s - Wydział Architektury

Grafika inżynierska – geometria wykreślna
3. Elementy wspólne.
Cień jako rzut środkowy i równoległy.
Transformacja celowa.
dr inż. arch. Anna Wancław
Politechnika Gdańska, Wydział Architektury
Studia inżynierskie, kierunek Gospodarka przestrzenna, semestr I
1
3. Elementy wspólne.
Cień jako rzut środkowy i równoległy.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
2
Elementy wspólne – punkt przecięcia, punkt przebicia, krawędź
Konstrukcja punktu przebicia, metoda ogólna
Konstrukcja punktu przebicia - zadanie
Konstrukcja krawędzi - zadanie
Cień jako rzut środkowy i równoległy
Cień własny, rzucony i wzajemny
Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego
Zadania
Transformacja celowa – położenia rzutujące elementów,
rzeczywiste wielkości
ELEMENTY WSPÓLNE
– punkt przecięcia, punkt przebicia, krawędź
3
Konstrukcja punktu przebicia i krawędzi przecięcia,
metoda ogólna
4
ZADANIE 1
Konstrukcja punktu przebicia
Q”
B”
Wyznaczyć punkt przebicia
odcinka AB z trójkątem PQR.
Określić widoczność.
P”
R”
A”
Q’
A’
P’
5
B’
R’
ZADANIE 1.
Konstrukcja punktu przebicia
1. Przyjmujemy
pomocniczą płaszczyznę
g przechodzącą przez
odcinek AB.
2. Wyznaczamy krawędź
przecięcia się pł. g z
trójkątem – k.
3. Punkt S - przecięcie się
krawędzi k z odcinkiem
AB jest szukanym
punktem przebicia.
Q
B
1
S
k
A
P
6
g
2
R
ZADANIE 1
Konstrukcja punktu przebicia
Q”
B”
Przyjmujemy płaszczyznę g
przechodzącą przez odcinek AB.
Ze względu na specyfikę konstrukcji w
rzutach Monge’a, przyjmujemy położenie
P”
rzutujące płaszczyzny, bez znaczenia
czy będzie to płaszczyzna poziomo
czy pionowo rzutująca.
W tym przypadku wybrano położenie g”
pionowo rzutujące.
R”
A”
Q’
A’
P’
7
B’
R’
ZADANIE 1
Konstrukcja punktu przebicia
Q”
Płaszczyzna g przecina się z
trójkątem PQR wzdłuż prostej k.
Zatem punkty 1 i 2 to miejsca
przecięcia się prostej k z bokami P”
trójkąta.
B”
1”
2”
R”
A”
Q’
g”=k”
A’
P’
8
B’
R’
ZADANIE 1
Konstrukcja punktu przebicia
Q”
B”
Wyznaczamy rzuty poziome
punktów 1 i 2.
1”
P”
2”
R”
A”
Q’
g”=k”
1’
A’
P’
9
B’
2’
R’
ZADANIE 1
Konstrukcja punktu przebicia
Q”
B”
Wyznaczamy rzut poziomy
prostej k.
1”
P”
2”
R”
A”
Q’
g”=k”
1’
A’
B’
k’
P’
10
2’
R’
ZADANIE 1
Konstrukcja punktu przebicia
Q”
B”
Odcinek AB i prosta k leżą
na tej samej płaszczyźnie g,
S”
a zatem przecinają się.
P”
W rzucie poziomym widoczny
jest ich punkt przecięcia – S.
Zaznaczamy rzut poziomy
g”=k”
punktu S’, a następnie
jego rzut pionowy - S”.
2”
R”
A”
Q’
1’
A’
S’
k’
P’
11
1”
2’
B’
R’
ZADANIE 1
Konstrukcja punktu przebicia
Q”
B”
Określamy widoczność.
S”
P”
1”
2”
R”
A”
Q’
g”=k”
1’
A’
S’
k’
P’
12
2’
B’
R’
ZADANIE 2
Konstrukcja krawędzi
przecięcia
m”
Skonstruować krawędź
przecięcia się płaszczyzn
a = PQR i b= m,n.
Określić widoczność
trójkąta PQR.
S”
Q”
n”
R”
P”
S”
P’
m’
R’
n'
Q’
13
ZADANIE 2
Konstrukcja krawędzi
przecięcia
Krawędź przecięcia wyznaczamy
stosując dwukrotnie konstrukcję
przebicia. Wybieramy dowolnie
jeden z danych elementów (jedną
z prostych określających
płaszczyznę b lub jeden
z boków trójkąta PQR) i szukamy
jego punktu przebicia z drugą
daną płaszczyzną.
14
ZADANIE 2
Konstrukcja krawędzi
przecięcia
S”
Q”
n”=e”
m”
W tym przypadku wybrano prostą n .
Przyjęto przechodzącą przez nią
pionowo rzutującą płaszczyznę
P”
pomocniczą e.
R”
S”
P’
m’
R’
n'
Q’
15
ZADANIE 2
Konstrukcja krawędzi
przecięcia
Q”
1”
n”=e”=k”
S”
m”
Płaszczyzna e przecina się z
trójkątem PQR wzdłuż krawędzi k.
Przy pomocy punktów 1, 2
P”
wyznaczamy jej rzut poziomy.
R”
2”
S”
P’
2’
m’
R’
1’
n'
Q’
16
k’
ZADANIE 2
Konstrukcja krawędzi
przecięcia
Proste n i k leżą na tej
samej płaszczyźnie e ,
a zatem przecinają się.
W rzucie poziomym widoczny
jest ich punkt przecięcia – T.
Zaznaczamy rzut poziomy
punktu T’, a następnie
jego rzut pionowy - T”.
S”
Q”
1”
m”
T”
R”
P”
2”
S”
P’
2’
m’
T’
R’
1’
n'
Q’
17
n”=e”=k”
k’
ZADANIE 2
Konstrukcja krawędzi
przecięcia
Jako drugi element
wybrano odcinek PR .
Przyjęto przechodzącą
przez niego pionowo
rzutującą płaszczyznę
pomocniczą d.
S”
Q”
n”=e”=k”
1”
m”
T”
R”
P”
d”
2”
S”
P’
2’
m’
T’
R’
1’
n'
Q’
18
k’
ZADANIE 2
Konstrukcja krawędzi
przecięcia
Q”
Płaszczyzna d przecina
T”
się z płaszczyzną a =m,n
wzdłuż krawędzi l.
Przy pomocy punktów 3, 4
wyznaczamy jej rzut
poziomy.
S”
1”
m”
4”
R”
P”
2”=3”
d”=l”
S”
P’
2’
m’
4’
T’
l’
n'
R’
1’
3’
19
n”=e”=k”
Q’
k’
ZADANIE 2
Konstrukcja krawędzi
przecięcia
S”
Q”
1”
m”
Odcinek PR i prosta l leżą na tej
samej płaszczyźnie d ,
a zatem przecinają się.
W rzucie poziomym widoczny
jest ich punkt przecięcia – U.
Zaznaczamy rzut poziomy
punktu U’, a następnie
jego rzut pionowy - U”.
4”
T”
P”
2”=3”
U”
d”=l”
R”
S”
P’
2’
m’
T’
n'
4’
U’
l’
R’
1’
3’
20
n”=e”=k”
Q’
k’
ZADANIE 2
Konstrukcja krawędzi
przecięcia
Punkty T i U wyznaczają
szukaną krawędź
przecięcia q.
S”
Q”
1”
m”
4”
T”
P”
2”=3”
R”
U”
d”=l”
S”
P’
2’
q’
m’
T’
n'
4’
U’
l’
R’
1’
3’
21
n”=e”=k”
Q’
k’
ZADANIE 2
Konstrukcja krawędzi
przecięcia
Krawędź q przecina się
również z innymi
elementami płaszczyzn
(punkty 5 i 6).
Ich rzuty powinny się
zgadzać (leżeć na
odpowiednich
odnoszących).
S”
Q”
1”
m”
q”
5”
P”
4”
T”
2”=3”
R”
U”
d”=l”
6”
S”
P’
2’
m’
5’
q’
T’
n'
4’
U’
l’
R’
1’
3’
22
n”=e”=k”
Q’
k’
6’
ZADANIE 2
Konstrukcja krawędzi
przecięcia
Określamy widoczność.
S”
Q”
1”
m”
q”
5”
P”
4”
T”
2”=3”
R”
U”
d”=l”
6”
S”
P’
2’
m’
5’
q’
T’
n'
4’
U’
l’
R’
1’
3’
23
n”=e”=k”
Q’
k’
6’
CIENIE
Konstrukcja punktu przebicia
=
Cień punktu na trójkąt
Q”
s1”
s”
P”
R”
Wyznaczyć punkt przebicia
prostej s1 z trójkątem PQR.
=
Wyznaczyć cień
punktu B na trójkąt PQR.
Q’
s1’
P’
24
B”
B’
R’
s’
Cień jako
rzut
środkowy
25
Obraz S. Can Hoogstratena “Taniec Cieni” (1675)
http://www.lozano-hemmer.com/english/projects/bodymovies.htm
Cień jako rzut równoległy
26
http://pl.wikipedia.org/wiki/Cień
Rodzaje cienia
- własny
- rzucony
- wzajemny
wzajemny
własny
rzucony
27
Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego
Wyznaczyć cień trójkąta ABC
na rzutnię poziomą i pionową.
Q”
s”
P”
R”
Q’
R’
s’
P’
28
x12
Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego
Rozpoczynamy od wyznaczenia
cienia trójkąta na rzutnię poziomą.
Przez rzuty pionowe
punktów P i Q prowadzimy
promienie świetlne.
Ich przecięcia się z rzutnią
poziomą to cienie na tą
rzutnię.
Qc1”
Q”
s”
P”
x12 = p1”
Pc1”
Punkt R, leżący na rzutni
jednoczy się ze swoim
punktem cienia (ze
względu na czytelność
rysunku nie opisuje się
takich punktów).
Q’
R’
s’
P’
29
R”
Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego
Prowadzimy promienie
świetlne w rzucie poziomym,
wyznaczamy rzuty poziome
cieni punktów P i Q.
Q”
s”
Qc1’
P”
Qc1”
x12 = p1”
Pc1”
R”
Q’
R’
Pc1’
30
s’
P’
Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego
Q”
Po połączeniu cieni punktów
otrzymujemy cień trójkąta.
s”
Qc1’
P”
Qc1”
R”
Pc1”
Q’
R’
Pc1’
31
s’
P’
x12
Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego
Q”
Po połączeniu cieni punktów
otrzymujemy cień trójkąta.
s”
Qc1’
P”
Qc1”
x12
Pc1”
R”
Q’
R’
Pc1’
32
s’
P’
Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego
Q”
Część cienia wypada za
rzutnią pionową, a więc
realnie nie będzie istnieć.
s”
Qc1’
P”
Qc1”
R”
Pc1”
Q’
Wnioskujemy zatem, że
cień załamie się i wystąpi
na rzutni pionowej.
R’
Pc1’
33
s’
P’
x12
Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego
Konstruujemy cień punktu Q
(którego cień na rzutnię
poziomą wypadł za rzutnią
pionową) na rzutnię
Qc1’
pionową.
Q”
s”
P”
Qc1”
Na promieniu świetlnym
przechodzącym przez
punkt Q w rzucie
poziomym zaznaczamy
jego przecięcie z rzutnią
Pc1’
pionową - to cień
na tą rzutnię.
34
x12 = p2’
R”
Pc1”
Qc2’
Q’
R’
s’
P’
Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego
Na promieniu świetlnym
w rzucie pionowym
wyznaczamy cień
punktu Q na rzutnię Qc1’
pionową w rzucie
pionowym
Qc1”
Q”
Qc2”
s”
P”
x12 = p2’
R”
Pc1”
Qc2’
Q’
R’
Pc1’
35
s’
P’
Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego
Łącząc cień punktu Q
na rzutnię pionową z
punktami cienia
trójkąta leżącymi
Qc1’
na osi rzutów x12
(M i N) otrzymujemy
szukany fragment
cienia trójkąta na Qc1” Pc1”
rzutnię pionową.
N
Q”
Qc2”
s”
P”
x12 = p2’
R”
M
Qc2’
Q’
R’
Pc1’
36
s’
P’
Konstrukcja cienia jako punktu przebicia promienia świetlnego
Określamy widoczność
cienia.
Q”
Qc2”
s”
Qc1’
P”
Qc1”
Pc1”
R”
M
Qc2’
N
Q’
R’
Pc1’
37
s’
P’
x12
P”
R”
R’
P’
x12
TRANSFORMACJA
- przyjęcie rzutni
równolegle
i prostopadle
do prostej.
Rzeczywista
wielkość odcinka.
P”
R”
R’
P’
x12
x13
TRANSFORMACJA
- przyjęcie rzutni
równolegle
do prostej.
P”
R”
x12
R’
x13
TRANSFORMACJA
- przyjęcie rzutni
równolegle do
prostej.
R’”
P’
Rzeczywista wielkość odcinka.
P’”
P”
R”
x12
R’
x13
R’”
TRANSFORMACJA
- przyjęcie rzutni
równolegle
i prostopadle
do prostej.
P’
P’”
PIV=RIV
x34
Położenie rzutujące odcinka.
Q”
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle i równolegle do płaszczyzny.
Położenie rzutujące i rzeczywiste
wielkości na płaszczyźnie.
P”
R”
P’
R’
Q’
x12
Q”
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle do płaszczyzny.
m”
P”
R”
x12
P’
R’
Q’
Chcąc przyjąć trzecią rzutnię prostopadle
do płaszczyzny PQR przyjmujemy na niej
pomocniczą poziomą prostą m.
Q”
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle do płaszczyzny.
1”
P”
m”
R”
x12
P’
m’
1’
R’
Q’
Wyznaczamy rzut poziomy prostej m.
Q”
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle do płaszczyzny.
1”
P”
m”
R”
x12
P’
m’
R’
1’
Przyjmujemy rzutnię
trzecią prostopadle do
płaszczyzny trójkąta PQR
(oś rzutów x12 jest
prostopadła do rzutu
poziomego prostej m).
R”’
P”’=m’”=1’”
Q’
Położenie rzutujące
trójkąta.
x13
Q”’
Q”
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle i równolegle do płaszczyzny.
1”
P”
m”
R”
x12
P’
m’
R’
1’
R”’
P”’=m’”=1’”
Q’
x13
Q”’
x34
Q”
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle i równolegle do płaszczyzny.
Rzeczywiste wielkości na płaszczyźnie
1”
P”
PIV
m”
R”
x12
P’
1IV
R’
m’ 1’
mIV
RIV
R”’
P”’=m’”=1’”
Q’
QIV
x13
Q”’
x34
Q”
TRANSFORMACJA - przyjęcie rzutni
prostopadle i równolegle do płaszczyzny.
Rzeczywiste wielkości na płaszczyźnie
1”
P”
PIV
m”
R”
x12
P’
mIV
1IV
R’
m’ 1’
Rzeczywista wielkość
trójkąta.
RIV
R”’
P”’=m’”=1’”
Q’
QIV
x13
Q”’
x34
Materiały do wykładu:
Zad. 2. Konstrukcja krawędzi przecięcia
Zad. 1. Konstrukcja punktu przebicia
Q”
B”
S”
Q”
m”
n”
P”
R”
R”
P”
A”
P’
Q’
A’
S”
B’
m’
R’
R’
n'
P’
49
Q’
Materiały do wykładu:
Zad.3. Wyznaczyć cień trójkąta ABC
Q”
na rzutnię poziomą i pionową
s”
P”
R”
Q’
R’
s’
P’
50