matematyka
Transkrypt
matematyka
Rozszerz swoje horyzonty Ǧ Ñ MATEMATYKA × Zadania i nie tylko ¸ä© STEREOMETRIA Q V O Spis treści Część I Wstęp 1. LICZBY 2. FUNKCJE 3. CIĄGI 4. KOMBINATORYKA 5. GEOMETRIA PŁASKA 6. TRYGONOMETRIA 7. GEOMETRIA ANALITYCZNA Rozwiązania zadań Część II 8. STEREOMETRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9. PRAWDOPODOBIEŃSTWO I STATYSTYKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 10. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Rozwiązania zadań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Wstęp ǡ ¦ĂǡϸǤ× Ï¸ǡ Ïǡ×Ï ǡ ¦ ǡ Ϧ Ǥ ¦ ä©ǡ¸¸Ï¸ÏǡÏ ä©×Ă ǡ Ǥ × ¸ ǤĂ ×ǡĂǡǡ¦Ǥ ä ǡĂĂ©Ǥ¸ © ¸ ×ǡ ¦ ǡ ׸©ǡ¸ ǡĂ Ï ǡÏǡ Ǥ ¦Ă ÏäÏ×Ǥ ¦¦ä ä Ï× ǤĂÏ×ø¸ǡ¸ ä Ǥ ¸ä ϸÏ×ǡ ¸ä ȂÏ ͵ÏǤ ©ÑǡȂ ǤĂ© Ǥ × ©¸Ï×Ï× ×ǤĂ© ×Ă Ïǡ ×ä ÏǤ¦ǡĂä© ¦ǡ× ¦© ÏǤ Ǥ ÏǡĂ Ï¸ Ïäǡ ĂÏ Ǥ ¸ǡ ¸ Ă ¦ ǡ ¸ Ñ Ǥ ¸ Ă Ǥ äǡ ĂǷ×dz¸ÏǫÏÏǤǤǤ ¸ǡĂä Ă©× Ǥ ĂǡǤ Autor ¸ Ï ¸© ¸Ǥ Ï Ă ¸© ǡ × Ă¸×¦ĂǤ 8. STEREOMETRIA Bryły platońskie (wielościany foremne) ÏÑä Ïǡ×ä ¦¦ ¦ ǡ Ă Ï ¸ ä Ǥ ¦ ×¦× × Ă © ä ȂĂͶ Ïצ¸×¦ ää ȂĂ Ïצ¸ צ ä ȂĂͳʹ Ï׸ͷצ×Ǥ 6 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część II ¦ ×Ă©ä ä ÏȂæ¸ͶǤ ¦ ¸ ¦× Ă©ä ǡ×ĂʹͲ Ïצ¸͵¸ ¦Ǥ ÏÑ Ǥ Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa ¸×¦×¦ Ǥ×Ñ ä ×ǡ× ä ¦ ÏǤ Twierdzenie 8.1 ȋ Ȍ Ă ä ǡǡ D C A B E (PBCD)2 (PABC)2 (PABD)2 (PACD)2 ȋ צ×ǡ Ǥ PBCD oznacza צBCD.Ȍ 7 8. Stereometria Dowód E BC, Ă Ï Ï BC E AE.)AED i )AEB¦¦Ǥ ¸ 2 2 BC ⋅ ED ( PBCD ) = = ( PABC ( AB ) + 2 2 4 2 2 = + ( AC 4 2 BC ) 2 2 ( AE ) ⋅ AD 2 + AD 4 2 ) = BC 2 2 ⋅ AE 2 = ( PABC ) + 2 + 4 AB ⋅ AD 2 2 2 4 BC ⋅ AD = 4 2 + 2 AC ⋅ AD 4 2 = 2 = ( PABC ) + ( PABD ) + ( PACD ) Ŷ ͺǤͳĂ©×ǤצABCÏצABDÏ ¸¦ǡצABDÏצABD¦Ï ¸¦ǡצACD ¦Ï ¸¦ǤÏ ¦ÏǤĀ ǡĂצ ©Ï Ï © צǡ¦ ××ǡ¸¦ Ǥ ϸ ÏĀǤ Ă×Ă ©¦ϐ¸Ï¦Ïæצ×ǡ¦ ǡ ©ǤĂĀ© ¸ĂǤ Ï ÏǫÑ ×¦×ǡÑ ǤǷdzĂ Ǥ ÏdͺǤͳ Ïä ¸ ͵ǡͶǡͷÏ ¸Ï ¦ ¦ ¦ ÏǤ C B 3 A 4 5 צABC. ow¦ צ ABC Ƿϸdz ͳͲ ȋÏ ¦ Ͷ u ͷȌǡ Ƿ dz ǡͷǡ ä ¸ ¦ Ǥ צ ABC to ͳͲ2 7,52 2 ͳͻʹǡͷǤ¸ × 192,75 . 8 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część II ÏdͺǤʹ Ï Ï Ï aä H. E H A a B ow¦ ש Ǥ ä ABE. 1 Ï ¸ a2 ,äÏ ¸¦ 4 1 × aH . Ï ¸ ¦ Ǥ 2 ä ABE× 2 2 a 2 ⎛1 2⎞ ⎛1 ⎞ 2 ⎜ 4 a ⎟ + ⎜ 2 aH ⎟ = 4 a + 4H ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ¦Ͷä ǡ¸ Ï a2 a a2 4H 2 Ā ¦¦Ǥ 8.1. Ïä ABCD¦ Ͷ u ͵Ï ¸ Ï ¦ ä ʹ ÏA ä ͵ ÏBͷ ÏC.Ǥ Cc Dc 5 Bc 3 Ac 2 A Ǥ C 3 D 4 B 9 8. Stereometria 8.2. ÏÏÏצ ¸¦×¦aä ¦H.×Ǥ Pole powierzchni walca ÏdͺǤ͵ Ñ ͳ Ï ¸ Ï ¦¦Ͷͷq ǤǤ O D A Ȍ C C C B A A B Ȍ D sin D B S 2S Ȍ Ï ¸ ǡ¦ ¸ǡ¦ ¸ O. Ï Ï ¦¸ǡ¦ ¦Ǥ¦ ¦¸× Ǥ AǤB jest na ¸¦AOB¸D.B C. ä Ï ¸ ¦ ¦ä ϦOA. A i O¦¸ǡ BÏä DA.ȋ¸¸ ǤÏ ¦ OX ¦ OAǤȌ Ï ¸ ¦ ¦ ¦ O¦Ͷͷq ǤCB Ïä CB A, Ïä D. ǡǡ¸ ¸ ÏĂ ¦ A. ¦¸ÏĂÑ ¸ʹS.A¸ ¦ÏÏ×ϸ ǡB na osi OX w DȋÏä© ÏABȌǡC×ϸ(D, sin D)Ǥ¸¦ y sin D. 10 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część II 8.3. Ï ¸ RÏ- ¦ ¦ ¦¦M ǫÏ ¸ Ïæ Ï ǫ Objętość brył obrotowych ǡ¦ ÑǡϐÏ ©¸ä©ǡĂ¸ä© ¸ä ¸Ï ×ÏǤ ¸ Ïǡ Ï©Ǥ Twierdzenia 8.2 ȋ ¸ä ¸ä ¸ä ¸Ï ×ÏȌ Ï Ā¸R R ä ʹR. Ñ Ă Rä R. ¸ĂǤ Ï Āǡ Ă ĂǤÏ ×ÏÏ ¦ ¸ǡ Ă ĂǤ ¦ ÏÏ ¸¦Ǥ ǡĂ¸ä© ¸ä ¸Ï ¸ä© ¸ Ï ¸ä ĂǤ 11 8. Stereometria Dowód ¸ ¸ Ï Ǥ H ¸ Ï ǡ × Rǡ Rä ʹR ĂǤÏ ×ÏÏ Ï× Ï Ă×Ǥ ¸ ¦ÏRǡ ĂÏRäǡ ¸ ĂȂ × ÏǤ ¸ Ï ×ϸ¦ Ïä H¦ǣÏr R, ä Ñ ¸ R ¸ r, ¸ ÏÏr.ä© ×r H. ¸ä ¸ä ¸© Ă×Ă××Ǥ R2 – H 2 H H R H H R R2 – H 2 H H ©ǡæ×Ǥ ÑÏÏ ¸ Ï ¦ × R2 H 2 ,¸ ÏS(R2 – H2)Ǥä 12 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część II Ϧ© ¸ ¸ĂǤĂ Ïä H ÏÑHȋĂR i wysoä RȌǤ ä ä H to SR2 – SH2 S(R2 – H2). Ϧ¸ ¦Ï ¦×ϦǤ ϸ ϐ Ǥ ȂÏ Ï Ă×Ǥ ä ǡ Ñǡ ÏÏ ¦ä ǤÏä Ñ ×Ǥ ¦× ä ×ǡ¦Ă ׸ä ǤŶ ää©×ǣ Twierdzenie 8.3 ȋȌ äÏ¦× Ă¦Ï ¦×Ï¦Ï ǡ¦×¸ä Ǥ ĂĂ×Ǥ Twierdzenie 8.4 ȋȌ äÏ¦Ă¦Ï ¦×Ϧ Ï Ï ǡ ¸ä ¦ Ǥ ÏdͺǤͶȋ¦ Ȍ ¸ä©¦ ä h ¸RȋȌ ĂR. x h R R2 – h 2 R2 – x 2 2 Rozwiązania zadań 8. Stereometria 8.1. Ï AcBcC cDc Ï ¸ ¦ ¦ ABCD ͳʹǤÏä ¸¦ ¦DCCc×Ïǡ××ϦÏä©ʹǡ Ïä©Ͷǡ ¸ ͺǤ Cc Dc Cc 4 Dc 4 5 5 Bc 3 Ac 2 C 3 D A 2 C 3 D A B 4 Bc 3 Ac 4 B ÏÏ ¸AcAD×Ïǡ××ϦÏä©ͳǡ Ïä©͵ǡ¸ ͵Ǥ × 122 + 82 + 32 = 144 + 64 + 9 = 217 . 8.2. ä© Ï Ï Ï ǤǤ D Dccc Dcc Płaszczyzna tylna Płaszczyzna boczna H C A Dc B a Płaszczyzna pozioma