mn - ćw4 - handouts

Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Metody numeryczne
dr Artur Woike
Ćwiczenia nr 4
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej.
dr Artur Woike
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Metody numeryczne
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Niech będą dane punkty x0 , . . . , xn i wartości y0 , . . . , yn , takie że
∀i=0,...,n yi = f (xi )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej),
takiej że:
∀i=0,n F (xi ) = yi .
Poza węzłami funkcja F powinna przybliżać wartości funkcji f .
W naszym przypadku szukamy funkcji F w postaci wielomianu Wn
stopnia mniejszego lub równego n. Zatem ogólnie mamy, że:
∀x∈R F (x) = Wn (x) ∧ ∀i=0,...,n Wn (xi ) = yi .
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Interpretacja geometryczna
Z warunku ∀i=0,...,n Wn (xi ) = yi wynika, że wykres wielomianu
Wn na płaszczyźnie R2 musi przechodzić przez wszystkie z punktów
(x0 , y0 ) , . . . , (xn , yn ) lub (przy stosowaniu równoważnych oznaczeń)
(x0 , f (x0 )) , . . . , (xn , f (xn )).
dr Artur Woike
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Metody numeryczne
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Interpretacja geometryczna
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Twierdzenie interpolacyjne
Twierdzenie. (o istnieniu wielomianu interpolacyjnego)
Istnieje dokładnie jeden wielomian interpolacyjny Wn stopnia co najwyżej n (n ­ 0), który w punktach x0 , . . . , xn przyjmuje wartości
y0 , . . . , yn .
Uwaga.
Wielomian Wn może być stopnia mniejszego od n.
dr Artur Woike
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Metody numeryczne
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Przykłady interpolacji
Interpolacja wielomianem niższego stopnia:
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Przykłady interpolacji
Przybliżanie funkcji sinus wielomianem interpolacyjnym stopnia co najwyżej trzeciego:
dr Artur Woike
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Metody numeryczne
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Przykłady interpolacji
Zachowanie wielomianu interpolacyjnego dla funkcji sinus poza przedziałem interpolacji:
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Wyznaczanie wielomianu interpolacyjnego
Możemy założyć, że Wn (x) = nj=0 cj x j . Po wstawieniu tego wyrażenia do warunku ∀i=0,...,n Wn (xi ) = yi otrzymujemy następujący
układ n + 1 równań liniowych z n + 1 niewiadomymi:
P

Pn
j



j=0 cj x0 = y0


···············




 Pn c xnj = y
j=0 j
n
Po podstawieniu konkretnych danych układ ten należy rozwiązać
ze względu na współczynniki c0 , . . . , cn , które jednoznacznie określają postać wielomianu Wn .
dr Artur Woike
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Metody numeryczne
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Wyznaczanie wielomianu interpolacyjnego
Uwaga.
1
Sprawdzenie poprawności otrzymanego wielomianu interpolacyjnego bazuje na sprawdzeniu, czy jest zachodzą warunki:
∀i=0,...,n Wn (xi ) = yi .
2
Jeśli wśród danych wartości w węzłach jest wartość f (0), to powinna ona być równa wyrazowi wolnemu otrzymanego wielomianu interpolacyjnego:
f (0) = c0 .
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Przykład układu interpolacyjnego (n = 3)
Notacja standardowa:



c0 + c1 x0 + c2 x02 + c3 x03





 c0 + c1 x1 + c2 x 2 + c3 x 3
1
1


c0 + c1 x2 + c2 x22 + c3 x23





 c + c x + c x2 + c x3
0
1 3
2 3
3 3
= y0
= y1
= y2
= y3
Notacja macierzowa:

1 x
0


 1 x1



 1 x2

x02
x03
x12 x13
x22 x23
1 x3 x32 x33
dr Artur Woike
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
 
 
 
 
 
·
 
 
 
c0
c1
c2
c3


y

  0 
 

  y1 
 

=

 

  y2 
 

y3
Metody numeryczne
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Stosowanie interpolacji wielomianowej.
Zadanie 1.
Niech f (x) = x 3 − 2x 2 + 3x − 1. Niech będą dane węzły interpolacji
xi = −2 + i oraz wartości w węzłach yi = f (xi ) (i = 0, . . . , n).
Wyznaczyć wielomiany interpolacyjne W1 , W2 , W3 i W4 .
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Wielomiany czynnikowe i wzór Lagrange’a
Niech będą dane węzły x0 , . . . , xn (xi 6= xj dla i 6= j) oraz odpowiadające im wartości y0 , . . . , yn . Dla każdego j = 0, . . . , n kładziemy:
φj (x) =
(x − x0 ) . . . (x − xj−1 )(x − xj+1 ) . . . (x − xn )
.
(xj − x0 ) . . . (xj − xj−1 )(xj − xj+1 ) . . . (xj − xn )
Wtedy wielomian interpolacyjny Wn jest określony następująco:
Wn (x) = y0 · φ0 (x) + . . . + yn · φn (x) =
n
X
yi φi (x).
i=0
Uwaga.
Wielomiany φj są nazywane wielomianami czynnikowymi.
dr Artur Woike
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Metody numeryczne
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Stosowanie wzoru Lagrange’a.
Zadanie 2.
Niech będą dane węzły interpolacji xi = −2 + i (i = 0, . . . , 4). Wyznaczyć za pomocą wzoru interpolacyjnego Lagrange’a wielomiany
interpolacyjne W1 , W2 , W3 i W4 dla następujących wartości w węzłach:
1
y0 = −17, y1 = −5, y2 = −1, y3 = 1, y4 = 7;
2
y0 = 25, y1 = 8, y2 = 5, y3 = 4, y4 = 17;
3
y0 = 12, y1 = 6, y2 = 2, y3 = 0, y4 = 0.
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Lagrange’a
Oznaczenia:
f jest przybliżaną funkcją (musi posiadać pochodne do rzędu n + 1
włącznie na rozpatrywanym przedziale);
x jest punktem, w którym badamy dokładność;
ha, bi jest rozpatrywanym przedziałem przybliżania interpolacyjnego,
takim że x ∈ ha,
xi ∈ ha, bi;
bi ∧ ∀i=0,...,n
(n+1) Mn+1 = sup f
(t);
t∈ha,bi
ωn (x) = (x − x0 ) (x − x1 ) . . . (x − xn ).
dr Artur Woike
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Metody numeryczne
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Lagrange’a
Mamy następujące oszacowanie (z góry) dla błędu wzoru interpolacyjnego Lagrange’a:
|f (x̄) − Wn (x̄)| ¬
Mn+1
|ωn (x̄)|.
(n + 1)!
Uwaga.
Ponieważ przy ustalonych danych wielomian interpolacyjny jest dokładnie jeden, więc oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Lagrange’a jest prawdziwe również dla innych wzorów interpolacyjnych.
dr Artur Woike
Metody numeryczne
Wprowadzenie do interpolacji wielomianowej
Interpolacja wielomianowa
Wzór interpolacyjny Lagrange’a
Oszacowanie błędu interpolacji
Stosowanie oszacowania błędu interpolacji
Zadanie 3.
Wyznaczyć z jaką dokładnością można obliczyć za pomocą wielomianu interpolacyjnego W1 , W2 , W3 i W4 :
1
2
3
π
wartość sin 36
, jeżeli znane są wartości y0 = sin 0, y1 = sin π6 ,
y2 = sin π4 , y3 = sin π3 .
wartość ln 100.5, jeżeli znane są wartości y0
y1 = ln 101, y2 = ln 102, y3 = ln 103.
= ln 100,
wartość e 10.311 , jeżeli znane są wartości y0 = e 5 , y1 = e 9 ,
y2 = e 10 , y3 = e 11 , y4 = e 13 .
Uwaga.
Przyjąć π ≈ 3.14159 i e ≈ 2.71828.
dr Artur Woike
Metody numeryczne