Zadania z arytmetyki i teorii liczb

Zadania z arytmetyki i teorii liczb
Andrzej Nowicki
1. Znaleźć największą wartość iloczynu liczb naturalnych, których suma równa się 2010.
2. Z cyfr 1, 2, . . . , 9 utworzono trzy trzycyfrowe liczby o największym iloczynie. Każdą cyfrę
użyto jeden raz. Jakie to liczby?
3. Z każdego nieskończonego postępu arytmetycznego o wyrazach naturalnych można wybrać
nieskończony postęp geometryczny.
4. Niech a, b, c, d ∈ N. Jeśli postępy arytmetyczne (a + nb) i (c + dn) mają co najmniej jeden
wyraz wspólny, to wszystkie ich wyrazy wspólne tworzą nieskończony postęp arytmetyczny.
5. W nieskończonym ciągu arytmetycznym o wyrazach naturalnych istnieje wyraz podzielny
przez 64 oraz istnieje wyraz niepodzielny przez 64. Wykazać, że:
(1) w tym ciągu istnieje wyraz podzielny przez 512;
(2) w tym ciągu istnieje wyraz podzielny przez 2n dla n > 6.
6. Spośród liczb 1, 2, . . . , 99 wybrano 50 takich liczb, że suma każdych dwóch jest różna od 99
i różna od 100. Wykazać, że wybrano liczby 50, 51, . . . , 99.
7. Znaleźć n-ty wyraz ciągu 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, . . . .
8. Niech R będzie pierścieniem z jedynką i niech f : N → R będzie funkcją addytywną przeprowadzającą jedynkę w jedynkę. Wykazać, że:
(1) f (ab) = f (a)f (b), dla wszystkich a, b ∈ N;
(2) funkcja f zawsze istnieje i to tylko jedna.
9. Niech A będzie podzbiorem zbioru Z takim, że:
(1) 1 ∈ A,
(2) a ∈ A ⇒ a + 1, a − 1 ∈ A.
Wykazać, że A = Z.
10. Zbiór liczb całkowitych postaci x2 −5y 2 , x, y ∈ Z, jest zamknięty ze względu na mnożenie.
11. Zbiór liczb całkowitych postaci x2 − xy + y 2 , x, y ∈ Z, jest zamknięty ze względu na
mnożenie.
12. Każda liczba naturalna n ma jednoznaczne przedstawienie w postaci
n = a1 1! + a2 2! + · · · + ak k!,
gdzie 0 6 ai 6 i dla i = 1, . . . , k i gdzie ak 6= 0.
2
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
13. Jeśli f : Z → Z jest rosnącą surjekcją, to istnieje a ∈ Z takie, że f (x) = x + a dla
wszystkich x ∈ Z.
14. Znaleźć wszystkie funkcje f : Z × Z → Z takie, że:
f (a, a) = 0,
f (a, f (b, c)) = f (a, b) + c
dla a, b, c ∈ Z.
15. Każda liczba całkowita różna od zera jest postaci (3x + 1)(2y + 1), gdzie x, y ∈ Z. Każda
liczba całkowita różna od zera jest postaci (3x − 1)(2y − 1), gdzie x, y ∈ Z.
16. Niech a, b, c ∈ Q. Jeśli a + b + c ∈ Z, ab + bc + ca ∈ Z i abc ∈ Z, to a, b, c ∈ Z.
17. Wyznaczyć wszystkie trójki (x, y, z) liczb wymiernych dodatnich, dla których liczby x +
y + z, x1 + y1 + z1 , xyz są naturalne.
2
−1
,y=
18. Niech x = ab+1
y też są całkowite.
b2 −1
a+1 ,
19. Każda liczba 51 n5 + 13 n3 +
gdzie a, b ∈ N. Jeśli x + y jest liczbą całkowitą, to liczby x i
7
15 n
jest całkowita.
20. Jedyną funkcją f : Q → Q taką, że f (1) = 2 oraz
f (xy) = f (x)f (y) − f (x + y) + 1
dla x, y ∈ Q,
jest funkcja f (x) = x + 1.
21. Czy istnieje liczba naturalna n taka, że
22. Niech a, b ∈ N. Jeśli liczba
naturalnych.
√
3
a+
√
3
√
n−1+
√
n + 1 jest liczbą wymierną ?
b jest wymierna, to liczby a i b są sześcianami liczb
23. Niech a, b ∈ R, a + b = 1. Jeśli liczby a3 i b3 są wymierne, to a i b też są liczbami
wymiernymi.
24. Nie istnieją wymierne liczby a, b, c, d takie, że
√
√
√
(a + b 2)2n + (c + d 2)2n = 5 + 4 2,
gdzie n ∈ N.
25. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x, y, z spełniające równość
26. Nie istnieją liczby naturalne a i b takie, że
27. Niech s ∈ N. Równanie
naturalnych.
1
x1
+
1
x2
+ ··· +
1
xs
1
a2
+
1
ab
+
1
b2
1
x
+
1
y
+
1
z
= 1.
= 1.
= 1 ma skończoną > 0 liczbę rozwiązań
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
3
28. Jeśli liczby naturalne x, y, z, których największy wspólny dzielnik jest równy 1, spełniają
równanie x1 + y1 = z1 , to x + y jest liczbą kwadratową.
29. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x 6 y 6 z spełniające równość
1
x
+
1
y
+
1
z
= 67 .
30. Jeśli n > 1, to
h(1) + h(2) + · · · + h(n − 1) = (n − 1)h(n),
gdzie h(k) =
31. Jeśli
a
b
1
1
+
1
2
=1−
+
1
2
1
3
+
+ · · · + k1 .
1
3
−
1
4
+ ··· −
1
1318
+
1
1319 ,
gdzie a, b ∈ N, to 1979 | a.
32. 7 | 22225555 + 55552222 .
33. 11 · 31 · 61 | 2015 − 1.
34. 19 | 241977 + 141977 .
c
a
b
35. Niech a = 220, b = 69, c = 119. Wtedy 102 | ab + bc + ca .
36. 11 | 55n+1 + 45n+2 + 35n .
n
37. 21 | 24 + 5.
38. 117 | 32(n+1) 52n − 33n+2 22n .
39. 125 | 1978n ⇐⇒ 100 | n.
40. Jeśli n jest nieparzyste, to n12 − n8 − n4 + 1 jest podzielne przez 29 .
41. 121 - n2 + 2n + 12.
42. 169 - n2 + n + 10.
43. Niech x1 , . . . , xn będą nieparzystymi liczbami całkowitymi. Wtedy
x1 x2 + x2 x3 + · · · + xn−1 x1 + xn x1 ≡ n (
44. 7 |
h
n+4
2
i
mod 4).
+ 3n − 2(−1)n .
45. 7 | 3n + n3 ⇐⇒ 7 | 3n · n3 + 1.
46. 23 | 17x + 5y ⇐⇒ 23 | 8x + y.
47. 29 | 10x + y ⇐⇒ 29 | x + 3y.
48. Znaleźć wszystkie liczby całkowite x i y takie, że 7 | 3x − 6y + 1 i 7 | 5x + 3y − 1.
49. Wszystkie wyrazy ciągu 10017, 100117, 1001117, . . . są podzielne przez 53.
4
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
50 (Cecha podzielności przez 29). Niech n ∈ N. Do liczby powstałej przez skreślenie ostatniej cyfry liczby n dodajemy liczbę trzykrotnie większą od skreślonej cyfry. Liczba n dzieli się
przez 29 wtedy i tylko wtedy, gdy otrzymana liczba dzieli się przez 29.
51. Jeśli cyfry a, b, c spełniają równość 2c = 3a + b, to liczba abc dzieli się przez 7.
52. Znaleźć resztę z dzielenia liczby (1237156 + 34)28 przez 111.
53. Resztą z dzielenia liczby naturalnej n przez 1981 jest 35. Resztą z dzielenia tej liczby
przez 1982 jest również 35. Jaką resztę otrzymamy dzieląc tę liczbę przez 14 ?
54. Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną n, której reszty z dzielenia przez 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
są równe odpowiednio 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
55. Liczba całkowita jest postaci 4t + 3 i jednocześnie postaci 6u + 5, gdzie t, u ∈ Z, wtedy i
tylko wtedy, gdy jest postaci 12k + 11, k ∈ Z.
56. Mamy 5 kartek papieru. Niektóre z nich dzielimy na 5 części. Następnie, niektóre z
otrzymanych znowu dzielimy na 5 części, itd . . . Czy można w ten sposób otrzymać 1982
kartki ?
57. [(a, b), c] = ([a, b], [b, c]),
([a, b], c) = [(a, b), (b, c)].
b+c c+a
58. Jeżeli a, b, c są liczbami nieparzystymi, to (a, b, c) = ( a+b
2 , 2 , 2 ).
59. [a, b] · [b, c] · [c, a] > [a, b, c]2 .
60. Niech d, w ∈ N. Istnieją liczby naturalne a, b takie, że (a, b) = d i [a, b] = w wtedy i tylko
wtedy, gdy d | w.
61. Zanaleźć wszystkie liczby naturalne x, y spełniające równość
nww(x2 , y) + nww(x, y 2 ) = 1996.
62. Niech A, B będą ideałami w Z. Wykazać, że (A + B)(A ∩ B) = AB.
63. Każda liczba naturalna > 6 jest sumą dwóch liczb naturalnych większych od 1 i względnie
pierwszych.
64. Niech a, b, c ∈ N i (a, b) = 1. Istnieje wtedy liczba naturalna x taka, że a | xb + c.
65. Niech a, b, d ∈ Z. Jeśli (a, b) = 1 i d | a + b, to (d, a) = 1 i (d, b) = 1.
66. Niech a, b, n ∈ N. Jeżeli żadna z liczb a, a + b, a + 2b, . . . , a + (n − 1)b nie jest podzielna
przez n, to liczby n i b nie są względnie pierwsze.
67. Nie istnieje liczba naturalna n taka, że wszystkie liczby 1 + n, 2 + n, 3 + n, 4 + n są
parami względnie pierwsze.
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
5
68. Niech (an ) będzie ciągiem określonym wzorami:
a1 = 2,
an+1 = a2n − an + 1,
dla n ∈ N.
Każde dwa różne wyrazy tego ciągu są względnie pierwsze.
69. Niech s ∈ N. Każdą liczbę naturalną n > s można przedstawić w postaci n = a + b, gdzie
a, b ∈ N, a | s, (b, s) = 1.
70. Ułamek (12n + 1)/(30n + 2) jest nieskracalny.
71. Jeśli 1 6 i < j 6 n, to liczby i · n! + 1, j · n! + 1 są względnie pierwsze.
72. Pierścień (przemienny z jedynką) jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy każda jego kongruencja jest trywialna.
73. Jeżeli a ≡ b (mod m), to (a, m) = (b, m).
74. Niech f (x) ∈ Z[x], a, b ∈ Z, b > 1. Wtedy
f (a + b) ≡ f (a) + bf 0 (a) (mod b2 ),
gdzie f 0 (x) oznacza pochodną wielomianu f (x).
75. 44444444 ≡ 7 (mod 9).
76. Kongruencja 111x ≡ 75 (mod 321) ma doładnie trzy rozwiązania.
77. Rozwiązać układ dwóch kongruencji:
(
x ≡ a1 (mod 13),
x ≡ a2 (mod 17).
78. Znaleźć wszystkie liczby naturalne x
cje:


 x
x

 x
spełniające jednocześnie następujące trzy kongruen≡ 2 (mod 5),
≡ 9 (mod 11),
≡ 4 (mod 14).
79. Każda liczba całkowita x spełnia co najmniej jedną z następujących pięciu kongruencji:

x





 x
≡
≡
x ≡



x ≡



x ≡
0 (mod 2),
0 (mod 3),
1 (mod 4),
1 (mod 6),
11 (mod 12).
80. Niech a ∈ Z. Jeśli kongruencja x2 ≡ a (mod 512) posiada rozwiązanie, to istnieją dokładnie cztery jej rozwiązania.
6
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P.
81. Niech p ∈ N, p > 2. Następujące warunki są równoważne.
(1) p ∈ P.
(2) p | ab =⇒ p | a ∨ p | b dla a, b ∈ Z.
(3) p | ab =⇒ p | a ∨ p | b dla a, b ∈ N.
(4) n ∈ N, n < p =⇒ (n, p) = 1.
(5) a ∈ Z, p - a =⇒ (a, p) = 1.
82. Jeżeli n > 2, to pomiędzy n i n! istnieje zawsze liczba pierwsza.
83. Jeżeli p > 5 jest liczbą pierwszą, to 240 | p4 − 1.
84. Jeśli p, q są liczbami pierwszymi takimi, że p | q 3 − 1 i q | p − 1, to p = 1 + q + q 2 .
85. Dla każdej liczby pierwszej p istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych q takich, że
p|q−1
86. Jeżeli liczby n + 1, n + 3, n + 7, n + 9 są pierwsze, to n = 4 lub 30 | n − 10.
87. Każda liczba parzysta > 8 jest sumą dwóch różnych liczb zlożonych.
88. Istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych nie będących sumą dwóch liczb pierwszych.
89. Liczby p i q są pierwsze. Wiadomo, że równanie x4 − px3 + q = 0 posiada całkowity
pierwiastek. Znaleźć p i q.
90. Wszystkie liczby naturalne począwszy od 32 do 75 wypisano w dowolnej kolejności otrzymując liczbę 88-cyfrową. Czy tak otrzymana liczba może być pierwsza?
91. Niech p > 3 będzie liczbą pierwszą. Wiadomo, że liczba pn jest 20-cyfrowa. Wykazać, że
co najmniej trzy cyfry są jednakowe.
92. Istnieje liczba pierwsza, której ostatnimi cyframi są cyfry 1, 9, 9, 8, 1, 9, 9, 9.
93. Jeśli liczby p > 2 i p + 2 są pierwsze, to 240 | (p − 1)(p + 1)(p + 3).
94. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza p > n taka, że liczba p + 2 jest
złożona.
95. Niech p1 < p2 < · · · < pn będą liczbami pierwszymi. Rozpatrzmy wyrażenie
p1 : p2 : p3 : · · · : pn .
Ile różnych liczb można otrzymać z tego wyrażenia wstawiając na wszelkie sposoby nawiasy ?
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
7
96. Następujące trzy zdania są równoważne:
(a) Dla każdej liczby naturalnej m > 1 istnieje liczba pierwsza p taka, że m < p < 2m.
(b) Dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność pn+1 < 2pn .
(3) Rozwinięcie na czynniki pierwsze liczby n!, gdzie n > 1, zawiera co najmniej jeden
czynnik pierwszy z wykładnikiem 1.
97. Dla każdej liczby naturalnej n istnieją co najmniej trzy liczby pierwsze n-cyfrowe.
98. Jeśli trzy liczby pierwsze tworzą postęp arytmetyczny o różnicy niepodzielnej przez 6, to
najmniejszą z tych liczb jest 3.
99 (S. Chowla 1944). Istnieje nieskończenie wiele trójwyrazowych postępów arytmetycznych,
utworzonych z różnych liczb pierwszych.
100. Jeśli ciąg arytmetyczny a1 , . . . , a15 składa się z samych liczb pierwszych, to różnica tego
ciągu jest większa od 30 000.
101. W każdym rosnącym ciągu arytmetycznym (nieskończonym) o wyrazach naturalnych
istnieją dowolnie długie ciągi kolejnych liczb złożonych.
102. Jeśli 2n2 + 7 jest liczbą pierwszą, to n jest liczbą złożoną.
103. Liczba 210 + 512 jest złożona.
104. Liczba 5123 + 6753 + 7203 jest złożona.
105. Liczby 312500051 i 1280000401 są złożone.
106. Wśród jedenastu liczb (n + 10k)2 + 1, gdzie k = 0, 1, . . . , 10, co najmniej jedna jest
złożona, podzielna przez 17.
107. Każda liczba ciągu 121, 11211, 1112111, . . . jest liczbą złożoną.
108. Korzystając z małego twierdzenia Fermata wykazać, że pn | ap
n−1 (p−1)
− 1.
109. Udowodnić twierdzenie Eulera przy pomocy małego twierdzenia Fermata.
110. 383838 | a37 − a dla a ∈ Z.
111. Jeśli 17 - n, to 17 | n8 + 1 lub 17 | n8 − 1.
112. Jeżeli p jest liczbą pierwszą, to p | 11
. . . 1} 22
. . . 2} . . . |99 {z
. . . 9} −123456789.
| {z
| {z
p
p
113. (a, 35) = 1 ⇒ 240 | (a4 − 1)(a4 + 15a2 + 1).
114. Czy liczba 19202122 . . . 787980 dzieli się przez 1980 ?
p
8
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
115. Wykazać, że istnieje liczba naturalna podzielna przez 1998, której zapis dziesiętny ma
tylko zera i siódemki.
116. Jeśli liczba naturalna dzieli się przez 999 999 999, to ma co najmniej 8 cyfr różnych od
zera.
117. Jeśli liczba naturalna dzieli się przez 10 101 010 101, to ma co najmniej 6 cyfr różnych
od zera.
118. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza mająca w zapisie dziesiętnym co
najmniej n zer.
119. Jeśli w zapisie
3 ∗ 4 ∗ 1 ∗ 0 ∗ 8 ∗ 2 ∗ 40923 ∗ 0 ∗ 320 ∗ 2 ∗ 56
w miejsce gwiazdek wstawimy w dowolnej kolejności cyfry 0, 1, 2, . . . , 9 (każdą jeden raz), to
otrzymana liczba będzie podzielna przez 396.
120. Istnieje liczba postaci 7991 7991 . . . 7991 podzielna przez 1997.
121. Spośród 39 kolejnych liczb naturalnych zawsze można wybrać taką liczbę, której suma
cyfr jest podzielna przez 11.
122. Spośród 79 kolejnych liczb naturalnych zawsze można wybrać taką liczbę, której suma
cyfr jest podzielna przez 13.
123. W każdym nieskończonym ciągu arytmetycznym o wyrazach naturalnych istnieją dwa
wyrazy posiadające jednakowe sumy cyfr.
124. Jeśli 20 | n, to 2n ≡ 76 ( mod 100).
125. Jeśli 100 | n, to 2n ≡ 376 ( mod 1000).
126. Znaleźć trzy ostatnie cyfry liczby 211111 .
1
2
3
1991
127. Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby 25 + 25 + 25 + . . . + 25
.
128. Jeżeli n > 2, to przedostatnia cyfra liczby 3n jest parzysta.
129. Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n, dla których liczby 3n , 3n+1 , 3n+2 mają
w zapisie dziesiętnym jednakowe liczby cyfr.
130. Ile cyfr ma liczba 5100 ?
131. Jeśli a + b + c = 0, a, b, c ∈ Z, to 2(a4 + b4 + c4 ) jest liczbą kwadratową.
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
9
132. Liczba postaci 4ab − a − b, gdzie a, b ∈ N, nie jest kwadratowa.
133. Jeśli a, b, c ∈ N, nwd(a, b, c) = 1 oraz ab = (a − b)c, to liczba a − b jest kwadratowa.
√
134. Jeśli 2 + 28n2 + 1 jest liczbą całkowitą, to jest liczbą kwadratową.
135. Liczby n + 1 i 4n + 1 nie mogą być jednocześnie kwadratowe.
136. Suma szóstych potęg dwóch liczb naturalnych nie jest liczbą kwadratową.
137. Nie ma liczb naturalnych x, y takich, że liczby x2 + y, y 2 + x są kwadratowe.
138. Równanie x2 + y 2 + z 2 + x + y + z = 1 nie ma rozwiązań wymiernych.
139. Żadna liczba postaci 10101 . . . 101 nie jest kwadratowa.
140. Czy istnieje liczba kwadratowa, ktȯrej suma cyfr jest równa 1998? Czy istnieje liczba
kwadratowa, ktȯrej suma cyfr jest równa 1999?
141. Czy istnieje taka liczba naturalna, że jeśli dopiszemy do niej z prawej strony jeszcze raz
tę liczbę, to otrzymamy liczbę kwadratową ?
142. Istnieje liczba kwadratowa posiadająca 199 cyfr, której pierwsze 99 cyfry są dziewiątkami.
143. Nie istnieje liczba kwadratowa 20-cyfrowa posiadająca na początku 11 jedynek.
144. Jeżeli n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczby 17n i 101n też są
sumami kwadratów dwóch liczb całkowitych.
145. Liczba n3 jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy n jest
sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.
146. Niech a, b ∈ Z. Jeżeli 7 | a2 + b2 , to 7 | a i 7 | b.
147. Niech a, b ∈ N. Jeżeli 21 | a2 + b2 , to 441 | a2 + b2 .
148. Niech a i b będą takimi liczbami naturalnymi, że ab + 1 | a2 + b2 . Wykazać, że liczba
(a2 + b2 )/(ab + 1) jest kwadratowa.
149. Jeśli liczby naturalne x, y, z, t spełniają równanie x2 + y 2 + z 2 = t2 , to co najmniej
jedna z nich jest podzielna przez 3.
150. Jeśli (a, b, c) jest trójką Pitagorasa, to (2a + b + 2c, a + 2b + 2c, 2a + 2b + 3c) też jest
trójką Pitagorasa.
151. Znaleźć wszystkie trójki Pitagorasa (a, b, c) takie, że ciąg a, b, c jest arytmetyczny.
10
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
152. Jeżeli (a, b, c) jest trójką Pitagorasa, to 60 | abc.
153. Jeżeli (a, b, c) jest trójką Pitagorasa, to 7 | ab(a2 − b2 ).
154. Promień okręgu wpisanego w trójkąt pitagorejski jest liczbą naturalną.
155. Nie ma dwóch liczb naturalnych x i y takich, że x2 − 2y 2 = 17.
156. Opisać wszystkie całkowite rozwiązania równania x2 + 2y 2 = z 2 .
157. Opisać wszystkie całkowite rozwiązania równania x2 + y 2 = 2z 2 .
158. Równanie x2 + y 2 = 3(z 2 + u2 ) nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych.
159. Równanie x2 − 2y 2 + 8z = 3. nie posiada rozwiąń w zbiorze liczb naturalnych.
160. Każdy wyraz ciągu 1331, 1030301, 1003003001, 1000300030001, . . . jest sześcianem
liczby naturalnej.
161. Czy istnieje taka liczba naturalna n, że suma cyfr liczby n3 jest równa 1998? Czy istnieje
taka liczba naturalna n, że suma cyfr liczby n3 jest równa 1999?
162. Każda liczba postaci n3 jest sumą n kolejnych liczb nieparzystych.
163. Jeśli liczby x, y i
x2 +y 2 +6
xy
są całkowite, to
x2 +y 2 +6
xy
jest sześcianem liczby całkowitej.
164. Liczby postaci 7k + 3 lub 7k + 4 nie są sumami dwóch sześcianów liczb całkowitych.
165. Równanie x3 + y 3 = 103n+1 nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych.
166. 6 | a + b + c ⇐⇒ 6 | a3 + b3 + c3 .
167. 9 | a3 + b3 + c3 ⇒ 3 | abc.
168. Liczby postaci 9k + 4 lub 9k + 5 nie są sumami trzech sześcianów liczb całkowitych.
169. Równanie x3 + y 3 + z 3 = 2 ma nieskończenie wiele rozwiązań całkowitych.
170. Wszystkimi rozwiązaniami całkowitymi układu równań x3 + y 3 + z 3 = 3 i x + y + z = 3
są trójki: (1, 1, 1), (−5, 4, 4), (4, −5, 4), (4, 4, −5).
171. Liczba 3 nie jest sumą sześcianów dwóch liczb wymiernych.
172. Nie ma liczb całkowitych a0 , a1 , a2 różnych od zera takich, że a0 = a1 + a2 , a20 = a21 + a22 .
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
11
173. Jeśli x1 6 x2 6 x3 , y1 6 y2 6 y3 są liczbami rzeczywistymi takimi, że:



 x1 + x2 + x3
= y1 + y2 + y3 ,



= y13 + y23 + y33 ,
x21
x31
+
+
x22
x32
+
+
x23
x33
= y12 + y22 + y32 ,
to x1 = y1 , x2 = y2 , x3 = y3 .
174. Dla każdej liczby naturalnej n równanie x1 + · · · + xn = x1 · · · xn ma rozwiązanie w
liczbach naturalnych.
175. Dla każdej liczby naturalnej n > 1 równanie x1 + · · · + xn = x1 · · · xn ma skończoną
liczbę rozwiązań naturalnych.
176. Znaleźć wszystkie rozwiązania naturalne równania x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = x1 x2 x3 x4 x5 .
177. Liczba naturalna n jest trójkątna wtedy i tylko wtedy, gdy liczba 8n + 1 jest kwadratowa.
178. Każdy wyraz ciągu 21, 2211, 222111, 22221111, . . . jest liczbą trójkątną.
179. Jeśli a2 b2 , gdzie a, b ∈ N, jest liczbą trójkątną, to (a + b)2 (2a + b)2 również jest liczbą
trójkątną.
180. Istnieje nieskończenie wiele kwadratowych liczb trójkątnych.
181. Między dwiema kolejnymi liczbami kwadratowymi leży co najmniej jedna liczba trójkątna.
182. Istnieje nieskończenie wiele trójkątów pitagorejskich, których obie przyprostokątne są
liczbami trójkątnymi.
183. Liczba trójkątna > 1 nie jest sześcianem liczby naturalnej.
184. Każda liczba naturalna, która nie jest postaci 2n , jest sumą dwóch lub więcej kolejnych
liczb naturalnych.
185. Czy rozkład danej liczby naturalnej na sumę dwóch lub więcej kolejnych liczb naturalnych jest jednoznaczny?
186. Iloczyn n kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez n!.
187. Niech a1 , . . . , an będzie całkowitym ciągiem arytmetycznym o różnicy względnie pierwszej z n!. Wtedy iloczyn a1 · · · an jest podzielny przez n!.
188. Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, z których środkowa jest sześcianem liczby
całkowitej, jest podzielny przez 504.
Niech en oznacza n-cyfrową liczbę naturalną, której cyframi są same jedynki. Wykazać, że:
12
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
189. Jeśli n | en , to liczba n jest złożona.
190. Jeżeli (n, 10) = 1, to istnieje m ∈ N takie, że n | em .
191. (en , em ) = 1 ⇐⇒ (n, m) = 1
Każdą liczbę postaci Mn = 2n − 1, gdzie n > 0, nazywamy liczbą Mersenne’a.
192. Ciąg (Mn ) można zdefiniować rekurencyjnie: M1 = 1, Mn+1 = 2Mn + 1 dla n ∈ N.
193. Żadna liczba Mersenne’a > 1 nie jest potęgą liczby naturalnej o wykładniku > 1.
194. Jeśli s ∈ N, to ciąg utworzony z s ostatnich cyfr kolejnych liczb Mersenne’a jest okresowy, o okresie czystym długości 4 · 5s−1 .
195. Jeśli Mn jest liczbą pierwszą, to n jest liczbą pierwszą.
196. (Mn , Mm ) = M(n,m) , m, n ∈ N.
197. Każda liczba naturalna nieparzysta jest dzielnikiem pewnej liczby Mersenne’a.
198. n | a − b ⇒ n2 | an − bn
199. Jeżeli 2n + 1 jest liczbą pierwszą, to n = 2k .
200. 2n + 1 | 2m + 1 ⇒ n | m.
201. Niech n = 2m + 1. Jeśli ϕ(n) | n − 1, to n jest liczbą pierwszą.
202. Nie istnieją różne liczby pierwsze p i q takie, że q mod 2p + 1, p | 2q + 1.
203. Jeżeli n ∈ N jest liczbą nieparzystą i n | a + b, to n2 | an + bn . Czy to również zachodzi
dla parzystego n?
204. Niech n będzie naturalną liczbą nieparzystą i niech a, b będą względnie pierwszymi liczbami całkowitymi. Wówczas (a + b)2 | an + bn ⇐⇒ (a + b) | n.
205. Istnieje nieskończenie wiele parzystych liczb naturalnych n takich, że n | 3n + 1.
n
Liczbami Fermata nazywamy liczby postaci Fn = 22 + 1, n > 0.
206. Jeżeli n > 3, to ostatnią cyfrą liczby Fermata Fn jest 7.
207. Fm+1 − 2 = F0 F1 · · · Fm .
208. Każde dwie różne liczby Fermata są względnie pierwsze.
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
13
209. Fn | 2Fn − 2 dla n = 0, 1, . . . .
210. Każdy dzielnik naturalny > 1 liczby Fermata Fn , większej od F1 , jest postaci 2n+2 k + 1,
gdzie k ∈ N.
211 (Euler 1732). 641 | F5 .
212. Żadna liczba Fermata > 3 nie jest liczbą trójkątną i nie jest sumą dwóch liczb trójkątnych.
213. Żadna liczba Fermata > 5 nie jest sumą dwóch liczb pierwszych.
214. Istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych postaci Fn2 + 4.
n
215. Istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych postaci 32 + 1.
216. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n takie, że 3 | n2n + 1.
n
217. Jeśli k ∈ {2, 5, 6, 8}, to każda liczba postaci k22 + 1 jest złożona.
218. 10 | 2n − 6 ⇐⇒ 4 | n.
219. W ciągu (2n − 3) istnieje nieskończenie wiele liczb, z których każde dwie są względnie
pierwsze.
220. W ciągu (2n − 3) istnieje nieskończenie wiele wyrazów podzielnych przez 5 i istnieje
nieskończenie wiele podzielnych przez 13, ale żaden wyraz tego ciągu nie jest podzielny przez
5 · 13.
221. Jeśli a i b są kolejnymi liczbami nieparzystymi, to a + b | aa + bb oraz a + b | ab + ba .
222. Jeśli p > 2 jest liczbą pierwszą, to 2(p − 3)! ≡ −1 ( mod p).
223. Jeśli p > 3 jest liczbą pierwszą, to 6(p − 4)! ≡ 1 ( mod p).
224. Liczba nieparzysta p > 1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy, p | (p − 1)! + 2p−1 .
225. Jeśli p > 2 jest liczbą pierwszą, to p | (p − 3)! + 2p−2 .
226. 71 | 61! + 1.
227. Jeśli p = 4n + 1 jest liczbą pierwszą, to p | ((2n)!)2 + 1.
228. Liczba 712! + 1 jest złożona.
229. Jeśli n > 4 jest liczbą złożoną, to n | (n − 1)!.
14
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
230. Liczba 10! ma 270 dzielników naturalnych.
231. Znaleźć maksymalną potęgę liczby 105, dzielącą liczbę 200!.
232. Liczba 288! dzieli się przez (16!)18 i (18!)16 .
233. Liczba 21! + 42!/21! jest podzielna przez 43.
234. Liczba (2001)! + (4002)!/(2001)! jest podzielna przez 4003.
235. 2n - n!.
236. 2n−1 | n! ⇐⇒ n = 2k dla pewnego k ∈ N.
237. 35! = 10333147966386144929a66651337523200000000. Znaleźć a.
238. (3n)! > n3n .
239. n! > 2n , dla n > 5.
240. 80! > 10! · 10100 .
241.
n2
0
+
n2
1
n
k=1 k k
242.
Pn
243.
k
k
244.
2n
n
+
+ ··· +
n2
n
=
2n
n .
= n2n−1 .
k+1
k
+ ··· +
k+n−1
k
=
k+n
k+1 .
< 4n dla n ∈ N.
245. Znaleźć resztę z dzielenia liczby
246. Liczba
2n+1 3k
k=0 2k+1 2
Pn
n
k .
248. Jeżeli (n, k) = 1, to k |
n−1
k−1 .
n−1
n n+1
k−1 , k+1 ,
k )
250. Znaleźć NWD dla liczb
251. Liczba
2n
n ,
252. Czy liczba
przez 5.
jest podzielna przez 5.
247. Jeżeli (n, k) = 1, to n |
249. nwd(
119
33
= nwd(
n−1 n+1
n k , k+1 , k−1 ),
n n
n 1 , 2 , . . . , n−1 .
gdzie n ∈ N, jest parzysta.
1000
500
jest podzielna przez 7?
253. Jeżeli p > 5 jest liczbą pierwszą, to p3 |
2p
p
− 2.
dla n > k ∈ N.
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
15
254. Niech a = (2n)!/n!. Wykazać, że 2n | a i 2n+1 - a.
255. Niech a = (kn)!/n!, gdzie k, n ∈ N. Wykazać, że k n | a i k n+1 - a.
256. (3n)!/(6n n!) ∈ Z.
257. Dla każdej liczby naturalnej n liczba (2n)!/n!(n + 1)! jest naturalna.
258. Jeżeli (n, m) = 1, to (n + m − 1)!/n!m! jest liczbą całkowitą.
259. Liczba
(2n)!(2m)!
m!n!(m+n)!
jest całkowita.
260. Zbiór wszystkich funkcji multyplikatywnych jest grupą abelową ze względu na splot Dirichleta.
261. Jeśli f, g są funkcjami multyplikatywnymi, to funkcja h zdefiniowana wzorem
h(n) =
P
k|n f (k)g(k)
jest też jest multyplikatywna.
262. Niech f : N → N będzie funkcją multyplikatywną ściśle rosnącą. Wiadomo, że f (2) = 2.
Wykazać, że f (n) = n dla n ∈ N.
263. Niech f (n) będzie liczbą wszystkich liczb naturalnych a 6 n takich, że n | a3 − a.
Wykazać, że f jest funkcją multyplikatywną.
264. Funkcja Möbiusa jest multyplikatywna.
265. Nie istnieje ściśle rosnąca funkcja f : N → Z+ taka, że f (ab) = f (a)+f (b) dla a, b ∈ N.
266. Niech f : N → N będzie funkcją taką, że f (n + 1) > f (f (n)) dla n ∈ N. Wykazać, że
f jest funkcją tożsamościową.
267. ϕ(ϕ(10!)) = 213 33 .
268. Jeżeli m > 2, to ϕ(m) jest liczbą parzystą.
269. ϕ(ab) = (a, b)ϕ([a, b]).
270. ϕ(a)ϕ(b)(a, b) = ϕ(ab)ϕ((a, b)).
271. ϕ(2m) = ϕ(m) lub ϕ(2m) = 2ϕ(m).
272. ϕ(4n + 2) = ϕ(2n + 1).
273. Jeśli liczby p > 2 i 2p − 1 są pierwsze, to ϕ(4p − 2) = ϕ(4p).
274. Jeśli m | n, to ϕ(m) | ϕ(n).
16
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
275. a, n ∈ N, a > 1, n > 1. Wtedy n | ϕ(an − 1).
276.
P
k|n ϕ(k)
= n dla n ∈ N.
277. Jeśli n jest parzyste, to
k
k|n (−1) ϕ(n/k)
P
= 0.
278. Jeśli (a, b) > 1, to ϕ(ab) > ϕ(a)ϕ(b).
Przez d(n) oznaczamy liczbę wszystkich naturalnych dzielników liczby naturalnej n.
279. Funkcja d jest multyplikatywna.
280. Liczba d(n) jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą kwadratową.
281. Jedynymi liczbami naturalnymi n takimi, że n = d(n)2 są liczby 1 i 9.
282. Liczba d(n2 ) pokrywa się z liczbą wszystkich par (a, b) takich, że a, b ∈ N, nww(a, b) = n.
283. Wiadomo, że d(n2 ) = 3d(n). Znaleźć d(n).
284. d(nk ) 6= kd(n) dla n, k ∈ N k > 1.
285. Jeśli n ∈ N, to
P
3
k|n d(k) =
286. d(1) + d(2) + · · · + d(n) =
n
1
2
P
k|n d(k) .
+
n
2
+ ··· +
n
n
.
287. Jeśli d(n) = 2 i d(n + 1) = 3, to n = 3.
288. Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że najmniejsza liczba naturalna
mająca n naturalnych podzielników jest mniejsza od najmniejszej liczby naturalnej mającej
n + 1 naturalnych podzielników.
√
289. d(n) 6 2 n.
290. d(ab) > d(a) + d(b) − 1, dla a, b ∈ N.
291. ϕ(n) > d(n) dla n > 30.
292. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza p taka, że d(p − 1) > n.
293. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba pierwsza p taka, że d(p−1) > n i d(p+1) >
n.
Przez σ(n) oznaczamy sumę wszystkich dzielników naturalnych liczby n.
294. Jeśli n = pa11 · · · pas s jest kanonicznym rozkładem liczby naturalnej n, to
a +1
σ(n) =
p1 1 −1
p1 −1
as +1
· · · psps −1−1 .
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
17
295. Funkcja σ jest multyplikatywna.
296. Jeśli (a, b) > 1, to σ(ab) 6= σ(a)σ(b).
297. Liczba naturalna n jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy σ(n) = n + 1.
298.
σ(n)
n
=
1
k|n k .
P
299. Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, które nie są wartościami funkcji σ.
300. σ(1) + σ(2) + · · · + σ(n) = 1
n
1
+2
n
2
+ ··· + n
n
n
.
301. Liczba σ(n)σ(n + 1)σ(n + 2) jest parzysta.
302. Jeśli 24 | n + 1, to 24 | σ(n).
303. 3 | σ(3n − 1) dla n ∈ N.
√
304. σ(n) < n n dla n > 2.
305. σ(n) + ϕ(n) > 2n dla n > 1.
306. Zbiór wszystkich liczb postaci σ(n)/n jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych > 1.
Liczbą Fibonacciego nazywamy każdy wyraz ciągu (un ) określonego wzorami:


 u1
= 1
u2
= 1

 u
n+2 = un + un+1 ,
dla n ∈ N. Przyjmujemy ponadto, że u0 = 0.
307 (Wzór Bineta). un =
308. 5
Pn
k=0 uk un−k
309. un+1 =
310.
√1
5
h
√ n
1+ 5
2
−
√ n i
1− 5
.
2
= 2nun+1 − (n + 1)un .
P[n/2] n−k
k=0
k .
Pn−1 n
k=0 k un−k = u2n .
311. 3 | u4n , 5 | u5n .
312. Każde dwie kolejne liczby Fibonacciego są względnie pierwsze.
313. Istnieje n ∈ N takie, że 1998 | un . Istnieje n ∈ N takie, że 1999 | un .
314. Jeśli 7 | un , to 21 | un .
315. un+m = un+1 um + un um−1 .
18
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
316. Jeśli n | m, to un | um .
317. (un , um ) = u(n,m) .
318. Ile jest liczb dziesięciocyfrowych zbudowanych z cyfr 1 i 2, w których dwie jedynki nie
stoją obok siebie?
319. Ile jest podzbiorów zbioru {1, 2, . . . , n}, w których nie występują żadne dwie kolejne
liczby?
320. Prostokąt 1 × n zapełniamy prostokątami o wymiarach 1 × 1 i 1 × 2. Ile jest różnych
sposobów takiego zapełnienia ?
321. Prostokąt 1 × n zapełniamy prostokątami o wymiarach 1 × 1, 1 × 2 i 1 × 3. Jeśli tn
oznacza ilość różnych sposobów takiego zapełnienia, to t1 = 1, t2 = 2, t3 = 4 oraz tn+3 =
tn+2 + tn+1 + tn dla n > 1.
322. Niech (an ) będzie uogólnionym ciągiem Fibonacciego zdefiniowanym wzorami:
a0 = 0, a1 = 1, an+2 = kan+1 + can ,
gdzie k, c ∈ Z r {0}. Załóżmy, że liczby x1 , x2 są pierwiastkami wielomianu x2 − kx − c.
Wówczas:
 n n
 x1 −x2 , gdy x1 6= x2 ,
x1 −x2
an =
 nxn−1 , gdy x = x = x.
1
2
323. Jeśli ciąg (an ) spełnia równanie rekurencyjne an+2 = 2pan+1 − p2 an , gdzie p jest ustaloną niezerową liczbą, to
an = a(1 − n)pn + bnpn−1 ,
gdzie a = a0 , b = a1 .
324. Niech a1 = 1, a2 = −1, an+2 = −an+1 − 2an . Jeśli n > 3, to 2n+1 − 7a2n−1 jest liczbą
kwadratową.
325. Niech a1 = 1, a2 = 2, an+2 = an+1 − an , dla n ∈ N. Wtedy an+6 = an , dla wszystkich
n.
326. Jeżeli c jest liczbą całkowitą, to równanie x(x2 − 1)(x2 − 10) = c nie może posiadać
5 całkowitych pierwiastków.
327. Niech f ∈ Z[x]. Jeśli wielomian f (x) + 12 ma co najmniej sześć różnych pierwiastków
całkowitych, to wielomian f (x) nie ma pierwiastków całkowitych.
328. Niech f ∈ Z[x]. Wiadomo, że równania
f (x) = 1, f (x) = 3
posiadają całkowite pierwiastki. Wykazać, że równanie f (x) = 2 nie może posiadać dwóch
całkowitych pierwiastków.
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
19
329. Niech f ∈ Z[x]. Wiadomo, że równania
f (x) = 1, f (x) = 2, f (x) = 3
posiadają całkowite pierwiastki. Wykazać, że równanie f (x) = 5 nie może posiadać dwóch
całkowitych pierwiastków.
330. Niech f ∈ Z[x]. Wykazać, że jeżeli liczby f (0) i f (1) są nieparzyste, to wielomian f nie
ma całkowitych pierwiastków.
331. Niech f ∈ Z[x]. Wykazać, że jeżeli wielomian f posiada całkowity pierwiastek, to co
najmniej jedna z liczb f (0), f (1), f (2) jest podzielna przez 3.
332. f ∈ Z[x]. Jeśli |f (a)| = |f (b)| = |f (c)| = 1, gdzie a, b, c są różnymi liczbami całkowitymi, to wielomian f nie ma całkowitych pierwiastków.
333. Niech f ∈ Z[x] r Z. Wykazać, że istnieje liczba naturalna n taka, że |f (n)| jest liczbą
złożoną.
334. Niech f (x) = x2 + ax + b, gdzie a, b ∈ Z. Wykazać, że istnieje taka liczba całkowita s,
że wszystkie liczby f (s + 1), f (s + 2), . . . , f (s + 1989) są złożone.
335. Czy istnieje wielomian f ∈ Z[x] taki, że f (1) = 19 i f (19) = 98?
336. Niech a, b, c będą parami różnymi liczbami całkowitymi. Nie istnieje wielomian f ∈ Z[x]
taki, że f (a) = b, f (b) = c i f (c) = a.
337. Niech f ∈ Z[x]. Załóżmy, że istnieją cztery parami różne liczby całkowite a, b, c, d takie,
że f (a) = f (b) = f (c) = f (d) = 1. Nie istnieje wówczas liczba całkowita u taka, że f (u) = −1.
338. f ∈ Z[x], 5 | f (2), 2 | f (5). Wtedy 10 | f (7).
339. Jeśli wielomian f ∈ Z[x] przyjmuje wartość 7 dla czterech argumentów całkowitych, to
wartość wielomianu f nie równa się 14 dla żadnego argumentu całkowitego.
340. Jeśli wielomian f ∈ Z[x] przyjmuje wartość 2 dla czterech argumentów całkowitych, to
liczby 1, 3, 5, 7, 9 nie należą do zbioru f (Z).
341. Dla dowolnych liczb całkowitych a, b istnieją liczby całkowite p, q takie, że zbiory
{x2 + ax + b; x ∈ Z},
{2x2 + px + q; x ∈ Z}
są rozłączne.
342. Niech f (x, y) = x5 + 3x4 y − 5x3 y 2 − 15x2 y 3 + 4xy 4 + 12y 5 . Nie istnieją liczby całkowite
a, b takie, że f (a, b) = 33.
20
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
343 (Twierdzenie Picka). Jeśli A jest wielokątem na płaszczyźnie o wierzchołkach w punktach kratowych, to
S = W + 12 B − 1,
gdzie S jest polem wielokąta A, W jest liczbą punktów kratowych leżących wewnątrz tego
wielokąta, a B jest liczbą punków kratowych leżących na jego brzegu.
344. Podwojone pole każdego wielokąta o wierzchołkach w punktach kratowych jest liczbą
naturalną.
345. Na płaszczyźnie dany jest wielokąt o wierzchołkach w punktach kratowych. Wiadomo,
że wewnątrz tego wielokąta leży 7 punktów kratowych a na jego brzegu takich punktów jest 6.
Znaleźć pole wielokąta.
346. Jedynym wielokątem foremnym o wierzchołkach w punktach kratowych jest kwadrat.
347. Jeśli trzy wierzchołki równoległoboku są punktami kratowymi, to czwarty wierzchołek
również jest punktem kratowym.
348 (H. Steinhaus). Dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje na płaszczyźnie koło zawierające wewnątrz dokładnie n punktów kratowych.
349. Na płaszczyźnie danych jest 5 punktów kratowych. Udowodnić, że środek co najmniej
jednego z odcinków łączących te punkty jest również punktem kratowym.
350. Na odcinku w Rn łączącym punkty kratowe (a1 , . . . , an ) i (b1 , . . . , bn ) leży dokładnie
NWD(b1 − a1 , . . . , bn − an ) + 1
punktów kratowych.
351. Jeśli wierzchołki sześcianu są punktami kratowymi, to długość krawędzi tego sześcianu
jest liczbą naturalną.
352. W klasie jest 37 osób. Wykazać, że istnieją co najmniej cztery osoby, które urodziły się
w tym samym miesiącu.
353. Danych jest 8 różnych liczb naturalnych mniejszych od 16. Rozpatrzmy wszystkie dodatnie różnice pomiędzy tymi liczbami. Wykazać, że co najmniej trzy różnice są jednakowe.
354. Spośród n dowolnych liczb całkowitych można zawsze wybrać dwie, których różnica jest
podzielna przez n − 1.
355. Wykazać, że w dowolnym n-wyrazowym ciągu liczb całkowitych istnieje pewna liczba
kolejnych wyrazów, których suma jest podzielna przez n
356. Z dowolnych 52 liczb naturalnych można wybrać dwie liczby, których albo suma, albo
różnica jest podzielna przez 100.
A.Nowicki
Zadania z arytmetyki i teorii liczb
21
357. Udowodnić, że spośród siedmiu dowolnych liczb całkowitych zawsze można wybrać cztery
takie liczby, których suma jest podzielna przez 4.
358. Danych jest 200 liczb całkowitych. Wykazać, że wśród nich istnieje 100 liczb, których
suma jest podzielna przez 100.
359. Wykazać, że z pięciu dowolnych liczb całkowitych można wybrać 3 takie liczby, których
suma jest podzielna przez 3.
360. Wykazać, że z dowolnych 4n2 + 1 liczb całkowitych można wybrać 2n + 1 takich liczb,
których suma jest podzielna przez 2n + 1.
361. Niech {a1 , . . . , a10 } = {1, 2, . . . , 10}. Wykazać, że w ciągu
a1 + 1, a2 + 2, . . . , a10 + 10
istnieją dwie takie liczby, których ostatnie cyfry są jednakowe.
362. Danych jest 12 parami różnych liczb dwucyfrowych. Wykazać, że wśród nich istnieją
dwie liczby a i b takie, że |a − b| jest liczbą dwucyfrową o jednakowych cyfrach.
363. Istnieje potęga liczby 29 kończąca się cyframi 00 001.
364. Jeśli a i n są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to istnieją liczby całkowite
√
√
x, y takie, że |x| 6 n, |y| 6 n, oraz n | ax − y.
365. Na płaszczyźnie danych jest 7 prostych. Wykazać, że co najmniej dwie z nich tworzą
kąt < 26o .
366.
√ W prostokącie 3×4 zaznaczono 6 punktów. Wykazać, że istnieją dwa punkty o odległości
6 5.
367. W kwadracie 1 × 1 danych jest 101 punktów. Wykazać, że istnieją trzy punkty tworzące
trójkąt o polu 6 0, 01.
368. W kwadracie 1 × 1 znajduje się 51 punktów. Wykazać, że istnieją trzy punkty, które
znajdują się wewnątrz okręgu o promieniu 71 .
369. Wewnątrz sześcianu o boku 1 znajduje się 2001 punktów. Wykazać, że istnieje sfera o
promieniu 1/11 zawierająca wenątrz co najmniej trzy punkty.
370. Z danego n elementowego zbioru wybrano 2n−1 takich podzbiorów, z których każde trzy
mają element wspólny. Wykazać, że wszystkie wybrane podzbiory mają co najmniej jeden
element wspólny.