Zestaw 4 (liczby Stirlinga i nie tylko :)) Zad.1 Wykazać (jeśli się da, to
Transkrypt
Zestaw 4 (liczby Stirlinga i nie tylko :)) Zad.1 Wykazać (jeśli się da, to
Zestaw 4 (liczby Stirlinga i nie tylko :)) Zad.1 Wykazać (jeśli się da, to być bez użycia indukcji), że: a) ( ) n ∑ n = 2n , i i=0 b) n ∑ ( ) n i (−1)i i=0 c) ( ) n ∑ n i:2|i d) = i ( ) n ∑ n i:2-i ( ) n+m+1 m e) ( n+m r ) = = 0, = i = 2n−1 , ( ) m ∑ n+i i i=0 , ( )( ) r ∑ m n j=0 r−j j . Zad.2 Ile liczb całkowitych z przedziału od 1 do 250 jest podzielnych przez co najmniej jedną z cyfr: 2, 3, 5, 7? Zad.3 Niech S(n) oznacza następujące zdanie: n ∑ ( n+ i= i=1 1 2 )2 . 2 Wykazac, że prawdziwość S(n) implikuje prawdziwość S(n + 1) dla dowolnego n ∈ N+ . Czy S(n) jest prawdziwe dla n ∈ N+ ? Zad.4 W ilu permutacjach liter a, b, c, d, e, f , g: a) nie pojawia się sylaba cad? b) nie pojawiają się sylaby beg oraz cad? Zad.5 Na ile sposobów można podzielic zbiór {1, 2, ..., n} na dwa niepuste zbiory? Zad.6 Pokazać, że liczba podziałów zbioru {1, 2, ..., n} na trzy niepuste zbiory wynosi + 1 − 2n ). 1 n−1 2 (3 Zad.7 Każdego roku pewna populacja królików podwaja się. Jeżeli początkowo było k królików, to ile ich będzie po n latach? Zad.8 Wyznaczyć liczbę an ciągów binarnych długości n, w których żadne dwa zera nie występują obok siebie. Zad.9 Udowodnić, że ( ) n . 2 S(n, n − 1) = Zad. 10 Pokazać, że S(n, k) = n−1 ∑( r=0 ) n−1 S(r, k − 1). r Zad. 11 Parlament UE uchwalił ustawę zarządzającą, że każda z flag narodowych krajów UE musi zawierać m pionowych pasów pokolorowanych na jeden z n kolorów w ten sposób, że sąsiadujące pasy są różnych kolorów (lewy bok flagi jest wyróżniony). Ile flag może być skonstruowanych w ten sposób? Zad. 12 Ile słów 11-to literowych można utworzyć z liter słowa MISSISSIPPI ? Zad. 13 Ile jest suriekcji z zbioru 14 elementowego na zbiór 6 elementowy? 2