wykład część 2

.
o
w
ć
ś
i
l
d
•
a
,
z
r
a
o
u
u
o
r
p
e
c
s
o
n
e
w
w
a
ę
c
z
n
a
ę
c
e
r
z
p
t
k
d
t
d
j
d
b
i
l
t
i
•
w
m
s
y
s
z
w
e
e
r
z
p
n
e
m
w
y
u
y
e
a
i
k
t
d
ć
i
i
t
ż
l
N
.
a
n
n
a
o
w
y
i
k
c
o
a
ą
r
a
m
a
n
e
w
o
p
o
ę
s
y
u
s
o
p
y
e
n
a
c
a
u
s
y
e
a
i
ś
k
j
i
i
d
i
d
i
ć
ż
ł
ż
l
i
j
t
j
i
k
t
W
.
a
n
n
a
o
w
y
i
k
c
o
a
m
o
o
z
p
y
n
w
a
e
c
z
o
s
e
c
o
n
o
g
z
e
w
o
y
n
e
c
o
w
ą
a
s
o
i
ś
k
j
i
i
k
t
j
i
ś
d
j
t
d
P
.
y
n
a
r
z
w
a
w
y
y
m
a
g
a
u
s
u
u
r
w
y
t
ć
b
)
ł
b
l
b
ó
(
,
u
o
r
p
n
e
m
yr
w
o
g
e
n
c
z
g
o
o
n
c
e
s
u
e
c
o
r
p
m
a
c
o
w
o
m
t
k
d
t
ó
t
k
i
l
h
t
i
i
ś
i
l
ż
,
a
u
u
o
r
p
u
e
o
r
p
z
m
c
y
ą
a
n
w
y
m
a
n
ga
m
a
w
y
t
k
d
t
k
j
i
j
k
i
i
i
•
•
y
z
ę
m
c
o
n
o
g
z
e
n
a
a
s
e
y
z
n
a
a
e
ą
o
s
d
i
i
ś
d
i
d
b
t
j
i
l
j
t
t
t
I
.
.
s
s
y
n
a
a
y
a
p
c
a
s
s
e
c
o
r
p
g
n
a
u
s
e
c
r
o
p
c
o
n
o
y
w
ą
z
a
n
)
i
l
t
i
l
i
b
(
i
ś
l
d
i
l
A
.
u
y
n
r
k
r
w
n
e
m
ó
t
.
o
m
e
n
e
m
e
e
m
y
n
o
s
s
e
p
o
r
a
ą
t
l
t
t
i
t
j
)
X
(
ć
ś
t
W
X
t
i
d
o
u
ę
g
z
w
ez
u
u
o
r
p
ą
c
o
w
a
w
ą
n
az
c
z
s
u
o
p
ą
z
s
ę
w
a
n
s
e
p
d
l
t
k
d
i
ś
i
l
d
l
d
k
i
j
t
j
)
X
(
p(X) ≤ po(X)
g
h
ż
l
d
ż
ć
b
ż
i
t
k
d
z
n
y
c
s
o
n
g
a
ą
n
n
i
i
,
o
w
n
r
e
n
s
e
a
o
n
n
e
s
p
u
a
y
p
z
r
m
p
y
n
r
e
o
n
w
y
z
c
e
c
e
gn
y
z
r
s
z
o
ć
ś
ó
i
t
j
i
ł
k
d
t
k
k
i
i
t
e
z
s
w
az
c
ę
w
s
e
u
s
e
oc
r
p
c
o
n
o
y
w
y
z
a
n
a
e
z
n
y
c
s
y
a
s
m
e
e
i
t
j
i
ś
l
d
i
l
j
t
t
t
l
C
,
s
a
m
o
a
n
u
u
o
r
p
.
t
i
t
t
k
d
e
n
n
e
m
z
c
o
r
a
w
c
y
n
a
ą
o
p
e
n
m
r
e
o
z
o
p
s
e
X
j
i
i
ś
t
h
d
ż
i
i
b
d
t
j
e
c
s
o
n
e
w
e
z
n
y
c
s
o
n
g
a
e
n
n
e
m
z
e
n
a
w
o
w
r
s
e
o
ą
c
az
a
r
e
s
e
x
e
z
g
t
d
j
X
j
t
i
d
j
i
j
b
j
i
l
t
j
i
d
−
s
e
y
c
n
o
r
a
a
n
o
r
y
e
o
m
u
u
o
z
e
m
z
e
d
r
−
i
j
k
j
i
t
k
g
X
p
c
p
e
c
o
n
e
w
o
g
n
e
r
a
m
a
n
p(X) = P(x ∈ X )
(2)
(5)
o
c
ą
u
p
ę
s
a
n
a
y
m
e
u
n
e
z
p
m
e
o
m
y
s
y
m
y
z
c
a
z
n
o
o
w
a
j
t
j
j
i
i
f
d
i
)
X
(
l
b
ć
ś
i
l
d
W
.
,
ą
z
n
c
y
s
o
n
g
a
ę
c
e
c
ą
z
c
y
n
e
o
p
a
n
u
ę
g
z
w
z
e
u
u
t
i
d
h
d
j
d
l
t
k
d
r
a
n
e
m
u
r
s
c
o
w
a
w
e
n
a
w
ez
c
o
e
w
a
s
o
p
a
n
a
n
a
n
e
oc
s
e
u
s
e
oc
r
o
p
p
i
i
t
i
ś
i
l
d
j
i
k
i
t
d
i
t
j
,
m
a
c
o
w
o
m
u
e
o
r
p
m
a
n
a
g
a
m
y
w
y
z
ę
m
o
n
o
g
z
e
y
m
a
i
i
ś
i
l
ż
i
t
k
j
i
i
d
i
ć
ś
d
ż
ż
ó
ł
Z
r
X = {0;1}, X = {0},
ο
+
:
o
c
ą
p
u
ę
s
a
n
u
ę
s
ą
a
w
a
s
e
z
p
j
t
t
i
j
i
t
d
,
X = {1}
−
y
o
r
z
e
y
w
o
p
e
n
a
w
o
n
e
z
c
ę
w
a
ż
i
b
j
i
i
f
d
i
k
T
X ,X+ i X
ο
y
w
y
w
y
c
o
c
o
a
ga
h
i
ś
k
j
ń
i
a
ma
l
i
k
t
d
j
d
n
e
p
s
e
n
a
s
o
n
e
g
1
w
y
w
y
e
o
c
o
a
a
n
a
g
a
m
a
n
e
p
s
a
s
o
n
e
g
i
ś
k
j
i
i
l
k
t
d
j
d
0

x=

−
:
y
u
g
e
e
r
c
ą
p
u
ę
s
a
n
ł
j
j
t
,
g
u
e
w
y
c
n
a
w
o
e
n
r
e
g
x
c
a
ac
z
a
e
o
r
a
w
o
s
o
a
n
n
e
m
z
ł
d
h
)
(
h
j
i
l
X
l
i
,
,
3
a
w
o
n
y
e
o
e
z
r
s
e
c
e
c
u
a
g
e
g
a
r
e
c
ę
z
c
o
a
y
ec
c
k
d
j
t
j
h
t
)
j
i
ś
(
b
l
h
e
n
a
a
m
e
z
a
o
r
m
y
w
o
z
c
u
a
p
y
z
p
r
m
y
n
a
a
w
z
o
r
ż
j
d
b
b
b
i
l
k
d
W
.
u
u
r
o
p
c
w
o
c
a
w
t
k
d
i
ś
i
ś
ł
e
n
e
c
o
e
n
w
y
n
a
r
e
a
y
z
r
p
u
s
e
c
r
o
p
c
n
o
o
y
w
e
n
a
a
t
t
i
j
l
i
ś
l
d
i
d
B
n
.
i
ś
i
l
b
ó
e
z
:
r
p
z
ą
c
o
w
a
w
s
e
w
=
e
s
n
o
e
a
c
a
r
o
s
e
zn
.
k
t
d
j
j
k
f
t
t
J
/
i
k
u0 =
b
ó
i
ś
i
l
d
t
j
i
d
:
a
s
po
ć
t
s
e
a
s
y
z
r
o
y
w
a
n
m
o
.
a
m
a
w
o
s
e
a
c
n
u
u
a
p
y
z
p
r
m
y
n
a
a
wz
o
r
u
c
n
o
z
c
o
e
c
r
h
i
l
d
g
w
p
w
c
y
w
a
w
t
t
j
k
f
k
d
ż
W
t
t
ć
t
k
ż
,
e
w
o
r
e
z
y
z
e
p
o
c
a
y
e
r
w
o
o
a
n
z
c
e
n
z
c
e
a
s
o
s
e
a
r
p
e
j
t
i
h
i
j
k
i
f
d
t
i
l
i
t
t
d
t
j
k
b
ó
i
l
ś
J
e
n
wy
a
n
e
r
a
y
z
e
po
c
e
o
w
j
t
t
l
t
i
h
b
c
a
s
po
e
w
o
e
r
z
y
z
e
po
c
a
y
e
r
w
o
e
c
o
s
w
ę
s
a
z
a
w
o
p
r
s
u
s
e
c
o
p
r
i
t
j
t
i
h
i
j
k
i
f
d
i
t
i
i
d
c
n
o
o
y
w
e
n
a
a
u
u
o
p
r
c
o
w
c
a
w
y
n
e
c
o
e
n
wy
a
n
e
r
a
u
a
p
y
z
p
r
i
ś
l
d
i
d
b
t
k
d
i
ś
i
ś
ł
j
t
t
l
k
d
W
p(X) = P(x ∈ X ) = P(x = 1)
−
Ho: p(X) ≤ po (X)
H1: p(X) > po(X)
w − p0 ( x )
w(1 − w )
n
u
r
o
z
w
e
z
a
n
y
w
s
e
c
o
p
r
y
n
a
a
k
i
d
b
,
z
e
z
p
r
g
o
e
n
a
w
o
e
r
n
e
g
u
u
o
r
p
a
n
e
m
u
r
s
o
w
a
w
c
n
e
w
e
s
n
o
t
k
d
i
i
t
ć
ś
i
l
d
i
j
k
k
W
d
l
u
z
y
C
z
ę
g
w
)
%
1
z
(
1
0
e
t
k
0
u
d
u
r
o
ć
.
i
k
i
l
f
k
0
0
a
w
0
=
n
1
o
w
a
i
c
o
ś
z
a
a
z
c
n
i
o
l
n
mo
y
e
w
o
j
z
n
c
g
s
o
c
e
l
o
o
n
b
r
p
w
ó
c
e
s
e
c
i
l
e
e
y
i
ś
t
t
i
i
i
ć
i
d
c
o
n
o
s
e
m
o
z
o
p
a
n
z
a
w
r
o
p
z
e
r
p
y
e
a
n
e
n
a
w
5
o
0
o
s
0
n
.
.
=
α
w
ż
l
i
k
i
,
m
ż
ó
a
c
y
w
a
w
e
s
o
n
e
z
=
o
n
z
o
e
a
z
n
ż
ł
Z
?
h
i
l
d
k
t
d
j
2
1
i
l
,
y
ś
r
o
p
y
j
n
a
w
l
n
y
o
w
d
r
o
w
e
o
k
s
a
j
o
ż
i
l
h
t
b
.
o
p
=
)
(
i
e
m
X
p
ć
ś
w
i
o
l
d
z
o
o
p
a
n
o
i
a
ą
w
l
z
n
c
a
z
n
o
l
s
p
s
a
u
t
u
d
o
a
X
ą
s
n
n
e
m
z
a
n
i
z
k
i
ę
j
w
a
N
Przykład
Po podstawieniu wartości do wzoru mamy:
u0 =
0.012 − 0.01
= 0.5808
0.012 * 0.988
1000
Z tablic statystycznych odczytujemy wartość krytyczną u0.05 =
1.645. Ponieważ
uo = 0.5808 < u0.05 = 1.645
przeto nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że p(x) ≤ 0.01.
Badany proces technologiczny należy więc zakwalifikować jako
wydolny.#
 1  x − µ 2 
1
f ( x) =
exp  − 
 
2π
 2  σ  
f(x)
68,26%
95,45%
99,73%
-3 σ
-2σ
-σ
µ
+σ
+2 σ
+3 σ
x
Wartości ϕ(u) dystrybuanty rozkładu normalnego (0,l)
u
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0.9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,00
0,500
0
,5398
,5793
,6179
,6554
,6915
,7257
,7580
,7881
,8159
0,841
3
,8643
,8849
,9032
,9192
,9332
,9452
,9554
,9641
,9713
0,977
2
,9821
,9861
,9893
,9918
,9938
,9953
,9965
,9974
,9981
0,01
0,504
0
,5438
,5832
,6217
,6591
,6950
,7290
,7611
,7910
,8186
0,843
8
,8665
,8869
,9049
,9207
,9345
,9463
,9564
,9649
,9719
0,977
9
,9826
,9864
,9896
,9920
,9940
,9955
,9966
,9975
,9982
0,02
0,508
0
,5478
,5871
,6255
,6628
,6985
,7324
,7642
,7939
,8212
0,846
1
,8686
,8888
,9066
,9222
,9357
,9474
,9573
,9656
,9726
0,978
3
,9830
,9868
,9898
,9922
,9941
,9956
,9967
,9976
,9982
0,03
0,512
0
,5517
.5910
,6293
,6664
,7019
,7357
,7673
,7967
,8238
0,848
5
,8708
,8907
,9082
,9236
,9370
,9484
,9582
,9664
,9732
0,978
8
,9834
,9871
,9901
,9925
,9943
,9957
,9968
,9977
,9983
0,04
0,516
0
,5557
,5948
,6331
,6700
,7054
,7389
,7704
,7995
,8264
0,850
8
,8729
,8925
,9099
,9251
,9382
,9495
,9591
,9671
,9738
0,979
3
,9838
,9875
,9904
,9927
,9945
,9959
,9969
,9977
,9984
0,05
0,519
9
,5596
,5987
,6368
,6736
,7088
,7422
,7734
,8023
,8289
0,853
1
,8749
,8944
,9115
,9265
,9394
,9505
,9599
,9678
,9744
0,979
8
,9842
,9878
,9906
,9929
,9946
,9960
,9970
,9978
,9984
0,06
0,523
9
,5636
,6026
,6406
,6772
,7123
,7454
,7764
,8051
,8340
0,855
4
,8770
,8962
,9131
,9279
,9406
,9515
,9608
,9686
,9750
0,980
3
,9846
,9881
,9909
,9931
,9948
,9961
,9971
,9979
,9985
0,07
0,527
9
,5675
,6064
,6443
,6808
,7157
,7486
,7794
,8078
,8340
0,857
7
,8790
,8980
,9147
,9292
,9418
,9525
,9616
,9693
,9756
0,980
8
,9850
,9884
,9911
,9932
,9949
,9962
,9972
,9779
,9985
0,08
0,531
9
,5714
,6103
,6480
,6844
,7190
,7517
,7823
,8106
,8365
0,859
9
,8810
,8997
,9162
,9306
,9429
,9535
,9625
,9699
,9761
0,981
2
.9854
,9887
,9913
,9934
,9951
,9963
,9973
,9980
,9986
0,09
0,535
9
,5753
,6141
,6517
,6879
,7224
,7549
,7852
,8133
.8389
0,862
1
,8830
,9015
,9177
,9319
,9441
,9545
,9633
,9706
,9767
0,981
7
,9857
,9890
,9916
,9936
,9952
,9964
,9974
,9981
,9986
Kwantyle u(p) rzędu p
rozkładu normalnego (0,l)
p
0,90
0,95
0,975
0,99
0,995
u(p)
1,28
1,64
1,96
2,33
2,58
Badanie wydolności procesu przy liczbowej ocenie właściwości
produktu
Załóżmy obecnie, że liczbowym obrazem pojedynczej (użytkowej
lub technicznej) cechy produktu, jest ciągła zmienna losowa X,
którą potraktujemy jako zmienną diagnostyczną. W takiej sytuacji
+
podzbiór wartości pożądanych X przybiera postać przedziału
liczbowego na osi badanej zmiennej, nazywanego przedziałem
tolerancji. Przedział ten będziemy oznaczać symbolem Xo. W
przedziale tolerancji wyróżnia się często wartość optymalną
(najbardziej pożądaną) xo ∈ Xo.
Przedział tolerancji może być ograniczony obustronnie
[xd ; xg ]
albo jednostronnie
(a; xg]
[xd; b)
Wartości a i b nie są tu ograniczeniami w sensie wymagań
jakościowych. Są one uwarunkowane formalnymi własnościami
przyjętej skali pomiarowej, albo nawet technicznymi
własnościami zastosowanego instrumentarium pomiarowego. Jeśli
- na przykład - badaniu podlega procentowe stężenie jakiegoś
składnika w produkcie, to a = 0%, b = 100%.
Ustalmy uwagę na przypadku, gdy zmienna ta ma rozkład
normalny. Mamy więc X ~ N(M;σ)
gdzie σ oznacza odchylenie standardowe, będące miarą
zróżnicowania własności produktu ze względu na zmienną X,
natomiast M jest zbiorem możliwych do uzyskania wartości µ.
Zakładamy więc - zgodnie z techniczną naturą rozważanego
problemu - że odchylenie standardowe (σ) jest ustalone, natomiast
na wartość oczekiwaną (µ) można w pewnych granicach
oddziaływać poprzez wybór odpowiednich parametrów
funkcjonowania urządzenia produkcyjnego. W świetle
przedstawionych powyżej zależności, między projektem i
procesem technologicznym zachodzi zgodność, gdy
P(x ∉ Xo) = p(X) ≤ po(X)
(18)
P(x ∈ Xo) = 1 - p(X) ≥ 1 - po(X)
(19)
albo
Przykład
Załóżmy, że wymagania techniczno-marketingowego
projektu produktu są następujące:
Xo = [10;20], xo = 15, po(X) = 0.03 (3%).
Produkt ma być wytwarzany w procesie
technologicznym o następujących możliwościach:
µ ∈ M = [12;16], σ = 2
Czy proces ten jest wystarczająco wydolny?
Ponieważ xo ∈ M, przeto można przyjąć, że xo = µ = 15.
Wykorzystując elementarne własności rozkładu normalnego,
mamy:
p(X) = P(X < 10) + P(X > 20) = Φ[(10-15)/2] + 1 Φ[(20-15)/2]=
= Φ(-2.5) + 1 - Φ(2.5) = 0.00621 + 1 - 0.99379 =
= 2*0.00621 = 0.01242 (1.2%)
Ponieważ
p(X) = 1.2% < po(X) = 3%
przeto zachodzi zgodność miedzy wymaganiami projektu i
możliwościami procesu technologicznego. Uregulowany
proces technologiczny będzie generował strumień produktu o
wadliwości 1.2%, podczas gdy największa dopuszczalna
wadliwość wynosi 3%. #
Sypki produkt paczkowany jest automatycznie w postaci torebek o nominalnej
zawartości x0=200g, przy czym dopuszcza się odchylenia -4g i +2g. Ustalono,
że rzeczywista zawartość torebki jest zmienną losową o normalnym rozkładzie
prawdopodobieństwa o odchyleniu standardowym σ = 2g. Wartość przeciętną
tej zmiennej (µ) można ustalić na dowolnym poziomie w przedziale od 190g do
210g. Ocenić wydolność maszyny do paczkowania, jeśli chcemy by frakcja
torebek nie mieszczących się w przedziale tolerancji nie przekraczała 5%.
Zalecenia norm międzynarodowych dotyczące oceny wydolności procesu
(PN-ISO 3542-2)
gdzie
PCI 6σ
U −L
=
6σ
lub
PCI σ =
L – dolna granica przedziału tolerancji
U – górna granica przedziału tolerancji
σ- odchylenie standardowe zmiennej losowej
o rozkładzie normalnym
U −L
σ
Wykorzystując dotychczasowe oznaczenia można zapisać:
PCI 6σ =
x g − xd
lub
PCI σ =
x g − xd
przy czym
PCI 6σ =
PCI σ
6
6σ
σ
Jeżeli PCIσ < 6 lub PCI6σ < 1, to istnieje niska względna zdolność procesu;
Jeżeli 6 < PCIσ < 8 lub 1< PCI6σ < 1,33, to istnieje średnia względna zdolność procesu;
Jeżeli PCIσ > 8 lub PCI6σ > 1,33, to istnieje wysoka względna zdolność procesu;
Warunki stosowalności:
-Zmienna losowa X, charakteryzująca możliwości procesu technologicznego ma rozkład zbliżony do normalnego
-Przedział tolerancji, charakteryzujący wymagania procesu, jest ograniczony obustronnie
- Wartość nominalna jest położona centralnie w przedziale tolerancji
-Spełniona jest zależność x0=µ = m0, gdzie mo= (xd+xg)/2
Przykład
Zbadać wydolność procesu wiedząc, że:
Wymagania projektu:
X+= [10;20], x0 = 15, p0(X) = 0,03
Możliwości procesu:
µ ∈ [12; 16], σ = 2
Rozwiązanie:
PCI6σ = (20 -10)/(6⋅2) = 10/12 = 0,833
(proces technologiczny jest niewydolny)
Badanie wydolności przy jednostronnym ograniczeniu przedziału tolerancji
Jeżeli przedział tolerancji ograniczony jest jednostronnie i zmienna diagnostyczna jest:
- destymulantą jakości to wówczas można wykorzystać charakterystykę:
CPU = (xg - µ)/3σ
- stymulantą jakości to wówczas można wykorzystać charakterystykę:
CPU = (µ - xd)/3σ
Badanie wydolności przy uchylonym założeniu µ = x0=mo
I etap:
Wyznaczenie współczynnika korekcyjnego:
k=
x0 − µ
min{( x g − x0 ), ( x0 − xd )}
Jeżeli µ = x0 ≠ m0, to wówczas do wzoru w miejsce x0 należy podstawić m0.
II etap
Wyznaczenie skorygowanego wskaźnika wydolności:
Cpk = Cp(1-k)
W sytuacji, gdy: µ = x0 ≠ m0, skorygowany wskaźnik wydolności można wyznaczyć
ze wzoru:
C pk = C p −
m0 − µ
3σ
=
x g − xd
6σ
−
m0 − µ
3σ
Przykład
Zbadać wydolność procesu wiedząc, że:
Wymagania projektu:
X+= [10;20], x0 = 12,
Możliwości procesu:
µ ∈ [12; 16], σ = 2
Rozwiązanie:
C pk = C p −
m0 − µ
3σ
=
x g − xd
6σ
−
m0 − µ
3σ
=
=
20 − 10 15 − 12
4
−
=
= 0,333
6⋅2
3⋅ 2
12
lub
k=
m0 − µ 0
min{( x g − m0 ), ( m0 − xd )}
=
15 − 12
min{( 20 − 15), (15 − 10)}
=
3
= 0,6
5
Cp = (20 – 10)/12 = 10/12
Cpk = Cp(1-k) = 10/12 (1-0,6) = 4/12 = 0,333
(proces ten nie jest wydolny)