Sprawiedliwość międzypokoleniowa i ,,kłopoty z dyskontowaniem

Wojciech Rybicki*
Sprawiedliwość międzypokoleniowa
i ,,kłopoty z dyskontowaniem przyszłości”
Wstęp
W artykule omawia się wybrane problemy z obszaru tzw. sprawiedliwości
międzypokoleniowej oraz – pozostające z nimi w najściślejszym związku
przedmiotowym i metodologicznym – zagadnienia (wyboru) ,,filozofii i technologii” dyskontowania. Praca zaprojektowana jest jako mały esej – ,,hasłowy
ogląd” niektórych (kluczowych) pytań, propozycji i ustaleń formalnych z omawianego kręgu tematycznego. Podkreśla się interdyscyplinarny charakter problematyki sprawiedliwości międzypokoleniowej, wskazując jej rozliczne konotacje – także w planie historycznym (sygnalizuje się również „nowości”).
Prezentowany esej zawiera fragmenty sformalizowane matematycznie –
przeważa jednak „formuła zbeletryzowana” ,,Leitmotives” artykułu stanowią
problemy wyceny i rangowania strumieni (nieskończonych, w czasie dyskretnym) wielkości ekonomicznych (konsumpcji, inwestycji, oszczędności; ogólniej – użyteczności). Reguły formalne odzwierciedlają pewne postulaty
,,pierwotne” – natury etycznej. Bodźce płynących z ekonomii sustainable development oraz inspiracje wywodzące się z psychologii (i ekonomii behawioralnej) mają przełożenie na postać funkcyjną reguł dyskontowania. W główny
nurt narracji wplatane są własne, autorskie refleksje systematyzujące i sugestie
modelowe (markowowski-wykładniczy rdzeń zgodności dynamicznej, dyskontowania podwykładnicze, model poissonowskiego czasu trwania świata).
Załączona bibliografia istotnie uzupełnia rozważania. Przywołuje się klasyków przedmiotu, wskazani są niektórzy autorzy współcześni: ci, których dokonania wytyczają kierunki badań w zakresie teorii sprawiedliwości międzypokoleniowej i dyskontowania (z uwzględnieniem specyfiki tzw. długich okresów
oraz wewnętrznej niespójności w dynamicznych sekwencjach wyborów).
W pracy zaprezentowano wybrane wątki referatu wygłoszonego przez
autora podczas obrad IV Ogólnopolskiej Konferencji Naukowej ,,Modelowanie
i prognozowanie gospodarki narodowej” zorganizowanej przez Wydział Zarządzania Uniwersytetu Gdańskiego w dniach 23-25 maja 2011 r. w Sopocie.
Opracowanie to stanowi ogniwo w cyklu prac (i komunikatów naukowych),
odzwierciedlających niektóre z zainteresowań badawczych autora (Rybicki
[2008], Rybicki [2009], Rybicki [2010a], Rybicki [2010b], Rybicki [2011]).
*
Dr hab., Katedra Matematyki i Cybernetyki Wydziału Zarządzania, Informatyki i Finansów
Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, [email protected].
152
Wojciech Rybicki
1. Interdyscyplinarne aspekty teorii sprawiedliwości międzypokoleniowej – historia i współczesność
Naczelnym przesłaniem niniejszej noty jest zwrócenie uwagi na jeden
z kluczowych dylematów współczesnej ekonomii (także – prakseologii i etyki):
jakość trwania dziś, a problem przetrwania (społeczeństw) w ogóle. Podkreślmy
więc interdyscyplinarny charakter problematyki sprawiedliwości międzypokoleniowej: splatają się w niej fundamentalne, odwieczne i nadal aktualne pytania,
stawiane przez etyków, biologów, socjologów, psychologów i – oczywiście –
ekonomistów (część z nich przedstawiono we współczesnym ,,kostiumie formalnym”). Równie ,,wiekowe” są idee bezstronnego traktowania wszystkich
generacji (pojawiają się już w przemyśleniach Lottiniego da Volterry w XVII w.,
następnie – w bardziej sformalizowanej postaci – u utylitarystów w XIX wieku
oraz na początku ubiegłego stulecia [Sidgwick 1907; Pigou, 1920]), jak przekonania o ,,naturalności” preferencji czasowych dla ,,pozytywnych” wyników. Tu
można wymienić J. Bailey’a (współczesnego utylitarystom), E. von BöhmBawerka, a także L. von Misesa. Konfrontacja idei w duchu Kanta–Ramseya–
Rawlsa (kategoryczna negacja dyskryminacji – na przykład przez ,,krzywdzące”
dyskontowanie – przyszłych pokoleń, w stosunku do teraźniejszości), z pragmatyzmem Fishera oraz welfarystycznym, uświęconym neoklasyczną tradycją,
kanonem Bergsona-Samulesona (stałej stopy dyskontowej – a w konsekwencji,
,,logicznego”, eksponencjalnego lub geometrycznego, funkcjonału dyskontującego), nie została dotąd jednoznacznie rozstrzygnięta. Postulat Sidgwicka: ,,The
time of which a man exists cannot affect the value of his happiness from universal point... the interests of posterity must concern a Utilitarian as much as those
of his contemporaries” ma sens imperatywu natury etycznej. Podobnie, memento Ramseya: ,,practice of discounting later enjoyments vis-a-vis earlier ones is
ethically indefensible, ...., arises merely from the weakness of imagination”
[Ramsey, 1928] (torpedowane przez Fishera [Fisher, 1930]) można traktować w
kategoriach teoretycznego dyskursu uczonych o metodę (a nawet – principia).
Przełomowe prace [Koopmans, 1960] i [Diamond, 1964] uporządkowały tę
tematykę w nowoczesnej konwencji formalnej (preporządki i ciągłość w przestrzeniach ciągów nieskończonych – więcej na ten temat piszę w [Rybicki
2010]), wiążąc ją z teorią wzrostu gospodarczego. Warto, przy okazji, przytoczyć stanowisko Koopmansa w kwestii ,,ważenia” udziałów pokoleń (w konsumpcji, dochodach): ,,There seems to be no way in indefinitely growing population, to give equal weights to all individuals living at all the time in the future”
[Koopmans, 1960]. Intensyfikacja badań obserwowana ostatnio i ukierunkowanie wysiłku intelektualnego społeczności naukowej na zagadnienia ,,uczciwej”
alokacji nakładów oraz ,,sprawiedliwie – racjonalnej” eksploatacji zasobów w
perspektywie wielopokoleniowej, stanowią nie tylko intelektualną, ale wręcz
„biologiczną” (egzystencjalną) reakcję ludzkości na pojawienie się nowych
jakości: tak w ekonomii (jako nauce i sztuce gospodarowania), jak w skali
,,funkcjonowania” świata en bloc.
Sprawiedliwość międzypokoleniowa i ,,kłopoty z dyskontowaniem...
153
Złożyły się na nie: rewolucja technologiczno-informatyczna, akceleracja
procesów wyczerpywania zasobów (w tym – nie odnawialnych), degradacja
szeroko rozumianego środowiska (zmniejszenie różnorodności gatunków, możliwości absorpcji zanieczyszczeń i zdolności regeneracji). Uświadomienie sobie
tych zjawisk (i ich sprzężeń, potęgujących tempo negatywnych zmian) doprowadziło do relatywizacji pojęcia rzadkości – kluczowego dla ekonomii, jako
nauki o dokonywaniu wyborów w warunkach ograniczoności dóbr i czynników
produkcji. Zaczęły zanikać, tzw. dobra wolne w czystej postaci (Smitha, Ricarda i Saya), zdało się słyszeć echo ,,krakania” pastora Malthusa. ,,Myślenie horyzontalne” stało się koniecznością, rozwój zaczęto postrzegać jako sekwencję
inkarnacji, gier wieloetapowych – pomiędzy poszczególnymi ,,wcieleniami”
nieskończenie długo żyjącego podmiotu lub między pokoleniami. Rozwiązania
tych gier („równowagi”) korespondują z imperatywem sprawiedliwości międzypokoleniowej – w imię trwałości rozwoju. Dodatkowych ,,smaczków ekonomicznych” (w skali mikro i makro) dodają : nieodwracalność skutków większości działań (niewykonalność realokacji ,,wstecz”), niemożność konsumpcji
efektów inwestycji wielopokoleniowych przez faktycznych inwestorów oraz
syndrom ,,długiego okresu Keynesa” – nie jest możliwa weryfikacja jakości
predykcji (modeli, teorii) dla odległej, nieoznaczonej przyszłości.
W ostatnim ćwierćwieczu można zaobserwować ,,erupcję” dociekań naukowych na wspólnym obszarze badawczym ekonomii trwałego rozwoju i
,,mechaniki wzrostu” oraz teorii sprawiedliwości międzypokoleniowej. Za
symboliczną datę zapowiadającą owo nasilenie badań można uznać rok 1974, w
którym odbyło się słynne sympozjum poświęcone tej tematyce (z udziałem
m.in. R. Solova, G. Heala, P. Dasgupty, J. Stiglitza). Następnie należy wymienić publikację z 1978 r. pod red. R. Sikory ,,Obligations for Future Generations” i waszyngtońską serię wydawniczą ,,Resources for the Future” (w pierwszym rzędzie – tom ,,Discounting and Intergenerational Equity” [1999]). Podsumowaniem dokonań teoretycznych w tym zakresie jest znakomita praca zbiorowa (monografia) ,,Intergenerational Equity and Sustainability” [2007], a także
zeszyt prestiżowego czasopisma ,,Mathematics of Social Sciences” wydany w
2010 roku (MSS, vol. 59, ,,Special Issue on Sustainability”). Można też dostrzec ,,jaskółki wróżące” konwergencję tej tematyki i finansów stochastycznych [Gollier Ch., 2008]. Modyfikuje się zasady optymalizacji w procesach
wieloetapowych – o dalekim horyzoncie i niespójnych w czasie preferencjach.
,,Skatalogujmy” podstawowe płaszczyzny toczącego się dyskursu (zachowane zostaną anglojęzyczne sformułowania, ze względu na ich walor rozpoznawalności – przez potencjalnych Czytelników pracy). Są to:
1) Equality and Efficiency – the Big Tradeoff (Artura Okuna),
2) Equity First or Efficiency First,
3) Equity (Justice) and Sustainability,
4) Dictatorial Role of Present or Future.
Terminy te oddają istotę problematyki: poszukiwania kompromisu
(,,złotego środka”) pomiędzy racjonalnym postulatem efektywności (monoto-
154
Wojciech Rybicki
niczności względem porządku paretowskiego), a niezmienniczością preferencji
względem permutacji pokoleń, ,,sprzężenie” sprawiedliwości ze zdolnością do
przetrwania oraz zbalansowanie znaczenia pokoleń ,,współczesnych” z nieskończonym ,,ogonem przyszłości” (formalne nazewnictwo anglojęzyczne
wprowadza pojęcia ,,head” i ,,tail” strumienia użyteczności). Z kolei powiązania
teorii sprawiedliwości międzypokoleniowej z innymi obszarami badawczymi.
Można, jak się wydaje, pogrupować w trzy kategorie:
1) Konotacje ,,instrumentalne” (chodzi tu o formalną aparaturę i pojawiające
się w naturalny sposób, zadania stricte matematyczne) obejmują porządki
stochastyczne i preporządki w przestrzeniach ciągów nieskończonych – X,
a także zagadnienia ich reprezentowalności przez: (a) obiekt z X (agregacja,
czyli kreacja podmiotu – reprezentanta), (b) funkcjonał rzeczywisty na X
(reprezentacja numeryczna preferencji w przestrzeni X ).
2) Konotacje ,,wewnątrz” szeroko rozumianych badań operacyjnych oraz ekonomii matematycznej: optymalizacja, teoria gier (wieloetapowych), programowanie dynamiczne, sterowanie optymalne.
3) Konotacje ,,zewnętrzne” : teorie wzrostu, ogólny problem dyskonta, zagadnienia wyboru międzyokresowego (w tym – anomalie i niezgodności),
,,dynamiczne finanse stochastyczne”, teoria zrównoważonego rozwoju (według niektórych autorów są to prawie synonimy), teorie oszczędzania, teorie
opodatkowania, transfery ,,wertykalne” i ,,horyzontalne” (dziedziczenie),
,,ekonomia obdarowywania”, altruizm (dynastyczny, paternalistyczny, totalny, doskonały), dług publiczny, teoremat Ricardo–Barro. Znamienny – w
tym kontekście – jest tytuł pionierskiej pracy z teorii wzrostu, noszącej zarazem znamiona ,,manifestu” sprawiedliwości międzypokoleniowej: ,,The
Mathematical Theory of Saving” [Ramsey, 1928]... .
Czytelnik mógłby, na tym etapie wywodów, zażądać (słusznie!) podania
jakiejś „obligatoryjnej” (przynajmniej – w kontekście niniejszego eseju), sformalizowanej definicji sprawiedliwości międzypokoleniowej. Rzecz w tym, że
mamy tu do czynienia z klasycznym „embarras de richesses”: istnieje wiele
różnych, „dobrze uzasadnionych postulatów pierwotnych”, wyrażających odczucia czy oczekiwania wiązane z tym pojęciem w sferze behawioralnej które,
z kolei implikują odpowiednie konstrukcje formalne (na przykład, w postaci
układów aksjomatów, odnoszących się do relacji w odpowiednich przestrzeniach). Nie istnieje jeden uniwersalny sposób rozumienia (i formalizowania)
kategorii sprawiedliwości międzypokoleniowej. Najmniej kontrowersji budzą te, które odwołują się do bezstronności lub (anonimowości, symetrii –
względem usytuowania w czasie) preferencji zadanych w zbiorach nieskończonych strumieni użyteczności, choć i w tej ideologii ważkie różnice (formalne i
interpretacyjne) pojawiają się przy decyzji, czy chodzi o niezmienniczość permutacyjną skończonego rzędu, czy – dowolną(por. np. [Lauvers, Liedekerke,
1997]). Kwestie te przenoszą się, z kolei, w naturalny sposób na „filozofie
ewaluacji” (po pierwsze – „wymagań” pod adresem kształtu funkcjonałów
dyskonta), o czym będzie mowa w dalszej części artykułu.
Sprawiedliwość międzypokoleniowa i ,,kłopoty z dyskontowaniem...
155
2. Kryteria wyceny (i porównania) dobrobytu, generowanego przez
strumienie konsumpcji lub użyteczności
,,Formalnym tworzywem” dla modelowania preferencji w procesach wieloetapowych (wielopokoleniowych) są przestrzenie ciągów (w pracy omawiamy
wyłącznie przypadek czasu dyskretnego), oznaczane symbolami
X = {x}; x = {xt , t  N } lub U = {u}, u = {ug , g  N }
(1)
Jeśli założymy addytywną separowalność funkcjonałów użyteczności
(tradycja utylitarna i jej uogólnienia), przedmiotem rozważań będą formy postaci
(2)
U ( x)   d (t )ut ( xt )
(nie specyfikujemy tutaj zbioru indeksów sumowania, pomijamy też kwestie
zbieżności szeregów). Dla ,, przypadku skończonego” uogólniona funkcja dobrobytu społecznego (przy modyfikacjach interpretacyjnych) ma postać
1
W p (u)  
n
Zauważmy, że
lim Wp (u)  min (u1 , ..., un ),
p 
1
p
 utp  .
t 1

n
(3)
lim Wp (u)  max (u1, ..., un )
p 
(4)
co odpowiada ,,rawlsowskiej” oraz – odpowiednio – ,,nietscheańskiej” formule,
a z kolei W1 (u) jest klasyczną, utylitarystyczną funkcją dobrobytu.
Dość obszerne omówienie istotnych wyników, dotyczących ,,współgrania”
(niesprzeczności wewnętrznej oraz konsekwencji formalnych) postulatów natury porządkowej oraz topologicznej, dotyczących własności preferencji w przestrzeniach ciągów rzeczywistych, zawarte jest w artykułach [Rybicki, 2010a],
[Rybicki, 2010b] (od [Koopmansa, 1960] i [Diamonda, 1964] do lat najnowszych). Poniżej podane będą ,,modelowe” kryteria wyceny takich ciągów (użyteczności u  {ug }, v  {vg } ) – za pracą [Chichilnisky, 1996]:
1) Zdyskontowana suma użyteczności: u

W (u)   g u g ,
g 1
g g  0,
v  W (u)  W (v ) , gdzie
 g  ,  ug  
(5)
2) Kryterium odległości od ,,błogostanu” Ramsaya (bliss, Ramsey)
(b jest wektorem ,,błogostanu”)
u,  l ; b  (1, 1,...)





u    1  ug   1  g
g 1
g 1
3) Zasada Rawlsa (leximin – uogólnienie)
u   inf (ug )  inf ( g )

(6)
(7)
4) Kryterium zaspokojenia podstawowych potrzeb (basic needs, Chichilnisky)
u   T (u)  T ( ), gdzie T (u)  min t : ug  bCH g  t
(8)
156
Wojciech Rybicki
5) Kryterium ,,doganiania” (overtaking, von Weizacker)
u   n  N , M  n
M
M
g 1
g 1
 ug   g
(9)
6) Kryterium ,,średniej długookresowej” (long run average)
u   n  N , K  0 :
1  T m  1  T m 
  u g      g  , t  n, m  K
T  g m  T  g m 
(10)
3. Propozycja G. Chichilnisky
Istotną rolę w poszukiwaniu kompromisu między interesami współczesnych oraz żyjących (prawdopodobnie) w odległej przyszłości, odegrała konstrukcja myślowa, której punkt wyjścia stanowią właśnie idee ,,zabezpieczenia
przed dyktaturą teraźniejszości oraz dyktatem przyszłości”. Autorka pracy
[Chichilnisky, 1996] zaproponowała elegancką i klarowną formalizację i
,,operacjonalizację” tych idei. Rozważała ona przestrzeń ciągów n-wymiarowych wektorów dóbr i odpowiadającym im, jednostajnie ograniczonych
,,chwilowych” funkcji użyteczności
F  x  {xg }, xg  R n , u g : R n  R, sup u g  xg   ,
xg N 
(11)
sup u g  1


gN 
Wprowadźmy oznaczenie
  {u : u  (ug ; g  1, 2, ...), ug  ug ( xg ), g  1, 2, ...; x  F}  l
(12)
Załóżmy, że relacja międzypokoleniowego społecznego dobrobytu na Ω
ma reprezentację W : l  R . Niech u  oraz K  N  . Zdefiniujmy teraz
,,głowę” i ,,ogon” strumienia u, odpowiednio, wzorami
(13)
uK  (u1 , ..., uK , 0, 0, ...), uK  (0, 0, ..., 0, uK 1, uK  2 , ...).
Przez teraźniejszość (present) strumienia będziemy rozumieć zbiór
P  {uK ; K  N }, przyszłość u – to zbiór F  { uK ; K  N } (future).
Relacja reprezentowana przez funkcję W ,,stanowi dyktaturę teraźniejszości” (DP), jeśli wycena dowolnego u  nie zależy od jego prawie wszystkich
wyrazów; W ,,stanowi dyktaturę przyszłości” (DF), jeśli nie jest wrażliwa na
żaden skończony (początkowy) odcinek ug (u ). Pojęcie dyktatury teraźniejszości można sformalizować. Niech u, v   oraz K  N  . ,,Zestawienie”
(uK , vK ) definiuje się jako ciąg (u1 , ..., uK , vK 1 , vK  2 , ...).
Definicja 1 [Chichilnisky, 1996]
Relacja reprezentowana przez funkcjonał W ma własność DP, jeżeli
u,  l W (u)  W ( )  n  n(u,  ) takie, że
Sprawiedliwość międzypokoleniowa i ,,kłopoty z dyskontowaniem...

157

(14)
 ,   l (k  n)  w(u K ,  K )  W ( K ,  K )  .


Analogicznie można scharakteryzować formalnie pojęcie DF.
Definicja 2
Relację (preferencji na przestrzeni Ω) nazywa się preferencjami trwałego
rozwoju (sustainable preferences – SP), jeśli nie ma ona własności DP ani DF,
a jej reprezentacja (Ws) jest funkcją rosnącą (względem porządku Pareto w l ).
Twierdzenie (Chichilnisky, 1996)
Istnieje relacja SP, reprezentowana przez Ws, określoną wzorem

WS (u )   g u g  (u ),
y 1
gdzie
g  N  , g  0,

 g  ,
(15)
g 1
a (u )  lim(ug ) jest funkcjonałem granicy rozszerzonym do l .
g
Uwagi
1) Żadne z klasycznych kryteriów nie spełnia postulatów relacji typu SP: DU
dyskryminuje przyszłość, relacja Ramseya jest niezupełna, lim inf oraz long
run dyskryminują teraźniejszość, Rawlsa i basic needs nie są rosnące
względem paretowskiego uporządkowania l
2) Częściową operacjonalizację powyższego twierdzenia zaproponowała sama
autorka w postaci (popularnego już)
Kryterium Chihilnisky – ważonej sumy: zdyskontowanych użyteczności
„chwilowych” oraz uogólnionej granicy użyteczności przyszłych pokoleń.

ug
(16)
WS (Ch ) (u)   
 1    lim ug ,   0, 1 .
g
g 
g 0 (1  r )
3) Mankamentem formuły jest, oczywiście, pierwiastek arbitralności w doborze wag (parametr α), co podkreślają Asheim i Mitra ([Mathematical Social
Science, 2010, s. 148-169]). Zwracają oni także uwagę na kłopoty związane
z (bezpośrednim) zastosowaniem kryterium w problemach optymalizacyjnych. Proponują, w związku z tym, jego modyfikację (,,udoskonalenie” –
w duchu tzw. sprawiedliwości dla przyszłości). Zdefiniowane przez tych
autorów ,,trwałe, zdyskontowane preferencje utylitarystyczne” (SDU – sustainable discounted utilitarian) spełniają wymogi SP, wolne są od ich niektórych wad i wyznaczone są właśnie przez to zmodyfikowane kryterium.
4. Dylematy dyskontowania
Kwestie ,,sprawiedliwej ewaluacji” nieskończonych strumieni wielkości
ekonomicznych wykazują pewną analogię do zadań modelowania ,,idealnej
losowości” procesów (stochastycznych) określonych na półprostej dodatniej
(skierowanej ,,w prawo osi czasu”) lub na zbiorze liczb naturalnych. Pojawiają
się one w konsekwencji sformułowania, wspominanych już w nieco innym kontekście, pierwotnych postulatów behawioralnych (po pierwsze – dowodzi się
istnienia takich procesów jako obiektów matematycznych). Ponieważ fakty
teoretyczne, które przybliżone będą poniżej, należą do akademickiego kanonu
158
Wojciech Rybicki
probabilistycznego, nie będą one opatrzone szczegółowymi odniesieniami do
literatury przedmiotu (podana jest jedna – przykładowa – pozycja [Rosenblatt,
1968]).
Zacznijmy od dwóch ,,klasycznych” procesów aspirujących do miana
,,idealnie losowych” – spełniają bowiem ,,czytelne”, intuicyjne postulaty: niezależności (stochastycznej) przyrostów t ,   X t    X t  t ,  0 oraz ich jednorodności (stacjonarności – rozkłady tych przyrostów zależą tylko od długości
przedziału czasowego τ).
W rodzinie procesów punktowych, o jednostkowych skokach (pojedynczych, „bez eksplozji”), jedynymi takimi procesami są procesy Poissona,
,,rozsypujące zgłoszenia” na dodatniej osi czasu zgodnie z rozkładami
( )k 
(17)
P( X t    X t  k ) 
e ,
k!
o wykładniczych długościach odstępów między sukcesywnymi sygnałami
f (t )  t  e ; t  0,   0.
(18)
W rodzinie procesów o ciągłych trajektoriach dwa wspomniane, „bazowe
postulaty dobrej losowości” spełniają procesy Wienera, dla których funkcje
gęstości zmiennych X t (t  0) mają także postać wykładniczą
g ( x) 
1

X2
2t 2
(19)
e ; xR
2 t
Obydwa te procesy są procesami Markowa (,,przyszłość nie zależy od
przeszłości”, jeśli znana jest wartość w chwili obecnej). W wersji z czasem
dyskretnym (dla przeliczalnej przestrzeni stanów), istotę ,,mechaniki markowowskiej” ujmuje wzór Kołmogorowa-Chapmana, wiążący kształt macierzy
przejścia w m + n krokach, z macierzami przejścia w m oraz w n krokach
(20)
Pn m  Pn  Pm
Warto zwrócić uwagę na to, że powyższy warunek opisuje istotny aspekt
zgodności dynamicznej jednorodnego łańcucha Markowa, a także na fakt, że w
obydwu przypadkach kluczową rolę – jako narzędzie analitycznego opisu dynamiki – pełni funkcja wykładnicza, która właśnie jest ,,gwarantem” zgodności
dynamicznej i stacjonarności (jednorodności przyrostów). Wynika to bezpośrednio z fundamentalnej relacji, charakteryzującej tę funkcję
(21)
es t  es  et .
Identyczna idea stanowi podstawę ,,świętego” kanonu klasycznej kapitalizacji (wielo-okresowej), wyrażonego równością
(22)
A(r, t )  A(r, s)  A(s, t )
(r  s  t ),
wiążącą czynniki akumulacji dla sukcesywnych przedziałów czasowych. Równość (22) definiuje, jak wiadomo, zasadę zgodności procesów akumulacji.
Na koniec warto wspomnieć o martyngałach, stanowiących formalny
rdzeń w modelowaniu efektywności rynków finansowych. Wprost z definicji
wynikają równości (wiążące zmienne procesu { X t , t  0})
Sprawiedliwość międzypokoleniowa i ,,kłopoty z dyskontowaniem...

  
 
(23)
  
 
(24)
E X p  d1  d2 F p  E E X p  d1  d2 F p  d1 F p  X p
lub, równoważnie

159
E X p  d1  d2 X p  E E X p  d1  d2 X p  d1 X p  X p
( F t oznacza tu informację o procesie, ,,historię” skumulowaną do chwili t –
formalnie opisaną przez σ-algebrę ,,zdarzeń do momentu t”). Równości te mają
następującą interpretację: prognoza w chwili p (czyli na podstawie ,,wiedzy” Xp
lub F p ), zmiennej X p  d1  d2 pokrywa się z prognozą (w chwili p) prognozy tej
zmiennej dokonanej w chwili p+d1 (czyli w procedurze dwuetapowej). Jest to –
par excellence – warunek zgodności czasowej ewolucji procesu.
Obserwacje zachowań podmiotów decyzyjnych okazują się przeczyć owej
konsekwencji wyborów. Źródła tej niekonsekwencji są wielorakie – o charakterze zarówno endogenicznym jak i egzogenicznym. Od czasu ukazania się słynnej pracy R. Strotza [Strotz, 1955] o niezgodności dynamicznej preferencji i
,,krótkowzroczności” podmiotów decyzyjnych, ,,na styku” ekonomii i psychologii zaczęły się pojawiać modele wyceny strumieni wielkości, odzwierciedlające owe niespójności. Odpowiadają im – różne od klasycznych – funkcje
(funkcjonały) dyskontujące.
Ogólna idea dyskontowania zawiera się w imperatywie „różnicowania
znaczenia” (analitycznie i numerycznie – wag liczbowych) korzyści i strat w
poszczególnych okresach (momentach) lub w kolejnych „pokoleniach”: właśnie – „w imię sprawiedliwości i racjonalności” wyceny en bloc i wynikających z niej rekomendacji dotyczących (na przykład) wielookresowej strategii
inwestycyjnej. Klasyczny dylemat Profesora Zbigniewa Czerwińskiego: „Jak
porównać jutrzejszy dobrobyt z dzisiejszą biedą” ([Czerwiński, 1992]) przybliża „klimat problemu”. W skrajnym przypadku optymalną (polityką) okazuje się
być – formalnie – polityka zerowej konsumpcji w całym początkowym segmencie czasu i przeznaczania całości dochodu na inwestycje – co odpowiadało
by przypisywaniu niewspółmiernie dużych wag dyskontowych przyszłości w
stosunku do teraźniejszości. O drugiej skrajności, wynikającej z klasycznego
dyskontowania geometrycznego będzie mowa poniżej. Warto dodać, iż „właściwa”, społeczna stopa dyskontowa aspiruje do tego, ażeby inkorporować zarówno pierwiastek „czystych” preferencji czasowych (dyskontowanie „niecierpliwości” czyli – względem czasu), jak i elementy niepewności co do realizacji
scenariuszy w przyszłości (dyskontowanie ryzyka), zmiany krańcowej użyteczności konsumpcji wraz z czasem („efekt bogactwa” – spodziewanej stopy wzrostu konsumpcji per capita i elastyczności użyteczności względem konsumpcji)
– dyskontowanie bogactwa. Tak więc – nawiązując wprost (w tym jedynym
miejscu) do zasadnego ze wszech miar, pytania Recenzenta – warto zauważyć,
iż burzliwe polemiki w kwestii istoty dyskontowania wskazują, iż nie jest to
„siła, mechanizm, który wie, co będzie w przyszłości”, lecz rodzaj „arytmetycznej asekuracji” przed niewiedzą i nieoznaczonością o charakterze „minimaksowym”, który powinien jednak uwzględniać specyfikę strumieni i hory-
160
Wojciech Rybicki
zont (jedną z konkluzji jest tu konstatacja o nie przystawalności dyskontowania
„bankowo-finansowego” do globalnych kontekstów ekologicznych).
Rozpatrzmy, za pracą [Harvey, 1995] zbiór strumieni dwuwymiarowych o
strukturze (,,czas, wynik”).
S  ( x, t ) , ( x, t )   ( x0 , t0 ), ( x1, t1 ), 
(25)
Załóżmy, że funkcjonał wyceny (całkowitej) ma strukturę addytywną
u( x, t )   d (t ) u( xt ).
(26)
Funkcja dyskontująca d(t) charakteryzuje ogólne typy postaw podmiotów
względem czasu (ściślej: ,,ważenie znaczenia” użyteczności poszczególnych
generacji dla wyceny całego strumienia). Preferencje podmiotu znamionują jego
,,niechęć w stosunku do czasu” (są ,,timing averse”) gdy funkcja dyskontująca
d(t) jest malejąca, podmiot przejawia ,,skłonność względem czasu” (jest ,,timing
pron”) jeśli d(t) jest funkcją rosnącą, ,,neutralny” wobec (upływu) czasu, gdy
d(t) = const. (zakłada się zbieżność szeregu po prawej stronie = 26). Czasowa
neutralność jest pojęciowo bliska tzw. cierpliwości, a ,,timing pron” – altruizmowi w stosunku do przyszłych generacji. Powyższe określenia można także
traktować jako układ ,,technicznych” warunków, równoważnych ,,właściwej”
(,,pierwotnej”) typologii. Na przykład awersja (podmiotu) względem opóźnień
definiowana jest w języku relacji zachodzących między wyrazami strumieni par
warunkiem: ( x, s) ( x, t ) dla dowolnego wyniku x i dowolnych chwil s < t.
Podobnie, własność stacjonarności preferencji (czasowych) określona jest implikacją
(27)
( x, t ) ( y, t )  h  0 ( x, t  h) ~ ( y, t + h)
(wyjaśnijmy: t  = t + h jeśli tn  tn  h n  N ).
Scharakteryzowana jest ona funkcją dyskontującą Samuelsona d(t) = d t ,
która w przypadku „czasu ciągłego” ma postać d (t )  exp( t ),   0. Jest to
oczywiście warunek gwarantujący zgodność czasową preferencji.
Z kolei własność tzw. bezwzględnej malejącej awersji względem czasu
zdefiniowana jest warunkiem
(28)
( x, s) ~ ( y, t )  ( x, s  h) ( y, t  h) h  0,
jeśli s < t oraz 0 < x < y. W liniowej reprezentacji u(x, t) logarytm (malejącej)
funkcji dyskontującej, g  t   log  d  t   musi być funkcją ściśle wypukłą. Jest
to warunek konieczny i wystarczający [Harvey, 1995]. Tak więc stacjonarne
dyskontowanie wykładnicze nie spełnia tego postulatu.
Od czasu publikacji R. Strotza bardzo wielu autorów rozważało problematykę dyskontowania – konfrontując postulaty behawioralne (także – obserwacje
empiryczne) z ich konsekwencjami, zarówno w sferze aksjomatyzacji preferencji (w zbiorach strumieni), jak wpływu na kształt funkcyjny czynnika d(t)
([Herrstein,1961], [Phelps, Pollak 1968], [Lowenstein, Prelec 1992], [Kydland,
Prescott, 1977], [Laibson, 1997], [Portney, Weyant, 1999], [Prelec, 2004], [Bleichrodt i in., 2009]). Brano również pod uwagę kwestię rażących dysproporcji
w wycenie odległej przyszłości w stosunku do aktualnego znaczenia takich sa-
Sprawiedliwość międzypokoleniowa i ,,kłopoty z dyskontowaniem...
161
mych (nominalnie) wielkości – przy stosowaniu dyskontowania wykładniczego
(nawet dla czynnika dyskontującego bliskiego jedności, wartość kapitału zdyskontowanego ,,klasycznie” może być stukrotnie mniejsza, niż przy dyskontowania hiperbolicznym – jego głównym, ,, wolno malejącym konkurencie”,
[Weitzman, 1998], [Gollier, 2008], [Saez-Marti, Weibull 2005]).
Przytoczymy przykładowe formuły dyskontowania zaproponowane w
ostatnich kilkudziesięciu latach. Warunek tzw. względnej neutralności wobec
czasu (a’la względna awersja do ryzyka Arrowa-Pratta) prowadzi do funkcji
dyskontującej postaci [Harvey, 1995]
r
 b 
(29)
d (t )  
 , t  0, b  0, r  R.
bt 
Tzw. ,,proporcjonalne ujęcie przesunięć w czasie” – koncepcja Harveya,
uogólniająca rozliczne (wcześniejsze oraz późniejsze) ujęcia procesu dyskontowania – prowadzi do wspomnianej już, hiperbolicznej funkcji dyskontującej,
będącej, z kolei szczególnym przypadkiem formuły poprzedniej
b
d (t ) 
(30)
bt
Niewielkie modyfikacje (w warstwie interpretacji i parametryzacji) prowadzą do uogólnionych hiperbolicznych reguł dyskonta
(31)
d (t )  (1  t ) (  ,   0),

(32)
d (t )  (1  t )    0
Tzw. quasi-hiperboliczne dyskontowania rozważali już Phelps i Pollak
[Phelps, Pollak, 1968]
 1 dla t  0

d (t )   t
(33)

  dla t  0    0, 1 
(używana jest też nazwa – ,,quasi geometryczne” – [Krussel, Smith, 2003]).
W pracy [Bleichrodt i in., 2009] rozważa się kolejne uogólnienie
(,,udoskonalenie”) modelowania postaw wobec czasu (oraz postaci czynnika
dyskontującego d(t) – różnej od hiperbolicznej i quasi-hiperbolicznej). Autorzy
wprowadzają pojęcia tzw. stacjonarnej, malejącej oraz rosnącej niecierpliwości
– zbliżone do typologii [Harveya, 1995], ale ściślej nawiązujące do klasycznej
klasyfikacji postaw względem ryzyka a’la Arrow-Pratt (podejście takie okazało
się bardzo owocne – analogie ,,na linii time-risk” eksploatowało już wielu autorów, niektórzy zostali wskazani w bibliografii artykułu [Rybicki, 2010a]).
Uwagę skupiają na podklasach tzw. stałej bezwzględnej oraz stałej względnej
malejącej niecierpliwości (np. constans absolute decreasing impatience, CADI;
analogicznie – CRDI), znajdujących potwierdzenie (i sugestywną interpretację)
w laboratoryjnych studiach zachowań podmiotów. Własność CADI definiują
oni oddzielnie dla preferencji oraz dla funkcji dyskontującej. Podstawowym
wynikiem cytowanej pracy jest wykazanie równoważności tych określeń, przy
czym, postać czynnika dyskontującego typu CADI jest podana explicite.
162
Wojciech Rybicki
Definicja [Bleichrodt, i in., 2009]
Funkcja dyskontująca d należy do klasy CADI jeśli istnieją stałe r > 0 oraz
c (oraz stała normująca k > 0), takie, że:
 ct
(α) dla c > 0 d (t )  kere
(β) dla c = 0 d (t )  ke rt
 ct
(γ) dla c < 0 d (t )  ke re
Na inny rodzaj subtelności w ,,filozofii dyskonta” zwrócił uwagę Read
[Read, 2001], który wprowadził pojęcie dyskontowania subaddytywnego. Opisowo, idea tej metodyki (również poparta badaniami empirycznymi) sprowadza
się do spostrzeżenia, że dyskontowanie w skali całych przedziałów (opóźnień
czasowych) jest mniejsze dla ,,aktów jednorazowych” niż w przypadku rozbicia
przedziału na podprzedziały, ,,dyskontowania na raty”. Autor ten podaje też
formułę analityczną dla dyskontowania w okresie (T, T) [Read, 2001, s. 25,
wzór (15)] – stanowiąca także rodzaj uogólnienia reguły hiperbolicznej.
Zakończenie
W zagadnieniach modelowania preferencji w czasie, pojawia się wiele
subtelności – co prowadzi do ciekawych konstrukcji teoretycznych (tak w sferze własności preporządków, jak – bardziej ,,praktycznym” – wnioskowaniu o
kształcie funkcyjnym czynników dyskontujących). Odejście od – stacjonarnego-dyskonta geometrycznego skutkuje zwiększeniem realizmu w modelowaniu
zachowań podmiotów. Trudno mówić o utracie zgodności dynamicznej jako
,,cenie” za realizm, bo tej zgodności po prostu nie ma. Z reguły lepszy opis rzeczywistości (na przykład w ekonometrii [Dziechciarz, 1992]) uzyskuje się dzięki uzmiennianiu (w czasie) lub randomizacji parametrów (lub jedno i drugie!).
Nie poruszono w pracy kwestii problematyki agregacji (indywidualnych)
preferencji czasowych (i formuł dyskontowania). Jest to niezwykle istotny
,,łącznik” między psychologiczno-mikroekonomiczną a makroekonomiczną
perspektywą działań długookresowych. W pracy [Weitzman, 2001] na podstawie ankietowego sondażu (zarówno w bardzo dużej grupie respondentów, jak
w wyselekcjonowanej próbie „eksperckiej”, złożonej z kilkudziesięciu wybitnych ekonomistów) ustalono, że stały (,,samuelsonowski”) czynnik dyskontujący wcale nie jest stały lecz ma rozkład gamma (w konsekwencji otrzymano – w
skali makro- dyskontowanie hiperboliczne).
Autor niniejszego artykułu nie znalazł w literaturze prób stosowania tzw.
funkcji pod-wykładniczych do procedur dyskontowych. Jest to ważna klasa
funkcji o tzw. grubych ogonach, stosowana z powodzeniem w teorii niezawodności, kolejek oraz ryzyka ubezpieczeniowego (por. np. [Pitman, 1980]). Autor
planuje zbadanie takiej możliwości (nie trywialnym zadaniem jest próba znalezienia analitycznej postaci odpowiedniego kryterium wyceny strumieni;
umocowanie – na gruncie postulatów behawioralnych – mogło by pomóc w
identyfikacji nie opisanej, być może, dotąd klasy preferencji – a przecież
zmniejszanie rzędu szybkości zbieżności do zera funkcji dyskontujących (z
Sprawiedliwość międzypokoleniowa i ,,kłopoty z dyskontowaniem...
163
akcentem na społeczną stopę dyskontową) sprzyja wyrównywaniu szans pokoleń przyszłych.
W zagadnieniach ewaluacji strumieni pojawia się także wątek nie oznaczoności czasu trwania procesu-strumienia. Wszechstronną analizę tego aspektu
można znaleźć w pracy [Llavador i in., 2010]. Autorzy artykułu implementują
reguły dyskonta do modeli wzrostu, zakładając stochastyczną długość życia
świata. Dosyć nieoczekiwanie, utylitarne kryteria (optymalizacyjne): zdyskontowanych szeregów oraz uogólnione leximin, przy danym egzogenicznie, geometrycznym rozkładzie czasu trwania procesu (dla ekonomii bez produkcji –
„cake-eating economy” ), okazują się równoważne – w tym sensie, iż prowadzą
do tych samych sekwencji wyborów międzyokresowych. Pouczające mogłoby
być rozważenie alternatywnego („naturalnego”), poissonowskiego rozkładu
długości strumienia. Z kolei, problematyczna jest sensowność „endogenizacji”
tej zmiennej – mimo istnienia „dobrej” teorii reguł stopu [Llavador i in.,2010].
Literatura
1. Bentham J., Wprowadzenie do zasad moralności i prawodawstwa, PWN,
Warszawa 1958.
2. Bergson A., A Refolmulation of Certain Aspects of Welfare Economics,
,,Quarterly Journal of Economics” 1938 vol. 92, s. 310-334.
3. Bleichord H., Rohde K., Wakker P., Non-hyperbolic Time Inconsistency,
,,Game and Economic Behavior” 2009 vol. 66, s. 27-38.
4. Chichilnisky G., An axiomatic approach to sustainable development,
,,Social Choice and Welfare” 1996 vol. 13, s. 231-257.
5. Z. Czerwiński, Dylematy ekonomiczne, PWE, Warszawa 1992.
6. Diamond P., The Evaluation of Infinite Utility Streams, ,,Econometrica”
1965, vol. 33, s. 170-177.
7. Dziechciarz J., Ekonometryczne modelowanie procesów gospodarczych.
Modele ze zmiennymi i losowymi parametrami, Prace Naukowe AE we
Wrocławiu, Wrocław 1995.
8. Fisher I., The Theory of Interest, Macmillan, New York 1930.
9. Gollier Ch., Discounting with Fat-tailed Economic Growth, ,,Journal of
Risk and” 2008 vol. 37, s. 171-186.
10. Harvey C., Proportional Discounting of Future Costs and Benefits,
,,Mathemtics of Operation Research” 1995 vol. 20, s. 381-399.
11. Herrnstein R., Relative and absolute strength of response as a function
of frequency of reinforcements, ,,Journal of Exper. And. Behav” 4,
(1961), s. 267-272.
12. Koopmans T.C., Stationary Ordinal Utility and Impatience,
,,Econometrica” 1960 vol. 28, s. 287-309.
13. Krusell P., Smith A., Consumption – savings Decisions with Quasigeometric Discounting, ,,Econometrica” 2003 vol. 71, s. 365-375.
164
Wojciech Rybicki
14. Kydland F., Prescot E., Rules Rather than Discretion: The Inconsistency
of Optimal Plans, ,,Journal of Political Economy” 1977 vol. 85, nr 3,
s. 473-491.
15. Laibson D., Golden eggs and hyperbolic discounting, ,,Quartely Journal
of Economics” 1997 vol. 62, s. 443-479.
16. Lauwers L., Liedekerke L.V., Sacrifying the Patrol: Utilitarianism, Future Generations and Infinity, ,,Economics and Philosophy” 1997 vol.
13, s. 159-174.
17. Llavador H., Roemer J., Silvestre J., Intergenerational Justice when Future Worlds are Uncertain, ,,Journal of Mathematical Economics” 2010
vol. 46, s. 728-761.
18. Loewenstein G., Prelec D., Anomalies in intertemporal choice: Evidence
and an interprelation, ,,Quarterly Journal of Economics” 107, (1992), s.
573-597.
19. Mathematical Social Sciences 2010, vol.59 (Spec. Issue on Sustainability).
20. Mill J.S., Utylitaryzm. O wolności, Warszawa 2006.
21. Phelps E., Pollak R.A., On Second-Best National Saving and GameEquilibrium Growth, ,,Review of Economic Studies” 1968 vol. 35, nr 2.
22. Pigou A.C., The Economics of Welfare, Macmillan, London 1920.
23. Pitman E., Subexponential distribution functions, ,,Journal of Australian
Math. Society” (Series A), 29, (1980), s. 337-347.
24. Portney P.R., Weyant J.P. (eds), Discounting and Intergenerational Equity,
Resources for the Future, Washingon, DC 1999.
25. Prelec D., Decreasing Impatience: A Criterion for Non-stationary Time
Preference and ,,Hyperbolic” Discounting, ,,Scand. Journal of Economic” 2004 vol. 106, s. 511-532.
26. Ramsey F.P., A Mathematical Theory of Saving, ,,Economic Journal” 1928
vol. 38.
27. Read D., Is Time-Discounting Hyperbolic or Subadditive? ,,Journal of Risk
and Uncertainty” 2001 vol. 23, s. 5-32.
28. Roemer J., Suzumura K., Intergenerational Equity and Sustainability, Palgrave Macmillan, Houndmils – Basingstoke – Hampshire 2007.
29. Rosenblatt M., Procesy stochastyczne, PWN, Warszawa 1967.
30. Rybicki W., O sprawiedliwości międzypokoleniowej (nota bibliograficzna),
Studia Prace Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie nr 10; J. Pociecha
(red.), Aktualne zagadnienia modelowania i prognozowania zjawisk społeczno-gospodarczych, Kraków 2010, s. 141-155.
31. Rybicki W., O realokacji dóbr i sprawiedliwości międzypokoleniowej,
,,Pragmata Tes Oikomias”, Kwartalnik Instytutu Zarządzania i Marketingu
Akademii im. Jana Długosza w Częstochowie, Częstochowa 2010 (w druku).
32. Rybicki W., Jutrzejszy dobrobyt a dzisiejsza bieda – dylematy dyskontowania, koncepcje sprawiedliwości międzypokoleniowej i idee trwałego rozwoju, referat wygłoszony na V Ogólnopolskiej Konferencji Naukowej
,,Matematyka i informatyka na usługach ekonomii”, dedykowanej pamięci
Sprawiedliwość międzypokoleniowa i ,,kłopoty z dyskontowaniem...
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
165
profesora Zbigniewa Czerwińskiego. Organizator: Wydział Informatyki i
Gospodarki Elektronicznej Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu, Poznań, 15-16 kwietnia 2011 r.
Rybicki W., Some remarks on intergenerational equity (referat wygłoszony na IV Międzynarodowej Konferencji ,,Quality of Life”, Wrocław,
15-18.09.2008).
Rybicki W., Sprawiedliwość międzypokoleniowa i sekwencyjne modelowanie preferencji, w: B. Fiedor, Z. Hockuba (red.), Nauki ekonomiczne wobec
wyzwań współczesności, PTE, Warszawa 2009, s. 175-187.
Saez-Marti M., Weibull J., Discounting and altruizm to future decision
makers, ,,Journal of Economic Theory” 2005 vol. 122, s. 254-266.
Sidgwick H., The Methods of Ethics, Macmillan, London 1907.
Sikora R.J., Barry B., Obligations to Future Generations, Temple, Philadelphia 1978.
Strotz R.M., Myopia and Inconsistency in Dynamic Utility Maximization,
,,Rev. Econ. Studies” 1955 vol. 23, s. 165-180.
Weitzman M., Gamma Discounting, American Economic Review 2001
vol. 91, s. 260-271.
Weitzman M., Why the Far – Distant Future Should Be Discounted at
Its Lowest Possible Rate, Journal of Environmental Economic and Management 1998 vol. 36, s. 201-208.
Streszczenie
W pracy rozważa się wybrane problemy teorii sprawiedliwości międzypokoleniowej oraz zagadnienia „filozofii i inżynierii” dyskontowania. Przyjęto formułę eseju,
oferującego przegląd kluczowych pytań i współczesnych ustaleń formalnych z tego
zakresu. Podkreśla się interdyscyplinarny charakter omawianej problematyki, wskazując jej korzenie i rozliczne konotacje (etyka, psychologia, zrównoważony rozwój).
Pokazuje się, jak pierwotne postulaty behawioralne przekładają się na formalne własności preferencji w przestrzeniach ciągów oraz funkcji dyskontujących. Referowane fakty
teoretyczne uzupełniane są autorskimi komentarzami, próbami systematyzacji i sugestiami w zakresie modelowania (analogie z modelami „idealnej losowości w czasie”,
dyskontowanie sub-eksponencjalne, poissonowski czas trwania świata).
Intergenerational equity and „troubles with dicsounting the future”
(Summary)
In the paper selected problems from the field of the theory of intergenerational
equity are considered, as well as corresponding to them, problems of “philosophy and
engineering” of discounting. In the essay we point out interdisciplinary aspects of referred themes, their connotations (i.e. ethics, psychology, sustainable development) and
roots. We also present some formal statements (properties of preferences in spaces of
sequences, and discounting functions – reflecting the “primary” requirements). The
author’s own comments and efforts toward systematizing the area , as well as, some
suggestions concerning modelling, are enclosed.