Podstawowe pojęcia.

Podstawowe pojęcia.
•
Definicja kryształu.
•
Sieć przestrzenna i sieć krystaliczna.
•
Osie krystalograficzne i jednostki osiowe.
•
Ściana jednostkowa i stosunek osiowy.
•
Położenie węzłów, prostych i płaszczyzn w sieciach
przestrzennych.
•
Układy krystalograficzne.
•
Komórki elementarne Bravais'go
Zadanie 1 (przykładowe)
Na rysunku 1 przedstawiono fragment wzoru powstałego przez translacyjne powtórzenie
zespołu różnych elementów budujących. Znaleźć charakterystyczny motyw całego wzoru,
obrać podstawowe kierunki translacji, narysować odpowiadającą wzorowi płaszczyznę
sieciową i zaznaczyć na niej równoległobok elementarny.
Rozwiązanie:
Motyw wydzielono ze wzoru linią przerywaną, natomiast równoległobok elementarny
zaznaczono linią ciągłą. Należy motyw całego wzoru zastąpić węzłami i narysować
płaszczyznę sieciową, obrać odpowiedni równoległobok elementarny i porównać go z
zaznaczonym na rysunku.
Zadanie 2
Poniżej przedstawiono dwa fragmenty wzorów powstałych przez translacyjne powtórzenie
zespołu różnych elementów budujących. Znaleźć charakterystyczny motyw wzoru, obrać
podstawowe kierunki translacji, narysować odpowiadającą wzorowi płaszczyznę sieciową i
zaznaczyć na niej równoległobok elementarny.
Zadanie 3
Narysować płaszczyzny sieciowe odpowiadające płaszczyźnie krystalicznej zbudowanej z
atomów A i B, których fragmenty przedstawione są poniżej.
Zadanie 4
Poniżej przedstawiono komórkę krystaliczną chlorku sodu. Narysuj elementarną komórkę
sieci przestrzennej chlorku sodu.
Zadanie 5
Wyjaśnij różnice pomiędzy kryształem a krystalitem oraz przyporządkuj odpowiednio te
terminy do rysunku.
Zadanie 6
Uzupełnij odpowiednio tekst dotyczący zasad wyboru osi krystalograficznych:
ƒ
ƒ
ƒ
Początek układu umieszcza się w …………………………
Przyjmuje się układ…………, wyjątkowo …………… osi
Osie powinny być, w miarę możliwości, wzajemnie ………… oraz pokrywać się z
……………. lub, w gdy ich nie ma, z normalnymi do płaszczyzn symetrii
ƒ
ƒ
W kryształach nie mających osi symetrii czy płaszczyzn symetrii osie
krystalograficzne powinny odpowiadać krawędziom utworzonym przez wyróżniające
się ściany.
Kryształy o niskiej symetrii mają osie wzajemnie nieprostopadłe.
Zadanie 7
Opisać odpowiednio osie krystalograficzne w układzie heksagonalnym
Zadanie 8
Zaznacz na poniższym rysunku parametry komórki
Zadanie 9
Uzupełnij odpowiednio tekst dotyczący zasad wyboru osi krystalograficznych:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
Kształt ścian musi być zgodny z ………………
Liczba kątów prostych między krawędziami komórki musi być …………..
Występuje w niej maksymalna liczba …………………….
Objętość musi być ………………………..
Zadanie 10
Ściana jednostkowa kryształu odcina na osiach krystalograficznych X, Y, Z odcinki równe
odpowiednio: a = 0.393cm, b = 0.742cm i c= 0.353cm. Obliczyć stosunek osiowy
charakterystyczny dla tego kryształu.
Zadanie 11
Określić współrzędne x, y, z wszystkich oznaczonych węzłów w tetragonalnej sieci
przestrzennej przedstawionej na poniższym rysunku.
Zadanie 12
Określić współrzędne x, y, z wszystkich oznaczonych węzłów w heksagonalnej sieci
przestrzennej przedstawionej na poniższym rysunku.
Zadanie 13
Wykreślić kierunki o symbolach [110], [120], [111] oraz [1 1 1] w kryształach z układów
regularnego, tetragonalnego i rombowego.
Zadanie 14
Wykreślić położenie kierunków opisanych symbolami [210], [011] i [111] w krysztale z
układu heksagonalnego. Rozwiązanie podać na przykładzie kryształów o postaciach słupa
heksagonalnego i podwójnej piramidy heksagonalnej, które przedstawiono na rysunkach:
Zadanie 15
Podać symbole prostych sieciowych zaznaczonych na poniższym rysunku
Zadanie 16
Obliczyć symbol [mnp] ([uvw]) kierunku przeprowadzonego przez punkty (węzły) A i B, jeśli
są znane współrzędne tych węzłów:
dla węzła A:
0, ½, ½
dla węzła B:
½, 0, 1/2
Zadanie 17
Obliczyć symbol [mnp] prostej przechodzącej przez punkty A i B w tetragonalnej sieci
płaskiej, jeśli współrzędne tych punktów wynoszą odpowiednio 1,0,0 i 3,1,0. Odpowiedź
uzasadnić rysunkiem.
Zadanie 18
Obliczyć czterowskaźnikowy symbol [MNOP] prostej w heksagonalnej sieci przestrzennej,
jeśli kierunek ten jest podany za pomocą symbolu trójwskaźnikowego [121].
Przypomnienie: Symbole trójwskaźnikowe [mnp] przelicza się
czterowskaźnikowe [MNOP] stosując zależności:
M = 2m – n N = 2n – m O = -(m + n) P = 3p
na
symbole
Zadanie 19
Zastąpić trójwskaźnikowy symbol kierunku [430] czterowskaźnikowym symbolem [MNOP]
oraz czterowskaźnikowy symbol [ 1 5 40] symbolem trójswkaźnikowym.
Przypomnienie: Wyznaczenie symbolu prostej sieciowej [mnp] z symbolu
czterowskaźnikowego [MNOP] przeprowadza się za pomocą zależności:
m=M–O n=N–O
p=P
Zadanie 20
Obliczyć symbole Weissa i Millera ścian A, B i C, które na osiach krystalograficznych X, Y,
Z odcinają odcinki a, b, c wyrażone za pomocą jednostek osiowych a0, b0 i c0:
b = 12b0
c = 3c0
dla ściany A a = 6a0
b = 3b0
c = 2c0
dla ściany B a = 4a0
dla ściany C a = 4a0
b = 6b0
c = 3c0
Zadanie 21
Podać symbole Millera ścian zaznaczonych na poniższych rysunkach
Zadanie 22
Przyporządkuj symbole (100), (hkl), (hk0), (001), (h0l), (0kl) i (010) poszczególnym ścianom
Zadanie 23
Obliczyć wskaźniki Millera płaszczyzny M, której położenie w układzie osi
krystalograficznych X, Y, Z przedstawia rysunek. Podać symbol (hkl) płaszczyzny M.
Położenie płaszczyzny M w układzie osi krystalograficznych X, Y, Z; na osiach zaznaczono jednostki osiowe a0,
b0, c0 oraz parametry a, b, c płaszczyzny M
Zadanie 24
Obliczyć wskaźniki Millera ścian A, B, C, D i E kryształu, znając odcinki a, b, c odcięte przez
nie na osiach krystalograficznych oraz parametry ao, bo,, co wyznaczone przez ścianę
jednostkową W. Napisać symbole wskaźnikowanych ścian.
Lp. Oznaczenia Parametry ściany
Parametry ścian
ścian
jednostkowej [cm] wskaźnikowanych
ao
bo
co
0,322 0,420 0,360
a
b
c
-
-
-
1
W
2
A
0,322 0,210 0,120
3
B
0,645 0,140 0,360
4
C
0,968 0,840 0,270
5
D
6
E
∞
Wskaźniki hkl
111
0,630 0,540
0,107 0,042 0,180
Zadanie 25
Wyznaczyć symbole Millera płaszczyzn, które odcinają na osiach krystalograficznych znane
odcinki (parametry), wyrażone w jednostkach osiowych:
A
B
C
D
E
1
1
a , b , 1c0
2 0 2 0
2
∞ ,1b 0 , c 0
5
1
2
a , ∞ , c0
3 0
6
2
1
a 0 , b0 ,∞
3
5
1
1
a , b , 1c0
. 6 0 5 0
Zadanie 26
Nakreślić w regularnej komórce elementarnej płaszczyzny o symbolach: (110), (120), (111),
(11 1 ), ( 2,10).
Zadanie 27
Płaszczyzny P, R i W w sieci przestrzennej kryształu tetragonalnego przecinają się z osiami
krystalograficznymi X, Y i Z w punktach odległych od początku układu o odcinki a, b i c,
które dla poszczególnych osi wynoszą:
P
R
W
a = 18Å
a=8Å
a = 12 Å
b = 18 Å
b=8Å
b = 12 Å
c = 8,5 Å
c = 34 Å
c = 17 Å
Opisać płaszczyzny symbolami Weissa i Millera, przyjmując płaszczyznę W jako
jednostkową.
Zadanie 28
Jaka płaszczyznę sieciową wyznaczają proste sieciowe [101] i [011]. Rozwiązanie
przedstawić na perspektywicznym rysunku komórki elementarnej.
Zadanie 29
Na perspektywicznym rysunku komórki elementarnej narysować płaszczyznę sieciowa (hkl)
przechodząca przez prostą sieciową [001] i prostą sieciową [(2110/(001)], tzn. prostą
sieciową, w której przecinają się płaszczyzny sieciowe (211) i (001).
Zadanie 30
Poniżej podano kształt komórek sieciowych. Pod każdą z nich podaj nazwę układu
krystalograficznego, który reprezentuje ta komórka.
Zadanie 31
Określ typy podanych poniżej komórek elementarnych i podaj ich oznaczenia
Zadanie 32
Wyznacz bazy dla wszystkich typów komórek Bravais’go układu rombowego.
Zadanie 33
Istnieje 14 typów tzw. przestrzennych sieci translacyjnych, czyli podstawowych sposobów
uporządkowanego powtarzania się w trójwymiarowej przestrzeni atomów, jonów (cząsteczek)
budujących ciało krystaliczne
Wykaż na rysunku, dlaczego w przypadku układu jednoskośnego nie ma translacyjnych
komórek elementarnych Bravais'go typu F oraz typu I.
Zadanie 34
Komórki elementarne kilku kryształów należących do układu rombowego zawierają:
1
1
1
a) dwa atomy jednego rodzaju w pozycjach 0, 2 ,0 i 2 ,0 , 2 ;
b) cztery atomy tego samego rodzaju w pozycjach: x,y,z; x , y , z ;
1
1
+ x, − y , z ;
2
2
1
1
− x, + y , z
2
2
1 1
1
c) dwa atomy jednego rodzaju w pozycjach 2 ,0 ,0 ; 0, 2 , 2 i dwa atomy innego rodzaju w
1
1 1
pozycjach 0,0 , 2 ; 2 , 2 ,0 .
Określić komórkę translacyjną Bravais'go tych kryształów.
Zadanie 35
Zakładając, że atomy są stykającymi się sztywnymi kulami o średnicy D i zajmują pozycje
węzłów w komórkach regularnych typu P, I, F, obliczyć:
a) objętość komórek wyrażoną wartością D;
b) liczbę atomów w komórce;
c) gęstość wyrażoną liczbą atomów na objętość komórki.
Zadania 1, 2, 3, 10-20, 23-27, 34 oraz 35 pochodzą z podręcznika:
Z. BOJARSKI, H. HABLA i M. SUROWIEC
„Materiały do nauki krystalografii”
PWN, Warszawa 1986