Zadania do samodzielnego rozwia zania – zestaw 3
Transkrypt
Zadania do samodzielnego rozwia zania – zestaw 3
Zadania do samodzielnego rozwia,zania – zestaw 3 1. Sprowadzić do postaci kanonicznej trójmian ax2 + bx + c, gdzie a, b, c, x ∈ R oraz a 6= 0. 2. Wyprowadzić wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego. 3. Wyprowadzić wzory Viete’a dla równania kwadratowego. 4. Sporza,dzić wykresy naste,puja,cych funkcji kwadratowych: a) y = −x2 + 1, b) y = 2x2 − 4, c) y = −2x2 − x + 3, d) y = −(x + 1)2 + 2, e) y = −2(x − 1)2 , f) y = x2 + x − 2. 5. W jakich przeksztalceniach obrazami wykresu funkcji y = x2 , gdzie x ∈ R sa, wykresy funkcji: a) y = 2x2 , b) y = −x2 , c) y = (x − 1)2 + 2. 6. Naszkicować wykresy funkcji określonych w zbiorze liczb rzeczywistych wzorami: f (x) = |x2 − x − 2|, g(x) = x2 − 2|x| − 3. 7. Dane jest równanie kwadratowe x2 + 4x − 12 = 0. Nie rozwia,zuja,c go utworzyć równanie kwadratowe, którego pierwiastki sa, dwa razy wie,ksze od pierwiastków danego równania. 8. Rozwia,zać niepelne równanie kwadratowe: a) ax2 = 0, b) ax2 + c = 0, c) ax2 + bx = 0. √ √ 9. Rozwia,ż równania: x2 − (2 + 3)x + 3 = 0 i 6x2 − 5x + 1 = 0. 10. Rozwia,ż nierówności kwadratowe: a) x2 − 3x + 4 > 0, b) x2 + x + 2 ≤ 0, c) 3x2 − 10x + 3 < 0, d) x2 − x + 1 ≥ 0. 11. Rozwia,ż uklady nierówności: ½ 2 9x − 12x + 4 ≤ 0 (i) 3x − 1 ≥ 0 ½ (ii) x2 − 4 < 0 3x2 + x + 3 > 0 12. Podać interpretacje, geometryczna, zbiorów A ∩ B i A \ B, gdzie © ª © ª A = x ∈ R : |x − 1| > 3 oraz B = x ∈ R : x2 − 7x + 10 ≤ 0 13. Wyznaczyć zbiór (A ∪ B) \ C, gdy dane sa, naste,puja,ce zbiory liczb rzeczywistych ½ ¾ © ª 3x − 1 2 A = x ∈ R : x − 3x > 5 , B = x ∈ R : < 0 , C = {x ∈ R : |x| = x} 5x + 1 14. Przedstawić ilustracje, graficzna, zbiorów A \ B oraz A ∩ B, gdy © ª © ª A = (x; y) ∈ R2 : y + 1 ≥ x2 oraz B = (x; y) ∈ R2 : y ∈ (−∞; 1) . 15. Suma dlugości boku trójka,ta i wysokości opuszczonej na ten bok wynosi 10 cm. Wyznacz wymiary boku i wysokości tak, by pole trójka,ta bylo najwie,ksze. 16. Wyznacz a, b, c we wzorze funkcji f (x) = ax2 + bx + c wiedza,c, że do jej wykresu należa, punkty A(0, 8), B(2, 0) i C(5, 3). 17. Dla jakich wartości parametru a równanie x2 + 3x − (a − 3)a = 0 ma dwa pierwiastki jednakowych znaków? 18. Dla jakich wartości parametru a równanie x2 −(a−1)x−2a(3a+1) = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków? 19. Dla jakich wartości parametru m istnieja, takie dwa rozwia,zania rówania 3x2 + mx + 1 = 0, że spelniaja, warunki x1 (α) = sin α, x2 (α) = cos α? 20. Rozwia,ż graficznie i rachunkowo uklady równań: ( ( x+y =2 2x2 − y + 3x = 5 (i) (ii) 2x − y + 5 = 0 x2 − y = 0 ( ( x2 + y 2 = 9 25y 2 − 36x2 = 0 (iv) (v) x − 3y = 3 5y + 6x + 2 = 0 ( (iii) xy = 4 2x − y − 3 = 0 ( (vi) x2 + y 2 = 10 xy = 3 21. Trójmian kwadratowy y = 2x2 + bx + c ma miejsca zerowe x1 = −3 i x2 = 1. Wyznaczyć b i c. 22. Dla jakiej wartości parametrów a i b funkcja f (x) = ax+b jest: a) parzysta, b) nieparzysta. 23. Rozwia,zaniem nierówności x2 + bx + c < 0 jest przedzial (−2; 4). Wyznaczyć b i c. 24. Wykres funkcji kwadratowej f przecina oś Oy w punkcie A(0, 3). Prosta y = 4x jest styczna do wykresu funkcji w punkcie B(1, 4). a) Naszkicować wykres funkcji f . b) Dla jakich wartości argumentu x wartości funkcji f sa, mniejsze od 4? c) Obliczyć sume, odwrotności kwadratów pierwiastków równania f (x) = 1. 24. Suma kwadratów miejsc zerowych funkcji f (x) = x2 − px + q jest równa 15. Dla x = −5 funkcja przyjmuje wartość 5. Obliczyć najmniejsza, wartość funkcji f . 25. a) Naszkicować wykres funkcji f (x) = x2 − |4x − 4| i na podstawie wykresu omowić jej wlasności. b) Określić liczbe, rozwia,zań równania f (x) = m w zależności od wartości parametru m. Naszkicować wykres funkcji, która parametrowi m przyporza,dkowuje liczbe, rozwia,zań tego równia. 26. a) Znaleźć te wartości parametru m, dla których punkt przecie,cia prostych o równaniach 2x − 2y = m − 6 oraz x + y = 11 − m należy do wykresu funkcji f (x) = x2 − 4x + 3. b) Dla jakich wartości parametru m wspólrze,dne punktu przecie,cia tych prostych spelniaja, ¯ ¯ ¯ ¯ warunek ¯ xy ¯ ≥ 1? 27. Funkcja f (x) = 2x2 + bx − 16 ma dwa różne miejsca zerowe takie, że jedno z nich jest kwadratem drugiego. Znaleźć wspólczynnik b. 28. Funkcja f (x) = −3x2 + 24x + 2c ma dwa miejsca różne zerowe takie, że jedno z nich stanowi 1 3 drugiego. Znaleźć wspólczynnik c. 29. Pole prostoka,ta jest równe a, zaś jego obwód jest równy 24. Obliczyć dlugości boków prostoka,ta. Jakie wartości może przyjmować a? 30. Na odcinku drogi o dlugości 30 metrów przednie kolo pojazdu zrobilo o 6 obrotów wie,cej niż tylne. Gdyby obwód każdego kola byl wie,kszy o jeden metr, to na tej drodze przednie kolo zrobiloby o 3 obroty wie,cej niż tylne. Znaleźć obwody kól. 31. Podstawa prostoka,ta ma dlugość 44 metry, a wysokość 24 metry. O ile trzeba przedlużyć podstawe,, a wysokość skrócić, aby jego pole pozostalo bez zmiany, a obwód powie,kszyl sie, o 28 metrów? 32. W ksia,żce jest 20 000 wierszy, przy czym na każdej stronie znajduje sie, jednakowa ilość wierszy. Gdyby ksia,żke, te, wydrukowano w takim formacie, że na każdej stronie byloby o 10 wierszy wie,cej (przy takim samym rozmiarze wiersza), to liczba stron zmiejszylaby sie, o 100. Ile wierszy jest na każdej stronie i ile stron ma ksia,żka? 33. Rozwia,zać zadanie hinduskie pochodza,ce z XII wieku, którego treść przedstawia naste,puja,cy wierszyk: Bawily sie, raz malpy – wieść hinduska niesie – Ósma ich cze,ść w kwadracie już skacze po lesie, Pozostalych dwanaście w pla,sach i z wrzaskami Pomie,dzy zielonymi hasa pagórkami. Ileż ich wszystkich bylo? pyta sie, Bhashara 1 . Zagadka nie jest trudna, chociaż bardzo stara. 34. Przez jeden kran woda wplywa do zbiornika, przez drugi zaś wyplywa ze zbiornika. Gdy otworzymy oba krany pusty zbiornik zostanie napelniony woda, w cia,gu 12 godzin. W cia,gu ilu godzin pierwszy kran napelnia pusty zbiornik, a drugi opróżnia pelny zbiornik, jeżeli czas napelniania zbiornika, jest o godzine, krótszy od czasu jego opróżniania? 35. Dana jest funkcja kwadratowa postaci f (x) = ax2 + bx + c, gdzie a, b, c ∈ R sa, ustalone i a 6= 0 natomiast zmienna x ∈ R. Dla jakich wartości parametrów a, b, c funkcja f jest parzysta w R? 36. a) Sformulować definicje, funkcji różnowartościowej i na jej podstawie wykazać, że funkcja f (x) = x2 + 6x + 4 jest różnowartościowa w każdym z przedzialów (−∞, −3), h−3, +∞) z osobna, ale nie jest różnowartościowa w R. b) W przedzialach różnowartościowości funkcji f wyznaczyć dla niej funkcje odwrotne. 37. Sformulować definicje, ekstremum funkcji, naste,pnie obliczyć ekstrema funkcji: a) f (x) = x2 − 14x + 28, b) g(x) = −2x2 + 8x − 8, c) h(x) = x2 + 8x − 16. 38. Znaleźć najwie,ksza, i najmiejsza, wartość funkcji: a) f (x) = √ −x2 + 4x + 1, gdy x ∈ h0; 3i b) g(x) = x2 + 4, gdy x ∈ h−1; 3i. 39. Dane sa, zbiory: © ª A = (x; y) ∈ R2 : x2 + y 2 − 2mx + m2 = 0 oraz © ª B = (x; y) ∈ R2 : x + y − 1 ≤ . Dla jakich wartości parametru m zbiór A ∩ B jest jednoelementowy? 40. Dla jakich wartości parametru a suma kwadratów pierwiastków rzeczywistych równania x2 + ax − a + 3 = 0 osia,ga najmniejsza, wartość? 41. Znaleźć maksimum funkcji f : R → R, gdy f (x) = √ 2x2 2 . − 4x + 3 42. Sformulować definicje, funkcji maleja,cej i na jej podstawie wykazać, ze funkcja f (x) = 2x2 −7 jest malejaca w przedziale (−∞; 0). 1 Bhashara, matematyk hinduski żyja,cy w XII wieku.