2. lista
Transkrypt
2. lista
Algorytmiczna teoria gier, Informatyka WPPT semestr zimowy 2012/2013 II lista zadań 1. Zgodnie z twierdzeniem Nasha każda gra dwumacierzowa ma równowagę w strategiach mieszanych. Gdy któryś (wystarczy jeden) z graczy ma nieskończenie wiele strategii czystych, to nie musi być już prawda. Znajdź przykład gry dwóch graczy, w której jeden z graczy ma skończoną liczbę strategii czystych, a drugi przeliczalną (ale nieskończoną), która nie ma równowag nawet w strategiach zrandomizowanych. Wskazówka: Zbiór strategii „skończonego” gracza powinien być najmniejszy możliwy. 2. Dwaj producenci taniego wina starają się walczyć o rynek przy pomocy cen. Zakładamy, że: po pierwsze: jeśli najniższa dostępna na rynku cena (wyrażana w groszach) to p, to liczba klientów zainteresowanych kupnem wina w tej cenie jest równa d(p), gdzie d jest nierosnącą funkcją z N w N. po drugie: wszyscy klienci zainteresowani kupnem jakiegokolwiek wina zawsze kupują najtańsze wino dostępne na rynku. W przypadku, gdy obaj producenci mają takie same ceny, rynek dzieli się pół na pół. po trzecie: koszt wyprodukowania jednej butelki jest równy c ∈ N, więc zysk gracza to jego cena minus c, pomnożona przez liczbę kupujących. (a) Zapisz funkcje wypłaty obu graczy w zależności od ustalonych przez nich cen. Następnie przy dodatkowym założeniu że d(c + 1) > d(c + 2) pokaż, że powstała gra ma dokładnie 2 równowagi w strategiach czystych (strategii zrandomizowanych nie rozpatrujemy), tzn. znajdź te równowagi oraz pokaż, że nie ma innych. Czy z punktu widzenia graczy, ustalona w równowadze cena jest jest sensowna? (b) Rozważ modyfikację tej gry przy założeniu, że jednym z graczy są Chińczycy, którzy produkują wino o połowę taniej (tzn. po 2c ). Jaka będzie wtedy równowaga? Czy ona będzie miała sens dla którejkolwiek ze stron? 3. Posługując się metodą podaną na wykładzie, znajdź równowagę w grze dwóch graczy z 2 X = Y = [0, 1] oraz funkcjami wypłat u1 (x, y) = xy 2 − x2 , u2 (x, y) = sin(2π(x + y)). 4. Rozważ następującą grę dwóch graczy: policji i przestępcy. Policja chce wybrać w mieszkaniu przestępcy takie miejsce na założenie podsłuchu, żeby prawdopodobieństwo uzyskania przy jego pomocy użytecznej informacji było jak największe. Z kolei przestępca, wiedząc o tym, że jest podsłuchiwany, wybiera miejsce, w którym będzie rozmawiał tak, żeby to prawdopodobieństwo było jak najmniejsze. Dla uproszczenia przyjmiemy, że poszczególnym miejscom w mieszkaniu odpowiadają punkty na odcinku [0, 1]. Prawdopodobieństwo uzyskania użytecznej dla policji informacji wynosi 1 − ed−1 , gdzie d to odległość między podsłuchem a rozmawiającymi osobami. (a) Gdzie powinien być umieszczony podsłuch, a gdzie powinni rozmawiać przestępcy? (b) W jaki sposób zmieni się optymalne położenie podsłuchów oraz rozmawiających przestępców, jeśli policja założy zamiast jednego n podsłuchów w mieszkaniu? (Wtedy P prawn dopodobieństwo uzyskania informacji przez policję jest liczone ze wzoru 1−e i=1 (di −1) , gdzie di to odległość od i-tego podsłuchu). (c) Rozważmy modyfikację powyższej gry, w której policja wybiera nie tylko rozmieszczenie, ale też liczbę podsłuchów. Wtedy policja stara się zmaksymalizować prawdopodobieństwo uzyskania istotnej informacji minus liczbę podsłuchów razy c (gdzie c to jednostkowy koszt założenia podsłuchu), a przestępca zminimalizować samo prawdopodobieństwo (bez uwzględnienia kosztów). Jakie wtedy będą optymalne: liczba i rozmieszczenie podsłuchów oraz miejsce rozmów przestępców? (Liczba podsłuchów wyjdzie zwykle niecałkowita, ale nie należy się tym przejmować).