Algebra liniowa - Instytut Informatyki UG

Jerzy Topp
Algebra liniowa
Gdańsk 2012
Recenzent
Adam P. Wojda
Redaktor
Dorota Zgaińska
Projekt okładki
Gabriela Gic-Grusza
Publikacja dofinansowana z funduszu działalności statutowej
Wydziału Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytetu Gdańskiego,
Rektora Uniwersytetu Gdańskiego
i Rektora Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Elblągu
c Copyright by Uniwersytet Gdański
Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego
ISBN 978-83-7326-873-9
Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego
81-824 Sopot, ul. Armii Krajowej 119/121
tel./fax (58) 523 11 37, tel. 725 991 206
http://wyd.ug.gda.pl; e-mail: [email protected]
Spis treści
Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rozdział 1. Podstawowe struktury algebraiczne .
1.1. Działania i ich własności . . . . . . . . . . . . .
1.2. Grupa i jej podgrupy . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Pierścień i ciało . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Ćwiczenia podsumowujące . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
12
17
20
Rozdział 2. Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Liczby zespolone i działania na liczbach zespolonych
2.2. Sprzężenie liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Moduł liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Postać trygonometryczna liczby zespolonej . . . . . .
2.5. Pierwiastkowanie liczb zespolonych . . . . . . . . . .
2.6. Wzory Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Postać wykładnicza liczby zespolonej . . . . . . . . .
2.8. Ćwiczenia podsumowujące . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
26
27
29
35
40
43
44
Rozdział 3. Wielomiany . . . . . . . .
3.1. Pierścień wielomianów . . . . . .
3.2. Podzielność wielomianów . . . . .
3.3. Schemat Hornera . . . . . . . . .
3.4. Pierwiastki wielomianów . . . . .
3.5. Wielomiany względnie pierwsze .
3.6. Funkcje wymierne i ułamki proste
3.7. Ćwiczenia podsumowujące . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
46
49
52
54
62
64
71
Rozdział 4. Macierze . . . . . .
4.1. Podstawowe definicje . . .
4.2. Działania na macierzach .
4.3. Macierz odwrotna . . . . .
4.4. Ślad macierzy kwadratowej
4.5. Ćwiczenia podsumowujące
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
73
73
75
85
90
92
Rozdział 5. Układy równań liniowych . . . . . .
5.1. Podstawowe definicje i fakty . . . . . . . . . .
5.2. Równania macierzowe . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Kolejne własności macierzy odwracalnej . . .
5.4. Wyznaczanie macierzy odwrotnej . . . . . . .
5.5. Struktura rozwiązań układu równań liniowych
5.6. Ćwiczenia podsumowujące . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
94
94
109
112
114
116
118
Rozdział 6. Wyznaczniki . . . . . . . . . . . .
6.1. Definicja i pierwsze własności wyznacznika
6.2. Wyznacznik iloczynu macierzy . . . . . . .
6.3. Macierze odwracalne i nieosobliwe . . . . .
6.4. Wyznacznik macierzy podobnych . . . . .
6.5. Układy równań i wzory Cramera . . . . .
6.6. Ćwiczenia podsumowujące . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
121
121
134
136
139
139
143
Rozdział 7. Przestrzeń wektorowa . . . . . . . . . .
7.1. Przestrzeń wektorowa i jej podprzestrzenie . . . .
7.2. Kombinacje liniowe wektorów . . . . . . . . . . .
7.3. Przestrzeń kolumnowa macierzy . . . . . . . . . .
7.4. Liniowa zależność i liniowa niezależność wektorów
7.5. Baza przestrzeni wektorowej . . . . . . . . . . . .
7.6. Rząd macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7. Współrzędne wektora . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
146
146
153
157
161
167
176
179
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
7.8.
7.9.
Suma i suma prosta podprzestrzeni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Ćwiczenia podsumowujące . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Rozdział 8. Przekształcenie liniowe . . . . . . . . . .
8.1. Definicja przekształcenia liniowego . . . . . . . .
8.2. Jądro i obraz przekształcenia liniowego . . . . . .
8.3. Mono- i epimorficzność przekształcenia liniowego
8.4. Suma i złożenie przekształceń liniowych . . . . .
8.5. Macierz przekształcenia liniowego . . . . . . . . .
8.6. Odwracalność odwzorowania liniowego . . . . . .
8.7. Podobieństwo macierzy . . . . . . . . . . . . . . .
8.8. Ćwiczenia podsumowujące . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
194
194
200
205
208
209
217
221
225
wektorów
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
227
227
233
234
238
240
242
245
248
249
251
253
256
Rozdział 10. Wartości własne i wektory własne . . . . .
10.1. Wartości własne i wektory własne macierzy i operatora
10.2. Diagonalizowalność macierzy i operatora liniowego . . .
10.3. Diagonalizacja macierzy symetrycznej . . . . . . . . . .
10.4. Potęga macierzy diagonalizowalnej . . . . . . . . . . .
10.5. Granica ciągu macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6. Podprzestrzenie niezmiennicze . . . . . . . . . . . . . .
10.7. Twierdzenie Cayleya-Hamiltona . . . . . . . . . . . . .
10.8. Zależności rekurencyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9. Ćwiczenia podsumowujące . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
259
259
265
273
278
279
282
285
289
292
Rozdział 11. Formy kwadratowe . . . . . . .
11.1. Rzeczywista forma kwadratowa . . . . . .
11.2. Postać kanoniczna formy kwadratowej . .
11.3. Określoność macierzy i formy kwadratowej
11.4. Ćwiczenia podsumowujące . . . . . . . . .
Rozdział 9. Iloczyn skalarny i ortogonalność
9.1. Definicja i przykłady iloczynów skalarnych
9.2. Kąt pomiędzy wektorami . . . . . . . . . .
9.3. Ortogonalność wektorów . . . . . . . . . .
9.4. Ortogonalizacja bazy . . . . . . . . . . . .
9.5. Dopełnienie ortogonalne . . . . . . . . . .
9.6. Rzut ortogonalny . . . . . . . . . . . . . .
9.7. Macierz rzutu ortogonalnego . . . . . . . .
9.8. Metoda najmniejszych kwadratów . . . . .
9.9. Najlepsze rozwiązanie układu równań . . .
9.10. Dopasowanie prostej . . . . . . . . . . . .
9.11. Macierz i przekształcenie ortogonalne . . .
9.12. Ćwiczenia podsumowujące . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
295
295
297
304
310
Rozdział 12. Elementy geometrii analitycznej
12.1. Iloczyn wektorowy wektorów . . . . . . . . .
12.2. Iloczyn mieszany wektorów . . . . . . . . . .
12.3. Prosta i płaszczyzna . . . . . . . . . . . . .
12.4. Ćwiczenia podsumowujące . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
312
312
315
317
332
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
Indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Przedmowa
Niniejszy podręcznik jest drugą wersją zbioru notatek do wykładów i ćwiczeń
z algebry liniowej, jakie prowadziłem dla studentów informatyki na Uniwersytecie Gdańskim, Politechnice Gdańskiej i w Państwowej Wyższej Szkole Zawodowej
w Elblągu.
Treść podręcznika obejmuje następujące tematy: podstawowe struktury algebraiczne, liczby zespolone, wielomiany, macierze, układy równań liniowych, wyznaczniki, przestrzeń wektorową, przekształcenia liniowe, iloczyn skalarny i ortogonalność wektorów, wartości własne i wektory własne, formy kwadratowe i elementy geometrii analitycznej. Ze względów praktycznych niektóre z rozdziałów
są rozbudowane, m.in. zawierający przestrzenie wektorowe z iloczynem skalarnym oraz poświęcony wartościom własnym i wektorom własnym. Na wykładach
pewne części tych rozdziałów pozostawiam studentom do samodzielnej lektury.
Teorię przedstawiłem w sposób ścisły, dowodząc prawie wszystkie twierdzenia. Język i notacja dobrane są w taki sposób, aby całość była bardzo czytelna.
Do zrozumienia przedstawionego materiału wystarczą standardowe wiadomości
i umiejętności matematyczne na poziomie szkoły średniej. Podręcznik zawiera
ponad trzysta rozwiązanych przykładów. Ilustrują one ważniejsze pojęcia, twierdzenia i metody algebry liniowej. Tam gdzie było to możliwe, pojęcia i zależności pomiędzy rozważanymi pojęciami są zilustrowane rysunkami. Ma to ułatwić
czytanie i zrozumienie przedstawionego tekstu. Każdy rozdział zawiera też dużą
liczbę stosunkowo prostych ćwiczeń, których rozwiązanie powinno doprowadzić
studenta do pełniejszego zrozumienia wcześniejszych definicji i twierdzeń oraz
do osiągnięcia niezbędnej biegłości myślowej i rachunkowej.
Studentowi pozostawiam wybór sposobu korzystania z tego podręcznika.
Warto jedynie przypomnieć, że nauka języka algebry liniowej (tak jak i nauka
każdego języka obcego) wymaga umiejętności słuchania, mówienia, czytania i pisania. Pełne opanowanie przedstawionego materiału wymaga starannego nauczenia się definicji, poznania dokładnych sformułowań twierdzeń i zrozumienia ich
dowodów oraz wyćwiczenia w sobie umiejętności rozwiązywania zadań. Zainteresowanych rozszerzeniem wiedzy algebraicznej odsyłam do cytowanej literatury.
W załączonym spisie umieściłem tylko te pozycje, które miały wpływ na kształt
i zawartość tego opracowania.
Podręcznik adresowany jest do studentów pierwszego roku studiów informatycznych, ale ufam, że sprawnie i z powodzeniem będzie można go wykorzystać
do prowadzenia wykładów i ćwiczeń z algebry liniowej na innych kierunkach
studiów.
Wszelkie uwagi o tym podręczniku i informacje o zauważonych usterkach
można kierować na adres [email protected]. Pełna informacja o poprawionych fragmentach dostępna będzie pod adresem inf.ug.edu.pl/~jtopp. Tam
też znajdą się wskazówki i/lub odpowiedzi do przedstawionych ćwiczeń.
Na koniec mam przyjemność napisać, że praca nad tym podręcznikiem nie
byłaby możliwa bez wsparcia mojej rodziny, której tę książkę poświęcam.
Gdynia, sierpień 2011
Jerzy Topp
Rozdział 1
Podstawowe struktury algebraiczne
1.1. Działania i ich własności
Definicja 1.1.1. Działaniem dwuargumentowym (krótko, działaniem) w niepustym zbiorze X nazywamy każdą funkcję
Działanie w zbiorze X
f : X × X → X.
Działanie f przyporządkowuje każdej uporządkowanej parze (x, y) elementów
zbioru X jednoznacznie wyznaczony element f (x, y) zbioru X, nazywany wynikiem działania f na uporządkowanej parze (x, y) elementów zbioru X. Zwykle
zamiast f (x, y) pisze się xf y, x ∗ y, x • y, x + y (lub używa się jeszcze innych
symboli na oznaczenie działania f i jego wyniku f (x, y)).
Wynik działania
Przykład 1.1.1. Działaniem w zbiorze liczb rzeczywistych R jest funkcja ⋆ : R ×
R → R określona za pomocą zwykłego dodawania, zwykłego odejmowania i zwykłego
mnożenia liczb rzeczywistych i taka, że
x ⋆ y = x + y − 2xy
(1.1)
dla każdej pary (x, y) ∈ R × R.
Definicja 1.1.2. Mówimy, że działanie ∗ w zbiorze X jest przemienne, gdy
x∗y =y∗x
Przemienność działania
dla dowolnych dwóch elementów x i y zbioru X. Jeśli natomiast dla dowolnych
trzech elementów x, y, z ∈ X jest
x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z,
to mówimy, że działanie ∗ jest łączne w zbiorze X.
Przykład 1.1.2. Zwykłe dodawanie liczb rzeczywistych jest działaniem przemiennym
i łącznym. Podobnie, zwykłe mnożenie liczb rzeczywistych jest przemienne i łączne. Natomiast odejmowanie liczb rzeczywistych nie jest ani przemienne, ani łączne. Z przemienności zwykłego dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych wynika, że działanie
⋆ : R×R → R określone wzorem (1.1) jest przemienne, bo dla dowolnych liczb x, y ∈ R
mamy
x ⋆ y = x + y − 2xy = y + x − 2yx = y ⋆ x.
Działanie ⋆ jest także łączne, bo dla dowolnych trzech liczb x, y, z ∈ R mamy
x ⋆ (y ⋆ z) =
=
=
=
=
=
x ⋆ (y + z − 2yz)
x + (y + z − 2yz) − 2x(y + z − 2yz)
x + y + z − 2yz − 2xy − 2xz + 4xyz
(x + y − 2xy) + z − 2(x + y − 2xy)z
(x + y − 2xy) ⋆ z
(x ⋆ y) ⋆ z.
Łączność działania
10
Element neutralny
1. Podstawowe struktury algebraiczne
Definicja 1.1.3. Niech ∗ będzie działaniem w zbiorze X. Element e należący do
zbioru X nazywamy elementem neutralnym działania ∗, gdy dla każdego x ∈ X
jest
e ∗ x = x ∗ e = x.
Przykład 1.1.3. Liczba 1 jest elementem neutralnym zwykłego mnożenia liczb rzeczywistych, bo x · 1 = 1 · x = x. Liczba 0 jest elementem neutralnym zwykłego dodawania
liczb rzeczywistych, bo x + 0 = 0 + x = x.
Niech teraz ◦ będzie działaniem w zbiorze liczb rzeczywistych R, gdzie
x◦y =x+y+3
(1.2)
dla dowolnych liczb x, y ∈ R. Liczba −3 jest elementem neutralnym działania ◦, bo dla
każdej liczby x ∈ R mamy
x ◦ (−3) = x + (−3) + 3 = x
i
(−3) ◦ x = (−3) + x + 3 = x.
Twierdzenie 1.1.1. Dla dowolnego działania ∗ w zbiorze X istnieje co najwyżej
jeden element neutralny działania ∗.
Dowód. Niech e i e′ będą elementami neutralnymi działania ∗. Z definicji 1.1.3 mamy
wtedy
e ∗ e′ = e′ i e ∗ e′ = e.
Stąd otrzymujemy równość e′ = e i to dowodzi, że istnieje co najwyżej jeden element
neutralny działania ∗. Definicja 1.1.4. Niech e będzie elementem neutralnym działania ∗ w zbiorze
X. Mówimy, że element x zbioru X jest odwracalny (względem działania ∗), gdy
istnieje element y ∈ X, taki że
Odwracalność elementu
Element odwrotny
Element przeciwny
x ∗ y = y ∗ x = e.
(1.3)
Element y o powyższych własnościach nazywamy elementem odwrotnym (albo
przeciwnym) do elementu x (względem działania ∗) i zwykle oznaczamy go przez
x−1 (albo przez −x). Z równości (1.3), czyli z równości x ∗ x−1 = x−1 ∗ x = e,
wynika, że element odwrotny x−1 także jest odwracalny. Dla niego dodatkowo
mamy
(x−1 )−1 = x (oraz − (−x) = x).
(1.4)
Twierdzenie 1.1.2. Niech e będzie elementem neutralnym działania ∗ w zbiorze
X. Jeśli działanie ∗ jest łączne, to dowolny element x zbioru X ma co najwyżej
jeden element odwrotny.
Dowód. Niech y i y ′ będą elementami odwrotnymi do elementu x względem działania
∗. Ponieważ y ∗ x = e = x ∗ y ′ , więc
y = y ∗ e = y ∗ (x ∗ y ′ ) = (y ∗ x) ∗ y ′ = e ∗ y ′ = y ′
i to dowodzi, że x ma co najwyżej jeden element odwrotny. Przykład 1.1.4. Elementem odwrotnym do elementu x ∈ R−{0} względem zwykłego
mnożenia liczb rzeczywistych jest liczba 1/x.
Niech teraz x0 będzie ustaloną liczbą rzeczywistą i niech ◦ będzie takim działaniem
w zbiorze R, że dla dowolnych x, y ∈ R jest
x ◦ y = x + y − x0 .
Łatwo wtedy zauważyć, że liczba x0 jest elementem neutralnym działania ◦ (zob. (1.2)
dla x0 = −3). Każdy element x ∈ R jest odwracalny (względem działania ◦) i elementem odwrotnym do x jest −x+2x0 , bo mamy x◦(−x+2x0 ) = x+(−x+2x0 )−x0 = x0
i podobnie (−x + 2x0 ) ◦ x = x0 .
1.1. Działania i ich własności
11
Definicja 1.1.5. Niech ∗ i ◦ będą działaniami w zbiorze X. Mówimy, że działanie ◦ jest lewostronnie rozdzielne względem działania ∗, gdy
x ◦ (y ∗ z) = (x ◦ y) ∗ (x ◦ z)
(1.5)
dla dowolnych elementów x, y i z ze zbioru X. O działaniu ◦ mówimy, że jest
ono prawostronnie rozdzielne względem działania ∗, gdy
(y ∗ z) ◦ x = (y ◦ x) ∗ (z ◦ x)
(1.6)
dla dowolnych x, y, z ∈ X. Mówimy, że działanie ◦ jest rozdzielne względem
działania ∗, gdy jest ono jednocześnie lewo- i prawostronnie rozdzielne względem
działania ∗. Z (1.5) i (1.6) wynika, że jeśli działanie ◦ jest przemienne, to jest
ono rozdzielne względem działania ∗, pod warunkiem że jest ono lewostronnie
(lub prawostronnie) rozdzielne względem działania ∗.
Przykład 1.1.5. W zbiorze R dane są działania ∗ i ◦, takie że
x∗y = x+y+2
i
x◦y =
x+y
.
2
Zbadać: (a) rozdzielność działania ∗ względem działania ◦; (b) rozdzielność działania
◦ względem działania ∗.
Ponieważ każde z działań ∗ i ◦ jest przemienne, wystarczy zbadać ich lewostronne
rozdzielności.
(a) Dla dowolnych trzech liczb x, y, z ∈ R mamy
x ∗ (y ◦ z) = x ∗
oraz
y
z
+
2
2
=x+
y
z
+ +2
2
2
(x ∗ y) ◦ (x ∗ z) = (x + y + 2) ◦ (x + z + 2) = x +
y
z
+ + 2.
2
2
Stąd wynika rozdzielność działania ∗ względem działania ◦.
(b) Dla dowolnych trzech liczb x, y, z ∈ R mamy
x ◦ (y ∗ z) = x ◦ (y + z + 2) =
ale
x
y
z
+ + + 1,
2
2
2
x
y
x
z
y
z
+
∗
+
= x + + + 2.
2
2
2
2
2
2
Stąd wynika, że działanie ◦ nie jest rozdzielne względem działania ∗.
(x ◦ y) ∗ (x ◦ z) =
Definicja 1.1.6. Niech ∗ będzie działaniem dwuargumentowym w zbiorze X
i niech Y będzie niepustym podzbiorem zbioru X. Mówimy, że zbiór Y jest
zamknięty ze względu na działanie ∗, gdy
x∗y ∈Y
dla dowolnych elementów x i y ze zbioru Y .
Przykład 1.1.6. Niech ∗ będzie działaniem dwuargumentowym na zbiorze R, gdzie
x ∗ y = |x| − y
dla
(x, y) ∈ R × R.
Zbiór liczb naturalnych N ⊆ R nie jest zamknięty ze względu na działanie ∗, bo,
przykładowo, x = 4 ∈ N i y = 5 ∈ N , ale jednocześnie
x ∗ y = 4 ∗ 5 = |4| − 5 = −1 6∈ N.
Lewostronna rozdzielność
Prawostronna rozdzielność
12
1. Podstawowe struktury algebraiczne
Ćwiczenie 1.1.1. W zbiorze liczb całkowitych Z dane
jest działanie ∗, gdzie x ∗ y = x + |y| dla x, y ∈ Z.
(a) Zbadać przemienność i łączność działania ∗. (b) Czy
w zbiorze Z istnieje element neutralny działania ∗?
Ćwiczenie 1.1.2. W zbiorze liczb rzeczywistych R
określone jest zwykłe dodawanie + i zwykłe mnożenie
· liczb rzeczywistych oraz działanie ∗, gdzie a ∗ b =
a+b−a·b. Sprawdzić, czy działanie ∗ jest: (a) łączne; (b)
rozdzielne względem dodawania +; (c) rozdzielne względem mnożenia ·.
Ćwiczenie 1.1.3. W zbiorze R × R dane jest działanie
∗, takie że
(x1 , y1 ) ∗ (x2 , y2 ) = (x1 x2 , y1 + y2 ).
(a) Wskazać element neutralny działania ∗. (b) Które
elementy (x, y) zbioru R × R są odwracalne ze względu
na działanie ∗? (c) Czy działanie ∗ jest łączne?
Ćwiczenie 1.1.4. Zbadać przemienność, łączność i istnienie elementu neutralnego dla działania ∗, gdy:
1. x ∗ y = x − y w zbiorze R;
2. x ∗ y = |x − y| w zbiorze R;
3. x ∗ y = xy + 1 w zbiorze R;
4. x ∗ y = max{x, y} w zbiorze R;
5. x ∗ y = xy w zbiorze R+ ;
6. x ∗ y = 2xy w zbiorze R+ .
1.2. Grupa i jej podgrupy
Grupa
Definicja 1.2.1. Niech ◦ będzie działaniem w niepustym zbiorze G. Parę (G, ◦),
czyli system algebraiczny (G, ◦), nazywamy grupą, gdy działanie ◦ ma następujące trzy własności:
(a) działanie ◦ jest łączne w zbiorze G, czyli dla dowolnych elementów x, y i z
ze zbioru G jest
x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z;
(b) w zbiorze G istnieje element neutralny e działania ◦, czyli taki element, że
x◦e = e◦x= x
dla każdego x ze zbioru G;
(c) każdy element zbioru G jest odwracalny względem działania ◦, czyli dla
każdego x ∈ G istnieje element x−1 ∈ G, taki że
x ◦ x−1 = x−1 ◦ x = e.
Grupa przemienna
Jeśli (G, ◦) jest grupą i działanie ◦ jest przemienne w zbiorze G, to mówimy, że
grupa (G, ◦) jest przemienna lub abelowa.
W naszych rozważaniach grupę (G, ◦) i zbiór jej elementów G oznaczać będziemy
jednym i tym samym symbolem (zwykle literą G). Nie powinno to prowadzić do
nieporozumień. Analogicznie będziemy czynić w przypadku innych systemów
algebraicznych.
Przykład 1.2.1. Zbiór liczb rzeczywistych R ze zwykłym dodawaniem + tworzy grupę
przemienną (R, +). Także para (Z, +), gdzie Z jest zbiorem liczb całkowitych, jest
grupą przemienną. Struktura (Z, ·), gdzie · jest zwykłym mnożeniem, nie jest grupą
(bo prawie żaden element zbioru Z nie jest odwracalny ze względu na mnożenie ·).
Zbiór liczb wymiernych Q ze zwykłym mnożeniem, czyli para (Q, ·), także nie jest
grupą, bo liczba 0 nie jest elementem odwracalnym. Natomiast para (Q − {0}, ·) (jak
i para (R − {0}, ·)) jest już grupą i jest to grupa przemienna.
Przykład 1.2.2. Niech X będzie niepustym zbiorem i niech F = F(X) będzie zbiorem
wszystkich bijekcji na zbiorze X, czyli zbiorem wszystkich odwzorowań wzajemnie
jednoznacznych zbioru X na siebie. Jeśli f : X → X i g : X → X są bijekcjami, to ich
złożenie g ◦ f (będące funkcją g ◦ f : X → X określoną wzorem (g ◦ f )(x) = g(f (x)))
1.2. Grupa i jej podgrupy
13
też jest bijekcją. Składanie odwzorowań jest łączne: dla dowolnych trzech funkcji f , g
i h ze zbioru F mamy f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h, bo
f ◦ (g ◦ h) (x) = f (g ◦ h)(x) = f g(h(x))
= (f ◦ g) h(x) = (f ◦ g) ◦ h (x)
dla każdego x ∈ X. Odwzorowanie tożsamościowe IX zbioru X (czyli funkcja IX : X →
X, taka że IX (x) = x dla każdego x ∈ X) jest bijekcją na zbiorze X. Ponieważ dla
każdego f ∈ F i każdego x ∈ X jest
(f ◦ IX )(x) = f IX (x) = f (x)
i
(IX ◦ f )(x) = IX f (x) = f (x),
więc f ◦ IX = f = IX ◦ f i to dowodzi, że odwzorowanie tożsamościowe IX jest
elementem neutralnym złożenia ◦. Dla każdej bijekcji f ∈ F istnieje odwzorowanie
odwrotne f −1 : X → X (takie że f ◦ f −1 = IX = f −1 ◦ f ), które też jest bijekcją
na zbiorze X. Stąd wynika, że para (F, ◦) jest grupą. Jest to tzw. grupa symetryczna
zbioru X. Bez problemu można zauważyć, że grupa (F, ◦) jest nieprzemienna, gdy zbiór
X ma co najmniej trzy elementy (zob. ćw. 1.4.1).
Przedstawmy teraz kilka podstawowych własności działania w grupie. Własności
te pozwolą sprawniej operować elementami grupy.
Twierdzenie 1.2.1 (prawo skracania w grupie). W grupie (G, ◦) dla dowolnych
elementów a, b, c ∈ G mamy:
(a) jeśli a ◦ b = a ◦ c, to b = c;
(b) jeśli a ◦ b = c ◦ b, to a = c.
Dowód. Załóżmy, że a ◦ b = a ◦ c. Wtedy także a−1 ◦ (a ◦ b) = a−1 ◦ (a ◦ c). Jednocześnie z łączności działania ◦ oraz z własności elementu odwrotnego a−1 i elementu
neutralnego e mamy
a−1 ◦ (a ◦ b) = (a−1 ◦ a) ◦ b = e ◦ b = b
oraz
a−1 ◦ (a ◦ c) = (a−1 ◦ a) ◦ c = e ◦ c = c.
Stąd wynika implikacja (a). Analogicznie dowodzi się prawdziwości (b). Twierdzenie 1.2.2. W grupie (G, ◦) dla dowolnych elementów a, b ∈ G mamy
(a ◦ b)−1 = b−1 ◦ a−1 .
Dowód. Z łączności działania ◦ oraz z własności elementu odwrotnego i elementu
neutralnego mamy
(a ◦ b) ◦ (b−1 ◦ a−1 ) = a ◦ (b ◦ b−1 ) ◦ a−1 = a ◦ e ◦ a−1 = e
oraz
(b−1 ◦ a−1 ) ◦ (a ◦ b) = b−1 ◦ (a−1 ◦ a) ◦ b = b−1 ◦ e ◦ b = e.
Stąd i z definicji 1.1.4 wynika teza twierdzenia. Koniecznie należy zwrócić uwagę na kolejność elementów w poprzednim twierdzeniu. Ta kolejność jest istotna w każdej nieprzemiennej grupie.
Definicja 1.2.2. W grupie (G, ◦) definiujemy całkowitą potęgę elementu x ∈ G,
przyjmując, że
x0 = e
i xn+1 = xn ◦ x
oraz x−n = (xn )−1
dla każdej liczby naturalnej n. Analogicznie definiujemy całkowitą krotność elementu x grupy G z działaniem „dodawania” ⊕:
0x = 0 i (n + 1)x = nx ⊕ x oraz (−n)x = −(nx)
dla każdej liczby naturalnej n.
14
1. Podstawowe struktury algebraiczne
Korzystając z tej definicji oraz z twierdzenia 1.2.2, można dowieść prawdziwości
poniższego twierdzenia.
Twierdzenie 1.2.3. W grupie (G, ◦) dla każdego x ∈ G i dowolnych liczb całkowitych m i n mamy
xm ◦ xn = xm+n
oraz
n
(xm ) = xm·n .
Dodawanie i mnożenie modulo n
Niech n > 1 będzie liczbą naturalną. Jeśli x jest liczbą całkowitą, to przez [x]n
oznaczamy resztę z dzielenia x przez n. Dla liczb całkowitych x i y niech lx , ly ,
rx i ry będą liczbami całkowitymi, takimi że
x = nlx + rx ,
Wtedy
y = nly + ry
i 0 ¬ rx , ry < n.
[x + y]n = n(lx + ly ) + rx + ry n = [rx + ry ]n
oraz
i to dowodzi, że
x + [y]n
= [ nlx + rx + ry ]n = [rx + ry ]n
n
x + [y]n
n
= [x + y]n
(1.7)
dla dowolnych x, y ∈ Z. Analogicznie uzasadnia się, że dla dowolnych liczb
całkowitych x i y jest
x · [y]n n = [x · y]n .
(1.8)
W zbiorze
Zn = {0, 1, 2, . . . , n − 1},
który jest zbiorem wszystkich reszt z dzielenia liczb całkowitych przez liczbę n,
określamy dodawanie ⊕n i mnożenie ⊗n modulo n, przyjmując, że
x ⊕n y = [x + y]n
(1.9)
oraz
x ⊗n y = [x y]n
(1.10)
dla dowolnych liczb x i y ze zbioru Zn .
Przykład 1.2.3. Wyniki działań ⊕4 i ⊗4 w zbiorze Z4 przedstawiają następujące dwie
tabelki, w których x ⊕4 y (i x ⊗4 y) umieszczono na przecięciu wiersza oznaczonego
przez x i kolumny oznaczonej przez y:
0
0
1
2
3
⊕4
0
1
2
3
(Zn , ⊕n ) – grupa reszt
modulo n
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
i
⊗4
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
Twierdzenie 1.2.4. (Zn , ⊕n ) jest grupą przemienną.
Dowód. Wobec (1.7), dla dowolnych x, y, z ∈ Zn jest
x + [y + z]n
n
= [x + (y + z)]n
i
[(x + y) + z]n = [x + y]n + z
n
.
1.2. Grupa i jej podgrupy
15
Stąd już wynika, że działanie ⊕n jest łączne, bo faktycznie mamy
x ⊕n (y ⊕n z)
=
=
=
x ⊕n [y + z]n = x + [y + z]n
n
[x + (y + z)]n = [(x + y) + z]n
[x + y]n + z
n
= [x + y]n ⊕n z = (x ⊕n y) ⊕n z.
Elementem neutralnym działania ⊕n jest liczba 0, bo dla każdego x ∈ Zn mamy
x ⊕n 0 = [x + 0]n = [x]n = x.
Łatwo zaobserwować, że elementem przeciwnym do x ∈ Zn jest element −x, gdzie
−x =
0,
n − x,
gdy x = 0,
gdy x =
6 0.
W końcu, działanie ⊕n jest przemienne, bo dla dowolnych liczb x, y ∈ Zn mamy
x ⊕n y = [x + y]n = [y + x]n = y ⊕n x. Ponieważ dla każdego x ∈ Zn mamy 1 ⊗n x = [1 · x]n = [x]n = x, więc liczba
1 jest elementem neutralnym mnożenia ⊗n w zbiorze Zn . Zauważmy także, że
mnożenie ⊗n jest przemienne, bo
x ⊗n y = [x · y]n = [y · x]n = y ⊗n x
(1.11)
dla dowolnych x, y ∈ Zn . Korzystając z własności (1.8), można pokazać, że mnożenie ⊗n jest łączne w zbiorze Zn (zob. ćw. 1.2.3). Jednakże struktura (Zn , ⊗n )
nie jest grupą, bo w zbiorze Zn co najmniej 0 nie jest elementem odwracalnym
ze względu na działanie ⊗n . Pełną charakterystykę elementów zbioru Zn odwracalnych ze względu na działanie ⊗n przedstawiono w następnym twierdzeniu.
Definicja 1.2.3. Mówimy, że liczby całkowite a i b są względnie pierwsze, gdy
liczba 1 jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a i b. Można udowodnić,
że liczby całkowite a i b są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy
ax + by = 1
dla pewnych liczb całkowitych x i y.
Twierdzenie 1.2.5. Element x zbioru Zn jest odwracalny (ze względu na działanie ⊗n ) wtedy i tylko wtedy, gdy liczby x i n są względnie pierwsze.
Dowód. Na początek załóżmy, że y jest elementem odwrotnym dla x ∈ Zn względem
działania ⊗n . Wtedy x ⊗n y = [x · y]n = 1 i dlatego x y = nk + 1 dla pewnego k ∈ Z.
Stąd
xy + n(−k) = 1
i to dowodzi, że liczby x i n są względnie pierwsze.
Załóżmy teraz, że liczby x i n są względnie pierwsze. Niech a i b będą liczbami
całkowitymi, takimi że
xa + nb = 1.
(1.12)
Ponieważ [a]n = a − nk (dla pewnego k ∈ Z), więc, wobec (1.12), mamy
x ⊗n [a]n = [x · (a − nk)]n = [1 − nb − nkx]n = 1.
To dowodzi, że [a]n jest odwrotnością elementu x. Wniosek 1.2.1. Każdy niezerowy element x zbioru Zn jest odwracalny (ze
względu na działanie ⊗n ) wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą.
Wniosek 1.2.2. Struktura (Zn − {0}, ⊗n ) jest grupą wtedy i tylko wtedy, gdy n
jest liczbą pierwszą.
16
1. Podstawowe struktury algebraiczne
Definicja 1.2.4. Niech (G, ∗) będzie grupą i niech H będzie podzbiorem zbioru
G. Mówimy, że H jest podgrupą grupy G, jeśli para (H, ∗) jest grupą.
Podgrupa
Jeśli e jest elementem neutralnym grupy G, to zbiór H = {e} jest podgrupą
grupy G. Podobnie H = G jest podgrupą grupy G. Obie te podgrupy są tzw.
trywialnymi podgrupami grupy G. Każdą inną podgrupę grupy G (jeśli taka
istnieje) nazywamy jej podgrupą nietrywialną.
Z faktu, że (G, ∗) jest grupą wynika, że działanie ∗ jest łączne na każdym
podzbiorze H zbioru G zamkniętym ze względu na działanie ∗. Stąd zaś wynika,
że podzbiór H grupy G jest jej podgrupą, pod warunkiem że:
(a) H jest zamknięty ze względu na działanie ∗;
(b) H zawiera element neutralny;
(c) H zawiera odwrotność każdego swojego elementu.
Poniższe twierdzenie przedstawia prostszy warunek konieczny i dostateczny na
to, aby podzbiór H grupy G był jej podgrupą. (W ćw. 1.4.15 jest jeszcze inny
warunek konieczny i dostateczny na to, aby skończony podzbiór grupy był jej
podgrupą.)
Twierdzenie 1.2.6. Podzbiór H grupy G jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy,
gdy spełnione są następujące dwa warunki:
(a) H jest niepusty;
(b) a ∗ b−1 ∈ H dla dowolnych elementów a i b zbioru H.
Dowód. Załóżmy najpierw, że zbiór H jest podgrupą grupy G. Ponieważ element
neutralny należy do H, więc H 6= ∅. Niech a i b będą dowolnymi elementami zbioru
H. Wtedy także a, b−1 ∈ H (bo grupa H zawiera też odwrotność każdego swojego
elementu) i a ∗ b−1 ∈ H (bo zbiór H jest zamknięty ze względu na działanie ∗).
Załóżmy teraz, że H jest niepustym podzbiorem zbioru G i a ∗ b−1 ∈ H dla
dowolnych a, b ∈ H. Ponieważ H 6= ∅, więc istnieje co najmniej jeden element a
w zbiorze H i dlatego e = a ∗ a−1 ∈ H. Stąd zaś wynika, że dla każdego a ∈ H
mamy a−1 = e ∗ a−1 ∈ H i to dowodzi, że H zawiera odwrotności wszystkich swoich
elementów.
W końcu zauważmy, że jeżeli a i b są elementami zbioru H, to wobec powyższego
także a i b−1 są elementami zbioru H i wtedy też a ∗ b = a ∗ (b−1 )−1 ∈ H. Zatem
zbiór H jest zamknięty ze względu na działanie ∗ i to kończy dowód faktu, że H jest
podgrupą grupy G. ⊗7
1
2
4
1
1
2
4
2
2
4
1
4
4
1
2
Przykład 1.2.4. Wobec wniosku 1.2.2, zbiór Z7 − {0} = {1, 2, . . . , 6} jest grupą ze
względu na mnożenie ⊗7 . Z przedstawionej obok tabelki wynika zaś, że niepusty zbiór
H = {1, 2, 4}
jest podgrupą grupy (Z7 − {0}, ⊗7 ), bo zbiór H zawiera odwrotność każdego swojego
elementu (1−1 = 1, 2−1 = 4 i 4−1 = 2) i jest zamknięty ze względu na mnożenie ⊗7 .
Przykład 1.2.5. Zbiór liczb wymiernych Q jest grupą ze względu na zwykłe dodawanie. Jego nietrywialny podzbiór 2Z, czyli zbiór wszystkich parzystych liczb całkowitych,
jest nietrywialną podgrupą grupy Q, bo różnica dowolnych dwóch liczb parzystych jest
liczbą parzystą, tj. a − b ∈ 2Z dla dowolnych a, b ∈ 2Z.
Przykład 1.2.6. Jeśli a jest ustalonym elementem grupy G, to wobec twierdzeń 1.2.3
i 1.2.6 zbiór wszystkich całkowitych potęg elementu a, czyli zbiór
H = {an : n ∈ Z},
1.3. Pierścień i ciało
17
jest podgrupą grupy G. Podgrupa ta zwykle jest oznaczana symbolem hai i nazywana
podgrupą cykliczną grupy G generowaną przez element a. Samą grupę G nazywamy
grupą cykliczną, gdy G = hai dla pewnego a ∈ G. W takim przypadku mówimy też,
że element a jest generatorem grupy G.
Przykładowo, grupa liczb całkowitych Z jest grupą cykliczną ze względu na dodawanie i jej jedynymi generatorami są liczby 1 i −1, czyli Z = h1i oraz Z = h−1i.
W grupie Z7 − {0} z mnożeniem modulo 7 podgrupami cyklicznymi są: h1i = {1},
h2i = h4i = {1, 2, 4}, h3i = h5i = {1, . . . , 6} = Z7 − {0} i h6i = {1, 6}.
Ćwiczenie 1.2.1. Obliczyć następujące wielkości:
1. 10 ⊕12 11;
3. 5 ⊕6 5;
5. 7 ⊗10 8;
2. 8 ⊕11 10;
4. 13 ⊗14 11;
6. 15 ⊗13 15.
Ćwiczenie 1.2.2. Wyznaczyć wszystkie rozwiązania x
z każdego z następujących równań:
1. x ⊕14 8 = 3 w Z14 ;
4. 5 ⊗6 x = 3 w Z6 ;
2. 7 ⊕12 x = 2 w Z12 ;
3. x ⊕7 x = 4 w Z7 ;
5. 2 ⊗10 x = 3 w Z7 ;
6. 5 ⊗12 x = 1 w Z12 .
Ćwiczenie 1.2.3. Udowodnić, że dla dowolnych liczb
x, y, z ∈ Zn mamy
x ⊗n (y ⊗n z) = (x ⊗n y) ⊗n z.
Ćwiczenie 1.2.4. W zbiorze R+ = {x ∈ R : x > 0}
dane jest działanie ◦, gdzie dla dowolnych x, y ∈ R+
jest
x ◦ y = xln y .
(a) Czy działanie ◦ jest przemienne? (b) Czy para
(R+ , ◦) jest grupą?
Grupa cykliczna
Ćwiczenie 1.2.5. W zbiorze R × (R − {0}) określone
jest działanie ⊗, gdzie
(x, y) ⊗ (x′ , y ′ ) = (x + x′ y, yy ′ ).
(a) Czy działanie ⊗ jest przemienne? (b) Wykazać, że
(R × (R − {0}), ⊗) jest grupą. (c) Czy zbiór S = {(0, y) :
y ∈ R − {0}} z działaniem ⊗ jest podgrupą grupy (R ×
(R − {0}), ⊗)?
Ćwiczenie 1.2.6. Wykazać, że podzbiór H = {2, 4,
6, 8} zbioru Z10 jest grupą przemienną ze względu na
mnożenie modulo 10.
Ćwiczenie 1.2.7. Czy zbiór H = {1, 4, 7, 13} z mnożeniem modulo 15 tworzy grupę?
Ćwiczenie 1.2.8. (a) W grupie Z96 z dodawaniem modulo 96 wskazać podgrupę mającą cztery elementy. (b)
Czy grupa (Z96 , ⊕96 ) ma podgrupę trzyelementową?
Ćwiczenie 1.2.9. Pokazać, że zbiór G = {1, 3, 5, 9,
11, 13} z mnożeniem modulo 14 jest grupą cykliczną.
1.3. Pierścień i ciało
Definicja 1.3.1. Niech + i ◦ będą działaniami w niepustym zbiorze P ; działania te będziemy nazywać, odpowiednio, dodawaniem i mnożeniem w zbiorze
P . Mówimy, że system algebraiczny (P, +, ◦) (albo, krócej, że zbiór P ) jest pierścieniem, gdy:
Pierścień
(a) P jest grupą przemienną ze względu na dodawanie +;
(b) mnożenie ◦ jest łączne w zbiorze P ;
(c) mnożenie ◦ jest lewo- i prawostronnie rozdzielne względem dodawania, czyli
dla dowolnych elementów x, y, z ∈ P mamy
x ◦ (y + z) = x ◦ y + x ◦ z
i (x + y) ◦ z = x ◦ z + y ◦ z.
O pierścieniu P mówimy, że jest pierścieniem przemiennym, gdy
(d)
x◦y =y◦x
Pierścień przemienny
dla dowolnych elementów x i y ze zbioru P .
Z warunku (a) powyższej definicji oraz z definicji grupy (def. 1.2.1) i z twierdzenia
1.1.1 wynika, że pierścień P ma dokładnie jeden element neutralny ze względu
na działanie dodawania. Element ten zwykle oznaczamy symbolem 0 i nazywamy
zerem pierścienia P . Z podobnych powodów dla każdego x ∈ P istnieje dokładnie
jeden element x̃ ∈ P , taki że x + x̃ = 0. Element ten oznaczamy przez −x
i nazywamy elementem przeciwnym do x. Proste własności zera i elementów
przeciwnych przedstawiono w następnym twierdzeniu.
0 – zero pierścienia
−x – element przeciwny
do x w pierścieniu
18
1. Podstawowe struktury algebraiczne
Twierdzenie 1.3.1. Dla dowolnych elementów x i y pierścienia P mamy:
(a) −(−x) = x;
(b) −(x + y) = (−x) + (−y);
(c) x ◦ 0 = 0 ◦ x = 0;
(d) (−x) ◦ y = −(x ◦ y) = x ◦ (−y);
(e) (−x) ◦ (−y) = x ◦ y.
Dowód. Własność (a) jest natychmiastową konsekwencją definicji elementu przeciwnego (zob. def. 1.1.4). Z kolei (b) jest treścią twierdzenia 1.2.2 dla elementów grupy
przemiennej (P, +). Dla dowodu (c) zauważmy, że 0+x◦0 = x◦0 = x◦(0+0) = x◦0+x◦0
i stąd, wobec twierdzenia 1.2.1 (w grupie (P, +)), mamy x ◦ 0 = 0. Podobnie pokazuje się, że 0 ◦ x = 0. Z rozdzielności mnożenia względem dodawania i z (c) mamy
(−x) ◦ y + x ◦ y = ((−x) + x) ◦ y = 0 ◦ y = 0 i, podobnie, x ◦ y + (−x) ◦ y = 0. Stąd zaś
wynika, że (−x) ◦ y = −(x ◦ y). Analogicznie dowodzi się, że x ◦ (−y) = −(x ◦ y) i to
kończy dowód własności (d). W końcu własność (e) wynika z (d) i (a), bo (−x)◦(−y) =
−(x ◦ (−y)) = −(−(x ◦ y)) = x ◦ y. Przykład 1.3.1. Każdy ze zbiorów Z, 2Z, Q i R jest pierścieniem przemiennym ze
zwykłym dodawaniem i zwykłym mnożeniem liczb.
Jedynka pierścienia
Definicja 1.3.2. Jedynką pierścienia P nazywamy element e ∈ P , taki że dla
każdego x ∈ P jest
x ◦ e = e ◦ x = x.
Z twierdzenia 1.1.1 wynika, że każdy pierścień ma co najwyżej jedną jedynkę.
Jedynkę pierścienia zwykle oznacza się symbolem 1. Każdy z pierścieni Z, Q i R
z poprzedniego przykładu jest pierścieniem z jedynką. Jednakże pierścień 2Z jest
pierścieniem bez jedynki.
Dzielnik zera
Definicja 1.3.3. Element x pierścienia P nazywamy dzielnikiem zera, jeśli
x 6= 0 i istnieje element y ∈ P − {0}, taki że
x ◦ y = 0 lub
y ◦ x = 0.
Przykład 1.3.2. Żaden z pierścieni Z, 2Z, Q i R z przykładu 1.3.1 nie ma dzielników
zera.
Przykład 1.3.3. Wiemy już (zob. tw. 1.2.4), że zbiór Zn (n > 1) jest grupą przemienną ze względu na dodawanie modulo n. Bezpośrednio po dowodzie twierdzenia
1.2.4 wspomniano także, że mnożenie modulo n jest łączne i przemienne w zbiorze Zn .
Mnożenie to jest także lewostronnie rozdzielne względem dodawania modulo n, bo dla
dowolnych x, y, z ∈ Zn mamy
x ⊗n (y ⊕n z) = x ⊗n [y + z]n = x · [y + z]n
= [x · (y + z)]n
= [(x · y) + (x · z)]n
n
(z definicji działań ⊕n i ⊗n )
(z własności (1.8))
(z rozdzielności zwykłego mnożenia liczb
całkowitych względem zwykłego dodawania liczb całkowitych)
= [x · y]n ⊕n [x · z]n
= (x ⊗n y) ⊕n (x ⊗n z).
(z definicji działania ⊕n )
(z definicji działania ⊗n )
Stąd i z przemienności mnożenia ⊗n wynika także prawostronna rozdzielność mnożenia ⊗n względem dodawania ⊕n . Ze wszystkich tych obserwacji wynika, że system
(Zn , ⊕n , ⊗n ) jest pierścieniem przemiennym. Jest oczywiste, że liczba 1 jest jedynką
tego pierścienia.
1.3. Pierścień i ciało
19
Definicja 1.3.4. Niech P będzie pierścieniem z jedynką. Element x ∈ P nazywamy odwracalnym w pierścieniu P , gdy istnieje element x′ ∈ P (zwany elementem odwrotnym elementu x), taki że
Element odwracalny
Element odwrotny
x ◦ x′ = x′ ◦ x = 1.
Z twierdzenia 1.1.2 wynika, że dla każdego elementu x pierścienia istnieje co
najwyżej jeden element odwrotny do elementu x. Element ten zwykle oznaczamy
przez x−1 .
Definicja 1.3.5. Niech K będzie pierścieniem przemiennym z jedynką. Mówimy,
że K jest ciałem, gdy każdy niezerowy element x pierścienia K jest odwracalny.
Równoważnie, system algebraiczny (K, ⊕, ⊗), w którym K jest zbiorem mającym co najmniej dwa elementy, a ⊕ i ⊗ są działaniami w zbiorze K (zwanymi,
odpowiednio, dodawaniem i mnożeniem), nazywamy ciałem, gdy:
1. (K, ⊕) jest grupą przemienną:
(przemienność dodawania)
(a) ∀x, y∈K x ⊕ y = y ⊕ x;
(b) ∀x, y, z∈K x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z;
(c) ∃0∈K ∀x∈K x ⊕ 0 = x;
(łączność dodawania)
(element neutralny dodawania)
(element przeciwny względem dodawania)
(d) ∀x∈K ∃−x∈K x ⊕ (−x) = 0;
2. (K − {0}, ⊗) jest grupą przemienną:
(przemienność mnożenia)
(e) ∀x, y∈K−{0} x ⊗ y = y ⊗ x;
(f) ∀x, y, z∈K−{0} x ⊗ (y ⊗ z) = (x ⊗ y) ⊗ z;
(g) ∃1∈K−{0} ∀x∈K−{0} x ⊗ 1 = x;
−1
(h) ∀x∈K−{0} ∃x−1 ∈K−{0} x ⊗ x
(łączność mnożenia)
(element neutralny mnożenia)
= 1; (element odwrotny względem mnożenia)
3. mnożenie ⊗ jest rozdzielne względem dodawania ⊕:
(i) ∀x, y, z∈K x ⊗ (y ⊕ z) = (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z).
Przykład 1.3.4. Działania zwykłego dodawania i zwykłego mnożenia liczb rzeczywistych mają własności (a)—(i) powyższej definicji, więc zbiór liczb rzeczywistych R
ze zwykłym dodawaniem i zwykłym mnożeniem liczb rzeczywistych jest ciałem. Podobnie, zbiór liczb wymiernych Q (ze zwykłym dodawaniem i zwykłym mnożeniem
liczb wymiernych) jest ciałem. Zbiór liczb całkowitych Z (ze zwykłym dodawaniem
i zwykłym mnożeniem liczb całkowitych) jest pierścieniem przemiennym z jedynką, ale
nie jest on ciałem, bo niektóre jego niezerowe elementy nie są odwracalne (jedynymi
odwracalnymi elementami pierścienia Z są 1 i −1).
Przykład 1.3.5. Z faktu, że (Zn , ⊕n , ⊗n ) jest pierścieniem przemiennym z jedynką
(zob. prz. 1.3.3), wynika, że system ten jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy każdy
element zbioru Zn − {0} jest odwracalny. Wobec wniosku 1.2.2, tak jest wtedy i tylko
wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą. Zatem zbiór Zn (z dodawaniem i mnożeniem modulo
n) jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą.
Inne ważne przykłady grup, pierścieni i ciał przedstawiono w kolejnych rozdziałach.
Ciało
20
Ćwiczenie 1.3.1. Udowodnić, że jeśli x jest dzielnikiem
zera w pierścieniu przemiennym P i y ∈ P , to xy = 0
lub xy jest dzielnikiem zera.
Ćwiczenie 1.3.2. Udowodnić, że jeśli niezerowy element x pierścienia P nie jest dzielnikiem zera i dla elementów y, z ∈ P mamy xy = xz, to y = z.
Ćwiczenie 1.3.3. Działania ⊕ i ⊗ w zbiorze liczb rzeczywistych R są określone za pomocą zwykłego dodawania i zwykłego mnożenia liczb rzeczywistych i dla
dowolnych x, y ∈ R mamy x ⊕ y = x + y + 1 oraz
x ⊗ y = xy + x + y. Wykazać, że system (R, ⊕, ⊗) jest
ciałem.
1. Podstawowe struktury algebraiczne
Ćwiczenie 1.3.4. Udowodnić, że ciało nie ma dzielników zera.
Ćwiczenie 1.3.5. Niech P będzie skończonym i przemiennym pierścieniem z jedynką. Udowodnić, że albo P
ma dzielnik zera, albo P jest ciałem.
Ćwiczenie 1.3.6. W zbiorze L wszystkich nieskończonych ciągów rzeczywistych określamy dodawanie ⊕ oraz
mnożenie ⊗ w następujący sposób:
(x1 , x2 , . . .) ⊕ (x1 , y2 , . . .)
(x1 , x2 , . . .) ⊗ (x1 , y2 , . . .)
=
(x1 + y1 , x2 + y2 , . . .),
=
(x1 y1 , x2 y2 , . . .).
Wykazać, że (L, ⊕, ⊗) jest pierścieniem i nie jest ciałem.
1.4. Ćwiczenia podsumowujące
Ćwiczenie 1.4.1. Niech X będzie zbiorem mającym co
najmniej trzy elementy. Wskazać dwa wzajemnie jednoznaczne odwzorowania f i g zbioru X na siebie, takie że
f ◦ g 6= g ◦ f .
Ćwiczenie 1.4.2. Ile elementów ma podgrupa H =
{4n : n ∈ Z} grupy Z13 − {0} z mnożeniem modulo 13?
Ćwiczenie 1.4.3. Niech a będzie ustalonym elementem
grupy G. Pokazać, że zbiór H = {x ∈ G : ax = xa} jest
podgrupą grupy G.
Ćwiczenie 1.4.4. Niech G będzie grupą. Udowodnić,
że zbiór H = {x ∈ G : xg = gx dla każdego g ∈ G},
zwany centrum grupy G, jest podgrupą grupy G.
Ćwiczenie 1.4.5. Niech H będzie podgrupą grupy G
i niech a będzie ustalonym elementem grupy G. Udowodnić, że zbiór F = {aha−1 : h ∈ H} jest podgrupą
grupy G.
Ćwiczenie 1.4.6. Niech G będzie grupą przemienną.
Udowodnić, że zbiór H = {x ∈ G : x−1 = x} jest podgrupą grupy G.
Ćwiczenie 1.4.7. Wykazać, że jeśli a1 , . . . , an są ele−1
mentami grupy, to (a1 · . . . · an )−1 = a−1
n · . . . · a1 .
Ćwiczenie 1.4.8. Wykazać, że grupa G jest abelowa
wtedy i tylko wtedy, gdy (ab)2 = a2 b2 dla dowolnych
elementów a i b z grupy G.
Ćwiczenie 1.4.9. Wykazać, że jeśli G jest grupą,
w której a2 = e dla każdego a ∈ G, to G jest grupą
abelową.
Ćwiczenie 1.4.10. Wykazać, że jeśli a i b są elementami grupy i jeśli n jest liczbą naturalną, to (a−1 ba)n =
a−1 bn a.
Ćwiczenie 1.4.11. Udowodnić, że jeśli H1 i H2 są podgrupami grupy G, to także ich część wspólna H1 ∩ H2
jest podgrupą grupy G.
Ćwiczenie 1.4.12. Udowodnić, że każda podgrupa
grupy cyklicznej jest cykliczna.
Ćwiczenie 1.4.13. Rzędem elementu x w skończonej
grupie nazywamy najmniejszą liczbę naturalną k, dla
której xk = e. Udowodnić, że w skończonej grupie rząd
elementu x jest identyczny z rzędem elementu odwrotnego x−1 .
Ćwiczenie 1.4.14. Udowodnić, że dla dowolnych elementów a i b grupy G (z działaniem ◦) równania a◦x = b
i y ◦ a = b mają jednoznaczne rozwiązania w grupie G, czyli istnieją jednoznacznie wyznaczone elementy
x, y ∈ G, takie że a ◦ x = b i y ◦ a = b.
Ćwiczenie 1.4.15. Udowodnić, że skończony i niepusty
podzbiór H grupy G jest jej podgrupą wtedy i tylko
wtedy, gdy ab ∈ H dla dowolnych dwóch elementów a
i b ze zbioru H.
Ćwiczenie 1.4.16. Niech ◦ będzie działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze G. Udowodnić, że
(G, ◦) jest grupą wtedy i tylko wtedy, gdy jednocześnie
spełnione są warunki: (a) a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c dla
każdych a, b, c ∈ G; (b) równania a ◦ x = b i y ◦ a = b
mają rozwiązania w zbiorze G dla dowolnych a, b ∈ G.
Ćwiczenie 1.4.17. Pokazać, że jeśli ◦ jest działaniem
łącznym w skończonym zbiorze G, to para (G, ◦) jest
grupą wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych trzech
elementów a, b, c ze zbioru G spełnione są warunki: (a)
jeśli a ◦ b = a ◦ c, to b = c; (b) jeśli a ◦ b = c ◦ b, to a = c.
Rozdział 2
Liczby zespolone
2.1. Liczby zespolone i działania na liczbach zespolonych
Niech C będzie zbiorem wszystkich uporządkowanych par (a, b) liczb rzeczywistych a i b,
C = {(a, b) : a, b ∈ R}.
Za pomocą równości, zwykłego dodawania (i odejmowania) oraz zwykłego mnożenia liczb rzeczywistych definiujemy równość, dodawanie ⊕ oraz mnożenie ⊗
w zbiorze C. Jeśli pary (a, b) i (c, d) są elementami zbioru C, to przyjmujemy, że
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c i b = d,
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) ⊗ (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
(2.1)
Równość liczb zespolonych
(2.2)
Suma liczb zespolonych
(2.3)
Iloczyn liczb zespolonych
Definicja 2.1.1. Elementy zbioru C (z równością (2.1) oraz działaniami dodawania i mnożenia określonymi wzorami (2.2) i (2.3)) nazywamy liczbami zespolonymi.
Liczby zespolone
Jeśli z = (a, b) jest liczbą zespoloną, to liczby rzeczywiste a i b nazywamy,
odpowiednio, częścią rzeczywistą i częścią urojoną liczby z i piszemy
Re (z) = a
oraz
Im (z) = b.
Wyżej przedstawiony sposób rozumienia liczb zespolonych jako par liczb rzeczywistych i działań (2.2) oraz (2.3) zaproponował w 1833 roku irlandzki matematyk W. R. Hamilton. Zobaczymy teraz, jak z własności zwykłego dodawania
i zwykłego mnożenia liczb rzeczywistych (zob. prz. 1.3.4 i def. 1.3.5) wynika,
że zbiór liczb zespolonych z wyżej określonym dodawaniem i mnożeniem liczb
zespolonych jest ciałem.
Twierdzenie 2.1.1. Zbiór C z działaniami dodawania i mnożenia określonymi
wzorami (2.2) i (2.3) jest ciałem, więc działania te mają następujące własności:
(a) ∀z,w∈C z ⊕ w = w ⊕ z;
(przemienność dodawania)
(c) ∃z0 ∈C ∀z∈C z ⊕ z0 = z;
(z0 = (0, 0) – zero zespolone)
(e) ∀z,w∈C z ⊗ w = w ⊗ z;
(przemienność mnożenia)
(łączność dodawania)
(b) ∀z,w,t∈C z ⊕ (w ⊕ t) = (z ⊕ w) ⊕ t;
(d) ∀z∈C ∃−z∈C z ⊕ (−z) = z0 ; (−z = (−a, −b) – liczba przeciwna do z = (a, b))
(łączność mnożenia)
(f) ∀z,w,t∈C z ⊗ (w ⊗ t) = (z ⊗ w) ⊗ t;
(g) ∃z1 ∈C ∀z∈C z ⊗ z1 = z;
(h) ∀z∈C−{z0 } ∃z−1 ∈C z ⊗ z
−1
= z1 ; (z
(z1 = (1, 0) – jedynka zespolona)
−1
=
a
, −b
a2 +b2 a2 +b2
, gdy z = (a, b) 6= z0 )
(i) ∀z,w,t∈C z ⊗(w⊕t) = (z ⊗w)⊕(z ⊗t). (rozdzielność działania ⊗ względem ⊕)
C – ciało liczb zespolonych
22
2. Liczby zespolone
Dowód. (a) i (b) Z przemienności i łączności zwykłego dodawania liczb rzeczywistych
wynika przemienność i łączność dodawania ⊕ określonego wzorem (2.2). Istotnie, jeśli
(a, b), (c, d), (e, f ) ∈ C, to
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d)
= (c + a, d + b)
= (c, d) ⊕ (a, b)
oraz
(a, b) ⊕ (c, d) ⊕ (e, f )
(definicja działania ⊕)
(przemienność działania +)
(definicja działania ⊕)
= (a, b) ⊕ (c + e, d + f )
= a + (c + e), b + (d + f )
= (a + c) + e, (b + d) + f
= (a + c, b + d) ⊕ (e, f )
= (a, b) ⊕ (c, d) ⊕ (e, f ).
(definicja
(definicja
(łączność
(definicja
(definicja
działania
działania
działania
działania
działania
⊕)
⊕)
+)
⊕)
⊕)
(c) Liczba (0, 0) jest elementem neutralnym działania ⊕, bo dla każdej liczby zespolonej (a, b) mamy
(a, b) ⊕ (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b).
(d) Liczba (−a, −b) jest liczbą przeciwną do liczby (a, b), bo
(a, b) ⊕ (−a, −b) = a + (−a), b + (−b) = (0, 0).
(e) i (f) Mnożenie ⊗ jest przemienne i łączne w zbiorze C, bo dla dowolnych liczb
zespolonych (a, b), (c, d), (e, f ) mamy
(a, b) ⊗ (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
(definicja działania ⊗)
= (ca − db, cb + da)
(przemienność mnożenia
i dodawania liczb rzeczywistych)
= (c, d) ⊗ (a, b)
(definicja działania ⊗)
oraz
(a, b) ⊗ (c, d) ⊗ (e, f )
= (a, b) ⊗ (ce − df, cf + de)
= a(ce − df ) − b(cf + de), a(cf + de) + b(ce − df )
= (ac − bd)e − (ad + bc)f, (ac − bd)f + (ad + bc)e
= (ac − bd, ad + bc) ⊗ (e, f )
= (a, b) ⊗ (c, d) ⊗ (e, f ).
(g) Liczba (1, 0) jest elementem neutralnym działania ⊗, bo dla każdej liczby zespolonej (a, b) mamy
(a, b) ⊕ (1, 0) = (a·1 − b·0, a·0 + b·1) = (a, b).
(h) Niech teraz (a, b) będzie dowolną liczbę ze zbioru C −{(0, 0)}. Wtedy a2 +b2 6= 0
a
−b
i liczba (a2 +b
istnieje i jest liczbą odwrotną do liczby (a, b), bo
2 ) , (a2 +b2 )
(a, b) ⊗
a
−b
,
a 2 + b2 a 2 + b2
=
a2
−b2
−ab
ab
−
,
+ 2
a 2 + b2
a 2 + b2 a 2 + b2
a + b2
= (1, 0).
(i) W końcu dla dowolnych liczb zespolonych (a, b), (c, d) i (e, f ) mamy
(a, b) ⊗ (c, d) ⊕ (e, f )
= (a, b) ⊗ (c + e, d + f )
= a(c + e) − b(d + f ), a(d + f ) + b(c + e)
= (ac − bd) + (ae − bf ), (ad + bc) + (af + be)
= (ac − bd, ad + bc) ⊕ (ae − bf, af + be)
= (a, b) ⊗ (c, d) ⊕ (a, b) ⊗ (e, f ) .
To dowodzi, że mnożenie ⊗ jest rozdzielne względem dodawania ⊕ i to jednocześnie
kończy dowód twierdzenia. 2.1. Liczby zespolone i działania na liczbach zespolonych
23
Począwszy od tego miejsca działania na liczbach zespolonych oznaczać będziemy
za pomocą symboli używanych dla liczb rzeczywistych, tzn. będziemy pisać
(a, b) + (c, d) zamiast (a, b) ⊕ (c, d) oraz (a, b) · (c, d) (lub nawet (a, b)(c, d))
zamiast (a, b) ⊗ (c, d). Nie spowoduje to większej niejednoznaczności, a dzięki
takim zabiegom czytelnik może szybciej dojdzie do przekonania, że działania na
liczbach zespolonych określone wzorami (2.2) i (2.3) są „naturalnymi” uogólnieniami dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych.
Definicja 2.1.2. Różnicą i ilorazem liczby zespolonej z = (a, b) i liczby zespolonej w = (c, d) nazywamy, odpowiednio, liczby z − w i wz , gdzie
z − w = (a − c, b − d),
ac + bd bc − ad z
=
,
, gdy w 6= (0, 0).
w
c2 + d2 c2 + d2
(2.4)
Różnica liczb zespolonych
(2.5)
Iloraz liczb zespolonych –
tego wzoru nie warto
pamiętać!
Definicja 2.1.3. Jeśli n jest liczbą naturalną, to (podobnie jak w def. 1.2.2)
n-tą potęgę liczby zespolonej z definiuje się indukcyjnie, przyjmując, że
z1 = z
i z n = z · z n−1
(2.6)
dla n = 2, 3, . . . Dla z 6= 0 przyjmujemy także, że
z0 = 1
i z −n =
1
zn
(2.7)
dla naturalnego n.
Postać kanoniczna liczby zespolonej
Niech CR będzie zbiorem liczb zespolonych, których część urojona jest zerem.
Każda liczba ze zbioru CR ma postać (a, 0) i jest jednoznacznie wyznaczona
przez swoją część rzeczywistą a, więc liczbę zespoloną (a, 0) utożsamiamy z liczbą
rzeczywistą a i wprost piszemy
(a, 0) = a.
(2.8)
Ze względu na powyższe utożsamianie (które formalnie jest izomorfizmem ciała
liczb rzeczywistych R z podciałem CR ciała liczb zespolonych C, zob. ćw. 2.8.27
i 2.8.28) możemy powiedzieć, że zbiór liczb zespolonych C, w którym sumę i iloczyn określono wzorami (2.2) i (2.3), jest rozszerzeniem zbioru liczb rzeczywistych R z tradycyjnie rozumianą sumą i iloczynem liczb rzeczywistych.
Do zbioru C należy liczba (0, 1), którą nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy
symbolem j, czyli przyjmujemy, że
j = (0, 1).
(2.9)
Zauważmy teraz, że wobec (2.3) i (2.8) mamy
j · j = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1,
więc
j 2 = −1.
(2.10)
Równie łatwo otrzymujemy j 3 = −j i j 4 = 1. Stąd zaś można wywnioskować, że
każda naturalna potęga liczby j jest jedną z liczb j, −1, −j i 1. Przykładowo,
j 5 = j,
j 6 = −1,
j 7 = −j
i j 8 = 1.
Potęga liczby zespolonej
24
2. Liczby zespolone
Jeśli n jest liczbą naturalną, to w ogólnym

1, gdy



j, gdy
n
j =
−1,
gdy



−j, gdy
przypadku mamy
n = 4k + 0,
n = 4k + 1,
n = 4k + 2,
n = 4k + 3,
gdzie k jest dowolną liczbą naturalną.
Twierdzenie 2.1.2. Każdą liczbę zespoloną z = (a, b) można przedstawić w postaci
z = a + bj.
(2.11)
Dowód. Łatwo zauważyć, że dla liczby zespolonej z = (a, b) wobec (2.2), (2.3), (2.8)
i (2.9) kolejno mamy
z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bj. z = a + jb – postać
kanoniczna liczby
z = (a, b)
Działania na liczbach
w postaci kanonicznej
Postać z = a + bj liczby zespolonej z = (a, b) nazywamy jej postacią kanoniczną
(algebraiczną lub kartezjańską). Dla liczby zespolonej z = a + bj (gdzie a i b
są liczbami rzeczywistymi), liczba a jest jej częścią rzeczywistą, natomiast b
częścią urojoną. Przykładowo, częścią rzeczywistą i częścią urojoną liczby z =
3 − 14j jest, odpowiednio, 3 i −14. Jeśli mamy dwie liczby zespolone w postaci
kanonicznej, czyli jeśli mamy liczby z = a + bj i w = c + dj (gdzie a, b, c i d
są liczbami rzeczywistymi), to wobec (2.1)–(2.5) dla ich równości, sumy, różnicy,
iloczynu i ilorazu, odpowiednio, mamy
a + bj = c + dj ⇔ a = c
i b = d,
(2.12)
z + w = (a + bj) + (c + dj) = (a + c) + (b + d)j,
z − w = (a + bj) − (c + dj) = (a − c) + (b − d)j,
(2.13)
(2.14)
zw = (a + bj)(c + dj) = (ac − bd) + (ad + bc)j,
z
a + bj
ac + bd bc − ad
=
= 2
+ 2
j.
w
c + dj
c + d2
c + d2
(2.15)
(2.16)
Przykład 2.1.1. Obliczyć z + w, z − w i zw, gdy z = 1 + 5j i w = 3 + 2j.
Łatwo zauważyć, że
z + w = (1 + 5j) + (3 + 2j) = (1 + 3) + (5j + 2j) = 4 + 7j,
z − w = (1 + 5j) − (3 + 2j) = (1 − 3) + (5j − 2j) = −2 + 3j.
Przy wyznaczaniu iloczynu liczb zespolonych w postaci kanonicznej nie trzeba pamiętać
wzoru (2.15). Wystarczy skorzystać z rozdzielności mnożenia względem dodawania,
zastąpić j 2 przez −1 i zgrupować „podobne” czynniki. Dlatego dla liczb z = 1 + 5j
i w = 3 + 2j mamy
zw = (1 + 5j)(3 + 2j) = 1(3 + 2j) + 5j(3 + 2j)
= 3 + 2j + 15j + 10j 2 = 3 + 17j − 10 = −7 + 17j.
Ćwiczenie 2.1.1. Każdą z niżej przedstawionych liczb
zespolonych zapisać w postaci kanonicznej:
1. 7 + 4j + 2(5 − 9j);
5. j(1 − 2j)3 + 1 + 14j;
3. (4 − 5j)(4 + 5j);
7. j(1 + j)4 − (2j + 1)2 ;
2. (3 − 2j)(3 + 4j);
4. (2 + 3j)2 (1 − j);
6. (1 − j)(2 + j)(3 − j);
8. (3−5j)2 −4(1−2j)(2+3j).
Ćwiczenie 2.1.2. Wyznaczyć następujące wielkości:
1. Re (j 5 +(3−j)(2+3j));
5. Im (1 + 2j)6 ;
2. Im ((−1 + j)3 (1 − j)4 );
6. Im (j 2 + j 3 )6 ;
3. Im ((2+j)3 −j(1−j)4 );
7. Re (j + j 3 )6 ;
4. Re ((−1 + 2j)2 − 4j 3 );
8. Re (1 + j)10 .