1. Twierdzenie Jordana o postaci normalnej Jordana dla operatorów

1. Twierdzenie Jordana o postaci normalnej Jordana dla operatorów liniowych nad ciałami liczb
zespolonych i rzeczywistych.
Literatura: 1. A. I.Kostrikin, Y. I.Manin, Algebra liniowa z geometria, PWN, 1993; 2. G. Cieciura,
Konspekt do wykładu z algebry "C" (dostępny na stronie http://wmii.uwm.edu.pl/~panas/)
Twierdzenie Jordana o postaci normalnej jest jednym z centralnych twierdzeń algebry liniowej i ma
liczne zastosowania, m. in. w teorii równań różniczkowych. Praca będzie polegać na opracowaniu
dowodu tego twierdzenia w wersji standardowej (nad liczbami zespolonymi) oraz mniej
standardowej (nad liczbami rzeczywistymi).
2. Funkcje od macierzy i ich zastosowania.
Literatura: 1. A. I.Kostrikin, Y. I.Manin, Algebra liniowa z geometria, PWN, 1993; 2. G. Cieciura,
Konspekt do wykładu z algebry "C" (dostępny na stronie http://wmii.uwm.edu.pl/~panas/)
Teoria funkcji od macierzy, takich jak funkcja wykładnicza czy funkcje trygonometryczne, ma
liczne zastosowania tak w samej algebrze, jak i w innych dziedzinach matematyki, np. równaniach
różniczkowych. Praca będzie polegała na opracowaniu różnych podejść do zdefiniowania i
obliczania funkcji od macierzy oraz ich zastosowań (praca mniej teoretyczna, bardziej skupiona na
obliczeniach).
3. Teoria Jordana-Kroneckera form normalnych par operatorów liniowych.
Literatura: F. R. Gantmacher, The theory of matrices, Vol. 2, Chelsea Publishing Co, New York,
1959.
Ogólnie znana jest teoria formy normalnej Jordana jednego operatora liniowego. Zagadnienie
sprowadzenia do formy normalnej jednocześnie dwóch operatorów (działających w różnych
przestrzeniach) choć i należy do matematyki klasycznej, ale jest omijane w podstawowych
programach uniwersyteckich. Charakternym dla tej teorii jest pojawienie się na równi z klatkami
Jordana tzw. klatek Kroneckera mających istotnie inną budowę. Praca będzie polegała na
zapoznaniu się z teorią Jordana-Kroneckera.
4. Cykliczne formy normalne operatorów liniowych.
Literatura: A. I.Kostrikin, Y. I.Manin, Algebra liniowa z geometria, PWN, 1993. 2.F. R.
Gantmacher, The theory of matrices, Vol. 2, Chelsea Publishing Co, New York, 1959.
Wybrany wektor $v$ jest cykliczny dla operatora liniowego $A$, jeśli wektory $v,
Av,A^2v,\ldots,A^{n-1}$ tworzą bazę przestrzeni. Macierz operatora w takiej bazie ma szczególnie
prostą (nie diagonalną) postać i nazywa się klatką cykliczną. Twierdzenie o cyklicznej (lub
frobeniusowskiej) formie normalnej mówi, że każdy operator (nad dowolnym ciałem) można
rozłożyć w sumę klatek cyklicznych. Ciekawy jest problem jednoznaczności takiego rozkładu.
Praca będzie polegała na zapoznaniu się z tą teorią.
5. Częściowe operatory liniowe.
Literatura: 1. A. I.Kostrikin, Y. I.Manin, Algebra liniowa z geometria, PWN, 1993; 2.F. R.
Gantmacher, The theory of matrices, Vol. 2, Chelsea Publishing Co, New York, 1959.
Częściowym operatorem liniowym nazywamy operator działający z podprzestrzeni do całej
przestrzeni. Okazuje się, że w tym szczególnym przypadku oprócz jądra i obrazu można zbudować
dużo innych geometrycznych niezmienników operatora, czyli podprzestrzeni nie zależących od
wyboru baz. Praca ta jest związana z dwoma poprzednimi tematami i będzie miała częściowo
badawczy charakter. Zapraszam do wypróbowania własnych sił.
6. Wielomiany Hermita i Czebyszewa.
Literatura: A. I.Kostrikin, Y. I.Manin, Algebra liniowa z geometria, PWN, 1993.
Wielomiany Hermita i Czebyszewa stanowią układy funkcji ortogonalnych względem specyficznie
wybranych iloczynów skalarnych. Ponadto są one wektorami własnymi dla pewnych
różniczkowych operatorów samosprzężonych. Praca będzie polegała na uzupełnieniu szczegółów
dowodów twierdzeń dotyczących tych wielomianów z podanej książki oraz na opracowaniu
zastosowań tej teorii w teorii równań różniczkowych.
7. Postać normalna symetrycznych macierzy.
Literatura: 1. A. I.Kostrikin, Y. I.Manin, Algebra liniowa z geometria, PWN, 1993; 2.F. R.
Gantmacher, The theory of matrices, Vol. 2, Chelsea Publishing Co, New York, 1959.
Postać normalna macierzy symetrycznych nad ciałem liczb rzeczywistych jest diagonalna. Wynika
to z tzw. twierdzenia spektralnego opisującego wektory własne operatora samosprzężonego. Nad
ciałem liczb zespolonych sytuacja jest bardziej skomplikowana, ponieważ istnieją nilpotentne
macierze symetryczne, a macierze nilpotentne jak wiadomo nie mogą być zdiagonalizowane. Praca
będzie polegała na opracowaniu odpowiednich twierdzeń.
8. Elementy teorii spektralnej w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach.
Literatura: U. H. Gerlach, Linear mathematics in infinite dimensions,
https://people.math.osu.edu/gerlach.1/math/BVtypset/BVtypset.html
Pojęcie wektorów i wartości własnych może być przeniesione na przypadek operatorów liniowych
w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach, ale teoria robi się w tym przypadku o wiele
bogatsza.
9. Ślad i wyznacznik w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych.
Literatura: na razie http://en.wikipedia.org/wiki/Functional_determinant
Prace 8-9 w szczególności pomogą w zrozumieniu przedmiotu "Analiza funkcjonalna", który
wykładany jest na poziomie magisterskim.