wymagania z matematyki dla uczniów klas drugich

WYMAGANIA DLA UCZNIÓW KLAS DRUGICH LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO
Plan wynikowy dostosowany jest do programu nauczania matematyki w szkole
ponadgimnazjalnej z zakresu kształcenia podstawowego „PROSTO DO MATURY”
(program nauczania autorstwa Piotra Grabowskiego)
Wymagania stawiane przed uczniem podzielone są na trzy grupy: wymagania podstawowe (zawierają
wymagania konieczne), wymagania dopełniające (zawierają wymagania rozszerzające), wymagania
wykraczające. Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają
wymagania podstawowe.
Wymagania konieczne są najłatwiejsze, najczęściej stosowane i niewymagające modyfikacji. Stanowią
podstawę dalszego kształcenia, więc powinny być opanowane przez każdego ucznia.
Wymagania podstawowe są przystępne i uniwersalne, niezbędne na danym etapie kształcenia, często
bezpośrednio użyteczne życiowo.
Wymagania rozszerzające są umiarkowanie przystępne, bardziej złożone i mniej przydatne, ale nie
niezbędne na danym etapie kształcenia.
Wymagania dopełniające są trudne, złożone i nietypowe, wyspecjalizowane i zwykle bez bezpośredniej
użyteczności pozaszkolnej.
Wymagania wykraczające są szczególnie trudne, złożone i oryginalne, twórcze naukowo i wąsko
specjalistyczne.
Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać uczeń, który opanował wiedzę i zdobył umiejętności
stanowiące 40% – 60% wymagań podstawowych.
Ocenę dostateczną uczeń, który opanował wiedzę i zdobył umiejętności stanowiące powyżej 60%
wymagań podstawowych.
Ocenę dobrą powinien otrzymać uczeń, który opanował wiedzę i zdobył umiejętności stanowiące do
75% wymagań dopełniających
Ocenę bardzo dobrą uczeń, który opanował wiedzę i zdobył umiejętności stanowiące powyżej 75%
wymagań dopełniających.
Ocenę celującą powinien uzyskać uczeń, który opanował wiedzę i zdobył umiejętności zawarte w
wymaganiach wykraczających.
FUNKCJA KWADRATOWA
Na poziomie wymagań koniecznych (K) lub podstawowych (P) – na ocenę dopuszczającą (2) lub
dostateczną (3) uczeń potrafi:









narysować wykres funkcji f x  ax 2 x  R; a  0 i podać jej własności
sprawdzić algebraicznie, czy dany punkt należy do wykresu danej funkcji kwadratowej
narysować wykres funkcji kwadratowej danej w postaci kanonicznej i podać jej własności
ustalić wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej na podstawie informacji o przesunięciach
wykresu
określić własności (zbiór wartości, przedziały monotoniczności, wartość ekstremalną) funkcji
kwadratowej na podstawie jej postaci kanonicznej
przekształcić wzór funkcji kwadratowej z postaci kanonicznej do ogólnej i odwrotnie
obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli y  ax 2  bx  c
znaleźć brakujące współczynniki funkcji kwadratowej, znając współrzędne punktów należących do
jej wykresu (wśród, których dany jest wierzchołek paraboli lub miejsca zerowe funkcji)
wyznaczyć wartość największą i wartość najmniejszą funkcji kwadratowej w podanym przedziale

rozwiązać równanie kwadratowe niezupełne ( ax 2  bx  0, ax 2  c  0 ) metodą rozkładu na czynniki






wyznaczyć współrzędne punktów przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych
określić liczbę pierwiastków równania kwadratowego na podstawie znaku wyróżnika
rozwiązać równanie kwadratowe za pomocą wzorów na pierwiastki
przekształcić wzór funkcji kwadratowej z postaci iloczynowej do ogólnej i odwrotnie (o ile się da)
odczytać miejsca zerowe funkcji kwadratowej z jej postaci iloczynowej
rozwiązać nierówność kwadratową
Na poziomie wymagań rozszerzających (R) lub dopełniających (D) – na ocenę dobrą (4) lub bardzo dobrą
(5) uczeń opanował poziomy (K) i (P) oraz dodatkowo potrafi:






przekształcić parabolę y  ax 2  bx  c przez symetrię względem prostej równoległej do osi x lub
osi y układu współrzędnych oraz napisać równanie otrzymanego obrazu tej paraboli
rozwiązać zadanie tekstowe prowadzące do szukania wartości ekstremalnych funkcji kwadratowej
rozwiązać zadanie tekstowe prowadzące do równań lub nierówności kwadratowych
na podstawie wykresu określa liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od parametru m,
gdzie y = f(x) jest funkcją kwadratową
znaleźć brakujące współczynniki funkcji kwadratowej na podstawie różnych informacji o jej
wykresie
rozwiązać równania wyższych stopni, stosując zasadę wyłączania wspólnego czynnika przed
nawias
Na poziomie wymagań wykraczających (W) – na ocenę celującą (6) uczeń opanował poziomy (K), (P), (R) i
(D) oraz dodatkowo potrafi:






wyprowadzić wzory na współrzędne wierzchołka paraboli
rozwiązać zadania prowadzące do szukania wartości ekstremalnych funkcji kwadratowej
wymagające zastosowania twierdzeń geometrycznych (np. podobieństwa trójkątów)
znaleźć na podstawie zadania tekstowego związek między dwiema wielkościami, gdy wyraża się on
poprzez funkcję kwadratową i naszkicować wykres tej funkcji z uwzględnieniem dziedziny
sprowadzić na ogólnych danych funkcję kwadratową z postaci ogólnej do postaci kanonicznej
wyprowadzić wzory na pierwiastki równania kwadratowego
rozwiązać zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące rozwiązywania równań wyższego
stopnia
FUNKCJE WYMIERNE
Na poziomie (K) lub (P) – na ocenę dopuszczającą lub dostateczną uczeń potrafi:




wskazać wielkości odwrotnie proporcjonalne
stosować zależność między wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi do rozwiązywania prostych
zadań
wyznaczyć współczynnik proporcjonalności
podać wzór proporcjonalności odwrotnej, znając współrzędne punktu należącego do wykresu

szkicować wykres funkcji f ( x) 
a
x
, gdzie a  0 i podaje jej własności (dziedzinę, zbiór wartości,
przedziały monotoniczności)
a
x
a
i odczytuje jej własności
x p

szkicować wykresy funkcji f ( x)   q oraz f ( x) 

wyznaczać asymptoty wykresu powyższych funkcji







dobrać wzór funkcji do jej wykresu
wyznaczyć dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego
obliczyć wartość wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej
skrócić i rozszerzyć proste wyrażenia wymierne
wykonać proste działania na wyrażeniach wymiernych i podaje odpowiednie założenia
rozwiązać proste równania wymierne
wykorzystać wyrażenia wymierne do rozwiązywania prostych zadań tekstowych
Na poziomie (R) lub (D) – na ocenę dobrą lub bardzo dobrą uczeń opanował poziomy (K) i (P) oraz
dodatkowo potrafi:

rozwiązać zadania tekstowe, stosując proporcjonalność odwrotną

szkicować wykres funkcji f ( x) 

wyznaczyć współczynnik a tak, aby funkcja f ( x) 

wyznaczyć wzory funkcji f ( x)   q oraz f ( x) 






wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego, korzystając z prostych równań kwadratowych
wykonać działania na wyrażeniach wymiernych i podaje odpowiednie założenia
przekształcić wzory, stosując działania na wyrażeniach wymiernych
rozwiązać równania wymierne
wykorzystać wyrażenia wymierne do rozwiązywania trudniejszych zadań tekstowych
wykorzystać wielkości odwrotnie proporcjonalne do rozwiązywania zadań tekstowych
dotyczących prędkości
a
x
w podanych przedziałach
a
x
a
x
spełniała podane warunki
a
spełniających podane warunki
x p
Na poziomie (W) – na ocenę celującą uczeń opanował poziomy (K), (P), (R) i (D) oraz dodatkowo potrafi:


rozwiązać zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji i wyrażeń wymiernych
przekształcić wzór funkcji homograficznej do postaci kanonicznej i szkicować wykres funkcji
f ( x) 
a
 q oraz podać jej własności
x p
FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY
Na poziomie (K) lub (P) – na ocenę dopuszczającą lub dostateczną uczeń potrafi:










podnieść liczbę do potęgi wymiernej
zapisać daną liczbę w postaci potęgi o wykładniku wymiernym
wykonywać działania na potęgach o wykładniku wymiernym, stosując prawa działań na potęgach
(proste przypadki)
porównać liczby przedstawione w postaci potęg (proste przypadki)
wyznaczyć wartości funkcji wykładniczej dla podanych argumentów
sprawdzić, czy punkt należy do wykresu funkcji wykładniczej
wyznaczyć wzór funkcji wykładniczej i naszkicować wykres funkcji wykładniczej, znając
współrzędne punktu należącego do jej wykresu
przekształcać wykresy funkcji wykładniczych przez przesunięcia równoległe lub symetrie
względem osi układu współrzędnych
podać własności funkcji wykładniczej
rozwiązać proste równania wykładnicze, korzystając z różnowartościowości funkcji wykładniczej




obliczać logarytmy liczb
stosować w zadaniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu, logarytm potęgi
stosować równości wynikające z definicji logarytmu do prostych obliczeń
wyznaczyć podstawę logarytmu lub liczbę logarytmowaną, gdy dana jest jego wartość
Na poziomie (R) lub (D) – na ocenę dobrą lub bardzo dobrą uczeń opanował poziomy (K) i (P) oraz
dodatkowo potrafi:









porównywać potęgi o wykładnikach wymiernych
wykonywać działania na potęgach o wykładniku rzeczywistym
odczytać rozwiązania nierówności na postawie wykresów funkcji wykładniczych
rozwiązać zadania osadzone w kontekście praktycznym z zastosowaniem funkcji wykładniczej i
logarytmu
rozwiązać graficznie układ dwóch równań, z których co najmniej jedno jest równaniem
wykładniczym
rozwiązać proste równanie, korzystając z definicji logarytmu
podać odpowiednie założenia dla podstawy logarytmu lub liczby logarytmowanej
przekształcać wyrażenia zawierające logarytmy z zastosowaniem poznanych wzorów
wykorzystywać własności logarytmów w zadaniach na dowodzenie
Na poziomie (W) – na ocenę celującą uczeń opanował poziomy (K), (P), (R) i (D) oraz dodatkowo potrafi:






rozwiązać trudniejsze równania wykładnicze
porównywać potęgi o wykładnikach rzeczywistych
udowodnić prawa działań na potęgach o wykładniku wymiernym
udowodnić wzór na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku
naturalnym
wykorzystać twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu w zadaniach
rozwiązać zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji wykładniczej i logarytmicznej
CIĄGI
Na poziomie (K) lub (P) – na ocenę dopuszczającą lub dostateczną uczeń potrafi:








obliczyć wskazane wyrazy ciągu, znając jego wzór ogólny
wyznaczyć miejsce zerowe ciągu o danym wzorze ogólnym
wyznaczyć kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego początkowych wyrazów
wyznaczyć, które wyrazy ciągu przyjmują daną wartość
narysować wykres ciągu
odczytać z wykresu własności ciągu
uzasadnić, że dany ciąg nie jest monotoniczny, mając dane jego kolejne wyrazy
wyznaczyć wyraz a n1 ciągu określonego wzorem ogólnym







rozpoznać ciąg arytmetyczny lub ciąg geometryczny
podać przykłady ciągów arytmetycznych i ciągów geometrycznych
sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny (proste przypadki)
obliczyć n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, znając wyraz pierwszy i różnicę
wyznaczyć ciąg arytmetyczny, znając jego dwa wyrazy
obliczyć sumę n początkowych wyrazów danego ciągu arytmetycznego
obliczyć n-ty wyraz ciągu geometrycznego, znając wyraz pierwszy i iloraz






wyznaczyć ciąg geometryczny, znając jego dwa wyrazy
obliczyć sumę n początkowych wyrazów danego ciągu geometrycznego
zastosować w zadaniach zależność między wyrazami an  1 , an , an  1 ciągu arytmetycznego lub ciągu
geometrycznego
rozwiązać proste zadanie tekstowe, w którym dane wielkości są kolejnymi wyrazami ciągu
arytmetycznego lub ciągu geometrycznego
wyznaczyć wielkości zmieniające się zgodnie z zasadą procentu składanego
obliczyć wartość lokaty, znając stopę procentową, okres rozrachunkowy i czas oszczędzania
Na poziomie (R) lub (D) – na ocenę dobrą lub bardzo dobrą uczeń opanował poziomy (K) i (P) oraz
dodatkowo potrafi:














podać wzór ogólny ciągu, znając kilka początkowych wyrazów
zbadać monotoniczność ciągu
wyznaczyć ciąg arytmetyczny, znając np. jeden z jego wyrazów i iloczyn pewnych dwóch wyrazów
lub dwie sumy częściowe itp.
obliczyć, ile wyrazów danego ciągu arytmetycznego należy dodać, aby otrzymać określoną sumę
zastosować w zadaniach zależność między wyrazami an  k , an , an  k ciągu arytmetycznego lub
ciągu geometrycznego
rozwiązać zadania wymagające jednoczesnego stosowania własności ciągu arytmetycznego i ciągu
geometrycznego
sprawdzić, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny
rozwiązać równania z zastosowaniem wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego
rozwiązać równania z zastosowaniem wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego
określić monotoniczność ciągu arytmetycznego i geometrycznego o
obliczyć wartość lokaty o zmieniającym się oprocentowaniu
obliczyć wysokość raty kredytu spłacanego (w równych wielkościach) systemem procentu
składanego
obliczyć wysokości rat malejących
porównać zyski z różnych lokat i różne sposoby spłacania kredytu
Na poziomie (W) – na ocenę celującą uczeń opanował poziomy (K), (P), (R) i (D) oraz dodatkowo potrafi:






udowodnić wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
udowodnić wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
wyznaczyć wyrazy ciągu określonego rekurencyjnie
rozwiązać zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące ciągów
badać własności ciągów, będących złożeniami innych
wyprowadzić wzór na wysokość raty kredytu spłacanego (w równych wielkościach) w systemie
procentu składanego