f(t)

Matematyka 2
Metoda operatorowa
Transformata Laplace’a
Literatura
 M.Gewert, Z.Skoczylas; Równania różniczkowe
zwyczajne; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 1999
 D.Mozyrska, E.Pawłuszewicz, R.Stasiewicz; Równania
różniczkowe zwyczajne; Dział Wydawnictw i Poligrafii
PB, Białystok, 2001
 W.Żakowski, W.Leksiński; Matematyka cz IV; WNT,
Warszawa, 1984
 W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka dla
studiów esperymentalnych; WNT, Warszawa, 1981
 W.Stankiewicz, J.Wojtowicz; Zadanie z matematyki
dla wyższych uczelni technicznych cz II; PWN,
Warszawa, 1983
Oryginał
Definicja 1. Oryginałem nazywamy funkcję
zespoloną f zmiennej rzeczywistej t taką, że:
1)f(t)  0 dla dowolnego t < 0,
2)W każdym skonczonym przedziale [0, T]
funkcja f ma co najwyżej skończoną liczbę
punktów nieciągłości, przy czym są to punkty
nieciągłości I-go rodzaju,
3)Istnieją stałe M>0 i ≥0 takie, że dla każdego
tR spełniona jest nierówność |f(t)|≤Met.
Oryginał
Przykład.
Czy jest oryginałem funkcja:
f(t) = c
c – stała niezerowa.
Oryginał
Przykład.
Czy jest oryginałem funkcja:
0 gdy t  0
1(t )  
1 gdy t  0
Oryginał
Przykład.
Czy jest oryginałem funkcja:
f(t) = 1(t)(sint+cost)
Oryginał
Przykład.
Narysować wykres funkcji:
f(t) = 1(t-c)
Oryginał
Przykład.
Narysować wykres funkcji:
f(t) = t·1(t-c)
Oryginał
Przykład.
Narysować wykres funkcji:
f(t) = et-1·1(t-1)
Oryginał
Przykład.
Narysować wykres funkcji:
f(t) = 1(t)-1(t-c)
Oryginał
Definicja 2. Transformatą Laplace’a funkcji f
zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcję F(s)
zmiennej zespolonej s określoną w następujący
sposób:

F s    f t e
0
 st
dt
Oryginał
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
Heaviside’a.
Własności transformaty Laplace’a
Transformata Laplace’a jest funkcją liniową,
tzn. jeśli a i b są dowolnymi stałymi, to:
L[af(t)+bg(t)] = a L[f(t)] + b L[g(t)]
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
f(t) = t2 + 3t + 5
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
f(t) = cosht
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
f(t) = sint
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
f(t) = sin2ωt
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
f(t) = cosht·sint
Własności transformaty Laplace’a
Twierdzenie 1. (o podobieństwie)
Jeżeli funkcja f jest oryginałem oraz aR+, to
L[f(at)] = 1/a F(s/a)
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
f(t) = cos3t
Własności transformaty Laplace’a
Twierdzenie 2. (o przesunięciu w argumencie
oryginału; o przesunięciu rzeczywistym)
Jeżeli funkcja f jest oryginałem oraz t0R+, to
L[f(t-t0) 1(t-t0)] = e-t0s F(s)
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
f(t) = et-1 1(t-1)
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
f(t) = cos3(t-2) 1(t-2)
Własności transformaty Laplace’a
Twierdzenie 3. (o przesunięciu w argumencie
obrazu; o przesunięciu zespolonym)
Jeżeli funkcja f jest oryginałem oraz  jest
liczbą zespoloną, to
L[e-t f(t)] = F(s+)
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
f(t) = e-2t cos3t
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
f(t) = e-t sin2t
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
f(t) = cosht·sint
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
danej na rysunku
b
0
t
2a
t
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
danej na rysunku
b-a
t
0
2a
a+b
2b
t
Własności transformaty Laplace’a
Twierdzenie 4. (o transformacie funkcji
okresowej)
Jeżeli funkcja f jest oryginałem oraz istnieje
liczba T>0, taka że dla każdego t>0 spełniona
jest równość f(t)=f(t+T), to
FT s 
F ( s) 
 sT
1 e
gdzie
FT s    f t s
T
0
 st
dt
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
danej na rysunku
b
0
/2

3/2
2
t
Własności transformaty Laplace’a
Przykład.
Wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
danej na rysunku
b

2
3
t
Własności transformaty Laplace’a
Twierdzenie 5.
Jeżeli L[f(t)]=F(s), to
lim
t 0
Jeżeli istnieje
f (t )  lim s  F ( s)
s
lim
f (t ) ,
to
lim
f (t )  lim s  F ( s)
t
t 
s0
Własności transformaty Laplace’a
Twierdzenie 6.
Jeżeli F jest transformatą oryginału, to
lim
Re( s )
F ( s)  0
Własności transformaty Laplace’a
Twierdzenie 6.
Jeżeli F jest transformatą oryginału, to
lim
F ( s)  0
Re( s )
Transformata oryginału nie może być:
F(s) = s5 + s2 + 1
Metoda operatorowa
Transformata Laplace’a
KONIEC