LISTA 2

METODYKA ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ MATEMATYCZNYCH 4
POZIOM ROZSZERZONY – LISTA 2 – Równania i nierówności
Zad.1 Dane jest równanie kwadratowe x2 + kx + 2k − 3 = 0, gdzie k ∈ R. Dla jakich wartości
parametru k równanie to ma dwa różne pierwiastki ujemne?
Zad.2 Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y takich, że |x| =
6 |y|, prawdziwa jest
nierówność
(x−y)(x3 +y 3 )
(x+y)(x3 −y 3 )
> 31 .
Zad.3 Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie k 2 x − 1 = x(3k − 2) − k
ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych.
Zad.4 Uzasadnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność: |x+5|+|x−2| > 7.
Zad.5 Określ liczbę rozwiązań równania mx2 + mx − 1 − 2m = 0, gdzie x ∈ h−2, 2i, w zależności
od wartości parametru m ∈ R.
Zad.6 Rozwiąż równanie: (x2 − 3x)(x2 − 3x + 2) + 1 = 0.
Zad.7 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x2 − 4mx − m3 + 6m2 +
m − 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1 , x2 takie, że (x1 − x2 )2 < 8(m + 1).
Zad.8 Wykaż, że wśród rozwiązań równania |x + 2| − |x − 4| = 6 istnieje takie, które jest liczbą
niewymierną.
Zad.9 Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W (x) = x3 + ax2 + bx + 1 wiedząc, że
W (2) = 7 oraz, że reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez (x − 3) jest równa 10.
Zad.10 Rozwiąż nierówność
1
x(x+1)
+
1
(x+1)(x+2)
+
1
(x+2)(x+3)
60
Zad.11 Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych x i y spełniających równanie: xy − 3y = 3.
Zad.12 Suma cyfr liczby trzycyfrowej jest równa 15. Pierwsza cyfra jest o 5 mniejsza od drugiej
cyfry, która jest o 4 większa od trzeciej. Wyznacz tę liczbę.
Zad.13 Określ liczbę rozwiązań równania m2 − 2x = 1 + kx w zależności od parametrów m i k.
Zad.14 Bezwzględna wartość różnicy dwóch liczb jest równa 2. Suma kwadratów tych liczb jest
o 26 większa od ich sumy. Wyznacz te liczby.
Zad.15 Rozwiąż nierówność:
x2
4+9x2
6
1
.
12
Zad.16 Dwie cyfry, wstawione w tej samej kolejności między cyfry licznika i między cyfry mianownika ułamka
34
,
67
nie zmieniły wartości tego ułamka. Wyznacz te cyfry.
Zad.17 Rozwiąż nierówność: |x − 1| + x > 2.
(
|x| + 1 = y
Zad.18 Rozwiąż układ równań:
x − 2y = −5.
Zad.19 Niech x1 , x2 oznaczają miejsca zerowe trójmianu kwadratowego f (x) = ax2 + bx + c.
Określ znaki współczynników tego trójmianu wiedząc, że: f (0) = 3, x1 > 0, x2 > 0.
Zad.20 Ułóż równanie kwadratowe takie, aby suma pierwiastków równania była równa 2 oraz,
aby suma kwadratów pierwiastków była równa 16.