- at: www.journal.ue.wroc.pl

D I D A C T I C S
O F
M A T H E M A T I C S
No. 4 (8)
2007
Tadeusz Janaszak
(Wrocław)
PROSTA I ELIPSA
W OPISIE RUCHU DWU CIAŁ
Abstract. In this paper is shown a concept of explanation of the movement and collision of
two objects by means of analytical geometry.
Key words: equation of line, equation of ellipse, movement of two objects, energy, kinetic
energy, speed, collision of two objects.
1. Prosta i elipsa
RozwaŜmy dwa ciała, o masach odpowiednio m1 oraz m2 poruszające
się po linii prostej z prędkościami v1 oraz v2. ZałóŜmy, Ŝe m1 < m2.
Oznaczmy przez p pęd układu, a przez E jego energię kinetyczną. Mamy
zatem:
m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v2 = p
(1)
1
1
m1 ⋅ v12 + m2 ⋅ v22 = E .
2
2
(2)
oraz
W układzie współrzędnych: 0v1 – odcięta oraz 0v2 – rzędna, równanie
(1) przedstawia prostą, a równanie (2) elipsę. Parametrami prostej i elipsy są
masy cząstek, wartość pędu i wartość energii kinetycznej. Dowolny punkt
płaszczyzny (v1, v2) interpretujemy jako stan układu złoŜonego z dwu
poruszających się punktów. Pojęcie stanu układu opisuje prędkości cząstek,
a nie ich połoŜenia na. Wzór (1) wyraŜa pęd układu, a wzór (2) jego energię
kinetyczną. Prosta (1) jest zbiorem stanów o identycznym pędzie, natomiast
elipsa (2) jest zbiorem stanów o takiej samej energii kinetycznej.
Tadeusz Janaszak
14
W przypadku, gdy masy obu cząstek są równe, równanie (2) przedstawia
okrąg.
Prosta moŜe mieć względem elipsy trzy połoŜenia. Albo jest sieczną
elipsy, albo styczną do elipsy, albo nie ma z elipsą punktów wspólnych.
Symbolami p0, p1, p2, p3 oraz p4 oznaczymy proste równoległe do
prostej p danej równaniem (1); mają one równania
m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v2 = pk ,
(3)
gdzie k = 0, 1, 2, 3, 4. Dla uproszczenia symboliki proste oznaczamy w taki
sam sposób, jak wartości pędu: zob. równanie (3).
Prosta p2 nie ma z elipsą Ŝadnych punktów wspólnych. NiemoŜliwy jest
zatem stan układu, w którym pęd jest równy p2 i jednocześnie energia
kinetyczna jest równa E. WyraŜa to fizykalny fakt, Ŝe przy danej energii
kinety-cznej pęd układu jest ograniczony. Posługując się rys. 1, odczytamy
maksymalny pęd, który moŜe mieć układ dwu ciał przy zadanej energii
kinety-cznej równej E.
p2
v 1= v 2
p1
v2
p
p0
p4
C
B
G
B′
H
p3
G′
H
D
Rys. 1
′
v1
Prosta i elipsa w opisie ruchu dwu ciał
15
Proste p1 oraz p3 są styczne do elipsy, a proste p, p0 oraz p4 są
siecznymi elipsy. Z połoŜenia prostych względem elipsy wyciągniemy
wnioski waŜne z punktu widzenia fizyki.
2. Maksymalny i minimalny pęd, minimalna energia kinetyczna
Na rysunku 1 zaznaczono prostą p1 jako styczną do elipsy danej
równaniem (2) w punkcie C(c, c), który ma obie współrzędne równe, a
prostą p3 jako styczną do elipsy w punkcie D(d, d), który podobnie jak
punkt C ma obie współrzędne równe. Elipsa jest symetryczna względem
początku układu współrzędnych, skąd wynika, Ŝe p3 = −p1 oraz d = −c.
WykaŜemy, Ŝe proste równoległe do prostej danej równaniem (1) i styczne
do elipsy danej równaniem (2) rzeczywiście mają punkty styczności leŜące
na prostej o równaniu
v1 = v 2 ,
(4)
czyli Ŝe połoŜenie prostych p1 oraz p3 stycznych do elipsy (2) i równoległych do prostej (1) jest takie, jak na rys. 1.
Z ogólnych wzorów dotyczących elipsy i dostępnych w kaŜdych
tablicach wiadomo, Ŝe styczna do elipsy (2) w punkcie C(c, c), ma
równanie:
1
1
m1 ⋅ c ⋅ v1 + m2 ⋅ c ⋅ v2 = E ,
2
2
(5)
gdzie c jest rozwiązaniem układu równań (2) i (4), skąd:
c=
2E
,
m
przy czym przez m oznaczono całkowitą masę układu, a więc: m = m1 + m2 .
Wektor prostopadły do prostej danej równaniem (5) jest równy:
1 ⋅ c ⋅ m , m , a więc jest on równieŜ prostopadły do prostej (1), co
( 1 2)
2
dowodzi, Ŝe proste równoległe do prostej danej równaniem (1) i styczne do
elipsy danej równaniem (2) mają punkty styczności leŜące na prostej o
równaniu v1 = v 2 , czyli Ŝe sytuacja wygląda tak, jak przedstawiono na rys.
1.
Równanie (5) przedstawimy w postaci:
m1 ⋅ v1 + m2 ⋅ v 2 = 2mE .
(6)
Tadeusz Janaszak
16
Stąd wnosimy, Ŝe jeŜeli parametr p w równaniu (1) spełnia nierówność
p 2 < 2mE ,
to układ równań (1) i (2) ma dwa rozwiązania, co oznacza, Ŝe dla danych
wartościa pędu i energii kinetycznej są moŜliwe dwa stany, w których układ
moŜe mieć zadane wartości pędu i energii kinetycznej. Na rysunku 1
sytuacja taka zachodzi dla prostych: p, p0, p4. Jeśli spełniona jest
nierówność
p 2 > 2mE ,
to układ równań (1) i (2) nie ma rozwiązań. Na rysunku 1 sytuację taką
przedstawia prosta p2. W takim wypadku niemoŜliwy jest taki stan, w
którym to układ miałby zadane wartości pędu i energii kinetycznej. JeŜeli
zachodzi równość
p 2 = 2mE ,
to układ równań (1) i (2) ma jedno rozwiązanie. Na rysunku 1 zob. proste p1
i p3. Wartość p1 = 2mE jest maksymalną, a wartość p3 = − 2mE jest
maksymalną i minimalną wartością pędu układu przy zadanej wartości
energii kinetycznej równej E.
Odwrotnie, rozwaŜymy zbiór elips o równaniach
1
1
m1 ⋅ v12 + m 2 ⋅ v 22 = E j ,
2
2
gdzie i= 0, 1, 2, 3.
v2
p
v 1= v 2
B2
p0
B
B0
B′
E3
E2
E
E0
(7)
v1
′
B2
Prosta i elipsa w opisie ruchu dwu ciał
17
Rys. 2
Jeśli wartość energii kinetycznej spełnia nierówność
E>
p2
,
2m
to istnieją dwa rozwiązania układu równań (1) i (2), a więc moŜliwe są dwa
stany, w których moŜe znaleźć się układ przy z góry zadanych wartościach
pędu i energii kinetycznej. Na rysunku 2 są to elipsy oznaczone symbolami
E oraz E2. Jeśli wartość energii kinetycznej spełnia nierówność
E>
p2
,
2m
to istnieją układ równań (1) i (2) nie ma rozwiązania. Na rysunku 2 warunek
ten spełnia elipsa E3. W tej sytuacji niemoŜliwy jest stan, w którym układ
przybierałby takie wartości pędu i energii kinetycznej. W wypadku równości
p2
E3 =
2m
wartość E3 jest minimalną energią kinetyczną, jaką musi mieć układ przy
zadanym pędzie równym p (wartość pędu moŜe być dodatnia lub ujemna).
Z tego, Ŝe punkty styczności prostej i elipsy leŜą na prostej o równaniu
(4) wynikają wnioski: dla zadanej wartości pędu układ ma minimalną
energię, jeśli prędkości obu cząstek są równe. Dla zadanej energii
kinetycznej pęd układu jest maksymalny, jeśli prędkości obu cząstek są
równe i dodatnie, a minimalny, jeśli prędkości obu cząstek są równe i
ujemne.
Prosta p0 jest zbiorem stanów, dla których łączny pęd układu wynosi
zero. Współczynnik kierunkowy tej prostej wynosi
−
m1
.
m2
Iloczyn współczynników kierunkowych prostej danej równaniem (4) i
prostej p0 wynosi równieŜ
−
m2
.
m1
Tadeusz Janaszak
18
Półoś wielka elipsy (2) jest równa
a=
2E
,
m1
b=
2E
,
m2
a półoś mała wynosi
skąd mamy równość
−
m
b2
=− 1 .
2
m2
a
Wynika stąd, Ŝe zawarte w elipsie odcinki prostych o równaniach (4) i (3),
dla p0 = 0, a więc odcinki C, D oraz G, G′ są parą średnic sprzęŜonych
elipsy, co oznacza, Ŝe prosta o równaniu (4) połowi odcinki B, B′, H, H′
oraz G, G′. Przy zerowym pędzie jest moŜliwa dowolna wartość energii
kinetycznej. Minimalna energia kinetyczna takiego układu wynosi zero
i jest osiągnięta wówczas, gdy obie cząstki są w stanie spoczynku.
3. Zderzenie cząstek
Przy odbiciu spręŜystym zachowane są zarówno pęd, jak i energia
kinetyczna. Jeśli układ ma pęd równy p i energię kinetyczną równą E, to z
analizy rysunku 1 i równań (1) oraz (2) wynika, Ŝe po odbiciu spręŜystym
układ ze stanu B(b1, b2) przejdzie w stan B′(b1′, b2′). Jeśli układ znajduje się
w stanie B′, to po odbiciu spręŜystym znajdzie się w stanie B. Podobnie
zachowa się układ, jeśli będzie miał pęd p4 i energię kinetyczną równą E;
wówczas ze stanu H przejdzie po odbiciu spręŜystym w stan H ′ i odwrotnie
− ze stanu H ′ przejdzie w stan H. Jeśli układ ma pęd równy zeru to ze stanu
G przejdzie po odbiciu spręŜystym w stan G ′ i odwrotnie ze stanu G ′
w stan G; współrzędne obu punktów wynoszą odpowiednio G(− g1, g2) oraz
G ′(g1, − g2), przy czym, rozwiązując układ równań (2) i (3) dla k = 0
dostajemy równości:
g1 =
2 E m2
⋅
oraz g 2 =
m m1
2 E m1
⋅
.
m m2
Prosta i elipsa w opisie ruchu dwu ciał
19
Stąd wynika, Ŝe pęd układu dwu cząstek jest równy zeru wtedy i tylko
wtedy, gdy iloczyn ich prędkości wynosi − 2E
m .
Jeśli przy zadanym pędzie energia kinetyczna jest minimalna, to
prędkości obu cząstek są identyczne, a więc zderzenie cząstek nie nastąpi.
Tak więc, warunkiem koniecznym zderzenia cząstek jest energia kinetyczna
układu przekraczająca wartość minimalną dla danego pędu.
ZaleŜność między współrzędnymi stanów przy zderzeniu spręŜystym
przed i po zderzeniu, a więc zaleŜność między współrzędnymi punktów B
oraz B′ zacytujemy z klasycznego podręcznika (R. Resnick, D. Halliday
(1980), str. 271, 272). Z równań energii kinetycznej i pędu dostajemy:
1
1
1
1
2
2
m1 ⋅ b12 + m2 ⋅ b22 = m1 ⋅ ( b1′ ) + m2 ⋅ ( b2′ )
2
2
2
2
oraz
m1 ⋅ b1 + m2 ⋅ b2 = m1 ⋅ b1′ + m2 ⋅ b2′ ,
skąd wynika, Ŝe
m1 ⋅ ( b12 − (b1′) 2 ) = m2 ⋅ ( (b2′ ) 2 − b22 )
i
m1 (b1 − b1′) = m2 (b2′ − b2 ).
Dzieląc stronami dwie ostatnie równości, otrzymujemy:
b1 + b1′ = b2 + b2′ ,
a po uporządkowaniu
b1 − b2 = b2′ − b1′ ,
skąd wynika, Ŝe prędkość zbliŜania się cząstek przed zderzeniem jest równa
prędkości oddalania się cząstek po zderzeniu. Rozwiązując układy równań,
dostajemy po krótkich rachunkach zaleŜności między współrzędnymi
stanów B i B′:
 m − m2 
 2m 
b1′ =  1
 ⋅ b1 +  2  ⋅ b2
 m 
 m 
oraz
(8)
Tadeusz Janaszak
20
 2m 
 m − m1 
b2′ =  1  ⋅ b1 +  2
 ⋅ b2 .
 m 
 m 
(9)
Wzory te pozwalają prawidłowo interpretować połoŜenie punktów B i B′.
Rozwiązując układ równań (1) i (2), po krótkich rachunkach dostajemy
zaleŜności:
p−
b1 =
(
m2
⋅ 2mE − p 2
m1
)
,
m
p+
b2 =
(
m1
⋅ 2mE − p 2
m2
(10)
)
(11)
m
oraz
p+
b1′ =
)
m
p−
b2′ =
(
m2
⋅ 2mE − p 2
m1
(
m1
⋅ 2mE − p 2
m2
m
,
(12)
.
(13)
)
Wstawiając wyniki dane wzorami (10)-(13) do wzorów (8) i (9) łatwo
sprawdzić zgodność wyników.
W czasie zderzenia cząstek mogą nastąpić rozproszenie energii
kinetycznej lub jej zmiana w pewną formę energii potencjalnej, moŜe
nastąpić równieŜ wyzwolenie pewnej energii potencjalnej, która była ukryta
w układzie dwu cząstek, a zderzenie było sygnałem do jej uwolnienia.
RozwaŜymy te przypadki.
Zderzenie całkowicie niespręŜyste polega na tym, Ŝe w czasie zderzenia
oba ciała łączą się i dalszy ruch odbywają wspólnie. Zachowuje się przy
tym pęd całego układu. Z tego, co powiedziano uprzednio wynika, Ŝe równa
prędkość obu ciał pociąga za sobą minimalizację energii kinetycznej układu.
W takim wypadku zarówno ze stanu B, jak i ze stanu B′ układ po zderzeniu
całkowicie niespręŜystym znajdzie się w stanie B0 o współrzędnych
B0(b0, b0), zob. rys. 2. Punkt B0 leŜy na elipsie o równaniu
Prosta i elipsa w opisie ruchu dwu ciał
21
1
1
p2
m1 ⋅ v12 + m2 ⋅ v 22 =
2
2
2m
(14)
p
oraz na prostej o równaniu (4), skąd wynika, Ŝe b0 = m .
Dla wartości energii kinetycznej E2 większej od E elipsa o równaniu
1
1
m1 ⋅ v12 + m2 ⋅ v 22 = E 2
2
2
jest większa od elipsy danej wzorem (2), w związku z czym prosta o
równaniu (1) przecina taką elipsę w dwu punktach B2 oraz B2′ , które
reprezentują stany układu o pędzie równym p i energii kinetycznej E2
większej od E. Współrzędne punktu B2 dane są wzorami (10) i (11), przy
czym wartość E w tych wzorach naleŜy zastąpić wartością E2. Współrzędne
punktu B2′ dane są wzorami (12) i (13), przy czym wartość E w tych
wzorach równieŜ naleŜy zastąpić wartością E2.
Jeśli w zderzających się ciałach jest zmagazynowana jakaś energia
potencjalna, która wyzwoli się podczas zderzenia (R. Resnick, D. Halliday
(1980), str. 273), i energia układu po zderzeniu będzie większa niŜ przed
zderzeniem, to przy zachowanym pędzie równym p stan układu zmieni się
podczas zderzenia od punktu B do punktu B′1. Jeśli wyjściowo układ
znajduje się w stanie B′, wówczas po zderzeniu będzie w stanie B1, zob. rys.
2.
v2
v 1= v 2
p
B
B1
B0
B 1′
E
E1
E0
Rys. 3
B′
v1
Tadeusz Janaszak
22
Dla wartości energii kinetycznej E1 mniejszej od E, lecz większej od
E0 =
p2
2m
elipsa
1 m ⋅ v2
2 1 1
1
+ m2 ⋅ v22 = E1
2
jest mniejsza od elipsy danej wzorem (2), lecz większa od elipsy danej
wzorem (14) i ma dwa punkty przecięcia z prostą daną wzorem (1). Są to
punkty B1 i B1′ , zob. rys. 3.
Współrzędne punktu B1 dane są wzorami (10) i (11), przy czym wartość
E w tych wzorach naleŜy zastąpić wartością E1. Współrzędne punktu B1′
dane są wzorami (12) i (13), przy czym wartość E w tych wzorach równieŜ
naleŜy zastąpić wartością E1. Jeśli w zderzających się ciałach część energii
zostanie rozproszona lub zmagazynowana w formie energii potencjalnej w
poruszających się cząstkach, to energia kinetyczna układu po zderzeniu
będzie mniejsza niŜ przed zderzeniem, lecz większa od minimalnej energii
kinetycznej układu przy zachowaniu pędu sprzed zderzenia. Stan układu
zmieni się podczas zderzenia od punktu B do punktu B′1. Jeśli wyjściowo
układ znajduje się w stanie B′, to po zderzeniu będzie w stanie B1, zob. rys. 3.
Literatura
R. Resnick, D. Halliday (1980). Fizyka. PWN. Warszawa.
J. Królikowski C. Steckiewicz (1963). Matematyka wzory, definicje i tablice.
Wydawnictwo Komunikacji i Łączności. Warszawa.