wpływ parametrów kul na efektywność synchronicznego eliminatora

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
43, s. 185-192, Gliwice 2012
ISSN 1896-771X
WPŁYW PARAMETRÓW KUL NA EFEKTYWNOŚĆ
SYNCHRONICZNEGO ELIMINATORA DRGAŃ
JERZY MICHALCZYK, SEBASTIAN PAKUŁA
AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Katedra Mechaniki i Wibroakustyki
e-mail: [email protected], [email protected].
Streszczenie. Zbadano wpływ masy, liczby kul i ich własności tarciowych
w synchronicznym eliminatorze drgań na jego skuteczność. Do budowy modelu
przyjęto płaski układ korpusu maszyny z bębnem wypełniony jednowarstwowym
zestawem kul. Na podstawie dokonanych symulacji wyznaczono charakterystyki
amplitudowe w stanach ustalonych. Pokazują jak optymalnie dobrać parametry kul w
celu uzyskania jak najwyższej efektywności eliminatora.
1. WSTĘP
Istnieje wiele rozwiązań mających na celu eliminację drgań pochodzących od maszyn [1].
Wśród nich wyróżnia się grupy eliminatorów drgań: pasywnych, półaktywnych oraz
aktywnych. Eliminatory półaktywne oraz aktywne pracują zwykle w pętli sprzężenia
zwrotnego i umożliwiają ciągłą regulację parametrów pracy urządzenia. Wymaga to
zastosowania odpowiednich czujników, zewnętrznego źródła zasilania oraz dodatkowych
elementów generujących siły. Pasywne eliminatory drgań są pozbawione tych wad, jednak
sprawdzają się wyłącznie wtedy, gdy parametry pracy urządzenia generującego drgania są
stałe. Zalety każdej z tych grup posiadają synchroniczne eliminatory drgań [2],[3].
Przedstawiono model matematyczny maszyny wirnikowej wraz z synchronicznym
eliminatorem drgań. Utworzony model posłużył następnie do utworzenia symulacji rozruchu
maszyny aż do osiągnięcia stanu ustalonego. Symulacje przeprowadzano, zmieniając kolejno:
liczbę kul znajdujących się w bębnie, łączną masę kul oraz parametry tarciowe kul. W ten
sposób udało się określić wpływ każdego z tych parametrów na efektywność eliminatora.
Otrzymane wyniki pozwalają na określenie optymalnego doboru parametrów kul.
2. BUDOWA I ZASADA DZIAŁANIA SYNCHRONICZNEGO ELIMINATORA DRGAŃ
Schemat budowy eliminatora drgań przedstawiono na rys. 1. Pokazano na nim
wibroizolowaną maszynę wirnikową o niewyważonym statycznie wirniku. Wirnik może
posiadać stałe lub wolnozmienne niewyważenie i wirować ze zmienną prędkością kątową.
186
J. MICHALCZYK, S. PAKUŁA
y
Bęben
mb , J b
e
Środek masy
niewyważonego wirnika
Elementy
sprężysto-tłumiące
Korpus maszyny
i
 ( xi , yi )

x
H
h
O
k y by
k x bx
2 2
2 2
mk , J k
Środek masy korpusu
a
a
Rys.1. Schemat budowy i zastosowania synchronicznego eliminatora drgań
Korpus maszyny jest podparty elementami sprężysto-tłumiącymi. W korpusie znajduje się
silnik napędowy wirnika np. typu asynchronicznego. W celu redukcji drgań maszyny
i efektywniejszego zmniejszenia sił przekazywanych na podłoże do wirnika zamocowano
bęben eliminatora zawierający jednowarstwowy zestaw swobodnych kul. Na skutek ruchu
wirującego niewyważonego wirnika układ korpus maszyny - bęben wprawiany jest w drgania.
Podczas rozruchu maszyny kule w bębnie zaczynają się przemieszczać. Po przekroczeniu
częstości rezonansowej układu maszyna – układ podparcia sprężystego kule układają się
samoczynnie w taki sposób, aby ich siły bezwładności redukowały siłę bezwładności wirnika
zgodnie z równaniem (1), gdzie n oznacza liczbę kul znajdujących się w bębnie, a F0i,
siłęoddziaływania i-tej kuli na bęben.
n
Fb   F0i  0
(1)
i 1
W tym stanie drgania układu zmierzają do zera. Zasadę działania synchronicznego
eliminatora drgań dla dwóch kul przedstawiono na rys. 2. W praktyce opory związane
z tarciem uniemożliwiają precyzyjne ustawienie się kul. Wówczas siły bezwładności nie są
całkowicie redukowane do zera. Efektem tego jest tylko częściowe wyważenie maszyny. Jako
miarę skuteczności wyrównoważenia przyjęto amplitudę drgań korpusu w stanie ustalonym
na kierunku poziomym. Założono, że wszystkie kule znajdujące się w bębnie maszyny są
jednakowe i wykonane ze stali o gęstości γ = 7800 [kg / m3].
Fb

F01
F02
Rys.2. Zasada pracy synchronicznego eliminatora drgań
WPŁYW PARAMETRÓW KUL NA EFEKTYWNOŚĆ SYNCHRONICZNEGO ELIMINATORA … 187
3. MODEL MATEMATYCZNY
Przyjęto płaski układu korpusu maszyny - bębna. W tabeli 1 zamieszczono opis
współrzędnych układu, a w tabeli 2 przedstawiono parametry modelu i przyjęte wartości.
Niektóre parametry kuli, takie jak: masa, promień oraz moment bezwładności, przyjmują wartości
zależne od łącznej masy kul oraz liczby kul. Zależność ta wyrażona jest we wzorach (2).
Wszystkie współrzędne określone są względem nieruchomego układu współrzędnych (x,y).
Początek tego układu przyjęto w środku geometrycznym bębna w stanie równowagi
statycznej przed umieszczeniem kul. Kąty obrotu mierzone są względem poziomej osi x.
mi  mi
ri  3 (3 / 4) mi / 
J i   2 / 5  mi ri 2
Symbol
φ
α
x0, y0
xi, yi,φi
Symbol
mk
mb
Jk
Jb
kx
ky
bx
by
R
Rk
N
nzn
f
R0
mi
ri
Ji
Jednostka
[rad]
[rad]
[m]
[m]
Wartość
100
20
50
3
32500
75000
41
82
0,3
0,54
4500
1400
0,00013
0,2
(0,075 ÷ 3)
(0,013 ÷ 0,045)
(5e-6 ÷ 2,4e-3)
Tabela 3. Wykaz współrzędnych
Opis
kąt obrotu bębna
kąt obrotu korpusu
współrzędne środka geometrycznego bębna
współrzędne liniowe i kątowe i-tej kuli
Tabela 4. Parametry modelu
Jednostka
Opis
[kg]
masa korpusu
[kg]
masa bębna
2
[kg m ]
moment bezwładności korpusu
2
[kg m ]
moment bezwładności bębna
[N/m]
stała sprężystości sprężyn na kierunku x
[N/m]
stała sprężystości sprężyn na kierunku y
[Ns/m]
stała tłumienia wiskotycznego na kierunku x
[Ns/m]
stała tłumienia wiskotycznego na kierunku y
[-]
współczynnik restytucji bęben-kula
[-]
współczynnik restytucji kula-kula
[W]
moc znamionowa silnika synchronicznego
[obr/min]
znamionowa prędkość obrotowa silnika
[m]
współczynnik oporu toczenia kul
[m]
promień bębna
[kg]
masa kuli
[m]
promień kuli
2
[kg m ]
moment bezwładności kuli
(2)
188
J. MICHALCZYK, S. PAKUŁA
Poniżej przedstawiono dynamiczne równania ruchu korpusu (3) i bębna (4). Korzystając z
równań więzów (5), wyprowadzono równanie ruchu osi bębna, natomiast w układzie równań
(6) zostały przedstawione równania płaskiego ruchu i-tej kuli znajdującej się w bębnie.
 m x   P  k ( x   h)  b ( x   h)
x
x
x
 k k
(3)
mk yk   Py  k y y  by y

2
2
 J ks   M  M o  k y a   by a   Px H  Py H  k x ( x   h)( H  h)  bx ( x   h)( H  h)
gdzie: Px, Py- składowe siły reakcji korpusu na bęben
n

m
x

P

 Fxi 0  Txi 0 

x
 b b
i 1

n

mb yb  Py  mb g    Fyi 0  Tyi 0 
i 1


n 

y  y0  
 J b  Px e sin   Py e cos   M  M o    Fxi 0  Txi 0   yi  y0  e sin   ri i
 
ri 0  

i 1 


n 

xi  x0  

 Fyi 0  Tyi 0   xi  x0  e cos   ri



ri 0  
i 1 


(4)
gdzie: Fxi0, F yi0,T xi0, T yi0 - składowe sił reakcji bębna na i-tą kulę
M - moment silnika asynchronicznego
Mo - moment oporowy łożysk tocznych
xk  x0  H   xk  x0  H 
yk  y0  yk  y0
xb  x0  e cos   xb  x0  e( sin    2 cos  )
(5)
yb  y0  e sin   yb  y0  e( cos    2 sin  )
n

m
x

 i i   Fxij  Txij   Fxi 0  Txi 0
j 1

n

m
y

 i i   Fyij  Tyij   Fyi 0  Tyi 0
j 1

n

J


M

T
r

 i i
 M ij  Tij ri 

i0
i0 i

j 1
(6)
gdzie: Fxij,Fyij,Txij,Tyij - to składowe siły oddziaływania kontaktowego j-tej kuli na i-tą.
Moment silnika asynchronicznego w funkcji prędkości kątowej  opisano wzorem Klossa
(7), natomiast moment oporowy łożysk tocznych dany jest zależnością (8):
2M zn p(s   )(s  u )
(7)
M ( ) 
(s  u )2  (s   ) 2
M o  Px2  Py2
dcz
t sgn    
2
gdzie: Mzn - moment znamionowy silnika elektrycznego
(8)
WPŁYW PARAMETRÓW KUL NA EFEKTYWNOŚĆ SYNCHRONICZNEGO ELIMINATORA … 189
p
ωs
ωu
dcz
μt
- przeciążalność
- prędkość synchroniczna
- prędkość krytyczna
- średnica czopa wału
- współczynnik zredukowany tarcia łożysk tocznych
W modelu przyjęto, że zderzenia kul mają charakter sprężysto-dyssypatywny.
Rozpraszanie energii na skutek deformacji kul oraz siły kontaktowe opisano wg modelu
zaproponowanego w [4], który zastosowano w analizie zderzeń kul w pracy [5]. Model ten
opisany jest zależnością (9) odpowiednio dla: zderzenia kuli z bębnem oraz z kulą.
Wykładnik p0 oraz p, w zmodyfikowanym wzorze Hertza (9), dla styku dwóch powierzchni
kulistych przyjmuje wartość 3/2. Symbole δi0oraz δij wyrażają deformacje i-tej (10) kuli
odpowiednio: w wyniku kontaktu z bębnem oraz w wyniku kontaktu z j-tą kulą. Na
rysunkach 3 i 4 przedstawiono oddziaływania kontaktowe podczas zderzenia kuli. Tarcie
zewnętrzne opisano siłą tarcia (13) i momentem oporu toczenia (14) wg modelu Coulomba.
Zwrot wektora siły tarcia zależy od prędkości względnej punktu styku zderzanych brył
opisanej równaniem (15). Przez Vijobw oraz Vi 0obw oznaczono składową prędkości środka i-tej
kuli względem środka zderzanej bryły (kuli lub bębna) zrzutowaną na kierunek równoległy do
płaszczyzny zderzenia (16).
M ij
Vi 0
Vij
Fij
e
M i0
Fi 0

i
Ti 0
r i0( xi , yi , i )
j
( xi , yi , i )
Tij
( x j , y j , j )
( x0 , y0 )
Rys. 3. Siły reakcji bębna na i-tą kulę
Rys. 4. Siły reakcji j-tej kuli na i-tą kulę
Kula - Bęben:
 1  R2

Fi 0  k0 i p00 1 
(1  sgn( i 0 )) 
2


Kula - Kula:
 1  Rk2

Fij  k ijp 1 
(1  sgn( ij )) 
2


 i 0  ri 0  ri  R0
 ij  rij  ri  R0
(10)
ri 0  ( xi  x0 )2  ( yi  y0 )2
rij  ( xi  x j )2  ( yi  y j )2
(11)
 i 0  ( xi  x0 )
xi  x0
y  y0
 ( yi  y0 ) i
ri 0
ri 0
 ij  ( xi  x j )
xi  x j
rij
 ( yi  y0 )
yi  y j
Ti 0  Fi 0  sgn(Vi 0 )
Tij  Fij  sgn(Vij )

V obw 
M i 0   Fi 0 f sgn  i  i 0 
ri 


Vijobw 
M ij   Fij f sgn  i 


ri 

Vij  Vijobw  i   j  ri
Vi 0  Vi 0obw  i ri   R0
rij
(9)
(12)
(13)
(14)
(15)
x  xj
y  yj
xi  x0
y  y0
 ( xi  x0 ) i
Vijobw  ( yi  y j ) i
 ( xi  x j ) i
(16)
ri 0
ri 0
2ri
2ri
Składowe reakcji sił kontaktowych oraz tarcia zrzutowane na osie układu współrzędnych
x-y przyjmą wartości zgodnie z układem równań (17) i (18).
Vi 0obw  ( yi  y0 )
190
J. MICHALCZYK, S. PAKUŁA
xi  x0

F

F
xi
0
i
0

ri 0


 F  F yi  y0
i0
 yi 0
ri 0
xi  x j

 Fxij  Fij
2ri


 F  F yi  y j
ij
 yij
2ri
(17)
yi  y0

Txi 0  Ti 0 r

i0

T  T xi  x0
i0
 yi 0
ri 0
yi  y j

Txij  Tij 2r

i

T  T xi  x j
ij
 yij
2ri
(18)
Dla otrzymanego modelu zapisano wyjściowy układ równań różniczkowych ruchu,
drugiego rzędu w postaci macierzowego równania różniczkowego pierwszego rzędu (19).
d
M X Q
dt
(19)
Rozwiązania dokonano przy wykorzystaniu metody rozkładu LU [6] wraz z zastosowaniem
algorytmu Crouta i techniki macierzy rzadkich.
Całkowania numerycznego dokonano, stosując algorytm Rungego-Kutty IV rzędu.
Algorytm całkowania oraz rozwiązywanie układu równań liniowych zaimplementowano
w specjalnie przygotowanym programie, napisanym w języku PASCAL. Analizę danych oraz
wizualizację wraz z graficznym interfejsem użytkownika (GUI - Graphical User Interface)
wykonano przy użyciu pakietu MATLAB.
3. SYMULACJE
Na podstawie modelu matematycznego zostały przeprowadzone symulacje rozruchu
maszyny wirnikowej wraz z eliminatorem drgań do momentu osiągnięcia stanu ustalonego.
Przyjęto stały czas symulacji, który wynosił 30s. Empirycznie zbadano, że dla każdej
symulacji podany przedział czasu jest wystarczający do osiągnięcia stanu ustalonego.
W pierwszym etapie przeprowadzanych symulacji zmieniano liczbę kul znajdujących się
w bębnie (2 - 40), przy zachowaniu łącznej masy kul Σmi=3kg oraz współczynnika tarcia
μ=0.1. Następnie cykl tych symulacji powtórzono dla kolejnych wartości μ. Aby uwzględnić
również wpływ łącznej masy kul, wykonano jednakowe symulacje dla Σmi=6kg. Łącznie w
ten sposób dokonano ponad 50 symulacji. W tabeli 3 przedstawiono wartości przyjętych
parametrów, dla których zostały wykonane symulacje.
Tabela 5. Badane parametry
Symbol
Wartości
Jednostka
Opis
2;3;4;5;10;20;40
[-]
liczba kul
n
0,1;0,3;0,5;0,7
[
]
współczynnik
tarcia ślizgowego
μ
3,0;6,0
[kg]
łączna masa kul
Σmi
Model zakłada jednosekundowe opóźnienie uruchomienia silnika od momentu odczytu.
Jest to uzasadnione czasem potrzebnym do ułożenia się kul w bębnie. W wyniku symulacji
uzyskano przebiegi czasowe ruchu eliminatora oraz każdej z kul. Przykładowe przebiegi
czasowe drgań korpusu w poziomej osi pokazano na rys. 5.
WPŁYW PARAMETRÓW KUL NA EFEKTYWNOŚĆ SYNCHRONICZNEGO ELIMINATORA … 191
a)
b)
Rys. 5. Przykładowe przebiegi czasowe drgań korpusu dla eliminatora:
a) bez kul; b) z czterema kulami
Powyższe przebiegi świadczą o skuteczności zastosowania urządzenia do eliminowania
drgań. Zastosowanie czterech kul w eliminatorze znacznie redukuje amplitudę drgań w stanie
ustalonym. Zwiększone amplitudy drgań w fazie rozruchu (w czasie t do 10s) są
spowodowane przechodzeniem maszyny przez rezonans. Jak widać na rysunkach 5a i 5b,
umieszczenie kul w bębnie nie zmienia w sposób istotny amplitudy drgań w stanie
nieustalonym.
4. ANALIZA WYNIKÓW I WNIOSKI
Na podstawie przeprowadzonych symulacji sporządzono charakterystyki amplitudowe
w funkcji liczby kul z uwzględnieniem różnych współczynników tarcia μ. Pokazano je na
rys. 6 odpowiednio dla: mk  3kg oraz mk  6kg .
Rys. 6. Charakterystyki amplitudowe w stanie ustalonym:
a) dla mk  3kg ; b) mk  6kg
Wykresy dotyczą drgań wirnika w osi poziomej w stanie ustalonym. Wyniki symulacji
pokazały, że eliminator nie jest w stanie poprawnie pracować dla materiałów
o współczynniku tarcia ślizgowego μ< 0,3. Zbyt gładkie powierzchnie kul utrudniają ich
toczenie się po wewnętrznej powierzchni bębna, a tym samym poprawne ich ustawienie
względem niewyważonego wirnika.
Zaobserwowano, że dwukrotny wzrost masy kul wpłynął nieznacznie na poprawę
efektywności eliminatora wyrażoną jako amplituda drgań korpusu w stanie ustalonym (bez
192
J. MICHALCZYK, S. PAKUŁA
uwzględnienia stanu przejściowego). Uwzględniając jednak fakt, że kule stanowią dodatkowe
obciążenie podczas rozruchu urządzenia, nieuzasadnione jest stosowanie cięższych kul.
Symulacje pokazały, że optymalna liczba kul mieści się w granicach od 3 do 5. Wzrost
współczynnika tarcia wpływa również na wzrost skuteczności eliminatora. Zależność tę może
tłumaczyć fakt, iż w przypadku wyższych wartości współczynników tarcia kule zaczynają
toczyć się po powierzchni bębna jeszcze przed rezonansem. Znaczne drgania korpusu
w okolicach rezonansu mogą wpłynąć na lepsze ułożenie się tych kul.
5. PODSUMOWANIE
Wyniki przedstawionej pracy pozwalają optymalnie dobrać parametry eliminatora, aby
zapewnić wysoką efektywność eliminacji drgań. Zbadano wpływ masy, liczby kul oraz
współczynnika tarcia ślizgowego. Symulacje przeprowadzono, uwzględniając stały
współczynnik restytucji R. Jak pokazują badania doświadczalne, np. [7], współczynnik R
zależy w rzeczywistości od gęstości strumienia energii zderzenia, co wymaga dalszych badań.
LITERATURA
1. Michalczyk J. Cieplok G.: Wysokoefektywne układy wibroizolacji i redukcji drgań.
Kraków: Collegium Columbinum, 1999.
2. Blechman I.I.: Sinchronizacija dinamiczeskich sistem. Moskwa: Nauka, 1971.
3. Majewski T.: Synchroniczne eliminowanie drgań mechanicznych. Warszawa: Ofic. Wyd.
Pol. Warsz., 1994.
4. Michalczyk J.: Phenomenon of restitution of force impulses in collision modelling.
“Journal of Theoretical and Applied Mechanics”, 2008, 46, 4, p. 897 – 908.
5. Michalczyk J. Cieplok G. Sidor J.: Numerical simulation model of the rotary-vibrational
mill working process. “Archives of Metallurgy and Materials” 2010, Vol. 55, p. 343 –
353.
6. Björck Å. Dahlquist G.: Metody numeryczne. Warszawa: PWN, 1983.
7. Gryboś R.: Teoria uderzenia w dyskretnych układach mechanicznych. Warszawa: PWN,
1969.
INFLUENCE OF BALLS PARAMETERS ON THE EFFECTIVENESS
OF SYNCHRONIC VIBRATION ELIMINATOR
Summary. The paper presents the influence of weight, number of balls and their
friction properties on the effectiveness of synchronic vibration eliminator.Amplitude
characteristics in steady states were obtained on the basis of simulation results.
The curves can be useful to select optimum balls parameters, getting the best
effectiveness of the eliminator.