Bryła sztywna

Bryła sztywna
Fizyka I (B+C)
Wykład XXIII:
• Przypomnienie: statyka
• Moment bezwładności
• Prawa ruchu
• Energia ruchu obrotowego
• Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postepowym
˛
Przypomnienie
Równowaga bryły sztywnej
trwała
obojetna
˛
chwiejna
Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z położenia równowagi powoduje:
podniesienie środka masy,
wzrost energii potencjalnej
stała wysokość
środka masy
obniżenie środka masy,
zmniejszenie energii potencjalnej
⇒ siła wypadkowa przywracajaca
˛ równowage˛
⇒ zmiana położenia
równowagi
⇒ pojawienie sie˛ siły wypadkowej
zwiekszaj
˛
acej
˛ wychylenie
Wykład XXIII
A.F.Żarnecki
~ =−
(F
Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy
Ep )
1
Statyka
Równowaga
Zmiana położenia środka masy, przy wychyleniu z położenia równowagi,
zależy od kształtu bryły, ale także od charakteru wiezów.
˛
Np: równowaga kuli zależy od kształtu powierzchni na której leży
równowaga trwała
A.F.Żarnecki
obojetna
˛
chwiejna
Wykład XXIII
2
Prawa ruchu
Obrót wokół ustalonej osi
~:
Pod wpływem momentu siły M
A.F.Żarnecki
r
f
~
d
L
d~
ωX
2
~
M =
mi r⊥
εI
=
i=~
dt
dt i
d~
ω
~
ε=
−
dt
~
M
⇒ ~
ε =
=
I
I - moment bezwładności wzgledem
˛
wybranej osi.
m
Wykład XXIII
3
Moment bezwładności
Przyspieszenie katowe
˛
w ruchu bryły sztywnej zależy nie tylko od masy całkowitej,
ale także od jej rozłożenia wzgledem
˛
osi obrotu.
Rozkład masy wzgledem
˛
wybranej osi obrotu
(najcześciej
˛
przechodzacej
˛ przez środek masy, ale nie koniecznie)
opisuje moment bezwładności
I =
X
2
mi r⊥
i
i
w przypadku ciagłego
˛
rozkładu masy - całka po objeto
˛ ści:
I =
Dla ciała jednorodnego (ρ = const = M
V ):
M
I =
V
Z
Z
2
dV ρ r⊥
2 = M
dV r⊥
R
2
dV r⊥
2i
= M hr⊥
R
dV
2 i - średni kwadrat odległości od osi obrotu
gdzie hr⊥
A.F.Żarnecki
Wykład XXIII
4
Moment bezwładności
Stosunek momentu bezwładności do masy zależy od kształtu i rozmiarów ciała:
I
2
i
= hr⊥
M
Obrecz
˛
(pusta w środku)
Obrót wokół osi symetrii ⇒ wszystkie punkty równoodległe od osi:
2 i = r2 ⇒ I
2
hr⊥
=
M
r
⊥
Obrót wokół średnicy
oś obrotu - oś X, średnica prostopadła do osi obrotu - oś Y
x2 + y 2 = r 2
hx2i = hy 2i
1 2
2
2
⇒ hr⊥i = hy i =
r
2
1
⇒ Ik =
M r2
2
A.F.Żarnecki
Wykład XXIII
i
5
Moment bezwładności
Koło
(krażek
˛
- masa rozłożona po powierzchni)
Obrót wokół osi symetrii
Koło = suma wielu obreczy
˛
⇒ śrenia po powierzchni:
R 02
r · dS
r
dr’
r’
dS
1
2
02 · 2πr 0dr 0
hr⊥i =
r
=
S
πr 2
2π 1 4
1 2
=
=
r
r
2
πr 4
2
1
⇒ I⊥ =
M r2
2
Z
Obrót wokół średnicy
02i zmniejsza sie
Dla każdej obreczy
˛
hr⊥
˛ 2 razy
⇒
A.F.Żarnecki
1
Ik =
M r2
4
Wykład XXIII
6
Moment bezwładności
Prostokat
˛
(masa rozłożona po powierzchni)
Obrót wokół osi prostopadłej, przechodzacej
˛ przez środek masy
a
2
hr⊥
i =
R
(x2 + y 2) · dS
1
=
S
ab
Z2
a
−2
b
dx
Z2
dy (x2 + y 2)
− 2b
1 1 3
1
3
=
(a b + ab ) =
(a2 + b2)
ab 12
12
1
⇒ I⊥ =
M (a2 + b2)
12
Obrót wokół osi równoległej, przechodzacej
˛ przez środek masy
˛
Wymiar wzdłuż osi obrotu przestaje być istotny ⇒ pret
⇒
A.F.Żarnecki
1
1
2
Ik =
Mb =
M l2
12
12
Wykład XXIII
7
Moment bezwładności
Sfera
(masa rozłożona na powierzchni kuli)
Obrót wokół osi symetrii
x2 + y 2 + z 2 = r 2
hx2 i = hy 2i = hz 2i
2 2
2
⇒ hr⊥
i = hx2 + y 2i =
r
3
2
⇒ I =
M r2
3
Kula
i
(masa rozłożona objeto
˛ ściowo)
˛
Suma wielu sfer ⇒ śrenia po objetości:
R 2 02
r · dV
2
3
hr⊥i =
V
1
= 4
3
πr
3
8π
3
1 5
2 2
= 4
r =
r
3
5
5
3 πr
A.F.Żarnecki
Wykład XXIII
Z
2 02
r · 4πr 02dr 0
3
⇒
2
I = M r2
5
8
Moment bezwładności
Twierdzenie o osiach równoległych
Zazwyczaj liczymy moment bezwładności wzgledem
˛
osi
przechodzacej
˛ przez środek cieżkości
˛
S
(wszystkie podane przykłady)
Bryła może jednak wirować wokół dowolnej osi...
Moment bezwładności wzgledem
˛
osi równoległej 0,
odległej o h od osi S: (XY: układ środka masy)
2
2
riO
= (xi + h)2 + yi2 = h2 + 2hxi + riS
IO =
X
i
2 = h2
mi riO
X
i
⇒
X
mi + 2h
m i xi +
i
X
2
mi riS
i
I O = IS + M h2
Twierdzenie Steinera
A.F.Żarnecki
Wykład XXIII
9
Prawa ruchu
Staczanie po równi pochyłej symetrycznej bryły
(obrecz,
˛
walec, kula...) bez poślizgu:
Równia pochyła
x=rφ ⇒ a=rε
f
l
h
R
r
ma = Q sin θ − T
Ruch obrotowy (wzgledem
˛
środka masy):
T
Q
Ruch postepowy
˛
(wzdłuż równi):
x
Q
Iε = Tr
Eliminujac
˛ siłe˛ tarcia:
Iε
ma +
= mg sin θ
r
g sin θ
⇒ a =
1+ I2
Im wiekszy
˛
moment bezwładności, tym wolniej stacza sie˛ ciało...
A.F.Żarnecki
Wykład XXIII
mr
10
Prawa ruchu
Zagadnienie można rozwiaza
˛ ć w sposób równoważny
korzystajac
˛ z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera
Równia pochyła
f
l
h
A.F.Żarnecki
R
r
Io ε = Q sin θ · r
Z twierdzenia Steinera:
T
Q
Równanie ruchu obrotowego wzgledem
˛
chwilowej osi
obrotu (linia styku bryły z równia):
˛
x
Q
Io = I + m r 2
Otrzymujemy:
mg sin θ r 2
a = rε =
Io
mr 2 g sin θ
=
mr 2 + I
Wykład XXIII
11
Prawa ruchu
Równia pochyła
Rura
Walec
1
a =
g sin θ
2
a =
Wykład XXIII
A.F.Żarnecki
2
g sin θ
3
1
3
12
Prawa ruchu
Wahadło fizyczne
Równanie małych drgań bryły sztywnej, wokół osi obrotu O
przechodzacej
˛ w odległości l od środka cieżkości
˛
S:
Io ε = −mg sin φ · l
d2 φ
I + ml2
dt2
≈ −mgl φ
Czestość
˛
drgań (równanie oscylatora harmonicznego):
ν =
s
mgl
I + ml2
v
u
u
= t
g
I )
l(1 + ml
2
lz = l(1 + I 2 ) - długość zredukowana wahadła
ml
długość wahadła matematycznego o tej samej czesto
˛ ści
A.F.Żarnecki
Wykład XXIII
13
Prawa ruchu
Wahadło fizyczne
Równanie małych drgańwokół osi obrotu O:
d
Io ε = −M dg sin φ − m g sin φ
2
O
m
d
f
1
2
M d + md2
3
Czestość
˛
drgań:
ν =
M
r
d2 φ
m
≈ −(M + )dg φ
2
dt
2
v
u
1m
M
+
g u
2
·t
l
M+1
3m
≈
M +1
3m
lz = d
M +1
2m
g
1 m
· 1+
·
l
12 M
m
≈d· 1−1
·
6 M
- długość zredukowana wahadła
A.F.Żarnecki
r
Wykład XXIII
(m M )
14
Energia
Energia ruchu obrotowego
Energia kinetyczna układu ciał:
2
M
V
CM
Ek = Ek? +
2
Bryła sztywna: energia “wewnetrzna”⇒
˛
energia kinetyczna ruchu obrotowego
Ek?
1 X
1 X
1 2
2
2
=
m i vi =
mi(ri ω) =
ω I
2 i
2 i
2
Ciało toczace
˛ sie˛ bez poślizgu:
v=ωr
mv 2
I
Iω 2
mv 2
Ek =
1+
+
=
2
2
2
mr 2
m
A.F.Żarnecki
1+ I2
mr
- efektywna masa bezwładna
przy niezmienionej masie grawitacyjnej
Wykład XXIII
15
Energia
Równia pochyła
Predkość
˛
jaka˛ uzyska ciało staczajace
˛ sie˛ bez poślizgu z
równi o wysokości h. Z zasady zachowania energii:
f
l
h
A.F.Żarnecki
R
r
T
Q
1
I
mgh =
mv 2 1 +
2
mr 2
v
u
u
v = t
x
Q
Przyspieszenie
2gh
I
1 + mr
2
predkość
˛
średnia hvi = 1
2v
v
g sin θ
v2
2gh
=
a= =
=
I
I
t
2l
1
+
2l 1 + mr
2
mr2
Wykład XXIII
16
Energia
Koło Maxwella
Koło o promieniu R “toczy sie”
˛ po osi o promieniu r.
θ=π
2
Jak w przypadku równi pochyłej
I
r
a =
!"
mg
R
⇒
g
I
1 + mr
2
I = mR2
r2
a = g 2
g
2
R +r
Przyspieszenie liniowe wielokrotnie mniejsze
od przyspieszenia w spadku swobodnym...
Energia potencjalna zamienia sie˛ głównie
na energie˛ ruchu obrotowego.
A.F.Żarnecki
Wykład XXIII
17
Energia
Energia przy zmiennym momencie bezwładności
I ≈ 2mR2
Masy przesuwaja˛ sie˛ z R = r1 do R = r2.
Z zasady zachowania momentu pedu
˛ (układ izolowany):
L1 = ω 1 I 1 = ω 2 I 2 = L 2
!2
r
⇒ ω 2 = ω1 1
r2
Energia kinetyczna układu:
E2 =
1 2
1 ω2 2
ω1 I 1 =
ω2 I 2 =
2
2 ω1
r1
r2
!2
E1
r2 < r1 ⇒ energia kinetyczna rośnie
kosztem pracy siły dośrodkowej (energii potencjalnej M )
A.F.Żarnecki
Wykład XXIII
18
Uściślenie
Prawa ruchu
Rozważajac
˛ zagadnienie jednostajnie przyspieszonego ruchu
obrotowego zakładaliśmy że moment siły jest stały i nie zależy od
I. Jednak cieżarek
˛
też porusza sie˛ ruchem przyspieszonym:
,
+*
)(
& %
'
$#
ma = Q − N
,
-.
)-
)
Iε = rN
Q - cieżar
˛
cieżarka,
˛
N - siła napreżenia
˛
nici.
Eliminujac
˛ N = m(g − a):
Iε = r m(g − rε)
(I + mr 2 ) ε = mgr
mgr
mgr
ε =
=
I + mr 2
I0
Bezwładność cieżarka
˛
efektywnie zwieksza
˛
moment bezwładności rotora: I 0 = I + mr 2
Nigdy nie uzyskamy przyspieszenia wiekszego
˛
niż εmax = gr
A.F.Żarnecki
Wykład XXIII
19
Porównanie
Punkt materialny
Bryła sztywna
ruch postepowy
˛
ruch obrotowy (wzgledem
˛
osi symetrii !)
• przesuniecie
˛
~
x
⇒ predkość
˛
katowa
˛
d~v
~a =
dt
⇒ przyspieszenie katowe
˛
d~
ω
~
ε=
dt
m
⇒ moment bezwładności
I
• predkość
˛
• przyspieszenie
• ped
˛
p
~ = m~v
• układ izolowany p
~ = const
A.F.Żarnecki
~
φ
~
dφ
ω
~ =
dt
d~
x
~v =
dt
• masa
⇒ kat
˛ obrotu
⇒ moment pedu
˛
⇒ układ izolowany
Wykład XXIII
~ = I~
L
ω
~ = const
L
20
Porównanie
Punkt materialny
Bryła sztywna
ruch postepowy
˛
ruch obrotowy (wzgledem
˛
osi symetrii !)
~
F
• siła
• równania ruchu
~ = m~a
F
d~
p
~
=F
dt
• praca
• energia kinetyczna
W =
Z
~
M
⇒ moment siły
~ · d~
F
x
2
Ek = 1
mv
2
⇒ równania ruchu
~ = I~
M
ε
⇒
~
dL
~
=M
dt
⇒ praca
⇒ energia kinetyczna
W =
Z
~
~ · dφ
M
2
Ek = 1
Iω
2
Dla ruchu obrotowego wzgledem
˛
ustalonej osi, pokrywajacej
˛ sie˛ z osia˛ symetrii bryły !!!
A.F.Żarnecki
Wykład XXIII
21