Metoda elementów skończonych

Komentarze

Transkrypt

Metoda elementów skończonych
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Metoda elementów
skończonych
Wykłady: prof. dr hab. inŜ. Andrzej Milenin
Pok. B5 710
E-mail: [email protected]
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Literatura
• M. Pietrzyk Metody numeryczne w przeróbce plastycznej
metali // AGH, Kraków, 1992
• O.C.Zienkiewicz, R.L.Taylor The Finite Element Method
// Butterworth Heinemann, 3 vol, 5-th Edition, London,
2000
• Zienkiewicz O.C., Metoda elementów skończonych,
Arkady, Warszawa, 1972.
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
SPIS TREŚCI
1.
2.
3.
4.
Główna koncepcja metody elementów skończonych
Dyskretyzacja ośrodka, typy elementów skończonych
Podstawy rachunku wariacyjnego
Rozwiązanie stacjonarnych i niestacjonarnych zadań, w
których niewiadomą jest funkcja skalarna
5. Rozwiązanie zadań, w których niewiadomą jest funkcja
wektorowa
6. Opracowanie programu do symulacji procesów
przeróbki plastycznej za pomocą MES
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Wstęp
- Metoda elementów skończonych (MES) jest metodę
rozwiązywania równań róŜniczkowych, spotykanych w fizyce i
technice.
- Powstanie tej metody jest związane z rozwiązywaniem zagadnień
badań kosmicznych (1950 r.).
- W obecnej chwili MES jest wykorzystywana praktycznie we
wszystkich dziedzinach nauki (transport masy, transport ciepła,
przepływ cieczy, pola napręŜeń).
Po raz pierwszy metoda ta była opublikowana w pracy :
Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and
Deflection Analysis of Complex Structures // J.Aeronavt. Sci.,
1956, #23, p. 805-824.
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Przykład z technologii kucia matrycowego
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Przykład z technologii walcowania
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
1. Główna koncepcja metody elementów
skończonych
Główna idea MES polega na tym, Ŝe dowolną ciągłą wartość (np.
temperaturę) moŜna zamienić na model dyskretny.
Model ten jest oparty na ograniczonej ilości węzłów, które tworzą
ograniczoną ilość elementów skończonych
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
1.1. Algorytm MES
1.
2.
W rozpatrywanym ośrodku bierzemy pod uwagę ograniczoną ilość punktów
(węzłów).
Wartości temperatury (lub innej funkcji) w kaŜdym węźle definiujemy jako
parametr, który musimy wyznaczyć.
3.
Strefa wyznaczenia temperatury dzieli się na ograniczoną ilość pod-stref, które
nazywamy elementami skończonymi.
4.
Temperaturę aproksymuje się na kaŜdym elemencie za pomocą wielomianu,
który wyznaczony jest za pomocą węzłowych wartości temperatury. Wyznacza
się go w taki sposób, aby zachować warunek ciągłości temperatury na granicach
elementów.
5.
Węzłowe wartości temperatury muszą być dobrane w taki sposób, aby zapewnić
najlepsze do rzeczywistego przybliŜenie pola temperatury. Taki dobór
wykonywany jest za pomocą minimalizacji funkcjonału, który odpowiada
róŜniczkowemu równaniu przewodzenia ciepła.
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
1.2 WaŜniejsze zalety MES w porównaniu do innych
metod
1.
Własności materiału elementów niekoniecznie muszą być jednakowe. To daje
moŜliwość wykorzystania MES do materiałów wielofazowych, jak równieŜ do
materiałów, których własności są funkcją temperatury.
2.
Ośrodek o skomplikowanym kształcie moŜe być zaproksymowana z duŜą
dokładnością za pomocą elementów krzywoliniowych.
3.
Wymiary elementów mogą być objętościowo róŜne. To daje moŜliwość
powiększania lub zmniejszania wymiarów elementów w pewnych strefach
rozpatrywanej objętości.
4.
Za pomocą MES moŜna uwzględniać nieliniowe warunki brzegowe.
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
1.3. Typy rozpatrywanych zadań
Rozwiązanie zadań, w których niewiadomą jest funkcja
skalarna
1.
2.
3.
4.
5.
Przypływ ciepła w stanie ustalonym
Niestacjonarny przepływ ciepła
Dyfuzji składnika w ciałach stałych
Dyfuzja w czasie krzepnięcia materiałów dwufazowych
Przypływ ciepła w czasie krzepnięcia materiałów
Rozwiązanie zadań, w których niewiadomą jest funkcja
wektorowa
1.
2.
3.
4.
Stan napręŜeń spręŜystych w ciałach o skomplikowanym kształcie obciąŜonych siłami
NapręŜenia cieplne w ciałach o skomplikowanym kształcie
Zadania teorii płynów
Zadania teorii plastyczności
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
2. Dyskretyzacja ośrodka
Główna koncepcja MES
moŜe być pokazana na
jednowymiarowym
przykładzie
aproksymacji ciągłego
pola temperatury w
pręcie
Rozkład temperatury w jednowymiarowym pręcie
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
2.1 Dyskretyzacja ośrodka jednowymiarowego
Rozpatrzmy ciągły
rozkład temperatury t(x)
na odcinku 0L wzdłuŜ
osi X analizując pięć
węzłowych punktów na
odcinku 0L
Punkty węzłowe (a) i ewentualni
wartości t(x) (b).
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Rozdzielenie ośrodka na elementy
•Rozdzielenie ośrodka 0L na
elementy moŜna wykonać na róŜne
sposoby.
•Na przykład moŜna wykorzystać
dwa sąsiednie węzły.
•Wtedy otrzymamy cztery
elementy, lub rozdzielić strefę na
dwa elementy, z których kaŜdy
zawiera trzy węzły.
Podział ośrodka na elementy pierwszego
(a) i drugiego (b) stopnia.
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Aproksymacja pola temperatury
Wielomian aproksymujący wyznaczamy na
podstawie wartości temperatury w węzłach
elementu.
W przypadku rozdzielenia rozpatrywanej
strefy na cztery elementy, kaŜdy element
zawiera dwa węzły i funkcja
aproksymująca będzie liniową względem
osi X.
Inny sposób rozdzielenia strefy na dwa
elementy z 3 węzłami powoduje
wykorzystanie wielomianu
aproksymującego drugiego stopnia.
W tym przypadku ostatecznym wariantem
aproksymacji będzie siatka z dwóch
elementów skończonych drugiego stopniu.
Aproksymacja pola temperatury
przez funkcję liniową i kwadratową
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
2.2 Dyskretyzacja ośrodka dwuwymiarowego
Przy opracowaniu dwu- lub
trzywymiarowego modelu dyskretnego
temperatury główną koncepcję MES
wykorzystuje się w sposób analogiczny.
Funkcje elementów dla zadania
dwuwymiarowego pokazane są na
rysunku.
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
2.3 Element jednowymiarowy
Jednowymiarowy simpleks-element jest to prosty
odcinek o długości L. Oznaczmy węzły literami i, j,
węzłowe wartości temperatur – przez ti i tj odpowiednie.
Funkcja aproksymująca dla tego elementu ma postać:
t = a1 + a 2 X
Współczynniki a1 i a2 moŜna wyznaczyć za pomocą
warunków w punktach węzłowych:
t = t i przy X = X i
t = t j przy X = X j
Te warunki powodują następujący układ równań:
t i = a1 + a 2 X i 

t j = a1 + a 2 X j 
rozwiązanie których daje:
a1 =
ti X j − t j X i
L
a2 =
t j − ti
L
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Funkcji kształtu elementu jednowymiarowego
t X −t X  t −t 
t =  i j j i  +  j i  X
L
  L 

X −X
t =  j
 L
  X − Xi 
ti + 
t j
L



Funkcje liniowe od X nazywa się funkcjami
kształtu.
Oznaczymy ty funkcji przez N.
KaŜda funkcja kształtu powinna miecz dolny
indeks dla identyfikacji węzła, do którego ona
naleŜę.
Ni =
Xj−X
L
Ni =
Nj =
Xj−X
L
n
Nβ
∑
β
=1
Nj =
X − Xi
L
X − Xi
L
t = N i ti + N j t j = [N ]{t}
t 
t j 
{t} =  i 
[N ] = [N i N j ]
Wykresy funkcji kształtu Ni i Nj
=1
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Ogólne właściwości funkcji kształtu
Zarówno funkcje kształtu, otrzymane powyŜej dla dwóch typów elementów, jak i funkcje
kształtu dowolnego elementu skończonego mają następujące wspólne własności:
1. Suma funkcji kształtu elementu w jego dowolnym punkcie równa jest jeden.
Dla elementu jednowymiarowego tą właściwość moŜna przedstawić w postaci ogólnej:
X − X X − Xi X j − Xi L
Ni + N j = j
+
=
= =1
L
L
L
L
Otrzymany wynik nie zaleŜy od X, dlatego ten warunek spełniony jest dla wszystkich punktów elementu.
2. Dowolna funkcja kształtu równa jeden w odpowiednim jej węźle i równa zeru w
pozostałych węzłach tego elementu. Dla elementu jednowymiarowego ta własność jest
oczywista. Na przykład, dla węzła i mamy
Ni =
Xj −X
L
=
X j − Xi
L
=
L
=1
L
3. Na granicach pomiędzy elementami funkcji kształtu są ciągłe.
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Zadanie 1. Określić wartość temperatury w zadanym punkcie b
Schemat do zadania 1.
ti = 110 0C, tj = 230 0C, Xb = 4 mm
(b )
=
Rozwiązanie:
Ni
Obliczenie funkcji kształtu w punkcie b:
N (jb ) =
X j − Xb
X j − Xi
=
7−4
= 0.75;
7−3
Xb − Xi 4 −3
=
= 0.25.
X j − Xi 7 −3
N i + N j = 0.75 + 0.25 = 1
Kontrola wartości funkcji kształtu:
Wartość temperatury w punkcie b:
t b = t i N i + t j N j = 110 ⋅ 0.75 + 230 ⋅ 0.25 = 82.5 + 57.5 = 140 0C
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
2.4. Element dwuwymiarowy
Simpleks-element dwuwymiarowy –
jest to trójkąt z trzema węzłami dla
aproksymacji pola temperatury (lub
innej funkcji)
Rozpatrzmy numerację węzłów w
kierunku przeciwnym do strzałki
zegara i oznaczymy je jako i, j, k.
Kolejność numeracji węzłów w
simpleks- elemencie
dwuwymiarowym
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Funkcji kształtu elementu dwuwymiarowego
Wartości współczynników α1 α2 α3
otrzymamy wychodząc z warunków w
węzłach elementu:


przy X = X j , Y = Y j t = t j , ⇒ t j = a1 + a2 X j + a3Y j 

przy X = X k , Y = Yk t = t k , ⇒ t k = a1 + a2 X k + a3Yk 
przy X = X i , Y = Yi t = ti , ⇒ ti = a1 + a2 X i + a3Yi
Następnie po rozwiązaniu układu równań
otrzymamy wzory dla α1, α2 i α3 :
[
α1 =
1
(X jYk − X kY j )ti + ( X kYi − X iYk )t j + (X iY j − X jYi )tk
2A
α2 =
1
(Y j − Yk )ti + (Yk − Yi )t j + (Yi − Y j )tk
2A
[
[
]
1
(X k − X j )ti + ( X i − X k )t j + (X j − X i )tk
α3 =
2A
]
]
Schemat do wyznaczenia funkcji kształtu w
simpleks- elemencie dwuwymiarowym
1 Xi
2A = 1 X j
1 Xk
Yi
Y j = X jYk + X iY j + X k Yi − X jYi − X k Y j − X iYk
Yk
gdzie: А – pole elementu skończonego
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Funkcji kształtu elementu dwuwymiarowego
ϕ = ϕ i N i + ϕ j N j + ϕ k N k = {N }T ⋅ {ϕ }
ai = X j Yk − X k Y j
Ni =
1
(ai + bi X + ciY )
2A
bi = Y j − Yk
ci = X k − X j
a j = X k Yi − X i Yk
Nj =
Nk =
1
(a j + b j X + c jY )
2A
1
(a k + bk X + ck Y )
2A
b j = Yk − Yi
cj = Xi − Xk
a k = X i Y j − X j Yi
bk = Yi − Y j
ck = X j − X i
t = ti N i + t j N j + t k N k = {N } ⋅ {t}
T
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Zadanie 2
σi = 2 MPa
Xi = 0 mm
Yi = 0 mm
σj = 4 MPa
Xj = 4 mm
Yj = 0.5 mm
σk = 7 MPa
Określić wartość napręŜenia w zadanym punkcie B
σ = σ i Ni + σ j N j + σ k N k
ai = X jYk − X k Y j = 4 ⋅ 5 − 2 ⋅ 0.5 = 19
bi = Y j − Yk = 0.5 − 5 = −4.5
ci = X k − X j = 2 − 4 = −2
a j = X k Yi − X iYk = 2 ⋅ 0 − 0 ⋅ 5 = 0
Xk = 2 mm
Yk = 5 mm
b j = Yk − Yi = 5 − 0 = 5
XB=2 mm
YB=1.5 mm
ak = X iY j − X jYi = 0 ⋅ 0.5 − 4 ⋅ 0 = 0
σB = ?
c j = X i − X k = 0 − 2 = −2
bk = Yi − Y j = 0 − 0.5 = −0.5
ck = X j − X i = 4 − 0 = 4
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Określić wartość napręŜenia w zadanym punkcie B
1 Xi
2A = 1 X j
1 Xk
Ni =
Yi
Y j = X jYk + X iY j + X k Yi − X jYi − X k Y j − X iYk = 19
Yk
1
(ai + bi X + ciY ) = 7
2A
19
Nj =
1
7
(
a j + b j X + c jY ) =
2A
19
Nk =
1
(ak + bk X + ckY ) = 5
2A
19
Ni + N j + N k =
7 7 5
+ + =1
19 19 19
σ B = σ i Ni ( B ) + σ j N j ( B ) + σ k N k ( B ) =
7
7
5
= 40 + 34 + 46 = 39.4
19
19
19
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Rozwiązanie zadań, w których niewiadomą jest
funkcja skalarna
1.
2.
3.
4.
5.
Przypływ ciepła w stanie ustalonym
Niestacjonarny przepływ ciepła
Dyfuzji składnika w ciałach stałych
Dyfuzja w czasie krzepnięcia materiałów dwufazowych
Przypływ ciepła w czasie krzepnięcia materiałów
∂ 
∂u  ∂ 
∂u  ∂ 
∂u  
∂u 


(
)
(
)
(
)
+
+
+
−
k
u
k
u
k
u
Q
A
 x

 z
 
=0
y


∂x 
∂x  ∂y 
∂y  ∂z 
∂z  
∂τ 
u – stęŜenie (dyfuzja), wilgotność (zw. w atmosferze), temperatura ...
∂ 
∂t  ∂ 
∂t  ∂ 
∂t  
∂t 


(
)
(
)
(
)
ρ
+
+
+
−
k
t
k
t
k
t
Q
c
 x

 z
 
=0
y
eff


∂x 
∂x  ∂y 
∂y  ∂z 
∂z  
∂τ 
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
3. Symulacja stacjonarnych procesów cieplnych
za pomocą MES
Zjawiska cieplne zachodzące w stanie ustalonym opisuje równanie Furiera w postaci:
∂ 
∂t  ∂ 
∂t  ∂ 
∂t  
∂t 


(
)
(
)
(
)
ρ
+
+
+
−
k
t
k
t
k
t
Q
c
 x




=0
y
z
eff


∂x 
∂x  ∂y 
∂y  ∂z 
∂z  
∂τ 
k - anizotropowe współczynniki przewodzenia ciepła (W/mK) w zaleŜności od temperatury t (K),
Q – prędkość generowania ciepła (W/m3)
Zadanie rozwiązania równania Furiera sprowadza się do poszukiwania minimum takiego funkcjonału, dla
którego równanie Furiera jest równaniem Eulera. Według rachunku wariacyjnego funkcjonał taki będzie
miał postać:
 k (t )   ∂t  2  ∂t  2  ∂t  2 




J =∫
  +   +   − Qt  dV

2  ∂x   ∂y   ∂z  

V 



Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Warunki brzegowe
Funkcja t(x,y,z) musi spełniać określone warunki brzegowe na powierzchni metalu:
- na powierzchni metalu zadana jest temperatura t;
- na powierzchni metalu zadany jest strumień cieplny q według prawa konwekcji:
 ∂t
∂t
∂t 
k (t ) a x + a y + a z  = α konw (t − t∞ )
∂y
∂z 
 ∂x
αkonw - współczynnik konwekcyjnej wymiany ciepła (W/m2 K);
- na powierzchni metalu zadany jest strumień cieplny q według prawa wymiany
radiacyjnej:
 ∂t
∂t
∂t 
k (t ) a x + a y + a z  = σ rad t 4 − t∞4
∂y
∂z 
 ∂x
(
)
σrad - współczynnik wymiany ciepła przez radiacje (W/m2K4).
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Warunki brzegowe w funkcjonale
Bezpośrednie wprowadzenie warunków brzegowych do funkcjonału nie jest
moŜliwe. W praktyce narzuca się ten warunek poprzez dodanie do funkcjonału
całki w postaci:
α
2
(
)
t
−
t
∫ 2 ∞ dS + ∫ qtdS
S
S
gdzie: S – powierzchnia na której zadane są warunki brzegowe.
W rezultacie otrzymujemy:
 k (t )   ∂t  2  ∂t  2  ∂t  2 

α
2


J = ∫
  +   +   − Qt  dV + ∫ (t − t∞ ) dS + ∫ qtdS
2   ∂x   ∂y   ∂z  
2

V 
S
S



Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Zadanie jednowymiarowe
Siatka elementów
Warunki brzegowi :
Podstawowe równanie :
d 2t
k 2 =0
dx
1   ∂t 
J = ∫ k 
2   ∂x 
V
2
k
dt
+ α ( t − t∞ ) = 0
dx
k
dt
+q=0
dx
, przy X=0;
, przy X=L

dV + α (t − t∞ )2 dS + 1 tq dS
∫S 2
∫S 2


Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Wybór typu aproksymacji i
elementów skończonych.
Funkcje kształtu
ϕ = t = C0 + C1 X =
ϕ i N i ( X ) + ϕ j N j ( X ) = [N ]⋅ {ϕ }
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Funkcje kształtu
ϕ = t = C0 + C1 X =
ϕ i N i ( X ) + ϕ j N j ( X ) = [N ]⋅ {ϕ }
Ni przyjmuje wartość zero w
kaŜdym węźle z wyjątkiem
węzła i, w którym przyjmuje
wartość 1.
Ni =
Nj =
Xj −X
X j − Xi
X − Xi
X j − Xi
;
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Zastosowanie metody elementów skończonych
2
[
]
k  dt 
J = ∫   dV + ∫ qt + 12 α (t − t∞ ) 2 dS
2  dx 
V
V
t (1) = N1(1)t1 + N 2(1)t 2
t = ti N i + t j N j = [N ]⋅ {t}
t ( 2 ) = N 2( 2 ) t 2 + N 3( 2 ) t 3
Funkcje kształtu:
Ni =
Xj −X
;
L
X − Xi
.
Nj =
L
N 2(1) =
X − X2
L(1)
N1(1) =
X1 − X
L(1)
N 2( 2 ) =
X2 − X
L(2 )
N 3( 2 ) =
X − X3
L( 2 )
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Obliczenie składowych funkcjonału
2
[
]
k  dt 
J = ∫   dV + ∫ qt + 12 α (t − t∞ ) 2 dS
2  dx 
V
S
∫ qt ( x )dS = qt S
1 1
s1
dt (1) (−t1 + t 2 )
=
dx
L(1)
dt ( 2 ) ( −t 2 + t 3 )
=
dx
L( 2 )
∫
α
S3
∫ ( ) dV
K
2
V
dt 2
dx
=
2
2
[t ( x ) − t ∞ ] dS
K (1) S (1)
2 L1
=
αS3
( − t1 + t2 ) +
2
2
(t
2
3
K ( 2 )S ( 2 )
2 L2
− t 3 t ∞ + t ∞2 )
( − t 2 + t3 ) 2
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
W rezultacie otrzymujemy funkcjonał:
J=
C (1)
2
qS1t1 +
(t − 2t1t2 + t ) +
2
1
αS3
2
2
2
C(2)
2
(t32 − 2t3t∞ + t∞2 )
(1) (1)
S
K
(1)
C =
L(1)
( 2) ( 2)
S
K
( 2)
C =
L( 2 )
( t − 2 t 2 t3 + t ) +
2
2
2
3
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Minimalizacja funkcjonału sprowadza się do obliczenia
pochodnych cząstkowych tego funkcjonału względem wartości
węzłowych temperatury:




∂J
= − C ( 1 ) t1 + (C ( 1 ) + C ( 2 ) )t 2 − C ( 2 ) t 3 = 0 
∂ t2


∂J
(2)
(2)
= − C t 2 + (C + α A )t 3 − α At ∞ = 0 
∂ t3

∂J
= C ( 1 ) t1 − C ( 1 ) t 2 + qS = 0
∂ t1
 C (1)
 (1)
− C
 0

− C (1)
C (1) + C ( 2 )
− C ( 2)
0  t1   − qS 
  

− C ( 2)  t 2  =  0 
C ( 2 ) + α t 3  αSt ∞ 
[H ]{t}+ {P} = 0
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Zadanie
K =75 W/cm0С,
α = 10 W/cm2 0С,
S = 1 cm2,
L = 7.0 cm,
L1 = 3.5 cm,
L2 = 3.5 cm,
q = -150 W/cm2,
t∞ = 40 0С
C(1)= 75 / 3.5 = 20 = C(2)
αS(3) = 10
-qS(1) = -(-150) = 150
αS(3) t∞= 10 40 = 400
 20 − 20 0  t1  150 
− 20 40 − 20 t  =  0 

 2   
 0
− 20 30  t3  400
t={70, 62.5 , 55}
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Symulacja stacjonarnych procesów cieplnych za
pomocą MES. Ogólne zasady.
Zjawiska cieplne zachodzące w stanie ustalonym opisuje równanie Furiera w postaci:
∂t  ∂ 
∂t 
∂ 
∂t  ∂ 
 k x (t )  +  k y (t )  +  k z (t )  + Q = 0
∂y  ∂z 
∂z 
∂x 
∂x  ∂y 
Zadanie rozwiązania równania Furiera sprowadza się do poszukiwania minimum
funkcjonału:

 k (t )   ∂t  2  ∂t  2  ∂t  2 
   +   +    − Qt  dV
J = ∫
2   ∂x   ∂y   ∂z  

V 



Wprowadzenie warunków brzegowych:
 k (t )   ∂t  2  ∂t  2  ∂t  2 

α
2


J = ∫
  +   +   − Qt  dV + ∫ (t − t∞ ) dS + ∫ qtdS
2   ∂x   ∂y   ∂z  
2

V 
S
S



Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Dyskretyzacja przedstawionego problemu
Dyskretyzacja przedstawionego problemu polega na podzieleniu rozpatrywanej strefy na
elementy i przedstawieniu temperatury wewnątrz elementu jako funkcji wartości węzłowych
zgodnie z zaleŜnością:
n
t = ∑ N i ti = {N } {t}
i =1
T
∂t ∂
{N }T {t} =  ∂{N } {t}
=
∂x ∂x
 ∂x 
(
)
T
Wprowadzając zaleŜności t i dt/dx do funkcjonału otrzymamy:
2
2
2


T

  ∂{N }T    ∂{N }T  

2
∂
{
}
(
)
k
t
N



T




 + 

 − Q{N } {t } dV + α {N }T {t}− t∞ dS + q{N }T {t}dS .
{
}
{
}
{
}
+
t
t
t
J =∫



∫S 2
∫S
   ∂y 
 
 2    ∂x 

   ∂z 
V










(
)
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Minimalizacja funkcjonału
Minimalizacja funkcjonału sprowadza się do obliczenia pochodnych cząstkowych tego
funkcjonału względem wartości węzłowych temperatury, Ŝe w rezultacie prowadzi do
następującego układu równań:


  ∂{N } ∂{N }T  ∂{N } ∂{N }T  ∂{N } ∂{N }T 
∂J
T



= ∫ k (t ) 
+
+
{
t}− Q{N }dV + ∫ α {N } {t} − t∞ {N }dS + ∫ q{N }dS .









  ∂x  ∂x   ∂y  ∂y   ∂z  ∂z  
∂{t} V 

S
S



(
)
Ten układ równań zapisany w postaci macierzowej ma postać:
[H ]{t}+ {P} = 0
  ∂{N } ∂{N }T  ∂{N } ∂{N }T  ∂{N } ∂{N }T 
T
[H ] = ∫ k (t ) 

 +

 +

 dV + ∫ α {N }{N } dS ,
∂x  ∂x   ∂y  ∂y   ∂z  ∂z 
V
S


{P} = − ∫ α {N }t∞ dS − ∫ Q{N }dV .
S
V
Minimalizacja funkcjonału moŜe być równieŜ wykonana przez bezpośredni dobór węzłowych
wartości temperatury.
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Symulacja niestacjonarnych procesów cieplnych
za pomocą MES. Ogólne zasady.
Równanie Furiera dla procesu niestacjonarnego ma postać:
∂t 
∂t  
∂t  ∂ 
∂ 
∂t  ∂ 
=0
 k x (t )  +  k y (t )  +  k z (t )  +  Q − ceff ρ
∂τ 
∂z  
∂y  ∂z 
∂x 
∂x  ∂y 
W określonej chwili czasu pochodne temperatury mogą być traktowane jako funkcje tylko
współrzędnych x,y,z. Wtedy rozwiązanie równania Furiera jest prowadzone analogicznie jak dla
procesu stacjonarnego przyjmując całe wyraŜenie w nawiasie jako parametr Q.
[H ]{t}+ {P} = 0
[H ]{t }+ [C ]
∂
{t }+ {P } = 0
∂τ
[C ] = ∫ {N }ρ c eff {N }T dV
V
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Uwzględnienie czasu za pomocą metody
waŜonych residuum
W ogólnym przypadku wartości temperatury w węzłach {t} zaleŜą od czasu. Przyjmując, Ŝe
wektor {t0} reprezentuje temperatury węzłowe w chwili τ=0, to w przedziale czasu ∆τ
wektor ten będzie wyznaczony równaniem:
{t0 }
{t} = {N 0 , N1} 
{t1}
W tym równaniu {N0} i {N1} są funkcjami kształtu zaleŜnymi od czasu. Przyjmując, Ŝe dla
małych przedziałów ∆τ zaleŜność temperatur węzłowych od czasu jest liniowa, funkcje
kształtu przyjmą postać:
N0 =
∆τ − τ
∆τ
N1 =
τ
∆τ
{t 0 }
∂ {t }  ∂ N 0 ∂ N 1  {t 0 }
1
{− 1,1} 
=
,

=
∂τ
∂ τ   {t 1 } ∆ τ
 ∂τ
 {t 1 }
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Dyskretyzacja czasowa
PoniewaŜ wektor temperatur węzłowych jest znany, dla przeprowadzenia całkowania
równania Furiera względem czasu naleŜy wprowadzić tylko jedną waŜoną residualną zgodnie
z zaleŜnością:
[H ]{t }+ [C ] ∂ {t }+ {P } = 0
∂τ


{t 0 }
 ∂ N 0 ∂ N 1  {t 0 }
+
{
}
[
]
{
,
}
,
P
+
C
N
H
N
N






 dτ = 0
0
1
∫0 1 
{
}
{
}
t
t
∂
∂
τ
τ


 1 
 1 

∆τ
Wprowadzając funkcje kształtu N0 i N1 do tego równania otrzymamy:
∆τ

τ   ∆τ − τ
τ
 C
[
H
]
{
t
}
{
t
}
(
{
t
}
{
t
}
)
{
P
}
+
−
+
+
+
 dτ = 0
∫0 ∆τ   ∆τ 0 ∆τ 1  ∆τ 0 1

3
3




 2[H ] + [C ]{t1}+  [H ] − [C ]{t0 }+ 3{P} = 0
∆t
∆t




Otrzymane wyraŜenie jest układem liniowych równań algebraicznych pozwalających obliczyć
wartości temperatur węzłowych {t1} po czasie ∆t przy zadanych temperaturach {t2} w chwili τ=0
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Zagadnienie wyznaczenia nieustalonego pola
temperatury we wsadzie o przekroju okrągłym
Pole temperaturowe we wsadzie o przekroju
okrągłym.
Schemat obliczeniowy do
wyznaczenia nieustalonego pola
temperatury we wsadzie o przekroju
okrągłym.
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Proces minimalizacji funkcjonału dla jednego
elementu
2
k  dt 
J = ∫   dV − ∫ QtdV + ∫ 12 α (t − t ∞ ) 2 dS
2  dx 
V
V
S
Temperatura wewnątrz elementów zdefiniowana jest następnym wzorom:
nnod
t = ∑ N i ti =N1t1 + N 2 t 2 =
i =1
r − r1
r2 − r
t2
t1 +
∆r
∆r
Ni – funkcji kształtu węzłów, t1 i t2 – temperatury w węzłach rozpatrywanego
elementu.
Wyznaczymy pochodną temperatury względem r:
t −t
∂t ∂N1
∂N
=
t1 + 2 t 2 = 2 1
∂r ∂r
∂r
∆r
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Obliczymy całkę objętościową w funkcjonale
2
k  dt 
J = ∫   dV − ∫ QtdV + ∫ 12 α (t − t ∞ ) 2 dS
2  dx 
V
V
S
dV = 2πrLdr
∫ dS = 2πr
max
L
S
L – długość wsadu, rmax – promień wsadu
2
r
2
k  dt 
k  nnod ∂N i
∫V 2  dx  dV = ∫r 2  ∑
i =1 ∂r
1
2
r
2
2

t −t 
t −t 
ti  2πrLdr = πL ∫ k  2 1  rdr =πLk  2 1 
∆r 
 ∆r 

r1 
2 np
∑ (r w
p
p
det J )
p =1
gdzie: detJ – wyznacznik macierzy Jacobiego, który jest Jakobianem transformacji układu
współrzędnych ( ), w – współczynniki wagi w punktach całkowania Gaussa rp
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Transformacja układu współrzędnych
Dla rozpatrywanego przypadku (jednowymiarowego) transformacja wyznaczona jest
następującym wzorem
nnod
r = ∑ N i ri =N1r1 + N 2 r2 =
i =1
1
(1 − ξ )r1 + 1 (1 + ξ )r2
2
2
ξ - współrzędna lokalna
nnod
rp = ∑ N ip ri =N 1 p r1 + N 2 p r2 =
i =1
(
)
1
1
1 − ξ p r1 + (1 + ξ p )r2
2
2
Wartość wyznacznika macierzy Jacobiego:
2
k  dt 
 t 2 − t1 
π
dV
Lk
=




∫V 2  dx 
 ∆r 
2 np
 dr  ∂N
∂N
r − r ∆r
det J = det   = 1 r1 + 2 r2 = 2 1 =
2
2
∂ξ
 dξ  ∂ξ
(rp wp det J ) = πLk ∆2r  t2∆−rt1 
∑


p =1
2 np
∑ (r w )
p
p =1
p
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Całkowanie numeryczne i analityczne
2
r2
 t 2 − t1 
 t 2 − t1 
k
rdr
k
=


∫r  ∆r 
r
∆


1
r2
∫ rdr =
r1
r2
(
∫ rdr
r1
)
1 2
1
1
⋅ r2 − r12 = ⋅ (9 − 1) = ⋅ 8 = 4;
2
2
2
2
∫ rdr = ∑ r w
p
r1
2 r2
p =1
p
(
)
1

1
det J p = ∑  1 − ξ p r1 + (1 + ξ p )r2  w p det J p =
2

p =1  2
2
1
((1 + 0.577 ) ⋅ 1 + (1 − 0.577 ) ⋅ 3 + (1 − 0.577) ⋅ 1 + (1 + 0.577 ) ⋅ 3) ⋅ 1 =
2
1
(1.577 + 0.433 ⋅ 3 + 0.433 + 1.577 ⋅ 3) = 1 ⋅ 8.04 = 4.02
2
2
 dr  ∂N
r − r ∆r
∂N
det J = det   = 1 r1 + 2 r2 = 2 1 =
2
2
∂ξ
 dξ  ∂ξ
nnod
rp = ∑ N ip ri =N 1 p r1 + N 2 p r2 =
i =1
(
)
1
1
1 − ξ p r1 + (1 + ξ p )r2
2
2
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Dyskretyzacja czasowa
Wartość współczynnika Q moŜna wyznaczyć następująco:
Q = cρ
dt
dτ
{t 0 }
1
∂ {t }  ∂ N 0 ∂ N 1  {t 0 }
{− 1,1} 
,
=

=
∂τ
∂ τ   {t }  ∆ τ
 ∂τ
 {t }
(
{t} = N1t1 + N 2 t 2
{t 0 } = N1t10 + N 2 t 20
) (
N t + N 2t 2 − N1t10 + N 2t 20
dt
= 11
∆τ
dτ
)
dt
2πcρL p
N1t1 + N 2 t 2 − N 1t10 − N 2 t 20 (N 1t1 + N 2 t 2 )rp w p ∆r =
∫V QtdV = V∫ cρ dτ tdV = ∆τ ∑
p =1
n
[
(
)
]
p
2πcρL
2
=
∆r ∑ (N 1t1 + N 2 t 2 ) − N 1t10 + N 2 t 20 (N 1t1 + N 2 t 2 ) rp w p ,
∆τ
p =1
n
(
)
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Dyskretyzacja ośrodka
∫
∫ dS = 2πrmax L
α (t − t∞ ) 2 dS = πLrmaxα (t 2 − t∞ )2
S
S
∆r  t 2 − t1 
J e = πLk


2  ∆r 
∆r  t 2 − t1 
Je = k


2  ∆r 
1
2
2 np
[
]
p
2πcρL
(
)
(N1t1 + N 2t2 )2 − N1t10 + N 2t20 (N1t1 + N 2t2 ) rp w p + πLrmaxα (t2 − t∞ )2 ,
r
w
−
∆
r
∑
∑
p p
∆τ
p =1
p =1
2 np
n
(
[
)
]
p
2cρ
(rp wp ) − ∆τ ∆r ∑ (N1t1 + N 2t2 )2 − N1t10 + N 2t20 (N1t1 + N 2t2 ) rp wp + rmaxα (t2 − t∞ )2 .
∑
p =1
p =1
n
(
)
Dla minimalizacji funkcjonału wykorzystamy warunek ekstremum funkcji:
∂J e

=0
∂t1


∂J e
=0

∂t 2
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Proces minimalizacji funkcjonału
Po zróŜniczkowaniu funkcjonału względem temperatury t1 w węzłach, otrzymamy:
 t 2 − t1  1  p
2cρ∆r p
∂J e
 − ∑ rp w p −
= k∆r 
(2(N1t1 + N 2t2 )N1 − (N1t10 + N 2t20 )N1 )rp wp = 0.
∑
∆
τ
∂t1
r
∆
r
∆
 p =1
p =1


n
n
np
np
 k np
 k np


ρ
ρ
∆
4
4
c
r
∆
∂J e
c
r
2



= t1  ∑ rp w p −
r
w
N
N
r
w
+
−
−
N
r
w
t
∑
∑
∑
1 p p
2
1 2 p p+
p p
∆τ p =1
∆τ p =1
∂t1
 ∆r p =1
 ∆r p =1


2cρ∆r p
+
∑ (N1t10 + N 2t20 )N1rp wp = 0.
∆τ p =1
n
Analogiczne dla t2:
np
np
 k np

 k np

∂J e
∆
4
c
r
4
c
r
∆
ρ
ρ
2



= t1  −
−
r
w
N
N
r
w
t
r
w
N
r
w
2
r
+
−
+
α
∑
∑
∑
∑
max  +
1 2 p p
2
2 p p
p p
p p
∂t 2
∆
∆
r
r
∆
∆
τ
τ
p =1
p =1
p =1
p =1




2cρ∆r p
+
∑ (N1t10 + N 2t20 )N 2 rp wp − 2αrmaxt∞ = 0.
∆τ p =1
n
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Równania w postaci macierzowej
 t1  H11
 
t 2  H 21
2cρ∆r p 2
k p
H 11 =
rp w p −
N 1 rp w p
∑
∑
∆r p =1
∆τ p =1
n
n
k
2cρ∆r
r
w
N1 N 2 rp w p
−
∑ p p ∆τ ∑
∆r p =1
p =1
np
H 12 = −
np
H 22
2cρ∆r p 2
k p
N 2 rp w p + 2αrmax
=
∑ rp w p − ∆τ ∑
∆r p =1
p =1
H 21
2cρ∆r p
k p
= − ∑ rp w p −
∑ N 2 N 1 rp w p
∆r p =1
∆τ p =1
n
n
n
n
H12   P1 
= 

H 22   P2 
2cρ∆r p
P2 = −
∑ (N1t10 + N 2 t 20 )N 2 rp w p + 2αrmax t ∞
∆τ p =1
n
2cρ∆r p
P1 = −
∑ (N1t10 + N 2 t 20 )N1rp w p
∆τ p =1
n
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Układ równań dla całego ośrodka
W celu otrzymania układu równań dla całego ośrodka naleŜy dodawać do
elementów globalnej macierzy odpowiednie elementy lokalnej macierzy
wszystkich elementów:
[H ] = ∑ [H ]
ne
e
g
e =1
Przystępując do budowy macierzy sztywności dla całego ośrodka naleŜy w pierwszej kolejności
zmienić indeksy zgodnie z numeracją o numerach stopni swobody całego ośrodka. W tym celu
konieczna jest informacja o numerach punktów węzłowych, przylegających do kaŜdego z
elementów. Dla elementu numer trzy informacja taka zakodowana jest w macierzy:
Schemat podziału na elementy ilustrujący globalną i lokalną numerację węzłów
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Miejsce komponentów macierzy elementu
Dla ośrodka przedstawianego na rys miejsce komponentów macierzy
elementu trzeciego pokazano w tabele
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Przykład opracowania oprogramowania i
obliczeń
Rozpatrywane w poprzednim rozdziale zadanie przedstawione jest poniŜej w postaci
oprogramowania TEMP1d, napisanej w języku FORTRAN 90. Program główny słuŜy jedynie do
wczytywania danych do obliczeń z pliku DataInpTemp1d.txt. Wczytywane są następujące dane:
Rmin - promień minimalny wsadu, m
Rmax - promień maksymalny wsadu, m
AlfaAir - współczynnik konwekcyjnej wymiany ciepła (W/m2 C)
TempBegin - temperatura początkowa, C
TempAir - temperatura środowiska, C
TauMax - czas procesu, s
C - efektywne ciepło właściwe, J/(kg*C)
K - współczynnik przewodzenia ciepła, W/(mC)
Ro - gęstość metalu, kg/(m3).
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Dane do obliczeń testowych
Dane do obliczeń testowych z pliku DataInpTemp1d.txt przedstawiony są poniŜej:
**************************************************************************
0.0
Rmin, m
0.05
Rmax , m
300
AlfaAir, W/m2 K;
100
TempBegin C;
1200
TempAir C;
700
C J/(kg*Ę);
7800
Ro kg/(m3);
25
K W/(mĘ)
1800
TauMax s;
**************************************************************************
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Wyniki obliczenia procesu nagrzewania wsadu
Wyniki obliczenia procesu nagrzewania wsadu o przekroju okrągłym,
1 – warstwa powierzchniowa, 2 – punkcie centralnym przekroju wsadu.
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Zadania praktyczne
Obliczyć globalną macierz układu równań dla siatki elementów, pokazanej na rys. za pomocą
programu TEMP1d.
Dla pierwszego elementu
macierz H równa jest:
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Miejsce komponentów macierzy elementu
pierwszego
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Miejsce komponentów macierzy elementu
drugiego
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Macierz globalna
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Rozwiązanie zadań, w których niewiadomą
jest funkcja wektorowa
•Teoria plastyczności
•Teoria spręŜystości
•Teoria płynów
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Podstawy teorii plastyczności
Teoria plastycznego płynięcia metali
a) ZaleŜność między prędkościami płynięcia metalu
ta prędkościami odkształceń:
ε&ij =
1
(
vi , j + v j ,i )
2
b) Równania równowagi:
σ ij , j = 0
c) ZaleŜność między prędkościami
odkształceń i napręŜeniami:
3σ p
σ ij = δ ijσ 0 +
ε&ij
2ε&i
d) Warunek stałej objętości:
ε& 0 = 0
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Warunki brzegowi
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Warunki brzegowi
• S1
v y = − v tool ; τ
• S2
σ
• S3
σ
xy
= 0; v y = 0; v x = ?
• S4
σ
xy
= 0; v x = 0; v y = ?
x
=σ
n
fric
=σ
= 0;σ
xy
fric
vx
=σ
vx
fric
= 0 ; v x = ?; v y = ?
• P1
v x = 0; v y = 0;σ
• P2
v x = 0 ; v y = − v tool ; σ
xy
=σ
xy
= 0
xy
= 0
sign (v x )
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Teoria małych spręŜysta-plastycznych odkształceń
a) ZaleŜność między przemieszczeniami metalu ta odkształceniami:
ε ij =
1
(
u i , j + u j ,i )
2
b) Równania równowagi:
σ ij , j = 0
c) ZaleŜność między odkształceniami i napręŜeniami:
σ ij = δ ij kε 0 +
3σ p
2ε i
ε ij
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Sformułowanie zadania teorii plastyczności przez metodę
wariacyjną
Funkcjonał – jest określony, jeŜeli kaŜdej funkcji pewnej klasy odpowiada określona liczba.
Funkcjonał – to funkcja, w której role zmiennej niezaleŜnej spełniają krzywe albo funkcje.
W modelowaniu procesów plastycznej przeróbki metali energia odkształcenia
plastycznego moŜna traktować jako funkcjonał zaleŜny od składowych
przemieszczenia metalu ux(x,y,z), uy(x,y,z), uz(x,y,z).
Zadaniem rachunku wariacyjnego jest określenie funkcji ux(x,y,z),
uy(x,y,z), uz(x,y,z), dla jakich funkcjonał (energia odkształcenia
plastycznego) osiąga minimum
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Energia odkształcenia plastycznego (funkcjonał)
εi
J = ∫ ∫ σ i (ε i )dV + ∫ kε 02 dV − ∫ τ fric uτ dS − ∫ σ n u n dS −
V 0
V
S1
S1
∫
σ n u n dS −
S2 − S4
J = ∫ σ i ε i dV + ∫ kε 02 dV − ∫ τ fric uτ dS ≠ 0 min
→
V
V
S1
∫ σ τ uτ dS ≡ 0
S2 − S4
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Dla teorii plastycznego płynięcia metali funkcjonał ma postać:
J = ∫ σ i ε&i dV + ∫ σε&0 dV − ∫ τ fric vτ dS ≠ 0 stac
→
V
V
S1
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
W innym sformułowaniu moŜna funkcjonał przedstawisz w sposób
następny:
2
&
&
J = ∫ σ i ε i dV + K pen ∫ ε 0 dV − ∫ τ fric vτ dS ≠ 0 min
→
V
V
S1
gdzie Kpen – duŜy współczynnik kary
K pen → ∞
ε&0 → 0
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Zalety metody wariacyjnej
1. Mniejsi stopień pochodnych w sformułowaniu
zadania brzegowego;
2. Mamy nie duŜo (15) równań, a jedne (funkcjonał);
3. Wygodne zadanie warunków brzegowych;
Problemy
1. Konieczność rozwiązania zadania wariacyjnego
(określenie funkcji, dla jakich funkcjonał osiąga
minimum).
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Metoda Ritza
Rozwiązanie zadania wariacyjnego według metody Ritza sprowadza
się do załoŜenia postaci funkcji opisujących składowe pola
prędkości.
Najwygodniej jest załoŜyć, Ŝe funkcje te są wielomianami:
vx = a0 + a1 x + a2 y + a3 z + a4 x 2 + ...

2
v y = b0 + b1 x + b2 y + b3 z + b4 x + ... 

2
vz = c0 + c1 x + c2 y + c3 z + c4 x + ... 
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Wartość współczynników a, b, c w równaniach wyznacza się szukając
minimum mocy odkształcenia uwzględniając, ze pole prędkości musi spełniać
warunki brzegowe na obwiedni strefy odkształcenia.
Sprowadza się to do wyeliminowania części parametrów wariacyjnych
poprzez warunki brzegowe, a następnie do rozwiązania układu równań powstałego
przez róŜniczkowanie funkcjonału mocy względem pozostałych parametrów
wariacyjnych:

∂J
= 0
∂bi


∂J
= 0
∂ai


∂J
= 0
∂ci

i = 1...n
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Przykład 1.4.1.
ε& y = 0
σ i = σ p = const
τ fric = mσ p
v x ( x, z ) = ?
v z ( x, z ) = ?
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
J = ∫ σ i ε&i dV + K pen ∫ ε& 2 0 dV − ∫ τ fric vτ dS ≠ 0 min
→
V
V
S1
J = ∫ σ i ε&i dV − ∫ τ fric vτ dS min
→
V
S
h b
b
0 0
0
J = σ p ∫ ∫ ε&i dzdx − mσ p ∫ v x dS = ( J 1 − J 2 ) min
→
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
 3z 2 
x2 
v x = a1 x + a2 x1 − 2 1 − 2 
h  3b 

 3z 2  x 2 
∂v x
ε&x =
= a1 + a2 1 − 2 1 − 2 
h  b 
∂x


 3z 2  x 2 
ε&z = −ε&x = − a1 + a2 1 − 2 1 − 2 
h  b 


Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej

 3z 2  x 2 
vz = ∫ ε&z dz = − a1 z + a2 z 1 − 2 1 − 2  + ϕ ( x)
h  b 


(1.4.8)
Przy x=z=0; vx=vz=0; ⇒ ϕ(x)=0
γ xz
 z 2  2x 
 x2  6z
1  ∂vx ∂vz  1 
= 
+
 =  − a2 x1 − 2  2 + a2 z 1 − 2  2  =
2  ∂z ∂x  2 
 h b 
 b h
3zx  x 
2 zx  z 
= −a2 2 1 − 2  + a2 2 1 − 2 
h  b 
b  h 
2
2
(1.4.9)
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
2

 3z 2 
 a1b 2

2
x2 
a
b
2
2



− a2 b +
J 2 = mσ p ∫  a1 x + a2 x1 − 2 1 − 2  dx = mσ p 
9 
h  3b  

 2
0
b
h b
h b
4 2
J1 = σ p ∫ ∫ ε&i dzdx = ∫ ∫
ε&z + ε&z2 − ε&z ε&x + 3γ& xz2 dzdx = f (a1 ; a2 )
3
0 0
0 0
∂J ∂J1 ∂J 2

=
+
=0
∂a1 ∂a1 ∂a1


∂J ∂J1 ∂J 2
=
+
= 0

∂a2 ∂a2 ∂a2
∂J1 ∂f (a1 ; a2 )
=
;
∂a1
∂a1
∂J 2
b
= mσ p
2
∂a1
a1 =
∂J1 ∂f (a1 ; a2 )
=
;
∂a2
∂a2
a2 =
2
∂J 2
 7 
= mσ p  − b 2 
∂a2
 9 
vtool
h
0.416a1 2m
b
h
b2
b2
0.213 + 0.648 2 + 0.026 2
h
h
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Podstawowym mankamentem metody jest trudność w
określeniu granicy strefy plastycznej w przypadku
procesów o duŜej nierównomierności odkształcenia.
JeŜeli zastosuje się podział na większa ilość elementów i
opisze pole prędkości wielomianami niŜszego stopnia, to
trudności te mogą zostać wyeliminowane.
Zasada ta zrealizowana jest w metodzie elementów
skończonych.
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
PODSTAWY METODY ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH
-Dyskretyzacja
-Wybór pryncypia wariacyjnego
-Wybór typu aproksymacji i elementów skończonych
-Realizacja pryncypia wariacyjnego
-Uwzględnienie warunków brzegowych
-Rozwiązanie układu równań algebraicznych
-Obliczenie odkzstalcen i napręŜeń
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Typy elementów skończonych
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Symulacja procesów wymiany ciepła za pomocą metodą
elementów skończonych
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
2.2. Elementy dwuwymiarowi (trójkąty)
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Funkcje kształtu:
ϕ = α1 + α2Х + α3Y
Przy Х=Хi , Y=Yi ϕ = ϕi , ⇒ ϕi = α1 + α2Хi + α3Yi;
przy Х=Хj , Y=Yj ϕ = ϕj , ⇒ ϕj = α1 + α2Хj + α3Yj,
przy Х=Хk, Y=Yk ϕ = ϕk , ⇒ ϕk = α1 + α2Хk + α3Yk
α1 =
[
1
(X j Yk − X k Y j )ϕ i + ( X k Yi − X iYk )ϕ j + (X iY j − X j Yi )ϕ k
2A
[
1
(Y j − Yk )ϕ i + (Yk − Yi )ϕ j + (Yi − Y j )ϕ k
α2 =
2A
[
1
(X k − X j )ϕ i + ( X i − X k )ϕ j + (X j − X i )ϕ k
α3 =
2A
]
]
]
1 Xi
2A = 1 X j
1 Xk
Yi
Yj =
Yk
= X jYk + X iY j + X k Yi − X jYi − X k Y j − X iYk
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Zadanie 2
Obliczyć komponenty odkształcenia w elemencie skończonym:
εx =
εy =
U x = U xi N i + U xj N j + U xk N k
∂U x
∂X
U y = U yi N i + U yj N j + U yk N k
∂U y
∂Y
1  ∂U
∂U 
y

ε xy =  x +
2  ∂Y
∂X 
εx =
εy =
∂N j
∂U x
∂N i
∂N k
1
(U xi bi + U xj b j + U xk bk )
+ U xj
= U xi
+ U xk
=
∂X
∂X
∂X
∂X
2A
∂U y
∂Y
1  ∂U
= U yi
∂N j
∂N i
∂N k
1
(U yi ci + U yj c j + U yk ck )
+ U yj
=
+ U yk
2A
∂Y
∂Y
∂Y
∂U 
1
∂N
∂N
∂N
∂N
∂N
∂N 
y
j
j
 = U xi i + U xj
ε xy =  x +
+ U yk k  =
+ U xk k + U yi i + U yj
∂X 
∂X
∂X
∂Y
∂Y
∂Y
2  ∂Y
∂X  2 
1
(U xi ci + U xj c j + U xk ck + U yibi + U yjb j + U yk bk )
4A
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Zadanie 4
Obliczyć komponenty odkształcenia w elemencie skończonym
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Obliczyć komponenty odkształcenia w elemencie skończonym
Uxi = 10 mm
Uyi = -1 mm
Xi = 5 mm
Yi = 3 mm
Uxj = 10 mm
Uyj = 0 mm
Xj = 5 mm
Yj = 0 mm
Uxk = 15 mm
Uyk = -0.5 mm
Xk = 10 mm
Yk = 2 mm
εx εy εxy = ?
εx =
εy =
∂N j
∂U x
∂N i
∂N k
1
(U xi bi + U xj b j + U xk bk )
+ U xj
= U xi
+ U xk
=
∂X
∂X
∂X
∂X
2A
∂U y
∂Y
1  ∂U
= U yi
∂N j
∂N i
∂N k
1
(U yi ci + U yj c j + U yk ck )
+ U yj
=
+ U yk
2A
∂Y
∂Y
∂Y
∂U 
1
∂N
∂N
∂N
∂N
∂N
∂N 
y
j
j
 = U xi i + U xj
+ U xk k + U yi i + U yj
+ U yk k  =
ε xy =  x +
∂Y
∂Y
∂Y
∂X
∂X
∂X 
∂X  2 
2  ∂Y
1
(U xi ci + U xj c j + U xk ck + U yibi + U yjb j + U yk bk )
4A
bi = Y j − Yk = 0 − 2 = −2
ci = X k − X j = 10 − 5 = −5
b j = Yk − Yi = 10 − 3 = 7
c j = X i − X k = 5 − 10 = −5
bk = Yi − Y j = 3 − 0 = 3
ck = X j − X i = 5 − 5 = 0
1
Xi
2A = 1 X j
1 Xk
Yi
Yj =
Yk
= X jYk + X iY j + X k Yi − X jYi − X k Y j − X iYk = 15
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
2.3.Zastosowanie MES do modelowania procesów przeróbki
plastycznej
2.3.1. Podstawowe zasady:
J=
1
2
2
µ
H
d
V
+
K
ξ
pen ∫ 0 dV − ∫ σ τ ∆Vτ dS
2 V∫
V
S
T p −1 ( H , Λ, t )
µ =
H p −1
p
(
2
(ξx −ξy )2 + (ξy −ξz )2 + (ξz −ξx )2 + 6 ξxy2 +ξyz2 +ξzx2
3
H=
τ
Λ = ∫ Hdτ
T=
0
σ ij = δ ijσ 0 +
σp
3
H = 3ε&i
2T (H , Λ, t )
ε&ij
H
)
1 0 0
δ ij = 0 1 0
0 0 1
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
2.3.2. Przykłady obliczeń (spęczanie)
Dyskretyzacja ośrodka lepkoplastycznego:

1
2
2

J = ∑ J e = ∑  ∫ µ e H e dV + K pen ∫ ξ 0 e dV 
ie =1
ie =1 2  V
V

ne
ne
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Dyskretyzacja ośrodka lepkoplastycznego:
ne=6
nop(1,1)=1;
nop(1,2)=7;
nop(1,3)=3;
nop(1,4)=7;
nop(1,5)=7;
nop(1,6)=6;
nop(2,1)=7;
nop(2,2)=3;
nop(2,3)=7;
nop(2,4)=5;
nop(2,5)=6;
nop(2,6)=7;
nop(3,1)=2;
nop(3,2)=2;
nop(3,3)=4;
nop(3,4)=4;
nop(3,5)=5;
nop(3,6)=1.
nh=7
Vx(1)=0; Vy(1)=Vup;
Status1 = 1
X1=-1 Y1=1
Vx(2)=0; Vy(2)=Vup;
Status2 = 1
X2=1 Y2=1
Vx(3)=0; Vy(3)=0;
Status3 = 0
X3=1 Y3=0
Vx(4)=0; Vy(4)=Vdown;
Status4 = 1
X4=1 Y4=-1
Vx(5)=0; Vy(5)=Vdown;
Status5 = 1
X5=-1 Y5=-1
Vx(6)=0; Vy(6)=0;
Status6 = 0
X6=-1 Y6=0
Vx(7)=0; Vy(7)=0 ;
Status7 = 0
X7=0 Y7=0
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Obliczenie funkcionalu:

1
2
2

J = ∑ J e = ∑  ∫ µ e H e dV + K pen ∫ ξ 0 e dV  min
→
2
ie =1
ie =1
V
V
 (V x ,V y )
ne
H=
ξx =
ξy =
ne
2
3
(ξ
( ) ξ0
2
x − ξ y ) + (ξ y ) + (ξ x ) + 6 ξ xy
2
2
2
=
ξx +ξy
2
∂N j
∂N i
∂V x
∂N k
1
(Vxi bi + Vxj b j + Vxk bk )
+ V xj
= V xi
=
+ V xk
2A
∂X
∂X
∂X
∂X
∂V y
∂Y
1  ∂V
= V yi
∂N j
∂N i
∂N k
1
(V yi ci + V yj c j + V yk ck )
+ V yj
=
+ V yk
2A
∂Y
∂Y
∂Y
∂Vy  1 
∂N
∂N j
∂N
∂N
∂N j
∂N 
k
k
 = Vxi i + Vxj
=
+ V yk
+ Vxk
+ V yi i + V yj
ξ xy =  x +
∂X  2 
∂X
∂Y
∂Y
∂X 
∂X
∂Y
2  ∂Y
1
(Vxi ci + Vxj c j + Vxk ck + Vyibi + Vyj b j + Vyk bk )
4A
Vx = Vxi Ni + Vxj N j + Vxk Nk
Vy = Vyi Ni + Vyj N j + Vyk Nk
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Całkowanie
funkcionalu:
ne
µe = 1
K pen = 1...1000
ne
(
1
2
2
J = ∑ J e = ∑ µ e H e Ae + K penξ 0 e Ae
ie = 1
ie = 1 2
1 Xi
2 Ae = 1 X j
1 Xk
Yi
Yj =
Yk
= X jYk + X iY j + X k Yi − X jYi − X k Y j − X iYk
)
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
VAR
Programna
realizacja
Vx : array[1..nh] of real;
{ Массив скорости Vx }
Vy : array[1..nh] of real;
{ Массив скорости Vy }
X : array[1..nh] of real;
{ Массив координат узлов X }
Y : array[1..nh] of real;
{ Массив координат узлов Y }
Ex : array[1..ne] of real;
{ Массив скорости деформации Ex }
program MES_1;
Ey : array[1..ne] of real;
{ Массив скорости деформации Ey }
{
Exy : array[1..ne] of real;
{ Массив скорости деформации Exy }
Ei : array[1..ne] of real;
{ Массив интенсивности скорости деформации Ei }
Sx : array[1..ne] of real;
{ Массив напряжений Sx }
Sy : array[1..ne] of real;
{ Массив напряжений Sy }
Учебная программа по курсу
«Метод конечных элементов»
Автор – профессор Миленин А.А.
Sxy: array[1..ne] of real;
{ Массив напряжений Sxy }
CopyRight 2002
S0: array[1..ne] of real;
{ Массив среднего напряжения S0 }
[email protected]
Status : array[1..nh] of integer;
}
nop: array[1..3,1..ne] of integer; { Массив –список узлов каждого элемента }
USES Crt,Printer;
Kpen,M : real;
CONST
Exe,Eye,Exye,Sxe,Sye,Sxye : real;
nh=7;
{ Число узлов сетки }
ne=6;
{ Число конечных элементов сетки }
dVel=0.0001;
{ Малое приращение скорости }
{ Массив статусов узлов }
{ Штрафной множитель и вязкость металла }
Ae,bi,ci,bj,cj,bk,ck : real;
{ Площадь элемента е и коэффициенты }
Xi,Yi,Xj,Yj,Xk,Yk
{ Координаты узлов элемента е }
: real;
Vxi,Vyi,Vxj,Vyj,Vxk,Vyk : real;
{ Скорости узлов элемента е }
Je,Eie,E0e,S0e : real;
{ Значение функционала элемента е и др. параметры}
JPrev, JNext, Jsum : real;
{ Вспомогательные переменные }
Jp : real;
ie,ih : integer;
Vxih,Vyih,Vtool : real;
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
BEGIN
{ Начало главной программы }
ClrScr;
InputData;
REPEAT
{ Начало итераций по минимизации }
Funkcional;
Jp:=Jsum;
Program główny
ClrScr;
{ Вывод результатов расчета }
WriteLn(' Velosity in nodes of FE grid, mm/s');
WriteLn(' ==========================');
for ih:=1 to nh do begin
{ Начало цикла по узлам }
if (Status[ih]=0) then begin
{ Проверка статуса }
Vxih := Vx[ih];
Vyih := Vy[ih];
Funkcional;
{ Расчет функционала (4.75) }
Jprev := Jsum;
Vx[ih] := Vxih + dVel;
{ Приращение скорости }
Funkcional;
{ Расчет функционала (4.75) }
if (Jprev<Jsum) then Vx[ih] := Vxih - dVel;
{ Проверка – возрастает или убывает функционал }
Funkcional;
Jprev := Jsum;
Vy[ih] := Vyih + dVel;
Funkcional;
if (Jprev<Jsum) then Vy[ih] := Vyih - dVel;
end;
end;
Funkcional;
GoToXY(30,10);
WriteLn('Funkcional = ', Jp:10:6, ' MPa*m2 ');
UNTIL (abs(Jp-Jsum)<=0.000001);
WriteLn(' I i I Vx
I
Vy I');
for ih:=1 to nh do begin WriteLn(' I ' ,ih, ' I ', Vx[ih]:7:4, ' I ',Vy[ih]:7:4,' I '); end;
WriteLn(' ==========================');
ReadLn;
ClrScr;
WriteLn(' Strains in finite elements 1/s);
WriteLn(' =========================');
WriteLn(' I ie I Ex I Ey
I');
for ie:=1 to ne do begin WriteLn(' I ',ie,' I ', Ex[ie]:6:4, ' I ',Ey[ie]:6:4,' I '); end;
WriteLn(' =========================');
ReadLn;
ClrScr;
WriteLn(' Stress in finite elements, MPa');
WriteLn(' ==========================');
WriteLn(' I ie I Sx
I Sy
I');
for ie:=1 to ne do begin WriteLn(' I ',ie,' I ', Sx[ie]:7:4, ' I ',Sy[ie]:7:4,' I '); end;
WriteLn(' ==========================');
ReadLn;
END.
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Program
InputData
PROCEDURE InputData;
{ Процедура ввода исходных данных }
BEGIN
M:= 1;
Kpen := 100;
Vup:= - 0.1;
Vdown:= 0.1;
X[1] :=-1;
Y[1] := 1;
Status[1]:=1;
Vx[1]:=0; Vy[1]:= Vup;
X[2] := 1;
Y[2] := 1;
Status[2]:=1;
Vx[2]:=0; Vy[2]:= Vup;
X[3] := 1;
Y[3] := 0;
Status[3]:=0;
Vx[3]:=0; Vy[3]:=0;
X[4] := 1;
Y[4] :=-1;
Status[4]:=1;
Vx[4]:=0; Vy[4]:= Vdown;
X[5] :=-1;
Y[5] :=-1;
Status[5]:=1;
Vx[5]:=0; Vy[5]:= Vdown;
X[6] :=-1;
Y[6] := 0;
Status[6]:=0;
Vx[6]:=0; Vy[6]:=0;
X[7] := 0;
Y[7] := 0;
Status[7]:=0;
Vx[7]:=0; Vy[7]:=0;
nop[1,1]:=1; nop[2,1]:=7; nop[3,1]:=2;
nop[1,2]:=7; nop[2,2]:=3; nop[3,2]:=2;
nop[1,3]:=3; nop[2,3]:=7; nop[3,3]:=4;
nop[1,4]:=7; nop[2,4]:=5; nop[3,4]:=4;
nop[1,5]:=7; nop[2,5]:=6; nop[3,5]:=5;
nop[1,6]:=6; nop[2,6]:=7; nop[3,6]:=1;
END;
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
PROCEDURE Funkcional;
Ae := Xj*Yk + Xi*Yj + Yi*Xk - Yi*Xj - Yj*Xk - Xi*Yk;
BEGIN
Exe := (bi*Vxi + bj*Vxj + bk*Vxk)/(2*Ae);
Jsum:=0;
Eye := (ci*Vyi + cj*Vyj + ck*Vyk)/(2*Ae);
for ie:=1 to ne do begin
Exye:=(bi*Vyi + bj*Vyj + bk*Vyk + ci*Vxi + cj*Vxj + ck*Vxk )/(4*Ae);
Eie:=(2.0/3.0) * sqrt( Exe*Exe + Eye*Eye - 2*Exe*Eye + 6*Exye*Exye );
Xi := X[ nop[1,ie] ];
E0e := 0.5*(Exe+Eye);
Yi := Y[ nop[1,ie] ];
S0e := E0e*K;
Xj := X[ nop[2,ie] ];
Sxe := S0e + 1.5*Gs*(Exe-E0e);
Yj := Y[ nop[2,ie] ];
Sye := S0e + 1.5*Gs*(Eye-E0e);
Xk := X[ nop[3,ie] ];
Sxye := 1.5*Gs*Exye;
Yk := Y[ nop[3,ie] ];
Je := 0.5*M*Eie*Eie*abs(Ae) + Kpen*E0e*E0e*abs(Ae);
Vxi := Vx[ nop[1,ie] ];
{ Расчет функционала по формулам (4.75) }
Vyi := Vy[ nop[1,ie] ];
Jsum := Jsum + Je;
Vxj := Vx[ nop[2,ie] ];
Ex[ie]:=Exe;
Vyj := Vy[ nop[2,ie] ];
Vxk := Vx[ nop[3,ie] ];
Ey[ie]:=Eye;
Vyk := Vy[ nop[3,ie] ];
Exy[ie]:=Exye;
bi:=Yj-Yk;
Ei[ie]:=Eie;
Sx[ie]:=Sxe;
ci:=Xk-Xj;
Sy[ie]:=Sye;
bj:=Yk-Yi;
Sxy[ie]:=Sxye;
cj:=Xi-Xk;
S0[ie]:=S0e;
bk:=Yi-Yj;
ck:=Xj-Xi;
end;
END;
Program
Funkcional
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Wyniki symulacji
µe = 1
K pen = 1000
Vx(1)=0;
Vx(2)=0;
Vx(3)= 0.0967;
Vx(4)=0;
Vx(5)=0;
Vx(6)= -0.0967;
Vx(7)=0;
Vy(1)= -0.1000;
Vy(2)= -0.1000;
Vy(3)= -0.0001;
Vy(4)= 0.1000;
Vy(5)= -0.0001;
Vy(6)=0;
Vy(7)=0.
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Wyniki symulacji prezes inne oprogramowanie
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Adaptacja siatki elementów
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Elementy wyŜszego stopnia
∆S j
∆S = ∑ ∆S j
Nj
1. Błąd aproksymacji
2. Błąd róŜnickowanja
3σ p
σx =σ +
ε&x ;
2ε&i
ε&x =
∂Vx
∂x
DOF = 2*10+7=27
3. Locking
Ncond = ne = 30
DOF<Ncond
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Element czworokąty
ϕ = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy
ϕ1 = α1 + α 2 x1 + α 3 y1 + α 4 x1 y1
ϕ 2 = α1 + α 2 x2 + α3 y2 + α 4 x2 y2
ϕ 3 = α1 + α 2 x3 + α 3 y3 + α 4 x3 y3
∂ϕ
≠ const
∂x
∂ϕ
≠ const
∂y
ϕ 4 = α1 + α 2 x4 + α 3 y4 + α 4 x4 y4
Funkcje kształtu ?
ϕ = N1ϕ1 + N 2ϕ 2 + N 3ϕ 3 + N 4ϕ 4
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Funkcje kształtu:
ϕ = α1 + α2Х + α3Y
Przy Х=Хi , Y=Yi ϕ = ϕi , ⇒ ϕi = α1 + α2Хi + α3Yi;
przy Х=Хj , Y=Yj ϕ = ϕj , ⇒ ϕj = α1 + α2Хj + α3Yj,
przy Х=Хk, Y=Yk ϕ = ϕk , ⇒ ϕk = α1 + α2Хk + α3Yk
[
α1 =
1
(X j Yk − X k Y j )ϕ i + ( X k Yi − X iYk )ϕ j + (X iY j − X j Yi )ϕ k
2A
α2 =
1
(Y j − Yk )ϕ i + (Yk − Yi )ϕ j + (Yi − Y j )ϕ k
2A
α3 =
1
(X k − X j )ϕ i + ( X i − X k )ϕ j + (X j − X i )ϕ k
2A
[
[
]
]
]
1
Xi
2A = 1 X j
1 Xk
Yi
Yj =
Yk
= X jYk + X iY j + X k Yi − X jYi − X k Y j − X iYk
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Element prostokątny
ϕ = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy
α1 =
ϕ1 + ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4
4
− ϕ1 + ϕ 2 + ϕ 3 − ϕ 4
α2 =
4b
− ϕ1 − ϕ 2 + ϕ 3 + ϕ 4
α3 =
4a
ϕ1 − ϕ 2 + ϕ 3 − ϕ 4
α4 =
4ab
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
ϕ = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 xy
Funkcje kształtu
ϕ = N1ϕ1 + N 2ϕ 2 + N 3ϕ 3 + N 4ϕ 4
1
(b − x )(a − y )
4ab
1
(b + x )(a − y )
N2 =
4ab
1
(b + x )(a + y )
N3 =
4ab
N1 =
N4 =
N1 =
1
(b − x )(a − y )
4ab
1
(b − x )(a + y )
4ab
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Funkcje kształtu
1
1  x  y  1
(
)(
)
N1 =
b − x a − y = 1 − 1 −  = (1 − ξ )(1 −η )
4ab
4  b  a  4
1
1  x  y  1
(
)(
)
N2 =
b + x a − y = 1 + 1 −  = (1 + ξ )(1 −η)
4ab
4  b  a  4
1
1  x  y  1
(
)(
)
N3 =
b + x a + y = 1 + 1 +  = (1 + ξ )(1 +η )
4ab
4  b  a  4
1
1  x  y  1
(
)(
)
N4 =
b − x a + y = 1 − 1 +  = (1 − ξ )(1 +η)
4ab
4  b  a  4
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Odbicie (przekształcenie)
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Formuły przekształcenia :
x = r cosθ
y = r sinθ
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Obliczenie
pochodnych:
∂Ni ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y
=
+
∂x ∂ξ ∂y ∂ξ
∂ξ
∂Ni ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y
=
+
∂η ∂x ∂η ∂y ∂η
1 1
∫ dxdy= ∫ ∫ det Jdξdη
S
−1 −1
∂Ni  ∂Ni 
 ∂ξ   ∂x 
∂N  = J ∂N 
 i  i
 ∂η   ∂y 
 ∂x ∂y 
 ∂ξ ∂ξ 
J =

x
y
∂
∂


 ∂η ∂η 
∂Ni 
∂Ni 
 ∂x  −1  ∂ξ 
∂N  = J ∂N 
 i
 i
 ∂η 
 ∂y 
∂y 
 ∂y
− 

1
∂η
∂ξ
−1
J =


det J − ∂x ∂x 
 ∂η ∂ξ 
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Przekształcenie izoparametriczne (1-go stopnia)
1
N1 = (1− ξ )(1−η)
4
1
N2 = (1+ ξ )(1−η )
4
x=
Nnodes
∑N x = N x +N x
i i
1 1
2 2
+ N3 x3 + N4 x4
1
N3 = (1+ ξ )(1+η)
4
+ N3 y3 + N4 y4
1
N4 = (1− ξ )(1+η)
4
i =1
y=
Nnodes
∑N y = N y +N y
i i
i =1
1 1
2 2
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Zadanie 1
X1 = 1 mm
Y1 = 1 mm
X2 = 3 mm
Y2 = 1 mm
X3 = 4 mm
Y3 = 4 mm
N1 =
1
(1−ξ )(1−η) = 1
16
4
X4 = 0.5 mm
Y4 = 4 mm
N2 =
1
(1+ ξ )(1−η) = 1 (1+ 0.5)(1− 0.5) = 3
4
4
16
ξB=0.5
ηB=0.5
N3 =
1
(1+ξ )(1+η) = 1 (1+ 0.5)(1+ 0.5) = 9
4
4
16
XB, YB = ?
1
1
3
N4 = (1−ξ )(1+η) = (1− 0.5)(1+ 0.5) =
4
4
16
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
1 3 9 3
N1 + N 2 + N 3 + N 4 = + + + = 1
16 16 16 16
xB =
N nodes
∑ Ni xi = N1x1 +N 2 x2 + N3 x3 + N 4 x4 =
i =1
yB =
N nodes
1
3
9
3
1 + 3 + 4 + 0.5 = 2.59375
16 16 16
16
∑ N i yi = N1 y1 +N 2 y2 + N 3 y3 + N 4 y 4 =
i =1
1
3
9
3
1 + 1 + 4 + 4 = 3.25
16 16 16
16
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Zadanie 2
σ1 = 40 MPa
X1 = 1 mm
Y1 = 1 mm
σ2 = 34 MPa
X2 = 3 mm
Y2 = 1 mm
σ3 = 46 MPa
X3 = 4 mm
Y3 = 4 mm
σ4 = 32 MPa
X4 = 0.5 mm
Y4 = 4 mm
ξB=0.5
ηB=0.5
σB , XB, YB = ?
Określić wartość napręŜenia w zadanym punkcie B
N1 =
1
(1−ξ )(1−η) = 1
16
4
N2 =
1
(1+ ξ )(1−η) = 1 (1+ 0.5)(1− 0.5) = 3
4
4
16
N3 =
1
(1+ξ )(1+η) = 1 (1+ 0.5)(1+ 0.5) = 9
4
4
16
3
1
1
N4 = (1−ξ )(1+η) = (1− 0.5)(1+ 0.5) =
16
4
4
σ B = σ 1 N1 + σ 2 N 2 + σ 3 N3 + σ 4 N 4 =
40
3
9
3
1
+ 34 + 46 + 32 = 40.75
16
16
16
16
xB =
Nnodes
∑ Ni xi = N1x1 +N2 x2 + N3x3 + N4 x4 =
3
9
3
1
1+ 3 + 4 + 0.5 = 2.59375
16 16 16 16
Nnodes
3
9
3
1
1+ 1+ 4 + 4 = 3.25
16 16 16 16
i =1
yB =
∑Ni yi = N1y1 +N2 y2 + N3 y3 + N4 y4 =
i =1
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Zadanie 3
σ1 = 40 MPa
X1 = 1 mm
Y1 = 1 mm
σ2 = 34 MPa
X2 = 3 mm
Y2 = 1 mm
σ3 = 46 MPa
X3 = 4 mm
Y3 = 4 mm
σ4 = 32 MPa
X4 = 0.5 mm
Y4 = 4 mm
XB=2.5
YB=3.25
σB , ξ B, η B = ?
Określić wartość napręŜenia w zadanym punkcie B
σ B = σ 1 N1 + σ 2 N 2 + σ 3 N3 + σ 4 N 4
N1 =
1
(1−ξ )(1−η)
4
N2 =
1
(1+ ξ )(1−η)
4
N3 =
1
(1+ξ )(1+η)
4
N4 =
1
(1−ξ )(1+η)
4
xB =
Nnodes
∑ N x = N x +N x
i i
1 1
2 2
+ N3 x3 + N4 x4 = 2.5
i =1
yB =
Nnodes
∑N y = N y +N y + N y + N y
i i
i=1
1 1
2 2
3 3
4 4
= 3.25
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
xB =
Nnodes
∑ Ni xi = N1x1 +N2 x2 + N3x3 + N4 x4 =
i =1
=
1
[x1 + x2 + x3 + x4 +ηB (− x1 − x2 + x3 + x4 ) + ξB (− x1 + x2 + x3 − x4 ) + ξBηB (x1 − x2 + x3 − x4 )]
4
yB =
Nnodes
∑N y = N y +N y + N y + N y
i i
i=1
=
1
(1−ξB )(1−ηB )x1 + 1 (1+ ξB )(1−ηB )x2 + 1 (1+ ξB )(1+ηB )x3 + 1 (1−ξB )(1+ηB )x4 =
4
4
4
4
1 1
2 2
3 3
4 4
1
1
1
1
= (1−ξB )(1−ηB ) y1 + (1+ξB )(1−ηB ) y2 + (1+ξB )(1+ηB ) y3 + (1−ξB )(1+ηB ) y4 =
4
4
4
4
1
[y1 + y2 + y3 + y4 +ηB (− y1 − y2 + y3 + y4 ) +ξB (− y1 + y2 + y3 − y4 ) +ξBηB ( y1 − y2 + y3 − y4 )]
4
1
1
2.5 = [1+ 3 + 4 + 0.5 +ηB (−1− 3 + 4 + 0.5) + ξ B (−1+ 3 + 4 − 0.5) + ξ BηB (1− 3 + 4 − 0.5)] = [8.5 +ηB (0.5) + ξB (5.5) + ξBηB (1.5)]
4
4
3.25 =
1
[1+1+ 4 + 4 +ηB (−1−1+ 4 + 4) + ξB (−1+1+ 4 − 4) + ξBηB (1−1+ 4 − 4)] = 1 [10 + 6ηB + 0ξB + 0ξBηB ]
4
4
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
3.25 =
ηB =
1
[1+1+ 4 + 4 +ηB (−1−1+ 4 + 4) + ξB (−1+1+ 4 − 4) + ξBηB (1−1+ 4 − 4)] = 1 [10 + 6ηB + 0ξB + 0ξBηB ]
4
4
4 ⋅ 3.25 −10
= 0.5
6
1
1
2.5 = [1+ 3 + 4 + 0.5 +ηB (−1− 3 + 4 + 0.5) + ξ B (−1+ 3 + 4 − 0.5) + ξ BηB (1− 3 + 4 − 0.5)] = [8.5 +ηB (0.5) + ξ B (5.5) + ξBηB (1.5)]
4
4
1
2.5 = [8.5 + 0.25 + ξB 2.75 + ξB 0.75]
4
ξB =
4 ⋅ 2.5 − 8.75
= 0.357
3.5
σ B = σ 1 N1 + σ 2 N 2 + σ 3 N3 + σ 4 N 4
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Typy elementów skończonych
(2-go stopnia)
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Typy elementów skończonych (2-go stopnia)
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Typy elementów skończonych (2-go stopnia)
1
N1 = − (1 − ξ )(1 −η )(ξ +η + 1)
4
1
N2 = (1 − ξ 2 )(1 −η )
2
1
N3 = (1 + ξ )(1 −η )(ξ −η − 1)
4
1
N4 = (1 −η2 )(1 + ξ )
2
1
(1 + ξ )(1 +η)(ξ +η −1)
4
1
N6 = (1 − ξ 2 )(1 +η)
2
1
N7 = − (1 − ξ )(1 +η )(ξ −η + 1)
4
1
N8 = (1 −η2 )(1 − ξ )
2
N5 =
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
1
N1 = − (1 − ξ )(1 −η)(ξ +η + 1)
4
1
N2 = (1 − ξ 2 )(1 −η )
2
1
N3 = (1 + ξ )(1 −η )(ξ −η − 1)
4
1
N4 = (1 −η2 )(1 + ξ )
2
1
(1 + ξ )(1 +η)(ξ +η −1)
4
1
N6 = (1 − ξ 2 )(1 +η )
2
1
N7 = − (1 − ξ )(1 +η )(ξ −η + 1)
4
1
N8 = (1 −η2 )(1 − ξ )
2
N5 =
Przekształcenie izoparametriczne
(2-go stopnia)
x=
Nnodes
∑N x
i i
i =1
y=
Nnodes
∑N y
i i
i =1
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Dyskretyzacja ośrodka za dopomogę przekształcenia 2-go
stopnia:
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Określić pole elementu
1 1
X1 = 1 mm
Y1 = 1 mm
S = ∫ dxdy =
X2 = 3 mm
Y2 = 1 mm
 ∂x ∂y 
 ∂ξ ∂ξ 
J =

x
y
∂
∂


 ∂η ∂η 
S
X3 = 4 mm
Y3 = 4 mm
X4 = 0.5 mm
Y4 = 4 mm
N1 =
1
(1−ξ )(1−η)
4
1
N2 = (1+ ξ )(1−η)
4
1
N3 = (1+ ξ )(1+η)
4
1
N4 = (1−ξ )(1+η)
4
x=
Nnodes
∑Ni xi
i =1
y=
Nnodes
∑N y
i i
i =1
∫ ∫ det Jd ξ d η
−1 −1
∂x ∂y ∂y ∂x
det J =
−
∂ξ ∂η ∂ξ ∂η
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Określić pole elementu
∂x ∂y ∂y ∂x
det J =
−
∂ξ ∂η ∂ξ ∂η
x=
Nnodes
∑N x = N x + N x
i i
1 1
2 2
+ N3 x3 + N4 x4
i =1
∂x x1  1
 x2  1

=  (1− ξ )(1−η ) +  (1+ ξ )(1−η ) +
∂ξ ∂ξ  4
 ∂ξ  4

x3  1

 x4  1
+  (1+ ξ )(1+η ) +  (1−ξ )(1+η ) =
∂ξ  4

 ∂ξ  4
1

1

 1

= x1 − (1−η ) + x2  (1−η ) + x3  (1+η ) +
4

4

 4

 1

+ x4  − (1+η )
 4

N1 =
1
(1−ξ )(1−η)
4
N2 =
1
(1+ ξ )(1−η)
4
N3 =
1
(1+ξ )(1+η)
4
N4 =
1
(1−ξ )(1+η)
4
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Całkowanie numeryczne funkcjonału:
2
2
1 1 N nodes
N nodes
∂
U




∂
∂Ni
∂
1
U
L
N
y
2
x
i

U xi + ∑
U yi  det Jdξdη
∫V ε 0 dV = 2 L∫S  ∂x + ∂y  dS = 2 −∫1 −∫1 ∑
i =1 ∂x
i =1 ∂y

 ∂x ∂y 
 ∂ξ ∂ξ 
J =

x
y
∂
∂


 ∂η ∂η 
x=
Nnodes
∑N x
i i
i =1
y=
Nnodes
∑N y
i i
i =1
∂x ∂y ∂y ∂x
det J =
−
∂ξ ∂η ∂ξ ∂η
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Całkowanie numeryczne :
2
2
1 1 N nodes
N nodes
U
∂




U
N
∂
∂
∂Ni
1
L
y
2
x
i

U xi + ∑
U yi  det Jdξdη
∫V ε 0 dV = 4 L∫S  ∂x + ∂y  dS = 4 −∫1−∫1 ∑
i =1 ∂x
i =1 ∂y

∂Ni 
∂Ni 
 ∂x  −1  ∂ξ 
∂N  = J ∂N 
 i
 i
 ∂η 
 ∂y 
1  ∂N i ∂y ∂N i ∂y 
∂N i
=
−

∂x det J  ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ 
∂y 
 ∂y
− 

1
∂η
∂ξ
−1
J =


det J − ∂x ∂x 
 ∂η ∂ξ 
1
∂N i
=
∂y det J
 ∂N i ∂x ∂N i ∂x 
− ∂ξ ∂η + ∂η ∂ξ 


Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
2
2
1 1 Nnodes
Nnodes
U
∂




1
U
L
N
∂
∂Ni
∂
y
2
i
x
U xi + ∑
U yi  det Jdξdη =
∫V ε0 dV = 4 L∫S  ∂x + ∂y  dS = 4 −∫1−∫1 ∑
i =1 ∂x
i =1 ∂y

1 1
Np
Np
−1 −1
i =1
j =1
= ∫ ∫ f (ξ ,η)dηdξ = ∑Wi ∑Wj f (ξi ,η j )
Całkowanie numeryczne Gaussa:
W1 =W2 = 1
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Całkowanie numeryczne Gaussa:
5
W1 = W3 =
9
8
W2 =
9
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
Przykład wykorzystania MES do optymalizacji technologii
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
1 etap
technologji
20 MN
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
50 MN
(a)
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
50 MN
(b)
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
100 MN
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
20 MN
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
50 MN
(b)
Metoda Elementów Skończonych
Milenin Andrzej
100 MN

Podobne dokumenty