1-Rozdzia³ 1 - Wydawnictwo Nowik

Grzegorz Bryll, Robert Sochacki
Wybrane zagadnienia
dydaktyki matematyki
Wydanie drugie, rozszerzone
Opole 2012
1
Recenzent
Jurij Povstenko
Redaktor
Robert Sochacki
Projekt okładki
Michał Nowik
Text © Copyright by Grzegorz Bryll, Robert Sochacki
Edition © Copyright by Wydawnictwo Nowik Sp.j. 2012
Wydawnictwo Nowik Sp.j. 45-061 Opole, ul. Katowicka 39/104
ISBN 978-83-62687-21-3
Wszelkie prawa zastrzeŜone. Rozpowszechnianie bez zgody Wydawcy całości publikacji lub jej fragmentów w
jakiejkolwiek postaci jest zabronione.
Kopiowanie metodą kserograficzną, fotograficzną, umieszczanie na nośnikach magnetycznych i optycznych i
innych narusza prawa autorskie niniejszej publikacji.
Kserowanie zabija ksiąŜki!
Wydrukowane w Polsce
Szczegółowe informacje o naszych publikacjach na www.nowik.com.pl
________________________________________________________________________
Dystrybucja:
Wydawnictwo Nowik Sp.j. Biuro Handlowe:
45-061 Opole, ul. Katowicka 39/104
Tel./fax 77 454 36 04
http://www.nowik.com.pl e-mail: [email protected]
e-mail: [email protected]
2
SPIS TREŚCI
OD AUTORÓW ............................................................................................................... 7
Część I. ALGEBRA I ANALIZA MATEMATYCZNA ............................................. 9
Rozdział 1.
CIAŁO UŁAMKÓW PIERŚCIENIA CAŁKOWITEGO .............................................. 11
Rozdział 2.
SPOSOBY KSZTAŁTOWANIA POJĘCIA LICZBY ...................................................
2.1. Liczby naturalne .......................................................................................................
2.1.1. Liczby naturalne jako moce zbiorów skończonych ..............................................
2.1.2. Kształtowanie pojęcia liczby naturalnej za pomocą pojęcia sekwensu
(następnika) ...........................................................................................................
2.1.3. Liczba naturalna w aspekcie algebraicznym .........................................................
2.1.4. Aspekt miarowy .....................................................................................................
2.2. Liczby całkowite ......................................................................................................
2.2.1. Liczby całkowite jako klasy abstrakcji .................................................................
2.2.2. Aksjomatyczne ujęcie liczb całkowitych ..............................................................
2.2.3. Liczby całkowite w szkole ....................................................................................
2.3. Liczby wymierne ......................................................................................................
2.3.1. Liczby wymierne jako klasy abstrakcji. Interpretacja geometryczna ............
2.3.2. Ułamek jako miara wielkości .........................................................................
2.3.3. Liczby wymierne jako operatory ...................................................................
2.3.4. Ułamek jako część całości (w ujęciu mnogościowym) .................................
2.3.5. Ułamek jako stosunek dwóch wielkości ........................................................
2.3.6. Aksjomatyczne ujęcie liczb wymiernych ......................................................
2.4. Liczby rzeczywiste ...................................................................................................
2.4.1. Konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych ......................................................
2.4.2. Konstrukcja Dedekinda liczb rzeczywistych .................................................
2.4.3. Aksjomatyczne ujęcie liczb rzeczywistych ....................................................
2.4.4. Konstrukcja Hoborskiego liczb rzeczywistych ..............................................
2.4.5. Liczby rzeczywiste w szkole ..........................................................................
2.5. Liczby zespolone ......................................................................................................
2.5.1. Metoda struktury ilorazowej (metoda konstrukcji ciała rozkładu danego
wielomianu) ....................................................................................................
2.5.2. Metoda Hamiltona (metoda produktu kartezjańskiego) .................................
2.5.3. Metoda macierzowa .......................................................................................
2.5.4. Metoda algebry liniowej ................................................................................
2.5.5. Metoda rozszerzeń ciał ...................................................................................
2.5.6. Związki między podanymi konstrukcjami .....................................................
2.5.7. Pewien sposób otrzymywania toŜsamości hiperbolicznych ..........................
20
20
20
21
23
23
23
23
27
28
31
31
33
38
43
47
48
49
49
51
53
54
55
59
59
61
62
64
66
67
68
3
Rozdział 3.
DZIAŁANIA ODWROTNE ........................................................................................... 73
Rozdział 4.
DWA NIERÓWNOWAśNE UJĘCIA TEORII WIELOMIANÓW .............................. 81
4.1. Ujęcie algebraiczne (ciągowe) wielomianów ........................................................... 81
4.2. Ujęcie funkcyjne wielomianów ................................................................................ 84
Rozdział 5.
CIĄGI ARYTMETYCZNE I CIĄGI GEOMETRYCZNE WYśSZYCH STOPNI ...... 90
5.1. Ciągi arytmetyczne wyŜszych stopni ....................................................................... 90
5.2. Ciągi geometryczne wyŜszych stopni ...................................................................... 99
5.3. Jednolite ujęcie teorii ciągów arytmetycznych i ciągów geometrycznych
wyŜszych stopni ....................................................................................................... 101
5.4. Sposoby obliczania sumy ∑ k m ............................................................................. 107
n
k =1
5.5. Ciągi arytmetyczne wyŜszych stopni charakteryzujące liczby figuralne …………. 112
5.5.1. Liczby wielokątne ......................................................................................... 112
5.5.2. Liczby piramidalne ........................................................................................ 115
5.5.3. Liczby pryzmalne .......................................................................................... 117
Rozdział 6.
RÓWNANIA Z PARAMETREM .................................................................................. 122
6.1. Wprowadzenie funkcji stałej ................................................................................... 122
6.2. Badanie funkcji w postaci uwikłanej ....................................................................... 127
Rozdział 7.
ZASTOSOWANIE ROZWINIĘĆ SKOŃCZONYCH FUNKCJI
DO OBLICZANIA GRANIC ......................................................................................... 141
Rozdział 8.
O BŁĘDACH PRZY OBLICZANIU POCHODNEJ FUNKCJI ................................... 155
8.1. Obliczanie pochodnej bez wcześniejszego zbadania ciągłości funkcji ................... 155
8.2. Stwierdzanie istnienia pochodnej f ′( x0 ) na podstawie równości granic
lim+ f ′( x) oraz lim− f ′( x) ...................................................................................... 157
x → x0
x → x0
8.3. Stwierdzanie nieistnienia pochodnej f ′( x0 ) na podstawie nieistnienia
co najmniej jednej z granic lim+ f ′( x) , lim− f ′( x) .................................................. 158
x → x0
x → x0
8.4. Wadliwe obliczanie pochodnej funkcji wektorowej argumentu skalarnego ........... 161
Rozdział 9.
RÓWNANIA REKURENCYJNE I METODY ICH ROZWIĄZYWANIA .................
9.1. Przykłady równań rekurencyjnych ..........................................................................
9.2. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych liniowych ................................................
9.2.1. Równania rekurencyjne liniowe jednorodne o stałych współczynnikach ....
4
163
163
167
167
9.2.2. Równania rekurencyjne liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach
9.3. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych metodą repertuaru ..................................
9.4. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych metodą czynnika sumacyjnego ..............
9.5. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych metodą funkcji tworzących ....................
9.5.1. Funkcje tworzące ..........................................................................................
9.5.2. Operacje na funkcjach tworzących ...............................................................
9.5.3. Rozwiązywanie równań rekurencyjnych metodą funkcji tworzących ..........
171
173
181
184
184
185
187
Rozdział 10.
WYKORZYSTANIE POJĘCIA ŚRODKA CIĘśKOŚCI W MATEMATYCE ...........
10.1. Obliczanie niektórych sum ....................................................................................
10.2. Dowodzenie nierówności ......................................................................................
10.3. Uzasadnianie własności figur płaskich ..................................................................
10.4. Obliczanie objętości kuli i pola segmentu paraboli ...............................................
199
200
206
209
211
Część II. GEOMETRIA ............................................................................................... 219
Rozdział 11.
JEDNOLITE UJĘCIE ZAGADNIEŃ DOTYCZĄCYCH OBJĘTOŚCI BRYŁ
I PÓL FIGUR PŁASKICH .............................................................................................
11.1. Uogólnienie wzoru Simpsona ................................................................................
11.2. Zastosowanie wzoru Simpsona i jego uogólnienia ...............................................
11.3. Pola figur płaskich .................................................................................................
221
221
223
226
Rozdział 12.
METODA FIGUR RÓWNOWAśNYCH ..................................................................... 228
Rozdział 13.
METODY WEKTOROWE ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ DOTYCZĄCYCH
ROZTWORÓW, MIESZANIN I STOPÓW ..................................................................
13.1. Metoda stęŜeń ........................................................................................................
13.2. Metoda udziałów ...................................................................................................
13.3. Przykłady ...............................................................................................................
239
239
240
242
Rozdział 14.
TWIERDZENIE CEVY I JEGO RÓWNOWAśNIKI .................................................. 252
Rozdział 15.
AKSJOMATYCZNA DEFINICJA ILOCZYNU WEKTOROWEGO ......................... 265
Część III. LOGIKA ...................................................................................................... 275
Rozdział 16.
DYSTRYBUTYWNE I MEREOLOGICZNE POJĘCIE ZBIORU .............................. 277
Rozdział 17.
ZASADA POGLĄDOWOŚCI A TEORIA MODELI ................................................... 286
5
Rozdział 18.
INDUKCJA ZUPEŁNA. WŁASNOŚCI DZIEDZICZNE ............................................ 299
Rozdział 19.
DEFINICJE ....................................................................................................................
19.1. Rodzaje definicji ....................................................................................................
19.1.1. Definicje normalne ......................................................................................
19.1.2. Definicje warunkowe ..................................................................................
19.1.3. Definiowanie przez przypadki ....................................................................
19.1.4. Definicje indukcyjne ...................................................................................
19.1.5. Definicje rekurencyjne ................................................................................
19.1.6. Definicje czynnościowe ..............................................................................
19.2. Konsekwencje przestawiania i pomijania kwantyfikatorów w definicjach ..........
19.2.1. Uwagi ogólne ..............................................................................................
19.2.2. Konsekwencje przestawiania kwantyfikatorów w definicjach ...................
19.2.3. Konsekwencje pomijania kwantyfikatorów w definicjach .........................
19.3. O róŜnych sposobach definiowania wartości bezwzględnej w szkołach
ponadgimnazjalnych .............................................................................................
19.4. Uwagi o róŜnych definicjach kresów zbiorów ......................................................
19.5. Definicje okresowości funkcji ...............................................................................
19.5.1. Okresowość funkcji f : X → R w dziedzinie X ( X ⊆ R ) .........................
307
307
307
309
313
314
322
323
325
325
327
334
339
347
358
358
19.5.2. Okresowość funkcji w dziedzinie R ............................................................ 361
19.5.3. Pojęcie okresu zasadniczego ....................................................................... 362
Rozdział 20.
RELACJE BINARNE W ZBIORZE SKOŃCZONYM ................................................
20.1. Rodzaje relacji i ich liczba ....................................................................................
20.2. O moŜliwości wykorzystania relacji porządku i relacji równowaŜności
do definiowania lub utrwalania szkolnych pojęć matematycznych ........................
20.2.1. Relacja porządku i kresy zbiorów uporządkowanych .................................
20.2.2. Definiowanie za pomocą klas abstrakcji .....................................................
372
373
375
Rozdział 21.
POJĘCIE KONTRPRZYKŁADU I JEGO ROLA ........................................................
21.1. Pojęcie kontrprzykładu ..........................................................................................
21.2. Kontrprzykłady dla pojęcia granicy ......................................................................
21.3. Kontrprzykłady dla pojęcia pochodnej funkcji .....................................................
378
378
381
385
365
365
Rozdział 22.
DOWODY NIE WPROST ............................................................................................. 389
Rozdział 23.
METODY GRAFICZNE SPRAWDZANIA TAUTOLOGII
KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ ....................................................................... 395
23.1. Diagramy krzyŜowe ............................................................................................... 395
23.2. Diagramy kołowe .................................................................................................. 401
6
OD AUTORÓW
Niniejsze opracowanie powstało na podstawie wykładów i ćwiczeń z dydaktyki matematyki prowadzonych przez autorów na Uniwersytecie Opolskim
i w Akademii im. Jana Długosza w Częstochowie, a takŜe w oparciu o artykuły
o charakterze dydaktycznym zamieszczone w róŜnych czasopismach.
W pracy omówiono przede wszystkim te zagadnienia, które są pomijane lub
wzmiankowane w opracowaniach zwartych. Zdajemy sobie sprawę, Ŝe wiele
z tych zagadnień wykracza poza ramy dydaktyki matematyki dotyczącej poziomu
podstawowego, gimnazjalnego i ponadgimnazjalnego. Wzbogacenie jednak wiedzy nauczycieli i uczniów o mało spopularyzowane metody nauczania niektórych
zagadnień matematycznych moŜe przynieść nie tylko korzyści osobiste, ale takŜe
uatrakcyjnić samą matematykę szkolną.
Zawartość opracowania podzielono na trzy części: I − algebra i analiza matematyczna, II − geometria, III − logika. Poszczególne rozdziały stanowią na ogół
niezaleŜne całości. Z tego teŜ względu po rozdziałach podany został wykaz odpowiedniej literatury. Pozycje literaturowe oznaczone są symbolami [a.b], gdzie a
oznacza numer rozdziału, zaś b oznacza numer kolejny w danym rozdziale.
Składamy gorące podziękowania Panu prof. dr hab. Jurijowi Povstence
z Akademii im. Jana Długosza w Częstochowie za cenne i wnikliwe uwagi, które
pozwoliły uniknąć wielu usterek i błędów, oraz w sposób istotny przyczyniły się
do ostatecznego kształtu ksiąŜki. Dziękujemy równieŜ Panu dr inŜ. Romanowi
Rygałowi za elektroniczne przygotowanie tekstu.
Autorzy będą bardzo wdzięczni za wszelkie uwagi dotyczące opracowania.
Grzegorz Bryll
Robert Sochacki
7
8
Część I
ALGEBRA I ANALIZA
MATEMATYCZNA
9
10
ROZDZIAŁ 1.
CIAŁO UŁAMKÓW PIERŚCIENIA CAŁKOWITEGO
Przypomnijmy, Ŝe układ ( P, +, ⋅) , gdzie P ≠ ∅ , jest pierścieniem, gdy spełnione są warunki:
1. Układ (P, +) jest grupą abelową.
2. Działanie „·” jest obustronnie rozdzielne względem działania „+”.
W definicji pierścienia nie zakładamy, Ŝe działanie „·” jest łączne. Element neutralny grupy (P, +) nazywamy zerem pierścienia i oznaczamy go przez 0.
Jeśli w pierścieniu P działanie „·” spełnia warunki:
a)
b)
c)
d)
∀
a , b , c ∈P
∀
a , b∈P
 a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c 
[a ⋅ b = b ⋅ a]
∃ ∀ [a ⋅ c = c ⋅ a = a]
c∈P a ∈P
∀
a , b∈P
[ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0 ⇒ a ⋅ b ≠ 0]
to pierścień P nazywamy odpowiednio: pierścieniem łącznym, pierścieniem
przemiennym, pierścieniem z jednością, pierścieniem bez dzielników zera.
Pierścieniem całkowitym nazywamy pierścień łączno-przemienny bez dzielników zera. Pierścień całkowity moŜe więc nie posiadać jedności.
Pierścień P z jednością nazywamy ciałem, gdy spełnione są warunki:
P≥2


∀ a ≠ 0 ⇒ ∃1 ( a ⋅ c = b ) 
f)
a , b∈P 
c∈P




∀ a ≠ 0 ⇒ ∃1 ( c ⋅ a = b ) 
g)
a , b∈P 
c
P
∈


e)
W definicji ciała nie zakładamy, Ŝe działanie „·” jest łączne i przemienne
[1.4]. Ciało łączne P moŜna scharakteryzować następująco:
1. P jest pierścieniem,
2. P ≥ 2,
3.
( P \ { 0} ; ⋅) jest grupą.
11
Konstrukcja ciała ułamków dla danego pierścienia całkowitego przedstawia
się następująco1:
Niech ( P, +, ⋅) będzie pierścieniem całkowitym i niech
P∗ = { a, b : a, b ∈ P ∧ b ≠ 0}
W zbiorze P* określamy relację R oraz działania ⊕ i ⊙ , przyjmując definicje:
Definicja 1.1.
a , b R c, d ⇔ a ⋅ d = b ⋅ c
Definicja 1.2.
a) a, b ⊕ c, d = a ⋅ d + b ⋅ c, b ⋅ d
b) a, b ⊙ c, d = a ⋅ c, b ⋅ d
Relacja R określona przez definicję 1.1 jest relacją typu równowaŜności,
a więc jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. MoŜna więc tworzyć klasy abs∗
trakcji i zbiór ilorazowy P :
R
P∗
R
{
= α:
∃
a , b ∈P∗
(α =  a, b  ) }
R
Łatwo sprawdzić, Ŝe relacja R jest zgodna z działaniami ⊕ i ⊙ , tzn. dla dowolnych a, b , a1 , b1 , c, d , c1 , d1 ∈ P∗ spełniony jest warunek [1.4]:
a, b R c, d ∧ a1 , b1 R c1 , d1 ⇒ ( a, b ⊕ a1 , b1 ) R ( c, d ⊕ c1 , d1 ) ∧
∧ ( a, b ⊙ a1 , b1 ) R ( c, d ⊙ c1 , d1
)
∗
Relacja R jest więc kongruencją w zbiorze P*. Generuje ona w zbiorze P
działania ⊞ i ⊡ określone następująco:
Definicja 1.3.
R
a)  a, b  R ⊞  c, d  R =  a, b ⊕ c, d  R
b)  a, b  R ⊡  c, d  R =  a, b ⊙ c, d  R
1
12
Pomijamy w tej konstrukcji pierścień jednoelementowy, składający się z samego zera.
Twierdzenie 1.1.
∗
Zbiór P
z działaniami ⊞ i ⊡ jest ciałem łączno-przemiennym2.
R
∗
Ciało P , ⊞, ⊡ nazywamy ciałem ułamków danego pierścienia całkowiR
)
(
∗
będziemy zapisywać w postatego ( P, +, ⋅) . Element  a, b  R naleŜący do P
R
a
i nazywać ułamkiem. Mamy więc:
ci
b
a c a⋅d + b⋅c
⊞ =
b d
b⋅d
a c a⋅c
⊡ =
b d b⋅d
Elementem neutralnym działania ⊞ jest ułamek
0
, elementem neutralnym
b
a
b
jest ułamek
, elementem przeciwnym do ułamka
b
b
a
b
−a
, ( b ∈ P ∧ b ≠ 0 ) , zaś elementem odwrotnym do ułamka
jest ułamek ,
b
b
a
(o ile a ≠ 0) .
działania ⊡ jest ułamek
WykaŜemy, Ŝe ciało ułamków
( P R , ⊞, ⊡) zawiera podpierścień izomor∗
ficzny z pierścieniem P. Niech więc P1 będzie zbiorem wszystkich ułamków poa ⋅b
staci
, gdzie a ≠ 0. Funkcją ustalającą izomorfizm pomiędzy pierścieniami
a
 a ⋅b 
P1 i P jest funkcja ϕ : P1 → P określona wzorem ϕ 
=b .
 a 
Istotnie funkcja ϕ jest bijekcją i ponadto spełnione są warunki:
 a ⋅ (b + c) 
 a2 ⋅ b + a2 ⋅ c 
 a ⋅b a ⋅c 
=
ϕ
⊞
=b+c=

 =ϕ

2
a 
a
a
 a




ϕ
 a ⋅b 
 a⋅c 
=ϕ
 +ϕ

 a 
 a 
2
Dowód moŜna znaleźć w pracy [1.4].
13
 a2 (b ⋅ c ) 
 (a ⋅ b) ⋅ ( a ⋅ c) 
 a ⋅ (b ⋅ c ) 
 a ⋅b a ⋅c 
=
ϕ
=
ϕ
⊡

 = ϕ 


 = b⋅c =

2
2
a 
a
a
 a




 a

ϕ
 a ⋅b   a ⋅c 
=ϕ
 ⋅ϕ 

 a   a 
Przykład 1.1.
Ciałem ułamków dla pierścienia liczb całkowitych ( Z , +, ⋅) , ze zwykłymi działaniami
dodawania
i
mnoŜenia,
jest
ciało
liczb
wymiernych
∗
∗
Z , ⊞, ⊡ , Z
= Q . Pierścieniem izomorficznym z pierścieniem Z jest
R
R
a ⋅b
, gdzie a, b ∈ Z i a ≠ 0.
pierścień ( Q1 , ⊞ , ⊡ ) ułamków postaci
a
)(
(
)
Przykład 1.2.
Ciałem ułamków dla pierścienia wielomianów ( K [ x ], +, ⋅) nad ciałem
∗
łączno-przemiennym K jest ciało funkcji wymiernych  K [ x ] , ⊞ , ⊡  , tj. ciało
R


f
ułamków postaci
, gdzie f, g są wielomianami (zmiennej x) i g nie jest wielog
mianem zerowym.
Pierścieniem izomorficznym z pierścieniem K [ x ] jest pierścień ( K1 , ⊞ , ⊡ )
funkcji wymiernych postaci
f ⋅g
, gdzie f, g są wielomianami i f nie jest wielof
mianem zerowym.
Przykład 1.3.
Ciało operatorów Mikusińskiego
RozwaŜmy układ ( M , +, ∗) , gdzie M jest zbiorem wszystkich funkcji klasy
C1 określonych w przedziale 0, + ∞ ) i przyjmujących wartości w zbiorze liczb
zespolonych3, zaś działanie dodawania funkcji „+” i działanie „splotu” funkcji
„*” są określone następująco:
h = f + g ⇔ ∀  h ( t ) = f ( t ) + g ( t ) 
t ≥0
t


h = f ∗ g ⇔ ∀  h ( t ) = ∫ f ( t − x ) ⋅ g ( x ) dx 
t ≥0
0


3
MoŜna teŜ brać pod uwagę zbiór M funkcji klasy C (zob. [1.6]) bądź teŜ zbiór funkcji
mierzalnych w sensie Lebesque’a (zob. [1.8]).
14
MoŜna wykazać, Ŝe [1.5, 1.6]:
Twierdzenie 1.2.
Układ ( M , +, ∗) jest pierścieniem łączno-przemiennym bez dzielników zera i bez
jedności.
Pierścień ( M , +, ∗) nazywamy pierścieniem Mikusińskiego.
RozwaŜmy z kolei układ ( M ∗ , ⊕, ⊙ ) , gdzie M ∗ = M × ( M \ { 0} ) 4, zaś relacja R
i działania ⊕, ⊙ określone są następująco:
f , g R f1 , g1 ⇔ f ∗ g1 = g ∗ f1
f , g ⊕ f1 , g1 = f ∗ g1 + g ∗ f1 , g ∗ g1
f , g ⊙ f1 , g1 = f ∗ f1 , g ∗ g1
∗
Kongruencja R generuje w zbiorze ilorazowym M
ślone wzorami:
f
f ∗ g1 + g ∗ f1
f
⊞ 1 =
,
g g1
g ∗ g1
R
działania ⊞ , ⊡ okre-
f
f ∗ f1
f
⊡ 1 =
g g1 g ∗ g1
)
(
∗
Ciało ułamków M , ⊞ , ⊡ nazywamy ciałem operatorów MikusińskieR
nazywamy operatorami. Operatorami są więc klaR
sy abstrakcji wyznaczone przez relację R i pary uporządkowane postaci ( f , g ) ,
gdzie f , g ∈ M i g ≠ 0.
Pierścieniem izomorficznym z pierścieniem Mikusińskiego M jest pierścień
M
( 1 , ⊞ , ⊡) , gdzie
∗
go, zaś elementy zbioru M
∗

f ∗ 1 

M 1 = α ∈ M
: ∃ α =

R
1 
f 

Z tego względu operatory postaci
(
f ∗1
utoŜsamia się często z funkcjami.
1
)
∗
Ciało operatorów M , ⊞ , ⊡ zawiera następujące podciało M 0 izomorR
ficzne z ciałem liczb zespolonych ℂ :
4
Funkcję stałą a określamy wzorem a ( t ) = a dla t ∈ 0, +∞ ) .
15
∗

a ⋅1   5

M0 = α ∈ M
: ∃ α =

R a∈ℂ 
1 

Izomorfizm pomiędzy ciałami
(M0,
⊞ , ⊡ ) , ( ℂ, + , ⋅ )
ustala funkcja
 a ⋅1 
 = a . Z uwagi na powyŜszy izomorfizm opera 1 
ψ : M 0 → ℂ o własności: ψ 
tory postaci
a ⋅1
moŜna utoŜsamiać z liczbami zespolonymi.
1
Dla przykładu iloczyn funkcji stałych 2 i 3 oraz iloczyn liczb 2 i 3 wynoszą odpowiednio:
2⋅3 =
2 ∗ 1 3 ∗ 1 ( 2 ∗ 1) * ( 3 ∗ 1) ( 2 ∗ 3 ) ∗ 1 ∗ 1 ( 2 * 3 ) * 1
⊡
=
=
=
= 2 ∗ 3 = 6 ∗1 6
1
1
1∗1
1∗1
1
2⋅3 =
2 ⋅ 1 3 ⋅ 1 ( 2 ⋅ 1) ∗ ( 3 ⋅ 1) ( 2 ⋅ 3) ⋅ 1 ∗ 1 ( 2 ⋅ 3) ⋅ 1
=
=
=
= 2⋅3 = 6
⊡
1
1
1∗1
1∗1
1
Ciało operatorów moŜna skonstruować równieŜ w następujący sposób.
W zbiorze M, oprócz działania „+”, określamy działanie „ ” (mnoŜenie funkcji)
następująco:
t


d
h = f g ⇔ ∀  h ( t ) = ∫ f ( t − x ) ⋅ g ( x ) dx 
t ≥0
dt 0


MoŜna wykazać (zob. [1.1, 1.7]), Ŝe układ ( M , +, ) jest pierścieniem łącznoprzemiennym z jednością, bez dzielników zera. Jednością tego pierścienia jest
funkcja stała 1. MoŜna więc w znany sposób skonstruować ciało ułamków dla
tego pierścienia.
Pierścień ( M , +, ) róŜni się istotnie od pierścienia ( M , +, ∗) , bowiem
w tym ostatnim brak jest elementu neutralnego dla działania „ ∗ ”. Pierścienie te
nie są więc izomorficzne, posiadają jednak wspólne ciało ułamków (zob. [1.3]).
ZauwaŜmy przy okazji, Ŝe istnieją pierścienie całkowite izomorficzne o tym
samym uniwersum, które nie posiadają wspólnego ciała ułamków. Takimi pierścieniami są pierścień liczb całkowitych ( Z , +, ⋅) ze zwykłymi działaniami do5
Iloczyn funkcji f przez liczbę zespoloną a określamy następująco:
h = a ⋅ f ⇔ ∀  h ( t ) = a ⋅ f ( t ) 
t ≥0
6
16
Symbolem t oznaczamy funkcję liniową o własności: t ( t ) = t dla t ∈ 0, +∞ ) .
dawania i mnoŜenia oraz pierścień liczb całkowitych ( Z , ⊕, ⊙ ) , gdzie działania
⊕, ⊙ określone są następująco:
a ⊕ b = a + b +1 ,
a ⊙ b = a + b + a ⋅b
Izomorfizmem jest tutaj funkcja Φ : Z → Z określona wzorem
Φ (a) = a +1
Wynik dotyczący istnienia wspólnego ciała operatorów Mikusińskiego dla
dwóch nieizomorficznych pierścieni całkowitych nad tym samym uniwersum
moŜna uogólnić następująco (zob. [1.2]):
Twierdzenie 1.3.
Pierścienie całkowite ( A, +, ⋅) , ( A, +, ) o tej samej grupie addytywnej ( A, + )
mają wspólne ciało ułamków wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek:
(I)
∃
α , β ∈ A, α ≠ 0, β ≠ 0
{ ∀ α ⋅ ( a b) = β ⋅ a ⋅ b ∨ ∀ α a b = β ( a ⋅ b )}
a , b∈ A
a , b∈ A
Jeśli β = λ ⋅ a lub α = λ β (gdzie λ ∈ A ), to warunek (I) przyjmuje postać:
(II)
∃
 ∀ ( a b = λ ⋅ a ⋅ b ) ∨ ∀ ( a ⋅ b = λ a b )


a , b∈ A
λ∈ A, λ ≠ 0 a , b∈ A
Wniosek 1.1.
JeŜeli w pierścieniu całkowitym ( A, +, ⋅) działanie „ ” określone jest następująco:
a b = λ ⋅ a ⋅ b ( a, b ∈ A )
(1.1)
gdzie λ jest ustalonym elementem zbioru A, róŜnym od 0, to:
(a)
(b)
układ ( A, +, ) jest pierścieniem całkowitym,
pierścienie ( A, +, ⋅) , ( A, +, ) mają wspólne ciało ułamków.
Wzór (1.1) zachodzi na przykład w pierścieniu całkowitym, słuŜącym do konstrukcji ciała operatorów Mikusińskiego. Istotnie, jeśli w zbiorze funkcji klasy
C1 , określonych w przedziale 0, +∞ ) i przyjmujących wartości w zbiorze liczb
zespolonych, zdefiniowano działania „+”, „ ∗ ”, „ ” wzorami:
h = f + g ⇔ ∀  h ( t ) = f ( t ) + g ( t ) 
t ≥0
t


h = f ∗ g ⇔ ∀  h ( t ) = ∫ f ( t − x ) g ( x ) dx 
t ≥0
0


17
t


d
h = f g ⇔ ∀  h ( t ) = ∫ f ( t − x ) g ( x ) dx 
t ≥0
dt 0


to f ∗ g = λ f g , gdzie f , g , λ ∈ C1 i λ ( t ) = t dla dowolnego t ∈ 0, +∞ ).
ZauwaŜmy jeszcze, Ŝe warunek (I) moŜe zachodzić równieŜ dla pierścieni
całkowitych o tej samej grupie addytywnej, w których Ŝadne z działań „mnoŜenia” nie jest definiowalne przez pozostałe. Na przykład: jeśli w pierścieniu
( Z , +, ⋅) liczb całkowitych ze zwykłym dodawaniem i zwykłym mnoŜeniem
określimy działania ∆ i ∇ następująco:
a ∆ b = λ1 ⋅ a ⋅ b ,
a∇b = λ2 ⋅ a ⋅ b
(gdzie λ1 , λ 2 ∈ Z ) i Ŝadna z liczb całkowitych λ1 , λ 2 nie jest wielokrotnością
drugiej, to w pierścieniach całkowitych
zachodzą związki:
( Z , +, ∆ ) , ( Z , +, ∇ )
dla działań ∆, ∇
λ 2∇ ( a ∆ b ) = λ1∇ ( a ∇ b )
λ 1∆ ( a ∇ b ) = λ 2 ∆ ( a ∆ b )
Spełniony jest więc warunek (I).
Pierścień liczb całkowitych ( Z , +, ⋅) ze zwykłym dodawaniem i zwykłym
mnoŜeniem ma następującą własność specyficzną (zob. [1.2]):
Twierdzenie 1.4.
JeŜeli w pierścieniu ( Z , +, ⋅) działanie „ ” jest definiowalne przez działania tego
pierścienia i układ ( Z , +, ) jest pierścieniem całkowitym, to zachodzi warunek:
(III)
∃ ∀
λ∈Z a , b∈Z
λ ≠0
[ a b = λ ⋅ a ⋅ b]
Literatura
[1.1] Berg L., Einführung in die Operatoren rechnung, Berlin 1962.
[1.2] Bryll G., Blidia M., O ciałach ułamków pierścieni całkowitych, ZN WSP w Opolu,
Matematyka 1990, nr 27, s. 79-86.
[1.3] Bryll G., Oniszczyk R., Sposoby konstrukcji ciała operatorów Mikusińskiego, ZN
WSI w Opolu, Problematyka róŜna 1972, z. 2, s. 3-15.
[1.4] Gleichgewicht B., Elementy algebry abstrakcyjnej, Biblioteczka Matematyczna,
PZWS, Warszawa 1966, nr 24.
[1.5] Mikusiński J., Sur les fondements du calcul opératoire, Studia Mathematica
1950, nr 11, s. 41-70.
18
[1.6] Mikusiński J., Rachunek operatorów, wyd. 2, PWN, Warszawa 1957.
[1.7] Rajewski M., Berechnung der Einschaltvorgänge in linearen Schaltungen mittels
“abgeschnitterer” Functionen, Wiss. Z. Hochsch. f. Elektrotechnik (Ilmenau) 1958,
nr 4, s. 143-165.
[1.8] Sikorski R., Funkcje rzeczywiste, t. II, PWN, Warszawa 1959.
19