Ciała

Ciała
1
Ciała
1
Definicja ciała
Niech F będzie zbiorem, i niech + („dodawanie”) oraz · („mnożenie”) będą
działaniami na zbiorze F (to znaczy, jeśli a ∈ F i b ∈ F , to a + b ∈ F i
a · b ∈ F ).
Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i · nazywamy ciałem, jeśli są spełnione następujące własności:
(C1)
• dla dowolnych a, b, c ∈ F zachodzi: (a+b)+c = a+(b+c) (łączność
dodawania),
• dla dowolnych a, b ∈ F zachodzi: a + b = b + a (przemienność
dodawania),
• istnieje taki element 0 ∈ F , że dla każdego a ∈ F zachodzi a + 0 =
0 + a = a (0 nazywamy elementem neutralnym dla dodawania),
• dla każdego a ∈ F istnieje taki element −a ∈ F , że zachodzi
a + (−a) = (−a) + a = 0 (−a nazywamy elementem przeciwnym
do a);
(C2)
• dla dowolnych a, b, c ∈ F zachodzi: (a · b) · c = a · (b · c) (łączność
mnożenia),
• dla dowolnych a, b ∈ F zachodzi: a · b = b · a (przemienność mnożenia),
• istnieje taki element 1 ∈ F , że dla każdego a ∈ F zachodzi a · 1 =
1 · a = a (1 nazywamy elementem neutralnym dla mnożenia),
• dla każdego a ∈ F , a 6= 0, istnieje taki element a−1 ∈ F , że
zachodzi a·a−1 = a−1 ·a = 1 (a−1 nazywamy elementem odwrotnym
do a);
(C3) dla dowolnych a, b, c ∈ F zachodzi a·(b+c) = (a·b)+(a·c) (rozdzielność
mnożenia względem dodawania).
Zamiast a · b piszemy zwykle ab. Zamiast ab−1 piszemy zwykle a/b lub ab .
Podobnie, zamiast a + (−b) piszemy zwykle a − b. Dalej, mnożenie wiąże
mocniej niż dodawanie, tzn. ab + c oznacza (a · b) + c.
Dla n ∈ N i a ∈ F oznaczamy
na := |a + .{z
. . + a},
n składników
(−n)a := (−a) + . . . + (−a) .
|
{z
n składników
}
2
Skompilował Janusz Mierczyński
Ponadto, 0 · a := 0 dla dowolnego a ∈ F .
Dla n ∈ N i a ∈ F oznaczamy
an := |a · .{z
. . · a} ,
n czynników
a jeśli ponadto a 6= 0, to oznaczamy
a−n := |a−1 · .{z
. . · a−1} .
n czynników
Zachodzą następujące równości:
• (−k)a = −(ka), dla dowolnych k ∈ Z i a ∈ F (zatem zwykle piszemy
−ka);
• (k + l)a = ka + la, dla dowolnych k, l ∈ Z i a ∈ F ;
• k(a + b) = ka + kb, dla dowolnych k ∈ Z i a, b ∈ F ;
• k(a · b) = (ka) · b, dla dowolnych k ∈ Z i a, b ∈ F ;
• ak+l = ak · al , dla dowolnych k, l ∈ Z i a ∈ F , a 6= 0.
We wszystkich ciałach zachodzą też standardowe wzory skróconego mnożenia
i wzór na dwumian Newtona. Jednakże, w konkretnych ciałach mogą one
mieć uproszczoną postać.
Przykład 1. (Q, +, ·), gdzie Q jest zbiorem wszystkich liczb wymiernych, +
jest działaniem dodawania i · jest działaniem mnożenia, jest ciałem.
Przykład 2. (R, +, ·), gdzie R jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, +
jest działaniem dodawania i · jest działaniem mnożenia, jest ciałem.
Przykład 3. (C, +, ·), gdzie C jest zbiorem wszystkich liczb zespolonych, +
jest działaniem dodawania i · jest działaniem mnożenia, jest ciałem.
2
Ciało Z2
Niech Z2 oznacza zbiór {0, 1}. Zdefiniujmy „dodawanie” na Z2 wzorem
0 + 0 = 0,
0 + 1 = 1,
1 + 0 = 1,
1 + 1 = 0,
i zdefiniujmy „mnożenie” na Z2 wzorem
0 · 0 = 0,
0 · 1 = 0,
1 · 0 = 0,
1 · 1 = 1.
Powyżej zdefiniowane operacje nazywamy, odpowiednio, dodawaniem (mnożeniem) modulo 2.
(Z2 , +, ·) jest ciałem (nazywanym ciałem reszt modulo 2). Zwykle ciało reszt
modulo 2 zapisujemy po prostu Z2 .
Ciała
3
3
Ciało Z3
Niech Z3 oznacza zbiór {0, 1, 2}. Zdefiniujmy „dodawanie” na Z3 wzorem
0+0 = 0,
0+1 = 1+0 = 1,
1+1 = 2,
2+0 = 0+2 = 2,
2+1 = 1+2 = 0,
i zdefiniujmy „mnożenie” na Z3 wzorem
0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0,
1 · 1 = 1 1 · 2 = 2 · 1 = 2,
2 · 2 = 1.
Powyżej zdefiniowane operacje nazywamy, odpowiednio, dodawaniem (mnożeniem) modulo 3.
(Z3 , +, ·) jest ciałem (nazywanym ciałem reszt modulo 3). Zwykle ciało reszt
modulo 3 zapisujemy po prostu Z3 .
4
Ciało Zp
Niech Zp , gdzie p jest liczbą pierwszą, oznacza zbiór {0, 1, 2, . . . , p−1}. Dla
a, b ∈ Zp zdefiniujmy „sumę” a+b jako resztę z dzielenia „zwykłej” sumy liczb
całkowitych a i b przez p, i „iloczyn” a · b jako resztę z dzielenia „zwykłego”
iloczynu liczb całkowitych a i b przez p. Operacje te nazywamy, odpowiednio,
dodawaniem modulo p i mnożeniem modulo p.
Okazuje się, że zbiór Zp wraz z działaniami dodawania i mnożenia modulo p
jest ciałem. To, że zachodzi łączność i przemienność dodawania i mnożenia
modulo p, jak i rozdzielność, jest (niemal) oczywiste. Elementem neutralnym
dla dodawania jest 0, elementem neutralnym dla mnożenia jest 1.
Trochę mniej oczywiste jest istnienie elementu przeciwnego dla a ∈ Zp . Zauważmy, że p − a ∈ Zp i że „zwykła” suma a i p − a to p. Zatem dodanie
modulo p elementów a i p − a da nam zero.
Rzeczą zupełnie nieoczywistą jest istnienie, dla każdego niezerowego a ∈
Zp , jego odwrotności. Zastanówmy się, co to znaczy. Otóż a−1 ma to być
taka liczba b ze zbioru {1, 2, . . . , p − 1}, że „zwykły” iloczyn a i b ma, po
podzieleniu przez p, dawać resztę 1. Innymi słowy, trzeba znaleźć takie liczby
b ∈ {1, 2, . . . , p − 1} i n ∈ N, że ab = np + 1 (tutaj wszystkie działania są
„zwykłe”). A że coś takiego można zrobić, wynika z pewnego twierdzenia z
teorii liczb, które podaję bez dowodu:
Twierdzenie 1. Dla liczb naturalnych a i b istnieją takie liczby całkowite
m, n, że ma + nb jest równe największemu wspólnemu dzielnikowi liczb a i b.
(Zp , +, ·) nazywamy ciałem reszt modulo p. Zwykle ciało reszt modulo p zapisujemy po prostu Zp .
2+2 = 1,
4
5
Skompilował Janusz Mierczyński
Zadania
1. Sprawdzić, że wszystkie własności w definicji ciała są spełnione dla Z2
i Z3 .
2. Sprawdzić, że dla dowolnych a, b ∈ Z2 zachodzi
(a + b)2 = a2 + b2 ,
natomiast dla a, b ∈ Z3 powyższa równość nie musi zachodzić.
3.∗ Napisać tabelkę działań w ciele Z5 . Dla każdego a ∈ Z5 , a 6= 0, znaleźć
element odwrotny a−1 .