tak wiȩc przesyłamy
energiȩ przy pomocy anteny w takich sytuacjach gdy współczynnik efektywności (stosunek mocy
pobieranej przez odbiornik do mocy wysyłanej przez antenȩ) nie ma wiȩkszego znaczenia w stosunku do innych kryteriów.
Gdy chodzi o przekazanie energii przy dużym współczynniku efektywności, stosuje siȩ linie
przesyłowe (układy prowadza̧ce) utworzone przez układ powierzchni przewodza̧cychfalowod, lub powierzchni dielektrycznych - światłowody.
Dokładniej mówia̧c, nie można skon-
struować linii przesyłaja̧cej energiȩ tylko w jednym kierunku, bez rozpraszania energii w innych.
Jednak w dobrze skonstruowanych liniach rozproszenie energii jest małe i można uważać, że fala
jest przesyłana tylko w 1 kierunku.
9.2
Falowody
Falowodem nazywamy przewodnik w kształcie rury maja̧cej zwykle jednakowy przekrój na całej
długości (p. rys. 9.1). Teoretyczne badanie własności fali elektromagnetycznej wewna̧trz falowodu
sprowadza siȩ do rozwia̧zania równań Maxwella dla obszarów ograniczonych przy warunkach brzegowych na powierzchni przewodników. Zakłada siȩ na ogół, że σ → ∞ (idealne linie przesyłowe).
131
Rysunek 9.1: Schemat falowodu.
Jedynie przy obliczaniu wielkości strat trzeba założyć σ < ∞.
9.2.1
Fale elektromagnetyczne miȩdzy dwoma
równoległymi przewodza̧cymi płaszczyznami
.
Najprostszym modelem falowodu jest układ dwu płaszczyzn przewodza̧cych, umieszczonych
w odległości a (rys. 9.1).
Przestrzeń miȩdzy płaszczyznami wypełniona jest dielektrykiem o
przenikalności ². Z własności pola E wiadomo, że na idealnie przewodza̧cej płaszczyźnie (E)t = 0
(znikanie składowej stycznej). Zakładamy, że fala rozchodzi siȩ w kierunku z, a składowe pól nie
zależa̧ od y. Z równań Maxwella, zakładaja̧c harmoniczna̧ zależność od czasu (∝ exp(iωt)), otrzymamy
∂Ey
∂z
∂Ey
∂x
∂Ex
∂z
∂Hy
∂z
= iωµHx ,
= −iωµHz ,
−
∂Ez
= −iωµHy ,
∂x
= −iω²Ex ,
132
(9.1)
∂Hy
= iω²Ez ,
∂x
∂Hx
∂Hz
−
= iω²Ey ,
∂z
∂x
Powyższe 6 równań rozdzielić można na 2 grupy:
I)
∂Ey
= iωµHx ,
∂z
∂Ey
= −iωµHz ,
∂x
∂Hz
∂Hx
−
= iω²Ey ,
∂z
∂x
(9.2)
∂Hy
= −iω²Ex ,
∂z
∂Hy
= iω²Ez ,
∂x
∂Ex
∂Ez
−
= −iωµHy .
∂z
∂x
(9.3)
II)
Obie grupy równań opisuja̧ 2 typy fal rozchodza̧cych siȩ w falowodach:
I) - fale poprzeczne elektryczne - TE
niewiadome Ey , Hx , Hz ,
II) - fale poprzeczne magnetyczne - TM,
niewiadome Ex , Ez , Hy .
Fale typu TE posiadaja̧ składowe poprzeczne dla pola E, natomiast również składowa̧ Hz . Fale
TM posiadaja̧ składowa̧ Ez .
9.2.2
Fale poprzeczne magnetyczne - TM
Fale TM określone sa̧ układem równań II (9.3):
1 ∂Hy
,
iω² ∂z
1 ∂Hy
,
Ez =
iω² ∂x
Ex = −
(9.4)
co po podstawieniu do 3-go z równań (9.3) da
∂2
∂2
Hy + 2 Hy + k 2 Hy = 0,
2
∂x
∂z
√
k = ω ²µ.
(9.5)
Równanie (9.5) rozwia̧zujemy przy warunku brzegowym na znikanie składowej stycznej E:
∂Hy
Ez = (1/iω²)
=0
∂x
133
(
gdy x = 0,
gdy x = a.
(9.6)
Równanie (9.5) rozwia̧zujemy metoda̧ rozdzielenia zmiennych:
Hy = X(x)Z(z)
otrzymuja̧c:
Z 00
X 00
+
+ k 2 = 0.
X
Z
(9.7)
Funkcje X, Z spełniaja̧ równania
d2 X
+ kc2 X = 0,
dx2
d2 Z
− γ 2 Z = 0,
dz 2
(9.8)
gdzie stałe kc , γ dobrane sa̧ tak, by
k 2 = kc2 − γ 2 .
Rozwia̧zań układu równań (9.8) poszukujemy w postaci
X(x) = A1 sin kc x + B1 cos kc x,
Z(z) = Ce−γz + Deγz ,
(9.9)
wiȩc dla pola Hy
Hy = X(x)Z(z) =
¡
¢
= (A1 sin kc x + B1 cos kc x) Ce−γz + Deγz .
(9.10)
Stała̧ kc wyznaczamy z warunku brzegowego (9.32):
kc (A1 cos kc x − B1 sin kc x) = 0
dla x = 0, a.
(9.11)
Warunek (9.11) spełniony jest w szczególności dla kc = 0,
wtedy γ = ik i otrzymujemy składowe wektorów pola:
Ez = 0,
¤
k £ −ikz
Ex =
Ae
− Beikz
ω²
£
¤
= ζ Ae−ikz − Beikz ,
(9.12)
Hy = Ae−ikz + Beikz .
Dla kc = 0 otrzymaliśmy rozwia̧zanie w postaci 2 fal biegna̧cych w przeciwnych kierunkach. Jeśli
założyć, że źródło fali znajduje siȩ w z = −∞ to istnieć bȩdzie tylko fala biegna̧ca w kierunku +z,
134
tzn. o czynniku fazowym exp(−ikz + iωt). Opuszczja̧c czynnik exp iωt mamy:
Ex = A0 exp(−ikz),
Ez = 0,
(9.13)
Hy = (A0 /ζ) exp(−ikz).
Dla kc = 0 rozwia̧zanie jest poprzeczna̧ fala̧ elektromagnetyczna̧ (EM), o prȩdkości fazowej
√
vψ = ω/k = 1/ ²µ.
Definiujemy wielkość oporu charakterystycznego układu jako stosunek składowej E stycznej do
płaszczyzny przekroju poprzecznego układu, do prostopadłej do niej składowej H, stycznej do tej
samej płaszczyzny:
Zc =
Ex
=ζ=
Hy
r
µ
.
²
Poprzeczna fala EM zwana jest fala̧ podstawowa̧, jako najprostsza fala, która może istnieć w
opisywanym układzie. Fale podstawowe moga̧ być wzbudzane w innych układach, analogicznych
do dwóch przewodza̧cych płaszczyzn (linia 2 przewodowa, linia koaksjalna). W tym układzie fala
podstawowa może istnieć przy dowolnej czȩstotliwości nadajnika, i rozchodzi siȩ z prȩdkościa̧, która
zależy tylko od parametrów ośrodka.
Weźmy w warunku (9.11) A1 = 0. Wtedy
nπ
, n = 0, 1, 2, . . . ,
sin kc a = 0 ⇒ kc =
a
r³ ´
nπ 2
γ = γn =
− k2 ,
a
¡
¢
nπ
Hy = A−γn z + Beγn z cos
x.
a
(9.14)
Podobnie jak dla fali podstawowej rozpatrujemy przypadek fal biegna̧cych w kierunku +z. Wtedy
stała B=0, i pole ma składowe
nπ
Hy = An e−γn z cos
x,
a
γn
nπ
Ex =
An e−γn z cos
x,
iω²
a
1
nπ
nπ
Ez = −
An e−γn z sin
x,
iω²
a
a
(9.15)
n = 0, 1, 2, . . . .
W przestrzeni miȩdzy dwoma płaszczyznami przewodza̧cymi może istnieć nieskończona ilość fal
TM. Wartości n = 0 odpowiada fala podstawowa. Pole TM ma charakter falowy, jeśli spełniony
jest warunek k > nπ/a, wtedy
r³
nπ ´2
− k 2 = iβn ,
a
r
³ nπ ´2
.
βn = k 2 −
a
γn =
135
(9.16)
√
Dla k < 2πf ²µ < nπ/a liczby γn sa̧ rzeczywiste, pole jest tłumione z czynnikiem exp(−γn z.
Wielkości
nπ
nv
,
√ =
2a ²µ
2a
2a
v
=
, n = 0, 1, 2, ...
=
fgr
n
fgr =
λgr
(9.17)
nazywamy odpowiednio czȩstotliwościa̧ graniczna̧ i długościa̧ fali graniczna̧. Zwia̧zki (9.16)
zapisane przy użyciu wielkości granicznych maja̧ postać
s
γn = ik
µ
1−
s
µ
fgr
f
¶2
¶2
= iβn
λ
,
λgr
s
s
µ ¶2
µ
¶2
fgr
λ
βn = k 1 −
=k 1−
.
f
λgr
= ik
1−
(9.18)
Dana fala T Mn (En ) (ustalone a, f, n) rozprzestrzeniać siȩ bȩdzie wzdłuż linii tylko wtedy, gdy
(n)
f > fgr , lub gdy fala jest krótsza od odpowiedniej długości granicznej. Np. warunki rozchodzenia
siȩ fali T M1 to:
(1)
=
fgr
v
,
2a
(1)
,
f > fgr
lub gdy λ < 2a. Przenoszenie energii wzdłuż falowodu zwia̧zane jest tylko z falami niezanikaja̧cymi.
Średni rzut wektora Poyntinga na oś z
1
(Pz )śr = Re (E × H∗ )ez
2
hγ
∗
1
nπ i
n
= Re
An A∗n e−z(γn +γn ) cos2
x .
2
iω²
a
(9.19)
Jeśli γn jest czysto urojone (fala niezanikaja̧ca), to
(Pz )śr =
1 βn
nπ
2
|An | cos2
x 6= 0
2 ω²
a
dla 0 ≤ x ≤ a,
(9.20)
podczas gdy (Pz )śr = 0 dla γn rzeczywistych. Prȩdkość fazowa
v
³
vψ = r
1−
fgr
f
v
=q
1−
( λλgr )2
´2
v
¡ nλ ¢2 > v,
1 − 2a
=q
czyli jest wiȩksza od prȩdkości rozchodzenia siȩ fali swobodnej.
136
(9.21)
9.2.3
Fale poprzeczne elektryczne- TE
Fale TE opisane sa̧ równaniami grupy I (9.2)
∂Ey
= iωµHx ,
∂z
∂Ey
= −iωµHz ,
∂x
∂Hx
∂Hz
−
= iω²Ey ,
∂z
∂x
(9.22)
sta̧d
1 ∂Ey
,
iωµ ∂z
1 ∂Ey
Hz = −
,
iωµ ∂x
Hx =
(9.23)
co po podstawieniu do 3-go z równań (9.22) daje
∂ 2 Ey
∂ 2 Ey
+
+ k 2 Ey = 0.
∂x2
∂z 2
(9.24)
Analogicznie jak dla fal TM, poszukujemy rozwia̧zania metoda̧ rozdzielenia zmiennych otrzymuja̧c
¡
¢
Ey = (A1 sin kc x + B1 cos kc x) Ce−γz + D eγz ,
(9.25)
γ 2 = kc2 − k 2 .
W analogii do fal TM zaża̧damy, by D = 0 (fale w kierunku +z):
Ey = (A1 sin kc x + B1 cos kc x) e−γz .
(9.26)
Po spełnieniu warunku brzegowego
(
Ey = 0
gdy x = 0,
(9.27)
gdy x = a,
dla B = 0, otrzymamy
nπ
sin kc a = 0 ⇒ kc =
,
a
r³ ´
nπ 2
γ = γn =
− k2 ,
a
(9.28)
i składowe pola fali TE w postaci
nπ
Ey = An e−γn z sin
x,
a
γn
nπ
Hx = −
An e−γn z sin
x,
iωµ
a
1 nπ
nπ
Hz = −
An e−γn z cos
x,
iωµ a
a
Podobnie jak dla fal TM, pole ma charakter falowy gdy
r
³ nπ ´2
γn = iβn = i k 2 −
,
a
137
(9.29)
n = 1, 2, . . . .
czyli dla k > nπ/a. Czȩstotliwość graniczna i graniczna długoś fali zdefiniowane sa̧, jak dla fali
TM, wzorami (9.49). Zauważmy, że w odróżnieniu od fal TM, nie istnieje fala TE dla n = 0.
Podsumowanie:
1. W przestrzeni miȩdzy dwoma równoległymi przewodza̧cymi płaszczyznami może istnieć
nieskończona ilość fal poprzecznych elektrycznych i poprzecznych magnetycznych.
2. Z tych fal wzdłuż linii o szerokości a, przy zadanej czȩstotliwości f rozchodzić siȩ bez
tłumienia moga̧ tylko te fale, których czȩstotliwości krytyczne sa̧ mniejsze od f .
3. Czȩstotliwość krytyczna określona jest przez odległość a miȩdzy płaszczyznami i parametrami ², µ wypełniaja̧cego ośrodka.
4. Wyja̧tek stanowi fala podstawowa TEM której czȩstotliwość krytyczna =0.
5. Prȩdkość fazowa wszystkich typów fal, oprócz fali podstawowej, zależy od czȩstotliwości
v
vψ = q
1 − (fgr /f )
2
> v,
dla fali TEM vψ = v.
6. Długość fali w przestrzeni miȩdzy płaszczyznami
λ0 =
vψ
=q
f
λ
1 − (λ/λgr )
7. Stała propagacji fali
q
γn = ik
9.3
2
.
(9.30)
2
1 − (fgr /f ) .
Falowody prostoka̧tne
Falowody sa̧ podstawowym układem do przesyłania fal o dużych czȩstotliwościach ( f ≥ 3 · 109 Hz=
300 MHz). Zwykle falowód przedstawia metaliczna̧ rurȩ o przekroju prostoka̧tnym (p. rys. 9.2)
lub okra̧głym, wypełniona̧ powietrzem. Czȩsto falowody pokryte sa̧ od wewna̧trz srebrem.
Własności fal elektromagnetycznych w falowodzie otrzymamy rozwia̧zuja̧c równania Maxwella
dla pól harmonicznych
∇ × E = −iωµH,
∇ × H = iω²E,
(9.31)
przy warunku brzegowym na znikanie składowej stycznej E:
(
(E)t = 0
gdy x = 0, a,
gdy y = 0, b.
138
(9.32)
Rysunek 9.2: Schemat falowodu prostoka̧tnego.
Poszukujemy rozwia̧zań w postaci fali bieża̧cej
∝
exp(iωt − γz),
gdzie stała γ jest stała̧ separacji. Z równań Maxwella otrzymamy
a)
b)
c)
d)
e)
f)
∂Hz
+ γHy = iω²Ex ,
∂y
∂Hz
− γHx −
= iω²Ey ,
∂x
∂Hy
∂Hx
−
= iω²Ez ,
∂x
∂y
∂Ez
+ γEy = −iωµHx ,
∂y
∂Ez
− γEx −
= −iωµHy ,
∂x
∂Ey
∂Ex
−
= −iωµHz .
∂x
∂y
(9.33)
Z powyższych równań, podstawiaja̧c Hx , Hy z (9.33 d,e) do (9.33 a,b) oraz Ex , Ey z (9.33 a,b) do
równań (9.33 d,e) otrzymamy Ex , Ey , Hx , Hy jako funkcje Ez , Hz :
µ
¶
1
∂Ez
∂Hz
Ex = − 2 γ
+ iωµ
,
kc
∂x
∂y
µ
¶
1
∂Ez
∂Hz
Ey = 2 −γ
+ iωµ
,
kc
∂y
∂x
µ
¶
∂Ez
∂Hz
1
−γ
,
Hx = 2 iω²
kc
∂y
∂x
µ
¶
1
∂Ez
∂Hz
Hy = − 2 iω²
+γ
,
kc
∂x
∂y
(9.34)
gdzie, jak poprzednio, kc2 = γ 2 + k 2 . Otrzymaliśmy składowe pola jako funkcje Ez , Hz . Podstaw-
139
iaja̧c z powyższych równań Ex , Ey do (9.33 f) i Hx , Hy do (9.33 c) otrzymamy równania
∂ 2 Hz
∂ 2 Hz
+
+ kc2 Hz = 0,
2
∂x
∂y 2
∂ 2 Ez
∂ 2 Ez
+
+ kc2 Ez = 0.
2
∂x
∂y 2
(9.35)
Z równań (9.35) widać, że pole elektromagnetyczne w falowodzie prostoka̧tnym jest suma̧ 2 pól o
składowych:
I. Fale TE
iωµ ∂Hz
,
kc2 ∂y
iωµ ∂Hz
Ey = 2
,
kc ∂x
Ez = 0,
γ ∂Hz
,
kc2 ∂x
γ ∂Hz
Hy = − 2
,
kc ∂y
Hz 6= 0.
Hx = −
Ex = −
(9.36)
II. Fale TM
γ ∂Ez
,
kc2 ∂x
γ ∂Ez
Ey = − 2
,
kc ∂y
Ez 6= 0,
Ex = −
iω² ∂Ez
,
kc2 ∂y
iω² ∂Ez
Hy = − 2
,
kc ∂x
Hz = 0.
Hx = −
(9.37)
Obie grupy równań opisuja̧ 2 typy fal rozchodza̧cych siȩ w falowodach: I) - fale poprzeczne
elektryczne - TE (Ez = 0),
II) - fale poprzeczne magnetyczne - TM (Hz = 0).
9.3.1
Fale poprzeczne elektryczne TE
Fale TE określone sa̧ układem równań I (9.36). Do wyznaczenia pola wystarcza znajomość składowej Hz , która spełnia równanie
∂Hz
∂ 2 Hz
+
+ kc2 Hz = 0,
2
∂x
∂y 2
(9.38)
przy spełnieniu warunków brzegowych (E)t = 0, czyli
Ex = 0
gdy y = 0,
y = b,
Ey = 0
gdy x = 0,
x = a,
dla y = 0,
y = b,
dla x = 0,
x = a.
(9.39)
co po podstawieniu do równań (9.36) daje
∂Hz
=0
∂y
∂Hz
=0
∂x
140
(9.40)
Równanie (9.38) rozwia̧zujemy metoda̧ rozdzielenia zmiennych:
Hz = X(x)Y (y) exp(−γz),
otrzymuja̧c:
X 00
Y 00
+
+ kc2 = 0.
X
Y
(9.41)
Funkcje X, Y spełniaja̧ równania
d2 X
+ p2 X = 0,
dx2
d2 Y
+ `2 Y = 0,
dy 2
(9.42)
gdzie stałe p, ` dobrane sa̧ tak, by
p2 + `2 = kc2 .
Rozwia̧zań układu równań (9.42), podobie jak dla przykładu pola miȩdzy płaszczyznami przewodza̧cymi, poszukujemy w postaci
X(x) = A1 cos kc x + B1 sin kc x,
Y (y) = A2 cos `y + B2 sin `y,
(9.43)
Hz = (A1 cos kc x + B1 sin kc x) (A2 cos `y + B2 sin `y) e−γz ,
γ 2 = p2 + `2 − k 2 .
Stałe p, ` wyznaczymy z warunków brzegowych (9.40), otrzymuja̧c
B2 = 0,
` = nπ/b,
B1 = 0,
p = mπ/a,
n = 0, 1, 2, 3, . . .
m = 0, 1, 2, . . . ,
(9.44)
czyli dla pola Hz
nπ
mπ
x cos
y exp(−γmn z),
Hz = Amn cos
a
b
³ mπ ´2 ³ nπ ´2
kc2 =
+
,
a
b
p
γ = γmn = kc2 − k 2
r³
mπ ´2 ³ nπ ´2
=
+
− k2 .
a
b
(9.45)
Ostatecznie dla wektorów pola fali TEmn otrzymamy
mπ
nπ
iωµ nπ
Amn e−γmn z cos
x sin
y,
2
kc b
a
b
iωµ mπ
mπ
nπ
Ey = − 2
Amn e−γmn z sin
x cos
y,
kc a
a
b
Ez = 0,
Ex =
141
(9.46)
γmn mπ
mπ
nπ
Amn e−γmn z sin
x cos
y,
kc2 a
a
b
γmn nπ
mπ
nπ
Hy = 2
Amn e−γmn z cos
x sin
y,
kc b
a
b
nπ
mπ
x cos
y.
Hz = Amn e−γmn z cos
a
b
Hx =
W falowodzie prostoka̧tnym może istnieć nieskończona ilość fal poprzecznych elektrycznych (”modów”)
indeksowanych liczbami całkowitymi m, n: moga̧ być dowolne pod warunkiem że jednocześnie nie
równe 0.
W przekroju poprzecznym fala jest fala̧ stoja̧ca̧ : m jest liczba̧ półfal układaja̧cych siȩ na osi
x (0 ≤ x ≤ a), a n - na osi y (0 ≤ y ≤ b).
Fale rozchodzić siȩ w kierunku z, jeśli stała propagacji
r
³ mπ ´2 ³ nπ ´2
γn = iβmn = i k 2 −
−
,
a
b
(9.47)
bȩdzie liczba̧ czysto urojona̧, tj. gdy
k2 −
³ mπ ´2
a
−
³ nπ ´2
b
> 0.
(9.48)
W przypadku przeciwnym pole bȩdzie tłumione.
Podobnie jak dla dwu płaszczyzn przewodza̧cych, istnieje czȩstotliwość graniczna i graniczna
długość fali. Fala TEmn bȩdzie siȩ rozchodzić dla f > fgr , gdzie
fgr
λgr
9.3.2
r³
mπ ´2 ³ nπ ´2
+
, m, n = 0, 1, 2, . . . ,
a
b
r³
mπ ´2 ³ nπ ´2
= 2/
+
.
a
b
v
=
2
(9.49)
Fale poprzeczne magnetyczne TM
Fale TM opisane sa̧ równaniami grupy II (9.37)
γ ∂Ez
iω² ∂Ez
; Hx = − 2
,
kc2 ∂x
kc ∂y
γ ∂Ez
iω² ∂Ez
Ey = − 2
; Hy = − 2
,
kc ∂y
kc ∂x
Ez 6= 0 ;
Hz = 0,
Ex = −
(9.50)
z warunkami brzegowymi
Ez = 0
dla x = 0,
x = a,
Ez = 0
dla y = 0,
x = b.
(9.51)
Pole Ez spełnia równanie (9.35)
∂ 2 Ez
∂ 2 Ez
+
+ kc2 Ez = 0.
∂x2
∂y 2
142
(9.52)
Poszukuja̧c, jak w przypadku fal TE, rozwia̧zania w postaci
Ez = X(x)Y (y) exp(−γz),
otrzymamy
X(x) = A1 cos px + B1 sin px,
Y (y) = A2 cos `y + B2 sin `y,
(9.53)
Ez = (A1 cos px + B1 sin px) (A2 cos `y + B2 sin `y) e−γz ,
p2 + `2 = kc2 ,
γ 2 = p2 + `2 − k 2 .
Stałe p, ` wyznaczymy z warunków brzegowych (9.51), otrzymuja̧c
A1 = 0,
sin pa = 0
⇒
p = mπ/a,
A2 = 0,
sin `b = 0
⇒
` = nπ/b,
m = 0, 1, 2, 3, . . . ,
n = 0, 1, 2, 3, . . . .
(9.54)
Ostatecznie dla wektorów pola fali TMmn otrzymamy
γmn mπ
mπ
nπ
Bmn e−γmn z cos
x sin
y,
2
kc a
a
b
γmn nπ
mπ
nπ
Ey = − 2
Bmn e−γmn z sin
x cos
y,
kc b
a
b
mπ
nπ
Ez = Bmn e−γmn z sin
x sin
,
a
b
iω² nπ
mπ
nπ
Hx = 2
Bmn e−γmn z sin
x cos
y,
kc b
a
b
iω² mπ
mπ
nπ
Hy = − 2
Bmn e−γmn z cos
x sin
y,
kc a
a
b
Hz = 0,
³ mπ ´2 ³ nπ ´2
kc2 =
+
,
a
b
r³
p
mπ ´2 ³ nπ ´2
2
2
γ = γmn = kc − k =
+
− k2 .
a
b
Ex = −
(9.55)
W falowodzie prostoka̧tnym może istnieć nieskończona ilość fal poprzecznych magnetycznych (”modów”)
indeksowanych liczbami całkowitymi m, n: moga̧ być dowolne pod warunkiem że m, n 6= 0, nie ma
wiȩc fal TM00 , TMm0 , TM0n , m, n = 1, 2, . . .. Najprostsza̧ fala̧ TM jest fala TM11 , podczas gdy
dla fal TE najprostsza̧ jest TE10 .
9.3.3
Fala typu TE10 w falowodzie prostoka̧tnym (m=1, n=0)
Pole fali TE10 określone jest wzorami (9.46), które dla m = 1 i n = 0 przybieraja̧ postać
a
π
Ey = −iωµ A10 sin x · e−iβ10 z ,
π
a
143
Ex = Ez = Hy = 0,
π
Hx = A10 cos · e−iβ10 z ,
a
p
2
β10 = k − (π/a)2 ,
fgr = v/2a,
(9.56)
λgr = 2a.
Długość fali graniczna λgr nie zależy od drugiego z wymiarów (b) i ma wartość wiȩksza̧, niż dla
innych typów fal , p. wz. (9.49), a przesyłać można fale o długości λ < λgr . Sta̧d fala TE10 jest
użyteczna w zastosowaniach. Ponieważ własności fali nie zależa̧ od b, można je uczynić bardzo
małym.
9.4
Światłowody
Telekomunikacja światłowodowa jest szybko rozwijaja̧ca̧ siȩ dziedzina̧ techniki. Stosowanie światła
jako nośnika informacji ma długa̧ historiȩ. Pierwowzorem była sygnalizacja optyczna. Z powodu
właściwości atmosfery- ma ograniczony zasiȩg i gotowość czasowa̧. Za to ma duże zalety np. w
Kosmosie. Na Ziemi korzystamy z
falowodowych właściwości włókien szklanych - światłowodów (ang. optical waves guides).
Istotny przełom w technice optycznej nasta̧pił na pocza̧tku lat 60-tych, z rozwojem techniki laserowej. Powstanie lasera pobudziło badania możliwości wykorzystania zakresu optycznego
czȩstotliwości do celów transmisji, jako naturalnego rozszerzenia zakresu radiowego i mikrofalowego.
Laser jest obecnie powszechnie dostȩpnym źródłem promieniowania spójnego o czȩstotliwości
nośnej rzȩdu 1015 Hz. Tylko 0.1 % szerokości pasma wokół czȩstotliwości nośnej odpowiada szerokości pasma sygnału rzȩdu 1000 GHz, co umożliwia uzyskanie nieosia̧galnej dotychczas przepustowości systemu transmisyjnego (dla mikrofali o dł. 1 cm - czȩstotliwości nośna jest rzȩdu 3·1010
Hz).
W dalszym cia̧gu opierać siȩ bȩdziemy na monografii Midwintera [26], bardziej współczesne
ujȩcie p. monografia Szustakowskiego [27]. Typowa konstrukcja światłowodu to jednomodowa
linia transmisyjna o kołowym rdzeniu wykonanym ze szkła i otaczaja̧cym go płaszczu ze szkła o
współczynniku załamania mniejszym niż rdzenia, dla zapewnienia warunków propagacji modu
(p. rys. 9.3), lub struktury o geometrii płaskiej (rys. 9.4).
Podstawowa różnica miȩdzy światłowodami i falowodami radiowymi: falowody radiowe to rury
ograniczone ściankami z doskonałego przewodnika, najczȩściej wypełnione gazem. Pole elektromagnetyczne na zewna̧trz ścianki jest równe 0.
W światłowodach wykorzystuje siȩ zjawisko całkowitego wewnȩtrznego odbicia na granicy
miȩdzy dwoma dielektrykami. Pole elektromagnetyczne wewna̧trz drugiego dielektryka istnieje
i ma charakter zanikaja̧cy (średnia energia = 0). Dlatego istotna̧ rolȩ odgrywa płaszcz zewnȩtrzny.
Warstwa płaszcza musi być odpowiednio gruba, aby pole na zewna̧trz światłowodu nie istniało.
144
Rysunek 9.3: Schemat światłowodu
Rysunek 9.4: Światłowód płaski
W analogii do falowodów rozpatrywać bȩdziemy propagacjȩ fal typu TE i TM.
Zaczniemy od fal TE propaguja̧cych wewna̧trz światłowodu płaskiego przedstawionego schematycznie na rys. 9.5. Fala padaja̧ca na płaszczyznȩ graniczna̧ x = d daje pocza̧tek fali odbitej, która
ulega powtórnemu odbiciu od drugiej płaszczyzny granicznej przy x = −d. Zakładamy spełnienie
warunków całkowitego wewnȩtrznego odbicia na obu płaszczyznach granicznych, a wiȩc n1 > n2
i n1 > n3 . W rezultacie fala jest prowadzona wzdłuż struktury, tworza̧c trajektoriȩ w kształcie
zygzaku. Z rysunku wynika ważna cecha charakterystyczna propagacji w światłowodzie płaskim.
Zmiana fazy fali, po dwukrotnym przejściu przez światłowód i dwukrotnym odbiciu, musi być
równa całkowitej wielokrotności 2π radianów.
Wyniknie z tego dodatkowy warunek prowadzenia fali: rozwia̧zania dla pól istnieja̧ dla określonych
wartości stałej kz .
Dla fali TE istnieja̧ składowe Ey i Hx , Hz . Przyjmujemy nastȩpuja̧ce oznaczenia:
Fale padaja̧ce na płaszczyznȩ graniczna̧
x=d
A exp [−i (k1x x + kz z − ωt)] ,
C exp (−γ2 x) exp[i (ωt − kz z) .
145
(9.57)
Rysunek 9.5: Rozkład fal rozchodza̧cych siȩ w światłowodzie płaskim
Fale padaja̧ce na płaszczyznȩ graniczna̧ x = −d
B exp [i (k1x x − kz z + ωt)] ,
D exp (γ3 x) exp[−i (ωt − kz z) ,
(9.58)
gdzie
2
= n21 k02 − kz2 = −γ12 ,
k1x
2
k2x
= n22 k02 − kz2 = −γ22 ,
n21 k02 = ω 2 ²r1 ²0 µr1 µ0 ,
(9.59)
n22 k02 = ω 2 ²r2 ²0 µr2 µ0 ,
tan θ1 = k1x /kz ,
tan θ2 = k2x /kz .
Z warunków cia̧głości dla składowych Ey i Hz na płaszczyznach x=d i x=-d otrzymamy wyrażenia
A0 exp(−ik1x d) + B0 exp(ik1x d) = C0 exp(−γ2 d),
−k1x A0 exp(−ik1x d) + k1x B0 exp(ik1x d) = iγ2 C0 exp (−γ2 d) ,
A0 exp (ik1x d) + B0 exp (−ik1x d) = D0 exp (γ3 d) ,
(9.60)
−k1x A0 exp (ik1x d) + k1x B0 exp(−ik1x d) = −iγ3 D0 exp(γ3 d).
Podany układ równań na 4 niewaiadome A0 , B0 , C0 , D0 ma rozwia̧zanie wtedy i tylko wtedy, gdy
146
wyznacznik główny układu jest równy zeru:
¯
¯
¯
exp(−ik1x d)
exp(ik1x d)
exp(−γ2 d)
0
¯
¯
¯ −k1x exp(−ik1x d) k1x exp(−ik1x d) iγ2 exp(−γ2 d)
0
¯
¯
¯
exp(ik1x d)
exp(−ik1x d)
0
exp(γ3 d)
¯
¯
¯ −k1x exp(ik1x d) k1x exp(−ik1x d)
0
−iγ3 exp(γ3 d)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ = 0.
¯
¯
¯
¯
¯
(9.61)
Rozwia̧zuja̧c powyższe równanie otrzymujemy
tan(2k1x d) =
γ2 /k1x + γ3 /k1x
.
1 − (γ2 /k1x )(γ3 /k1x )
(9.62)
Stosuja̧c wzór na tangens sumy otrzymamy
2k1x d ± nπ = arctan(γ2 /k1x ) + arctan(γ3 /k1x ).
(9.63)
Wyrażenia
tan ψE = γ2 /k1x , γ3 /k2x
reprezentuja̧ zmiany fazy, jakie zachodza̧ na płaszczyznach granicznych w warunkach całkowitego
odbicia. Równanie (9.63) reprezentuje przewidziany poprzednio warunek fazowy dla działania
światłowodu, gdyż 2k1x d to zmiana fazy przy jednokrotnym przejściu przez przekrój poprzeczny
światłowodu.
Dla tzw. symetrycznego światłowodu płaskiego, kiedy n2 = n3 otrzymamy z (9.63):
k1x d ± nπ = arctan(γ2 /k1x ),
(9.64)
γ2 = ik2x = in2 k0 sin α2 ,
n2 /n1 = cos α1 / cos α2 ,
q
p
2
sin α2 = ± 1 − cos2 α2 = ± 1 − (n1 /n2 ) cos2 α1 ,
s
n22 − n21 cos2 α1
,
k2x = ±n2 k0
n22
ostatecznie wiȩc
s
γ2
=
k1x
n21 sin2 θ − n22
,
n21 cos2 θ
(9.65)
gdyż
cos α = sin θ,
θ1 =: θ,
k1x = n1 k0 cos θ1 = n1 k0 cos θ.
Równanie (9.64) jest tzw.
równaniem na wartości własne światłowodu.
Dla np.
zadanych
wartości d, n1 , n2 , n3 wyznacza ono dopuszczalne wartości ka̧ta θ dla n=0,1,2,.... Równanie (9.64),
przepisane w postaci
³
nπ ´
γ2
tan k1x d −
=
,
2
k1x
s
³
nπ ´
n21 sin2 θ − n22
tan n1 k0 d cos θ −
=
,
2
n21 cos2 θ
147
(9.66)
zilustrowane jest graficznie na rys. 9.6. Z wykresów widać, że dla skończonej grubości warstwy
prowadza̧cej d istnieje skończona liczba rozwia̧zań. Stanowi odciȩcia w światłowodzie płaskim
odpowiada fala padaja̧ca pod ka̧tem granicznym na jedna̧ lub dwie płaszczyzny graniczne, gdyż
wtedy γ2 lub γ3 , lub też γ2 i γ3 sa̧ równe 0.
Ze wzglȩdu na równanie dla składowej Ey
Ey = A0 exp(−ik1x x) + B0 exp [ik1x (x − 2d)]
oraz warunki
B0 = A0 exp(2iψE ),
ψE = arctan(γ2 /k1x ),
k1x d ± nπ/2 = ψE ,
mamy
n
h ³
h ³
nπ ´i
nπ ´io
Ey = A0 exp i k1x −
+ exp −i k1x −
2
2
(9.67)
czyli
(
Ey =
A0 cos(k1x x),
gdy n = 0, 2, 4, . . .,
A0 sin(k1x x),
gdy n = 1, 3, . . ..
(9.68)
Na podstawie tych wzorów przedstawić można graficzny obraz pola w przekroju poprzecznym
światłowodu. Dwie rozchodza̧ce w przeciwnych kierunkach fale interferuja̧ ze soba̧, powoduja̧c
powstanie fali stoja̧cej typu sinus lub cosinus. Na płaszczyźnie granicznej pole nie zanika do
zera, lecz zmienia charakter od oscylacyjnie zmiennego do wykładniczo maleja̧cego z odległościa̧ w
płaszczu.
Kształt pola dla danego modu wia̧że siȩ z rozkładem energii przenoszonej w warstwie prowadza̧cej
i w płaszczu. Dla przykładu rozważmy mod TE0 . Pole ma kształt


Ey =

r
Hx =
A cos(k1x x)
w
rdzeniu
cos(k1x d)
A exp(− |γ2 x|) exp|−γ
2 d|
w
płaszczu,
²
Ey .
µ
148
(9.69)
Rysunek 9.6: Rozwia̧zanie graficzne równania (9.66) na mody własne
149
150
Rozdział 10
Elektrodynamika mikroskopowa
10.1
Wstȩp
W elektrodynamice fenomenologicznej (klasycznej) własności ośrodków materialnych opisuje siȩ
wprowadzaja̧c współczynniki ², µ, σ, i nie uwzglȩdniaja̧c ziarnistej (atomowej) budowy materii. W
bieża̧cym rozdziale uwzglȩdnimy istnienie elementarnych ładunków: protonów i elektronów. Dziȩki
temu bȩdzie można wyjaśnić zjawiska, niezrozumiałe z punktu widzenia teorii fenomenologicznej,
np. zjawisko dyspersji światła.
Wystȩpuja̧ce w przyrodzie ładunki swobodne sa̧ całkowitymi wielkorotnościami ładunków elementarnych:
elektronu −e,
protonu +e,
e = 1.6 × 10−19 C. Elementarne cegiełki budowy materii (w tym również cza̧stek takich jak
protony i elektrony), kwarki maja̧ ładunki typu ±(1/3)e, ±(2/3)e, kwarki wystȩpuja̧ jednak zawsze
w stanie zwia̧zanym i nie sa̧ obserwowane jako cza̧stki swobodne.
10.2
Ruch cza̧stki naładowanej w polu elektromagnetycznym
W polu elektromagnetycznym (E, B) na cza̧stkȩ o ładunku e działa siła
F = e(E + v × B),
(10.1)
zwana siła̧ Lorentza. W przypadku nierelatywistycznym równanie ruchu cza̧stki ma postać
d
(mv) = e(E + v × B).
dt
151
(10.2)
10.2.1
Ruch cza̧stki w polu magnetycznym
Ruch cza̧stki w polu magnetycznym B ma postać
m
dv
= ev × B.
dt
(10.3)
Mnoża̧c skalarnie obie strony przez v otrzymamy
mv
dv
= 0,
dt
µ
¶
czyli
d
dt
mv2
2
= 0,
(10.4)
(10.5)
i w konsekwencji
mv 2
= const,
2
v 2 = const,
(10.6)
czyli
pole magnetyczne nie wykonuje pracy i nie zmienia ani energii kinetycznej, ani modułu
prȩdkości. Siła Lorentza zmienia jedynie kierunek prȩdkości cza̧stki.
Niech pole B bȩdzie jednorodne i stałe w czasie. Prȩdkość cza̧stki przedstawić można jako sumȩ
v = vk + v⊥ ,
gdzie vk oznacza składowa̧ równoległa̧ do pola, a vk oznacza składowa̧ w płaszczyźnie prostopadłej
do pola B. Ponieważ składowa siły Lorentza w kierunku pola:
Fk = e(v × B)k = 0,
wiȩc
dvk
= 0,
dt
(10.7)
vk = const.
(10.8)
m
z czego wynika stłość składowej równoległej
Dla składowej prostopadłej
v × B = (vk + v⊥ ) × B = v⊥ × B,
czyli równanie ruchu przybierze postać
m
dv⊥
= ev⊥ × B.
dt
(10.9)
Z wzoru
2
v 2 = vk2 + v⊥
= const,
152
(10.10)
przy uwzglȩdnieniu (10.8) otrzymamy, że również moduł składowej prostopadłej jest wielkościa̧
stała̧
2
v⊥
= const.
(10.11)
Ponieważ ka̧t miȩdzy B i v⊥ pozostaje w czasie ruchu stały i równy π/2, długości wektorów B
i v⊥ pozostaja̧ stałe, wiȩc siła Lorentza e(v⊥ × B) ma stała̧ wartość bezwzglȩdna̧, skierowana̧
prostopadle do prȩdkości. Równanie (10.9) to równanie ruchu po okrȩgu o promieniu r
2
mv⊥
= |e|v⊥ B,
r
(10.12)
gdzie wielkość
ω = v⊥ /r =
|e|B
,
m
r=
mv⊥
|e|B
(10.13)
jest czȩstościa̧ cyklotronowa̧.
10.2.2
Ruch cza̧stki w polu elektrycznym stałym w czasie
Rozpatrujemy ruch cza̧stki o ładunku e w stałym polu elektrycznym E = −∇ϕ, gdy B = 0.
Równanie ruchu ma postać
m
dv
= −e∇ϕ.
dt
Mnożymy skalarnie obie strony przez v = dr/dt otrzymuja̧c
µ
¶
d mv2
dr
dϕ
= −e∇ϕ ·
= −e ,
dt
2
dt
dt
(10.14)
(10.15)
gdyż
dϕ(r(t))
dr
= ∇ϕ .
dt
dt
Z tych równań wynika
mv 2
+ eϕ = const,
2
(10.16)
co jest niczym innym jak zasada̧ zachowania energii podczas ruchu w polu elektrostatycznym.
Jeżeli elektron pocza̧tkowo spoczywał, a nastȩpnie przebył różnicȩ potencjałów U , to
(1/2)mv 2 = |e|U,
(10.17)
z czego wynika wzór na prȩdkość cza̧stki w przybliżeniu nierelatywistycznym
r
v=
2|e|
U.
m
Dla elektronu, podstawiaja̧c ładunek elektronu i jego masȩ spoczynkowa̧, otrzymamy
√
√
v = 6 · 105 U (m/s) = 600 U km/s.
153
(10.18)
Jednostka̧ energii w fizyce atomu jest 1 elektronowolt czyli energia, jaka̧ osia̧ga cza̧stka o ładunku
elektronu po przebyciu różnicy potencjałów 1 wolta:
1 eV = 1.6 · 10−19 C · 1 V = 1.6 · 10−19 J.
10.2.3
Dryfowanie cza̧stek naładowanych w skrzyżowanych polach elektrycznym i magnetycznym
Zakładamy, że ruch cza̧stki odbywa siȩ w jednorodnych, wzajemnie prostopadłych polach E i B
oraz że promień krzywizny toru cza̧stki jest znacznie mniejszy od rozmiarów obszaru, w którym
odbywa siȩ ruch, tzn. cza̧stka dokonuje wielu obiegów. Rozwia̧zania równania ruchu
d(mv)/dt = e(E + v × B)
poszukujemy w postaci
v = v0 +
E×B
,
B2
co po podstawieniu do równania ruchu da
dv0
= eE + ev0 × B
dt
¤
e £
+ 2 B(E · B) − EB2 = ev0 × B,
B
m
(10.19)
gdzie wykorzystano tożsamość
A × (B × C) = B(AC) − C(AB).
Ponieważ z założenia EB = 0, ostatecznie v0 spełnia równanie
m
dv0
= ev0 × B,
dt
(10.20)
takie samo jak składowa v⊥ w polu magnetycznym (10.9). Tak wiȩc składowa v0 opisuje ruch po
okrȩgu.
Ruch cza̧stki w skrzyżowanych polach polega na tym, że cza̧stka porusza siȩ z prȩdkościa̧ v0
wokół punktu, który przesuwa siȩ z prȩdkościa̧ vd
vd =
E×B
,
B2
gdzie vd nazywamy prȩdkościa̧ dryfu, a cały ruch dryfowaniem cza̧stki.
Kierunek dryfowania nie zależy od znaku cza̧stki.
Dryfowanie cza̧stki rozważać można również w niejednorodnym polu magnetycznym, którego
natȩżenie zmienia siȩ w kierunku prostopadłym do pola. Zaobserwujemy efekt podobny do dryfowania w polach jednorodnych. W polu jednorodnym cza̧stka poruszałaby siȩ po okrȩgu. W polu
niejednorodnym nasta̧pi zmiana promienia krzywizny: tam gdzie natȩżenie pola bȩdzie wiȩksze,
promień krzywizny bȩdzie mniejszy.
154
10.2.4
Adiabatyczna niezmienniczość momentu magnetycznego
W zastosowaniach praktycznych czȩsto wystȩpuje sytuacja, gdy niejednorodne pole magnetyczne,
przy zmianach odległości rzȩdu promienia ruchu cza̧stki i w czasie 1 okresu obiegu, zmienia siȩ
nieznacznie. Wykażemy, że wtedy moment magnetyczny cza̧stki pozostaje stały.
Jeśli cza̧stka porusza siȩ w cia̧gu okresu T po okrȩgu o promieniu r, porównać ja̧ można z
pra̧dem kołowym o natȩżeniu e/T , i przyporza̧dkować moment magnetyczny
M = IS =
|e| 2
πr ,
T
(10.21)
gdzie
2π
,
ω
(10.22)
mv⊥
,
|e|B
(10.23)
T =
i
r=
z równania (10.12). Po podstawieniu T i r do wzoru (10.21) na moment magnetyczny otrzymamy
M=
W⊥
11
2
=
mv⊥
,
B2
B
(10.24)
gdzie
W⊥ =
1
mv 2 ,
2 ⊥
(10.25)
jest energia̧ kinetyczna̧ zwia̧zana̧ ze składowa̧ v⊥ . Wzór (10.24) przedstawić można w postaci
W⊥ = M B.
(10.26)
Gdy pole B zmienia siȩ w czasie, B = B(t), wówczas zgodnie z prawem indukcji Faradaya wytwarza
wokół siebie pole elektryczne E
I
Ed` = −
d
dt
Z
E · 2πr = πr2 ·
BdS,
dB
.
dt
(10.27)
Tak powstałe pole elektryczne działa na cza̧stkȩ siła̧, wiȩc wykonuje pracȩ, która zwiȩksza energiȩ
kinetyczna̧ cza̧stki: w czasie 1 obiegu jest to wielkość
¶
µ
dB
1
2
mv
= 2πr|e|E = |e|πr2
.
∆
2 ⊥
dt
Dziela̧c obie strony przez T i zakładaja̧c, że okres obiegu jest mały w porównaniu ze zmianami
pola magnetycznego, otrzymamy
µ
¶
2
∆(mv⊥
/2
d 1
d
2
≈
mv⊥
= (M B)
T
dt 2
dt
|e|πr2 dB
dB
=
=M
,
T
dt
dt
155
(10.28)
wiȩc, uwzglȩdniaja̧c (10.26)
d
dB
(M B) = M
,
dt
dt
ska̧d wynika, że
M=
(10.29)
2
1 mv⊥
= const,
B 2
(10.30)
co nazywamy adiabatyczna̧ niezmienniczościa̧ momentu magnetycznego.Wykazać można również,
że w wolnozmiennym polu magnetycznym moment magnetyczny zachowuje nie tylko swa̧ wartość,
ale i kierunek w przestrzeni.
Zjawisko stałości momentu magnetycznego wykorzystywane jest w tzw. zwierciadłach magnetycznych. Wyobraźmy sobie cza̧stkȩ poruszaja̧ca̧ siȩ w kierunku zwiȩkszania siȩ indukcji magnetycznej. Z warunku
M=
2
mv⊥
/2
= const
B
wynika, że jeżeli rośnie B, to musi rosna̧ć składowa v⊥ . Jednocześnie podczas ruchu w polu
magnetycznym kwadrat całkowitej prȩdkości jest stały:
2
+ vk2 = v 2 = const.
v⊥
Sta̧d wynika, że przy ruchu w kierunku rosna̧cego B składowa vk musi maleć, aż w pewnym punkcie
przestrzeni stanie siȩ równa 0, i cza̧stka zmieni kierunek ruchu.
Obszar silnego pola magnetycznego odbija cza̧stki naładowane, zachowuje siȩ wiȩc jak zwierciadło. Jest to wykorzystywane w urza̧dzeniach, słuȧcych do utrzymywania cza̧stek w ograniczonym
obszarze przez możliwie długi okres czasu (”butelka magnetyczna”).
10.2.5
Ruch w poprzecznym polu elektrycznym
Rozpatrujemy ruch cza̧stki w polu
E = (E, 0, 0),
B = 0.
Rozwia̧żemy równania ruchu
mẍ = eE(z),
x(0) = 0,
mÿ = 0,
mz̈ = 0;
ẋ(0) = 0.
(10.31)
Natȩżenie pola E może zmieniać siȩ dowolnie w zależności od z, byle pozostawało równoległe do
osi x. Tor cza̧stki leży w płaszczyźnie xz. Zakładamy, że prȩdkość cza̧stki w kierunku osi x jest
znacznie mniejsza od prȩdkości w kierunku z, czyli:
vx /vz = tan α ¿ 1,
v=
p
vx2
≈ vz +
+
vz2
¶1/2
µ
vx2
= vz 1 + 2
vz
1 vx2
+ ...,
2 vz2
156
(10.32)
tak że w przybliżeniu
vz = v = const.
(10.33)
W tym samym przybliżeniu
dx
dx dz
dx
=
=v ,
dt
dz dt
dz
2
d2 x
2d x
=v
,
dt2
dz 2
(10.34)
wiȩc równania ruchu (10.31) przybieraja̧ postać:
d2 x
e
=
E(z)
2
dz
mv 2
dx
|z=0 = 0; x|z=0 = 0.
dz
(10.35)
Rozwia̧zanie ma postać
x(z0 ) =
gdzie wielkość
Z
Z
z0
a=
e
a,
mv 2
Z
ξ
dξ
z0
E(η)dη =
0
(10.36)
(z0 − η)E(η)dη,
0
(10.37)
0
nazywa siȩ stała̧ przyrza̧du. W szczególności, dla stałego pola elektrycznego, otrzymamy
x=
eE z 2
,
m 2v 2
(10.38)
co jest równaniem paraboli w płaszczyźnie xz.
10.2.6
Ruch w poprzecznym polu magnetycznym
Podobnie jak w przypadku pola E założymy, że tor ruchu cza̧stki jest niemal prostoliniowy. Pole
magnetyczne skierowane bȩdzie cały czas wzdłuż osi x :
B = (Bx , 0, 0),
Bx = B(z).
Równania ruchu
mẍ = 0,
mÿ = evB,
rozwia̧żemy używaja̧c przybliżenia
ÿ =
mz̈ = 0,
(10.39)
d2 y 2
v ,
dz 2
otrzymuja̧c
y(z0 ) =
gdzie wielkość
Z
b=
Z
z0
Z
η
dη
0
e
b,
mv
B(ξ)dξ =
0
(10.40)
z0
(z0 − η)B(η)dη,
0
jest stała̧ przyrza̧du, zależna̧ od konfiguracji pola magnetycznego w przyrza̧dzie.
157
(10.41)
Analizuja̧c ruch cza̧stki w poprzecznym polu elektrycznym i magnetycznym, wyznaczyć można
charakterystyczna̧ dla niej wielkość e/m. Porównuja̧c wyrażenia (10.36) i (10.40) otrzymamy wzór
e b2
y2
=
,
x
m a
(10.42)
z którego można wyznaczyć e/m, gdyż inne wielkości sa̧ znane (lub mierzalne) (p. przykład 1).
10.3
Akceleratory
Podstawowa idea akceleratorów- przyśpieszanie ( a wiȩc nadawanie dużych energii) cza̧stkom
naładawoanym jak protony, cza̧stki α, jony i użycie ich jako cza̧stek bombarduja̧cych pewna̧ tarczȩ.
Celem tego jest m.in. wywołanie reakcji ja̧drowych, przemiany cza̧stek elementarnych, wytwarzanie
isotopów, użycie strumienia cza̧stek np. w medycynie, projekty (ostatnio zrealizowane) użycia strumienia cza̧stek jako napȩdu rakiet w kosmosie.
Za dolna̧ granicȩ energetyczna̧ przyjmuje siȩ kilkaset keV.
Dzisiejszy stan wiedzy o budowie materii- w przeważaja̧cej mierze oparty jest na wynikach prac
doświadczalnych, przeprowadzonych za pomoca̧ akceleratorów.
Historycznie: od chwili odkrycia w r.1919 zjawiska sztucznych przemian promieniotwórczych aż
do roku 1932 fizyka rozporza̧dzała jedynie naturalnymi źródłami cza̧stek elementarnych o dużych
energiach. Były to izotopy emituja̧ce cza̧stki, np.
210
Po emituja̧cy cza̧stki α o energii 5.30 MeV.
Badania ja̧drowe były wiȩc ograniczone do bombardowania pierwiastków tylko jednym rodzajem
cza̧stek, o ściśle określonych, na ogół niewielkich, energiach.
Zadaniem konstruktorów było wiȩc przyśpieszenie cza̧stek np. rzȩdu rozmiarów atomu do
prȩdkości conajmniej 107 m/s.
Pierwszym rozwia̧zaniem było przyśpieszanie jonów za pomoca̧ pola elektrycznego o dużej
różnicy potencjałów- generator van de Graaffa (1931). Napiȩcia stosowane - rzȩdu kilku milionów
woltów.
W 1940 skonstruowano betatron- urza̧dzenie do przyśpieszania elektronów. Elektron poruszaja̧cy
siȩ w polu magnetycznym po torze kołowym uzyskuje przyśpieszenie styczne do toru, gdy natȩėnie
pola podlega odpowiednim zmianom w czasie. W pierwszym modelu Kersta promień toru elektronów wynosił 7.5 cm. Po przebiegniȩciu ok.100 km elektrony uzyskiwały energiȩ 2.35 MeV. Już
w r.1945 budowano betatrony na 100 MeV.
Generator van de Graffa należy do grupy akceleratorów liniowych. Druga̧ grupȩ stanowia̧ akceleratory kołowe, gdzie tor cza̧stek ma kształt kołowy lub spiralny. Typowym przykładem jest cyklotron. Charakterystyczna̧ cecha̧ tej grupy akceleratorów sa̧ elektromagnesy do wytwarzania pola
magnetycznego, powoduja̧cego zakrzywienie torów cza̧stek. Do przyśpieszenia cza̧stki konieczne
jest spełnienie warunku synchronizacji- cza̧stki musza̧ przebiegać przez przestrzeń przyspieszaja̧ca̧
158
w ściśle określonym czaise, w którym pole istnieja̧ce w tej przestrzeni działa przyśpieszaja̧co. W
przypadku cyklotronu cza̧stka pod wpływem pola magnetycznego porusza siȩ z czȩstotliwościa̧
eB
= f0 ,
2πm
lub ogólnie
qB
= f0 .
2πm
Z ta̧ sama̧ czȩstotliwościa̧ drgać powinno pole elektryczne przyłożne do szczeliny miȩdzy duantami.
159
Ponieważ na ogół f0 jest zadane, q/m również, warunek synchronizacji otrzymujemy dostaraja̧c
pole magnetyczne B.
Przykład małego cyklotronu: Czȩstotliwość drgań w cyklotronie wynosi f0 = 12 · 106 Hz, a
promień R = 53.5cm,.
(a) Jaka musi być wartość indukcji B, aby można było przyśpieszać deuterony (m0 = 3.3·10−27 kg,
q = e = 1.6 · 10−19 C,
(b) jaka̧ energiȩ bȩda̧ miały deuterony?
(a)
B=
2πf0 m
= 1.6 T,
q
(b)
W =
q 2 B 2 R2
≈ 17MeV.
2m
Przy wysokich energiach działanie cyklotronu zawodzi, ponieważ załoẏliśmy, że czȩstość obrotu
jonów w polu magnetycznym nie zależy od jego prȩdkości, co słuszne jest tylko dla v ¿ c. Gdy
prȩdkość rośnie, musimy w równaniu
qB
= f0 ,
2πm
brać masȩ relatywistyczna̧. Dla spełnienia warunku synchronizacji zmieniamy albo czȩstotliwość
- synchrocyklotrony, lub fazotrony. Gdy dostraja siȩ i pole magnetyczne, i czȩstotliwość tak, że
średnica toru ma wartość stała̧- akcelerator tego rodzaju nazywa siȩ synchrotronem protonowym
(kosmotronem, lub bewataronem, od Bilion eV (BeV) (w USA bilion oznacza miliard eV (109 eV)=
1 GeV).
Cecha̧ tych urza̧dzeń sa̧ duże rozmiary. Przykłady:
Synchrotron protonowy w CERN, Genewa
Średnica orbity
158 m
Przekrój komory próżniowej
14 cm× 7 cm
Maksymalne pole magnetyczne
1.4 T
Zakres czȩstotliwości dla 1 obiegu
Szybkość pulsowania
7 mHz
20/min
maksymalna energia protonów
28 GeV
Energia uzyskiwana w czasie 1 obiegu
54 keV
Droga przebyta przez proton 80 000 km
waga elektromagnesu
3200 ton.
W nowym synchrotronie CERNU obwód orbity osia̧ga 30 km, komora cza̧stek znajduje siȩ w
podziemnym tunelu, a energie cza̧stek sa̧ rzȩdu 100 GeV.
160
10.3.1
Betatron
Betatron jest urza̧dzeniem, które przyśpiesza elektrony do wysokich prȩdkości przez poddawanie ich
działaniu indukowanych pól elektrycznych, wytwarzanych za pomoca̧ zmiennego strumienia magnetycznego poprzez wykorzystanie prawa indukcji. Elektrony o dużych prȩdkościach wykorzystuje
siȩ do otrzymania przenikliwych promieni Röntgena, stosowanych w medycynie i przemyśle. Zasadȩ działania betatronu omawialiśmy w podrozdziale 2.22, tam też przedstawiony był schemat
betatronu (rys. 2.2) i zasada działania (rys. 2.3). Dla zrozumienia sposobu działania betatronu
przenieśmy siȩ do przekroju wzdłuż orbity, jak na rysunku 2.2. Pra̧d zmienny płyna̧cy w cewkach
elektromagnesu wytwarza zmienne pole magnetyczne B. Zmienny strumień wektora B indukuje
pole elektryczne o natȩżeniu E. To indukowane pole elektryczne jest równie realne jak pola wytwarzane przez ładunki statyczne i działa na ładunek elektryczny q siła̧ F = qE. Załóżmy, że wartość
B wzrasta ze stała̧ prȩdkościa̧ dB/dt. Wytwarza siȩ zmienny w czasie strumień magnetyczny Φ,
który w dowolnym okrȩgu o promieniu r indukuje zmienna̧ siłȩ elektromotoryczna̧ V = −dΦ/dt.
Ze wzglȩdów symetrii natȩżenie E pola elektrycznego powinno być styczne do okrȩgu. Jeśli w
jakimś punkcie wspomnianego okrȩgu umieścimy ładunek q, pod wpływem napiȩcia V zacznie on
poruszać siȩ po okrȩgu. Pole wykona przy tym pracȩ qV. Praca ta zamieniona jest w przyrost
energii kinetycznej ładunku (elektronu) ∆(mv 2 /2).
Kiedy pole B skierowane jest do góry, jak na rys. 2.2, wtedy strumień Φ uważamy za dodatni.
Ruch elektronów we wskazanym kierunku odbywa siȩ w czasie tego półokresu pra̧du zmiennego,
kiedy strunmień jest dodatni (odcinek ac na rysunku 2.3). Elektrony sa̧ w tym czasie przyspieszane
przez pole elektryczne wytwarzane przez zmienny strumień. Kierunek indukowanych pól elektrycznych zależy od znaku dΦ/dt i musi być tak dobrany, aby elektrony były przyśpieszane, a nie
opóźniane. Czyli tylko połowa dodatniego półokresu ( a wiȩc 1/4 okresu) moga̧ być wykorzystane
do przyśpieszania. Można wykazać, że jest to czȩść ab, gdy napiȩcie pra̧du zasilaja̧cego wzrasta
od zera do maksimum. W cia̧gu tego czasu elektrony wykonuja̧ setki tysiȩcy obiegów i przed
momentem, w którym natȩżenie pola magnetycznego osia̧ga maksimum, dodatkowy impuls pola
skierowuje je na tarczȩ wewna̧trz i na zewna̧trz komory.
Jako przykład rozważmy betatron o promieniu orbity 0.82 m, czȩstotliwości zmian pra̧du
f =60/s i średniej prȩdkości zmian strumienia magnetycznego < dΦ/dt >= 1.84 Wb/4.2 · 10−3 s,
średnia wartość indukowanego napiȩcia na orbicie jest równa 430 V. Energia elektronów wzrasta
wiȩc przy każdym obiegu o 430 eV. By elektron osia̧gna̧ł energiȩ 100 MeV, musi wykonać około
230 000 obiegów.
Betatrony budowane sa̧ obecnie głównie do celów przemysłowych i medycznych na energie ok.
30 MeV.
161
10.3.2
Przykłady
1. Tor elektronu biegna̧cego w kierunku prostopadłym do jednorodnych i zgodnie równoległych
pól elektrycznego i magnetycznego został odchylony przez każde pole o taki sam ka̧t 7/120 radiana
na drodze ` =5 cm. Wyznaczyć stosunek ładunku elektronu do jego masy i znaleźć prȩdkość
elektronu, jeżeli B=3.6·10−4 T, E= 100 V /cm.
2. Wyznaczyć (w przybliżeniu nierelatywistycznym) promień krzywizny toru elektronu poruszaja̧cego
siȩ w polu magnetycznym o indukcji B=10−1 T, jeśli energia kinetyczna elektronu wynosi W =100 eV.
Masa spoczynkowa elektronu m0 = 9.11 · 10−31 kg.
3. Wyznaczyć prȩdkość dryfu cza̧stki poruszaja̧cej siȩ w skryżowanych polach elektrycznym i magnetycznym, jeżeli E = 200 V/cm, B=5×10−2 T.
4. Elektron porusza siȩ po okrȩgu koła o promieniu r=10cm w jednorodnym polu magnetycznym
o indukcji równej pocza̧tkowo B = 5 · 10−2 T. Nastȩpnie indukcja tego pola powoli zwiȩksza siȩ
osia̧gaja̧c wartość B =0.45 T. Znaleźć promień okrȩgu, po którym bȩdzie siȩ wówczas poruszał
elektron.
Odpowiedzi
1. Obliczamy stałe przyrza̧du z wzorów (10.37) i (10.41):
Z `
`2
a=
(` − η)Edη = E,
2
0
Z `
`2
b=
(` − η)Bdη = B.
2
0
(10.43)
Ponieważ wychylenia elektronu spowodowane każdym z pól sa̧ równe, porównujemy wyrażenia
(10.38) i (10.40), z uwzglȩdnieniem wzorów (10.43), otrzymuja̧c dla z = `
e
`2
e
`2
E
=
B
.
mv 2 2
mv 2
(10.44)
Z tego równania wyznaczamy prȩdkość
v = E/B ≈ 2.8 · 107 m/s.
(10.45)
Maja̧c prȩdkość, można wyznaczyć wielkość e/m np. z wzoru (10.38)
e
y2 a
1
=
= 2v 2 (7`/120) 2 ≈ 1.79 · 1011 C/kg.
m
x b2
E`
Wynik powyższy zbliżony jest do wielkości e/m dla elektronu dokładnie zmierzonej
e/m = 1.76 · 1011 C/kg.
2.
√
r=
2W m0
= 3.4 · ×10−4 m = 0.34 mm.
|e|B
3.
vd =
E
= 4 · 105 m/s.
B
162
(10.46)
4. Skorzystamy ze zwia̧zku
µ
¶
1
2
mv
/B = const,
2 ⊥
który wyprowadzony był powyżej jako adiabatyczna niezmienniczość momentu magnetycznego.
Jednocześnie
2
mv⊥
= |e|v⊥ B,
r
⇒
Br2 = const,
czyli
B0 r02 = B1 r12 ,
10.4
10.4.1
r1 = r0
p
B0 /B1 ≈ 3.33 cm.
Dielektryki. Teoria dyspersji
Dielektryki
Drobiny polarne i niepolarne
Elektryczne właściwości układu, którego całkowity ładunek
jest równy 0, charakteryzujemy podaja̧c jego moment dipolowy
Z
p=
ρ r dV.
(10.47)
V
Drobiny, z których składaja̧ siȩ ciała, sa̧ elektrycznie obojȩtne. Wyróżniamy:
drobiny polarne - maja̧ własny moment dipolowy (np drobiny H2 0),
drobiny niepolarne - w nieobecności pola elektrycznego maja̧ zerowy moment dipolowy.
Drobinowy obraz polaryzacji
Wprowadzamy pojȩcie małego obszaru:
obszar ∆ V jest fizycznie mały, jeśli wewna̧trz obszaru pola makroskopowe E, H zmieniaja̧ siȩ
tak nieznacznie, że uznać je można za stałe, jednocześnie jest tak duży, że zawiera wielka̧ ilość
drobin. Np. w krysztale o stałej sieci rzȩdu 2Å = 2 · 10−10 m sześcian o boku 100 stałych sieci
(wiȩc a= 2 · 10−8 m) zawiera 106 komórek elementarnych, czyli kilka milionów drobin.
Wektor polaryzacji P definiujemy jako moment dipolowy przypadaja̧cy na jednostkȩ objȩtości
P=
1 X
pi ,
∆V i
(10.48)
gdzie suma przebiega po momentach dipolowych drobin wewna̧trz fizycznie małego obszaru ∆V .
Gdy nie ma zewnȩtrznego pola elektrycznego moment dipolowy każdej drobiny niepolarnej jest
równy 0, a momenty dipolowe drobin polarnych sa̧ zorientowane przestrzennie w sposób chaotyczny
(jeśli sa̧ to gazy lub ciecze). W obu przypadkach dielektryk pozostaje niespolaryzowany, a wektor
polaryzacji jest równy 0.
163
Sytuacja zmieni siȩ, jeśli dielektryk wprowadzamy w zewnȩtrzne pole elektryczne. Ulega on
spolaryzowaniu, przy czym polaryzacja w przypadku drobin polarnych polega na tym, że momenty
dipolowe da̧ża̧ do ustawienia siȩ w kierunku pola, a w drobinach niepolarnych indukowany jest
moment dipolowy.
W przypadku drobin niepolarnych indukowany moment dipolowy jest w pierwszym przybliżeniu
proporcjonalny do zewnȩtrznego pola:
p = α²0 E,
(10.49)
gdzie α nazywane jest współczynnikiem polaryzowalności drobiny. Jeśli N to liczba cza̧steczek
przypadaja̧cych na jednostkȩ objȩtości ∆V , to zgodnie z definicja̧ (10.48) wektor polaryzacji dielektryka jest równy
P = α²0 N E = ²0 χE,
(10.50)
gdzie χ nazywa siȩ podatnościa̧ elektryczna̧.
W szybko zmiennym polu elektrycznym podatność staje siȩ funkcja̧ czȩstotliwości : χ = χ(ω).
Współczynnik załamania wzglȩdem próżni:
n(ω) ≈
p
²r (ω),
²r (ω) = 1 + χ(ω).
Zjawisko zależności n = n(ω) nazywamy dyspersja̧, a zależność χ = χ(ω) (lub ² = ²(ω) - relacja̧
dyspersyjna̧.
10.4.2
Polaryzowalność atomu, statyczna i dynamiczna podatność elektryczna
Wyobrażamy sobie atom składajka̧cy siȩ z dodatnio naładowanego ja̧dra i elektronów na powłokach.
Dla zjawiska polaryzacji istotne bȩdzie zachowanie siȩ elektronów walencyjnych. W zewnȩtrznym
polu elektrycznym powłoka walencyjna zostanie zdeformowana: elektrony bȩda̧ ”przesuniȩte”wzglȩdem
dodatniego ”kadłuba”. Powstaje charakterystyczny dla atomu moment dipolowy p (10.49). Tu α
nazywa siȩ polaryzowalnościa̧ atomu (cza̧steczki). Jest to na ogół tensor 2-go rzȩdu.
W modelu Thomsona kadłub (ja̧dro + elektrony kadłubowe) zastȩpuje siȩ ładunkiem punktowym q = ne,
n = 1, 2, ..., o dużej masie. Powłokȩ elektronowa̧ (walencyjna̧) zastȩpuje siȩ
równomiernie naładowana̧ kula̧ o masie m0 , promieniu a i ładunku całkowitym −q. Gȩstość
przestrzenna ładunku ujemnego dana jest wzorem
ρ=−
q
.
(4/3)πa3
(10.51)
Przesuwaja̧c powłokȩ o r, powodujemy powstanie siły która zmierza do przywrócenia równowagi:
1 Q(r)q r
,
4π²0 r2 r
4
r3
Q(r) = ρ πr3 = −q 3 ,
3
a
F(r) =
164
(10.52)
wiȩc siła ma postać
F(r) = −
1 q2
r.
4π²0 a3
(10.53)
Jeśli przyczyna̧ przesuniȩcia powłoki jest zewnȩtrzne pole elektryczne E, to
−qE −
1 q2
r = 0,
4π²0 a3
(10.54)
sta̧d p = −qr,
p = 4π²0 a3 E,
(10.55)
α = 4πa3 = 3V,
(10.56)
a polaryzowalność atomu
gdzie V jest objȩtościa̧ atomu. Polaryzowalność jest wiȩc rzȩdu objȩtości atomu. Atomy o dużej
powłoce (dużej liczbie porza̧dkowej) sa̧ łatwo polaryzowalne.
Polaryzowalność dynamiczna
W zmiennym polu elektrycznym
E = E0 exp(−iωt)
dla powłoki elektronowej otrzymujemy równanie ruchu
−m0 r̈ + F(r) − qE = 0,
(10.57)
gdzie
F(r) = −
q2
r,
²0 α
jest wiȩc to siła sprȩżysta.
Dynamiczny moment dipolowy p(ω)
p(ω) = −qr = p0 exp(−iωt)
spełnia równanie
qr̈ +
q2
q2
qr = −
.E.
m0 ²0 α
m0
Oznaczaja̧c
ω02 =
q2
²0 m0 α
mamy
p = ²0 α(ω)E,
α(ω) = α(0)
ω02
,
ω02 − ω 2
165
α(0) =
q2
.
²0 m0 ω02
(10.58)
Rysunek 10.1: Zachowanie rezonansowe współczynnika polaryzowalności α.
Wielkość α(ω) nazywamy polaryzowalnościa̧ dynamiczna̧, a α(0) = α– polaryzowalnościa̧ statyczna̧.. Współczynnik α(ω) wykazuje zachowanie rezonansowe (p. rys. 10.1).
Dla czȩstotliwości ω ≈ ω0 zmienne zewnȩtrzne pole elektryczne wywołuje silne drgania powłoki
elektronowej.
Podstawiaja̧c a = aB (aB = promień Bohra atomu wodoru= 0.0526 nm) obliczymy polaryzowalność atomu wodoru, otrzymuja̧c
h̄ω0 = 27.2eV = 2RB ,
gdzie 1 RB = 13.6 eV jest energia̧ jonizacji atomu wodoru (energia Rydberga dla atomu wodoru).
Zapominaja̧c o czynniku 2 można przyja̧ć, że h̄ω0 jest energia̧ jonizacji.
Wynik: polaryzowalność oszacować można z energii jonizacji.
Ogólniej: do polaryzowalności daja̧ wkład nie tylko te przejścia elektronowe, które prowadza̧
do jonizacji, ale i pozostałe, wiȩc
α(ω) =
q2 X
fi
,
²0 m0 i ωi2 − ω 2
gdzie współczynniki fi nazywamy siłami oscylatorów.
10.4.3
Polaryzowalność materii
Pole elektryczne w materii charakteryzujemy wektorem indukcji elektrycznej D:
D = ²0 E + P,
166
(10.59)
P = ²0 χ E,
D = ²0 ²r E,
(10.60)
²r = 1 + χ.
Wektor polaryzacji bȩdzie suma̧ dipoli atomowych
P = na p.
(10.61)
Dla materii rozrzedzonej, biora̧c pod uwagȩ tylko 1 przejście elektronowe:
χ(ω) = na α(ω) = χ(0)
= χ(0)
ωp2
ωp2
na α(0)ω02
=
=
ω02 − ω 2
ω02 − ω 2
ω02 − ω 2
ω02
,
ω02 − ω 2
(10.62)
gdzie ωp2 = na α(0)ω02 , ωp jest tzw. czȩstotliwościa̧ plazmowa̧. Na ogół w mianowniku dodajemy
współczynnik zwia̧zany z tłumieniem (współczynnik tłumienia:
χ(ω) = χ(0)
ω02
.
ω02 − ω 2 − iγω
(10.63)
Ogólnie używamy modelu materii, gdzie wystȩpować bȩdzie wiele oscylatorów o charakterystycznych czȩstotliwościach ωi , wiȩc podatność elektryczna bȩdzie miała postać
χ∝
X
n
fn
.
ωn2 − ω 2 − iγω
(10.64)
Używaja̧c zespolonej podatności (10.64) otrzymamy zespolony współczynnika załamania
n=
√
²r =
p
²1 + i²2 = n1 + in2 .
(10.65)
W obszarze widzialnym tłumienie jest małe, wiȩc
n≈
√
n1 ,
n 21 = 1 +
X
j
fj
.
ωj2 − ω 2
(10.66)
W całym obszarze, gdzie ciało jest przeźroczyste, współczynnik załamania rośnie wraz z czȩstotliwościa̧
(p. rys.10.2).
10.5
Metal, półprzewodnik, izolator- porównanie własności
Fenomenologicznie te trzy grupy materiałów, z punktu widzenia własności zwia̧zanych z polem
elektromagnetycznym, charakteryzuja̧ siȩ nastȩpuja̧co:
• metal ma duża̧ przewodność, pra̧d płynie w całej objȩtości,
• izolator ma mała̧ przewodność, pra̧d (jeżeli wogóle) powstaje w wyniku zanieczyszczeń lub
zawilgocenia.
167
Rysunek 10.2: Zachowanie rezonansowe współczynnika załamania.
Mikroskopowo powyższe różnice wia̧ża̧ siȩ z różnica̧ koncentracji (gȩstości) swobodnych elektronów:
- w metalach, taka jak atomów, np. w Cu na ≈ 8 · 1022 /cm3 ,
- w izolatorach - ok. 1010 mniejsza.
Różnice te wia̧ża̧ siȩ ze struktura̧ krystaliczna̧. Przeanalizujemy je ogólnie, bez używania teorii
kwantowej.
Elektrony posiadaja̧ energie (stany energetyczne) które w ciałach stałych zlewaja̧ siȩ w pasma.
Każde pasmo zawiera ok. 1022 /cm3 stanów. Jeśli pasmo jest zapełnione, to elektrony w tych
stanach sa̧ zlokalizowanymi elektronami walencyjnymi. Elektrony walencyjne nie biora̧ udziału w procesie przewodzenia pra̧du. Gdy zmienić nieznacznie ich energiȩ kinetyczna̧, wchodzi siȩ
w obszar stanów obsadzonych, albo wzbronionych. Żeby przenieść elektron do wyższego nieobsadzonego pasma - pasma przewodzenia, trzeba energiȩ elektronu podwyższyć o duży przyczynek Eg
(”przerwa energetyczna”).
Pasmo przewodzenia wypełnione jest czȩściowo. Wewna̧trz pasma przewodzenia energia elektronów może być zmniejszana lub zwiȩkszana dowolnie małymi krokami. Poszczególne stany różnia̧
siȩ pȩdem elektronu p = h̄k. Elektrony w tych stanach nie sa̧ zlokalizowane.
Poszczególne typy substancji (metal, izolator, półorzewodnik) różnia̧ siȩ wielkościa̧ Eg (lub
nawet pasma przecinaja̧ siȩ).
10.5.1
Izolatory
Izolatorami sa̧ przeważnie kryształy jonowe lub molekularne. W kryształach jonowych elektron
walencyjny nie znajduje siȩ pomiȩdzy sa̧siednimi jonami, lecz całkowicie po stronie anionu, ze
znaczna̧ energia̧ wia̧zania, ok. 3 eV, a w NaCl - 8 eV. Prawdopodobieństwo, że któryś z elektronów
zlokalizowany wokół anionu zostanie wzbudzony do pasma przewodzenia, jest bardzo małe.
Prawdopodobieństwo wzbudzenia termicznego opisane jest czynnikiem Boltzmanna exp(−E/kT ),
gdzie kB to stała Boltzmanna. W NaCl, w temperaturze pokojowej, kB T = 0.026 eV ≈ (1/40) eV,
168
wiȩc
exp(−8 eV/0.026 eV) ≈ 10−133 .
Również energia fotonów światła widzialnego (1.8 ... 4 eV) nie wystarcza na wzbudzenie. Dlatego
wiȩkszość izolatorów o energii wia̧zania > 4eV jest przezroczysta dla światła, jako kryształy sa̧
bezbarwne.
Podobna̧ sytuacjȩ obserwujemy w kryształach molekularnych, np. w krystalicznej siarce, składaja̧cej
siȩ z pierścieni S8 .
10.5.2
Półprzewodniki
W półprzewodnikach nakładaja̧ siȩ chmury elektronowe nie tylko grup atomów, jak w kryształach molekularnych, ale wszystkich atomów. Kryształ półprzewodnikowy uważać można za
jedna̧ wielka̧ cza̧steczkȩ. Gdy pasma sa̧ szersze, przerwa energetyczna staje siȩ mniejsza. Energie
wzbudzenia Eg rzȩdu 0.1.. . . 1 eV staja̧ siȩ porównywalne z energiami termicznymi. Przy T = 300 K
i Eg =0.3 eV otrzymamy dla czynnika Boltzmanna
exp(−0.3eV/0.026eV) = 10−5 ,
co oznacza, że na ok. 1022 elektronów walencyjnych 1017 może zostać wzbudzonych (przeniesionych
do pasma przewodzenia).
10.5.3
Półmetale
W niektórych substancjach nakładaja̧ siȩ chmury (órbitale”) tak silnie, że pasma nieznacznie
nakładaja̧ siȩ. Wtedy znika Eg (mówi siȩ Eg =0, lub Eg < 0).
Tutaj już dla T =0 istnieje skończona koncentracja ruchomych elektronów przewodzenia. Przykład
- Bi. Pasmo walencyjne jest prawie całkowicie wypełnione, a elektrony walencyjne zlokalizowane
miȩdzy atomami. Koncentracja elektronów w paśmie przewodzenia, podobnie jak w półprzewodnikach, silnie zależy od temperatury.
10.5.4
Metale
Pasmo walencyjne wypełnione jest mniej wiȩcej w połowie. Nie ma rozróżnienia miȩdzy pasmem
walencyjnym a przewodzenia, a siły wia̧ża̧ce w krysztale pochodza̧ od gazu elektronowego. W
idealnych metalach (np. metale alkaliczne, Cu, Ag, Au) przypada jeden elektron swobodny na 1
atom. Koncentracja elektronów rzȩdu 1022 /cm3 jest o wiele rzȩdów wiȩksza niż w półprzewodnikach
i nie zależy od temperatury. Wia̧zania nie maja̧ orientacji przestrzennej.
169
10.5.5
Koncepcja masy efektywnej
Do przewodnictwa i innych zjawisk zwia̧zanych z transportem elektronów najwiȩkszy wkład daja̧
elektrony w stanach położonych w pobliżu krawȩdzi pasma, gdzie zależnoś energii od pȩdu elektronu
p = h̄k ma charakter paraboliczny. W analogii do energii elektronu w próżni, którego energia
wyraża siȩ wzorem
E=
p2
2m0
wprowadzamy energiȩ elektronu w krysztale, gdzie w miejsce masy swobodnego elektronu podstawimy masȩ efektywna̧ m∗ elektronu w krysztale, bȩda̧ca̧ funkcja̧ zakrzywienia pasma: z wykorzystuja̧c wyrażenie na energiȩ jako funkcjȩ wektora falowego (tzw. wektora Blocha)
E(k) =
h̄2 k 2
p2
=
,
2m∗
2m∗
(10.67)
1 d2 E
d2 E
2 dk 2 = dp2 .
h̄
(10.68)
definiujemy masȩ efektywna̧ jako
m∗−1 =
Gdy pasma zakrzywione jest w dół, jak pasmo walencyjne w półprzewodniku, otrzymamy masȩ
efektywna̧ ujemna̧.
Pod wpływem siły zewnȩtrznej, np. siły Lorentza F = −eE zmienia siȩ pȩd elektronu:
dp
= −eE,
dt
(10.69)
tzn. elektron z dolnego brzegu pasma (przewodzenia) zmienia pȩd dp = m∗ dv przeciwnie do
kierunku pola, tak samo jak elektron swobodny, gdyż m∗ > 0. Elektron z górnego brzegu pasma
(walencyjnego) zwiȩksza prȩdkość w kierunku pola, gdyż m∗ < 0. Jego przyczynek −edv do pra̧du
ma znak przeciwny niż swobodnego elektronu.
Rozpatrzmy przypadek, gdy w paśmie walencyjnym brak jest jednego elektronu. Mówimy
wtedy o elektronie defektu, lub o dziurze. Jeśli pasmo byłoby całkowicie zapełnione, nie byłoby
pra̧du. Gdy jednego elektronu brak, musimy w polu zewnȩtrznym odja̧ć przyczynek −(−edv) =
edv. Odpowiada to zachowaniu dodatnio naładowanej cza̧stki, przyspieszanej w kierunku pola,
czyli posiadaja̧cej masȩ dodatnia̧.
Ogólnie przyjmuje siȩ wiȩc, że zbiór elektronów w zakrzywionym w dł́ i niecałkowicie zapełnionym paśmie powoduje ten sam pra̧d co zbiór cza̧stek o dodatniej masie i dodatnim ładunku.
Koncentracja tych cza̧stek odpowiada koncentracji elektronów defektowych.
10.5.6
Porównanie metal– półprzewodnik. Nośniki ładunku
Jeszcze raz porównamy własności metali i półprzewodników. Ponieważ spotkamy elektrony zarówno
”typu elektronowego”, jak i ”dziurowego”, wprowadzamy nadrzȩdne pojȩcie nośników ładunku
(ang. carriers).
170
Tablica 10.1: Porównanie koncentracji i prȩdkości nośników w metalach i półprzewodnikach.
Gȩstości nośników w cm−3 , prȩdkości w m/s, dane Ge dla temperatury T =300 K.
Rodzaj substancji
półprzewodnik (Ge)
metal (Cu)
na
ne
22
4.4·10
8.4·1022
13
10
. . . 10
vth
19
8.4·1022
możliwy typ przewodzenia
5
3.7·10
n,p
1.6·106
n
Rodzaj nośników W izolatorach i półprzewodnikach spotkamy zarówno elektrony, jak i dziury.
Luka energetyczna Eg , czyli na skali energetycznej odległość miȩdzy brzegami pasm przewodzenia
i przewodnictwa, jest w półprzewodnikach rzȩdu kT ze stała̧ Boltzmanna k. Nośniki wprowadzone moga̧ być poprzez defekty sieci krystalicznej, czyli tzw. domieszki. Domieszki wytwarzaja̧ce
elektrony nazywane sa̧ donorami, zaś dziury - akceptorami.
W metalach nośniki sa̧ przeważnie elektronami, choć zdarzaja̧ siȩ dziury, np. w Zn. Elektrony
wyzwalaja̧ siȩ już w momencie tworzenia metalu: Eg = 0. W półmetalach spotkamy elektrony i
dziury. Pasma przewodzenia i walencyjne przenikaja̧ siȩ, czyli Eg < 0.
Koncentracja nośników Dla porównania metalu i półprzewodnika wybierzemy jako modelowe
przykłady Cu i Ge. Zakładaja̧c, że każdy atom miedzi dostarcza 1 wolny elektron, otrzymamy
koncentracjȩ elektronów
n = na = 8.4 · 1022 cm−3 .
Dla porównania w Ge
n = 2.4 · 1013 cm−3 .
Koncentracje elektronów i dziur w półprzewodnikach można zmieniać w szerokich granicach poprzez
odpowiednie domieszkowanie, np. dla Ge od 107 do 1019 .
Innym istotnym parametrem jest średnia prȩdkość elektronów. Na ogół w metalach jest znacznie
wiȩksza, niż w półprzewodnikach, zwłaszcza w niskich temperaturach. Istnieja̧ półprzewodniki o
szczególnie małej masie efektywnej (np. w InSb m∗ = 0.011 m0 )- wtedy i prȩdkości elektronów
moga̧ przyjmować duże wartości. Porównanie parametrów- p. tablica10.1.
171
10.6
10.6.1
Transport elektronów. Model Drude’go–Lorentza
Siły działaja̧ce na elektron
Zjawiska transportu elektronów opisać można uproszczonym modelem, pochodza̧cym z prac P. Drude’go
(1900) i H. A. Lorentza (1909). Główna idea uproszczenia polega na tym, że zamiast badać wpływ
sił zewnȩtrznych na poszczególne cza̧stki i potem dokonywać uśrednienia, rozpatruje siȩ wpływ pól
zewnȩtrznych na cza̧stkȩ ” reprezentatywna̧” dla całego zbioru, potem zaś efekty pochodza̧ce od
tego ”średniego” elektronu mnoży siȩ przez liczbȩ cza̧stek lub ich gȩstość.
Rozpatrujemy elektron o masie efektywnej m i ładunku −e (lub dziurȩ, która̧ traktujemy jak
cza̧stkȩ o pewnej masie efektywnej i ładunku +e) poruszaja̧cy siȩ wewna̧trz pewnego medium o
stałej dielektrycznej ² = ²0 ²r , ²r 6= 1.
Na cza̧stkȩ działaja̧ siły ”wewnȩtrzne” i ” zewnȩtrzne”. Siły ”wewnȩtrzne” pochodza̧ od oddziaływań z mikroskopowym otoczeniem, np. w krysztale. Siły zewnȩtrzne sa̧ narzucone warunkami
eksperymentu (np. pola elektromagnetyczne, lub inne zaburzenia). Równanie ruchu cza̧stki
siły wewnȩtrzne
m
mr̈ + ṙ + Dr =
τ
siła bezwładności
siły zewnȩtrzne
F=
q(E + ṙ × B)
siła Lorentza
siła tarcia
(10.70)
siła Coulomba
siła sprȩżystości
siła zewnȩtrzna.
Siły zewnȩtrzne przyjȩto w postaci pola elektromagnetycznego. Jeśli cza̧stka jest quasi swobodna, wówczas D = 0, ale pozostawiamy masȩ efektywna̧. W przypadku swobodnych nośników
poszczególne wielkości opisuja̧ce ruch cza̧stek to
r: średnia droga dryfu nośników,
τ : średni czas miȩdzy 2-ma zderzeniami czas zderzenia,
ṙ = vD : prȩdkość dryfu nośników.
Znaczenie prȩdkości dryfu jest nastȩpuja̧ce: siły zenȩtrzne powoduja̧, że cza̧stki, które maja̧ pewien
termiczny rozkład prȩdkości, otrzymuja̧ dodatkowy przyczynek vD . Bez sił zewnȩtrznych rozkład
prȩdkości jest izotropowy, i pȩd wypadkowy układu cza̧stek jest zero. Jeśli istnieje vD , rozkład ma
przesuniȩty środek (p. rys.10.3)
< v >= 0równ. term ,
< v >= vD ,
pod wpływem siły.
Przy pomocy modelu Drude’go–Lorentza przedyskutujemy zagadnienia 1) statycznej,
172
Rysunek 10.3: Dryfowanie chmury elektronowej o kulistosymetrycznym rozkładzie prȩdkości.
i
2) dynamicznej przewodności jednorodnego medium.
10.6.2
Zachowanie energii i pȩdu
Dla nośników swobodnych równanie (10.70) przybiera postać (D = 0)
mr̈ +
m
ṙ = F,
τ
(10.71)
∆p
,
τm
(10.72)
które przepiszemy jako
ṗ = F −
gdzie:
∆p: odchylenie gazu elektronowego od równomiernego rozkładu
pȩdów,
ṗ: zmiana rozkładu pȩdów, spowodowana:
a) przez zewnȩtrzne siły F,
b) poprzez zderzenia, które ” unieszkodliwiaja̧” efekty uprzywilejowania pewnych
kierunków pȩdu, co powoduja̧ siły zewnȩtrzne,
τm : czas relaksacji pȩdów, który opisuje zanik zaburzenia rozkładu pȩdów.
Warunek stacjonarności (∂t (. . .) = 0):
ṗ = 0,
⇒
∆p = F · τm .
Odchylenie ∆p od przypadku niezaburzonego bȩdzie wiȩc tym wiȩksze, im wolniej pȩdy relaksuja̧.
173
10.6.3
Przewodność statyczna- pra̧d stały
Model Drude’go–Lorentza podaje mikroskopowa̧ interpretacjȩ prawa Ohma. Zwia̧zane jest ono
z tarciem, które interpretujemy jako zderzenia elektronów z pewnymi centrami rozpraszaja̧cymi
(np. jonami sieci krystalicznej w metalu). Wprowadzaja̧c pojȩcie średniej drogi swobodnej miȩdzy
2-ma zderzeniami wyprowadzimy zwia̧zek miȩdzy czasem zderzeniowym i prȩdkościa̧ termiczna̧.
Pozwoli to na porównanie przewodnictwa elektronowego metali i półprzewodników. Gdyby nie
wystȩpowało zjawisko tarcia, co w sensie mikroskopowym znaczy, że zderzenia byłyby bardzo
rzadkie i czas miȩdzy nimi
τ → ∞,
wtedy prȩdkość dryfowania rosłaby liniowo z czasem:
vD =
q
F
t = Et,
m
m
(10.73)
tak samo rósłby pra̧d. Ponieważ po czasie τ nastȩpuje zderzenie, pole E przyśpiesza nośniki tylko
w przedziale czasowym < 0, τ >;
vD =
q
Eτ.
m
(10.74)
Prowadzi to do pojȩcia ruchliwości nośników
vD = µE,
µ=
q
τ.
m
Ruchliwość może zmieniać znak, jak q, ogólnie biora̧c może mieć własności anizotropowe. Wia̧że
siȩ ona z przewodnościa̧ σ, która wysta̧piła w lokalnym sformułowaniu prawa Ohma:
J = σE
lub
E = ρJ.
(10.75)
gdzie ρ jest oporem właściwym. Liniowość zwia̧zku (10.75) jest przybliżeniem. Mikroskopowo,
gȩstość pra̧du wia̧że siȩ z prȩdkościa̧ dryfu
J = q · n · vD ,
(10.76)
gdzie n jest gȩstościa̧ nośników. Jeśli vD zależy liniowo od E, to otrzymamy prawo Ohma:
J = q · n · µE = σE,
z przewodnościa̧
σ = qnµ =
nq 2
τ.
m
(10.77)
(10.78)
Jak widać, przewodność nie zależy od znaku ładunku.
Wystȩpuja̧ce w (10.77) pole elektryczne jest polem makroskopowym: nośniki opisane sa̧ przy
pomocy mas efektywnych, które uwzglȩdniaja̧ mikroskopowa̧ strukturȩ kryształu. Prȩdkość dryfu
jest także wielkościa̧ makro w sensie wartości średniej (uśrednienie po elektronach ).
174
Przewodność σ (opór właściwy ρ) sa̧ w ogólności tensorami symetrycznymi 2-go rzȩdu, co
mikroskopowo tłumaczy siȩ anizotropia̧ mas efektywnych i czasów τ .
W obrazie zderzeniowym interpretujemy również prawo Joule’a–Lenza.
Pole elektryczne, przyśpieszaja̧c elektron miȩdzy 2-ma zderzeniami, wykonuje pracȩ
∆Ekin = Fr = qEvD τ.
(10.79)
Średnia gȩstość mocy:
n∆Ekin
= qnvD E,
τ
P = J · E.
P =
(10.80)
Jest to wzór na ciepło Joule’a, a dokładnie na gȩstość mocy, która z pola elektromagnetycznego,
podczas przepływu pra̧du, oddawana jest do gazu elektronowego.
10.6.4
Dynamiczne przewodnictwo metali i półprzewodników
W zmiennym polu elektrycznym ruch elektronów bȩdzie utrudniany nie tylko poprzez zderzenia,
ale również przez ich bezwładność (masȩ). Efektem jest zespolona, zależna od czȩstotliwości zmian
pola, przewodność.
Równanie Drude’go (10.70) przybierze w zmiennym polu E = E(t) postać
mv̇ +
m
v = qE(t).
τ
(10.81)
Jak zwykle, rozpatrujemy pola harmoniczne:
E = E0 exp(−iωt).
Prȩdkość bȩdzie miała ta̧ sama̧ zależność czasowa̧
v(t) = v0 exp(−iωt),
i spełnia równanie
m
v = qE,
τ
(10.82)
qτ
1
E·
.
m
1 − iωτ
(10.83)
−iωmv +
z rozwia̧zaniem
v=
Makroskopowo prȩdkości nośników v odpowiada gȩstość pra̧du
J = qnv =
1
q 2 nτ
·
·E
m
1 − iωτ
= σ(ω)E,
(10.84)
175
gdzie wprowadziliśmy dynamiczna̧ przewodność
²0 ωp2
σ0
=
,
1 − iωτ
ωτ − iω
ωp2
e2 nτ
σ0 =
= ²0 ,
m
ωτ
σ(ω) =
(10.85)
przy czym ωτ = 1/τ , a ωp jest czȩstotliwościa̧ plazmowa̧:
ωp2 =
ne2
.
²0 m
(10.86)
Maja̧c σ obliczamy dynamiczny opór właściwy:
1
1
ωτ
=
−i ,
σ(ω)
σ0
σ0
m 1
m
ρ(ω) = 2
− i 2 ω,
q nτ
q n
ωτ
ω
=
−i
.
²0 ωp2
²0 ωp2
ρ(ω) =
(10.87)
Istnienie zespolonej przewodności wpływa na własności dielektryczne materii. Z równania Maxwella
∇ × H = Ḋ + J = ²0 Ė + Ṗ + J,
wykorzystuja̧c liniowe równania materiałowe
P = ²0 χL E,
J = σE,
otrzymamy
∇ × H = (−iω²0 − iω²0 χL + σ)E
µ
¶
σ
= −iω²0 1 + χL + i
E.
²0 ω
(10.88)
Wprowadzamy wielkości zespolone
σ̃(ω) = σ1 + iσ2 = σ − iω²0 (1 + χL ) ,
²̃(ω) = ²1 + i²2 = 1 + χL + i
σ
.
²0 ω
(10.89)
(10.90)
Używaja̧c powyższych wielkości opiszemy optyczne własności półprzewodników i metali. Szczególnie ważne dla zastosowań praktycznych jest zachowanie dla czȩstotliwości zbliżonych do plazmowej.
W tym celu wyrażenia na ²1 , ²2 przedstawimy w postaci
²1 = ²L −
²2 =
ωp2
ω2
· 2 τ 2,
2
ωτ ωτ + ω
ωp2
ω2
· 2 τ 2.
ωτ ω ωτ + ω
W metalach najczȩściej ²L ≈ 1, oraz spełniony jest warunek
ωp2 À ωτ2 .
176
(10.91)
Rysunek 10.4: Współczynnik odbicia dla a) półprzewodnika i b) metalu, dla czȩstotliwości w
pobliżu ωp , ωp /ωτ ≈ 50, linia cia̧gła - bez tłumienia, linia przerywana, z uwzglȩdnieniem tłumienia.
W takim przypadku ²1 zmienia znak w pobliżu ωp :
²1 ≈ ²L −
ωp2
.
ω2
Ponieważ ²1 jest istotne dla współczynnika załamania, n jest rzeczywiste dla ω ≥ ωp+ ,
ωp+2 =
ωp2
.
²L
i urojone dla ω < ωp+ . Dla ω < ωp+ wysta̧pi niemal całkowite odbicie r → 1. Zmiana znaku ²1 , a tym
samym i własności optycznych w pobliżu ωp nosi nazwȩ ”granicy plazmowej”, a energia h̄ωp (lub
odpowiadaja̧ca jej długość fali λp )- brzegiem (lub granica̧) plazmowa̧. Ilustruje to rysunek 10.4,
gdzie przyjȩto ωp /ωτ = 50. Dla metali granice plazmowe leża̧ w ultrafiolecie ωp ∼
= 1.6·1016 s−1 , λp =
0.1µm, h̄ωp = 11eV). Tak wiȩc dla fal o długościach λ > λp (a wiȩc ω < ωp ) metale w przybliżeniu
całkowicie odbijaja̧ padaja̧ca̧ falȩ (r → 1). Granica plazmowa tłumaczy zjawisko metalicznego
połysku.
W rozmaitych zastosowaniach chodzi o wyprodukowanie materiałów, które bȩda̧ przeźroczyste
dla fal widzialnych (0.4µm < λ < 0.8µm), natomiast bȩda̧ idealnymi zwierciadłami dla fal dłuższych
(podczerwień itp). Takie własności maja̧ warstwy z domieszkowanych półprzewodników SnO2 i
In2 O3 . W In2 O3 granica plazmowa ma wartość λp =1 µm. Dla fal λ > λp warstwa In2 O3 jest
praktycznie idealnym zwierciadłem, natomiast dla λ < λp jest całkowicie przeźroczysta. Jeśli zastosować w mieszkaniu szyby okienne pokryte warstwa̧ In2 O3 , bȩda̧ one całkowicie przeźroczyste
dla promieniowania widzialnego, i zwierciadłami dla promieniowania podczerwonego, izoluja̧c termicznie od otoczenia (p. rys. 10.5). Dane literaturowe 1 mówia̧, że odpowiednio spreparowane okna
z In2 O3 moga̧ nawet o 50 % zmniejszyć straty cieplne.
1 P.
Grosse, Freie Elektronen in Festkörpern, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1979.
177
Rysunek 10.5: Izoluja̧ca termicznie szyba z warstwa̧ In2 O3 : współczynnik odbicia R i transmisji
D, w porównaniu z wrażliwościa̧ spektralna̧ oka V i promieniowaniem cieplnym pomieszczenia P ,
z monografii P. Grosse, p. odn. s. 273.
178
Bibliografia
[1] L. D. Landau i E. M. Lifszic, Krótki kurs fizyki teoretycznej. T.1. Wyd.III (PWN, Warszawa,
1980).
[2] M. Kozielski i M. Kozielska, Wybrane zagadnienia z fizyki (Wyd. Politechniki Poznańskiej,
Poznań, 1996).
[3] L. D. Landau i E. M. Lifszic, Mechanika (PWN, Warszawa, 1961).
[4] W. Rubinowicz i W. Królikowski, Mechanika teoretyczna (PWN, Warszawa, 1955).
[5] W. S. Urbański, Mechanika teoretyczna. Wyd.II (PWN, Warszawa, 1970).
[6] C. Kittel, W. D. Knight, i M. A. Ruderman, Mechanika (PWN, Warszawa,1969).
[7] A. S. Kompaniejec, Fizyka teoretyczna (PWN, Warszawa, 1961).
[8] A. W. Astachow i J. M. Szirokow, Pole elektromagnetyczne (WNT, Warszawa, 1990).
[9] R. S. Ingarden, Elektrodynamika klasyczna i kwantowa (Wydawnictwa UMK, Toruń, 1976).
[10] R. S. Ingarden i A. Jamiołkowski, Elektrodynamika klasyczna (PWN, Warszawa, 1980).
[11] J. D. Jackson, Elektrodynamika klasyczna (PWN, Warszawa, 1982).
[12] E. Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów (PWN, Warszawa, 1964).
[13] M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna. Tom II. Pole elektromagnetyczne (Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa 1995, Wyd.5 poprawione).
[14] L. Landau i E. M. Lifszic, Teoria pola (PWN, Warszawa, 1960).
[15] L. Landau i E. M. Lifszic, Elektrodynamika ośrodków cia̧głych (PWN, Warszawa, 1960).
[16] R. Litwin, Teoria pola elektromagnetycznego (WNT, Warszawa, 1967).
[17] A. N. Matwiejew, Teoria pola elektromagnetycznego (PWN, Warszawa, 1967).
[18] T. Morawski i W. Gwarek, Teoria pola elektromagnetycznego (WNT, Warszawa, 1978).
179
[19] D. Halliday i R. Resnick, Fizyka dla studentów nauk przyrodniczych i technicznych, Tom I
i II (PWN, Warszawa, 1967).
[20] J. Stankowski i B. Czyżak, Naprzewodnictwo (Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Warszawa, 1999).
[21] W. W. Nikolskij, Elektrodinamika i rasprostranenije radiowoln (” Nauka”, Moskwa, 1978).
[22] E. M. Purcell, Elektryczność i magnetyzm (PWN, Warszawa, 1975).
[23] H. H. Skilling, Fale elektromagnetyczne (PWN, Warszawa, 1961).
[24] M. Suffczyński, Elektrodynamika (PWN, Warszawa, 1965).
[25] I. Tamm, Podstawy teorii elektryczności (WNT, Warszawa, 1967).
[26] J. E. Midwinter,l Światłowody telekomunikacyjne (WNT, Warszawa, 1983.
[27] M. Szustakowski, Elementy techniki światłowodowej (WNT, Warszawa¡ 1992.
[28] H. Haken i H. C. Wolf, Atomy i kwanty (Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1997).
[29] I. Białynicki-Birula, M. Cieplak, i J. Kamiński, Teoria kwantów (Wyd. Naukowe PWN,
Warszawa, 1991).
[30] A. Gołȩbiewski, Elementy mechaniki i chemii kwantowej, Wyd. II (PWN, Warszawa, 1984).
[31] R. Eisberg i R. Resnick, Fizyka kwantowa atomów, cza̧steczek, ciał stałych, ja̧der i cza̧stek
elementarnych (PWN, Warszawa, 1983).
[32] J. Ginter, Wstȩp do fizyki atomu, cza̧steczki i siała stałego (PWN, Warszawa, 1979).
[33] L. I. Schiff, Mechanika kwantowa (PWN, Warszawa, 1977).
[34] A. S. Dawydow, Mechanika kwantowa (PWN, Warszawa, 1967).
[35] L. D. Landau i E. M. Lifszic, Mechanika kwantowa (PWN, Warszawa, 1958).
[36] J. H. Davies, The Physics of Low-Dimensional Semiconductors. An Introduction (Cambridge
University Press, Cambridge, UK, 1998).
[37] A. Hennel, W. Krzyżanowski, W. Szuszkiewicz, i K. Wódkiewicz, Zadania i problemy z fizyki.
Cz. I: Mechanika klasyczna i relatywistyczna (Wyd.III, PWN, Warszawa, 1993).
[38] A. Hennel i W. Szuszkiewicz, Zadania i problemy z fizyki. Cz. II: Pola, Obwody, Termodynamika (Wyd. IV, PWN, Warszawa, 1997).
180
[39] M. Baj, G. Szeflińska, M. Szymański, i D. Wasik, Zadania i problemy z fizyki. Cz. III: Drgania
i fale skalarne (Wydawnictwo Naukowe PWN,Warszawa, 1993).
[40] M. Baj, G. Szeflińska, M. Szymański, i D. Wasik: Zadania i problemy z fizyki. Cz. IV: Fale
elektromagnetyczne, fale materii (Wydawnictwo Naukowe PWN,Warszawa, 1996).
[41] Zbiór zadań z fizyki, pod redakcja̧ S. M .Kozieła (PWN, Warszawa, 1990).
[42] L. G. Grieczko, W. I. Sugakow, O. M. Tomasiewicz, i A. M. Fiedorcienko, Zadania z fizyki
teoretycznej (PWN, Warszawa, 1975).
[43] I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, anmd Products, edited by
A. Jeffrey (Academic Press, Boston, 1994).
[44] Y. Chen, R. Cingolani, L. C. Andreani, and F. Bassani, Nuovo Cimento D 10, 847 (1988).
[45] D. B. Tran Thoai, R. Zimmermann, M. Grundmannn, and D. Bimberg, Physical Review B
42, 5906 (1990).
[46] A. Stahl and I. Balslev, Electrodynamics of the Semiconductor Band Edge (Springer Verlag,
Berlin–Heidelberg–New York, 1987).
[47] L. Gotthard, A. Stahl, and G. Czajkowski, J. Phys. C- Solid State Phys. 17, 4865 (1984).
[48] G. Czajkowski and I. Balslev, Phys. Stat. Sol. B 130, 655 (1985).
[49] G. Czajkowski and P. Schillak, Acta Phys. Polon. A 69, 885 (1986).
[50] G. Czajkowski and P. Schillak, Nuovo Cimento D 8, 305 (1986).
[51] G. Czajkowski and P. Schillak, Phys. Stat. Sol. B 140, 273 (1987).
[52] P. Schillak, Własności optyczne kryształów półprzewodnikowych w obszarze rezonansu
ekscytonowego, Praca Doktorska (Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń, 1987).
[53] G. Czajkowski and P. Schillak, Nuovo Cimento D 9, 781 (1987).
[54] P. Schillak, Nuovo Cimento D 11, 615 (1989).
[55] G. Czajkowski, Y. Chen, and P. Schillak, Nuovo Cimento D 11, 839 (1989).
[56] G. Czajkowski and P. Schillak, Nuovo Cimento D 11, 1535 (1989).
[57] G. Czajkowski, K.-H. Pantke, K. Ziebegk, and P. Schillak, Journ. of Crystal Growth 101,
379 (1990).
[58] G. Czajkowski and P. Schillak, Nuovo Cimento D 13, 1199 (1991).
181
[59] P. Schillak and G. Czajkowski, Nuovo Cimento D 14, 563 (1992).
[60] A. Tredicucci, Polaritons in thin layers and quantum wells, Thesis (Scuola Normale Superiore,
Pisa, 1992).
[61] G. Czajkowski and A. Tredicucci, Nuovo Cimento D 14, 1203 (1992).
[62] G. Czajkowski and A. Tredicucci, Nuovo Cimento D 14, 1283 (1992).
[63] F. Bassani, Y. Chen, G. Czajkowski, and A. Tredicucci, Phys. Stat. Sol. B 180, 191 (1993).
[64] A. Tredicucci, Y. Chen, G. Czajkowski, and F. Bassani, Journal de Physique IV, suppl.
Journal de Physique II, 203 (1993).
[65] F. Bassani, G. Czajkowski, A. Tredicucci, and P. Schillak, Nuovo Cimento D 15, 337 (1993).
[66] G. Czajkowski, F. Bassani, and A. Tredicucci, Phys. Rev. B 54, 2035 (1996).
[67] M. Abramowitz and I. Stegun (editors), Handbook of Mathematical Functions (Dover Publications, New York, N.Y., 1965).
[68] P. Moon i D. E. Spencer, Teoria pola (PWN, Warszawa, 1966).
[69] E. T. Whittaker i G. N. Watson, Kurs Analizy Współczesnej (PWN, Warszawa, 1968).
[70] F. Schwabl, Quantum Mechanics (Springer-Verlag, Berlin-Hidelberg-New York 2002).
[71] A. Messiah, Quantum Mechanics (North-Holland, Amsterdam, 1962).
[72] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, and F. Laloë, Quantum Mechanics (J. Wiley, New York, 1977).
[73] G. E. Uhlenbeck, and S. Goudsmit, Naturwiss. 13, 953 (1925); Nature 127, 264 (1926).
[74] H. Haken i H. C. Wolf, Atomy i kwanty. Wprowadzenie do współczesnej spektroskopii atomowej (Wyd. Naukowe PWN, Warszawa, 1997).
[75] R. M. Eisberg, Podstawy Fizyki Współczesnej (PWN, Warszawa, 1968).
182
Spis rysunków
2.1
Obszary całkowania w równaniach Maxwella, płat powierzchniowy S rozpięty na
krzywej C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
23
Przekrój poprzeczny betatronu przedstawiaja̧cy magnes M , cewki C oraz toroidalna̧
rurȩ R. Elektrony wychodza̧ z płaszczyzny rysunku z lewej strony i wchodza̧ z prawej. 25
2.3
Strumień magnetyczny przechodza̧cy przez orbitȩ betatronu w czasie jednego okresu.
Obrót elektronów w kierunku wskazanym na rys. 2.2 możliwy jest tylko w czasie
półokresu ac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.4
Prawo zachowania natȩżenia pra̧du całkowitego na przykładze kondensatora płaskiego. 27
2.5
Prawo Ohma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
Opór właściwy miedzi jako funkcja temperatury. Linia przerywana zastępuje od-
36
cinek krzywej między dwoma punktami zaznaczonymi w postaci kółek. Punkt oznaczony T0 , ρ0 (ρ0 = 1.56 · 10−8 Ω·m, T0 = 273.16K= 0o C.) wybrano jako punkt
odniesienia, za podręcznikiem [19]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7
Gwałtowny zanik oporu próbki rtęci w temperaturach bliskich zeru bezwzględnemu.
Na osi pionowej opór w omach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8
37
39
Zależność temperaturowa oporu dla nadprzewodnika, metalu normalnego i metalu
czystego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Pole elektromagnetyczne na granicy ośrodków. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.10 Cia̧głość składowej stycznej pola E. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.11 Prąd płynący na powierzchni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.12 Pole wewnątrz kondensatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
2.13 Pole magnetyczne w magnetyku toroidalnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
3.1
Potencjał dipola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.1
Zmienne w wyznaczaniu potencjału wektorowego A. . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4.2
Pole przewodnika kołowego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.3
Obliczanie pola magnetycznego odcinka z prądem. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
4.4
Obliczanie potencjału wektorowego pra̧du elementarnego. . . . . . . . . . . . . . .
77
2.9
183
4.5
Pra̧d elementarny liniowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
5.1
Schemat obwodu elektrycznego z pojemnością i samoindukcją . . . . . . . . . . . .
93
5.2
Natężenia prądu przy włączaniu i wyłączaniu stałej SEM . . . . . . . . . . . . . .
95
6.1
Dipol Hertza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.1
Polaryzacja fali płaskiej w płaszczyźnie xy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.2
Zależności ka̧towe przy odbiciu i załamaniu fali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.1
Schemat falowodu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.2
Schemat falowodu prostoka̧tnego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.3
Schemat światłowodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.4
Światłowód płaski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.5
Rozkład fal rozchodza̧cych siȩ w światłowodzie płaskim . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.6
Rozwia̧zanie graficzne równania (9.66) na mody własne
. . . . . . . . . . . . . . . 149
10.1 Zachowanie rezonansowe współczynnika polaryzowalności α. . . . . . . . . . . . . . 166
10.2 Zachowanie rezonansowe współczynnika załamania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.3 Dryfowanie chmury elektronowej o kulistosymetrycznym rozkładzie prȩdkości. . . . 173
10.4 Współczynnik odbicia dla a) półprzewodnika i b) metalu, dla czȩstotliwości w pobliżu
ωp , ωp /ωτ ≈ 50, linia cia̧gła - bez tłumienia, linia przerywana, z uwzglȩdnieniem
tłumienia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.5 Izoluja̧ca termicznie szyba z warstwa̧ In2 O3 : współczynnik odbicia R i transmisji
D, w porównaniu z wrażliwościa̧ spektralna̧ oka V i promieniowaniem cieplnym
pomieszczenia P , z monografii P. Grosse, p. odn. s. 273. . . . . . . . . . . . . . . . 178
184
Spis tablic
1.1
Podstawowe operacje analityczne na polach skalarnych i wektorowych. . . . . . . .
17
2.1
Przenikalność dielektryczna względna dla niektórych substancji. . . . . . . . . . . .
32
2.2
Przenikalność magnetyczna wzglȩdna dla niektórych substancji. . . . . . . . . . . .
33
2.3
Wartości przewodności właściwej dla niektórych ośrodków. . . . . . . . . . . . . . .
35
2.4
Niektóre metale i stopy metaliczne i ich temperatury krytyczne, na podstawie monografii Stankowskiego i Czyżaka [20]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
2.5
Niektóre nadprzewodniki wysokotemperaturowe i ich temperatury krytyczne. . . .
41
8.1
Wartości głȩbokości wnikania w zależności od długości fali. . . . . . . . . . . . . . 117
10.1 Porównanie koncentracji i prȩdkości nośników w metalach i półprzewodnikach. Gȩstości
nośników w cm−3 , prȩdkości w m/s, dane Ge dla temperatury T =300 K. . . . . . . 171
185
186
Skorowidz
Ag, 124, 169
czasu jednorodność, 104
akcelerator, 158
cza̧stka α, 158
kołowy, 158
czȩstość kołowa ω, 14
liniowy, 158
czterowektor
pra̧du, 111
akceptor, 171
Al, 124
Czyżak, B., 38
aluminium, 38
amper, 85
antena, 108, 131
Au, 124, 169
d’Alemberta operator, 100
d’Alemberta równanie, 100
dekrement logarytmiczny, 98
delta
Diraca, 81, 101
Bednorz, J. G., 38
betatron, 24, 161
diamagnetyki, 34
Bi, 169
dielektryk, 164
Biota–Savarta prawo, 72
dielektryki, 36
Blocha wektor, 170
dipol
Boltzmanna czynnik, 168
elektryczny, 57, 80
Boltzmanna stała, 168
Hertza, 105
Brewstera ka̧t, 128
magnetyczny, 80
domieszki, 171
całka
krzywoliniowa, 18
donor, 171
Dopplera efekt, 112
powierzchniowa, 18
podłużny, 113
cechowanie
kulombowskie, 73
poprzeczny, 113
drgania gasnące
CERN, 160
aperiodyczne, 98
Cu, 124, 169, 171
periodyczne, 98
cyklotron, 159
drobiny
cyklotronowa czȩstotliwość, 153
niepolarne, 163
czas relaksacji, 95, 173
polarne, 163
czas zderzenia, 172
Drude’go równanie, 175
187
Drude’go–Lorentza model, 172
bieża̧ca, 139
Drude, P., 172
bieżąca, 108
dryfowanie cza̧stek, 154
czȩstotliwość, 109
dryfu średnia droga, 172
długość, 90, 107, 109
dryfu prȩdkość, 154, 172, 174
faza, 108
dyspersja, 122, 151, 164
fazowa prȩdkość, 135
dyspersyjna relacja, 164
kulista, 109
dystrybucja, 67
monochoromatyczna, 115
dywergencja, 15, 16, 27
odbita, 118
dziura, 170
okres, 109
ekran przewodzący, 61
padaja̧ca, 118
ekwipotencjalna powierzchnia, 57
podstawowa, 135
elektrodynamiczna siła, 22, 85
poprzeczna, 109
elektrolity, 36
powierzchnia stałej fazy, 109
elektromagnes, 24
prȩdkość fazowa, 122
elektromotoryczna siła (SEM), 70
prędkość fazowa, 109
elektron, 77, 151
płaska, 115
defektu, 170
stała propagacji, 138
walencyjny, 164, 168, 169
tłumiona, 116
elektronowolt, 154
wnikania głȩbokość, 116
elektrostatyka, 52
załamana, 118
równania, 55
fale
energia
TE, 133, 140
dipola w polu elektrycznym, 68
magnetyczna, 84
TM, 133, 140
falowód
oddziaływania układu ładunków, 67
fale TE, 137
pojedynczego ładunku, 68
fale TM, 133
pola elektromagnetycznego, 48
graniczna czȩstotliwość, 138
pola elektrostatycznego, 66
graniczna długość fali, 136
pola elektrycznego, 49
graniczne czȩstotliwości, 136
pola magnetycznego, 49, 71
prostoka̧tny, 138
potencjalna prądu element., 88
prostoka̧tny, fale TE, 140
potencjalna, elektrostatyka, 56
prostoka̧tny, fale TM, 142
Rydberga atomu wodoru, 166
prostoka̧tny, graniczna czȩstotl., 142
wia̧zania, 168
fala
prostoka̧tny, mody, 142, 143
falowody, 131
188
falowy oprór, 107
Hertza dipol, 105
składowe pola, 107
farad, 22, 63
histereza, 30, 34
Faradaya prawo, 155
ferromagnetyki, 34
impedancja, 97
fotoprzewodniki, 36
impedancja właściwa, 115
Fouriera przedstawienie
In2 O3 , 177
funkcja delta, 101
indukcja
Fouriera transformata, 102, 104
elektryczna, 166
Fresnela wzory
indukcja elektromagnetyczna, 91
padanie normalne, 122, 123
indukcja magnetyczna, 21
padanie ukośne, 124, 127
indukcja własna, 84
funkcja
indukcji wzajemnej współczynniki, 84, 93
delta Diraca, 67, 101
InSb, 171
dielektryczna, 31
izolator, 36, 168
pola, 14
funkcjonał Diraca, 67
Joule’a ciepło, 175
funkcjonał Diraca, 101
Joule’a–Lenza ciepło, 48
Kamerlingh Onnes, H., 38
Gaussa–Ostrogradskiego prawo, 28
Gaussa–Ostrogradskiego twierdzenie, 16, 48, 79
gaz elektronowy, 169
Ge, 171
Karaśkiewicz, E., 18, 88
Kelvina stopnie, 37
kondensator, 27, 61
okładka, 61
german, 38
płaski, 63
Ginzburg, W. L., 38
pojemność, 63
gradient, 15, 55, 57, 90
współrzȩdne kuliste, 107
graniczny ka̧t, 129
pojemność, 62
konduktywność, 34
kryształ
Greena funkcja, 100
jonowy, 168
dla operatora różniczkowego, 102
jednorodna, 102
molekularny, 168
krzywa
osobliwa, 102
regularna, 17
równania d’Alemberta, 103, 104
równania Poissona, 103, 104
retardowana, 105
Grosse, P., 177
henr, 22, 84
zamkniȩta, 18
kulomb, 21
kwarc, 34
kwarki, 151
Landau, L. D., 38
189
Laplace’a równanie, 55, 72
skł. styczna E, 45
laplasjan, 16, 55
skł. styczna H, 45
laser, 144
metal, 168
linie
metale, 36
sił pola, 29
metoda
linie przesyłowe, 131
obrazów, 63
Lorentz, H. A., 172
rozdzielenia zmiennych, 141
Lorentza
Midwinter, J. E., 144
siła, 84, 151, 170, 172
Minkowskiego przestrzeń, 111
warunek, 100, 106
moment
ładunek, 29
dipolowy, 57, 163, 164
ładunku gȩstość, 21
dipolowy dynamiczny, 165
łuk regularny, 17
magnetyczny, 155, 156
magnetyczny,
magnetostatyka, 52
magnetyczna butelka, 156
magnetyczne zwierciadło, 156
adiabatyczna niezmienniczość, 156
moment dipolowy
magnetyczny
masa
efektywna, 170, 172, 174
relatywistyczna, 160
materiałowe równania, 22, 30, 51, 176
prądu elementarnego, 79
Müller, K. A., 38
nadprzewodnictwo, 38
Maxwell, J. C., 20
Maxwella
wysokotemperaturowe, 38
nadprzewodniki
równania, 20, 23, 176
kowariantne, 112
temperatury kryttyczne, 38
nadprzewodniki wysokotemperaturowe, 38
równania dla pola quasistacjon., 90
napiȩcie, 24
równania, postać różniczkowa, 23
napięcie
równania, pole bezźródłowe, 115
spadek, 36
równania, poprzez potencjały, 100
niob, 38
równania, postać całkowa, 23, 42
niuton, 85
równania, postać różniczkowa, 51
nośników ruchliwość, 174
układ równań, 29
nośniki ładunku, 170
układ równań całkowych, 29
układ równań różniczkowych, 30
obwód
drgający, 97
warunki graniczne, 42
skł. normalna B, 42
LC, 93
skł. normalna E, 43
odbicia ka̧t, 121
190
odbicia współczynnik, 123
plazmowa granica, 177
odbicie zupełne, 130
Po, 158
om, 36
podatność
operator
elektryczna, 164
d’Alemberta, 100
zespolona, 167
Laplace’a, 16, 55
Poissona równanie, 55, 73, 103
nabla, 15, 30
pojemność kondensatora, 93
odwrotny, 101
pola
różniczkowy, 101
wartość własna, 102
opór
statyczne, 52
pola równania, 20
polaryzacja, 33, 163
całkowity, 91
polaryzacja fali
falowy, 107
eliptyczna, 117
omowy, 95
kołowa, 117
właściwy, 36, 174
liniowa, 117, 128
właściwy dynamiczny, 176
polaryzacja p, 126
właściwy,
polaryzacja s, 126
współczynnik temperaturowy, 37
opóźnienie, 108
przez odbicie, 128
polaryzowalność
optyczne własności, 176
atomu, 165
orbital, 169
atomu wodoru, 166
oscylator harmoniczny
dynamiczna, 165, 166
równanie, 94
oscylatora siła, 166
ośrodki anizotropowe, 31
ośrodki izotropowe, 31
statyczna, 166
polaryzowalności współczynnik, 164
pole
bezźródłowe, 28, 115
ośrodki jednorodne, 33
elektromagnetyczne, 19, 21
ośrodki niejednorodne, 33
elektryczne przyłożone, 51
padania ka̧t, 121
elektryczne, pow. przewodnika, 60
padania płaszczyzna, 120
grawitacyjne, 20
paramagnetyki, 34
konserwatywne, 56
pasmo
magnetostatyczne, 69
magnetyczne
energetyczne, 168
prąd elementarny, 80
przewodzenia, 168, 169
magnetyczne quasistacjonarne, 89
walencyjne, 169, 170
plazmowa czȩstotliwość, 167, 176
magnetyczne, indukcja, 21
191
magnetyczne, natȩżenie, 22
Joule’a–Lenza, 69, 175
quasistacjonarne, 89
różniczkowe, 71
skalarne, 14
magnetyczne Gaussa, 29
wektorowe, 14, 22
Ohma, 30, 34, 36, 70, 174
potencjał
uogólnione, 69
cechowanie, 56
Ohma lokalne, 174
elektrostatyczny, 55
Ohma w postaci całkowej z uwzględnieniem
indukcji elektromagnetycznej, 91
elektryczny, 55
elektryczny dipola, 58
Ohma w postaci różniczkowej, 91
elektryczny układu ładunków punkt., 57
Snelliusa, 121
elektryczny ładunku punkt., 57
zachowania ładunku, 29
powierzchnia stałego p., 57
pra̧du całkowitego gȩstość, 27
skalarny, 90, 91, 99
pra̧d elementarny, 77
skalarny, dipol Hertza, 107
pra̧du gȩstość, 21
wektorowy, 72, 77, 78, 90, 91, 99, 106
pra̧d kołowy, 155
cechowanie, 73
pra̧d liniowy, 21
prąd elementarny, 79
prąd liniowy, 74
potencjały
pra̧du natȩżenie, 21
awansowane, 105
pra̧d przesuniȩcia, 27
elektromagnetyczne retardowane, 105
prąd przesunięcia, 90
powierzchnia stałej fazy, 115
pra̧d przewodzenia, 26
powierzchniowa gȩstość pra̧du, 46
prąd przewodzenia, 89
powierzchniowa gęstość ładunku, 44
pra̧du stałego źródła, 70
powłoka
pra̧d wymuszony, 48
elektronowa
promień
Bohra atomu wodoru, 166
walencyjna, 164
Poyntinga wektor, 49, 116, 122, 130, 136
proton, 151
półmetale, 169
próżnia, 22
półprzewodnik, 36, 169
przejścia współczynnik, 123
prawo
przenikalność
Ampere’a, 23
elektryczna, 31
Biota–Savarta, 75
elektryczna próżni, 22, 32
Coulomba, 57
elektryczna względna, 32, 33
elektryczne Gaussa, 29, 57, 60
magnetyczna, 31
Gaussa–Ostrogradskiego, 28
magnetyczna próżni, 22, 32
indukcji uogólnione, 23
magnetyczna wzglȩdna, 32
192
magnetyczna względna, 34
Stankowski, J., 38
przerwa energetyczna, 168
Stokesa twierdzenie, 17, 18, 23
przestrzeni jednorodność, 104
strefa
przesunięcie fazowe, 97
bliska (indukcji), 107
przewodnicwto właściwe, 31
daleka (promieniowania), 107
przewodnik
strumień
magnetyczny, 24, 83
liniowy, 83
rotacji wektora, 18
przewodność, 174
wektora przez powierzchniȩ, 16
dynamiczna, 176
zespolona, 175
przewodność właściwa, 34
symetrii własności, 103
synchrotron, 160
Szustakowski, M., 144
rotacja, 15, 24, 90
podwójna, 73
średnia droga swobodna, 174
światłowód, 131, 144
Röntgena promienie, 24, 161
światłowód płaski, 144, 145
Rydberga energia
światłowodu płaszcz, 144
atom wodoru, 166
samoindukcji współczynnik, 84, 93
siemens, 36
siła
światłowodu rdzeń, 144
światłowód, schemat, 144
światłowód, wartości własne, 147
temperatura, 37
Coulomba, 172
elektrodynamiczna, 22, 85
krytyczna, nadprzewodnictwo, 38
tensor
elektromotoryczna , 92
dielektryczny, 31
Lorentza, 151, 172
dualny, 111
na prąd elementarny, 88
pola, 111
oscylatora, 166
przenikalności elektrycznej, 31
sprȩżysta, 165
przenikalności magnetycznej, 31
wymuszająca, 94
przewodnictwa, 31
Snelliusa prawo, 121
wzbudzenia, 111
SnO2 , 177
tesla, 21
spadek napięcia, 93
Thomsona model, 164
stała
Thomsona wzór, 97
Boltzmanna, 37
tłumienia współczynnik, 167
czasowa indukcyjna, 95
transformator, 92
dielektryczna, 32
twierdzenie
propagacji, 142
Gaussa–Ostrogradskiego, 16, 48, 79
193
Stokesa, 17, 18, 23
źródła pola, 29
tytanian baru, 32
van de Graffa generator, 158
weber, 21
wektor
funkcja parametru, 13
indukcji elektrycznej, 22
jednostkowy, 12
jednostkowy styczny, 18
moduł, 11
namagnesowania, 33
natȩżenia pola elektrycznego, 19
polaryzacji, 33, 163
Poyntinga, 49
wodza̧cy, 12, 21
wektory
dodawanie, 12
iloczyn skalarny, 12
iloczyn wektorowy, 12
iloczyn wektorowy podwójny, 13
iloczyny, 12
pola elektromagnetycznego, 42
wielkości
natȩżeniowe, 22
siłowe, 22
współrzędne
kuliste, 106
sferyczne, 103, 106
zagadnienie
własne, 102
załamania wspólczynnik, 121, 125, 144, 164, 177
załamania wspólczynnik zespolony, 167
zasada
zachowania energii, 153
zawada, 97
194

Podobne dokumenty