M - Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu

Zastosowanie modelu wielostanowego i funkcji copula do modelowania
odwróconych małżeńskich rent hipotecznych1
Joanna Dębicka, Stanisław Heilpern, Agnieszka Marciniuk
Katedra Statystyki
Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu
Badania częściowo finansowane z projektu badawczego NCN pt. “Niestandardowe wieloosobowe produkty ubezpieczeniowe uwzględniające
zależności między ubezpieczonymi”. Umowa 2013/09/B/HS4/00490
1
1
PLAN PREZENTACJI
1.
CEL PREZENTACJI
2.
OPIS MODELU



3.
WYNIKI NUMERYCZNE



4.
struktura probabilistyczna
łączny rozkład czasu trwania życia małżonków
wzory macierzowe na świadczenie
funkcje copula
stopa procentowa
wyniki
LITERATURA
2
1. CEL PREZENTACJI – RENTA HIPOTECZNA
Renta hipoteczna jest to dożywotnia renta, którą właściciel nieruchomości może otrzymać
w zamian za przeniesienie praw własności na spółkę (specjalnie w tym celu stworzony fundusz
hipoteczny), gwarantując sobie w akcie notarialnym prawo do mieszkania w danym lokalu do
śmierci.
Małżeńska renta hipoteczna – umowa w której właścicielami nieruchomości są
małżonkowie – obecnie nie jest oferowana na rynku polskim.
3
1. CEL PREZENTACJI – RENTA HIPOTECZNA
Celem prezentacji jest modelowanie struktury probabilistycznej i przepływów pieniężnych
w małżeńskiej rencie hipotecznej. Rozważany jest przypadek, gdy renta wypłacana jest aż do
momentu śmierci drugiego z małżonków, czyli tzw. Status Ostatniego Przeżywającego (SOP).
W odróżnieniu do klasycznego założenia o niezależności czasu trwania życia małżonków
przyjmuje się zależność przyszłego czasu trwania życia małżonków. Struktura zależności
modelowana jest za pomocą funkcji copula.
Celem badań jest zastosowanie modelu wielostanowego oraz wyznaczenie wysokości
świadczeń małżeńskiej renty hipotecznej. Obliczenia wykonane są za pomocą wzorów
macierzowych na podstawie rzeczywistych danych z Dolnego Śląska. Porównane są wielkości
świadczeń w przypadku niezależności, jak i zależności czasów trwania życia małżonków, przy
zastosowaniu dwóch funkcji copula.
4
2. OPIS MODELU – STRUKTURA PROBABILISTYCZNA
Struktura zależności długości życia małżonków może być modelowana za pomocą procesów
Markowa. Rozpatrzmy najprostszy model z N  4 stanami, przedstawiony na wykresie 1.
1
3
2
Przestrzeń stanów:
1 - oboje małżonkowie żyją
2 - nie żyje mąż
3 - nie żyje żona
4 - oboje małżonkowie nie żyją
4
Rys. 1. Przestrzeń stanów
5
2. OPIS MODELU – STRUKTURA PROBABILISTYCZNA

S  1, 2, 3, 4 – przestrzeń stanów,

T  1, 2, 1,3, 1,4, 2,4, 3,4 – zbiór możliwych przejść między stanami,

(S, T) – model wielostanowy (opisujący wszystkie możliwe zdarzenia do momentu
zakończenia umowy),

X (k ), k  0 – dyskretny proces stochastyczny, opisujący zmiany stanów w czasie trwania
umowy,

X k   i , oznacza, że małżonkowie są w stanie i w chwili k, i  S k = 0, 1, 2, 3, ….
6
2. OPIS MODELU – STRUKTURA PROBABILISTYCZNA
Załóżmy, że proces X (k ), k  0 jest niehomogenicznym łańcuchem Markowa (Wolthuis,
Van Hoeck 1986). Wprowadźmy następującą macierz D (Dębicka 2013)
 P(0) 


 P(1) 
( n 1 )  4
D

R
 


 P ( n) 
P(0)  1,0,0,0
T
P(k )   p 1(k ), p 2 (k ), p 3 (k ), p 4 (k ) 
k  0,1, 2, 3...
pi (k )  P X (k )  i 
iS
T
7
2. OPIS MODELU – ŁĄCZNY ROZKŁAD CZASU TRWANIA ŻYCIA
MAŁŻONKÓW
TxM - przyszły czas trwania życia x-letniego męża, TxM  [0,  xM ] ,
 xM  wiek graniczny dla męża – wiek x męża w momencie zawarcia umowy,
TyW - przyszły czas trwania życia y-letniej żony, TyW  [0, Wy ] ,
 yK  wiek graniczny dla męża – wiek y męża w momencie zawarcia umowy,
Potrzebny jest wiek łączny rozkład przyszłego czasu trwania życia małżonków TxM , TyW .
x0 - wiek referencyjny dla mężczyzn
y0 - wiek referencyjny dla kobiet
x  x0  s ,
y  y0  t
oraz
s, t  0 .
8
2. OPIS MODELU – ŁĄCZNY ROZKŁAD CZASU TRWANIA ŻYCIA
MAŁŻONKÓW
Załóżmy, że znamy
1) dystrybuantę łącznego rozkładu F w, z  dla zmiennych TxM0 , TyW0 
2) funkcję copula C u, v  taką, że
F w, z   C F M w, F W  z ,
F M w  PTxM0  w, F W  z   P TyW0  z - rozkład brzegowy


TxM oraz TyW .
0
0
*
Łączna funkcja przeżycia S ( w, z ) może być określona za pomocą funkcji copula C w, z 
S ( w, z )  P(TxM0  w, TyW0  z )  C * S M w, S W  z ,
C * w, z   w  z  1  C (1  w, 1  z ) .
S w  1  F ( w) .
(Nelson 1999)
9
2. OPIS MODELU – ŁĄCZNY ROZKŁAD CZASU TRWANIA ŻYCIA
MAŁŻONKÓW
Postać wektora P(k )   p 1(k ), p 2 (k ), p 3 (k ), p 4 (k )  zależy od wieku małżonków oraz długości trwania
umowy, co przedstawiono w tabeli.
T
x, y 





k  min  xM ,  Wy , ..., max  xM ,  Wy
k  1, 2, ..., min  xM ,  Wy  1
W
( x  k   oraz y  k  x )
( x  k   oraz/lub
M
x
M
x
y  k   xW )
x y
P(k )   p 1(k ), p 2 (k ), p 3 (k ), p 4 (k ) 
P(k )  0, 0, 0,1
x y
P(k )   p 1(k ), p 2 (k ), p 3 (k ), p 4 (k ) 
P(k )  0, 0, p 3 (k ), p 4 (k ) 
x y
P(k )   p 1(k ), p 2 (k ), p 3 (k ), p 4 (k ) 
P(k )  0, p 2 (k ), 0, p 4 (k ) 
T
T
T

T
T
T
Źródło: opracowanie własne.
10
2. OPIS MODELU – ŁĄCZNY ROZKŁAD CZASU TRWANIA ŻYCIA
MAŁŻONKÓW
Twierdzenie (Heilpern, Dębicka, Marciniuk)
Załóżmy, że C * w, z  opisuje związek między łączną a brzegową funkcją przeżycia dla x0 -letniego mężczyzny
oraz y 0 -letniej kobiety. Dodatkowo proces X (t ), t  T  jest niehomogenicznym łańcuchem Markowa,
opisującym
wszystkie
możliwe
zdarzenia
w
modelu
wielostanowym
( S , T )  1, 2, 3, 4, (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4) małżeńskiej renty hipotecznej. Wtedy elementy wektora
P(k )   p 1 (k ), p 2 (k ), p 3 (k ), p 4 (k )  określone są następująco:
T


C * S M x  k , S W  y  k 
p1 (k )  P X (k )  1 
,
C * S M x , S W  y 

C S x , S  y  k   C S x  k , S  y  k 
p ( k )  P X ( k )  2  
,
C S x , S  y 
C S x  k , S  y   C S x  k , S  y  k 
p (k )  P X (k )  3 
,
C S x , S  y 
C S x , S  y   C S x , S  y  k   C S x  k , S  y   C S x  k , S  y  k 
p ( k )  P X ( k )  4  
.
C S x , S  y 
*

M
W
2
*
*
M
*
*
M
M
W
*
M
*
M
W
W
W
3
4
*
M
W
W
M
W
*
*
M
M
W
*
M
W
W
11
2. OPIS MODELU – WZÓR MACIERZOWY NA WYSOKOŚĆ ŚWIADCZENIA
Świadczenie b z tytułu dożywotniej małżeńskiej renty hipotecznej, płatne z góry, obliczane jest
na podstawie rzeczywistej wartości nieruchomości W oraz procentu  tej wartości   0%, 50%
z następującego wzoru (Dębicka, Marciniuk 2014):
b 
W
V  I  I n 1  I
T
T
n 1
 D  J
,
1
gdzie
T
J1  1, 0, 0, 0   R 4


I k 1   0,0,..., 1 ,...,0   R n 1 , dla kazdego k  0,1,..., n ,
k 1


V  1, v,..., v
v k  exp k  R0,k , k  1, 2, ..., n - czynnik dyskontujący
T

n T
 R n 1
R0, k - natychmiastowa stopa procentowa
12
3. PRZYKŁADY NUMERYCZNE – COPULA

dane Główny Urząd Statystyczny – dla Dolnego Śląska 2011 r.
W
M
Prof. Heilpern 2015 znalazł rozkład łączny dla T x0 oraz T y 0
F ( w, z )  C PTxM0  w, PTyW0  z 
dla wieku referencyjnego x0  y0  60 i współczynnika korelacji Kendalla   0.076. Copula Gumbela
ma następującą postać
1


  
C (u , v)  exp   ln u    ln v  
  1.0786 .
dla


Kryterium wyboru – różnica odległości między łączną dystrybuantą empiryczną a teoretyczną funkcją
Kendalla.



dane z wrocławskiego cmentarza – z 2011 r.
Najlepiej dopasowaną copula dla tych danych jest copula AMH
C (u, v)  1 (1uvu )(1 v )
dla
  0.5867 ,
  0.156 , x0  y0  0 .
13
3. PRZYKŁADY NUMERYCZNE – COPULA
Brzegowe funkcje przeżycia S M w oraz S W  z  można wyznaczyć za pomocą liczby lxM l Wy 
0
0
mężczyzn (kobiet) żyjących w wieku y0 x0  , korzystając z Tablic Trwania Życia, w następujący
sposób
S
M
S
W

w  P(T
 w)  P T
 z   P(T
 z)  P T
M
x0
W
y0

M
0
W
0
 x0  w T
M
0
 y0  z T
W
0

 x0 

 y0 
l xM0  w
l xM0
l Wy0  z
l Wy0
,
.
Wartości lxM  w , l xM , l Wy  z , lWy wyznaczone są z TTŻ dla kobiet i mężczyzn z Dolnego Śląska z 2011 r.
0
0
0
0
(niepublikowane dane).
14
3. PRZYKŁADY NUMERYCZNE – STOPA PROCENTOWA
Parametry funkcji R0, k estymowane były metodą najmniejszych kwadratów na podstawie
rzeczywistych danych z rynku polskiego (http://bossa.pl/notowania/stopy/rentownosc_obligacji/),
dotyczących obligacji zerokuponowych i obligacji o stałym oprocentowaniu z dnia 03.03.2015.
Rys. 2. Model natychmiastowej stopy procentowej
15
3. PRZYKŁADY NUMERYCZNE – STOPA PROCENTOWA
Najlepiej dopasowaną funkcją do danych empirycznych jest funkcja w model Svenssona.
Wzór funkcji R0, k ma następującą postać
R0, k   0  1
 1 
k 
1 e

k
1
k
k
k
k
 
 
 
 
 
 





   2  1 1  e 1   e 1    3  2  1  e 2   e 2  ,



k

k 




 

 

gdzie
 0  0.02096, 1  0.01684,  2  0.05844,
 3  0.05069,  1  0.33388,  2  0.57974.
W celu uproszczenia obliczeń przyjmujemy, że W = 100000 PLN oraz   50 % . Oczywiście dla
dowolnego W1 oraz  1 , mamy
W
b1  1 1 b .
W
16
3. PRZYKŁADY NUMERYCZNE
5800
Gumbel
5300
AMH
świadczenie
y = 80
indpend.
4800
4300
3800
3300
y = 70
2800
y = 60
2300
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
x
Rys. 3: Świadczenia dla kobiet w zależności od wieku mężczyzn
17
3. PRZYKŁADY NUMERYCZNE
5800
x = 80
Gumbel
AMH
indpend.
5300
świadczenie
4800
4300
3800
x = 70
3300
x = 60
2800
2300
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
y
Rys. 4: Świadczenie dla mężczyzn w zależności od wieku kobiet
18
3. PRZYKŁADY NUMERYCZNE
 Świadczenie rośnie wraz z wiekiem małżonków.
 Świadczenie rośnie szybciej dla starszych osób.
 Większy wpływ na wysokość świadczenia ma wiek kobiety.
 Dla niezależnych czasów trwania życia małżonków świadczenie jest prawie zawsze wyższe
niż w przypadku copula AMH, wyższe dla starszych małżonków w przypadku Gumbela
(Rys. 5 i 6)
 Świadczenie w przypadku funkcji AMH jest najniższe. Gdy jedna z osób jest w wieku
powyżej 85 lat, a druga ma przynajmniej 80 lat świadczenie jest wyższe w przypadku funkcji
Gumbela.
19
3. PRZYKŁADY NUMERYCZNE
6,00%
5,00%
4,00%
3,00%
2,00%
1,00%
0,00%
60
65
70
75
80
y
-1,00%
60
65
70
75
80
Rys. 5: Przyrost względny między świadczeniem w przypadku niezależności i zależności (AMH) przyszłych czasów trwania
życia małżonków
20
3. PRZYKŁADY NUMERYCZNE
2,50%
2,00%
1,50%
1,00%
0,50%
0,00%
60
65
70
75
80
y
-0,50%
-1,00%
-1,50%
60
65
70
75
80
Rys. 6: Przyrost względny między świadczeniem w przypadku niezależności i zależności (Gumbel) przyszłych czasów trwania
życia małżonków
21
4. LITERATURA
[1] DENUIT, M., DHAENE, J., Le BAILLY de TILLEGHEM, C., TEGHEM, S. 2001. Measuring the impact of
a dependence among insured lifelengths. In Belgian Actuarial Bulletin, 2001, vol. 1(1), pp. 18-39.
[2] DĘBICKA J. 2013. An approach to the study of multistate insurance contracts. Appl. Stochastic Models Bus. Ind., 2013,
vol. 29, iss. 3, pp. 224–240.
[3] DĘBICKA J., MARCINIUK A. An approach to the study of multilife reverse annuity contracts – manuscript.
[4] DĘBICKA J., MARCINIUK A. 2014. Comparison of reverse annuity contract and reverse mortgage on the Polish
market. 17-th AMSE. Applications of Mathematics in Economics. International Scientific Conference: Poland, 27-31
August, 2014. Conference Proceedings. Wroclaw University Press, 2014, pp. 55-64. ISBN 978-83-7695-421-9.
[5] HEILPERN, S. 2015. Dependent structure induced by Markov chain in the multiple life insurance. 18-th AMSE.
Applications of Mathematics in Economics. International Scientific Conference: Jindřichův Hradec 2-6 September, 2015.
Conference Proceedings. http://amse2015.cz/proceedings.
[6] NELSEN, R. B. 1999. An Introduction to Copulas. New York: Springer. 1999. ISBN 0-387-98623-5.
[7] NORBERG, R. 1989. Actuarial analysis of dependent lives. In Bulletin de l'Association Suisse des Actuaries, 1989, vol.
40, pp. 243-254.
[8] WOLTHUIS, H., VAN HOECK L. 1986. Stochastic models for life contingencies. In Insurance: Mathematics and
Economics, 1986, vol. 5, pp. 217-254.
22
Dziękuję za uwagę
23