Teoria gier I lista zadań

Teoria gier
I lista zadań
1. Pokaż, że w dowolnej grze o sumie zerowej wartość dolna gry jest nie
większa od wartości górnej.
2. Załóżmy, że w grze o sumie zerowej (X, Y, u) pary strategii (µ1 , σ1 )
oraz (µ2 , σ2 ) są optymalne. Pokaż, że u(µ1 , σ1 ) = u(µ2 , σ2 ). Następnie,
korzystając z pokazanej równości, udowodnij, że pary (µ1 , σ2 ) oraz
(µ2 , σ1 ) też są optymalne.
3. Pokaż, że zbiory (mieszanych) strategii optymalnych w grze macierzowej
o sumie zerowej m×n są wypukłymi zwartymi podzbiorami odpowiednio
[0, 1]m i [0, 1]n .
4. Wskaż przykłady gier, które posiadają wartość, ale nie istnieją w nich
strategie optymalne (także mieszane) w dwóch przypadkach:
• gdy zbiór strategii jednego z graczy jest skończony, a drugiego –
przeliczalny;
• gdy zbiory strategii graczy X = Y = [0, 1].
5. Korzystając z definicji wartości gry, znajdź wartości gier oraz strategie
optymalne w grze macierzowej o sumie zerowej, w której macierzą
wypłat pierwszego gracza jest


3
0
2 
• 
 −1
,
2 −1


1 4


•  2 3 ,
3 0
6. Oczywiście, jeśli funkcje wypłaty w dwóch grach macierzowych o sumie
zerowej m × n spełniają nierówność u1 (i, j) ¬ u2 (i, j) dla każdego
1 ¬ i ¬ m i 1 ¬ j ¬ n, to ich wartości, v1 i v2 spełniają podobną
nierówność. Pokaż, że podobny rezultat nie jest prawdziwy dla gier
dwumacierzowych, tzn., jeśli przez A1 i B1 oznaczymy sobie macierze
wypłat poszczególnych graczy w grze G1 , a przez A2 i B2 – w grze G2 ,
a macierze te spełniają nierówności A1 ¬ A2 oraz B1 ¬ B2 , to wypłaty
w równowadze w grze G1 mogą być większe niż w grze G2 , nawet jeśli
obie gry posiadają dokładnie po jednej równowadze.
7. Mówimy że strategia x1 gracza 1. jest zdominowana przez strategię x2
w grze dwuosobowej o sumie niezerowej, jeśli dla dowolnej strategii
y przeciwnika, u1 (x1 , y) < u1 (x2 , y) (u1 – funkcja wypłaty 1. gracza).
Podobnie definiujemy strategię zdominowaną 2. gracza. Algorytm iterowanej
dominacji dla gier dwumacierzowych polega na tym, że na każdym jego
kroku sprawdzamy, czy któryś z graczy ma strategię zdominowaną. Jeśli
tak, to z macierzy wypłat obu graczy wykreślamy wiersz (kolumnę)
odpowiadający tej strategii. Następnie procedurę powtarzamy dla tych
zmniejszonych macierzy. Kończymy, gdy w danej macierzy nie ma już
strategii zdominowanych.
Pokaż, że jeśli przez X̂ oraz Ŷ oznaczymy zbiory strategii graczy 1. i 2.,
które pozostały w grze dwumacierzowej po przeprowadzeniu algorytmu
iterowanej dominacji, to każda strategia, która jest najlepszą odpowiedzią
na jakąś strategię mieszaną o nośniku w Ŷ , ma nośnik zawarty w X̂ (i
na odwrót).
Jaki wniosek odnośnie strategii w równowadze Nasha wypływa z powyższego
faktu?
8. Niech (µ, σ) będą równowagą Nasha w grze dwumacierzowj. Pokaż, że
każda strategia czysta j ∗ gracza 2. taka że σj ∗ > 0, jest wtedy najlepszą
odpowiedzią na strategię µ (czyli że u2 (µ, σ) = u2 (µ, δ[j ∗ ]).
9. Korzystając z wyników udowodnionych w dwóch poprzednich zadaniach
zaproponuj dwustopniowy algorytm szukania równowag w grach dwumacierzowych.
10. Korzystając z zaproponowanego w poprzednim zadaniu algorytmu, znajdź
wszystkie strategie optymalne oraz wartości gier w grach macierzowych
o sumie zerowej, w których macierzą wypłat pierwszego gracza jest


3 0
1

2 
•  −1 2
,
1 0 −1




• 
5 −4
2 −4
4 −3
4 −2 

.
1
1 −3
2 
−5
0 −7
2

11. Korzystając z tego samego algorytmu, znajdź wszystkie równowagi w
grze dwumacierzowej o macierzach wypłat graczy




3 0
1
1 0
3



2 , B =  2 1 −1 
• A= 1 2
,
1 2 −1
3 0
1




2 1 3 4
4 −1 2 0



2 1 3 
• A =  −1 2 7 2 , B =  −2
.
0 5 1 0
2
0 5 3
12. Zapisz macierz wypłat 1. gracza w grze z dwoma generałami walczącymi
o dwa forty, przy założeniu że : jeśli siły obu stron walczących o dany
fort są równe, to z prawdopodobieństwem 43 wygrywają obrońcy, a z
prawdopodobieństwem 14 , atakujący; oraz – jeśli dwie jednostki atakują
fort obsadzony przez 1 jednostkę, to atakujący zwyciężają z prawdopodobieństwem
3
. Znajdź strategie optymalne oraz wartość tej gry.
4
Wskazówka: Strategie obu graczy są w pełni zmieszane.
13. Zaproponuj modyfikacje macierzy gry w grze z dwoma generałami do
przypadku, gdy
• generał A ma awersję do ryzyka,
• obaj generałowie mają taką awersję,
• generałowi B zależy na tym, żeby z możliwie największym prawdopodobieństwem
zdobyć oba forty.
14. Rozwiąż gry z ostatnich dwóch zadań, stosując algorytm sympleks lub
algorytm Lemke-Howsona.
15. Uzasadnij, że rezultat udowodniony w zadaniu 3. jest prostą konsekwencją
tego, że strategie optymalne w grze macierzowej można znaleźć przy
pomocy odpowiedniego programu liniowego.
16. Uzasadnij, że w grze dwumacierzowej, w której jeden z graczy ma tylko
dwie strategie czyste, istnieje równowaga (w strategiach mieszanych),
w której obaj gracze używają co najwyżej dwóch strategii czystych.