Ćwiczenia do wykładu Zjawiska falowe Grupa 2, poniedziałek g. 14

Ćwiczenia do wykładu Zjawiska falowe
Grupa 2, poniedziałek g. 14-16
Grupa 3, czwartek g. 8-10
Zestaw 3
Zadanie 1
W wierzchołkach A, B, C, i D kwadratu o boku 2a zaczepiono sprężyny o współczynnikach sprężystości
kA , kB , kC i kD . Drugie końce przymocowano do punktowej masy m, która może się poruszać w płaszczyźnie kwadratu. W położeniu równowagi (środek kwadratu) żadna ze√sprężyn nie jest ani rozciągnięta, ani
ściśnięta, co oznacza, że długość swobodnej sprężyny wynosi l0 = a 2.
(a) Wypisz równania ruchu dla masy m.
(b) Rozwiąż numerycznie zagadnienie dla pełnych równań ruchu, zakładając, że w chwili t = 0 początkowe
położenie i prędkość wynoszą odpowiednio ~r(0) = (x0 , y0 ) oraz ~v (0) = (vx0 , vy0 ). Jako dane wejściowe
przyjąć:
m = 0.1kg, a = 10m,
kA = kB = kC = kD = 1N/m,
x0 = 1m, y0 = 4m, vx0 = vy0 = 0,
t ∈ [0, 15s].
(c) Sporządź wykresy składowych prędkości, położenia, energii kinetycznej i potencjalnej, oraz całkowitej
w funkcji czasu. A ponadto pokazać tor masy.
y
D
C
kD
kC
m
kA
A
x
kB
2a
B
VERTE→
Zadanie 2
Znaleźć równania ruchu i ogólne rozwiązania dla układu dwóch identycznych mas i trzech identycznych
sprężyn przedstawionego na rysunku.
k
k
m
k
m
Zadanie 3
Znaleźć A oraz Φ spełniające równanie
A1 cos(ωt ) + A2 cos(ωt + ϕ1 ) + A3 sin(ωt + ϕ2 ) = A cos(ωt + Φ ).
Wyniki sprawdzić, rysując wykresy funkcji
f1 (t) ≡ A1 cos(ωt ) + A2 cos(ωt + ϕ1 ) + A3 sin(ωt + ϕ2 )
oraz
f2 (t) ≡ A cos(ωt + Φ ).
Przyjąć ω= 1, A1 = 2, A2 = 3, A3 = 4, ϕ1 = π/2 i ϕ2 = π/3.
Zadanie 4
Narysować wykresy funkcji ilustrujace dodawanie drgań o zbliżonych częstościach
(a) i tej samej amplitudzie
f1 (t) = A1 cos(ω1 t ) + A1 cos(ω2 t )
(b) i różnych amplitudach
f2 (t) = A1 cos(ω1 t ) + A2 cos(ω2 t ).
Zadanie 5
Dodawanie wielu drgań o częstościach będących wielokrotnością wybranej częstości podstawowej i odpowiednio wybranych amplitudach prowadzi niekiedy do zaskakujących wyników. Narysować na jednym rysunku
w przedziale [0, 2] wykresy dwóch funkcji
t, t ∈ [0, 1)
f1 (t) =
2 − t, t ∈ [1, 2]
oraz
8 sin πt
8 sin 3πt
8 sin 5πt
8 sin 7πt
8 sin 9πt
2
2
2
2
2
f2 (t) =
−
+
−
+
π2
9π 2
25π 2
49π 2
81π 2
(ω =
π
).
2
Piotr Cyganik
Jakub S. Prauzner-Bechcicki