Równania Maxwella. Transmisja fal spolaryzowanych TE i TM w

Transkrypt

Metody wyznaczania struktury fotonicznej
wielowarstwowych układów
zawierających warstwy metamateriałowe
Włodzimierz Salejda
Instytut Fizyki
Politechnika Wrocławska
Szkoła „Nauki Ścisłe w Technice”
13-15 września 2010, Szczawnica
Organizator Politechnika Częstochowska
Cele i obiekt badań
Równania Maxwellla
Prezentacja wybranych metod wyznaczania widma fotonicznego
kwazijednowymiarowych struktur, zwanych supersieciami
optycznymi albo jednowymiarowymi kryształami fotonicznymi
Rysunek: Model supersieci optycznej
Równania Maxwellla
Współczynniki Fresnela
Równania Maxwella
Równania Maxwella w liniowym,
jednorodnym ośrodku dielektrycznym
~ t) = ρm (R,
~ R,
~ t),
∇ · B(
~ R,
~ t) = ρe (R,
~ t),
∇ · D(
~ ~
~ t)),
~ R,
~ t) = ∂ D(R, t) + J~s (R,
∇ × H(
∂t
~ ~
~ R,
~ t) = − ∂ B(R, t) − M
~ s (R,
~ t)),
∇ × E(
∂t
(1)
(2)
(3)
(4)
~ s — (fikcyjny) wektor gęstości prądu magnetycznego (V/m2 ), J~s — wektor
gdzie M
gęstości prądu elektrycznego (A/m2 ), ρe — gęstość ładunków elektrycznych, ρm —
~ — A/m,
gęstość ładunków magnetycznych (fikcyjna) (V/m3 ); jednostki ~
E — V/m, H
~ — C/m2 , B
~ — V/m2 .
D
Równania Maxwellla
Równania Maxwella
Wektory pola elektromagnetycznego są powiązane ze sobą
~ t)
~ t) + P(
~ t) = E(
~ t) = ε0 εr E(
~ t) = ε0 E(
~ R,
~ R,
~ R,
~ R,
~ R,
D(
~ t)
~ t) + M(
~ t) = H(
~ t) = µ0 µr H(
~ t) = µ0 H(
~ R,
~ R,
~ R,
~ R,
~ R,
B(
(5)
(6)
Przyjmujemy zależności od czasu wektorów pola
elektromagnetycznego fali płaskiej w postaciach:
~ t) = D
~ R,
~ 0 exp[i(ωt − ~kR)],
~
D(
~ t) = E
~ R,
~ 0 exp[i(ωt − ~kR)],
~
E(
~ t) = B
~ R,
~ 0 exp[i(ωt − ~kR)],
~
B(
~ t) = H
~ R,
~ 0 exp[i(ωt − ~kR)].
~
H(
(7)
(8)
(9)
(10)
Równania Maxwellla
Równania Maxwella
W ogólności względne przenikalności wyrażają się wzorami
00
εr = ε0 − iε = ε0 (1 − tg δe ),
gdzie
00
ωε + σe
,
tg δe =
ωε0
i
(11)
00
µr = µ0 − iµ = µ0 (1 − tg δm ),
gdzie
(12)
(13)
00
ωµ + σm
tg δm =
,
ωµ0
(14)
a σe i σm oznaczają, odpowiednio, przewodnictwo elektryczne
i magnetyczne (fikcyjna wielkość).
Równania Maxwellla
Równania Maxwella
Współczynnik załamania ośrodka
n 2 = εr · µ r .
(15)
Z równań Maxwella (3)-(??) mamy dla fali płaskiej
k̂ =
~ ~
~
~
~ = − ∇ × E = i∇ × E = k × E
H
iµ0 µr
µ0 µr
ωµ0 µr
(16)
~ ~
~
~
~ = ∇ × H = − i∇ × H = − k × H ,
E
iε0 εr
ε 0 εr
ωε0 εr
(17)
~k = nω k̂ ,
c
(18)
~k
— wersor na kierunek wektora falowego.
k
(19)
Równania Maxwellla
Równania Maxwella
00
00
W ośrodku bezstratnym ε = µ = κe = κm = 0.
0
0
~ H
~ i ~k
Jeśli εr = ε > 0 i µr = µ > 0, to wektory E,
tworzą układ 3 prawoskrętnych wektorów (patrz (16) i (17))
Taki ośrodek bedziemy dalej nazywali prawoskrętnym.
0
0
Gdyby |εr | = −ε > 0 i |µr | = −µ > 0, to
~ =
H
~k × E
~
−ωµ0 |µr |
~ ~
~ = k×H ,
E
ωε0 |εr |
(20)
(21)
~ H
~ i ~k tworzyłyby układ trzech lewoskrętnych wektorów.
E,
Taki ośrodek będziemy dalej nazywali lewoskrętnym.
Równania Maxwellla
Równania Maxwella
Prędkość fazowa fali płaskiej
~vf =
ω
· k̂
k
(22)
ma zwrot zgodny ze zwrotem wektora ~k. Wobec tego
w ośrodku prawoskrętnym zwroty ~k i ~vf są zgodne,
w ośrodku lewoskrętnym zwrot wektora prędkości
fazowej ~vf jest przeciwny do zwrotu wektora falowego ~k.
=⇒ W ośrodku prawoskrętnym prędkość fazowa jest
skierowana od źródła, natomiast w ośrodku lewoskrętnym
prędkość fazowa jest skierowana do źródła.
Jakie są tego konsekwencje?
Równania Maxwellla
Równania Maxwella
Jakie są tego konsekwencje? W prawoskrętnym ośrodku ze
względu na (18) mamy
~kpr−skr. = nω k̂pr−skr. .
c
Zmiana znaku wektora falowego w ośrodku lewoskrętnym
−nω k̂pr−skr.
−~kpr−skr. =
.
c
(23)
Interpretacja: zmiana znaku współ. załamania =⇒
√
n = ± εr · µ r ,
(+) ośrodek prawoskrętny, (−) lewoskrętny.
(24)
Równania Maxwellla
Równania Maxwella
Innymi słowy, jeśli faza fali płaskiej w ośrodku
prawoskrętnym ma postać
~
φpr−skr. = (ωt − ~kpr−skr. R)
(25)
i przy ustalonym t maleje w miarę przemieszczania się w
~ to w ośrodku lewoskrętnym
dodatnim kierunku R,
~
φl−skr. = (ωt + ~kpr−skr. R)
w tych samych warunkach faza rośnie.
(26)
Równania Maxwellla
Równania Maxwella
Co z transportem energii przez falę płaską?
Natężenie strumienia energii definuje wektor Poyntinga
~S = E
~ × H~? .
(27)
Zwrot ~S jest zgodny ze zwrotem wektora prędkości grupowej
~vg = ∇~k ω.
(28)
=⇒ Wektor Poyntinga nie zależy od par. ośrodka (ε, µ).
Równania Maxwellla
Równania Maxwella
Rysunek: Konfiguracja przestrzenna wektorów pola elektromagnetycznego
~ B
~ fal, oraz wektora falowego ~k i wektora Poyntinga ~S w ośrodku
H,
prawoskrętnym (RHM) i (LHM); źródło Eds.: G.V. Eleftheriades, K.G.
Balmain, Negative-refraction metamaterials. Fundamentals Principles and
Applications, IEEE Press 2005.
Równania Maxwellla
Równania Maxwella
Rysunek: Konfiguracja przestrzenna wektora ~Ei natężenia pola elektr. fali
TE oraz wektorów falowych ~k w pobliżu granicy dwóch różnych ośrodków
prawoskrętnych — na rysunku po lewej stronie oraz w pobliżu granicy
ośrodka prawo– i lewoskrętnego — na rysunku po stronie prawej; ciągłe
linie równoległe pokazują miejsca stałej fazy fali płaskiej; źródło S.A.
Ramakrishna, Physics of negative refractive index materials, Rep. Prog.
Phys. 68, 449–521, 2005.
Równania Maxwellla
Równania Maxwella
Rysunek: Konfiguracja przestrzenna wektorów pola elektromagnetycznego
~ B
~ fal typu TM, oraz wektora falowego ~k i wektora Poyntinga ~S w
H,
ośrodku prawoskrętnym (RHM) i (LHM); źródło W. Cai, V. Shalaev,
Optical Metamaterials, Springer, 2010.
Równania Maxwellla
Równania Maxwella
Rysunek: Konfiguracja promieni: padającego, odbitego i transmitowanego
(zaznaczone kolorem czerwonym i zielonym) fali elektromagnetycznej na
granicy ośrodka prawoskrętnego z prawoskrętnym (DPS Medium —
podwójnie dodatni ośrodek) i prawoskrętnego z lewoskrętnym (DNG
Medium — podwójnie ujemny ośrodek); źródło Eds.: N. Engheta, R.W.
Ziolkowski, Metamaterials. Physics and Engineering Explorations, IEEE
Press 2006.
Równania Maxwellla
Równania Maxwella
Podsumowanie:
(pr−skr.)
,
(a) w ośrodku prawoskrętnym zwroty ~kpr−skr. , ~vf
?
~
~
~
wektora Poyntinga Spr−skr. = E × H i wektora prędkości
(pr−skr.)
są zgodne,
grupowej ~vg
(b) w ośrodku lewoskrętnym zwroty wektorów
(l−skr.)
falowego ~kl−skr. i wektora prędkości fazowej ~vf
są
zgodne ale przeciwne do zwrotu wektora Poyntinga
~Sl−skr. = E
~ ×H
~ ? i wektora prędkości grupowej ~vg(l−skr.) .
Równania Maxwellla
Jakie są właściwości transmisyjne supersieci optycznych?
Jak spolaryzowane fale elektromagnetyczne typu TE i TM
propagują się w takich ośrodkach?
Jak wyznaczamy stany stacjonarne spolaryzowanych fal
elektromagnetycznych TE i TM (7)–(10) w ośrodkach
wielowarstwowych?
Jaka jest struktura fotoniczna tych jednowymiarowych
kryształów fotonicznych?
Narzędzia analityczne: współczynniki amplitudowe i
energetycznych Fresnela.
Te drugie charakteryzują ilościowo transport energii przez
falę elektromagnetyczną.
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Rysunek: Fala TE, ośrodki RHM; pokazano wektory: falowe, prędkości
grupowej i fazowej, Poynting; pionowa linia – granicą jest oś OZ o zwrocie w
górę.
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Przyjmujemy, patrz rysunek 6, że wektor pola elektrycznego
fali typu TE (s) ma postać
(pominięto wykładnicze czynniki zależne od czasu)
i
h
~ (+) exp(−ikx,1 x) + E
~ (−) exp(ikx,1 x) exp(−ikz,1 z), dla x < 0,
E
1
1
(29)
h
i
0
(+)
(−)
~
~
E2 exp(−ikx,2 x) + E2 exp(ikx,2 x) exp(−ikz,2 z) dla x > 0,
(30)
(+)
(−)
(+)
~
~
~
gdzie amplitudy fal: E1 – padającej, E1 – odbitej, E2 –
~ (−) – rozproszonej w ośrodku 2.
transmitowanej, E
2
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Zakładamy, że wektor pola elektrycznego fali TE po obu
stronach granicy ma tylko jedną niezerową składową.
Natomiast wektor natężenia pola magnetycznego fali ma
dwie niezerowe składowe. Zatem
h
i
~ (±) (x, z) = 0, E (±) (x, z), 0 ,
E
(31)
l
y ,l
h
i
~ (±) (x, z) = H (±) (x, z), 0, H (±) (x, z) ,
H
l
x,l
z,l
gdzie l = 1, 2.
(32)
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Warunki ciągłości na granicy ośrodków:
(+)
(−)
(+)
(−)
Ey ,1 (x = 0, z) + Ey ,1 (x = 0, z) = Ey ,2 (x = 0, z) + Ey ,2 (x = 0, z)
(33)
(+)
(−)
(+)
(−)
Hz,1 (x = 0, z)+Hz,1 (x = 0, z) = Hz,2 (x = 0, z)+Hz,2 (x = 0, z).
(34)
Ze wzoru (16) otrzymujemy związek
(±)
(±)
Hz,l (x, z)
−1 ∂Ey ,l (x, z)
=
,
iωµ0 µl
∂x
(35)
Równania Maxwellla
Fala typu TE
(±)
−1 ∂Ey ,l (x, z)
Wykorzysując formułę
=
,
iωµ0 µl
∂x
otrzymujemy (pominięto stałe czynniki typu exp(−ikz,l z)):
(±)
Hz,l (x, z)
(+)
(+)
Hz,1 (x
= 0, z) =
kx,1 Ey ,1
ωµ0 µ1
(−)
,
(−)
Hz,1 (x
= 0, z) = −
kx,1 Ey ,1
ωµ0 µ1
(36)
(+)
Hz,2 (x = 0, z) =
(+)
kx,2 Ey ,2
ωµ0 µ2
(−)
kx,2 Ey ,2
0
,
(−)
Hz,2 (x = 0, z) = −
ωµ0 µ2
.
(37)
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Otrzymane równania pozwalają przepisać
(33) i (34) jako układ równań (dla (x = 0, z))
(+)
(−)
(+)
(−)
Ey ,1 + Ey ,1 = Ey ,2 + Ey ,2 ,
(+)
kx,1 Ey ,1
ωµ0 µ1
−
(−)
kx,1 Ey ,1
ωµ0 µ1
=
(+)
kx,2 Ey ,2
ωµ0 µ2
(−)
kx,2 Ey ,2 )
(38)
0
−
ωµ0 µ2
(39)
.
Można więc zapis (38) i (39) znacznie uprościć
opuszczając wspólne czynniki
(+)
(−)
Ey ,1
−
kx,1 Ey ,1
µ1
(−)
= Ey ,2
(−)
(+)
kx,1 Ey ,1
µ1
(+)
+ Ey ,1
+ Ey ,2
(+)
=
kx,2 Ey ,2
µ2
(−)
0
−
kx,2 Ey ,2
µ2
(40)
.
Równania Maxwellla
Fala typu TE
(−)
W rozpatrywanym zagadnieniu Ey ,2 = 0
(+)
(−)
Ey ,1
(+)
kx,1 Ey ,1
µ1
(+)
+ Ey ,1
−
= Ey ,2
(−)
kx,1 Ey ,1
=
µ1
(+)
kx,2 Ey ,2
µ2
,
(41)
.
Amplitudowe współczynniki Fresnela: odbicia i transmisji
(−)
rTE = rs =
Ey ,1
|
(−)
.
(42)
|
(−)
.
(43)
(+) Ey ,2 =0
Ey ,1
(+)
tTE = ts =
Ey ,2
(+) Ey ,2 =0
Ey ,1
Równania Maxwellla
Fala typu TE
(+)
Dzielimy obie strony (41) przez niezerowy czynnik Ey ,1
(−)
1
+
(+)
Ey ,1
=
(+)
Ey ,1
(+)
kx,1 Ey ,1
(+)
µ1 Ey ,1
,
(+)
Ey ,1
(−)
−
Ey ,2
(44)
(+)
kx,1 Ey ,1
=
(+)
µ1 Ey ,1
kx,2 Ey ,2
(+)
.
µ2 Ey ,1
Zapiszemy ten układ równań za pomocą współczynników
amplitudowych Fresnela i nowej wielkości
σTE = σs =
kx,2 µ1
,
kx,1 µ2
kx,l , l = 1, 2 – składowe wektorów falowych.
(45)
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Po uwzględnieniu (45) układ równań (44) przyjmuje postać
1 + rs
1 − rs
= ts ,
= ts σs ,
(46)
którego rozwiązaniami są
ts =
2
,
1 + σs
1 − σs
.
1 + σs
3 − σs
Widać, że rs + ts =
6= 1.
1 + σs
Sprzeczność z zasadą zachowania energii?
rs =
(47)
(48)
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Postacie współczynnika amplitudowego
transmisji Fresnela — fala typu s.
(±)
Korzystamy ze związku k1 v1 = k2 v2
ts
2kx,1
2
µ1
=
=
k
kx,2
1 + σs
x,1
+
µ1
µ2
2n1 cos Θ1
µ1
=
n1 cos Θ1 n2 cos Θ2
+
µ1
µ2
2k1 cos Θ1
µ1
=
=
k1 cos Θ1 k2 cos Θ2
+
µ1 r
µ2
ε1
cos Θ1
2
µ1
r
=r
ε1
ε2
cos Θ1 +
cos Θ2
µ1
µ2
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Postacie amplitudowego współczynnika
odbicia Fresnela — fala typu s.
(±)
kx,1 kx,2
−
1 − σs
µ1
µ2
=
rs =
k
k
1 + σs
x,1
x,2
+
µ1
µ2
−
µ1
µ2
=
+
µ1
µ2
−
µ1
µ2
=
+
µ1
r µ2
r
ε1
ε2
cos Θ1 −
cos Θ2
µ1
µ2
r
r
ε1
ε2
cos Θ1 +
cos Θ2
µ1
µ2
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Transmitancja i reflektancja.
Energetyczne wspłczynnika Fresnela — fala typu s.
W celu wyznaczenia tych parametrów posłużymy się
wektorem Poyntinga
~ r , t) = E(~
~ r , t) × H(~
~ r , t),
Σ(~
(49)
który określa w danej chwili czasu i miejsca ilość energii
transportowanej przez falę elektromagnetyczną w jednostce
czasu przez jednostkę powierzchni ustawioną prostopadle do
kierunku rozchodzenie się fali.
Jednostka: W/m2 .
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Wektor Poyntinga niezależy od czasu
~S(~r) = 1
T
Z
0
T
i
h
~ r, t)dt = 1 < E(~
~ r, t) × H
~ ? (~r, t) ,
Σ(~
2
(50)
gdzie T = 2π/ω, a symbol ? oznacza sprzężenie zespolone.
Średnia po okresie jest rozumiane, jako
~S(~r ) = 1
T
T
Z
0
1
T
Z
0
~ r, t)dt = 1
Σ(~
T
Z
T
h
i
~ r, t) × <H(~
~ r, t) dt. (51)
<E(~
0
T
|A| · |B| cos(ωt + α) cos(ωt + β)dt =
1 h~ ~ ?i
|AB|
·B .
cos(α − β) = < A
2
2
(52)
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Wektory Poyntinga fal na granicy ośrodków.
(+)
(−)
Strumienie energii fali: ~S1 — padając, ~S1 — odbitej,
~S(+) — przechodzącej.
2
Ilościowo strumienie te charakteryzują
odpowiednie wektory Poyntinga:
~S(+) = E
~ (+) × H
~ (+) ,
1
1
1
(53)
~S(−) = E
~ (−) × H
~ (−) ,
1
1
1
(54)
~S(+) = E
~ (+) × H
~ (+) .
2
2
2
(55)
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Nas interesują wartości strumieni energii przenoszonych
przez fale na kierunek osi OX oznaczanych jako
(+)
(−)
(+)
S1,x , S1,x i S2,x ,
których wartości określają iloczyny skalarne:
(+)
(+)
~ (+) × H
~ (+) ,
S1,x = x̂ · ~S1 = x̂ · E
(56)
1
1
(−)
(−)
S1,x = −x̂ · ~S1
(+)
(+)
S2,x = x̂ · ~S2
~ (−) × H
~ (−) ,
= −x̂ · E
1
1
~ (+) × H
~ (+) .
= x̂ · E
2
2
Widoczna jest potrzeba wyznaczenia
iloczynów wektorowych pól fali elektromagnetycznej.
(57)
(58)
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Definicja reflaktancji i transmitancji.
Energetycznym współczynnikiem odbicia, zwanym także
reflektancją, nazywamy iloraz
(−) !2
RTE = Rs =
S1,x
(+)
S1,x
|E (−) =0 .
(59)
y ,2
Energetycznym współczynnikiem transmisji, zwanym także
transmitancją, nazywamy iloraz
(+) !2
TTE = Ts =
S2,x
(+)
S1,x
|E (−) =0 .
y ,2
(60)
Równania Maxwellla
Fala typu TE
(+)
Strumień energii S1,x
(+)
S1,x
x̂
0
~ (+) × H
~ (+) = x̂ · = x̂ · E
1
1
kz,1 Ey(+)
,1
−
ωµ0 µ1
ŷ
ẑ
0
(+)
Ey ,1
(+)
0
kx,1 Ey ,1
ωµ0 µ1
(61)
"
(+)
S1,x = x̂ ·
(+)
kx,1 (Ey ,1 )2
ωµ0 µ1
x̂ +
(+)
kz,1 (Ey ,1 )2
ωµ0 µ1
#
ẑ =
(+)
kx,1 (Ey ,1 )2
ωµ0 µ1
.
(62)
Równania Maxwellla
Fala typu TE
(−)
(−)
S1,x
x̂
0
~ (−) × H
~ (−) = −x̂·
= −x̂· E
1
1
kz,1 Ey(−)
,1
−
ωµ0 µ1
(−)
S1,x
ŷ
ẑ
0
(−)
Ey ,1
(−)
0
−
kx,1 Ey ,1
ωµ0 µ1
(63)
"
(−) 2
(−) 2 #
(−) 2
kx,1 (Ey ,1 )
kz,1 (Ey ,1 )
kx,1 (Ey ,1 )
= −x̂ · −
x̂ +
ẑ =
,
ωµ0 µ1
ωµ0 µ1
ωµ0 µ1
(64)
,
Równania Maxwellla
Fala typu TE
(+)
(+)
S2,x
x̂
0
~ (+) × H
~ (+) = x̂ · = x̂ · E
2
2
kz,2 Ey(+)
,2
ωµ µ
0 2
ŷ
ẑ
0
(+)
Ey ,2
(+)
0
kx,2 Ey ,2
ωµ0 µ2
,
(65)
"
(+)
S2,x = x̂ ·
(+)
kx,2 (Ey ,2 )2
ωµ0 µ2
x̂ +
(+)
kz,2 (Ey ,2 )2
ωµ0 µ2
#
ẑ =
(+)
kx,2 (Ey ,2 )2
ωµ0 µ2
.
(66)
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Reflektancja i transmitancja dla fali TE. Z (61)–(66) mamy

RTE = Rs =
(−)
S1,x
(+)
S1,x

(−) 2


E
y ,1
 ωµ0 µ1 
2
=
= = rs ,
(+)
 kx,1 (E )2 
(+) 2
Ey ,1
y ,1
ωµ0 µ1

TTE
(−)
kx,1 (Ey ,1 )2
(+)
kx,2 (Ey ,2 )2

(67)
(−) 2


E
kx,2 µ1
y ,2
 ωµ0 µ2 
= Ts =
=
=
= σs ts2 ,

 kx,1 (E (+) )2 
(+) 2
Ey ,1
kx,1 µ2
y ,1
ωµ0 µ1
(68)
kx,2 µ1
n2 · cos Θ2 · µ1
=
(69)
σs = σTE =
kx,1 µ2
n1 · cos Θ1 · µ2
(+)
S2,x
(+)
S1,x
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Reflektancja i transmitancja dla fali TE.
Zasada zachowania energii jest spełniona
(abstrahujemy od pochłaniania), ponieważ
Ts + Rs = rs2 + σs · ts2 =
1 − σs
1 + σs
2
+ σs
2
1 + σs
2
= 1. (70)
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Różne postacie reflektancji — fala TE.



kx,1 kx,2 2
k1 cos Θ1 k2 cos Θ2 2
−


 µ 1 − µ2 
µ1
µ2
 =

=
 k1 cos Θ1 k2 cos Θ2  =
 kx,1 kx,2 
+
+
µ1
µ2
µ1
µ2

RTE
r

2
r
ε1
ε2
n1 cos Θ1 n2 cos Θ2 2
cos
Θ
−
cos
Θ
1
2
−




µ2
µ1
µ2

 =  r µ1
 ,
r
 n1 cos Θ1 n2 cos Θ2 

 ε1
ε2
+
cos Θ1 +
cos Θ2
µ1
µ2
µ1
µ2
(71)

Równania Maxwellla
Fala typu TE
Różne postacie transmitancji — fala TE.
2
2kx,1

kx,2 µ1 
µ1

 =
=

kx,1 µ2 kx,1 kx,2 
+
µ1
µ2

TTE
2
2k1 cos Θ1

k2 cos Θ2 µ1 
µ1

 =
k1 cos Θ1 µ2  k1 cos Θ1 k2 cos Θ2 
+
µ1
µ2

2
2n1 cos Θ1

n2 cos Θ2 µ1 
µ1



n1 cos Θ1 µ2 n1 cos Θ1 n2 cos Θ2 
+
µ1
µ2

(72)
Równania Maxwellla
Fala typu TE
Różne postacie transmitancji — fala TE; impedancje.
2
ε1
cos Θ1

µ1
ε2 µ1 cos Θ2 

r
r


ε1
ε2
ε1 µ2 cos Θ1
cos Θ1 +
cos Θ2
µ1
µ2

r
TTE =
2
2

r
=
ε2 µ1 cos Θ2 

ε1 µ2 cos Θ1 
r
1+
r

2
 .
ε2 µ1 cos Θ2 
ε1 µ2 cos Θ1
(73)
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Rysunek: TM, ośrodki RHM; wektory: falowe, prędkości grupowej i
fazowej, Poyntinga; pionowa linia – granica oś OZ o zwrocie w górę.
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Wektor pola magnetycznego fali typu TM (p) ma postać
(pominięto wykładnicze czynniki zależne od czasu)
i
h
~ (+) exp(−ikx,1 x) + H
~ (−) exp(ikx,1 x) exp(−ikz,1 z), dla x < 0,
H
1
1
(74)
h
i
0
(+)
(−)
~
~
H2 exp(−ikx,2 x) + H2 exp(ikx,2 x) exp(−ikz,2 z) dla x > 0,
(75)
(+)
(−)
(+)
~
~
~
gdzie amplitudy fal: H1 – padającej, H1 – odbitej, H2 –
~ (−) – rozproszonej w ośrodku 2.
transmitowanej, E
2
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Zakładamy, że wektor pola elektrycznego fali TM po obu
stronach granicy ma tylko jedną niezerową składową.
Natomiast wektor natężenia pola elektrycznego ma dwie
niezerowe składowe
h
i
~ (±) (x, z) = 0, H (±) (x, z), 0 ,
H
(76)
l
y ,l
h
i
~ (±) (x, z) = E (±) (x, z), 0, E (±) (x, z) ,
E
l
x,l
z,l
gdzie l = 1, 2.
(77)
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Warunki ciągłości na granicy ośrodków:
(+)
(−)
(+)
(−)
Hy ,1 (x = 0, z) + Hy ,1 (x = 0, z) = Hy ,2 (x = 0, z) + Hy ,2 (x = 0, z)
(78)
(+)
(−)
(+)
(−)
Ez,1 (x = 0, z) + Ez,1 (x = 0, z) = Ez,2 (x = 0, z) + Ez,2 (x = 0, z).
(79)
Ze wzoru (17) otrzymujemy
(±)
(±)
Ez,l (x, z)
−1 ∂Hy ,l (x, z)
=
,
iωµ0 µl
∂x
(80)
Równania Maxwellla
Fala typu TM
(±)
−1 ∂Hy ,l (x, z)
Wykorzysując formułę
=
,
iωε0 εl
∂x
otrzymujemy (pominięto stałe czynniki typu exp(−ikz,l z)):
(±)
Ez,l (x, z)
(+)
(+)
Ez,1 (x
= 0, z) = −
kx,1 Hy ,1
ωµ0 µ1
(−)
,
(−)
Ez,1 (x
= 0, z) =
kx,1 Hy ,1
ωµ0 µ1
(81)
(+)
Ez,2 (x = 0, z) = −
(+)
kx,2 Hy ,2
ωµ0 µ2
(−)
kx,2 Hy ,2
0
,
(−)
Ez,2 (x = 0, z) =
ωµ0 µ2
.
(82)
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Otrzymane równania pozwalają przepisać
(78) i (79) jako układ równań (dla (x = 0, z))
(+)
(−)
(+)
(−)
Hy ,1 + Hy ,1 = Hy ,2 + Hy ,2 ,
(+)
−
kx,1 Hy ,1
ωε0 ε1
(−)
+
kx,1 Hy ,1
ωε0 ε1
(+)
=−
kx,2 Hy ,2
ωε0 ε2
(−)
0
+
(83)
kx,2 Hy ,2 )
ωε0 ε2
(84)
.
Można więc zapis (83) i (84) znacznie uprościć
opuszczając wspólne czynniki
(+)
(−)
Hy ,1
−
kx,1 Hy ,1
ε1
(−)
= Hy ,2
(−)
(+)
kx,1 Hy ,1
ε1
(+)
+ Hy ,1
+ Hy ,2
(+)
=
kx,2 Hy ,2
ε2
(−)
0
−
kx,2 Hy ,2
ε2
(85)
.
Równania Maxwellla
Fala typu TM
(−)
W rozpatrywanym zagadnieniu Hy ,2 = 0
(+)
(−)
Hy ,1
(+)
kx,1 Hy ,1
ε1
(+)
+ Hy ,1
−
= Hy ,2
(−)
kx,1 Hy ,1
=
ε1
(+)
kx,2 Hy ,2
ε2
,
(86)
.
(−)
rTM = rp =
Hy ,1
|
(−)
.
(87)
|
(−)
.
(88)
(+) Hy ,2 =0
Hy ,1
(+)
tTM = ts =
Hy ,2
(+) Hy ,2 =0
Hy ,1
Równania Maxwellla
Fala typu TM
(−)
rTM = rp =
Hy ,1
|
(−)
.
(89)
|
(−)
.
(90)
(+) Hy ,2 =0
Hy ,1
(+)
tTM = ts =
Hy ,2
(+) Hy ,2 =0
Hy ,1
Wprowadzone tutaj współczynniki Fresnela
nazywane są magnetycznymi;
J. Kong, Electromagnetic Wave Theory, EMW Publishing,
rozdział 3., Cambridge, Massachusetts, USA, 2008.
Równania Maxwellla
Fala typu TM
(+)
Dzielimy obie strony (86) przez niezerowy czynnik Hy ,1
(−)
1
+
(+)
Hy ,1
=
(+)
Hy ,1
(+)
kx,1 Hy ,1
(+)
ε1 Hy ,1
,
(+)
Hy ,1
(−)
−
Hy ,2
(91)
(+)
kx,1 Hy ,1
=
(+)
ε1 Hy ,1
kx,2 Hy ,2
(+)
.
ε2 Hy ,1
Zapiszemy ten układ równań za pomocą współczynników
amplitudowych Fresnela i nowej wielkości
σTM = σs =
kx,2 ε1
,
kx,1 ε2
kx,l , l = 1, 2 – składowe wektorów falowych.
(92)
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Po uwzględnieniu (92) układ równań (91) przyjmuje postać
1 + rp = tp ,
1 − rp = t p σp ,
(93)
którego rozwiązaniami są
tp =
2
,
1 + σp
(94)
rp =
1 − σp
.
1 + σp
(95)
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Postacie współczynnika amplitudowego
transmisji Fresnela — fala typu p.
(±)
tp
2kx,1
2
ε1
=
=
k
kx,2
1 + σp
x,1
+
ε1
ε2
2n1 cos Θ1
ε1
=
+
ε1
ε2
2k1 cos Θ1
ε1
=
=
+
ε1 r
ε2
µ1
2
cos Θ1
ε1
r
=r
µ1
µ2
cos Θ1 +
cos Θ2
ε1
ε2
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Postacie amplitudowego współczynnika
odbicia Fresnela — fala typu p.
(±)
kx,1 kx,2
−
1 − σp
ε1
ε2
rp =
=
k
k
1 + σp
x,1
x,2
+
ε1
ε2
−
ε1
ε2
=
+
ε1
ε2
−
ε1
ε2
=
+
ε2
r ε1
r
µ1
µ2
cos Θ1 −
cos Θ2
ε1
ε2
r
=r
µ1
µ2
cos Θ1 +
cos Θ2
ε1
ε2
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Transport energii.
(+)
(−)
Strumienie energii fali: ~S1 — padając, ~S1 — odbitej,
~S(+) — przechodzącej.
2
Ilościowo strumienie te charakteryzują
odpowiednie wektory Poyntinga:
~S(+) = E
~ (+) × H
~ (+) ,
1
1
1
(96)
~S(−) = E
~ (−) × H
~ (−) ,
1
1
1
(97)
~S(+) = E
~ (+) × H
~ (+) .
2
2
2
(98)
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Transport energii przez falę.
Interesują nas wartości strumieni energii przenoszonych przez
fale na kierunek osi OX oznaczanych jako
(+)
(−)
(+)
S1,x , S1,x i S2,x ,
których wartości określają iloczyny skalarne:
(+)
(+)
~ (+) × H
~ (+) ,
S1,x = x̂ · ~S1 = x̂ · E
(99)
1
1
(−)
(−)
S1,x = −x̂ · ~S1
(+)
(+)
S2,x = x̂ · ~S2
~ (−) × H
~ (−) ,
= −x̂ · E
1
1
~ (+) × H
~ (+) .
= x̂ · E
2
2
(100)
(101)
Widoczna jest potrzeba wyznaczenia
iloczynów wektorowych pól fali elektromagnetycznej.
Równania Maxwellla
Fala typu TM
(+)
(+)
S1,x
(+)
S1,x
x̂
k H (+)
~ (+) × H
~ (+) = x̂ · z,1 y ,1
= x̂ · E
1
1
ωε0 ε1
0
0
−
ωε0 ε1 (+)
Hy ,1
0
(102)
"
(+) 2
(+) 2 #
(+) 2
kx,1 (Hy ,1 )
kz,1 (Hy ,1 )
kx,1 (Hy ,1 )
= x̂ ·
x̂ +
ẑ =
. (103)
ωε0 ε1
ωε0 ε1
ωε0 ε1
ŷ
ẑ
(+)
kx,1 Hy ,1
Równania Maxwellla
Fala typu TM
(−)
(−)
S1,x
x̂
k H (−)
~ (−) × H
~ (−) = −x̂ · z,1 y ,1
= −x̂ · E
1
1
ωε0 ε1
0
(−)
S1,x
,
0
ωε0 ε1 (−)
Hy ,1
0
(104)
"
#
(−)
(−)
(−)
kx,1 (Hy ,1 )2
kz,1 (Hy ,1 )2
kx,1 (Hy ,1 )2
= −x̂ · −
x̂ +
ẑ =
,
ωε0 ε1
ωε0 ε1
ωε0 ε1
(105)
ŷ
ẑ
(−)
kx,1 Hy ,1
Równania Maxwellla
Fala typu TM
(+)
(+)
S2,x
x̂
k H (+)
~ (+) × H
~ (+) = x̂ · z,2 y ,2
= x̂ · E
2
2
ωε0 ε2
0
(+)
S2,x
,
0
−
ωε0 ε2 (+)
Hy ,2
0
(106)
"
(+) 2
(+) 2 #
(+) 2
kx,2 (Hy ,2 )
kz,2 (Hy ,2 )
kx,2 (Hy ,2 )
= x̂ ·
x̂ +
ẑ =
. (107)
ωε0 ε2
ωε0 ε2
ωε0 ε2
ŷ
ẑ
(+)
kx,2 Hy ,2
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Definicja reflaktancji i transmitancji.
Energetycznym współczynnikiem odbicia, zwanym
reflaktancją, nazywamy iloraz
(−) !2
RTM = Rp =
S1,x
(+)
S1,x
|H (−) =0 .
(108)
y ,2
Energetycznym współczynnikiem transmisji, zwanym
transmitancją, nazywamy iloraz
(+) !2
TTM = Tp =
S2,x
(+)
S1,x
|H (−) =0 .
y ,2
(109)
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Reflektancja i transmitancja dla fali TM.

(−)
kx,1 (Hy ,1 )2

(−) 2


H
y ,1
 ωε0 ε1 
2
RTM = (+) = 
(110)
= 2 = r p ,
(+)
2
 kx,1 (H ) 
(+)
S1,x
Hy ,1
y ,1
ωε0 ε1

(+) 
kx,2 (Hy ,2 )2
(−) 2
(+)


H
· kx,2 · ε1
S2,x
y ,2
 ωε0 ε2 
TTM = (+) = 
=
= σp · tp2 ,

2
(+) 2 

(+)
S1,x
kx,1 (Hy ,1 )
Hy ,1
· kx,1 · ε2
ωε0 ε1
(111)
kx,2 ε1
n2 · cos Θ2 · ε1
=
(112)
σp = σTM =
kx,1 ε2
n1 · cos Θ1 · ε2
(−)
S1,x
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Reflektancja i transmitancja dla fali TM.
Zasada zachowania energii jest spełniona
(abstrahujemy od pochłaniania), ponieważ
Tp + Rp = rp2 + σp · tp2 =
1 − σp
1 + σp
2
+ σp
2
1 + σp
2
= 1. (113)
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Różne postacie reflektancji— fala TM.
kx,1 kx,2 2
2
 ε1 − ε2 
1 − σp

=
RTM = Rp = rp2 =
 kx,1 kx,2  =
1 + σp
+
ε1
ε2




k1 cos Θ1 k2 cos Θ2 2
n1 cos Θ1 n2 cos Θ2 2
−
−




ε1
ε2
ε1
ε2

 =

 k1 cos Θ1 k2 cos Θ2 
 n1 cos Θ1 n2 cos Θ2  =
+
+
ε1
ε2
ε1
ε2
r
r
r
2 

µ2 ε1 cos Θ2 2
µ1
µ2
1−
cos Θ1 −
cos Θ2
 ε1


µ1 ε2 cos Θ1 
ε2
q
 =
 ,
r
r
 µ


µ2 ε1 cos Θ2 
µ2
1
1+
cos Θ2
ε1 cos Θ1 +
µ1 ε2 cos Θ1
ε2
(114)
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Różne postacie transmitancji — fala TM.
2
2kx,1

kx,2 ε1 
ε1
 =

TTM =

kx,1 ε2 kx,1 kx,2 
+
ε1
ε2

2
2k1 cos Θ1

k2 cos Θ2 ε1 
ε1

 =

k1 cos Θ1 ε2 k1 cos Θ1 k2 cos Θ2 
+
ε1
ε2

2
2n1 cos Θ1

n2 cos Θ2 ε1 
ε1



n1 cos Θ1 ε2 n1 cos Θ1 n2 cos Θ2 
+
ε1
ε2

(115)
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Różne postacie transmitancji — fala TM.
2
2kx,1

kx,2 ε1 
ε1
 =

=

kx,1 ε2 kx,1 kx,2 
+
ε1
ε2

TTM
2
µ1
cos Θ1

ε1
µ 2 ε1 
r
 =
r


µ1
µ2
µ 1 ε2
cos Θ1 +
cos Θ2
ε1
ε2

2
r

µ 2 ε1 
2

 .
r

µ2 ε1 cos Θ2 
µ 1 ε2
1+
µ1 ε2 cos Θ1

r
r
2
(116)
Równania Maxwellla
Fala typu TM
Zauważmy uderzające podobieństwa otrzymanych formuł.
kx,2 µ1
kx,2 ε1
σTE = σs =
, σTM = σs =
.
kx,1 µ2
kx,1 ε2
kx,2 ε1
σTM = σs =
.
kx,1 ε2

2

2
2kx,1
2kx,1



kx,2 µ1 
µ1
ε1

 , TTM = kx,2 ε1 
 .
TTE =



kx,1 µ2 kx,1 kx,2
kx,1 ε2 kx,1 kx,2 
+
+
µ1
µ2
ε1
ε2
Dokonując zamiany µ1 ↔ ε1 oraz µ2 ↔ ε2
jedne wzory przechodzą w drugie.
Równania Maxwellla
Fala typu TM; inne podejście
Postąpić można inaczej — przekształcamy (81), (82)
(−)
(+)
(+)
Hy ,1
=−
ωε0 ε1 Ez,1
kx,1
,
(−)
Hy ,1
,
(−)
Hy ,2
=
(+)
(+)
Hy ,2
=−
ωε0 ε2 Ez,2
kx,2
ωε0 ε1 Ez,1
(117)
kx,1
(−)
=
ωε0 ε2 Ez,2
0
kx,2
(118)
.
Wstawiamy do warunków ciągłości
(+)
(−)
(+)
(−)
Hy ,1 (x = 0, z) + Hy ,1 (x = 0, z) = Hy ,2 (x = 0, z) + Hy ,2 (x = 0, z)
(119)
(+)
(−)
(+)
(−)
Ez,1 (x = 0, z) + Ez,1 (x = 0, z) = Ez,2 (x = 0, z) + Ez,2 (x = 0, z).
(120)
Równania Maxwellla
Otrzymujemy układy równań
(+)
(−)
(+)
Ez,1 + Ez,1 = Ez,2 ,
−ωε0 ε1 ·
(+)
Ez,1
kx,1
+
ωε0 ε1 ·
(−)
Ez,1
kx,1
(+)
(−)
=−
ωε0 ε2 ·
(+)
Ez,2
kx,2
(121)
.
(+)
Ez,1 + Ez,1 = Ez,2 ,
(+)
(−)
Ez,1 − Ez,1
kx,1
(+)
ε1 (+) Ez,2
=
E
= TM .
kx,2 z,2
σ
ε2
(122)
Równania Maxwellla
Amplitudowy (elektryczny) współczynnik odbicia
(−)
0
rTM
=
rp0
=
Ez,1
(+)
.
(123)
Ez,1
Amplitudowy (elektrycznym) współczynnik transmisji
(+)
0
tTM
=
tp0
=
Ez,2
(+)
.
Ez,1
(124)
Równania Maxwellla
Postępując jak poprzednio otrzymujemy
(+)
(−)
1 +
Ez,1
(+)
=
Ez,1
1 −
(+)
,
(+)
Ez,1
(−)
Ez,1
Ez,2
(+)
=
Ez,1
1 Ez,2
.
σ TM E (+)
z,1
1 + rp0 = tp0 ,
1 − rp0 = tp /σp .
(125)
(126)
Równania Maxwellla
Rozwiązanie tego układu ma postać
tp0 =
2kx,2 ε1
2σp
=
=
1 + σp
kx,2 ε1 + kx,1 ε2
2n2 ε1 cos Θ2
=
n2 ε1 cos Θ2 + n1 ε2 cos Θ1
r
µ2
2
cos Θ1
ε2
r
r
µ2
µ1
cos Θ1 +
cos Θ2
ε2
ε1
(127)
Równania Maxwellla
Rozwiązanie tego układu ma postać
rp0 =
kx,2 ε1 − kx,1 ε2
σp − 1
=
=
σp + 1
kx,2 ε1 + kx,1 ε2
r
r
µ2
µ1
cos Θ1 −
cos Θ2
ε2
ε1
r
r
.
µ2
µ1
cos Θ1 +
cos Θ2
ε2
ε1
(128)

Równania Maxwella. Transmisja fal spolaryzowanych TE i TM w

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wstęp do optyki i fizyki materii skondensowanej

Wybrane właściwości metamateriałów elektromagnetycznych.