MNF 2015/2016 sem. letni 26-02-2016

MNF 2015/2016 sem. letni
26-02-2016
Plan wykładu
Zagadnienie początkowe
Typowe zagadnienie początkowe opisane jest
równaniem
• Zagadnienie początkowe
• Metoda Eulera
• Metody Rungego-Kutty
df
 g t, f  , f t0   f0 .
dt
W zagadnieniu początkowym może występować
więcej zmiennych
• metoda Heuna
• metoda punktu pośredniego
• metody rzędu czwartego
df
 g t, f  , f t0   f0 .
dt
2/18
Metoda Eulera
3/18
Metoda Eulera
dNU
N
 U
dt

df
 g t, f  , f t0   f0 .
dt
fn 1  fn
 g tn , fn   gn
tn 1  tn
fn 1  fn
 gn
h
 
fn1  fn  hfn  O h 2
4/18
Metoda Heuna
5/18
Metoda Heuna
dNU
N
 U
dt

f t  h   f t  
6/18
[email protected]
1
 k  k2 
2 1
k1  hg t, f 
k2  hg t  h, f  k1 
7/18
1
MNF 2015/2016 sem. letni
26-02-2016
Metoda punktu pośredniego
Metoda punktu pośredniego
dNU
N
 U
dt

k1  hg t, f 
f t  h   f t   k2
k 

h
k2  hg  t  , f  1 
2
2

8/18
Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego
f t  h   f t  
1
 k  k2 
2 1
f t  h   f t   k2
f t  h   f t   a1k1  a 2k2
9/18
Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego
df
 g t, f 
dt
k1  hg t, f t  
k2  hg t  h, f t   k1 
f t  h   f t   h
f t  h   f t   hg t, f t   
k1  hg t, f t  
k 

h
k2  hg  t  , f t   1 
2
2

f t  h   f t   hg t, f t   
df
h2 d 2 f

 O h3
dt t 2 dt 2 t
 
h2 d
g  O h3
2 dt t
 
h2  g g df 
3


 O h
2  t f dt  t
 
k1  hg t, f t  
k2  hg t  n 21h, f t   n 21k1 
f t  h   f t   a1k1  a 2k2
10/18
Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego
Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego
k1  hg t, f t  
k2  hg t, f t   
k2  h  g t  n 21h, f t   n 21k1  

 
 



g
g
k2  h  g t, f t   
n 21h 
n 21hg t, f t    O h2 

t

f
t
t


 
g
g
n h2 
n h2 g t, f t    O h3
t t 21
f t 21
[email protected]
g
g
n 21h2 
n 21h2 g t, f t    O h3
t t
f t
 g g 
k2  hg t, f t    n 21h2 

g   O h3
 t f  t
k2  h  g t  n 21h, f t   n 21hg t, f t   


k2  hg t, f t   
11/18
 
12/18
f t  h   f t   a1k1  a 2k2
k1  hg t, f t  
f t  h   f t   a1hg t, f t    a 2hg t, f t   
 g g 
 a 2n 21h2 

g   O h3
 t f  t
 
13/18
2
MNF 2015/2016 sem. letni
26-02-2016
Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego
Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego
f t  h   f t   a1  a 2  hg t, f t   
f t  h   f t   a1k1  a 2k2
 g g 
 a 2n 21h2 

g   O h3
 t f  t
 
f t  h   f t   hg t, f t   
a1  a 2  1


1
 a 2n 21  2
h2  g g df 

 O h3
2  t f dt  t
n21
a1
 
a1  21

1
a 2  2
n  1
 21
 a1  0

 a2  1
n  1
 21 2
k2  hg t  n 21h, f t   n 21k1 
½
1
a2
a1  a 2  1


1
 a 2n 21  2
14/18
Metody Rungego-Kutty
k1  hg t, f t  
½
0
½
a1  21

1
a 2  2
n  1
 21
1
 a1  0

a2  1
n  1
 21 2
15/18
Metoda Rungego-Kutty rzędu czwartego
f t  h   f t   a1k1  a 2k2    a n kn
f t  h   f t  
1
 k  2k2  2k3  k4 
6 1
k1  hg t, f t  
k1  hg t, f t  
½
k2  hg t  n 21h, f t   n 21k1 
1
1 

k2  hg  t  h, f t   k1 
2
2 

1
1 

k3  hg  t  h, f t   k2 
2
2 

k4  hg t  h, f t   k3 
0
0
k3  hg t  n 31h  n 32 h, f t   n 31k1  n 32k2 

n 1
n 1


kn  hg  t  hn ni , f t   n ni ki 
i 1
i 1


16/18
½
0
1
1/6 1/3 1/3 1/6
17/18
Równania różniczkowe wyższych rzędów
Rzut ukośny
d 2x
0
dt 2
2
d y
 g
dt 2
dx
 vx
dt
dy
 vy
dt
dv x
0
dt
dv t
 g
dt
x  0   x0
y 0  y0
v x  0   v 0 cos a
v y  0   v 0 sin a
18/18
[email protected]
3