slajdy

Hipoteza jakobianowa
w terminach wielomianów
nierozkładalnych i bezkwadratowych
k – ciało
k[x1, . . . , xn] – algebra wielomianów
k-różniczkowanie algebry k[x1, . . . , xn]:
d = g1
∂
∂
+ . . . + gn
,
∂x1
∂xn
gdzie g1, . . . , gn ∈ k[x1, . . . , xn]
k[x1, . . . , xn]d = {f ∈ k[x1, . . . , xn] : d(f ) = 0} – pierścień stałych
2
Niech char k = p > 0.
Twierdzenie (Nowicki, Nagata)
a) k[x1, . . . , xn]d jest skończenie generowaną k-algebrą.
b) Jeśli p = 2 i d jest niezerowym k-różniczkowniem algebry
k[x, y], to k[x, y]d = k[xp, y p, f ] dla pewnego f ∈ k[x, y].
∂ + y · ∂ , to k[x, y]d 6= k[xp , y p , f ] dla
c) Jeśli p > 2 i d = x · ∂x
∂y
każdego f ∈ k[x, y].
Nowicki, Nagata, Rings of constants for k-derivations in k[x1 , . . . , xn ], J. Math.
Kyoto Univ. 28 (1988), 111–118.
3
Twierdzenie
p
p
Dla dowolnego wielomianu f ∈ k[x1, . . . , xn] \ k[x1, . . . , xn], gdzie
char k = p > 0, następujące warunki są równoważne:
∂f
∂f
(1) NWD ∂x
, . . . , ∂x
n
1
p
= 1,
p
(2) k[x1, . . . , xn, f ] jest pierścieniem stałych k-różniczkowania,
p
p
(3) dla dowolnych b, c ∈ k[x1, . . . , xn] takich, że NWD(b, c) = 1
i b 6= 0, wielomian bf + c jest bezkwadratowy i bez dzielników z
p
p
k[x1, . . . , xn] \ k.
PJ, One-element p-bases of rings of constants of derivations, Osaka J. Math.
46 (2009), 223–234.
PJ, A characterizetion of one-element p-bases of rings of constants, Bull. Pol.
Acad. Sci. Math. 59 (2011), 19–26.
4
Twierdzenie (uogólnienie lematu Freudenburga)
Niech P – ideał pierwszy algebry k[x1, . . . , xn]. Rozważmy wielo∂f
mian f ∈ k[x1, . . . , xn] taki, że ∂x
∈ P dla i = 1, . . . , n.
i
a) Jeśli char k = 0, to istnieje wielomian nierozkładalny W (T ) ∈
k[T ] taki, że W (f ) ∈ P .
p
p
b) Jeśli char k = p > 0, to istnieją b, c ∈ k[x1, . . . , xn] takie, że
bf + c ∈ P , NWD(b, c) = 1, b 6∈ P .
Wniosek.
Niech f ∈ k[x1, . . . , xn], gdzie char k = 0. Wówczas
∂f
∂f
NWD ∂x
, . . . , ∂x
= 1 ⇔ dla dowolnego wielomianu nierozkłan
1
dalnego W (T ) ∈ k[T ] wielomian W (f ) jest bezkwadratowy.
5
Dla f1, . . . , fm ∈ k[x1, . . . , xn] oznaczamy:
∂f1
∂f1
·
·
·
∂xj
∂xjm
1
f1 ,...,fm
...
Jj ,...,jm = ...
1
∂fm
∂fm
···
∂xj
∂xjm
1
,
f1 ,...,fm
RNWD(f1, . . . , fm) = NWD Jj ,...,jm ; 1 6 j1, . . . , jm 6 n .
1
W szczególności:
RNWD(f1, . . . , fn) = Jac(f1, . . . , fn),
∂f
∂f RNWD(f ) = NWD
,...,
.
∂x1
∂xn
6
Twierdzenie. Niech f1, . . . , fm ∈ k[x1, . . . , xn], char k = 0, P –
ideał pierwszy algebry k[x1, . . . , xn]. Jeśli RNWD(f1, . . . , fm) ∈ P ,
to istnieje wielomian nierozkładalny W (T1, . . . , Tm) ∈ k[T1, . . . , Tm]
taki, że W (f1, . . . , fm) ∈ P .
Uwaga. W przypadku m = n założenie RNWD(f1, . . . , fm) ∈ P
nie jest potrzebne.
7
Pytanie (PJ, Łódź 2011)
Czy jeśli g ∈ k[x1, . . . , xn] jest wielomianem nierozkładalnym takim, że g dzieli RNWD(f1, . . . , fm) i W (f1, . . . , fm), to g 2 dzieli
W (f1, . . . , fm)?
Odpowiedź (Gwoździewicz, Jelonek, Łódź 2011)
Rozważmy wielomiany: f1 = x, f2 = xy, g = x, W = x ∈ k[x, y].
Wówczas Jac(f1, f2) = x i W (f1, f2) = x dzielą się przez g, ale
W (f1, f2) nie dzieli się przez g 2.
8
Twierdzenie
Niech char k = 0. Dla dowolnych wielomianów f1, . . . , fn ∈ k[x1,
. . . , xn] i nierozkładalnego wielomianu g ∈ k[x1, . . . , xn] następujące warunki są równoważne:
(i) g dzieli Jac(f1, . . . , fn),
(ii) g 2 dzieli W (f1, . . . , fn) dla pewnego wielomianu nierozkładalnego W ∈ k[x1, . . . , xn].
PJ, A characterization of Keller maps, arXiv:1109.2113.
9
Kroki dowodu implikacji
g | Jac(f1, . . . , fn) ⇒ ∃W – nierozkł., g 2 | W (f1, . . . , fn) :
1. Istnieje W – nierozkładalny taki, że g | W (f1, . . . , fn). Możemy
założyć, że fn = fn + (g) jest algebraiczny nad k(f1, . . . , fn−1).
2. Przypuśćmy, że g 2 - W (f1, . . . , fn). Wówczas g | Jac(f1, . . . , fn−1, g).
3. Istnieją wielomiany s1, . . . , sn takie, że g | s1d(f1) + . . . +
sn−1d(fn−1) + snd(g) dla każdego k-różniczkowania d, przy czym
g - si dla pewnego i < n. Możemy założyć, że i = n − 1.
4. fn−1 jest algebraiczny nad k(f1, . . . , fn−2). Możemy założyć,
że f1, . . . , fr są algebraicznie niezależne nad k,
gdzie r = tr degk k( f1, . . . , fn ) 6 n − 2.
10
5. Istnieją wielomiany niezerowe V1, V2 takie, że g | V1(f1, . . . , fr , fn−1)
i g | V2(f1, . . . , fr , fn).
6. Korzystamy z twierdzenia:
U, V ∈ k[T ], NWD(deg U, deg V ) = 1 ⇒ U (x) + V (y) jest nierozkładalny w k[x, y].
A. Ehrenfeucht, Kryterium absolutnej nierozkładalności wielomianów, Prace
Mat. 2 (1956), 167–169,
A. Schinzel, Selected topics on polynomials, Univ. of Mich. Press, Ann Arbor
1982.
Dowód indukcyjny implikacji
g 2 | W (f1, . . . , fm), W – nierozkładalny ⇒ g | RNWD(f1, . . . , fm):
1. Sprawdzamy dla m = 1, bierzemy m > 1 i zakładamy dla m−1.
Niech g 2 | W (f1, . . . , fm), gdzie W jest nierozkładalny.
11
2. Jeśli g 2 | U (f1, . . . , fi−1, fi+1, . . . , fm) dla nierozkładalnego U ,
to g | RNWD(f1, . . . , fm). W przeciwnym wypadku zakładamy, że
g - RNWD(f1, . . . , fm).
3. g | ∂W
∂xi (f1 , . . . , fm ) dla każdego i.
4. Dla każdego i istnieje wielomian nierozkładalny Ui taki, że
g | Ui(f1, . . . , fi−1, fi+1, . . . , fm).
i (f , . . . , f
5. g | ∂U
i−1 , fi+1 , . . . , fm ) dla dowolnych i, j.
∂xj 1
∂g
6. g | ∂x
dla każdego i – sprzeczność.
i
12
Wniosek. Dla dowolnych wielomianów f1, . . . , fn ∈ k[x1, . . . , xn]
następujące warunki są równoważne:
(i) Jac(f1, . . . , fn) ∈ k \ {0},
(ii) dla dowolnego wielomianu nierozkładalnego W ∈ k[x1, . . . , xn]
wielomian W (f1, . . . , fn) jest bezkwadratowy.
13
Uwaga. Rozważmy endomorfizm ϕ = (f1, . . . , fn) oraz podpierścień R = k[f1, . . . , fn].
Warunek (ii) można sformułować równoważnie na dwa sposoby:
– dla dowolnego wielomianu nierozkładalnego w ∈ k[x1, . . . , xn]
wielomian ϕ(w) jest bezkwadratowy,
– f1, . . . , fn są algebraicznie niezależne nad k i dowolny nierozkładalny element pierścienia k[f1, . . . , fn] jest wielomianem nierozkładalnym w k[x1, . . . , xn].
14
Pytanie (JC). Czy istnieje nietrywialny przykład takiego endomorfizmu ϕ, tzn. taki, że:
– dla dowolnego wielomianu nierozkładalnego w ∈ k[x1, . . . , xn]
wielomian ϕ(w) jest bezkwadratowy,
– istnieje wielomian nierozkładalny w ∈ k[x1, . . . , xn], dla którego
wielomian ϕ(w) jest rozkładalny?
15
Twierdzenie (Bakalarski, 2006)
Dla dowolnego k-endomorfizmu ϕ algebry k[x1, . . . , xn], gdzie
char k = 0, następujące warunki są równoważne:
(i) ϕ jest automorfizmem,
(ii) dla dowolnego wielomianu nierozkładalnego w ∈ k[x1, . . . , xn]
wielomian ϕ(w) jest nierozkładalny.
16
Otrzymujemy równoważne sformułowanie hipotezy jakobianowej:
(JC) Każdy k-endomorfizm algebry k[x1, . . . , xn], odwzorowujący
wielomiany nierozkładalne w bezkwadratowe odwzorowuje wielomiany nierozkładalne w nierozkładalne.
17
Rozważmy następującą własność niektórych pierścieni:
(∗)
każdy endomorfizm odwzorowujący elementy
nierozkładalne w bezkwadratowe odwzorowuje
elementy nierozkładalne w nierozkładalne.
Pytanie. Niech R będzie dziedziną z jednoznacznością rozkładu spełniającą warunek (∗). Czy pierścień R[x] również spełnia
warunek (∗)?
18
Twierdzenie
Niech char k = p > 0. Dla dowolnych wielomianów f1, . . . , fm ∈
k[x1, . . . , xn] i nierozkładalnego wielomianu g ∈ k[x1, . . . , xn] następujące warunki są równoważne:
(i) g | RNWD(f1, . . . , fm),
p
p
p
p
(ii) g 2 | bfi +h, g 6∈ k[x1, . . . , xn] lub g | bfi +h, g ∈ k[x1, . . . , xn] dla
p
p
pewnego i oraz b ∈ k[x1, . . . , xn], h ∈ Ri takich, że NWD(b, h) = 1,
p
lub g | b1fi + h1, b2fj + h2 dla pewnych i 6= j oraz b1, b2 ∈ k[x1, . . . ,
p
xn], h1, h2 ∈ Rij takich, że NWD(b1, h1) = 1, NWD(b2, h2) = 1.
p
p
Oznaczenia: Ri = k[x1, . . . , xn, f1, . . . , fbi, . . . , fm],
p
p
Rij = k[x1, . . . , xn, f1, . . . , fbi, . . . , fcj , . . . , fm].
PJ, A characterization of p-bases of rings of constants, w przygotowaniu.
19
Twierdzenie
Niech f1, . . . , fm ∈ k[x1, . . . , xn], char k = p > 0. Następujące warunki są równoważne:
(1) RNWD(f1, . . . , fm) ∈ k \ {0},
(2) f1, . . . , fm stanowią p-bazę pierścienia stałych k-różniczkowania,
p
p
(3) dla dowolnego i oraz dowolnych b ∈ k[x1, . . . , xn], h ∈ Ri, jeśli
NWD(b, h) = 1, to wielomian bfi + h jest bezkwadratowy i bez
p
p
dzielników z k[x1, . . . , xn] \ k,
p
p
a dla dowolnych i 6= j oraz dowolnych b1, b2 ∈ k[x1, . . . , xn],
h1, h2 ∈ Rij , jeśli NWD(b1, h1) = 1 i NWD(b2, h2) = 1, to
NWD(b1fi + h1, b2fj + h2) = 1.
20
Definicja. Niech A, B będą dziedzinami charakterystyki p > 0
takimi, że Ap ⊂ B ⊂ A oraz B0 ∩ A = B. Niech R będzie takim pierścieniem, że B ⊂ R ⊂ A. Ciąg (z1, . . . , zm) elementów
dziedziny A nazywamy:
α
αm ,
a) p-bazą pierścienia R nad B, jeśli elementy postaci z1 1 . . . zm
gdzie αi ∈ {0, . . . , p − 1}, są parami różne i tworzą bazę R jako
B-modułu,
α
αm , gdzie
b) p-niezależnym nad B, jeśli elementy postaci z1 1 . . . zm
αi ∈ {0, . . . , p − 1}, są parami różne i liniowo niezależne nad B.
Wniosek. Elementy z1, . . . , zm stanowią p-bazę R nad B dokładnie wtedy, gdy każdy element g ∈ R może być jednoznacznie
przedstawiony w postaci
g=
X
α
αm , gdzie a ∈ B.
aαz1 1 . . . zm
α
06α1 ,...,αm <p
21