Pobierz artykuł - Budowa Maszyn i Zarządzanie Produkcją

Transkrypt

ZESZYTY
Nr 2
NAUKOWE
P OLI TECHNI KI
P OZNAŃSKIEJ
Budowa Maszyn i Zarządzanie Produkcją
2005
PIOTR GORZELAŃCZYK, JAN ADAM KOŁODZIEJ
OKREŚLENIE OPTYMALNEJ ODLEGŁOŚCI KONTURU
ZE ŹRÓDŁAMI OD BRZEGU OBSZARU Z ZASTOSOWANIEM
METODY ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH
W metodzie rozwiązań podstawowych problem określania położenia punktów osobliwych
sprowadza się do wyznaczenia kształtu pseudobrzegu, na którym umieszcza się punkty źródłowe.
W pierwszym sposobie pseudobrzeg jest okręgiem, wewnątrz którego jest rozważany obszar, a w
drugim konturem geometrycznie podobnym do konturu brzegu rozważanego obszaru. Tematem
artykułu są eksperymenty numeryczne mające odpowiedzieć na pytanie, który pseudobrzeg jest
lepszy. Ponadto bada się, jaki powinien być promień pseudobrzegu, jeśli jest on okręgiem, lub jaka
powinna być odległość od konturu obszaru pseudobrzegu geometrycznie podobnego do niego oraz
jaki wpływ na wyniki eksperymentów ma uwarunkowanie układu równań liniowych. Aby odpowiedzieć na te pytania, wybrano dwa problemy brzegowe, dla których są znane dokładne rozwiązania: problem skręcania pręta o przekroju prostokątnym oraz problem testowy z nieciągłą funkcją
na brzegu. Problemy te rozwiązuje się metodą rozwiązań podstawowych, przy czym warunki
brzegowe spełnia metoda kolokacji z minimalizacją średniokwadratową. Porównanie rozwiązań
przybliżonych z dokładnym rozwiązaniem pozwala udzielić odpowiedzi na postawione pytania.
Słowa kluczowe: kolokacja brzegowa, metoda rozwiązań podstawowych
1. WPROWADZENIE
Metoda rozwiązań podstawowych (ang. method of fundamental solutions) należy do grupy metod bezsiatkowych i jest numeryczną metoda rozwiązywania
równań różniczkowych eliptycznych i parabolicznych [2, 4–5]. Warunkiem stosowania tej metody jest znajomość rozwiązania podstawowego równania, które
występuje w sformułowaniu problemu brzegowego lub brzegowo początkowego. W metodzie rozwiązań podstawowych przybliżone rozwiązanie problemu
zakłada się w postaci superpozycji rozwiązań podstawowych, których punkty
osobliwe są rozmieszczone na zewnątrz rozważanego obszaru. Punkty te, nazywane też punktami źródłowymi, rozmieszcza się na pseudobrzegu, wewnątrz
którego jest rozważany obszar. Wspomniany pseudobrzeg nie ma punktów
wspólnych z rzeczywistym brzegiem obszaru. Ponieważ rozwiązanie podstawowe spełnia ściśle równanie różniczkowe występujące w sformułowaniu rozwa-
18
P. Gorzelańczyk, J.A. Kołodziej
żanego problemu brzegowego, więc przyjęta postać przybliżonego rozwiązania
również to równanie spełnia. Z tego powodu metoda rozwiązań podstawowych
należy do grupy metod Trefftza, których istotą jest dokładne spełnienie równania
różniczkowego. Współczynniki wagowe występujące w przybliżonym rozwiązaniu wyznacza się, spełniając w określony sposób warunki brzegowe występujące w problemie brzegowym.
Metoda rozwiązań podstawowych po raz pierwszy została zaproponowana
przez gruzińskich badaczy Kupradze i Aleksidze [12–13] i opisane w pracach
opublikowanych w języku rosyjskim. Jej numeryczną implementację opisali
Mathon i Johnston [14], a Bogomolny [1] przedstawił jej matematyczne uzasadnienie łącznie z badaniem zbieżności rozwiązania. Dzięki tej ostatniej publikacji
metoda ta została rozpropagowana wśród specjalistów od metod numerycznych.
Po tej publikacji ukazało się bardzo wiele prac, w których zastosowano tę metodę do rozwiązywania problemów brzegowych w fizyce i technice. Popularność
tej metody wynika z prostoty jej numerycznej implementacji. Szczegóły dotyczące różnych aspektów stosowania tej metody można znaleźć w pracach przeglądowych [2, 4–5, 10].
Jednym z podstawowych problemów w metodzie rozwiązań podstawowych
jest sposób określania położenia punktów osobliwych (źródłowych). Większość
autorów położenie tych punktów przyjmuje arbitralnie przez określanie ich
współrzędnych w danych wejściowych do numerycznego rozwiązywania problemu brzegowego. Jeśli jest rozwiązywany liniowy problem brzegowy, to w
takim podejściu nieznane współczynniki wagowe rozwiązań podstawowych
wyznacza się, rozwiązując układ liniowych równań algebraicznych. W innym
wariancie metody rozwiązań podstawowych współrzędne położenia punktów
osobliwych są traktowane jako niewidome i wyznacza się je w trakcie numerycznego rozwiązywania problemu brzegowego [3, 7–9, 15–18]. Jednak wówczas nawet w przypadku liniowego problemu brzegowego w realizacji numerycznej mamy do czynienia z nieliniowym układem równań. Z tego powodu
prace z takim wariantem metody rozwiązań podstawowych są nieliczne.
Rozróżnia się dwa zasadnicze sposoby arbitralnego określania punktów osobliwych, przy czym problem w zasadzie sprowadza się do określania kształtu
pseudobrzegu, na którym umieszcza się punkty źródłowe. W pierwszym sposobie pseudobrzeg jest okręgiem (patrz rys. 1), wewnątrz, którego jest rozważany
obszar (np. [1]). W drugim przypadku pseudobrzeg jest konturem geometrycznie
podobnym do konturu brzegu rozważanego obszaru, jak na rys. 2 (np. [11]).
Niezależnie od kształtu pseudobrzegu, punkty źródłowe są rozmieszczane na
nim na ogół równomiernie. Mając określony kształt pseudobrzegu, współrzędne
punktów źródłowych przy założeniu, że są równomiernie rozmieszczone generuje się według prostej instrukcji w programie. W ten sposób danymi wejściowymi
są w istocie promień okręgu lub odległość oraz liczba punktów źródłowych.
Powstaje jednak problem, jaki powinien być promień okręgu pseudobrzegu lub
Określenie optymalnej odległości konturu ze źródłami...
19
w jakiej odległości od brzegu obszaru powinien być umieszczony geometrycznie
do niego podobny kontur pseudobrzegu. Problem ten podjęto w tym artykule.
Punkty
źródłowe
Punkty
kolokacji
Kontur
obszaru
Pseudobrzeg
Rys. 1. Rozmieszczenie punktów źródłowych na konturze podobnym
Fig. 1. Arrangement of the sourced points on the similar outline
Punkty
kolokacji
Punkty
źródłowe
Kontur
obszaru
Pseudobrzeg
Rys. 2. Rozmieszczenie punktów źródłowych na konturze okrągłym
Fig. 2. Arrangement of the sourced points on the round outline
Wykonano eksperymenty numerycznie, które miały odpowiedzieć na następujące pytania:
1. Jaki pseudobrzeg jest lepszy: okrąg czy geometrycznie podobny do
brzegu konturu obszaru?
2. Jaki powinien być promień pseudobrzegu, jeśli jest on okręgiem, lub jaka powinna być odległość od konturu obszaru pseudobrzegu geometrycznie
podobnego do niego?
20
3. Jaki wpływ mają parametry pseudobrzegu, tj. promień lub odległość, na
uwarunkowanie układu równań liniowych?
Wybrano dwa problemy brzegowe, dla których są znane dokładne rozwiązania. Problemy te rozwiązuje się metodą rozwiązań podstawowych, przy czym
warunki brzegowe wyznacza się metodą kolokacji z minimalizacją średniokwadratową. Porównanie rozwiązań przybliżonych z dokładnym rozwiązaniem daje
odpowiedź na podstawione pytania.
2. PRZYKŁADY TESTOWE
2.1. Problem I – skręcanie pręta o przekroju prostokątnym
Przykłady testowe mają dokładne rozwiązanie. Tutaj skupiono się na dwóch
problemach.
Skręcanie prętów o przekroju okrągłym należy do kanonów wiedzy z zakresu
wytrzymałości materiałów. Jest to zadanie mniej skomplikowane niż skręcanie
prętów o przekroju nieokrągłym. Przekroje poprzeczne prętów nieokrągłych
podczas skręcania ulegają tzw. deplanacji, co uniemożliwia przyjęcie hipotezy
płaskich przekrojów stosowanej w przypadku prętów kołowych. Podaje się przy
tym informację o konieczności wprowadzenia współczynników poprawkowych
we wzorach wyprowadzonych dla prętów o przekroju kołowym na sztywność na
skręcanie oraz na maksymalne naprężenia styczne [19] (ewentualnie podaje się
te współczynniki dla przekroju prostokątnego).
Rozważmy pręt o przekroju prostokątnym o bokach 2a × 2b . Po oznaczeniu
przez E = b / a stosunku boków pręta bezwymiarowe sformułowanie zagadnienia brzegowego przyjmuje następującą postać, jeśli ograniczymy się do pierwszej ćwiartki ze względu na symetrię [19]:
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂X 2 ∂Y 2
w
0 < X < 1,
0<Y < E
(1)
z warunkami brzegowymi:
∂u
=0
∂Y
∂u
=0
∂X
u=−
1 2
X +Y2
2
(
Y = 0,
dla
X = 0,
dla
)
dla
X = 1,
0 ≤ X ≤ 1,
(2)
0 ≤ Y ≤ E,
(3)
0 ≤ Y ≤ E,
(4)
u=−
1 2
X +Y2
2
(
)
Y = E,
dla
0 ≤ X ≤ 1.
21
(5)
Wyżej sformułowany problem brzegowy ma dokładne rozwiązanie w postaci:
1
32 ∞ (− 1)
u ( X , Y ) = −1 + X 2 − Y 2 + 3
2
π k =0 (2k + 1)3
(
)
k
∑
πY 

cosh(2k + 1) 
πX 
2 


cos(2k + 1)
.
π
E
2 



cosh(2k + 1) 
2 

(6)
Rys. 4. Rysunek do zagadnienia drugiego
Fig. 4. Drawing of the second issue
Rys. 3. Rysunek do zagadnienia pierwszego
Fig. 3. Drawing of the first issue
2.2. Problem II – rozwiązania dla problemu testowego z nieciągłą funkcją
na brzegu
Rozważmy równanie różniczkowe (2D równanie Laplace’a):
∂ 2u ∂ 2 u
+
=0
∂X 2 ∂Y 2
w
0 < X < 1,
0 < Y < 0,5
(7)
z warunkami brzegowymi:
u=0
dla
Y = 0,
0 ≤ X ≤1,
(8)
u =1
dla
X = 0,
0 ≤ Y ≤ 0,5 ,
(9)
u=0
dla
X = 1,
0 ≤ Y ≤ 0,5 ,
(10)
Y = 0,5,
0 ≤ X ≤1.
(11)
∂u
=0
∂Y
dla
22
Wyżej sformułowany problem brzegowy ma dokładne rozwiązanie w postaci:
2 ∞ 1
u( X , Y ) = 1 − X −
∑
π k =1 k
 1

cosh kπ  − Y 
2

 
sin (kπX ).
 kπ 
cosh 

 2 
(12)
Tak sformułowany problem brzegowy ma nieciągłość poszukiwanej funkcji
na brzegu w punkcie o współrzędnych (0,0).
3. ROZWIĄZANIE PRZYKŁADÓW TESTOWYCH
METODĄ ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH
3.1. Problem I
Ten sam problem chcemy jednak rozwiązać w sposób przybliżony metodą
rozwiązań podstawowych. Zgodnie z tą metodą, rozwiązanie przyjmujemy w
postaci (13).
u(X , Y ) =
NC
∑ c ϕ ( X , Y , Xs , Ys ),
i
i
i
(13)
i =1
gdzie ci są chwilowo nieznanymi stałymi, podczas gdy w tradycyjnym ujęciu
tej metody funkcja ϕ ( X , Y , Xsi , Ysi ) jest rozwiązaniem podstawowym równania
Laplace’a z punktem osobliwym umieszczonym na zewnątrz rozważanego obszaru, tzn.
ϕ (X , Y , Xsi , Ysi ) = ln[(X − Xsi ) 2 + (Y − Ysi ) 2 ].
(14)
Równanie (13) ma tę własność, że w sposób dokładny spełnia równanie (1).
Spełnienie w sposób przybliżony warunków brzegowych pozwala na wyznaczenie nieznanych stałych ci .
Mając na uwadze rozwiązanie wyżej sformułowanego problemu, funkcje
ϕ ( X , Y , Xsi , Ysi ) możemy dobrać w taki sposób, aby warunki brzegowe symetrii,
tj, warunki (2) i (3), były spełnione w sposób ścisły.
Wykonujemy „lustrzanie odbicie” funkcji źródłowej umieszczonej w punkcie
o współrzędnych ( Xsi , Ysi ) względem osi Y i otrzymujemy:
23
ϕ oy (X , Y , Xsi , Ysi ) = ln[(X − Xsi )2 + (Y − Ysi )2 ] +
(
+ ln[ X + Xsi
)2 + (Y − Ysi )2 ].
(15)
Jeśli następnie „odbijemy lustrzanie” tak otrzymaną funkcję względem osi X,
otrzymujemy:
ϕ s (X , Y , Xsi , Ysi ) = ln (X − Xsi )2 + (Y − Ysi )2  +


2
2
2
+ ln  X + Xsi + Y − Ysi  + ln  X − Xsi + Y + Ysi  +




2
2
+ ln  X + Xsi + Y + Ysi  =


 X − Xs 2 + Y − Ys 2  ⋅  X + Xs 2 + Y − Ys 2  
i
i  
i
i  

= ln 
.
 X − Xs 2 + Y + Ys 2  ⋅  X + Xs 2 + Y + Ys 2  
i
i  
i
i  

(
2
) (
)
(
(
) (
)
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(16)
Jeśli przybliżone rozwiązanie założymy w postaci:
NC
Φ ( X , Y ) = ∑ ciϕ s X , Y , Xsi , Ysi ,
i =1
(
)
(17)
to spełnia ono w sposób ścisły równanie różniczkowe (1) oraz warunki (2) i (3).
Po obraniu na tej części brzegu rozważanego obszaru, gdzie warunek brzegowy nie jest spełniony dokładnie, tj. na brzegach X = 1, 0 ≤ Y ≤ E oraz
Y = E , 0 ≤ X ≤ 1, N punktów kolokacji i go spełnieniu warunków brzegowych
(4) i (5) w tych punktach otrzymujemy N liniowych równań algebraicznych w
postaci:
(
)
(
)
NC
1 2
2
∑ ciϕ s X j , Y j , Xsi , Ysi = − X j + Y j , j = 1,2,3,..., N ,
2
i =1
(
(18)
)
gdzie X j , Y j są współrzędnymi punktów kolokacji.
Układ równań zawiera NC niewiadomych, których liczba musi być równa
liczbie równań lub mniejsza od niej. Jeśli liczba ta jest mniejsza, taki układ nazywamy nadokreślonym i rozwiązuje się go metodą najmniejszych kwadratów.
Układ (18) zapiszemy w sposób macierzowy:
Ac = b,
gdzie:
(
)
A ji = ϕ s X j , Y j , Xsi , Ysi ,
j = 1,2,.., N ,
(19)
i = 1,2,.., NC ,
(20)
24
bj = −
1 2
X j + Y j2 .
2
(
)
(21)
Metodą najmniejszych kwadratów układ równań (19) sprowadzamy do postaci:
A T Ac = A T b.
(22)
W tym układzie liczba równań jest równa liczbie niewiadomych. Po rozwiązaniu tego układu metodą eliminacji Gaussa otrzymujemy poszukiwane współczynniki ci . Mając te współczynniki, mamy rozwiązanie w każdym punkcie
rozważanego obszaru.
3.2. Problem II
Ten sam problem chcemy jednak rozwiązać w sposób przybliżony metodą
rozwiązań podstawowych (ang. method of fundamental solution). Zgodnie z tą
metodą przyjmujemy rozwiązanie w postaci:
Φ (X ,Y ) =
NC
∑ c ϕ ( X , Y , Xs , Ys ),
i
i
i
(23)
i =1
gdzie ci są chwilowo nieznanymi stałymi, podczas gdy w tradycyjnym ujęciu
tej metody funkcja ϕ X , Y , Xsi , Ysi jest rozwiązaniem podstawowym równania
(
)
Laplace’a z punktem osobliwym umieszczonym na zewnątrz rozważanego obszaru, tzn.
ϕ ( X , Y , Xsi , Ysi ) = ln[( X − Xsi )2 + (Y − Ysi )2 ].
(24)
Równanie (23) ma tę własność, że w sposób dokładny spełnia równanie (7).
Spełnienie w sposób przybliżony warunków brzegowych pozwala na wyznaczenie nieznanych stałych ci .
Mając na uwadze rozwiązanie wyżej sformułowanego problemu, funkcje
ϕ ( X , Y , Xsi , Ysi ) możemy dobrać w taki sposób, aby warunki brzegowe symetrii,
tj, warunki (8) i (9) były spełnione w sposób dokładny.
Po wykonaniu „lustrzanego odbicia” funkcji źródłowej umieszczonej w
punkcie o współrzędnych ( Xsi , Ysi ) względem osi Y otrzymujemy:
2
2
2
2
ϕ s ( X , Y , Xsi , Ysi ) = ln[( X − Xsi ) + (Y − Ysi ) ] − ln[( X − Xsi ) + (Y + Ysi ) ]. (25)
Jeśli przybliżone rozwiązanie założymy w postaci:
Φ( X , Y ) =
NC
∑ c ϕ ( X , Y , Xs , Ys ),
i
i =1
s
i
i
(26)
25
to spełnia ono w sposób dokładny równanie różniczkowe (7) oraz warunki (8) i
(9).
Po obraniu na tej części brzegu rozważanego obszaru, gdzie warunek brzegowy nie jest spełniony ściśle, tj. na brzegach, X = 0 i 0 ≤ Y ≤ 0,5 otrzymujemy
N liniowych równań algebraicznych w postaci:
NC
∑ c ϕ (X
i
s
j ,Y j ,
)
Xsi , Ysi = 1, j = 1,2,3,..., N ,
(27)
i =1
dla X = 1,
0 ≤ Y ≤ 0,5
NC
∑ c ϕ (X
i
s
j ,Y j ,
)
Xsi , Ysi = 0,
(28)
i =1
dla Y = 0,5,
0 ≤ X ≤1
2
2
2
2
4Ysi ( X j − 2 Xsi ⋅ X j − Y j + Xsi + Ysi )
NC
= 0,
∑ cj
i =1 ( X 2 − 2 Xs ⋅ X + Y 2 + 2Ys ⋅ Y + Xs 2 + Ys 2 ) ×
j
i
j
j
i j
i
i
× ( X j 2 − 2 Xsi ⋅ X j + Y j 2 − 2 ⋅ Ysi ⋅ Y j + Xsi 2 + Ysi 2 )
(
(29)
)
gdzie X j , Y j są współrzędnymi punktów kolokacji.
Układ równań zawiera NC niewiadomych, których liczba musi być równa
liczbie równań lub mniejsza od niej. Jeśli liczba ta jest mniejsza, taki układ nazywamy nadokreślonym i rozwiązuje się go metoda najmniejszych kwadratów.
Układ (26) zapiszemy w sposób macierzowy:
Ac = b,
(30)
gdzie:
(
)
A ji = ϕ s X j , Y j , Xsi , Ysi ,
j = 1,2,.., N ,
i = 1,2,.., NC ,
(31)
b j = 0, b j = 1.
Metodą najmniejszych kwadratów układ równań (27) sprowadzamy do postaci:
A T Ac = A T b
(32)
W tym układzie liczba równań jest równa liczbie niewiadomych. Po rozwiązaniu
tego układu metodą eliminacji Gaussa otrzymujemy poszukiwane współczynniki
ci . Mając te współczynniki, mamy rozwiązanie w każdym punkcie rozważanego obszaru.
26
4. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH I WNIOSKI
Zastosowana tutaj do rozwiązania omawianych zagadnień metoda rozwiązań
podstawowych zależy od kilku parametrów, takich jak: odległość konturu podobnego z punktami źródłowymi od brzegu obszaru S, promień okręgu źródłowego RZ, liczba punktów źródłowych MZ, liczba punktów kolokacji M. Na podstawie tych parametrów wyznaczamy lokalny błąd ERL oraz liczbę uwarunkowania układu UWA. W celu ilustracji dokładności rozwiązania opartego na metodzie rozwiązań podstawowych w tabelach 1 i 2 porównano rozwiązania dla
konturu źródłowego podobnego oraz konturu źródłowego umieszczonego na
okręgu, natomiast w tabelach 3 i 4 porównano wartości liczby uwarunkowania
dla obu konturów.
Rozważmy wyniki eksperymentów numerycznych dotyczących konturu
geometrycznego podobnego oraz konturu geometrycznego na okręgu dla problemu skręcania pręta o przekroju prostokątnym. Parametr E jest to wysokość
pręta. W obliczeniach przyjęto trzy różne wysokości.
Tabela 1
Wyniki eksperymentów numerycznych dla problemu skręcania pręta o przekroju prostokątnym
Results of numeric experiments for the problem of twisting of a rectangular section rod
E
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
M
10
20
30
40
50
MZ
5
10
15
20
25
Kontur podobny
S
ERL
0,21750D+01
0,96995D-03
0,10500D+01
0,19187D-03
0,22500D+00
0,42024D-04
0,10000D+00
0,15849D-04
0,15735D-04
0,10000D+00
NC
10
20
30
40
50
Kontur na okręgu
RZ
ERL
0,12258D+01
0,17887D-03
0,12758D+01
0,30102D-04
0,13558D+01
0,32334D-04
0,62042D-05
0,11058D+01
0,11258D+01
0,14721D-04
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
10
20
30
40
50
5
10
15
20
25
0,14250D+01
0,55000D+00
0,32500D+00
0,22500D+00
0,17500D+00
0,84413D-03
0,97227D-04
0,59828D-04
0,24338D-04
0,26286D-04
10
20
30
40
50
0,13880D+01
0,12380D+01
0,12080D+01
0,12230D+01
0,11480D+01
0,16728D-03
0,31375D-04
0,13219D-04
0,80948D-05
0,17584D-04
1
1
1
1
1
10
20
30
40
50
5
10
15
20
25
0,12500D+01
0,52500D+00
0,30000D+00
0,20000D+00
0,45000D+00
0,35974D-03
0,72990D-04
0,43383D-04
0,25196D-04
0,42382D-02
10
20
30
40
50
0,19142D+01
0,17342D+01
0,14792D+01
0,19142D+01
0,18692D+01
0,66624D-03
0,64463D-04
0,37770D-03
0,16605D-02
0,80292D+00
Z przedstawionych w tabeli 1 wyników można wywnioskować, że w większości badanych przypadków błąd lokalny promienia okręgu źródłowego jest
znacznie mniejszy niż błąd odległości konturu podobnego. Podczas zwiększania
liczby punktów źródłowych oraz liczby punktów kolokacji zmniejsza się błąd
lokalny. Można także zauważyć, że w wyniku zwiększania liczby E błąd lokalny
27
najpierw rośnie, a później maleje. Optymalną wartość E otrzymuje się dla
E = 0,5. Minimalne wartości błędów dla, tej samej wartości liczby E zostały w
tabeli pogrubione. Można także zaobserwować, że błąd lokalny jest mniejszy dla
małej wartości (S) i (RZ). Podczas zwiększania wartości tych parametrów wartość błędu rośnie.
-1,5
log ERL
-2,5
-3,5
-4,5
0,03
0,20
0,38
0,55
S
Rys. 5. Zależność błędu (ERL) od odległości źródeł (S) – E = 0,25
Fig. 5. Dependence of error (ERL) from the distance of source (S)
-2,9
log ERL
-3,3
-3,7
-4,1
-4,5
1,04
1,09
1,14
1,19
1,24
RZ
Rys. 6. Zależność błędu (ERL) od odległości źródeł (RZ) – E = 0,25
Fig. 6. Dependence of error (ERL) from the distance of source (RZ)
28
-1,5
-2
log ERL
-2,5
-3
-3,5
-4
-4,5
0,03
0,20
0,38
0,55
S
Rys. 7. Zależność błędu (ERL) od odległości źródeł (S) – E = 0,5
Fig. 7. Dependence of error (ERL) from the distance of source (S)
-2
log ERL
-2,5
-3
-3,5
-4
-4,5
1,12
1,15
1,17
1,20
RZ
Rys. 8. Zależność błędu (ERL) od odległości źródeł (RZ) – E = 0,5
Fig 8. Dependence of error (ERL) from the distance of source (RZ)
geometrycznego podobnego oraz konturu geometrycznego na okręgu dla problemu testowego z nieciągłą funkcją na brzegu.
29
Tabela 2
Wyniki eksperymentów numerycznych dla problemu testowego z nieciągłą funkcją na brzegu
Results of numeric experiments for the test with uncontinuous function on the shore problem
Kontur podobny
M MZ S
ERG
10 5
0,16700D+01 0,40925D+00
20 10 0,17100D+01 0,40990D+00
30 15 0,16700D+01 0,40625D+00
40 20 0,13500D+01 0,38929D+00
50 25 0,18700D+01 0,39183D+00
NC
10
20
30
40
50
Kontur na okręgu
RZ
ERG
0,50180D+01 0,86148D-01
0,29680D+01 0,86133D-01
0,33680D+01 0,85389D-01
0,20680D+01 0,83024D-01
0,22180D+01 0,84955D-01
Z przedstawionych w tabeli 2 wyników można wywnioskować, że w większości badanych przypadków błąd lokalny odległości konturu podobnego jest
znacznie mniejszy niż błąd promienia okręgu źródłowego. Podczas zwiększania
liczby punktów źródłowych oraz liczby punktów kolokacji można zaobserwować zmniejszenie wartości błędu lokalnego. Można także zauważyć, że błąd
lokalny jest mniejszy dla małej wartości (S) oraz (RZ). Podczas zwiększania
wartości tych parametrów wartość błędu rośnie.
Tabela 3
Wyniki eksperymentów numerycznych dla problemu skręcania pręta o przekroju prostokątnym
Results of numeric experiments for the problem of twisting of a rectangular section rod
S
0,25000D-01
0,17500D+00
0,32500D+00
0,47500D+00
0,62500D+00
0,77500D+00
0,92500D+00
0,10750D+01
0,12250D+01
0,13750D+01
0,15250D+01
0,16750D+01
0,18250D+01
0,19750D+01
0,21250D+01
0,22750D+01
0,24250D+01
0,25000D+01
UWA
0,64905D+03
0,33767D+03
0,12461D+03
0,27652D+03
0,46674D+03
0,67031D+03
0,88392D+03
0,11045D+04
0,13296D+04
0,15575D+04
0,17867D+04
0,20164D+04
0,22457D+04
0,24740D+04
0,27011D+04
0,29264D+04
0,31499D+04
0,32689D+04
RZ
0,11230D+01
0,11530D+01
0,11830D+01
0,12130D+01
0,12430D+01
0,12730D+01
0,13030D+01
0,13330D+01
0,13630D+01
0,13930D+01
0,14230D+01
0,14530D+01
0,14830D+01
0,15130D+01
0,15430D+01
0,15730D+01
0,16030D+01
0,16180D+01
UWA
0,97701D+02
0,94997D+02
0,92881D+02
0,11212D+03
0,14337D+03
0,17720D+03
0,21357D+03
0,25239D+03
0,29361D+03
0,33712D+03
0,38285D+03
0,43069D+03
0,48055D+03
0,53233D+03
0,58594D+03
0,64129D+03
0,69828D+03
0,72736D+03
geometrycznego podobnego oraz konturu geometrycznego na okręgu dla pro-
30
blemu skręcania pręta o przekroju prostokątnym. W obliczeniach przyjęto następujące wartości parametrów obliczone metodą rozwiązań podstawowych: M =
10, MZ = 5, NC = 10.
Z przedstawionych w tabeli 3 wyników można wywnioskować, że układ jest
lepiej uwarunkowany dla promienia okręgu źródłowego niż dla konturu geometrycznego podobnego. Dla tych samych warunków początkowych różnica między liczbą uwarunkowania obu przypadków sięga średnio 1010. Można także
zauważyć, że podczas zwiększania odległości konturu podobnego z punktami
źródłowymi od brzegu obszaru (S) i odległości pomiędzy konturem źródłowym
okrągłym a konturem kolokacji (RZ) liczba uwarunkowania rośnie proporcjonalnie.
geometrycznego podobnego oraz konturu geometrycznego na okręgu dla problemu testowego z nieciągłą funkcją na brzegu. W obliczeniach przyjęto następujące wartości parametrów obliczone metodą rozwiązań podstawowych:
M = 10, MZ = 5, NC = 10.
Tabela 4
Wyniki eksperymentów numerycznych dla problemu testowego nieciągłą funkcją na brzegu
Results of numeric experiments for the test with uncontinuous function on the shore problem
S
0,25000D+00
0,50000D+00
0,75000D+00
0,10000D+01
0,12500D+01
0,15000D+01
0,17500D+01
0,20000D+01
0,22500D+01
0,25000D+01
0,27500D+01
0,30000D+01
0,32500D+01
0,35000D+01
0,37500D+01
UWA
0,45842D+02
0,54155D+03
0,10254D+05
0,13887D+06
0,13273D+07
0,94093D+07
0,52379D+08
0,23982D+09
0,93634D+09
0,32060D+10
0,98375D+10
0,27517D+11
0,71113D+11
0,17166D+12
0,39045D+12
RZ
0,11230D+01
0,11280D+01
0,11330D+01
0,11380D+01
0,11430D+01
0,11480D+01
0,11530D+01
0,11580D+01
0,11630D+01
0,11680D+01
0,11730D+01
0,11780D+01
0,11830D+01
0,11880D+01
0,11930D+01
UWA
0,11808D+04
0,11115D+04
0,10426D+04
0,97541D+03
0,91278D+03
0,87266D+03
0,83414D+03
0,79739D+03
0,76250D+03
0,72948D+03
0,69832D+03
0,66898D+03
0,64137D+03
0,61788D+03
0,59985D+03
Z przedstawionych w tabeli 4 wyników można wywnioskować, że dla bardzo małej wartości (S) układ jest lepiej uwarunkowany dla konturu geometrycznego podobnego niż dla konturu geometrycznego okrągłego. Dla większych
wartości (S) wartość liczby uwarunkowania jest zbliżona dla obu konturów.
Można także zauważyć, że podczas zwiększania odległości konturu podobnego z
31
punktami źródłowymi od brzegu obszaru (S) wartość liczby uwarunkowania
najpierw rośnie, a później się stabilizuje, natomiast podczas zwiększania promienia okręgu źródłowego (RZ) liczba uwarunkowania jest stabilna.
LITERATURA
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
Bogomolny A., Fundamental solution method for elliptic boundary value problems, SIAM J.
Numer. Anal., 1985, vol. 22, s. 644–669.
Cho H.A., Golberg M.A., Muleshkov A.S., Li X., Trefftz methods for time dependent
partial differential equations, Comput. Math. Cont., 2004, vol. 1, s. 1–37.
Cisilino A.P., Application of a simulated annealing algorithm in the optimal placement of
source points in the method of the fundamental solutions, Comput, Mechanics, 2002, vol. 28,
s. 129–136.
Fairweather G., Karageorghis A., The metod of fundamental solutions for elliptic boundary value problems, Adv. Comput. Math., 1998, vol. 9, s. 69–95.
Fairweather G., Karageorghis A., Martin P.A., The method of fundamental solutions for
scattering and radiation problems, Engng. Analysis with Boundary Elements, 2003, vol. 27,
s. 759–769.
Golberg M. A. Chen C. S., A mesh-free method for solving nonlinear reaction-diffusion
equations, Computer Motheling in Engineering & Sciences, 2001, vol. 2, s. 87–92.
Karageorghis A., Fairweather G., The almansi of fundamental solutions for solving biharmonic problems, Internat. J. Numer. Methods Engrg., 1988, vol. 26, s. 1668–1682.
Karageorghis A., Fairweather G., The method of fundamental solutions for numerical
solution of the biharmonic equation, J. Comput. Phys., 1987, vol. 69, s. 434–459.
Karageorghis A., Fairweather G., The simple layer potential method of fundamental solutions for certain biharmonic equation, Internat. J. Numer. Methods Fluids, 1989, vol. 9,
s. 1221–1234.
Kołodziej J. A., Zastosowanie metody kolokacji brzegowej w zagadnieniach mechaniki,
Poznań, Wyd. Politechniki Poznańskiej 2001.
Kołodziej J. A., Kleiber M., Boundary collocation method vs FEM for some harmonic 2-D
problems, Computer & Structures, 1989, vol. 33, s. 155–168.
Kupradze V.D., Aleksidze M.A., Approximate method of solving certain boundary-value
problems (in Rusian), Soobsc. Akad. Nauk Gruzin. SSR, 1963, vol. 30, s. 529–536.
Kupradze V.D., Aleksidze M.A., The method of functional equations for the approximate
solution of certain boundary-value problems (in Rusian), Z. Vycisl. Mat. i Mat. Fiz., 1964,
vol. 4, s. 683–715.
Mathon R., Johnston R. L., The approximate solution of elliptic boundary-value problems
by fundamental solutions, SIAM J. Numer. Anal., 1977, vol. 14, s. 638–650.
Mitic P., Rashed Y. F., Convergence and stability of the method of meshless fundamental
solutions using an array of randomly distributed sources, Engng. Analysis with Boundary
Elements, 2004, vol. 28, s. 143–153.
Nishimura R., Nishimori K, Ishihara N., Determining the arrangement of fictious charges
in charge simulation method using genetic algorithms, J. Electrostatics, 2000, vol. 49, s. 95–
105.
Nishimura R., Nishimori K, Ishihara N., Automatic arrangement of fictitious charges and
contour points in charge simulation method for polar coordinate system, J. Electrostatics,
2001, vol. 51–52, s. 618–624.
Nishimura R., Nishihara M., Nishimori K, Ishihara N., Automatic arrangement of fictitious charges and contour points in charge simulation method for two spherical electrodes, J.
Electrostatics, 2003, vol. 57, s. 337–346.
Nowacki W., Teoria sprężystości, Warszawa, PWN 1970.
32
Recenzent: prof. dr hab. inż. Krzysztof Magnucki
DETERMINATION THE OPTIMAL BETWEEN THE OUTLINE WITH SOURCES
AND SHORE OF AREA WITH USING THE BASIC SOLUTION METHOD
Summary
In method of fundamental solution the problem of determination of position of singularities
leads to definition of shape “pseudo-shore”, we place sources on which. The “pseudo-shore” is a
circle in the first method, area s considered of which. The “pseudo-shore” is an outline geometrically similar to an outline of the coast of considered area in the second method. The purpose of this
elaboration is the numeric experiments, which have to answer the questions which “pseudo-shore”
is better and what distance with or what radius from outline of area with and what influence on a
system of linear equations. Two problem which are know n strict solutions for have been chosen to
answer these questions. We include to these problems: the problem of a rectangular section rod
and test problem with uncontinuous function on the shore. These problems are solved with a
method of fundamental solutions, but the shore conditions are satisfied by the collocation method
with middle quadratic minimization. The comparison of approximate solutions to the strict solution allow to answer the questions.
Key words: boundary collocation, method of fundamental solutions
Prof. dr hab. inż. Jan Adam Kołodziej
Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechniki Poznańskiej
ul. Piotrowo 3, 60-965 Poznań
tel. (061) 665 23 21, e-mail: [email protected]
Mgr inż. Piotr Gorzelańczyk
Instytut Politechniczny, Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Pile
ul. Podchorążych 10, 64-920 Piła
e-mail: [email protected]

Pobierz artykuł - Budowa Maszyn i Zarządzanie Produkcją

Transkrypt

Podobne dokumenty

www.pansamochodzik.com.pl

Podstawy programowania iTNC

Arkusz danych ewidencyjnych budynków

Opis i wydzielanie (ekstrakcja) cech

TWORZENIE I FORMATOWANIE TABEL

Contracer CV-2100