Metody numeryczne rozwiązywania równań Maxwella w

Transkrypt

Wydział Podstawowych
Problemów Techniki
Metody numeryczne rozwiązywania
równań Maxwella
w kwazijednowymiarowych
strukturach fotonicznych
Praca dyplomowa magisterska
Szymon Kosydor
Promotor:
dr hab. inż. Włodzimierz Salejda, prof. nadzw. w PWr
Wrocław 2007
Serdecznie dziękuję
Panu profesorowi Włodzimierzowi Salejdzie
za nieocenioną pomoc naukową podczas pisania tej pracy.
Spis treści
Wstęp
4
Wykaz ważniejszych skrótów i oznaczeń
5
1 Wprowadzenie
1.1 Struktury i kryształy fotoniczne . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Kwazijednowymiarowy kryształ fotoniczny . . .
1.2 Równania Maxwella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Prawoskrętne materiały (RHM) . . . . . . . . . . . . .
1.4 Lewoskrętne materiały (LHM) – metamateriały . . . .
1.5 Fala elektromagnetyczna na granicy dwóch ośrodków .
1.6 Prawo Bragga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Siatka Bragga . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Propagacja światła w strukturach periodycznych . . . .
1.8 Model kwazijednowymiarowego kryształu fotonicznego
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Metody numeryczne
2.1 Zalety i wady metod numerycznych . . . . . . . . . . . .
2.2 Metody rozwiązywania równań Maxwella . . . . . . . . .
2.3 Algebraiczne zagadnienie własne . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Modele optycznych supersieci aperiodycznych . . . . . .
2.4.1 Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF) . .
2.4.2 Uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (USTM)
2.4.3 Supersieć z podwojonym okresem (SPO) . . . . .
2.4.4 Supersieć typu Rudin-Shapiro (SRS) . . . . . . .
2.5 Programowanie zorientowane obiektowo (OOP) . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8
8
12
13
16
18
19
20
21
23
24
.
.
.
.
.
.
.
.
.
26
26
27
28
29
30
31
31
32
32
3 Rezultaty obliczeń numerycznych
34
3.1 Opis programu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Wybrane wyniki obliczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Uwagi i wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Podsumowanie
63
A Obliczanie wartości własnych
64
Bibliografia
67
3
Wstęp
Główne cele pracy to:
• przedstawienie metod i algorytmów numerycznych obliczania fotonicznej struktury pasmowej optycznych supersieci periodycznych i aperiodycznych,
• wyznaczenie fotonicznej struktury pasmowej dla wybranych ww. układów.
W XXI wieku przesyłanie informacji jest niezwykle istotne dla większości dziedzin
życia. Najszybszym znanym nośnikiem informacji jest światło. W związku z nieustannym rozwojem technologicznym [1], [2], [3] istnieje potrzeba przesyłania ogromnej
ilości danych. Prowadzi to do coraz większej ilości konstruowanych przyrządów optycznych, a także do ich miniaturyzacji [4]. Również zwiększanie prędkości przetwarzania informacji to jedno z głównych wyzwań stawianych przed współczesną nauką.
Jak się okazuje, nawet komputery o największej aktualnie znanej mocy obliczeniowej
nie potrafią sobie poradzić z takimi problemami jak np. symulowanie pogody [5].
Odpowiedzią na te problemy jest komputer kwantowy, który nie operuje na systemie
binarnym, ale na bitach kwantowych, tzw. qubitach [6].
Do konstrukcji urządzeń optycznych, przy postępującej miniaturyzacji, poszukiwane są materiały o coraz to lepszych właściwościach filtracyjnych. Jednym z ciekawszych rozwiązań w tej dziedzinie jest nowa klasa materiałów o parametrach dużo
lepszych niż dotychczas stosowane, znanych jako kryształy fotoniczne.
Porównanie właściwości takich jak zależności dyspersyjne, które są głównym badanym zagadnieniem tej pracy, przy różnych zadanych parametrach badanych supersieci pozwali na analizę zmian ich charakterystyk w zależności od sposobu ułożenia
warstw oraz typu sieci.
Zakres zastosowań struktur fotonicznych jest bardzo szeroki. Można dzięki nim
konstruować światłowody fotoniczne o bardzo małych stratach, światłowody dwurdzeniowe, lustra na krysztale fotonicznym, mikrorezonatory, półprzewodniki fotoniczne, lasery z rozłożonym sprzężeniem zwrotnym, diody LED o zwiększonej
sprawności czy też dwuwymiarowe struktury światłowodowe umożliwiające wykonanie ostrych zakrętów w torze światłowodowym.
Przedmiotem naukowych badań w ostatnich latach są optyczne supersieci, [7],
[8], [9] które można traktować jako kwazijednowymiarowe struktury fotoniczne.
Obiektem badań w pracy są optyczne supersieci aperiodyczne kilku rodzajów:
• uogólniona supersieć typu Fibonacciego,
• uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a,
• supersieć z podwojonym okresem,
• supersieć typu Rudin-Shapiro.
4
SPIS TREŚCI
5
Do wyznaczenia krzywych dyspersyjnych badanych materiałów konieczne jest
zdefiniowanie fizycznych podstaw oraz zjawisk zachodzących w modelowanych strukturach fotonicznych. Zostały one przedstawione w rozdziale pierwszym. Poruszono
w nim również temat związany z metamateriałami oraz zjawiskiem ujemnego załamania a także przedstawiono rozwiązanie równania falowego w fotonicznych kwazikryształach. Argumenty przemawiające za i przeciw stosowaniu metod numerycznych oraz wybrane zagadnienia z fizyki komputerowej, które zostały użyte do
obliczeń struktury pasmowej, zebrano w rozdziale drugim. Rozdział trzeci przedstawia wyniki obliczeń numerycznych, w tym wykresy krzywych dyspersyjnych,
prędkości grupowej oraz efektywnego współczynnika załamania. Ostatni rozdział
stanowi krótkie podsumowanie zaprezentowanych w pracy treści.
Wykaz ważniejszych skrótów
i oznaczeń
Skróty:
AZW – algebraiczne zagadnienie własne;
OSA – optyczne supersieci aperiodyczne;
fala EM– fala elektromagnetyczna;
USF – uogólniona supersieć typu Fibonacciego;
USTM – uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a;
SPO – supersieć z podwojonym okresem;
SRS – supersieć typu Rudin-Shapiro;
OOP – (ang.) object-oriented programming (programowanie zorientowane obiektowo);
FK – fizyka komputerowa;
LHM – (ang.) left handed materials (materiały lewoskrętne);
RHM – (ang.) right handed materials (materiały prawoskrętne);
Oznaczenia:
E – wektor natężenia pola elektrycznego;
H – wektor natężenia pola magnetycznego;
D – wektor indukcji elektrycznej;
B – wektor indukcji magnetycznej;
ε – przenikalność elektryczna;
ε0 – przenikalność elektryczna próżni;
µ – przenikalność magnetyczna;
µ0 – przenikalność magnetyczna próżni;
6
SPIS TREŚCI
n – współczynnik załamania światła;
nP – współczynnik załamania warstwy typu P ;
nQ – współczynnik załamania warstwy typu Q;
c – prędkość światła w próżni;
ω – częstość fali elektromagnetycznej;
k – wektor falowy;
d – grubość warstwy;
ε̃ – wartość własna;
I – macierz jednostkowa;
t – czas;
~r – wektor położenia;
7
Rozdział 1
Wprowadzenie
Kryształy fotoniczne to struktury przestrzenne z periodycznym lub aperiodycznym
ułożeniem materiałów dielektrycznych lub metalicznych. To co je odróżnia od innych periodycznych struktur to fakt, że okres periodu ośrodka jest porównywalny
z długością fali świetlnej, która w nim propaguje się.
1.1
Struktury i kryształy fotoniczne
Koncepcja kryształów fotonicznych powstała w roku 1987 jednocześnie w dwóch
ośrodkach naukowych USA [10]. Eli Yablonovitch z Bell Communications Research
w New Jersey próbował stworzyć tranzystor do zastosowań fotonicznych. Podczas
badań odkrył istnienie fotonicznej przerwy wzbronionej,podobnej do tej z jaką
mamy do czynienia w półprzewodnikach. Jednocześnie Sajeev John z Princeton
University pracując nad laserami natknął się na to samo zjawisko. Pierwszy sztuczny kryształ fotoniczny został stworzony przez Yablonovitcha i in. w 1991 roku
[11], miał współczynnik załamania równy 3.6 i został on nazwany na cześć twórcy
”Yablonovite”. Yablonovitch do stworzenia swojego kryształu fotonicznego (Rys. 1.1)
użył materiału ceramicznego, w którym wywiercono siatkę otworów.
Rysunek 1.1: Yablonovite
Struktury fotoniczne, jak się okazuje zostały już wcześniej stworzone przez naturę.
Istnieje tropikalny motyl o nazwie Morpho sulkowskyi, którego skrzydła mają piękny
błękitny kolor, patrz Rys. 1.2. Pomimo tego, że skrzydła wyglądają, jak gdyby były
8
ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE
9
nasycone barwnikiem, to są one prawie całkowicie białe. Wyjaśnienie tej ciekawostki
można znaleźć oglądając skrzydło w skali mikroskopowej. Jak się okazuje struktura
skrzydła składa się z periodycznie ułożonych, ściśle upakowanych heksagonalnych
kształtów z otworami, patrz Rys. 1.3. Dzięki takiemu sposobowi ułożenia otworów
powstaje struktura fotoniczna, która odbija tylko określoną długość fali (w tym
przypadku światło niebieskie) [12].
Rysunek 1.2: Morpho Sulkowskyi
Rysunek 1.3: Powiększenie fragmentu skrzydła Morpho Sulkowskyi
Modelem najprostszego, jednowymiarowego kryształu fotonicznego [15] jest struktura złożona z naprzemiennie ułożonych warstw o różnych współczynnikach załamania. Obszar koloru czerwonego na Rys. 1.4 odpowiada warstwie o współczynniku
załamania n1 natomiast warstwa koloru żółtego reprezentuje materiał o współczynniku załamania równym n2 , przy czym n1 6= n2 . W związku z tym, że wartość
współczynnika załamania zmienia się tylko w jednym kierunku nazwany został on
jednowymiarowym kryształem fotonicznym. Jak już wspomniano okres takiego materiału powinien być rzędu długości fali, aby wykazywał właściwości charakterystyczne dla kryształów fotonicznych.
10
Rysunek 1.4: Model jednowymiarowego kryształu fotonicznego
Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym, rozważać można strukturę złożoną z dwóch różnych materiałów. Zakładając że jej współczynnik załamania zmienia
się w dwóch kierunkach otrzymamy dwuwymiarowy kryształ fotoniczny, co ilustruje
Rys. 1.5
Rysunek 1.5: Model dwuwymiarowego kryształu fotonicznego
Analogicznie postępując w przypadku materiału, w którym współczynnik załamania
zmienia się w trzech kierunkach otrzymamy trójwymiarowy kryształ fotoniczny.
Rysunek 1.6: Model trójwymiarowego kryształu fotonicznego
Jeśli fala elektromagnetyczna pada na taką strukturę periodyczną, to na każdej
granicy warstw ulega ona odbiciu i załamaniu. Zachowanie się fali w takich strukturach zostało przedstawione w następnych podrozdziałach.
W fotonice zastosowanie kryształów fotonicznych, ze względu na ich właściwości
filtracyjne, jest bardzo szerokie. Z powodu coraz większego zainteresowania materiałami fotonicznymi, wiele ośrodków naukowo-badawczych [10], [16], [17] zajęło się
konstrukcją falowodów wykorzystujących ich wyjątkowe właściwości. Na Rys. 1.7
przedstawiono porowatą płytkę krzemową realizującą dwuwymiarowy kryształ fotoniczny [18]. Wśród metod wytwarzania tego typu materiałów można wyróżnić
technikę uporządkowanego elektrochemicznego wzrostu na podłożu krzemowym.
Kryształ przedstawiony na Rys. 1.7 został wykonany właśnie tą technologią. Jak
11
Rysunek 1.7: Dwuwymiarowy kryształ fotoniczny
widać na powiększeniu 1.7d zastosowanie tej techniki pozwala osiągnąć bardzo dużą
precyzję wykonania. Bardziej interesujące, pod względem powszechnego wykorzystania w urządzeniach optycznych, są dwuwymiarowe tory światłowodowe. Przykład
aplikacyjny takiego falowodu na krysztale fotonicznym został przedstawiony na Rys.
1.8, który został także wyprodukowany przy użyciu krzemu.
Rysunek 1.8: Dwuwymiarowy kryształ fotoniczny – przykład aplikacji
Pierwszy z zaprezentowanych rysunków 1.8a przedstawia zakręt w torze światłowodowym. W praktyce możliwe jest wykonanie, spełniających swoje funkcje, tego
typu zakrętów pod kątem 90 stopni i większym (wspomniane wcześniej ostre zakręty w torze światłowodowym). Drugim przykładem jest rozdzielacz na Rys. 1.8b,
który działa prawie identycznie jak rozdzielacz światłowodowy, tzn. fala propaguje
się częściowo w każdym z kierunków. Ostatni z rysunków 1.8c prezentuje rezonator
światłowodowy.
Pomimo tego, że fabrykowanie trójwymiarowych kryształów fotonicznych jest
procesem dużo bardziej skomplikowanym, w ostatnich latach otrzymano kryształy
12
trójwymiarowe, które wykazują fotoniczną przerwę wzbronioną dla długości 1.5
mikrona [19].
1.1.1
Kwazijednowymiarowy kryształ fotoniczny
Kryształy kwazijednowymiarowe, inaczej jednowymiarowe kryształy, to struktury
wielowarstwowe, których własności optyczne zmieniają się wzdłuż wybranego kierunku (wybranej osi, najczęściej OX). Dla uproszczenia zakładamy, że są to warstwy
nieprzewodzące i niemagnetyczne.
W optoelektronice przez długi czas poszukiwano idealnego lustra. Konwencjonalne lustra dielektryczne cechowały się co prawda odbiciem z małymi stratami, ale
ich działanie było w dużej mierze zależne od kąta padania na strukturę. Drugim
rodzajem tego typu materiałów są lustra metaliczne, które cechują się małą zależnością od kąta padania, ale straty przy odbiciu są bardzo duże. Kryształy fotoniczne
rozwiązują oba problemy. Posiadają małe straty oraz małą zależność od kąta.
Kwazikryształy fotoniczne nadają się idealnie do konstrukcji filtrów pasmowo–
przepustowych. Więcej informacji na ten temat znajduje się w rozdziale 1.6.1.
W światłowodach można wykorzystać fotoniczne kwazikryształy jako lustra optoelektroniczne pomiędzy rdzeniem a płaszczem.
Strukturę tej postaci
zwija się dookoła rdzenia i ostatecznie otrzymuje się światłowód, którego schematyczny model został przedstawiony na Rys. 1.9
Rysunek 1.9:
Jeśli odpowiednio dobierze się parametry tego kryształu owiniętego dookoła rdzenia,
czyli jeśli będzie odbijać długość fali propagującej się w światłowodzie otrzymamy
światłowód o bardzo małych stratach. Umożliwi to przesyłanie informacji na znacznie
dłuższe odległości, niż jak ma to miejsce w przypadku światłowodów gradientowych.
1.2
13
Równania Maxwella
Teoria elektromagnetyzmu oparta jest o równania Jamesa Clerka Maxwella, dzięki
którym można określić przyszłe położenie i prędkości dowolnego układu oddziałujących ze sobą naładowanych cząstek [20], [21], [22].
Maxwell zebrał prawo Gaussa (dla elektryczności i magnetyzmu), prawo Faradaya oraz poprawione prawo Ampère‘a i połączył je w zbiór równań pozwalających opisać cały elektromagnetyzm. Równania te można zapisać w postaci różniczkowej i całkowej, obie formy łącznie z ich znaczeniem fizycznym przedstawiono
w Tabeli 1.
Tabela 1
Postać
różniczkowa
~ = ρv
∇·D
Postać
całkowa
H
R
~ · d~s = ρv · dV = Q
ε0 S E
~ = ~j +
∇×H
Prawo Gaussa
dla magnetyzmu
~ · d~I = − dΦB
E
dt
Prawo Faradaya
~ · d~I = µ0 (ε0 dΦE + I)
B
dt
Prawo
Ampère‘a–Maxwella
H
S
~
∂D
∂t
H
L
H
L
Prawo Gaussa
dla elektryczności
~ · d~s = 0
B
~ =0
∇·B
~
~ = − ∂B
∇×E
∂t
Nazwa
Fakty fizyczne
wynikające z równania
Źródłem pola
elektrycznego są ładunki
Pole magnetyczne jest
bezźródłowe, linie
pola magnetycznego
są zamknięte
Zmienne w czasie pole
magnetyczne wytwarza
wirowe pole elektryczne
Przepływający prąd oraz
zmienne pole elektryczne
wytwarzają wirowe
pole magnetyczne
Równania materiałowe mają postać
~ = ε0 εr E
~,
D
(1.1)
~ = µ0 µr H
~,
B
(1.2)
gdzie ∇ (nabla) jest operatorem wektorowym postaci
b
∇=x
∂
∂
∂
b
+y
+ zb .
∂x
∂y
∂z
(1.3)
Propagację fali EM w ośrodku jednorodnym, izotropowym i dielektrycznym
opisują równania Maxwella, które przyjmują postaci
~
~ (~r , t) = − ∂ B(~r , t) ,
∇×E
∂t
~
~ (~r , t) = ∂ D(~r , t) ,
∇×H
∂t
~ r , t) = 0,
∇ · D(~
~ r , t) = 0, .
∇ · B(~
(1.4)
(1.5)
(1.6)
(1.7)
14
Dokonując prostych przekształceń mamy
~
~ r , t) = µ0 µr ε0 εr ∂ E (~r , t) .
∇ × B(~
∂t
(1.8)
Różniczkując równanie (1.8) względem czasu otrzymamy
∇×
~ (~r , t)
~ (~r , t)
∂2E
∂H
= ε0 εr
.
∂t
∂2t
(1.9)
Wyznaczając z równania (1.4) pochodną dH
dt i podstawiając do powyższego równania mamy
2~
~ (~r , t)) = −µ0 µr ε0 εr ∂ E (~r , t) .
∇ × (∇ × E
(1.10)
∂t2
W równaniu (1.10) korzystając z tożsamości
a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b),
(1.11)
2~
~ (~r , t)) − (∇ · ∇)E
~ (~r , t) = −µ0 µr ε0 εr ∂ E (~r , t) .
∇(∇ · E
∂t2
(1.12)
otrzymujemy
Zgodnie z prawem Gaussa ∇ · E = 0. Dlatego pierwszy człon powyższego równania
zeruje się. Operator ∇ · ∇ jest nazywany laplasjanem i jest oznaczany przez ∇2 .
Podstawiając ∇ · ∇ = ∇2 do równania (1.12) otrzymujemy równanie fali EM w
liniowym ośrodku jednorodnym [22]
~ (~r , t) = µ0 µr ε0 εr
∇2 E
~ (~r , t)
∂2E
,
∂t2
(1.13)
~ r , t)
∂ 2 B(~
.
∂t2
(1.14)
i analogicznie dla pola magnetycznego
~ r , t) = µ0 µr ε0 εr
∇2 B(~
W obu wzorach występuje wyrażenie µ0 µr ε0 εr jest równe ϑ12 , gdzie ϑ to prędkość
fali EM, więc
1
c2
ϑ2 =
= 2,
(1.15)
µ0 µr ε 0 ε r
n
gdzie n to współczynnik załamania, a c to prędkość światła w próżni
1
ε 0 µ0
(1.16)
n 2 = ε r µr
(1.17)
~ (~r , t) = E0 ei(ωt−~k ·~r ) ,
E
(1.18)
~ (~r , t) = H0 ei(ωt−~k ·~r ) .
H
(1.19)
c= √
Przybliżając falę EM falą płaską
15
Wstawiając teraz powyższe wzory do równań Maxwella (1.4 – 1.7) i różniczkując
względem czasu otrzymujemy stacjonarne równania Maxwella (niezależne od czasu)
~ (~r ) = −iωµ0 µr H
~ (~r ),
∇×E
(1.20)
~ (~r ) = iωε0 εr E
~ (~r ),
∇×H
(1.21)
~ (~r ) = 0,
∇·E
(1.22)
~ (~r ) = 0.
∇·H
(1.23)
~ iH
~ są do siebie prostopadłe i że są
Z równań (1.20) i (1.21) wynika, że wektory E
prostopadłe do kierunku propagacji, czyli do wektora falowego
b
~k = nω k.
c
(1.24)
Dla rzeczywistych wartości n z równania (1.17) oraz (1.20), (1.21), (1.24) wynikają
następujące związki matematyczne
√
n = + ε r µr ,
(1.25)
√
n = − ε r µr ,
(1.26)
q
(1.27)
q
(1.28)
n = + (−εr )(−µr ),
n = − (−εr )(−µr ).
Równania Maxwella dopuszczają dwa przypadki (1.25) oraz (1.28) [56], [21]:
• gdy µr > 0 i εr > 0,
to n > 0 – dotyczy ośrodka prawoskrętnego
• gdy µr < 0 i εr < 0,
to n < 0 – odnosi się do ośrodka lewoskrętnego
1.3
16
Prawoskrętne materiały (RHM)
Ośrodki dielektryczne, w których współczynnik załamania n przyjmuje wartości
dodatnie (1.25), są grupą najczęściej występujących materiałów, należą do nich na
przykład powietrze, woda, kwarc. Ich właściwości optyczne zostały szeroko poznane
~,H
~
i opisane w literaturze [20], [22]. Jak już wspomniano, współrzędne wektorów E
oraz ~k fali płaskiej są do siebie prostopadłe
b×E
~ =H
~,
k
b×H
~ =E
~,
k
(1.29)
b jest wersorem na kierunek ~
gdzie k
k , oraz tworzą układ współrzędnych jak na Rys.
~
1.10. Także wektor Poyntinga S
~ ×B
~
~ =E
~ ×H
~ = 1E
S
µ
(1.30)
odnoszący się do strumienia energii przenoszonej przez falę jest prostopadły do wek~ iH
~
torów E
~,H
~ względem ~k i S
~ w RHM
Rysunek 1.10: Położenie wektorów E
Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków spełnia prawo Snelliusa1 [22], a promień
załamuje się po przeciwnej stronie normalnej
Rysunek 1.11: Załamanie fali na granicy dwóch ośrodków RHM
Prędkość fazowa fali harmonicznej, czyli prędkość z jaką rozchodzą się fragmenty
1
W literaturze spotykana jest także nazwa prawo Snella
17
fali o tej samej fazie jest definiowana jako
vf =
λ
c
ω
=ω
=λ·f = ,
k
2π
n
(1.31)
Z zależności częstości ω fali EM od wektora falowego
ω(k) =
ck
n(k)
(1.32)
wynika, że prędkość fazowa może być, dla n < 1, większa od prędkości światła.
Prędkość ta, nie jest jednak szybkością przenoszenia informacji, gdyż stało by to
w sprzeczności ze szczególną teorią względności Einsteina.
Szybkość rozprzestrzeniania się fali (tym samym szybkość przenoszenia informacji) opisuje prędkość grupowa
vg =
vf
∂ω
c
=
=
∂n
∂n
∂k
1+ ω
n + ω ∂ω
n ∂ω
(1.33)
W ośrodkach, w których występuje zależność współczynnika załamania od długości
fali n = n(ω) mamy do czynienia ze zjawiskiem dyspersji. Ze związku prędkości
grupowej z fazową (1.33) wynikają dwa przypadki:
1.
∂n
∂ω
> 0 – prędkość grupowa jest mniejsza od prędkości fazowej,
2.
∂n
∂ω
< 0 – prędkość grupowa jest większa od prędkości fazowej.
W pierwszym z nich mamy do czynienia z dyspersją normalną, a w drugim z dyspersją anormalną [22]. W większości materiałów dla zakresu widzialnego mamy
do czynienia z dyspersją normalną.
Przy superpozycji dwóch fal harmonicznych o nieco różnych częstościach powstaje fala wypadkowa, Rys. 1.12, której obwiednia (linia przerywana na Rys. (1.13))
propaguje się z prędkością grupową
Rysunek 1.12: Superpozycja fal
18
Rysunek 1.13: Obwiednia fali wypadkowej
1.4
Lewoskrętne materiały (LHM) –
metamateriały
W 1967 roku Victor Veselago przewidział teoretycznie istnienie materiałów posiadających ujemny współczynnik załamania, które nazwał lewoskrętnymi materiałami (LHM) [21], [56]. Ponad 30 lat później fenomen ujemnego załamania został
potwierdzony doświadczalnie [63]. Powodem intensywnych badań w ostatnich latach tej dziedziny było pojawienie się nowej klasy sztucznych struktur materiałów
zwanych metamateriałami wskazujących nieoczekiwane i interesujące właściwości
z punktu widzenia zastosowań.
Biorąc pod uwagę, że obie względne przenikalności µr oraz εr będą miały wartości
ujemne (1.28), materiał będzie charakteryzował się ujemnym współczynnikiem zała~,H
~ oraz ~k można przedstawić w następumania, a wzajemne położenie wektorów E
jący sposób
b×E
b×H
~ =H
~, k
~ = −E
~.
k
(1.34)
Na Rys. (1.14) przedstawiono wzajemną konfigurację tych wektorów
~,H
~ względem ~k i S
~ w LHM
Rysunek 1.14: Położenie wektorów E
Podstawową różnicą dzielącą ośrodki na prawoskrętne i lewoskrętne jest sposób,
w jaki fala się załamuje na granicy ośrodków. Na granicy ośrodków, których współczynniki załamania mają znaki przeciwne, kąt ugięcia fali załamanej będzie leżał po
tej samej stronie normalnej, Rys.1.15, przy czym wartość współczynnika załamania
ośrodka 2 jest mniejsza od zera n2 < 0.
19
Rysunek 1.15: Załamanie fali na granicy ośrodka RHM i LHM
1.5
Fala elektromagnetyczna na granicy
dwóch ośrodków
Zakładamy, że fala EM pada na granicę dwóch ośrodków izotropowych o współczynnikach załamania odpowiednio n1 i n2 , Rys. 1.16. Na granicy tych ośrodków zachowanie fali można opisać następującymi zależnościami [22],[7]:
• przy kącie padania θ1 różnym od zera fala ulega załamaniu zgodnie z prawem
Snelliusa
|n1 || sin θ1 | = |n2 || sin θ2 |,
(1.35)
Rysunek 1.16: Odbicie i załamanie na granicy ośrodków
• fala ulega odbiciu, przy czym θ10 = θ1 ,
• wektory falowe k1 , k10 i k2 leżą w płaszczyźnie padania (przyjmujemy taki
układ współrzędnych, że jest to płaszczyzna xz, natomiast płaszczyznę podziału ośrodków oznaczmy jako yz ),
• nie zmienia się częstość ω fali.
20
Rozwiązanie niezależnych od czasu równań Maxwella (1.4 – 1.7) dla tego przypadku
jest superpozycją fali padającej i odbitej
(
E=
(+)
(−)
0
E1 e−ik1 r + E1 e−ik1 r ,
0
(+)
(−)
E2 e−ik2 r + E2 e−ik2 r ,
(+)
x < 0,
x > 0,
(−)
(1.36)
(+)
gdzie E1 – amplituda fali padającej, E1 – amplituda fali odbitej, E2 – amplituda
fali załamanej. Biorąc pod uwagę, że w obszarze x > 0 nie ma fali odbitej, człon
(−)
E2 w równaniu (1.36) zeruje się.
Jeśli założymy, że wektor pola elektrycznego jest prostopadły do płaszczyzny
padania
E = [0, Ey , 0],
(1.37)
to mamy do czynienia z polaryzacją typu s.
Natomiast gdy wektor pola magnetycznego jest prostopadły do płaszczyzny padania
H = [0, Hy , 0],
(1.38)
to mówimy o polaryzacji typu p.
Rysunek (1.17) przedstawia rozkład wektorów E i H dla polaryzacji s i p[7]
Rysunek 1.17: Polaryzacje s i p
1.6
Prawo Bragga
Jeśli światło o długości fali λ pada na strukturę krystaliczną o stałej sieci krystalicznej d (średniej odległości między kolejnymi atomami sieci) oraz jeśli λ jest znacznie
różna od d to propagacja fali odbywa się przez ośrodek bez rozproszenia. Sytuacja
jest inna w przypadku gdy λ ∼ d, wtedy następuje ugięcie fali na atomach sieci,
Rys. 1.18. Fale odbite od kolejnych płaszczyzn sieci interferują ze sobą i następuje
superpozycja fal odbitych. Jakościowy opis tego zjawiska prezentuje prawo Bragga
[66], które łączy w sobie zależność jaka wiąże stałą sieci krystalicznej, długość padającego promieniowania oraz kąta odbicia od płaszczyzn sieci krystalicznej.
Wzór opisujący prawo Bragga ma postać
nλ = 2d sin(θ),
gdzie
n = 0, 1, 2, . . . ,
(1.39)
21
Rysunek 1.18: Interferencja fal odbitych od atomów sieci krystalicznej
n – kolejne płaszczyzny sieci (liczba naturalna), λ – długość fali, d – średnia
odległość powtarzalnych warstw atomów, na których zachodzi rozpraszanie,
θ – kąt odbicia mierzony pomiędzy wiązką pierwotną a płaszczyzną odbijającą.
1.6.1
Siatka Bragga
Rozpatrzmy strukturę złożoną z naprzemiennie ułożonych warstw o różnych współczynnikach załamania jak na Rys. (1.19)
Rysunek 1.19: Przykład siatki Bragga
przy czym
1 – pierwszy rodzaj warstwy, 2 – drugi rodzaj warstwy, a1 – fala padająca,
b1 – fala odbita, n1 oraz n2 – dwa różne współczynniki załamania warstw.
W oparciu o zależności przytoczone w poprzednim podrozdziale wiemy, że na
granicy każdej z tych warstw fala EM ulega odbiciu i załamaniu.
W sytuacji, gdy światło pada na taką strukturę, to ze względu na prawo Bragga
powstaje filtr pasmowo–przepustowy, który w zależności od ilości tych dwuwarstw 2
posiada szerszą lub węższą rozpiętość częstotliwościową.
Rysunek 1.20 przedstawia zależność współczynnika odbicia dla 10, 18 i 27 dwuwarstw [65]. Jak widać dla większej ilości dwuwarstw otrzymujemy lepszą filtrację
częstotliwości. Wynika to z tego, że fale padające na kolejne płaszczyzny sieci po
odbiciu interferują ze sobą i mogą się albo wzmocnić albo wygasić. Szerokość pasma
przepustowego takiego filtra można wyznaczyć korzystając z prawa Bragga
∆ω = ω1 − ω2 =
2πc 2πc
2πc 2πc
−
=
−
≈ n2 − n1 = ∆n
λ1
λ2
an1 an2
przy czym
2
dwuwarstwa – struktura złożona z dwóch warstw o współczynnikach n1 oraz n2
(1.40)
Rysunek 1.20: Współczynnik odbicia w zależności od ilości dwuwarstw
a – grubość warstwy, λ1 = 2an1 , λ2 = 2an2 , ω1 – dolna granica pasma
przepustowego, ω2 – górna granica pasma przepustowego.
22
1.7
23
Propagacja światła w strukturach periodycznych
– fotoniczna przerwa wzbroniona
Jak już wspomniano w poprzednim podrozdziale, fala padająca na strukturę periodyczną, której długość fali λ jest bliska periodu ośrodka, ulega wielokrotnym
odbiciom. W strukturze jak na Rys. 1.21,
Rysunek 1.21: Model struktury periodycznej
ze względu na periodyczność, współczynnik załamania ośrodka
~ ),
n(~r ) = n(~r + a
(1.41)
a także funkcja przenikalności elektrycznej
~ ),
ε(~r ) = ε(~r + a
(1.42)
~ jest wektorem sieci, są okresowymi funkcjami położenia [7].
gdzie a
Zgodnie z twierdzeniem Blocha-Floqueta ogólnym rozwiązaniem stacjonarnego
równania falowego w ośrodku periodycznym będą funkcje Blocha [7], [54], [55] postaci
~ (~r ) = uk (~r )exp(i~k~r ),
E
(1.43)
~ ),
uk (~r ) = uk (~r + a
(1.44)
gdzie
co dla przypadku jednowymiarowego przyjmuje postać
E(x) = uk (x)exp(ikx).
(1.45)
Rozwiązaniami równania falowego są także funkcje periodyczne w stosunku do wektora falowego ~k
~ (~k ) = E
~ (~k + G
~ j ), a
~ j = 2πδij ,
~i ·G
E
(1.46)
~ j jest wektorem sieci odwrotnej. W przypadku jednowymiarowym
przy czym G
E(k) = E(k +
2π
).
a
(1.47)
Funkcja własna, zgodnie z twierdzeniem Blocha przyjmie postać
E(x + a) = E(x)exp(ika),
(1.48)
gdzie wektor k przyjmuje niezależne wartości z przedziału −π/a ¬ k < π/a, który
nazywamy pierwszą strefą Brillouina. Dla różnych wartości własnych, z zależności ω(k) można wygenerować strukturę pasmową ośrodka (zależność dyspersyjną), która dla ośrodków jednorodnych ma postać przedstawioną na rysunku 1.22
24
Rysunek 1.22: zależność dyspersyjna w ośrodkach jednorodnych
W kryształach fotonicznych natomiast powstaje fotoniczna przerwa wzbroniona
Rysunek 1.23: zależność dyspersyjna w kryształach fotonicznych
Na wykresach z Rys 1.22 i 1.23 przedstawiono nieredukowalną strefę Brillouina
(połowę pełnej pierwszej strefy). Przewodzenie światła w takich materiałach oznacza, że fale elektromagnetyczne o określonej częstotliwości, należącej do fotonicznych pasm przewodzenia będą przepuszczane, natomiast inne, należące do fotonicznej przerwy wzbronionej nie będą propagować się. Pasma transmisji i pasma
wzbronione tworzą fotoniczną strukturę pasmową kryształu fotonicznego. Przypomina ona strukturę pasmową półprzewodników, dlatego materiały te nazywane są
półprzewodnikami światła. Szerokość przerwy wzbronionej, jak wykazano w podrozdziale poświęconym prawu Bragga (1.40), powinna być proporcjonalna do różnicy
współczynników załamania ośrodków. Wykresy krzywych dyspersyjnych jakie otrzymano w programie zostały przedstawione w rozdziale czwartym.
1.8
Kwazijednowymiarowy kryształ fotoniczny
Rozważana struktura zmienia swoje właściwości optyczne tylko w kierunku osi X,
która jest jednocześnie osią symetrii badanego ośrodka. Materiał struktury jest
~ = µ0 H
~ , µ = 1), liniowy (D
~ = εE
~ ) oraz nie
nieprzewodzący, niemagnetyczny (B
występuje w nim dyssypacja energii (=(ε) = 0). Przyjmujemy, że światło pada na
obiekt w płaszczyźnie YZ pod kątem θ, a zmienność jego właściwości w kierunku
osi X jest opisana zależnością ε(x) = n2 (x). Wektory natężeń pól elektrycznego
25
~ iH
~ w interesującej nas strukturze przyjmują postaci
i magnetycznego, E



Ex (x)
 i(ωt−βz)
~ (~r , t) = 
E
,
Ey (x) e
Ez (x)

Hx (x)
 i(ωt−βz)
~ (~r , t) = 
H
Hy (x) e
Hz (x)
(1.49)
Kontynuując rozważania z rozdziału pierwszego dotyczącego równania Maxwella,
otrzymaliśmy równanie falowe (1.13)
~ (~r , t)
c2 2 ~
∂2E
∇
E
(~
r
,
t)
=
.
n2
∂t2
Przy założeniu, że fala EM rozchodzi się jedynie wzdłuż osi x otrzymujemy
c2 ∂ 2 E(x, t)
∂ 2 E(x, t)
=
.
n2 ∂x2
∂t2
(1.50)
Przyjmując, że rozchodząca się fala EM jest falą harmoniczną E(x, t) = E(x)exp(−iωt)
oraz różniczkując względem czasu otrzymujemy
c2 ∂ 2 E(x)
= ω 2 E(x),
2
2
n ∂x
(1.51)
gdzie ω jest częstością fali. Zakładając, że wektory E i H są zależne tylko od x (1.49)
oraz podstawiając je do równań Maxwella (1.4)-(1.7) otrzymujemy stacjonarne równania falowe dla badanych supersieci:
dla polaryzacji s (Es = [0, Ey (x), 0] i Hs = [Hx (x), 0, Hz (x)])
−
ω 2 n2
d2 Ey
2
+
β
E
=
Ey ,
y
dx2
c2
(1.52)
gdzie
Hx = −
β
Ey ,
µ0 ω
Hz =
i dEy
;
µ0 ω dx
(1.53)
natomiast dla polaryzacji p (Ep = [Ex (x), 0, Ez (x)] i Hp = [0, Hy (x), 0])
−
ω2
d 1 δHy β 2
+
H
=
Hy ,
y
dx n2 δx
n2
c2
(1.54)
gdzie
β 1
i 1 dHy
Hy , Ez =
.
(1.55)
2
ε0 ω n
ε0 ω n2 dx
Powyższe wzory mają analogiczną postać, w sensie matematycznym, jak równanie
Schrödingera. Równanie Schrödingera było rozwiązywane dla periodycznych potencjałów, co w naszym przypadku odpowiada periodycznym zmianom współczynnika
załamania, w ramach fizyki ciała stałego. W związku z tym modele rozwiązań z
fizyki ciała stałego mogą być tutaj także zastosowane.
Ex = −
Rozdział 2
Metody numeryczne
Mając na uwadze fakt, że obliczenie struktury pasmowej dla struktur fotonicznych
nie jest możliwe na drodze analitycznej, do ich wyznaczenia posłużono się metodami
numerycznymi.
2.1
Zalety i wady metod numerycznych
Metody numeryczne w modelowaniu zjawisk fizycznych mają swoje wady i zalety.
Do zalet należą:
• Niewielkie koszty – nie trzeba budować danych układów, które chcemy zbadać,
nie trzeba inwestować dużej ilości pieniędzy i ludzi, przestrzeni itd.
• Szybkość – programy komputerowe potrafią wykonywać w stosunkowo krótkim
czasie skomplikowane przekształcenia i obliczenia matematyczne.
• Możliwość przeprowadzania eksperymentów naukowych – symulowanie ekstremalnych problemów bez konieczności ich fizycznej produkcji.
• Projektowanie materiałów – możliwość wpływająca bezpośrednio na koszty
realizacji.
• Dostępność – w większości przypadków wystarczy średniej klasy komputer
osobisty do modelowania znacznej liczby zjawisk lub procesów.
Natomiast wady i ograniczenia wynikają głównie z błędów czynnika ludzkiego
w całym procesie i można do nich zaliczyć:
• Konieczność dobrej znajomości narzędzi programistycznych używanych przy
modelowaniu problemu.
• Rozwiązywalne są zagadnienia o potęgowym stopniu złożoności algorytmicznej.
• Nieuwzględnienie wszystkich czynników (np. luk technologicznych).
• Problem źle uwarunkowanych zagadnień.
• Błędy modelu.
• Błędy metody.
26
ROZDZIAŁ 2. METODY NUMERYCZNE
27
• Błędy zaokrągleń i dyskretyzacji, a także ograniczenia np. długości typów
zmiennych.
• Błędy danych wejściowych.
• Rozwiązania komputerowe są najczęściej przybliżeniami rozwiązań dokładnych.
2.2
Metody rozwiązywania równań Maxwella
Od czasu sformułowania przez Maxwella równań opisujących własności pola elektromagnetycznego powstał rozbudowany aparat matematyczny służący do ich rozwiązywania. Do bardziej popularnych metod rozwiązywania równań Maxwella należą [36]:
• Metoda elementów skończonych (finite-element method) – polega na rozkładzie
badanego obszaru na skończone elementy (najczęściej jest to rozkład skomplikowanych obszarów na proste figury geometryczne) i problem jest definiowany
osobno, dla każdego z tych mniej skomplikowanych elementów. Przeprowadza
się obliczenia służące rozwiązaniu problemu dla wszystkich obszarów z osobna a następnie łączy się wyniki obliczeń (zachowując ciągłość na granicach
łączenia aproksymując wyniki z najbliższych węzłów) i w ten sposób otrzymuje
się rozwiązanie dla bardziej skomplikowanego obszaru początkowego. Wybór
elementów najczęściej jest dokonywany tak, by były zachowane zbliżone właściwości lub kształty podobszarów, co znacznie usprawnia algorytmy obliczeniowe.
• FDTD (finite difference time-domain) – metoda różnic skończonych w dziedzinie czasu. Istotą tej metody jest stworzenie dyskretnego modelu siatkowego
badanego obiektu złożonego z komórek elementarnych (zwanych komórkami
Yee) a następnie rozwiązanie równań Maxwella z zależnością od czasu pola
elektrycznego i magnetycznego. Aproksymuje się pochodne ilorazem różnicowym
f (x + ∆x) − f (x − ∆x)
df
→ lim∆x→0
(2.1)
dx
2∆x
a obliczenia przeprowadza się w zadanych odstępach czasu. Metoda ta jest
bardzo rozpowszechniona głównie ze względu na swoją prostotę i intuicyjność
w podejściu do problemu [34], [35].
• Metoda macierzy przejścia (transfer matrix method) – podobnie do poprzednio opisanych metod opiera się na podzieleniu badanego obszaru na n elementów. Następnie szuka się wszystkich macierzy (macierzy przejścia) opisujących
zmianę stanu badanego układu w kolejnych krokach rozwiązując równanie
[ai ] = T i+1 [ai+1 ]
(2.2)
gdzie ai – i-ty element, T i+1 – macierz przejścia dla elementu i+1, ai+1 –
element i+1.
Po przemnożeniu macierzy dla wszystkich kroków otrzymujemy macierz przejścia od stanu początkowego do końcowego
[a0 ] = T 1 ∗ T 2 ∗ ... ∗ T n−1 ∗ T n ∗ [an ]
(2.3)
2.3
28
Algebraiczne zagadnienie własne
Jak wspomniano w poprzednim rozdziale, modele rozwiązań równania Schrödingera
można zastosować do obliczania rozkładu pola elektromagnetycznego w badanych
strukturach.
Algebraicznym zagadnieniem własnym (AZW) nazywamy zadanie polegające na
wyznaczeniu wartości i wektorów własnych macierzy, której elementy stanowią liczby
rzeczywiste lub zespolone.
Wartość własną ε̃ macierzy A nazywamy liczbę, dla której istnieje niezerowy
wektor własny ψ spełniający równość
Aψ = ε̃ψ.
(2.4)
W mechanice kwantowej w zagadnieniu własnym A reprezentuje wielkość fizyczną, natomiast ψ jest funkcją opisującą stan badanego układu.
Równanie Schrödingera jest także zagadnieniem własnym operatora energii, czyli
hamiltonianu Ĥ
Ĥψ = Eψ
(2.5)
Rozwiązanie tego równania prowadzi do znalezienia kwantowomechanicznego opisu
badanego układu.
Przy założeniu periodycznych warunków brzegowych oraz sprowadzając równania falowe do dyskretnych postaci otrzymujemy zagadnienia własne z kwazisymetryczną macierzą trójdiagonalną:
• dla polaryzacji s
e 2 N Ē,
S Ē = ω
(2.6)
gdzie


βe2 + 2
−1
−eiQ

 −1
βe2 + 2 −1


..
..
.
.
S=
−1


.

. . βe2 + 2
−1

−iQ
2
e
−e
−1
β +2


n21




,








N =



n22
..
.
n2J−1
n2J




;



(2.7)
• dla polaryzacji p
e 2 H̄,
P H̄ = ω
(2.8)
gdzie





P =





1
n21/2
+
e2
β
n21
+
1
− n2
1
n23/2
iQ

1/2










− ne2
− n21
3/2
...
...
3/2
..
−iQ
− en2
1/2
.
1
n2J−3/2
+
e2
β
n2J−1
− n2
+
1
J−1/2
1
− n2 1
n2J−1/2
1
n2J−1/2
J−1/2
β2
+
e
n2J
+
1
n21/2
(2.9)
oraz

E1
E2
..
.
EJ
2.4










,
Ē = 



E
 J−1 
29
H1
H2
..
.










H̄ = 



H
 J−1 
(2.10)
HJ
Modele optycznych supersieci aperiodycznych
Supersieć to struktura, która powstaje w wyniku nałożenia co najmniej dwóch
różnych warstw materiałów.
Supersieci optyczne to struktury, w których nałożone warstwy zmieniają swoje
właściwości optyczne ( współczynnik załamania, przenikalność elektryczna i magnetyczna ). Aktualnie nie ma technologicznych barier odnośnie kolejności czy grubości
nakładanych warstw, a co za tym idzie możliwe jest skonstruowanie struktury o praktycznie dowolnej konfiguracji i grubości. Przykładem może tutaj być technika wytwarzania warstw na podłożu krystalicznym o nazwie epitaksja z wiązki molekularnej1 , która pozwala na produkcję warstw z tempem wzrostu 1 do 300 nanometrów
na minutę.
W pracy scharakteryzowano OSA składające się z dwóch rodzajów warstw, określanych przez P i Q o parametrach optycznych odpowiednio:
• współczynniki załamania: nP oraz nQ ,
• przenikalności elektryczne: εP oraz εQ ,
• przenikalności magnetyczne: µP oraz µQ ,
• grubości: dP oraz dQ .
Model takiej sieci przedstawiono na Rys. 2.1
Rysunek 2.1: Model OSA
W modelu zakłada się również, że powierzchnie styku materiałów są idealnie równoległymi płaszczyznami, a zmiana właściwości optycznych ma charakter skokowy.
Grubość warstw poszczególnych materiałów można zasymulować sposobem ułożenia warstw (2 warstwy tego samego typu spełniają taką samą rolę jak jedna warstwa
podwójnej grubości)
1
Molecular Beam Epitaxy (MBE)
30
Dla uzyskania różnorodności w modelowanych łańcuchach wzięto pod uwagę
cztery matematyczne struktury, których wzajemne ułożenie wyrazów, odpowiada
sposobowi układania warstw w badanych OSA. Poddane analizie zostały przykłady
modeli ułożenia warstw takie jak:
• Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF) [7]
• Uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (USTM)
• Supersieć z podwojonym okresem (SPO)
• Supersieć typu Rudin-Shapiro (SRS)
2.4.1
Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF)
Uogólniona supersieć typu Fibonacciego (USF) to przykład supersieci, której konstrukcja polega na podstawieniach:
Q → PQ,
Q→P
(2.11)
Konstrukcję supersieci rozpoczyna się od wyrazu S0 =Q, gdzie Si to łańcuch i tego pokolenia. Wzór rekurencyjny do tworzenia kolejnego (i+1 ) pokolenia USF
ma postać
b
Si+1 = Sia Si−1
,
(2.12)
gdzie a określa ilość powtórzeń i -tego pokolenia, a b ilość powtórzeń pokolenia (i1 ). Ze wzoru (2.12) wynika, że pierwsze dwa pokolenia niezależnie od zadanych
parametrów będą zawsze takie same, tj.
S0 = Q,
S1 = P
(2.13)
Innymi słowy są to ”warunki początkowe”generowania OSA. Warto zauważyć, że za
S0 i S1 można przyjąć pojedyncze warstwy, ale w ogólności może to być zbiór wielu
warstw. Należy zaznaczyć, że wyrażenie Si Si−1 nie określa mnożenia logicznego tylko
proste łączenie łańcuchów tekstowych. W dalszej części pracy zapis USF(a,b) będzie
reprezentował supersieć o określonych parametrach odpowiednio a oraz b.
Cała rodzina OSA typu Fibonacciego charakteryzuje się stałą liczbą warstw typu
Q sąsiadujących ze sobą oraz zmienną ilością warstw typu P. Dla przykładu pokazano
czwarte pokolenie USF(1,2), trzecie pokolenie USF(2,2) oraz trzecie pokolenie USF(2,3):
31
PQQPPPQQPQQ → P QQ PPP QQ P QQ
PPQQPPQQPPPP → PP QQ PP QQ PPPP
PPQQQPPQQQPPPPPP → PP QQQ PP QQQ PPPPPP
W grupie USF można wyróżnić także nazwane modele, które mają określone
parametry a i b. Ich nazwy zwyczajowe przedstawiamy poniżej [7]
• USF(1,1) – złota,
• USF(1,2) – miedziana,
• USF(1,3) – niklowa,
• USF(2,1) – srebrna,
• USF(3,1) – brązowa.
2.4.2
Uogólniona supersieć typu Thue-Morse’a (USTM)
USTM to model sieci, do konstrukcji którego potrzebna jest sieć pomocnicza. Wzór
rekurencyjny potrzebny do tworzenia USTM wygląda następująco:
Si+1 = Sia S̃ib
(2.14)
gdzie S̃ib we wzorze (2.14) przyjmuje postać
b
a
S̃i = S̃i−1
Si−1
.
(2.15)
W modelu tym przyjmuje się, że pierwsze elementy łańcuchów mają postaci
odpowiednio S0 = P oraz S̃0 = Q. Ze względu na to, że początkowe wyrazy S0
oraz S̃0 są warstwami przeciwnego typu w USTM w których a=b wzór użyty do
konstruowania ciągu pokazuje pewną prawidłowość. W miejscu, gdzie w pierwszym
łańcuchu występuje P w drugim łańcuchu występuje Q, a tam gdzie w pierwszym
jest Q w drugim występuje P.
Dla przykładu, drugie pokolenie USTM przy a=b=2 ma postać:
S2 = PPQQPPQQQQPPQQPP
S̃2 = QQPPQQPPPPQQPPQQ
2.4.3
Supersieć z podwojonym okresem (SPO)
Supersieć z podwojonym okresem jest odmianą modelu miedzianej supersieci Fibonacciego USF(1,2), z tą różnicą, że zerowe pokolenie (i=0) jest równe Q a pierwsze
(L=1) QP. Zatem wzór rekurencyjny dla tego modelu ma postać
2
Si = Si−1 Si−2
,
(2.16)
gdzie S0 = Q i S1 = QP.
Pozostałe właściwości tej odmiany struktury pozostają takie same jak w przypadku
supersieci Fibonacciego.
2.4.4
32
Supersieć typu Rudin-Shapiro (SRS)
Supersieć typu Rudin-Shapiro charakteryzuje się największym zróżnicowaniem
w ułożeniu warstw i z tego powodu wydaje się być najbardziej interesująca pod
względem naukowym, ponieważ wprowadza największą różnorodność do badanych
modeli. W oryginale budowa tego typu sieci powstaje z czterech typów warstw. Dla
potrzeb bieżącej pracy obliczenia przeprowadzono dodatkowo dla dwóch przypadku,
gdy trzeci i czwarty typ warstwy zastąpione zostały przez warstwę typu Q. Przy
konstrukcji tego modelu należy wprowadzić sieci pomocnicze. Wzór rekurencyjny
do konstrukcji SRS przyjmuje postać
Si+1 = Si Si0 ,
(2.17)
gdzie : S0 = P, S00 = P, S̃0 = Q, S̃00 = Q
Natomiast pomocnicze wzory mają postaci
0
= Si S̃i0 ,
Si+1
2.5
0
= S̃i Si0 ,
S̃i+1
S̃i+1 = S̃i S̃i0 .
(2.18)
Programowanie zorientowane obiektowo
(OOP)
Programowanie obiektowe to podejście do programowania w sposób, który umożliwia traktowanie logicznych bloków/elementów programu jako oddzielne obiekty, posiadających określone cechy (właściwości) oraz pewne procedury/funkcje (metody).
Podejście obiektowe jest niejako odwzorowaniem sposobu w jaki postrzegamy rzeczywistość. Zamiast traktować bloki kodu realizujące dane zadanie jako funkcje,
które są nie związanymi z innymi elementami, dużo łatwiej pod względem logicznym podejść do nich jak do obiektów, które potrafią realizować dane zadanie.
W programie, który jest integralną częścią tej pracy, starano się zrealizować założenia programowania zorientowanego obiektowo, głównie w takich przypadkach jak
klasa supersieci (OSA), która potrafi generować konkretne łańcuchy na podstawie
podanych parametrów. Dzięki temu możliwe będzie wykorzystanie, bez ingerencji
w kod, tej klasy do innych programów w przyszłości. Głównymi paradygmatami
podejścia obiektowego do programowania są:
• Abstrakcja – każdy obiekt posiada pewną funkcjonalność, dzięki której bez
ujawniania konkretnej implementacji potrafi się komunikować z resztą systemu.
• Hermetyzacja – czyli ukrywanie implementacji, oddzielone od siebie obiekty
nie ingerują w działanie innych obiektów, uniemożliwia to popełnianie błędów
omyłkowego nadpisania zmiennych globalnych, co często się zdarza przy programowaniu proceduralnym.
• Polimorfizm – każda klasa może tworzyć dowolną ilość instancji obiektu
(egzemplarzy danego modelu) Oddzielone instancje mogą realizować równolegle te same zadania z różnymi parametrami
33
• Dziedziczenie – umożliwia implementacje wyspecjalizowanych obiektów dziedziczących właściwości i metody z bardziej ogólnych, dzięki temu unika się
duplikowania części kodu, co znacznie wpływa na szybkość wykonywanych
operacji
Rozdział 3
Rezultaty obliczeń numerycznych
3.1
Opis programu
Obliczenia numeryczne struktury pasmowej, prędkości grupowej vg oraz efektywnego
współczynnika załamania nef zostały przeprowadzone dla badanych supersieci przy
następujących parametrach:
1. Typ polaryzacji – s lub p;
2. Liczba punktów siatki;
3. Kąta padania θ w zakresie od 0 do π/2;
4. Długości fali promieniowania λ – w zakresie światła widzialnego: od 300 nm
do 700 nm;
5. Wartości współczynników załamania warstw typu P i Q – odpowiednio nP
oraz nQ ;
6. Grubości warstw typu P i Q – odpowiednio dP oraz dQ ;
7. Typu badanej sieci – Fibonacciego (USF), Thue-Morse‘a (USTM), z podwojonym okresem (SPO), Rudin-Shapiro (SRS);
8. Parametrów sieci – pokolenie supersieci, współczynniki potrzebne do konstrukcji a oraz b dla sieci USF oraz USTM.
Do napisania programu zostało wykorzystane środowisko programistyczne Delphi.
Program na podstawie zadanych parametrów wyznacza model badanej supersieci,
następnie dokonuje próbkowania współczynnika załamania i na jego podstawie oblicza wartości własne. Większość obliczeń jest wykonywana na podstawie danych
bezwymiarowych, żeby uniknąć sytuacji wystąpienia błędów związanych z ograniczeniem długości typów zmiennych. Wartości własne zostały obliczone w oparciu o twierdzenie Martina-Dean‘a (znalezienia przedziału wartości, na którym znajduje się
tylko jedna wartość własna), a następnie metodą bisekcji wyznaczone z dokładnością 10−10 . Dokładność obliczeń w znacznym stopniu wpływa na obciążenie procesora oraz na czas wykonywanych operacji. Przy dokładności rzędu 10−6 wyznaczenie
wartości własnych daje satysfakcjonujące wyniki odnośnie struktury pasmowej, ale
34
ROZDZIAŁ 3. REZULTATY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
35
wyniki obliczeń prędkości grupowej i efektywnego współczynnika załamania obarczone są znacznym błędem. Z powodu braku translacyjnej niezmienniczości w kryształach fotonicznych należało narzucić periodyczne warunki brzegowe [7]
E(x + D) = E(x)
=⇒
~ (0) = E
~ (D)eikD ,
E
gdzie D to całkowita grubość struktury.
Obliczenia prędkości grupowej i efektywnego współczynnika załamania dokonano na
podstawie wyznaczonych wcześniej wartości własnych przy pomocy wzorów na:
• prędkość grupową vg = dω(k)/dk,
• efektywny współczynnik załamania nef =
c
.
vg
Prędkość grupową oraz efektywny współczynnik załamania obliczano dla nieredukowalnej strefy Brillouina (od 0 do Π).
3.2
36
Wybrane wyniki obliczeń
Rezultaty obliczeń zostały przedstawione w postaci wykresów:
1. zależności długości fali (nm) od wektora falowego λ(k),
2. zależności dyspersyjnej (bezwymiarowe wartości ω) ω(k),
3. prędkości grupowej,
4. efektywnego współczynnika załamania,
dla różnych zadanych parametrów wejściowych.
Nazwa OSA,
pokolenie
SRS, 3
SRS, 6
SRS, 6
SRS, 6
Ciąg
PPQ
PPQQQPPQP
PPQQQPPQP
PPQSQRPQR
Polaryzacja,
nr rysunku
s, (3.1)-(3.4)
s, (3.5)-(3.8)
p, (3.9)-(3.12)
s, (3.13)-(3.16)
SRS, 6
PPQSQRPQR
p, (3.17)-(3.20)
USF(1,1), 2
USF(1,1), 2
USF(1,2), 4
USF(1,2), 4
USTM(1,1), 3
USTM(1,1), 3
USTM(1,1), 3
USTM(1,1), 3
USTM(1,1), 3
USTM(1,1), 3
SPO, 3
SPO, 3
SPO, 3
PQ
PQ
PQQPPPQQPQQ
PQQPPPQQPQQ
PQQPQPPQ
PQQPQPPQ
PQQPQPPQ
PQQPQPPQ
PQQPQPPQ
PQQPQPPQ
QPQQQPQP
QPQQQPQP
QPQQQPQP
s, (3.21)-(3.24)
p, (3.25)-(3.28)
s, (3.29)-(3.32)
p, (3.33)-(3.36)
s, (3.37)-(3.40)
p, (3.41)-(3.44)
s, (3.45)-(3.48)
p, (3.49)-(3.52)
s, (3.53)-(3.56)
p, (3.57)-(3.60)
s, (3.61)-(3.64)
s, (3.65)-(3.68)
s, (3.69)-(3.72)
nP , nQ , θ
2.3, 2.3, 0
1.43, 2.3, 0
1.43, 2.3, 0
1.43, 2.3, 0
nR =1.6,nS =1.8
1.43, 2.3, 0
nR =1.6, nS =1.8
1.43, 2.3, 0
1.43, 2.3, 0
1.43, 2.3, 0
1.43, 2.3, 0
1.4, 2.3, 0
1.4, 2.3, 0
1.5, 2.3, 0
1.5, 2.3, 0
1.7, 2.3, 0
1.7, 2.3, 0
1.3, 4.3, 0
1.3, 4.3, 0.05
1.3, 4.3, 0.1
Obliczenia wartości prędkości grupowej oraz efektywnego współczynnika załamania zostały przeprowadzone dla k > 0. Właściwości OSA badano zmieniając – typ
sieci (łącznie z parametrami), kąt padania, grubość warstw oraz współczynniki załamania warstw (dla 300nm < λ < 700nm). Gęstość próbkowania współczynnika
załamania dla badanej struktury, przy ilości warstw mniejszych niż 10, z powodu
potęgowej zależności czasu obliczeń i obciążenia procesora od ilości próbek, była
najczęściej równa 200 próbek/D, gdzie D to całkowita grubość struktury. W celu
sprawdzenia czy algorytm obliczeniowy jest prawidłowy, zasymulowano ośrodek jednorodny dobierając takie same wartości współczynnika nP = nQ = 2.3 dla trzeciego
pokolenia SRS (PPQ). Wynik obliczeń został przedstawiony na wykresach (3.1) –
(3.4) Jak widać na wykresach fotoniczna przerwa wzbroniona w takiej strukturze
nie występuje. W konsekwencji tego faktu wykresy prędkości grupowych i efektywnego współczynnika załamania powinny mieć wartość stałą, jednak ze względu na
dokładność wyznaczenia częstości (10−10 ) oraz nieznaczne błędy zaokrągleń, mają
37
one lekkie nachylenie. Następnie przeprowadzono obliczenia dla ośrodków aperiodycznych, w tabeli powyżej przedstawiono badane sieci wraz z parametrami, przy
jakich przeprowadzane były obliczenia.
38
Rysunek 3.1: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 3 (PPQ) przy nP =
nQ = 2.3
Rysunek 3.2: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 3 (PPQ) przy nP =
nQ = 2.3
Rysunek 3.3: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 3 (PPQ) przy nP = nQ =
2.3
39
Rysunek 3.4: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SRS, pokolenie 3 (PPQ)
przy nP = nQ = 2.3
Rysunek 3.5: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP),
polaryzacja s
Rysunek 3.6: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP),
polaryzacja s
40
Rysunek 3.7: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP), polaryzacja s
Rysunek 3.8: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SRS, pokolenie 6
(PPQQQPPQP), polaryzacja s
Rysunek 3.9: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP),
polaryzacja p
41
Rysunek 3.10: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP),
polaryzacja p
Rysunek 3.11: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQQQPPQP), polaryzacja p
(PPQQQPPQP), polaryzacja p
42
Rysunek 3.13: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR),
polaryzacja s
Rysunek 3.14: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR),
polaryzacja s
Rysunek 3.15: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR), polaryzacja s
43
(PPQSQRPQR), polaryzacja s
Rysunek 3.17: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR),
polaryzacja p
Rysunek 3.18: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR),
polaryzacja p
44
Rysunek 3.19: Prędkość grupowa dla sieci SRS, pokolenie 6 (PPQSQRPQR), polaryzacja p
(PPQSQRPQR), polaryzacja p
Rysunek 3.21: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja s
45
Rysunek 3.22: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja s
Rysunek 3.23: Prędkość grupowa dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja s
Rysunek 3.24: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USF(1,1) pokolenie 2
(PQ), polaryzacja s
46
Rysunek 3.25: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja p
Rysunek 3.26: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja p
Rysunek 3.27: Prędkość grupowa dla sieci USF(1,1) pokolenie 2 (PQ), polaryzacja p
47
(PQ), polaryzacja p
Rysunek 3.29: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPPPQQPQQ), polaryzacja s
Rysunek 3.30: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPPPQQPQQ), polaryzacja s
48
Rysunek 3.31: Prędkość grupowa dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPPPQQPQQ),
polaryzacja s
(PQQPPPQQPQQ), polaryzacja s
Rysunek 3.33: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPPPQQPQQ), polaryzacja p
49
Rysunek 3.34: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPPPQQPQQ), polaryzacja p
Rysunek 3.35: Prędkość grupowa dla sieci USF(1,2) pokolenie 4 (PQQPPPQQPQQ),
polaryzacja p
(PQQPPPQQPQQ), polaryzacja p
50
Rysunek 3.37: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja s, współczynniki załamania nP = 1.4, nQ = 2.3
Rysunek 3.38: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
Rysunek 3.39: Prędkość grupowa dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3 (PQQPQPPQ),
polaryzacja s, współczynniki załamania nP = 1.4, nQ = 2.3
51
Rysunek 3.40: Efektywny współczynnik załamania dla sieci USTM(1,1) pokolenie 3
(PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania nP = 1.4, nQ = 2.3
52
polaryzacja p, współczynniki załamania nP = 1.4, nQ = 2.3
53
54
55
(PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynniki załamania nQ = 1.5, n2 = 2.3
56
(PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynnik współczynniki załamania nP = 1.7,
nQ = 2.3
57
(PQQPQPPQ), polaryzacja p, współczynnik współczynniki załamania nP = 1.7,
nQ = 2.3
58
Rysunek 3.61: Struktura pasmowa λ(k) dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP),
polaryzacja s, kąt padania 0
Rysunek 3.62: Struktura pasmowa ω(k) dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP),
polaryzacja s, kąt padania 0
Rysunek 3.63: Prędkość grupowa dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP), polaryzacja s, kąt padania 0
59
Rysunek 3.64: Efektywny współczynnik załamania dla sieci SPO pokolenie 3
(QPQQQPQP), polaryzacja s, kąt padania 0
polaryzacja s, kąt padania 0.05
60
Rysunek 3.67: Prędkość grupowa dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP), polaryzacja s, kąt padania 0.05
(QPQQQPQP), polaryzacja s, kąt padania 0.05
61
Rysunek 3.71: Prędkość grupowa dla sieci SPO pokolenie 3 (QPQQQPQP), polaryzacja s, kąt padania 0.1
(QPQQQPQP), polaryzacja s, kąt padania 0.1
3.3
62
Uwagi i wnioski
Z uzyskanych obliczeń i wykresów płyną następujące wnioski:
• Położenie oraz charakter fotonicznej przerwy wzbronionej jest silnie uzależniony od sposobu ułożenia warstw, a tym samym od typu supersieci (Rys.
3.1)-(Rys. 3.72).
• Przerwa energetyczna dla struktury tego samego typu, ale dla różnych polaryzacji, leży mniej więcej w tym samym obszarze częstości, ich szerokości
najczęściej są nieznacznie różne (Rys. 3.21)–(Rys. 3.28).
• W miarę zmniejszania różnicy współczynników załamania warstw (nP = 1.4 =⇒
nP = 1.5 =⇒ nP = 1.7 przy nQ = 2.3) (Rys. 3.37)–(Rys. 3.60), tak jak
przewidywano, przerwy energetyczne stają się coraz węższe, następstwem czego
jest poszerzenie pasm przewodzenia.
• W miarę zwiększania kąta padania (Rys. 3.61)–(Rys. 3.72) szerokość przerwy
energetycznej pozostaje stała, ale przesuwa się w kierunku wyższych częstości.
• Z wypukłości i wklęsłości wykresów prędkości grupowych oraz efektywnego
współczynnika załamania wynika, że najszybsze zmiany struktury pasmowej
występują na granicach strefy Brillouina (Rys. 3.1)-(Rys. 3.72).
• Zaobserwowano wyraźną zależność pomiędzy szerokością przerwy fotonicznej
oraz pasma dozwolonego od numeru wartości własnej. W miarę zwiększania
długości fali szerokość przerwy wzbronionej i pasma przewodzenia staje się
coraz większa (Rys. 3.13), (Rys. 3.17), (Rys. 3.21), (Rys. 3.25)
• Zmiana wartości współczynników załamania kilku wybranych warstw w bardziej skomplikowanej strukturze (Rys. 3.5)–(Rys. 3.12) =⇒ (Rys. 3.13) – (Rys.
3.20) spowodowała istotną zmianę szerokości tylko jednej przerwy fotonicznej.
• Nie zaobserwowano znaczących różnic w charakterystykach struktur pasmowych dla takich samych warunków początkowych ale różnych polaryzacji (Rys.
3.1)-(Rys. 3.72).
Rozdział 4
Podsumowanie
Kryształy fotoniczne są bardzo obiecującymi pod względem technologicznym materiałami. Świadczy o tym coraz większe zainteresowanie ze strony największych
ośrodków naukowych na świecie [15], [16], [17]. Pomimo tego, że struktury fotoniczne mają dość krótką historię, w porównaniu do innych dziedzin, to zaangażowanie
takich centrów uniwersyteckich jak MIT gwarantuje im stałe miejsce we współczesnej nauce. Przedstawiono możliwe praktyczne realizacje aplikacyjne opartych na
tego typu strukturach. Najwięcej uwagi w pracy poświęcono podstawom fizycznym
zjawisk zachodzących przy propagacji światła w strukturach o zmiennym współczynniku załamania (Rozdział 1). Omówiono także najciekawsze fakty dotyczące
ujemnego załamania oraz materiałów lewoskrętnych, które są równie interesującym
pod względem naukowo-technicznym zagadnieniem.
W rozdziale drugim został przedstawiony aparat matematyczny do modelowania kwazijednowymiarowego kryształu fotonicznego. Jego zastosowanie przy konstrukcji powszechnych urządzeniach optoelektronicznych, a nie jak to ma miejsce
w chwili obecnej głównie w laboratoriach naukowych, wydaje się być nieuniknione.
Pytanie jakie można postawić to ”Kiedy to nastąpi ?”Faktem jest, że produkuje się
już na skalę komercyjną światłowody fotoniczne [69], ale ich cena, głównie wynikająca z potrzeby precyzji wykonania i wykorzystania zaawansowanych technologi,
jest dużo większa niż światłowodów tradycyjnych. Metody komputerowe wspomagają modelowanie struktur fotonicznych co znacznie obniża koszty oraz czas trwania
badań naukowych. W pracy badano zależności dyspersyjne dla czterech typów OSA
(Fibonacciego, Thue-Morse‘a, z podwojonym okresem, Rudin-Shapiro). Ich zróżnicowanie pozwala modelować praktycznie każdy sposób ułożenia warstw w strukturach aperiodycznych. Szeroka gama możliwych zastosowań kryształów fotonicznych
pozwala sądzić, że ich ekspansja w coraz więcej dziedzin życia jest gwarantowana.
Analiza wyników prowadzi do wniosku, że za pomocą kryształów fotonicznych
można budować bardzo różnorodne pod względem optycznym materiały (Rozdział
3). Modelując odpowiednio strukturę badanego ośrodka można uzyskać bardzo różnorodne charakterystyki ”przewodzenia światła”, a w konsekwencji wykorzystać
struktury fotoniczne do bardzo szerokiej gamy zastosowań w optoelektronice. Wszystkie badane struktury były badane pod kątem wykorzystania ich w zakresie światła
widzialnego. Błędy, które się ujawniły podczas przeprowadzanych badań nie wpłynęły znacząco na wyniki obliczeń.
63
Dodatek A
Obliczanie wartości własnych
Do obliczania wartości własnych algebraicznego zagadnienia własnego (AZW)
zastosowano algorytm Martina-Dean. Algorytm ten pozwala znaleźć przedział,
w którym znajduje się tylko jedna wartość własna, którą następnie wyznacza się za
pomocą bisekcji z zadaną dokładnością.
Wyprowadzenie twierdzenia Martina-Deana (o ujemnych wartościach własnych
macierzy blokowo kwazi-trójdiagonalnej):
Niech M będzie macierzą o wymiarach NxN

d1 e1

 e1 d2




M =







e2
0
e?0
e0


e2
0


... ...




... ... ...



..

. dN −2 eN −2


eN −2 dN −1 eN −1 
eN −1 dN
(A.1)
a η(M ) niech oznacza liczbę wartości własnych (lww ) mniejszych od liczby rzeczywistej x macierzy M, wtedy
lww = η(M − xI) =
N
X
η(ui )
(A.2)
i=1
d1 − x
e1
e0


d2 − x e2
 e1



... ...




e2




.. ..
..
M1 (x) = (M − xI) = 

.
.
.




.
. . dN −2 − x


eN −2






eN −2
dN −1 − x eN −1
e?0
eN −1
dN − x
(A.3)


64
DODATEK A. OBLICZANIE WARTOŚCI WŁASNYCH
65
Teraz podzielmy tę macierz na cztery części według schematu
d1 − x

e1







M1 (x) = 






e1
d2 − x
e2
0
..
.
..
.
0
e?0
···
0
e2
...
..
.
···
0

e0
...
..
.
..
.
..
.
dN −2 − x
eN −2
eN −2
dN −1 − x
eN −1
eN −1
dN − x














(A.4)
wprowadzimy nowe zmienne
"
M1 (x) =
u1
Y1T
Y1
Z1
#
,
(A.5)
gdzie
u1 = d1 − x,
h
(A.6)
i
Y1 = e1 , 0, · · · , 0, e0 , ,

e1
Y1T
(A.7)

 
0
 
 .. 
,
=
.
0
 
(A.8)
e?0
d2 − x
e2

d3 − x e3
 e2

... ...


e3


..
.. ..
Z1 = 
.
.
.


..

. dN −2 − x
eN −2



eN −2
dN −1 − x eN −1
eN −1
dN − x









.






(A.9)
Z twierdzenia o ujemnych wartościach własnych dla macierzy M1 (x) otrzymujemy
η(M1 (x)) = η(X1 ) + η(Z1 − Y1T X1−1 Y1 )
(A.10)
W wyrażeniu (A.10) η(X1 ) jest skalarem o wartości d1 − x natomiast Z1 − Y1T X1−1 Y1
po wymnożeniu jest macierzą kwadratową o wymiarach (N-1)x(N-1), którą zajmiemy
się w następnym kroku, o postaci
M2 (x) =
e21

d −x+
 2

e2













x−d1
0
..
.
..
.
0
e?0
·
e1
x−d1
e2
d3 − x
e3
0
e3
..
.
...
···
···
0
e0 ·
e1
x−d1
..
.
...
...
...
dN −2 − x
eN −2
eN −2
dN −1 − x
eN −1
eN −1
e0 e?0
dN − x + x−d
1
















(A.11)
66
Jak widać, oprócz wymiarów macierzy zmieniły się elementy [1,1], [1,N-1], [N1,1], [N-1,N-1]. Wprowadzając nowe oznaczenia
a1 =
e1
,
x − d1
a1s =
e21
,
x − d1
a1e =
e0 e?0
x − d1
(A.12)
macierz M2 (x) przyjmie postać
d2 − x + a1s

e2







M2 (x) = 






e2
d3 − x
e3
0
..
.
..
.
0
?
e0 · a1
···
0
e3
...
..
.
···
e0 · a1
0
...
..
.
..
.
"
..
dN −2 − x
eN −2
u2
Y2T
M2 (x) =
.
Y2
Z2
eN −2
dN −1 − x
eN −1
eN −1
dN − x + a1e
(A.13)















#
.
(A.14)
Sytuacja jest analogiczna jak w poprzednim kroku, macierz M3 (x) = Z2 − Y2T X2−1 Y2
wygląda następująco:
M3 (x) =
e22
x−d1 −a1s

d −x+
 3

e3










e3
d4 − x
e4
0
..
.
0
e?0 a1
·
0
e4
..
.
...
···
..
e0 a1 ·
0
e2
x−d2 −a1s
.
dN −2 − x
eN −2
e2
x−d2 −a1s
eN −2
dN −1 − x
eN −1
eN −1
dN − x + a1e +
(e0 a1 )(e?0 a1 )
x−d2 −a1s
(A.15)
Można zauważyć, że postępując analogicznie w każdym następnym kroku sytuacja
będzie się powtarzała, więc i -ty krok będzie miał postać
T
−1
Mi (x) = Zi−1 − Yi−1
Xi−1
Yi−1
"
Mi (x) =
ui
YiT
Yi
Zi
(i > 1)
(A.16)
#
(A.17)
η(Mi (x)) = η(Xi ) + η(Zi − YiT Xi−1 Yi )
(A.18)
Wyraz w lewym górnym narożniku macierzy będzie się rekurencyjnie zwiększał
w stosunku do poprzedniego kroku (dla i > 1), także elementy w pozostałych
narożnikach przy kolejnych krokach zmniejszania wymiaru macierzy będą się powiększały o kolejne elementy, ostatecznie ui we wzorze (A.2) stanie się ciągiem liczbowym
postaci [23]
u1 = d1 − x,
ui = di − x −
e2i−1
ui−1
(i = 2, . . . , n − 1),













uN = dN −
n−2
X
i=1
s1 = e0 ,
|eN −1 + sN −1 |2
|si |2
−x−
,
ui
uN −1
si−1
si = − ei−1
ui−1
(i = 2, . . . , n − 1)
67
(A.19)
Bibliografia
[1] Gordon Moore, http://pl.wikipedia.org/wiki/Prawo Moore’a
[2] Włodzimierz Salejda, wykład habilitacyjny pt. Co wiedzieć powinien inżynier
o fizycznej naturze informacji i procesach jej przetwarzania?, Politechnika
Wrocławska – Instytut Fizyki, Wrocław 1999
[3] Wojciech Cellary, Raport pt. Polska w drodze do globalnego społeczeństwa informacyjnego, http://www.kti.ae.poznan.pl/specials/nhdr2002/
[4] L. Jacak, P. Hawrylak, A.Wójs, Quantum Dots, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1998; Nanostructured Materials and Nanotechnology, Ed.: H. S.
Nalwa, Academic Press, New York 2002.
[5] Paweł Masiak, Mechanika kwantowa. Komputer kwantowy. Zastosowania,
http://www.gazetawyborcza.pl/1,75476,93646.html , 1995
[6] Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, Quantum Computation and Quantum
Information, Cambridge University Press, wrzesień 2000
[7] Agnieszka Klauzer-Kruszyna, praca doktorancka pt. Propagacja światła spolaryzowanego w wybranych supersieciach aperiodycznych, Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, czerwiec 2005
[8] M. Inoue, H. Miyazaki, Optical properties of one-dimensional quasi-periodic
crystals. II. Modified Fibonacci lattice with arbitrary initial conditions, J. Phys.
Soc. Japan 59, 2549-2562, 1990
[9] M. Inoue, H. Miyazaki, Optical properties of one-dimensional quasiperiodic
crystals. III. Optical reflectivity spectrum and structure of a generalized Fibonacci lattice, J. Phys. Soc. Japan 59, 2563-2577, 1990
[10] Greg Parker G, M Charlton Photonic crystals, Physics World, Wrzesień 2000
[11] History of Photonic Crystals, http://www.bergen.org/istf/02-598/comp1.html
[12] http://www.sciencebase.com/mar03 iss.html
[13] Steven G. Johnson, John D. Joannopoulos, Photonic Crystals – The Road from
Theory to Practice, Kluwer Academic Publishers, Norwell 2002
[14] John D. Joannopoulos, Robert D. Meade, Joushua N. Winn Photonic Crystals
Molding the Flow of Light, Princeton University Press, Princeton, 1995
[15] Steven G. Johnson http://ab-initio.mit.edu/photons/tutorial/, MIT
68
BIBLIOGRAFIA
69
[16] David R Smith, http://www.ee.duke.edu/d̃rsmith/
[17] R. B. Wehrspohn, http://www.mpi-halle.mpg.de/p̃orous m/, Max-PlanckIntitut für Mikrostrukturphysik
[18] http://photonics.tfp.uni-karlsruhe.de/research.html, Institut fur Theoretische
Festkorperphysik – Photonics Group
[19] Sajeev John, http://www2.physics.utoronto.ca/j̃ohn/
[20] Jay Orear, Fizyka, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1998
[21] Milena Dziębaj, praca magisterska pt. Metody otrzymywania i właściwości
optyczne materiałów z ujemnym współczynnikiem załamania, Politechnika
Wrocławska – Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Wrocław 2006
[22] Z.Kleszczewski Wybrane zagadnienia z optyki falowej, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2003
[23] Włodzimierz Salejda, Michał H. Tyc, Marcin Just, Algebraiczne metody
rozwiązywania równania Schrödingera, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 2002
[24] Griffiths, D. J., Podstawy elektrodynamiki, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa, 2006
[25] Jackson, J. D., Elektrodynamika klasyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa, 1982
[26] Suffczynski, M., Elektrodynamika, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa,
1980
[27] M. Bertolotti, P. Masciulli, C. Sibilia, F.Wijnands,H.Hoekstra,Transmission
properties of a Cantor corrugated waveguide, J. Opt. Soc. Am., B 13, 628-634,
1996
[28] F. Garzia, P.Masciulli, C. Sibilia, M. Bertolotti, Temporal pulse response of a
Cantor filter, Opt. Comm., 147, 333-340, 1998
[29] E. Cojocaru, Temporal pulse response of quasiperiodic Fibonacci Fabry-Perot
type optical filters, Opt. Appl., 32, 85-92, 2002
[30] X. Huang, Y. Liu, D. Mo, Transmission of Light through a Class of Quasiperiodic Multilayers, Sol. St. Comm., 87, 601-604, 1993
[31] C. Schwartz, Reflection properties of pseudorandom multilayers, Appl. Opt., 27,
1232-1234, 1988
[32] Agnieszka Klauzer-Kruszyna, Włodzimierz Salejda, Michał H. Tyc, Polarized
light transmission through generalized Fibonacci multilayers: I. Dynamical maps
approach, Optik/Optics, 2004, vol. 115, s. 257 266
[33] Agnieszka Klauzer-Kruszyna, Włodzimierz Salejda, Michał H. Tyc, Polarized
light transmission through generalized Fibonacci multilayers: II.Numerical results, Optik/Optics, 2004, vol. 115, s. 267 276
BIBLIOGRAFIA
70
[34] Allen Taflove, Susan C. Hagness, Computational Electrodynamics – the FiniteDifference Time-Domain Method, Third edition, Artech Hous, Norwood 2005
[35] Karol Lech Tarnowski, Analiza numeryczna rozkładu i propagacji pola elektrycznego w metamateriałach metodą FDTD
[36] Matthew N.O. Sadiku, Numerical Techniques in Electromagnetics, Second Edition, CRC Press LLC., 2000
[37] M. Kohmoto, B. Sutherland, K. Iguchi, Localization in Optics: Quasiperiodic
Media, Phys. Rev. Lett., 58, 2436-2838, 1987
[38] K. Iguchi, Optical property of a quasi-periodic multilayer, Mat. Sc. En., B 15,
L13-L17, 1992
[39] W. Gellermann, M. Kohmoto, B. Sutherland, P. C. Taylor, Localization of Light
Waves in Fibonacci Dieletric Multilayers, Phys. Rev. Lett., 72, 633-636, 1994
[40] M. Kanzari, B. Rezig, Optical polychromatic filter by the combination of periodic
and quasi-periodic one-dimensional, dielectric photonic bandgap structures, J.
Opt. A: Pure Appl. Opt., 3, 201-207, 2001
[41] Y. W. Lee, F. C. Fan, Y. C. Huang, B. Y. Gu, B. Z. Dong, M. H. Chou,
Nonlinear multiwavelength conversion based on an aperiodic optical superlattice
in lithium niobate, Opt. Lett. 27, 2191-2193, 2002
[42] Y. Avishai, D. Berend, Transmission through Fibonacci chain, Phys. Rev., 41,
5492- 5499, 1990
[43] Z. C. Tao, M. Singh, Theoretical calculations of reflectance and transmission
spectra of periodic and quasiperiodic multiple layers, Sol. St. Comm., 81, 717720, 1992
[44] D. Munzar, L. Bocaek, J. Humlicek, K. Ploog, Fractal structure in optical spectra of Fibonacci superlattices, J. Phys.: Cond. Matt., 6, 4107-4118, 1994
[45] X. Q. Huang, S. S. Jiang, R. W. Peng, A. Hu, Perfect transmission and selfsimilar optical transmission spectra in symmetric Fibonacci-class multilayers,
Phys. Rev., B 63, 245104-245112, 2001
[46] H. Miyazaki, M. Inoue, Optical properties of one-dimensional quasi-periodic
crystals. I. Optical reflectivity spectrum of a Fibonacci lattice, J. Phys. Soc.
Japan 59, 2536-2548, 1990
[47] G. J. Jin, Z. D. Wang, A. Hu, S. S. Jiang, Scaling properties of coupled optical
interface modes in Fibonacci dielectric superlattices, J. Phys.: Cond.Matt. 8,
10285-10292, 1996
[48] X. Q. Huang, Y. Wang, C. D. Gong, Numerical Investigation of Light Wave Localization in Optical Fibonacci Superlattices with Symmetric Internal Structure,
J. Phys.: Cond. Matt. 11, 7645-7651, 1999
[49] X. B. Yang, Y. Y. Liu, X. J. Fu, Transmission properties of light through the
Fibonacciclass multilayers, Phys. Rev., B 59, 4545-4548, 1999
BIBLIOGRAFIA
71
[50] X. Wang, S. Pan, G. Yang, Antitrace maps and light transmission coefficients
for a generalized Fibonacci multilayers, arXiv: cond-mat/0106378, 2001
[51] M. Dulea, M. Severin, R. Riklund, Transmission of light through deterministic
aperiodic non-Fibonaccian multilayers, Phys. Rev. B 42, 3680-3689, 1990
[52] R. Riklund, M. Severin, Optical properties of perfect and non-perfect quasiperiodic multilayers: a comparison with periodic and disordered multilayers, J. Phys.
C: Solid State Phys., 21, 3217-3228, 1988
[53] M. S. Vasconcelos, E. L. Albuquerque, A. M. Mariz, Optical localization in
quasi-periodic multilayers, J. Phys.: Cond. Matt., 10, 5839-5894, 1998
[54] Jerzy Zachorowski, Lasery i elementy optoelektroniki, Instytut Fizyki Uniwersytetu Jagielońskiego
[55] Rafał Kotyński, Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki, Zakład Optyki
Informacyjnej, Wydział Fizyki UW
[56] V.G.Veselago, The electrodynamics of substances with simultaneously negative
values of e and m, Sov. Phys. Usp. 10, s.509-14, (1968);
[57] E. Yablonovitch, Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and
Electronics, Phys. Rev. Lett., 58, 2059 (1987); S. John, Strong localization of
photons incertain disordered dielectric superlattices, Phys. Rev. Lett., 58, 2486
(1987)
[58] Zbigniew Kąkol, Wykłady z Fizyki, http://galaxy.uci.agh.edu.pl/k̃akol
[59] Marcin Stachurski, metody numeryczne w programie MATLAB, Wydawnictwo
MIKOM, Listopad 2003
[60] Bernard Baron et alm Metody numeryczne w Delphi 4, Wydawnictwo Helion,
Listopad 1999
[61] Fortuna Zenon, Macukow Bohdan, Wąsowski Janusz, Metody numeryczne,
Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Kwiecień 2005
[62] Richard Feynman, The Character of Physical Law, BBC, 1965
[63] David R Smith, Beating the diffraction limit, Physics in Action, Maj 2004
[64] David R.Smith, Willie J. Padilla, D. C. Vier, S. C. Nemat-Nasser i S. Schultz
Composite Medium with Simultaneously Negative Permeability and Permittivity, Phisycal Review Letters, vol.84 nr.18, 1 Maj 2000
[65] Batop optoelectronics GmbH, http://www.batop.de/informations/r Bragg.html
[66] http://pl.wikipedia.org/wiki/Prawo Bragga
[67] R. A. Shelby, D. R. Smith, S. Schultz, Experimental Verification of a Negative
Index of Refraction, SCIENCE http://www.sciencemag.org, Kwiecień 2001
[68] J.B.Pendry, Negative refraction makes a perfect lens, Phys.Rev.Lett. vol. 85, nr
18, 3966-9 (2000);
BIBLIOGRAFIA
[69] http://www.crystal-fibre.com/
72

Metody numeryczne rozwiązywania równań Maxwella w

Transkrypt

Podobne dokumenty

Fotografia cyfrowa i obróbka obrazu