5. Algebra – działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała

5. Algebra – działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała

5. Algebra – działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała,
pierścień wielomianów.
Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym
początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań (dla równań pierwszego
i drugiego stopnia ustalono je już w starożytności). Badaniem równań
wyższych stopni zaczęto zajmować się intensywnie w XVI-XIX w.
Przyczyniło się to do powstania dużej części algebry współczesnej m.in. teorii
grup i ciał. Inne działy algebry wywodzą się natomiast z badań nad różnymi
dziedzinami matematyki i tak np. teoria pierścieni z teorii liczb, algebra
liniowa z geometrii.
Algebra ma więc szerokie zastosowania w teorii liczb, analizie funkcjonalnej,
teorii równań różniczkowych, geometrii, programowaniu liniowym, a także
w fizyce, ekonometrii i informatyce.
Przedmiotem badań algebry współczesnej są zbiory z określonymi w nich
operacjami (zwanych działaniami), czyli grupy, pierścienie, moduły,
przestrzenie liniowe, kraty.
Działania (operacje)
Działaniem (operacją) n-argumentowym (n∈N) w zbiorze A nazywamy każdą
funkcję O: An → A, która uporządkowanemu n-elementowemu ciągowi z An
przyporządkowuje pewien element zbioru A.
O zbiorze A mówimy, że jest zamknięty ze względu na n-argumentowe
działanie O wtedy i tylko wtedy, gdy wynik działania O dla dowolnego
n-elementowego ciągu z An należy do A, czyli
∀ (a1, a2, …, an) ∈ An
O (a1, a2, …, an) ∈ A.
Przypadek dla n=0 jest również dopuszczalny, mówi się wtedy o działaniu O
zeroargumentowym w zbiorze A, które jest dowolnym elementem tego zbioru
(O∈A) i zwane jest stałą.
Szczególnie ważny przypadek stanowi funkcja O: A2 → A, czyli dla n=2,
które nazywa się działaniem dwuargumentowym (operacją binarną) lub krócej
działaniem (operacją). Zamiast pisać O (a,b) zapisujemy a O b.
Często działania oznaczamy symbolami +,-, ⋅, *, ⊕, ⊗.
Własności działań
1. Przemienność
Działanie O nazywamy przemiennym w A, jeżeli
∀ a, b∈A
a O b = b O a.
2. Łączność
Działanie O nazywamy łącznym w A, jeżeli
∀ a, b, c∈A
(a O b) O c= a O (b O c).
Element e∈A nazywamy elementem neutralnym (jednością), jeżeli
∀a∈A
a O e = e O a = a.
Element a-1∈A nazywamy elementem odwrotnym do elementu a, jeżeli
a O a-1 = a-1 O a = e.
Twierdzenie
W zbiorze A, w którym określone jest działanie O, istnieje co najwyżej jeden
element neutralny.
Dowód: Załóżmy, że w A istnieją dwa elementy neutralne działania O : e
oraz e’. Z definicji elementu neutralnego wynika, że
e' = e' O e = e,
czyli są one sobie równe.
Mówimy, że w zbiorze A, w którym określone jest działanie O, zachodzi
prawo skracania, jeśli
∀ a, b, c ∈ A zachodzi
(a O b = a O c ⇒ b=c) ∧ (b O a = c O a ⇒ b=c).
Jeżeli działanie O jest przemienne w A, to w powyższej definicji wystarczy
tylko jeden człon koniunkcji.
Działania zewnętrzne
Działaniem
zewnętrznym
nazywamy
odwzorowanie
O : A×K → A, gdzie A≠K, które każdej parze (a, k), gdzie a∈A i k∈K
przyporządkowuje element zbioru A.
Struktury algebraiczne
Algebrą abstrakcyjną (algebrą) nazywamy każdy układ Q postaci
Q = (A, O1, O2,…, Om),
gdzie A jest niepustym zbiorem i Oi, dla i=1,2,…,m jest działaniem w A oraz
zbiór A jest zamknięty ze względu na te działania.
Podalgebra
Niech Q = (A, O1, O2,…, Om) będzie dowolną algebrą i podzbiór B≠∅ zbioru
A. Układ Q’ postaci
Q’ = (B, O1, O2,…, Om),
nazywamy podalgebrą algebry Q, jeżeli zbiór B jest zamknięty ze względu na
działania O1, O2,…, Om.
Niepusty
podzbiór
A0
zbioru
A
nazywamy
zbiorem
generatorów
(generatorem) algebry Q = (A, O1, O2,…, Om) wtedy i tylko wtedy, gdy
najmniejszą podalgebrą zawierającą A0 jest sama algebra Q. O zbiorze A0
mówimy, że generuje zbiór A.
Systemem algebraicznym (relacyjnym) nazywamy układ S postaci
S = (A, O1, O2,…, Om, ℜ1, ℜ2,…, ℜk),
gdzie A jest niepustym zbiorem zwanym uniwersum systemu, Oi, dla i=1,2,…
,m jest działaniem w A oraz zbiór A jest zamknięty ze względu na te działania
i ℜj dla j=1,2,…,k są relacjami w A.
Jeśli uniwersum systemu składa się z obiektów różnych typów, to system
nazywamy wielosortowym.
System algebraiczny S’ = (B, O1, O2,…, Om, ℜ1, ℜ2,…, ℜk) nazywamy
podsystemem systemu algebraicznego S = (A, O1, O2,…, Om, ℜ1, ℜ2,…, ℜk),
jeżeli gdy B⊂A.
Półgrupa
Zbiór A wraz z działaniem łącznym *, przy czym A jest zamknięty ze względu
na działanie * nazywamy półgrupą i oznaczamy (A, *).
Grupa
Zbiór G wraz działaniem * nazywamy grupą i oznaczamy (G, *), jeśli
1. * jest działaniem łącznym,
2. istnieje element neutralny działania *,
3. ∀g∈G istnieje element odwrotny.
Warunki 1- 3 nazywają się aksjomatami grupy, element neutralny w grupie
nazywa się jednością grupy.
Twierdzenie
W dowolnej grupie G, ∀g∈G istnieje dokładnie jeden element odwrotny.
Dowód:
Niech g∈G i niech każdy z elementów g’∈G i g”∈G jest elementem
odwrotnym do g. Jeśli e jest jednością grupy, wówczas:
g"=e*g”=(g’*g)*g”=g’*(g*g”)=g’*e=g’,
czyli są one sobie równe.
Jeżeli dodatkowo działanie * jest przemienne, to grupę nazywamy przemienną
lub abelową.
Jeżeli mamy do czynienia z grupami nieabelowymi oraz z grupami w ogóle,
działanie * oznacza się ⋅ i nazywa mnożeniem, wówczas zamiast pisać a⋅b
piszemy ab. Element neutralny oznacza się wtedy przez e, a element odwrotny
przez a-1. Wyrażenie aa…a (n razy) oznaczamy an i nazywamy n-tą potęgą
elementu a. Taki sposób zapisu nazywa się multiplikatywny.
W grupach abelowych przyjmuje się oznaczenie działania * przez + i nazywa
je dodawaniem. Element neutralny oznacza się wtedy przez 0, a element
odwrotny przez –a, wtedy zamiast pisać a+(-b) piszemy a-b. Wyrażenie
a+a+…+a (n razy) oznaczamy n⋅a i nazywamy n-tą wielokrotnością elementu a
Taki sposób zapisu nazywa się addytywny.
Niech (G, *) będzie grupą i niech a, b∈G, wtedy zachodzą następujące
twierdzenia:
1. e-1=e,
2. (a-1)-1=a,
3. (a*b)-1=b-1*a-1,
4. Działanie * spełnia prawo skracania,
5. Każde z równań a*x=b oraz y*a=b posiada jednoznaczne rozwiązanie w G.
Jeśli (G,*) jest grupą, to moc zbioru G nazywamy rzędem grupy G. Grupy
nazywamy skończonymi (przeliczalnymi, nieprzeliczalnymi), jeżeli moc
zbioru G jest skończona (przeliczalna, nieprzeliczalna).
Grupa (G, *), w której istnieje element a o tej właściwości, że każdy element
grupy jest jego potęgą (wielokrotnością) nazywa się grupą cykliczną. Element
a nazywa się generatorem grupy cyklicznej, co zapisujemy G=<a>.
Korzystając z logiki predykatów można zapisać:
G=<a> ⇔ ∃a∈G ∀g∈G ∃n∈Ζ g = an (g = n⋅a).
Każda grupa cykliczna jest abelowa, ale nie na odwrót.
Podgrupa
Podzbiór H grupy (G, *), będący grupą względem działania * nazywamy
podgrupą grupy G.
Każda grupa zawiera jako podgrupy siebie samą i grupę zawierająca tylko
jedność, są to tak zwane podgrupy niewłaściwe, pozostałe podgrupy
nazywamy właściwymi.
Grupy permutacji
Wzajemnie jednoznaczne przekształcenie zbioru X≠∅ na siebie nazywamy
permutacją zbioru X. Zbiór wszystkich permutacji zbioru X oznaczamy
S(X) lub SX.
Jeżeli zbiór X jest skończony o mocy n, to S(X) = n!. Wtedy przyjmujemy
oznaczenie S(X) = Sn.
Permutację σ∈Sn zapisuje się w postaci tabelarycznej (dwuwierszowej):
2 
n 
 1
σ = 
,
 σ (1) σ (2)  σ (n ) 
gdzie w górnym wierszu znajdują się elementy zbioru X, a w dolnym wierszu
napisane pod nimi ich obrazy.
Jeśli wprowadzimy oznaczenie σ(i)=ai dla i=1,2,…,n wtedy zapisujemy
permutacje w postaci:
 1 2  n
σ = 
.
 a1 a 2  a n 
W zapisie dwuwierszowym
permutacja I tożsamościowa (identycznościowa) ma postać
1 2  n
I= 
,
1 2  n
Natomiast permutacja σ-1 odwrotna do permutacji σ ma postać
 a1
σ = 
 1
a2  an 
.
2  n
W zbiorze S(X) określone jest działanie złożenia (superpozycji) permutacji,
które można zapisać w postaci tabelarycznej:
2 
n   1
2  n 
 1
σ r = 
 
=
 σ (1) σ (2)  σ (n )   r (1) r (2)  r (n ) 
2

n 
 1
= 
.
 σ (r (1)) σ (r (2))  σ (r (n )) 
Twierdzenie
Zbiór wszystkich permutacji zbioru X z działaniem złożenia przekształceń,
czyli (S(X), °) jest grupą.
Jeżeli zbiór X jest skończony i jego moc wynosi n, to grupa (S(X), °)=(Sn, °)
jest grupą rzędu n! i oznaczamy ją krótko Sn.
Niech a1, a2,…,ak będzie układem k różnych liczb ze zbioru {1,2,…,n} przy
czym (2≤ k ≤ n). Permutację σ∈Sn spełniającą warunki:
●
σ(aj)=aj+1 dla j=1,2,…,k-1,
●
σ(ak)=a1,
●
σ(i)=i dla i ∈{1,2,…,n}\{ a1, a2,…,ak}
Nazywamy cyklem k-wyrazowym lub cyklem długości k i zapisujemy jako
σ=(a1, a2,…,ak) pomijając w zapisie wyrazy, które przechodzą na siebie.
Każdy cykl długości k można zapisać na k sposobów.
Przykład
 1 2 3 4
 ∈S4 jest cyklem długości 3 i możemy zapisać ją
Permutacja σ = 
 4 2 1 3
jako:
σ = (1, 4, 3) = (4, 3, 1) = (3, 1, 4):
 1 2 3 4
 ≠σ.
Oczywiście (1, 3, 4) ≠ (1, 4, 3), gdyż (1, 3, 4) = 
 3 2 4 1
Cykl o długości k=2 nazywamy transpozycją. Jeśli σ = (a1, a2), to mówimy, że
σ jest transpozycją elementów a1 i a2. Zachodzi równość (a1, a2) = (a2, a1).
Dowodzi się, że grupy S1 i S2 są abelowe. Dla n ≥ 3 grupy Sn nie są abelowe.
Dwa cykle c1 = (a1,…, ak) i c2 = (b1,…, bl) z Sn nazywamy rozłącznymi, jeśli
zbiory {a1,…, ak } i {b1,… , bl} są rozłącznymi podzbiorami zbioru {1,…, n}.
Twierdzenie
Jeśli c1, c2 ∈ Sn są cyklami rozłącznymi, to c1°c2 = c2°c1.
Twierdzenie
Każda permutacja σ ∈ Sn jest identycznością, albo cyklem, albo złożeniem
cykli rozłącznych.
Twierdzenie
Każda permutacja σ ∈ Sn jest identycznością, transpozycją, albo złożeniem co
najwyżej n - 1 transpozycji.
Algebry podobne, homomorfizmy, izomorfizmy
Mówimy, że dwie algebry Q1 =(A,O1,O2,…,On) oraz Q2 =(B,O1’,O2’,…,Om’)
są podobne, jeżeli n=m i dla każdego j=1,2,…,n działania Oj i Oj’ mają tę
samą liczbę argumentów.
Niech
dane
będą
algebry
podobne
Q1=(A,O1,O2,…,On)
oraz
Q2=(B,O1’,O2’,…,On’). Przekształcenie h: A→B spełniające dla każdego
j=1,2,…,n i każdego ciągu (a1, a2,…,am(j)) elementów zbioru warunek:
h(Oj (a1, a2,…,am(j)))=Oj’(h(a1), h(a2),…, h(am(j)))
nazywamy homomorfizmem. Własność tę nazywamy zachowaniem operacji.
Homomorfizm dowolnej algebry Q1 =(A,O1,O2,…,On) w tę samą algebrę
nazywamy endomorfizmem.
Homomorfizm
algebry
Q1
=(A,O1,O2,…,On)
na
algebrę
podobną
Q2=(B,O1’,O2’,…,On’) nazywamy epimorfizmem.
Jeżeli homomorfizm jest przekształceniem różnowartościowym, to nazywamy
go monomorfizmem.
Przekształcenie, które jest jednocześnie epimorfizmem i monomorfizmem
nazywamy izomorfizmem.
Algebry podobne Q1=(A,O1,O2,…,On) oraz Q2=(B,O1’,O2’,…,On’), dla
których
istnieje
izomorfizm
przekształcający
A
na
B
nazywamy
izomorficznymi.
Izomorfizm dowolnej algebry Q1=(A,O1,O2,…,On) na Q1=(A,O1,O2,…,On)
nazywamy automorfizmem.
Kongruencje
Niech Q1=(A,O1,O2,…,On) będzie dowolna algebrą. Relację równoważności ℜ
w A nazywamy kongruencją w A, jeżeli dla każdego działania Oj, j=1,2,…,n,
spełniony jest warunek:
dla dowolnych elementów a1, a2,…,am(j), b1, b2,…,bm(j) zbioru A
jeśli a1ℜb1, a2ℜb2,…,am(j)ℜbm(j) to Oj (a1, a2,…,am(j))ℜ Oj (b1, b2,…,bm(j)).
Pierścienie, pierścienie wielomianów
Niech dany będzie zbiór A z dwoma działaniami ⊕ i ⊗. Działanie ⊗ jest
rozdzielne względem działania ⊕, jeśli
∀a,b,c∈A [a⊗(b⊕c)=(a⊗b)⊕(a⊗c)] ∧ [(b⊕c)⊗a=(b⊗a)⊕(c⊗a)].
Jeżeli ⊗ jest działaniem przemiennym, to wystarczy w tej definicji tylko jeden
człon koniunkcji.
Zbiór A, w którym określone są dwa działania ⊕ i ⊗, nazywamy pierścieniem,
jeśli spełnione są następujące warunki:
1. A jest grupą abelową względem działania ⊕.
2. działanie ⊗ jest rozdzielne względem działania ⊕.
3. działanie ⊗ jest łączne.
Warunki 1-3 nazywamy aksjomatami teorii pierścieni lub aksjomatami
pierścienia. Działanie ⊕ nazywamy dodawaniem i oznaczamy +, działanie ⊗
nazywamy mnożeniem i oznaczamy ⋅.
Zbiór A rozpatrywany jedynie z dodawaniem nazywamy grupą addytywną
pierścienia, natomiast jej element neutralny nazywamy zerem pierścienia
i oznaczamy 0.
Pierścień w którym mnożenie jest przemienne nazywamy pierścieniem
przemiennym.
Jeżeli w pierścieniu istnieje element neutralny mnożenia, to nazywamy go
jednością pierścienia i oznaczamy 1, a pierścień nazywamy pierścieniem
z jednością.
Niech (A,+,⋅) będzie pierścieniem i niech a,b,c,d∈A. Wtedy zachodzą
następujące własności:
1. 0⋅a=a⋅0=0,
2. – (-a)=a,
3. (-a)⋅b=a⋅(-b)=-(a⋅b)
4. (-a)⋅(-b)=a⋅b
5. a⋅(b-c)=a⋅b-a⋅c, (b-c)⋅a= b⋅a-c⋅a
6. (a-b)⋅(c-d)=a⋅c-a⋅d-b⋅c+b⋅d.
7. Jeżeli (A,+,⋅) jest pierścieniem z jednością to (-1)⋅a=-a.
Podzbiór B pierścienia (A,+,⋅) nazywamy jego podpierścieniem, jeżeli B
z działaniami + i ⋅ jest pierścieniem. Pierścień (A,+,⋅) nazywamy wówczas
rozszerzeniem pierścienia (B,+,⋅).
Niech (W,+,⋅) będzie pierścieniem przemiennym. Wielomianem jednej
zmiennej nad pierścieniem W nazywamy dowolny ciąg nieskończony
f=[a0,a1,a2,…] elementów pierścienia W, w którym wszystkie wyrazy
począwszy od pewnego miejsca są równe 0.
Wyrazy ciągu [a0,a1,a2,…] nazywamy współczynnikami wielomianu.
Wielomian [0,0,0,…] nazywamy wielomianem zerowym i oznaczamy 0.
Wielomian [1,0,0,…] nazywamy wielomianem jednostkowym.
Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej nad pierścieniem (W,+,⋅)
oznaczamy przez W[x].
W W[x] definiujemy działania dodawania i mnożenia następująco:
f + g = [a0+b0,a1+b1,a2+b2,…],
k
f ⋅ g = [c0,c1,c2,…], gdzie ck= ∑ a i ⋅ b k − i , dla k∈N.
i= 0
Twierdzenie
Zbiór W[x] wraz z określonymi powyżej działaniami + i ⋅, czyli (W[x],+,⋅)
jest pierścieniem przemiennym, którego zerem jest wielomian zerowy.