W12 Kontrola chaosu_1

Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
1
Kontrola chaosu
Motto:
"Gdy tylko bdziemy mieli dostatecznie due komputery problem pogody zostanie rozwizany. Wszystkie
stabilne procesy bdziemy przewidywa, wszystkie neistabilne procesy bdziemy kontrolowa"
von Neumann (okoo roku 1950)
Istnieją różne metody sterowania nieliniowymi układami dynamicznymi
Stymulacja rezonansowa ukadów dynamicznych:
1988 A.Hübler i in.:
Moliwe jest zmuszenie ukadu chaotycznego do wykonywania ruchu periodycznego lub innego zadanego
poprzez pobudzanie aperiodyczne.
Na skutek nieliniowoci ukadu wystpuj sprzenia pomidzy typami (modami) ruchów ukadu - pobudzenie
periodyczne ukadu nie musi wywoywa trajektorii periodycznej ukadu.
Aby otrzyma moliwo wywoywania tak pojtej "dynamiki celu" (goal dynamics) postpuje si
nastpujco.
Niech nasz ukad opisany bdzie przez ukad równa zwyczajnych:
 


dx  
f ( x ) przedstawia prawe strony
= f ( x )+ F ( t )
ukadu równa
dt

F ( t ) jest dodan przez nas
dodatkow si pobudzajc.

dy  

Przypumy dalej, e y ( t ) jest dynamik celu speniajc równanie celu:
=g( y )
dt
i otrzymuje si równanie ruchu:

 
dx  
 
= f ( x )+ g ( y ) - f ( y )
dt
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
2
Okazuje si teraz, e tylko dla niektórych warunków pocztkowych


x
y gdy t
i nasz cel zostaje osignity.
Nazwa metody - stymulacja rezonansowa - wywodzi si std, e - jak wykazano metodami wariacyjnymi dodatkowa sia wprowadzona do równa tak si dopasowuje w trakcie stymulacji aby maksymalizowa wpyw
napdu ma układ.
Mona pokaza, e metoda stymulacji rezonansowej nadaje si praktycznie dla ukadów dynamicznych,
dla których odwzorowanie Poincaré jest znane
tzn raczej dla ukadów z czasem dyskretnym a nie czasem cigym jak w pierwotnej propozycji Hüblera.
Cech charakterystyczn metody stymulacji rezonansowej jest to, e nie korzysta si ze sprzenia
zwrotnego - nie ma wic potrzeby monitorowania dynamiki ukadu w trakcie jej ewolucji i regulacja ukladu
moe by obliczona z góry.
Dynamika celu jest w zasadzie dowolna i nie musi by zwizana z cechami badanego ukadu
chaotycznego.
Ograniczenia metody:
1. Skuteczno kontroli zachowania ukadu w powanym stopniu uzaleniona jest od znajomoci

niezaburzonej dynamiki x ( t ) i mae bdy modelu maj tendencj do narastania w trakcie dziaania kontroli
ukadu.
2. Zbieno
 do dynamiki celu nie jest zapewniona i silnie zaley od warunku pocztkowego tj. od chwili
waczenia siy F .
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
3
Metoda Grebogi, Ott i Yorke'a (OGY, r. 1990):
Metoda ta zostaa wielokrotnie uyta w eksperymentach.
Wykorzystuje ona to, że:
w stanie chaotycznym układu istnieje nieskoczenie wiele niestabilnych trajektorii periodycznych.
Ilustruje to rysunek poniżej, na którym pokazano linią, żółtą atraktor oscylatora Dufinga
a liniami kolorowymi naniesiono dwie orbity periodyczne. Są one stabilne w innym zakresie parametrów
niż atraktor chaotyczny.
Rozwamy dwuwymiarowe odwzorowanie

M (x, p ) gdzie p jest parametrem kontrolnym.
Niech dla p = p odwzorowanie M posiada niestabilny
punkt stay x F ( p ) .
Przypumy, e chcemy ustabilizowa trajektori ukadu wanie w tym punkcie staym przy pomocy maych
zmian parametru p.
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
4
W tym celu zastpujemy p przez
pn = p + qn
przy czym ograniczamy zaburzenie qn tak aby | qn | < q* gdzie q* jest mae (linearyzacja!).
Zakadamy, e trajektoria znalaza si na tyle blisko punktu staego, e mona zlinearyzowa


odwzorowanie M (x, p ) wokó x = x F ( p )
co daje







g
+
[
+
x n+1 q n
u eu f u
s e s f s ] [ x n - qn g ]
gdzie wybralimy wspórzdne tak aby x F ( p ) = 0 w ponadto:


xF
g=
|p = p
p
- λs i λu s stabiln i niestabiln wartoci wasn zlinearyzowanego odwzorowania
- e 1 i e s stabilnym i niestabilnym wektorem wasnym za


- f 2 i f s wektorami bazy kontrawariantnej zdefiniowanymi jako:
   
f s e s = f u eu = 1
 
 
=
f s eu f u e s = 0
s
s
u
u
Nastpnie wybieramy takie qn
aby xn + 1 znalazo si w przyblieniu na stabilnej rozmaitoci punktu staego x F ( p ) = 0 .
W tym celu szukamy takiego qn aby:

f u x n+1 = 0
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
5

Gdy tylko xn + 1 znajdzie si na stabilnej rozmaitoci punktu staego x = 0
moemy pooy qn = 0 a trajektoria osignie punkt stay z prdkoci dan przez λs.

Mno skalarnie równanie slinearyzowane przez f u otrzymuje si równanie na zaburzenie:
 
xn f u
u
q n = q ( x n )
 
1
g
fu
u
z ktorego mona korzysta dla | qn | < q* .
W przeciwnym wypadku kadziemy qn = 0.
Jak wida, dla zaoonego maego q* typowy warunek pocztkowy spowoduje
powstanie trajektorii chaotycznej, która bdzie taka sama jak dla przypadku bez kontroli
a x n nie wejdzie do obszaru takiego, e | xun | < x* gdzie
 
u
xn = f u x n
x* = q*
1-
1  
g fu
1
u
W tym momencie wcza si dziaanie algorytmu kontroli.
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
6
Jednake nawet wtedy moe si okaza, e trajektoria nie osignie celu
ze wzgldu na nieliniowoci pominite w równaniu na qn.
Po pewnym czasie chaotycznego badzenia po atraktorze
- ze wzgldu na ergodyczno trajektoria znajdzie si na tyle blisko, e kontrola okae si skuteczna.
Na rysunku wida, e zaburzenie wprowadane
przez algorytm musi by mae aby
przemieszczenie punktu staego (odksztacenie
rozmaitoci) pod wpywem zmiany parametru
kontrolnego nie byo due.
Uogólnienie powyszego wywodu na
trajektorie periodyczne osiga si poprzez uycie
odpowiednio wysokiej iteracji odwzorowania M.
Punkty stae takiego odwzorowania tworz wanie
trajektori periodyczn.
W wyniku dziaania algorytmu OGY
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
7
tworzymy stabiln trajektori
ale jest ona poprzedzona przez chaotyczny stan nieustalony (chaotic transient).
Czas trwania takiego stanu jest czuy na warunek pocztkowy.
Dla przypadkowo wybranych warunków pocztkowych redni czas trwania stanu nieustalonego <τ>
podlega skalowaniu:
< > q*
gdzie wykadnik γ dany jest przez:
= 1+
1 ln | u |
2 ln | s |-1
Przykad: Kontrola chaosu metod
OGY dla pewnego odwzorowania cztero-wymiarowego (patrz podręcznik
Otta, str. 177)
Strzałki u góry wskazują momenty włączenia algorytmu kontroli OGY.
Każdy stan periodyczny jest poprzedzony różnej długości stanem
nieustalonym.
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
8
Istotn zalet algorytmu OGY jest to, e nie jest potrzebny do jego realizacji model matematyczny.
Wystarczy bowiem dokona rekonstrukcji trajektorii fazowej we wspórzdnych opónionych.
Nastpnie trzeba okreli odwzorowanie powrotów z przekroju Poincaré
Na nim okreli pooenie trajektorii periodycznych, ich wartoci wasnych oraz wektorów e s,u oraz

f s,u
Okazuje si przy tym, e metoda nie jest zbyt wraliwa na bdy wyznaczania tych wielkoci ani te na
szum (jeli tylko q* nie jest za mae).
Metoda OGY pozwala stabilizowa jedynie istniejce trajektorie niestabilne tak wic dynamika celu nie jest
dowolna.
Przykad: kontrola drga tamy magnetoelastycznej
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
9
- wybrano wartoci nominalne amplitudy pola magnetycznego Hac, staego pola podmagnesowania Hdc i
czstoci ω i zmierzono przekrój stroboskopowy próbkujc 500 razy sygna pooenia tamy raz na okres siy
wymuszajcej 2π/ω.
- utworzono odwzorowanie pierwszych powrotów dla wartoci nominalnych parametrów ukadu
Do otrzymanej krzywej dowiadczalnej dopasowano krzyw cig przy pomocy metody sześciennych funkcji
sklejanych (cubic spline).
Tak powstao odwzorowanie F( p ,Xn) dla nominalnej wartoci parametru kontrolnego p .
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
10
- zmniejszono parametr kontrolny do p - Δp, wykonano 500 próbkowa i otrzymano nowe odwzorowanie F dla
tej wartoci parametru
- powtórzono procedur dla p + Δp.
- majc trzy dowiadczalnie otrzymane odwzorowania opisane funkcjami cubic spline mona byo
interpolowa pomidzy nimi dla innych wartoci parametru kontrolnego p pomidzy p -Δp a p +Δp.
- niech celem bdzie dotarcie do punktu X = 2.5. Jest on ciekawy dlatego, e normalnie trajektoria do niego
dociera rzadko (miara na atraktorze w tym miejscu jest maa).
Dla kadej ze skrajnych i dla redniej wartoci parametru kontrolnego trajektoria dociera do X
raz na ok. 500 razy.
- procedur OGY uruchamiano po 100 iteracjach (okresach drga)
[2.49, 2.51]
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
Jak wida, trajektoria osiga punkt celu ju po zaledwie kilku iteracjach (okresach drga).
Problemy:
a) jednowymiarowe przyblienie ukadu wielowymiarowego
b) w kadym kroku zmienia si parametr; tymczasem jest jeszcze zaleno od pn-1
co nie mieci si w OGY - ale kontrola bya skuteczna.
11
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
12
Kontrola chaosu z uyciem sprzeenia zwrotnego (feedback control):
W tej grupie metod w teorii sterowania, kontrol uzyskuje si przez oddziaywanie na parametr kontrolny
ukadu a nie poprzez dziaanie dodatkowej siy.
Kontrola adaptacyjna (adaptive control):
Huberman i Lumer (1990) zaproponowali zmian parametru kontrolnego ukadu uzalenion od
odchylenia stan ukadu od stanu celu. W tej metodzie nie jest konieczne aby dynamika celu bya zwizana z
istniejc (niekontrolowan) dynamik chaotyczn.
Szkic metody:
Powiedzmy, e dynamika ukadu opisana jest przez

dx  
= f ( x, p )
dt
za dynamika celu przez:

dy  
=g( y ,p )
dt
gdzie p jest (dostpnym dla nas) parametrem kontrolnym ukadu.
 
Niech p = p ( x - y )
Okazuje si, e dla wielu prostych funkcji
 
takich jak np. p = p0 ( x - y )
ukad dynamiczny moe by skutecznie kontrolowany.
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
13
Kontrola chaosu metod Pyragasa
Jak si okazuje metoda OGY ma pewne ograniczenia:
 wymaga cigego ledzenia stanu (pooenia) ukadu
 sama metoda dziaa na przekroju Poincaré
a wic wymaga wyznaczenia odwzorowania dyskretnego ukadu
 nie nadaje si ona do kontroli ukadów, w których odwrotno wykadnika Liapunowa (miara czasu
przewidywalności układu) jest porównywalna z czasem pomidzy przeciciami paszczyzny Poincaré
 poniewa dla ukadów z czasem cigym interwencje algorytm kontroli s stosunkowo rzadkie (tzn. wtedy
gdy nastpuje przecicie paszczyzny Poincaré) wpyw szumu moe by znaczny i destrukcyjny.
Metoda zewntrznego wymuszenia Pyragasa
Zaómy, e dany jest ukad dynamiczny opisany nieznanymi zwyczajnymi równaniami róniczkowymi moemy zmierzy jedynie pewn skalarn wspórzdn tego
ukadu.
Zakadamy te, e ukad mona pobudza zewntrzn si.
dx

= Q(y, x)
dt
dy

= P(y, x) + F(t)
dt
gdzie P i Q s nieznanymi funkcjami, y jest wielkoci, któr moemy zmierzy za wektor x reprezentuje
pozostae zmienne opisujce ukad.
Zakadamy, e gdy F = 0 ukad posiada dziwny atraktor.
Przypumy, e ukad posiada niestabiln orbit periodyczn o okresie T.
(Istniej róne metody wyznaczania niestabilnych orbit periodycznych (UPO)).
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
14
Aby stabilizowa nasz ukad na UPO o okresie T budujemy osobny oscylator dajcy sygna o zadanym okresie
T.
Si wymuszajc tworzymy jako:
F ( t ) = K [ yi (t) - y (t)] = K D(t)
gdzie
K jest sta sprzenia
yi to sygna z oscylatora sterujcego
y(t) to sygna pochodzcy z ukadu (patrz rys. a poniej).
Metoda zewntrznej kontroli zostaa zastosowana do wielu rónych
ukadów dynamicznych jak ukad Lorenza, oscylator Duffinga
oraz oscylator Rösslera:
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
15
dx
=- y - z
dt
dy
= x + 0.2y + F(t)
dt
dz
= 0.2 + z(x - 5.7)
dt
Przykady zastosowania do 2 UPO tego ukadu (lewy rysunek):
oraz stabilizacja orbity o okresie 1
rónych
poziomach
(prawy
w obecnoci szumu o dwóch
rysunek).
Dynamika ukladów nieliniowych 2009
Wykład 12
16
Metoda zewntrznej kontroli jest niedogodna - wymaga budowy oddzielnego generatora sygnau.
Metoda Pyragasa kontroli chaosu ze sprzeniem zwrotnym
Zamiast sygnau y1 z zewntrznego róda uywamy sygnau y pochodzcego z chwili cofnitej w czasie o
okres T orbity, któr chcemy stabilizowa:
F ( t ) = K [y(t - T) - y (t)] = K D(t)
Schemat ukadu stabilizacji orbit przedstawia rysunek b) powyej.
Przykad zastosowania tej metody do ukadu Rösslera:
Okazuje si, e metoda taka jest bardzo skuteczna i wymaga tylk o uucia
proste linii opóniajacej.
W praktyce wystarczy zmienia opónienie T a wtedy gdy okres danego
UPO pokrywa si z wartoci opónienia nastpuje kontrola (stabilizacja)
tej orbity.
W ten sposób mona w pynny sposób dokona wyboru orbity do
stabilizacji.
Potrzeba te dobra sta sprzenia K - dla kadej UPO istnieje
waciwy zakres K:
Oczywicie
nie
wszystkie
orbity
stabilizuj si jednakowo atwo - niektóre
maj tak due dodatnie wykadniki
Liapunowa, e zakres K, w którym
nastpuje stabilizacja orbity jest bardzo
wski.