Ćwiczenia nr 14

TiFS, Ćwiczenia nr 14
Fermiony w polu magnetycznym
W termodynamice rozpatrywaliśmy układy poddane działaniu zewnętrznych pól elektrycznego i magnetycznego. Podobnie można zrobić w fizyce statystycznej.
~ to umieszczenie
Jeśli rozpatrywane fermiony mają stały moment magnetyczny m
~
~
~ · B.
ich w zewnętrznym polu B powoduje powstanie dodatkowej energii U = −m
W efekcie powstaje wypadkowy moment magnetyczny skierowany wzdłuż kierunku
zewnętrznego pola. Jest to zjawisko paramagnetyzmu.
Z kolei, jeśli rozpatrywane fermiony mają ładunek elektryczny e, to siła Lorentza
F~ = e~
v × B~ spowoduje kołowy ruch w płaszczyźnie prostopadłej do pola. Powstanie
indukowany moment magnetyczny skierowany przeciwnie niż kierunek zewnętrznego
pola. Jest to zjawisko diamagnetyzmu.
Ponieważ elektrony posiadają zarówno ładunek jak i stały moment magnetyczny, to
gaz elektronów w metalu wykazuje jednocześnie własności para i diamagnetyczne.
To, który efekt będzie silniejszy, zależy od konkretnego metalu, który zawiera te
elektrony.
Zadanie:
Sprawdzić jakie równania ruchu wynikają z następującego hamiltonianu dla cząstki
swobodnej o ładunku e umieszczonej w polu magnetycznym o potencjale wektoro~
wym A:
H=
1
~2
( p~ − e A)
2m
Współrzędnymi uogólnionymi są tutaj współrzędne cząstki:
qi ≡ r~ = (x, y, z)
a pędami uogólnionymi składowe wektora p~
pi ≡ p~ = (px , py , pz )
Równanie Hamiltona:
∂H
q̇i =
∂pi
oznacza:
d~
r
∂H
= v~ =
= ∇ p~ H
dt
∂ p~
1
Różniczkowanie po p~ oznacza jednoczesne różniczkowanie po trzech składowych
wektora p~ czyli operację gradientu względem zależności od p~.
Ze wzoru:
a) · a~
∇a2 = ∇(~
a · a~) = 2∇(~
a · a~) = 2(∇~
dostajemy:
1
~ · ( p~ − e A)
~ = 1 ∇ p~ p~ · ( p~ − e A)
~
v~ = ∇ p~ ( p~ − e A)
m
m
~ r , t) nie zależy od p~.
ponieważ A~ = A(~
Ze wzoru ∇~
r = 1̂ dostajemy:
1
~ = 1 ( p~ − e A)
~
v~ = 1̂ · ( p~ − e A)
m
m
Wobec tego:
p~ = m~
v + e A~
Co ciekawe dla cząstki w polu magnetycznym pęd uogólniony nie jest równy m~
v.
Za to hamiltonian można zapisać w postaci takiej jak dla cząstki swobodnej:
H=
mv2
2
Drugie równanie Hamiltona:
∂H
ṗi = −
∂qi
oznacza:
d p~
∂H
=−
= −∇H
dt
∂~
r
Stąd:
m
d~
v
d A~
1
~ · ( p~ − e A)
~ = e (∇ A)
~ · m~
+e
= − ∇( p~ − e A)
v
dt
dt
m
m
~ r (t), t) gdzie r~ (t) jest trajektorią
Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej A~ = A(~
cząstki w polu magnetycznym dostajemy:
r ∂ A~ ∂ A~
d A~ ∂ A~ d~
=
+
·
+ v~ · ∇ A~
=
dt
∂t
dt ∂~
∂t
r
A więc:
m
d~
v
∂ A~
= −e
+ e[∇ A~ · v~ − v~ · ∇ A~ ]
dt
∂t
2
Jeśli przypomnimy sobie wzory z elektrodynamiki:
∂ A~
E~ = −
∂t
B~ = ∇ × A~
D. J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, wzory (10.2) i (10.3)
To ponieważ:
~ = ∇(~
~ − A(~
~ v · ∇) = (∇ A)
~ · v~ − v~ · (∇ A)
~
v~ × (∇ × A)
v · A)
Dostajemy wzór na siłę Lorentza:
F~ = eE~ + e~
v × B~
Wniosek:
Podany na początku hamiltonianian poprawnie opisuje własności mechaniczne cząstki
w polu magnetycznym.
Zadanie:
Znaleźć poziomy energetyczne cząstki kwantowej o ładunku e w stałym polu magnetycznym B skierowanym wzdłuż osi z.
Ścisłe rozwiązanie tego problemu wymagałoby rozwiązania odpowiedniego równania
Schrödingera:
L. Landau i E. Lifszyc, Mechanika kwantowa, Rozdział XVI
Jeśli nie interesują nas funkcje falowe tylko same poziomy energetyczne to można
posłużyć się warunkiem kwantowania Bohra-Sommerfelda ze starej teorii kwantów:
K. Huang, Fizyka statystyczna, § 11.3
Dla periodycznego ruchu ukladu mechanicznego na płaszczyźnie fazowej (q, p) musi
zachodzić warunek:
I
p dq = nh , n = 1, 2, . . .
Powierzchnia zakreślana przez trajektorię w przestrzeni fazowej jest wielokrotnością
stałej Plancka.
W przypadku cząstki w stałym polu magnetycznym porusza się ona po okręgu w
płaszczyźnie prostopadłej do pola magnetycznego — tak zwanym ruchem cyklotronowym. Jeśli dodatkowo uwzględnić ruch wzdłuż kierunku pola to trajektoria będzie
3
spiralą. Prościej jednak energię ruchu postępowego uzwględnić na końcu obliczeń.
Promień r trajektorii cząstki określony jest przez warunek równości siły Lorentza i
siły odśrodkowej:
mv2
= mω2r
r
Częstość ω = eB/m, z jaką porusza się cząstka, nazywa się częstością cyklotronową.
evB =
Pisząc warunek kwantowania Bohra-Sommerfelda dla współrzędnych i pędów uogólnionych występujących w hamiltonianie cząstki:
I
p~ · d~
r = nh
dostajemy:
I
~ · d~
(m~
v + e A)
r = nh
Ponieważ w ruchu po okręgu prędkość ma stałą wartość i jest styczna do trajektorii
ruchu:
I
I
m~
v · d~
r = mv dr = mv2πr
Z kolei, do całki z potencjału wektorowego można zastosować twierdzenie Stokesa:
I
Z
Z
~
~
~
B~ · d S~ = −πr 2 B
A · d~
r = (∇ × A) · d S =
S
S
gdzie S oznacza powierzchnię okręgu po którym porusza się cząstka.
Minus jest dlatego, że cząstka o ładunku dodatnim obiega okrąg w kierunku przeciwnym niż reguła prawej ręki.
B
F
r
v
Stąd warunek kwantowania otrzymujemy w postaci:
nh = 2πrmv − eπr 2 B
Prędkość v można usunąc korzystając z warunku równości sił:
4
eBr
m
stąd:
v=
nh = 2eπr 2 B − eπr 2 B = eπr 2 B
Poziomy energetyczne cząstki kwantowej w stałym polu magnetycznym wynoszą
więc:
En =
mv2 e2 B2r 2 nh eB
=
=
·
= n~ω ,
2
2m
2π m
n = 0, 1, 2, . . .
gdzie
eB
ω=
jest częstością cyklotronową.
m
Formalnie poziomy są równe poziomom oscylatora harmonicznego o częstości ω. Nie
jest to przypadek, ponieważ przy rozwiązywaniu równania Schrödingera przekształca
się hamiltonian cząstki do postaci formalnie identycznej z oscylatorem harmonicz~ω
nym. Ścisły rachunek kwantowy daje jeszcze dodatkową enegię drgań zerowych
.
2
Warto przy okazji obliczyć moment magnetyczny mB który wytwarza cząstka:
mB = πr 2 I
gdzie I = e/T jest prądem który wytwarza ruch cząstki. T — okres obrotu.
Wobec czego:
mB =
e
e~
eωr 2 e2 Br 2
=
=
nh = n = 2nµB
2
2m
2πm
m
Wielkość:
e~
µB =
2m
nazywa się magnetonem Bohra. Jest to stały moment magnetyczny elektronu.
Indukowany moment magnetyczny skierowany jest przeciwnie niż kierunek pola.
Mamy więc do czynienia ze zjawiskiem diamagnetyzmu.
Ruch cząstki wzdłuż kierunku z pola magnetycznego uwzględnia się w prosty sposób.
Pole magnetyczne nie wpływa na energię kinetyczną tego ruchu i po prostu się ją
dodaje do skwantowanej energii ruchu w płaszczyżnie prostopadłej do pola:
En =
pz2
+ n~ω
2m
5
Zadanie:
Obliczyć wielki potencjał i średnią liczbę cząstek dla gazu fermionów zamkniętych
we objętości V i poddanych działaniu zewnętrznego pola magnetycznego B wzdłuż
kierunku z.
Ponieważ w praktyce mówiąc o cząstkach naładowanych zwykle mamy na myśli
elektrony więc rachunek jest przeprowadzony dla fermionów.
Dla cząstek kwantowych zamkniętych w pudełku o objętości V = L3 poziomy energetyczne wynoszą:
~2 2
(k + ky2 + kz2 )
2m x
gdzie wartości wektora falowego są skwantowane — co wynika z warunku, że w
pudełku pojawiają się stojące fale prawdopodobieństwa:
π
k x = nx , nx = 0, 1, 2, . . .
L
π
ky = ny , ny = 0, 1, 2, . . .
L
π
kz = nz , nz = 0, 1, 2, . . .
L
E=
Jeśli wzdłuż kierunku z przyłożymy zewnętrzne pole magnetyczne wówczas poziomy
energetyczne przyjmą postać:
~kz2
+ n~ω
E=
2m
gdzie pz = ~kz jest składową pędu cząstki wzdłuż kierunku pola.
Część energii związana z ruchem cząstki wzdłuż kierunku z nie ulegnie zmianie.
Natomiast dla ruchu w płaszczyźnie (x, y) dwie liczby kwantowe k x , ky zostają zastąpione jedną liczbą kwantową n. Można sobie to wyobrazić w ten sposób: na początku
mamy kilka stanów kwantowych określonych przez różne wartości (k x , ky ) i o różnych energiach. Przy włączeniu pola magnetycznego energia tych stanów zmieni się
w ten sposób, że wszystkie będą miały tą samą energię n~ω. A więc poziomy energetyczne cząstki kwantowej w studni, poddanej działaniu pola magnetycznego ulegają
degeneracji.
Pytanie:
Dlaczego degenracja poziomów nie jest sprzeczna z zakazem Pauliego?
Można przyjąć, że do każdej wartości n~ω przejdą stany o liczbach kwantowych
(k x , ky ) odpowiadających przedziałowi energii dE = ~ω (patrz rysunek).
6
E
B =0
B >0
n =5
n =4
n =3
n =2
n =1
n =0
−
hω
0
Na płaszczyźnie wartości (k x , ky ) jednemu stanowi odpowiada stała powierzchnia:
π 2 π 2
S1 =
= 2
L
V3
Ponieważ nie ma żadnego wyróżnionego kierunku poza osią z można podzielić płaszczyznę (k x , ky ) na pierścienie o promieniu k i grubości dk. W studni kwantowej
wartości k x i ky są dodatnie — bierzemy więc tylko pierwszą ćwiartkę płaszczyzny
(k x , ky ). Pisząc równość:
~2 k 2
, gdzie k 2 = k x2 + ky2
2m
dostajemy dla różnicy wartości kolejnych poziomów w polu magnetycznym:
n~ω =
~2 kdk
m
Pole ćwiartki pierścienia wynosi:
πkdk πmω
S=
=
2
2~
stąd liczba stanów W przed włączeniem pola, których energia po włączeniu pola jest
ta sama i wynosi n~ω:
~ω =
2
2
2
S
πmω V 3
mωV 3
mωV 3
W=
=
· 2 =
=
S1
2~
π
2~π
h
Obliczyliśmy więc krotność degeneracji poziomów energetycznych w polu magnetycznym
Do wzoru na wielki potencjał dla fermionów:
∞
X
h
µ − εi i
ln 1 + exp
Ω = −kT
kT
i=0
trzeba podstawić poziomy energetyczne:
ε(kz , n) =
~2 kz2
+ n~ω
2m
7
z krotnością degeneracji W poziomów w polu magnetycznym.
W tym przypadku zostawia się sumowanie po n, a całkuje się po pz = ~kz . Ponieważ
na jeden stan wzdłuż osi kz przypada odcinek:
π
π
L1 = = 1
L V3
dp
.
więc przedziałowi d pz będzie odpowiadała liczba stanów
~L1
W takim razie:
Z∞
∞
X
h
µ − ε(pz , n) i
kT · W
Ω=−
d pz
ln 1 + exp
~L1
kT
n=0
0
Rozciągając dolną granicę całkowania do −∞ i dzieląc wynik przez 2:
Z∞
∞
X
h
µ − ε(pz , n) i
mωV
d pz
ln 1 + exp
Ω = −kT · 2
h
kT
n=0
−∞
Wprowadzając oznaczenia:
~ω 2µB B
pz
x=
=
, y = eµ/kT , q = √
kT
kT
2mkT
mamy
√
d pz = 2mkT dq
Z+∞ X
∞
mωV √
2
ln 1 + ye−nx−q
Ω = −kT · 2 · 2mkT dq
h
n=0
−∞
Ten wzór wygląda dość groźnie.
Zadanie:
Znaleźć własności magnetyczne gazu fermionów w słabym polu magnetycznym i
niskich temperaturach.
Jest to przybliżenie w którym:
µ kT µB · B
co oznacza założenie:
x1
y1
Jeśli pole magnetyczne jest słabe to poziomy energetyczne n~ω są gęsto rozłożone na
osi energii i można pokusić się o zamianę sumowania po n na całkowanie. Ponieważ
8
są one rozłożone równomiernie, nie trzeba obliczać gęstości stanów. Ze względu
na to, że ścisły rachunek kwantowy dodaje do wszystkich poziomów wartość 21 ~ω
wartości całkowanej funkcji są brane w punktach n + 21 .
f (z )
0
1/2
3/2
5/2
7/2
9/2
11/2 13/2
Aby otrzymać własności magnetyczne gazu fermionów potrzebny jest wzór EuleraMacLaurina zawierający dodatkową poprawkę oszacowującą błąd przybliżenia przez
wartość pochodnej:
Z∞
∞
X
1 0
f (n + 21 ) ≈
f (z) dz +
f (0)
24
n=0
z=0
W naszym przypadku:
2
f (z) = ln 1 + ye−zx−q
stąd
f 0 (0) =
1
−x
−q2
·
ye
·
(−x)
=
2
2
1 + ye−q
eq /y + 1
Część wyrażenia na wielki potencjał związana z całką wynosić będzie:
Z+∞ Z∞ mωV √
2
Ω1 = −kT · 2 · 2mkT dq ln 1 + ye−zx−q
h
−∞
z=0
Wprowadzając zmienną bezwymiarową u = zx:
Z+∞ Z∞ mωV √
1
2
dq ln 1 + ye−u−q
Ω1 = −kT · 2 · 2mkT ·
h
x
−∞
u=0
~ω
, tak więc w tym wyrażeniu skróci się częstość cyklotronowa ω proporAle x =
kT
cjonalna do pola magnetyczego. Tak więc nie ma co liczyć Ω1 bo w ogóle nie zależy
od B !
Częśc wyrażenia na wielki potencjał związana z poprawką ze wzoru Eulera-MacLaurina:
9
Z
mωV √
dq
Ω2 = kT ·
· 2mkT · x
2
2
q
24h
e /y + 1
+∞
−∞
Wprowadzając zmienną u = q2 :
Z∞ − 1
u 2 dq
mω2V √
· 2mkT
Ω2 =
12πh
eu /y + 1
0
W powyższej całce rozpoznajemy funkcję polilogarytmiczną:
Z∞ − 1
u 2 dq
1
−Li 21 (−y) = 1
Γ( 2 ) eu /y + 1
0
Ponieważ y 1 możemy skorzystać z rozwinięcia w szereg funkcji polilogarytmicznej dla dużych y poznanego na poprzednich ćwiczeniach. Wystarczy wziąść pierwszy
wyraz tego rozwinięcia:
1
(ln y) 2
-Li 12 (−y) ≈
Γ( 21 )
Stąd:
mω2V √
· 2mkT ·
Ω2 ≈
12πh
r
µ
e2 B2V
=
·
kT
12πh
r
2µ
m
Z termodynamiki układów w polu magnetycznym wiadomo, że parze zmiennych
(p, V ) odpowiada para zmiennych magnetycznych (B, M) gdzie B jest indukcją zewnętrznego pola magnetycznego, natomiast M jest momentem magnetycznym układu. Jeśli nie interesują nas zmiany objętości układu to wszystkie potencjały termodynamiczne liczymy na jednostkę objętości i wtedy przez zmienną M rozumiemy
moment magnetyczny jednostki objętości czyli magnetyzację.
W termodynamice transformacja Legendre’a prowadząca do wielkiego potencjału dotyczyła także zmiennych określających formę pracy. Uwzględnioną jawną zależnością
od objętości:
dΩ = −SdT − MV dB − Ndµ
Stąd wynika między innymi wzór na magnetyzację przy danej temperaturze i polu
zewnętrznym:
1 ∂Ω
M=−
V ∂B
Wielkość którą mierzy się w doświadczeniui jest podatność magnetyczna:
χ=
∂M
1 ∂2 Ω
=−
∂B
V ∂B2
10
W naszym wypadku ponieważ częśc Ω1 wielkiego potencjału w ogóle nie zależy od
zewnętrzego pola magnetycznego
r
1 ∂ 2 Ω2
e2
2µ
χ=−
=−
·
2
V ∂B
6πh
m
Gaz fermionów w polu magnetycznym wykazuje własności diamagnetyczne, to znaczy χ < 0. Indukowany moment magnetyczny jest skierowany przeciwnie do kierunku
zewnętrznego pola magnetycznego.
Efekt ten jako pierwszy opisał Landau w 1930 roku.
Zadanie:
Znaleźć magnetyczne własności fermionów w silnym polu magnetycznym i niskich
temperaturach.
Można przyjąć przybliżenie:
kT ≈ µB B µ
co oznacza:
y 1 oraz x ≈ 1
Wielki potencjał można zapisać w postaci:
Z+∞ X
∞
mωV √
2
ln 1 + eln y−nx−q
Ω = −kT · 2 · 2mkT dq
h
n=0
−∞
W wyrażeniu na wielką sumę statystyczną spróbujemy ograniczyć się do całkowania
po wartościach q dla których funkcja wykładnicza jest większa od 1:
ln y > nx + q2
i opuścić jedynkę pod logarytmem.
A. Isihara, Statistical Physics, rozdz. 4, § 8
Dostaje się wówczas wyrażenie, w którym można wykonać całkowanie:
+q
Z max X
∞
mωV √
( ln y − nx − q2 ) =
Ω ≈ −kT · 2 · 2mkT
dq
h
n=0
−qmax
= −kT ·
mωV √
· 2mkT
h2
∞ h
X
n=0
4 3 i
2qmax (ln y − nx) − qmax
3
ponieważ:
11
1
qmax = (ln y − nx) 2
więc sumowanie rozciąga się po wartościach dla których wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie:
ln y > nx
ln y
µ
=
x
~ω
W wyniku dostajemy:
Xh
i
mωV √
4
3
3
2(ln y − nx) 2 − (ln y − nx) 2 =
Ω = −kT · 2 · 2mkT
h
3
n<α
mωV √
2X
3
= −kT · 2 · 2mkT ·
(ln y − nx) 2
h
3n<α
czyli dla n < α =
Ponieważ:
xkT
ω=
~
więc wprowadzając cieplną długość fali de Broglie’a l0 dostajemy:
√
X
3
2 2 πmV 2
Ω = −(kT ) ·
·
x
(ln y − nx) 2
2
h l0
3 n<α
Do obliczenia podatności magnetycznej:
1 ∂2 Ω
·
V ∂B2
trzeba wykonać dwukrotne różniczkowanie po
~ω
~eB
x=
=
kT
mkT
χ=−
Jednym ze składników tego wyrażenia będzie wyraz proporcjonalny do:
1 X 2
1
x n (ln y − nx)− 2
2 n<α
Funkcja ta ma osobliwości rozłożone periodycznie dla:
x = ln y/n
czyli dla wartości pola magnetycznego:
1 µm 1 µ
Bn = ·
= ·
n ~e
n 2mB
gdzie µ jest potencjałem chemicznym, a mB jest magnetonem Bohra.
12
In[17]:= lny = 100;
In[32]:= f@x_D := x * Sum@n ^ 2 * Hlny - n * xL ^ H-1  2L * UnitStep@lny - n * xD, 8n, 0, 50<D
In[44]:= Plot@f@xD, 8x, 1.8, 3<, Frame ® TrueD;
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
Efekt periodycznych skoków podatności magnetycznej gazu fermionów w niskich
temperaturach znany jest jako zjawisko de Haasa–Van Alphena. Obserwuje się je w
metalach, gdzie elektrony stanowią prawie swobodny gaz fermionów, ograniczony
powierzchnią metalu.
13