Algorytmiczna teoria gier, Informatyka WPPT semestr zimowy 2012

Algorytmiczna teoria gier, Informatyka WPPT
semestr zimowy 2012/2013
III lista zadań
1. Jeśli wartość dolna gry jest równa wartości górnej, mówimy, że gra ma wartość. Zgodnie z
twierdzeniem von Neumanna, każda gra o sumie zerowej, która ma równowagę, ma też wartość. Implikacja w drugą stronę nie musi być jednak prawdziwa. Podaj przykład gry o sumie
zerowej, w której jeden z graczy ma skończoną liczbę strategii czystych, drugi przeliczalnie
wiele, posiadającej wartość, ale nie mającej równowagi (nawet w strategiach mieszanych).
Uzasadnij, że ma one powyższe własności.
2. Oczywiście, jeśli macierze wypłat w dwóch grach macierzowych (czyli o sumie zerowej) m×n
spełniają nierówność A1 ¬ A2 , to ich wartości, v1 i v2 spełniają podobną nierówność. Pokaż,
że, wbrew naturalnej intuicji, podobny rezultat nie jest prawdziwy dla gier dwumacierzowych,
tzn., jeśli przez A1 i B1 oznaczymy sobie macierze wypłat poszczególnych graczy w grze G1 ,
a przez A2 i B2 – w grze G2 , a macierze te spełniają nierówności A1 ¬ A2 oraz B1 ¬ B2 ,
to wypłaty w równowadze w grze G1 mogą być większe niż w grze G2 , nawet jeśli obie gry
posiadają dokładnie po jednej równowadze.
3. Znajdź wartość dolną i górną oraz strategie bezpieczeństwa w strategiach czystych, a następnie równowagę oraz wartość (to, jaka będzie, wynika z twierdzenia von Neumanna) w
strategiach zrandomizowanych dla gry macierzowej o macierzy wypłat pierwszego gracza


−1 3 −3
3
 0 3
2
0 
.
A=
 1 0
5
2 
−1 2
1 −2
4. (a) Pokaż, że jeśli gra dwumacierzowa posiada kilka równowag Nasha, to dowolna kombinacja wypukła tych równowag (traktowanych jako rozkłady prawdopodobieństwa na produkcie zbiorów strategii czystych graczy, tzn. jeśli µ = (µ1 , . . . , µn ) i σ = (σ1 , . . . , σm )
są równowagą, rozważamy rozkład prawdopodobieństwa na produkcie pij = µi σj ) jest
równowagą skorelowaną w tej grze.
(b) Rozważ grę dwumacierzową z macierzami wypłat
4 1
4
A=
, B=
5 0
1
5
0
.
Znajdź dla niej wszystkie równowagi Nasha. Następnie pokaż (zapisując warunki na
to, że rozkład prawdopodobieństwa jest równowagą skorelowaną, i znajdując rozkład,
który spełnia te warunki, a nie jest kombinacją wypukłą równowag Nasha), że istnieją
w niej równowagi skorelowane, które nie są powyższej postaci.
Wskazówka: Załóż np., że dla tego rozkładu p11 > 0, a p22 = 0.
(c) Pokaż, że jeśli równowaga skorelowana jest miarą produktową (czyli jeśli jest postaci
pij = µi σj dla jakichś rozkładów prawdopodobieństwa na zbiorach strategii graczy µ i
σ), to µ i σ są równowagą Nasha.