Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna
© Andrzej Łachwa, UJ, 2013
[email protected]
Przykłady zadań egzaminacyjnych
(do liczenia lub dowodzenia)
1. Ile układów kart w pokerze to „Dwie pary”? Dwie pary to układ 5 kart
wylosowanych z talii 52 kart, w którym występują dwie karty tej samej
wysokości (np. dwa walety), dwie karty innej, lecz między sobą znów
tej samej wysokości (np. dwie ósemki), oraz karta piąta, jeszcze innej
wysokości niż tamte (np. król). A zatem nie może to być układ zwany
Fulem (3+2) ani układ zwany Czwórką (4+1).
2. Oszacuj od góry liczbę 19! (użyj oszacowania Gaussa).
3. Jaki jest najkrótszy cykl w klice K10?
4. Ile rozwiązań w dziedzinie liczb naturalnych ma równanie s1 + s2 + s3 =
10. Zaproponuj rozwiązanie, w którym modelem są drogi w mieście,
gdzie ulice przecinają się pod kątem prostym.
5. Osiemnaście osób uczestniczy w grze polegającej na wylosowaniu 2
kart z talii 52 kart. Każda osoba losuje karty z całej talii. Wynik
losowania to suma uzyskanych punktów (za dwójkę mamy 2 punkty, za
trójkę 3 punkty, itd., aż do dziesiątki za 10 punktów; za figury
otrzymujemy także po 10 punktów). Wygrywają te osoby, które mają
taki sam wynik. Czy zdarzy się gra w której nikt nie wygra (odpowiedź
uzasadnij)? Jakie jest prawdopodobieństwo wyniku 20 punktów?
6. Ile wynosi B4 (liczba Bella)?
7. Mamy 7 klocków z napisami 1,2,2,4,4,4,7. Ile 7-cyfrowych liczb
możemy ułożyć z tych klocków?
8. Policz sumę Σ k=0..n (5 – 2∙k) stosując prawa sumowania.
9. Oszacuj sumę Σ k=0..20 k∙(–2)k ze wzoru na sumowanie przez części. 10. Policz Δ(2xx3) na dwa sposoby: z definicji i ze wzoru na
różnicowanie przez części.
11.
Rozłóż liczby 4899 i 6396 na czynniki pierwsze i wyznacz NWP.
12.
Sprawdź, czy to prawda, że log 223344 < lg 234
13. Znajdź funkcję odwrotną do h(x)=(x-2)3
14.
Ile cyfr ma liczba dziesiętna k?
15.
Ile jest różnych podziałów zbioru 11 elementowego na 10 bloków?
16.
Udowodnij, że 2n jest O(n!).
17.
Policz (jako funkcję liniową złotej liczby ).
18. Policz Δ(3xx2) ze wzoru na różnicowanie iloczynu funkcji,
a następnie oblicz wartość tej różnicy dla x=6.
19.
Przeczytaj litery greckie

20. Znajdź x, y takie, że ax+by=NWD(a,b), gdzie a=54, b=99.
21.
Udowodnij, że 6 | 8n — 2n dla wszystkich liczb naturalnych.
22. Ile układów kart w pokerze to „Trójka”? Trójka to układ 5 kart
wylosowanych z talii 52 kart, w którym występują trzy karty tej samej
wysokości (np. trzy walety) i dwie karty różnej wysokości między sobą
i różnej od tamtych trzech.
23. Na ile sposobów można wybrać 7 cukierków o trzech smakach?
24. Policz Δ(3x3 – 2x + 1) (najpierw przedstaw wielomian jako
kombinację dolnych silni a następnie wykorzystaj wzór na różnicę
dolnej silni).
25. Rozłóż permutację na cykle:
n
0 1 2 3 4 5 6
α(n) 0 2 3 6 5 4 1
26.
Znajdź postać zwartą wzoru:
s0 = 0
s1 = ‐10
sn+2 = ‐3∙sn+1+4∙sn
27. Policz sumę Σ k=0..100 (2∙k +1)∙(–1)k ze wzoru na sumowanie przez
części.
─
28. Mamy funkcję NN N o postaci f(n,k) = min(n,k). Znajdź f (4).
29. Ile wynosi suma wyrazów ciągu Fibonacciego od 5 do 15-tego, czyli
5+8+13+21+34+55+89+144+233+377+610 (proszę tego nie dodawać,
tylko użyć wzoru)? 30. Pokaż, że 212-1 nie jest liczbą pierwszą i rozłóż na czynniki
(wykorzystaj małe twierdzenie Fermata).
31. Oszacuj wartość s20 mając dany wzór rekurencyjny:
s0 = 7
s1 = 2
sn+2 = sn+1+2∙sn
32. Rozwiąż równanie: (3x‐4)/5= (x‐2)/3.
33. Pokaż, że wszystkie funkcje logarytmiczne są asymptotycznie
podobne.
34. Co
oznacza współczynnik
0, 3, 60, 0, 4 ? Ile wynosi?
35. Ile jest liczb naturalnych nie większych od 300, podzielnych przez 2
lub przez 3, lub przez 5 (wykorzystaj zasadę włączania i wyłączania)?
36. Ile transpozycji ma dowolna permutacja typu [13 22 34 41]?
37. Na ile sposobów możemy skomponować deser złożony z 7 gałek
lodów, gdy do wyboru są 3 smaki (kolejność nie ma znaczenia)?
38. Niech x, y dowolne liczby rzeczywiste i x<y. Ile liczb całkowitych
zawiera przedział [x, y)?
39.
a +1
Udowodnij, że ∑ g (x) δx=g ( a) .
a
40. Zgodnie z przepisami ordynacji podatkowej podstawy
opodatkowania, kwoty podatków, odsetki za zwłokę i pewne inne
opłaty oraz wynagrodzenia zaokrągla się do pełnych złotych w ten
sposób, że końcówki kwot wynoszące mniej niż 50 groszy pomija się,
a końcówki kwot wynoszące 50 i więcej groszy podwyższa się do
pełnych złotych. Jeżeli wyliczona kwota podlegająca takiemu
zaokrągleniu podana jest w formacie dodatniej dziesiętnej liczby
rzeczywistej x, to jaki jest wzór na liczbę zaokrągloną z(x)? Użyj funkcji
podłogi lub sufitu.