4. Całki krzywoliniowe

Wykłady z matematyki
Całki krzywoliniowe
Andrzej Musielak
Rok akademicki 2015/16
UTP Bydgoszcz
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Całki krzywoliniowe
Całka krzywoliniowa nieskierowana
Jeśli krzywa na płaszczyźnie ma parametryzację (x(t), y (t)), gdzie
t ∈ [a, b] i x(t), y (t) są różniczkowalne podanym przedziale, to nazwiemy
ją łukiem gładkim. Jeśli krzywa składa się z łuków gładkich, to nazywamy
ją krzywą regularną. Ponadto, jeśli za początek krzywej przyjmiemy
punkt (x(a), y (a)), to mówimy, że krzywa jest zorientowana dodatnio.
Niech L będzie krzywą regularną. Wówczas całką krzywoliniową
nieskierowaną z funkcji f (x, y ) nazwiemy wyrażenie:
∫ f (x, y )ds
L
Interpretacja fizyczna to masa krzywej L o gęstości f (x, y ), a
interpretacja geometryczna to pole powierzchni znajdującej się między
krzywą L, a fragmentem powierzchni z = f (x, y ) znajdującym się nad
krzywą L.
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Całki krzywoliniowe
Całka krzywoliniowa nieskierowana
Praktyczny sposób liczenia takich całek jest bardzo prosty i sprowadza się
do podstawienia do wzoru. Jeśli mamy parametryzację łuku (x(t), y (t)),
gdzie t ∈ [a, b], to:
b
∫ f (x, y )ds = ∫
L
√
f (x(t), y (t)) (x ′ (t))2 + (y ′ (t))2 dt
a
W szczególności zaś jeśli łuk da się zadać równaniem y = g (x), gdzie
a ≤ x ≤ b, to powyższy wzór wygląda tak:
b
∫ f (x, y )ds = ∫
L
√
f (x, g (x)) 1 + (g ′ (x))2 dx
a
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Całki krzywoliniowe
Całka krzywoliniowa nieskierowana
Przykład:
Policzmy masę okręgu x 2 + y 2 = 4 o gęstości f (x, y ) = x 2 +y1 2 +1 .
Oczywiście parametryzacja to x(t) = 2 cos t, y (t) = 2 sin t, gdzie
t ∈ [0, 2π). Mamy: f (x(t), y (t)) = 15 oraz x ′ (t) = −2 sin t i y ′ (t) = 2 cos t,
√
√
a zatem (x ′ (t))2 + (y ′ (t))2 = 2 2. Tak więc poprzedni wzór daje nam:
√
√
2π 1
4π 2
∫L f (x, y )ds = ∫0 5 ⋅ 2 2dt = 5
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Całki krzywoliniowe
Całka krzywoliniowa skierowana
Całka krzywoliniowa zorientowana to wyrażenie:
∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy
L
⃗ (x, y ) = (P(x, y ), Q(x, y )) to
L to krzywa po której całkujemy, a W
wektor zaczepiony w punkcie (x, y ), którego interpretacja fizyczna to
siła. Natomiast interpretacja fizyczna samej całki to praca jaką
wykonamy działając tą siłą wzdłuż krzywej L.
Podstawowy sposób liczenia całek krzywoliniowych zorientowanych jest
podobny do niezorientowanych - wystarczy podstawić do wzoru. Wzór
ten przy tradycyjnej parametryzacji to:
b
′
′
∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = ∫ [P(x(t), y (t)) ⋅ x (t) + Q(x(t), y (t)) ⋅ y (t)]dt
a
L
natomiast jeśli krzywa dana jest zależnością y = g (x), to mamy:
b
∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = ∫
L
[P(x, g (x)) + Q(x, g (x)) ⋅ g ′ (x)]dx
a
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Całki krzywoliniowe
Całka krzywoliniowa skierowana
Przykład:
Policzmy całkę ∫L ydx + x 2 dy dla krzywej danej parametrycznie
x = 2t, y = t 2 − 1 gdzie t ∈ [0, 2]. Mamy x ′ (t) = 2 i y ′ (t) = 2t, tak więc:
2
100
2
2
2
∫L ydx + x dy = ∫0 [(t − 1) ⋅ 2 + 4t ⋅ 2t]dt = . . . = 3
W niektórych szczególnych wypadkach możemy poradzić sobie inaczej
(jeśli powyższa metoda prowadzi do skomplikowanych rachunków).
Jeśli istnieje funkcja F (x, y ) taka, że Fx′ = P, Fy′ = Q, to tę funkcję
nazywamy potencjałem, a P(x, y )dx + Q(x, y )dy to jak wiadomo
różniczka zupełna funkcji F . Jeśli obszar D w jakim się znajdujemy jest
”porządny” (ściśle: jednospójny), a P, Q, Py′ , Qx′ są ciągłe, to
P(x, y )dx + Q(x, y )dy jest różniczką zupełną wtedy i tylko wtedy gdy
Py′ = Qx′ . Co więcej, wówczas całka ∫L P(x, y )dx + Q(x, y )dy nie zależy
od drogi całkowania, a jedynie od punktu początkowego A i końcowego
B, i mamy wtedy:
∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = F (B) − F (A)
L
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Całki krzywoliniowe
Całka krzywoliniowa skierowana
Przykład:
Policzmy całkę ∫L (x + y )dx + (x − y )dy wzdłuż krzywej
x = 3 cos t, y = 5 sin t i 0 ≤ t ≤ π2 . Mamy P(x, y ) = x + y i Q(x, y ) = x − y ,
a zatem Py′ = 1 = Qx′ . Wiadomo zatem, że istnieje potencjał F . Skoro
Fx′ = P(x, y ), to:
F = ∫ P(x, y )dx = ∫ (x + y )dx = 21 x 2 + yx + C (y )
Jeśli zróżniczkujemy tę równość po y , to pamiętając, że Fy′ = Q(x, y ),
dostajemy:
x − y = x + C ′ (y )
2
2
skąd C ′ (y ) = −y , czyli C (y ) = − 21 y 2 . Ostatecznie więc F (x, y ) = x −y
.
2
Punkt początkowy (dla t = 0) to (3, 0), a punkt końcowy (dla t = π2 ) to
(0, 5). Końcowy wynik to zatem:
∫L (x + y )dx + (x − y )dy = F (0, 5) − F (3, 0) = −17
Zauważmy w szczególności, że jeśli istnieje potencjał, to całka
krzywoliniowa po krzywej zamkniętej zawsze równa jest zero.
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Całki krzywoliniowe
Twierdzenie Greena
Jeśli natomiast krzywa jest zamknięta i otacza ”porządny” obszar D
(normalny względem obu osi układu), to niezależnie od tego czy istnieje
potencjał, można zamienić ją na zwykłą całkę podwójną, o czym mówi
nam Twierdzenie Greena:
′
′
∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = ∬ (Qx (x, y ) − Py (x, y )) dxdy
L
D
(zakładamy, że orientacja krzywej jest taka, że obszar D jest na lewo od
krzywej)
Przykład:
Rozważmy całkę ∫L x 2 ydx − xy 2 dy , gdzie L jest okrąg x 2 + y 2 = 4. Mamy
P(x, y ) = x 2 y , więc Py′ = x 2 oraz Q(x, y ) = −xy 2 , czyli Qx′ = −y 2 . Obszar
D jest kołem x 2 + y 2 ≤ 4 i mamy:
2
2
2
2
∫L x ydx − xy dy = ∬D (−y − x ) dxdy = . . .
i po przejściu na współrzędne biegunowe :
2π
2
. . . = 0 ∫0 (∫0 r 3 dr ) dφ = −2π ⋅ 4 = −8π
◇
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Całki krzywoliniowe
Ćwiczenia
Oblicz całki krzywoliniowe niezorientowane:
a) ∫ x 2 yds gdzie L jest częścią okręgu x 2 + y 2 = 4 leżącą w drugiej
L
ćwiartce.
b) ∫ (x + y )ds gdzie L jest odcinkiem od punktu A(1, 2) do punktu
L
B(3, 6).
c) f (x, y ) = ∫ (y − 1)ds gdzie L jest częścią krzywej y = x 3 + 1 od punktu
L
(0, 1) do punktu (3, 28).
Andrzej Musielak
Wykłady z matematyki Całki krzywoliniowe
Ćwiczenia
Oblicz całki krzywoliniowe zorientowane:
a) ∫ e y −x dx + e x+y dy gdzie L jest odcinkiem od punktu (1, 2) do punktu
L
(2, 1).
b) ∫ x 2 dx + (x + y )dy gdzie L jest fragmentem krzywej (t 2 , t 3 ) od
L
punktu (0, 0) do punktu (1, 1).
c) ∫ xydx + e x dy gdzie L jest fragmentem krzywej y = x 2 + 1 od punktu
L
(0, 1) do punktu (1, 2). Oblicz całki krzywoliniowe stosując twierdzenia
Greena:
a) ∫ (x 2 + 2xy )dx + (x 2 + e y )dy gdzie L jest dodatnio skierowanym
L
brzegiem elipsy x 2 + 3y 2 ≤ 1.
b) ∫ (−y 3 )dx + x 3 dy gdzie L jest dodatnio skierowanym brzegiem koła
L
x 2 + y 2 ≤ 4.
c) ∫ xydx + ydy gdzie L jest dodatnio skierowanym brzegiem trójkąta o
L
wierzchołkach A(0, 0), B(1, 0), C (1, 1).
◇
Andrzej Musielak
◇
Wykłady z matematyki Całki krzywoliniowe